ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος 4 Επιμέλεια Κώστας Δόρτσιος Μάκης Χατζόπουλος

Πρόλογος Το μικρό αυτό πόνημα απευθύνεται κυρίως προς τους μαθητές της Γ Λυκείου οι οποίοι εξετάζονται στις Πανελλαδικές Εξετάσεις στο μάθημα των Μαθηματικών, ταυτόχρονα όμως μπορεί να αποτελέσει κι ένα ανάγνωσμα οποιουδήποτε άλλου που ασχολείται ευρύτερα με τα Μαθηματικά. Η μέχρι τώρα εμπειρία διδάσκει ότι η έννοια της μονοτονίας είναι μια έννοια αρκετά ενδιαφέρουσα και χρήσιμη σε όλη την έκταση της εξεταζόμενης ύλης. Η μονοτονία διαποτίζει και υποστηρίζει σχεδόν πάντοτε τα προβλήματα που τίθενται στις εξετάσεις, όπως για παράδειγμα τα προβλήματα που αφορούν ανισότητες, ανισώσεις, ακρότατες τιμές, εξισώσεις και διάφορα άλλα. Έτσι μια συνολική θεώρηση της μονοτονίας μέσα από το παρόν πόνημα ελπίζω ότι θα προσφέρει στον υποψήφιο μαθητή αρκετή γνώση και εμπειρία στην αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών. Ειδικότερα το θέμα με τίτλο: «Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης» εμφανίζει μέσα από τα επεξεργασμένα ερωτήματα μια συνολική εικόνα της δυναμικής που εμπεριέχεται στην έννοια της μονοτονίας. Στην ίδια αντίληψη κινείται και το δεύτερο τμήμα όπου παρουσιάζονται διάφορες χρήσιμες προτάσεις που καποιες από αυτές σχετίζονται με τη μονοτονία. Τέλος μια σειρά από 8 ασκήσεις αποτελούν μια πρόκληση και μια δοκιμασία για μια τελική αυτοαξιολόγηση του υποψήφιου μαθητή. Τέλος αισθάνομαι την υποχρέωση να ευχαριστήσω τους φίλους μαθηματικούς Κώστα Δόρτσιο και Μάκη Χατζόπουλο για την επιμέλεια των κειμένων. Νίκος Ζανταρίδης Έδεσσα Απρίλιος 4

Γενικό Θέμα Ανάλυσης Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει:, e για κάθε. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση είναι. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.. Να δειχθεί ότι και να βρείτε το πρόσημο της 4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της 5. Να βρείτε τα όρια: lim, lim 6. Να οριστεί η 7. Να δειχθεί ότι: e για κάθε 8. Να μελετηθεί η ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 9. Να λυθεί η ανίσωση:. Να βρείτε το lim και το lim. Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της C η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. t dt,. Να δειχθεί ότι:. Να δειχθεί ότι: b,, a b a a b 4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παράλληλη προς την ευθεία : y 5. Να εξεταστεί αν υπάρχουν ασύμπτωτες της C στο ή στο. 6. Να γίνει πρόχειρη γραφική παράσταση της. 7. Να βρεθεί το d συναρτήσει του.. C η οποία είναι 8. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, την ασύμπτωτη της C στο και τις ευθείες και e

4 9. Να δειχθεί ότι:,,. Να δειχθεί ότι:. Να δειχθεί ότι οι C και C δεν έχουν κοινά σημεία.. e : Απαντήσεις e e... e e Άρα η είναι συνάρτηση.. ος τρόπος: e e e, e Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο g e ος τρόπος: Θεωρώ την g e,. Είναι, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα. Η () γράφεται : g Έστω, με. Έχουμε g g (* * αφού η g είναι γνησίως αύξουσα στο ) Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο. ος τρόπος: Απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε θα υπάρχουν, με. Έχουμε: g g (γιατί η g γν. αύξουσα στο ) και,ατοπο, αφού. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο.. Από την () για έχουμε: e g g, g e (γιατί η g ως γνησίως μονότονη στο είναι συνάρτηση ) Έχουμε:,

5, Άρα:, για κάθε,, για κάθε, 4. y g g y (γιατί η g ως γν. μονότονη στο είναι συνάρτηση ) g y Άρα για κάθε y η εξίσωση y έχει λύση ως προς στο D οποία είναι η y, οπότε και επειδή είναι και g y e y έπεται ότι., 5. Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο έπεται ότι: Όμως είναι:, Επομένως είναι: lim, lim, οπότε: lim, lim, lim και lim 6. Η ως γνησίως μονότονη στο είναι συνάρτηση, οπότε η έχει αντίστροφη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι το επειδή ισχύει η ισοδυναμία έπεται ότι: y y e y y y gy e y. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της ορίζεται ως εξής: 7. Για κάθε ισχύει: 8. Είναι: : e : e και, οπότε η είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο e παραγωγίσιμων συναρτήσεων με e e e e

6 e e, e e e Άρα η είναι κοίλη στο και η C δεν έχει σημείο καμπής. 9. Έχουμε:. Είναι: έτσι προκύπτει: : 4 e e, e e e e,, Άρα η δοθείσα ανίσωση αληθεύει για κάθε,. lim lim lim u lim lim u lim u e e lim lim lim u lim lim u lim u e e. Η εξίσωση της εφαπτομένης της y o o o Για να διέρχεται από το σημείο, C στο σημείο της, O πρέπει και αρκεί να ισχύει: M είναι: o o o o o o Θα δείξουμε ότι η εξίσωση:, E έχει μοναδική λύση στο. Είναι: και e, οπότε η εξίσωση E είναι e ισοδύναμη με την: e e e e e o

7 Επειδή όμως έπεται ότι η εξίσωση έχει λύση στο και μάλιστα μοναδική, αφού η είναι γνησίως μονότονη στο. Επομένως υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων.... t dt,. Είναι:... e e e C η οποία, e, Όμοια: Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,,, οπότε η παρουσιάζει μέγιστο στο o ma Επομένως για κάθε ισχύει ma και γνησίως φθίνουσα στο, το οποίο είναι το: και συνεπώς: t dt t dt. Θεωρούμε τη συνάρτηση: a h a, Η h είναι παραγωγίσιμη στο με a h Έχουμε: a h... a,, ί a +

8 h a h a... h, a,, h a,... h h a... min Άρα για κάθε ισχύει : a h h min a a a. Επομένως: a b a b, a, b 4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της N,, είναι Για να είναι η. C στο σημείο της παράλληλη (με την ευρεία σημασία) προς την ευθεία : y, πρέπει και αρκεί να ισχύει: e e e e e e '' '',. ό Είναι:, e e και η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι: y y y

9 5. Στο έχουμε : και lim lim lim. Άρα στο η C δεν έχει ασύμπτωτη. Στο έχουμε: και lim lim lim u lim e lim e lim e. u lim u Άρα η ευθεία : y είναι ασύμπτωτη της C στο. 6. Για τη συνάρτηση ισχύουν τα ακόλουθα: Η είναι γνησίως αύξουσα στο Η είναι κοίλη στο Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C στο σχήμα. Έτσι μια πρόχειρη γραφική παράσταση της φαίνεται στο παρακάτω 7. ος τρόπος: e e e e d d ή

e d d d e d d e e d e e d * d e ος τρόπος : Θέτουμε u είναι u είναι u Για Για Άρα: 8. Είναι:, οπότε είναι: u u e u u και u d e du d u e du u u u u e u du u e u u e u du * * u e e u du u u e e e * e e e e E d e d u u Θέτουμε u, οπότε είναι u e u και έχουμε u Για e e e *, Για e έχουμε u e e ** * * e, d e du

Άρα: u u u u E e e du e e du u u e e e e.. 9. Για κάθε έχουμε: e e. Για κάθε. η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο οπότε υπάρχει,, ώστε: : Όμως, έχουμε: : b a διότι, (αφού η είναι κοίλη στο ). Από τις (a),(b) προκύπτει: e e e,. Για κάθε ισχύει : Από την θέτοντας όπου το ισχύει : :. Από τις Σ και Σ προκύπτει ότι για κάθε ισχύει. Επομένως οι C και C δεν έχουν κοινό σημείο.,, έχουμε ότι για κάθε

Χρήσιμες προτάσεις ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : A είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε η μονότονη στο A με ίδιο είδος μονοτονίας με την. είναι γνησίως Απόδειξη Επειδή η είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της Α, έπεται ότι η είναι συνάρτηση -, οπότε η έχει αντίστροφη συνάρτηση και το πεδίο ορισμού της είναι το A. Έστω ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Α, θα δείξουμε ότι η αύξουσα στο A. Υποθέτουμε ότι η y, y A με δεν είναι γνησίως αύξουσα στο y y και y y. Εχουμε όμως είναι γνησίως A, τότε θα υπάρχουν y y. (*)(αφού y y ά y A * : A y y y y y y άτοπο αφού Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, ) A. Ομοίως αποδεικνύεται ότι αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο Α, τότε και η γνησίως φθίνουσα στο A. είναι Από όλα τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αν η είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε και η A με το ίδιο είδος μονοτονίας με την. είναι γνησίως μονότονη στο ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, να δείξετε ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση Απόδειξη Έστω. μια ρίζα της εξίσωσης, τότε θα ισχύει : Από της () προκύπτει ότι A, A και A (αφού A). Έχουμε : Θα δείξουμε ότι Έστω ότι, τότε θα είναι ή. Υποθέτουμε ότι, τότε θα έχουμε. : A, ΑΤΟΠΟ,, A αφού υποθέσαμε ότι. Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι είναι ρίζα της εξίσωσης, οπότε ο αριθμός. Επομένως είναι. Άρα κάθε ρίζα της

εξίσωσης είναι και ρίζα της εξίσωσης Αντιστρόφως Έστω μια ρίζα της εξίσωσης., τότε θα ισχύει : (). Από την () προκύπτει ότι A A (αφού ). Από την () έχουμε : 4 Από () και (4) προκύπτει ότι. Άρα ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης εξίσωσης είναι και ρίζα της εξίσωσης. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι εξισώσεις και ισοδύναμες. ΘΕΜΑ Αν για τις συναρτήσεις, : lim o g ισχύει g, τότε είναι και lim. Απόδειξη Επειδή είναι lim o o g έπεται ότι ισχύει. Επομένως κάθε ρίζα της είναι g κοντά στο και είναι ότι ισχύει g κοντά στο. Έτσι κοντά στο ισχύει g, οπότε κοντά στο ισχύει: Είναι lim και lim o o g προκύπτει ότι Επειδή είναι lim o lim o lim o. (αφού και ισχύει, δηλαδή lim o g κοντά στο. Ακόμα δόθηκε : g lim g ) οπότε, λόγω της (), o. Σημείωση: Αν ισχύει g κοντά στο και είναι lim. o κοντά στο, έπεται ότι lim g o, τότε και ΘΕΜΑ 4 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος Δ και ισχύει ' για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι αύξουσα στο Δ. Απόδειξη

4 Έστω, με. Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και είναι,, έπεται ότι η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο,,, άρα υπάρχει, Είναι όμως, οπότε η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο, ώστε ' ' : ' και (αφού ), οπότε έχουμε: ' ' Επομένως για κάθε, με ισχύει, οπότε η είναι αύξουσα στο Δ. Σημείωση: Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει ', τότε η είναι φθίνουσα στο διάστημα Δ. ΘΕΜΑ 5 α) Αν η συνάρτηση :, είναι συνεχής και περιττή, τότε 4 t t β) Να βρεθεί το Λύση 4 e e t t dt. Θεωρώ την συνάρτηση,, g t dt. Είναι g t dt t dt t dt t dt. Επειδή η είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο t dt,, η συνάρτηση,,, με ' h και η συνάρτηση h t dt είναι tdt h, a, a είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ' ' Έτσι η g είναι παραγωγίσιμη στο,. ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων g t dt t dt.,. με '... Επειδή η είναι περιττή έπεται ότι ισχύει για κάθε.

Έτσι για κάθε, είναι στο,. Επομένως για κάθε, ισχύει Για = α έχουμε 5 g ', οπότε η g είναι σταθερή g g t dt t dt t dt t dt. Σημείωση: Ένας ος τρόπος επίλυσης είναι με αλλαγή μεταβλητής ( u t). β) Για την συνάρτηση : Η φ είναι συνεχής στο με e e και e e e e e e, ά Άρα η φ είναι συνεχής στο 4 4 t t tdt δηλαδή ΘΕΜΑ 6 4 4 Αν η συνάρτηση :, t dt Απόδειξη, ισχύει και περιττή, οπότε από το (α) ερώτημα έχουμε e e t t dt. είναι συνεχής και άρτια, τότε t dt. Επειδή η είναι άρτια ισχύει, ά, : () Θεωρώ την συνάρτηση tdt tdt,, Είναι: t dt t dt t dt t dt t dt tdt t dt

6 Έχουμε, '... ',, a, a, οπότε για κάθε, ά a a Άρα η φ είναι σταθερή στο t dt t dt t dt t dt Για t dt t dt t dt t dt έχουμε: tdt tdt. Σημείωση: ος τρόπος μεταβλητής ( u t). t dt t dt t dt a a ισχύει και για το t dt αλλαγή ΘΕΜΑ 7 Αν η συνάρτηση : για κάθε Απόδειξη, όπου Δ διάστημα, είναι συνεχής στο Δ και ισχύει t dt και Θεωρώ την συνάρτηση, g t dt με,, τότε είναι α = β. (, σταθερό σημείο του Δ). Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα Δ έπεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο Δ με g ', για κάθε. Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα Δ κα ισχύει για κάθε έπεται ότι η διατηρεί στο Δ σταθερό πρόσημο, οπότε θα είναι () > για κάθε ή ()< για κάθε g' για κάθε g' για, δηλαδή θα είναι ή κάθε. Επομένως η g θα είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ή γνησίως φθίνουσα στο Δ. Έτσι η g, ως γνησίως μονότονη στο Δ, είναι συνάρτηση. Έχουμε,

7 t dt t dt t dt g t dt t dt g t dt t dt Άρα είναι α = β. ί g ί ά ΘΕΜΑ 8 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β], τότε υπάρχει, d Απόδειξη Θεωρώ την συνάρτηση g tdt,,. ώστε Επειδή η είναι συνεχής στο [α, β] έπεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] με ',, οπότε η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ g, για κάθε στο [α, β] (αφού η g είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β)).,, ώστε Επομένως υπάρχει g' g g t dt t dt a ΘΕΜΑ 9 t dt t dt Αν οι συναρτήσεις, g:, είναι συνεχείς και ισχύει a,, τότε Απόδειξη d g d Θεωρώ τη συνάρτηση,, h g. g για κάθε Η h είναι συνεχής στο [α,β], ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Ακόμα για κάθε, g g h. a ισχύει Επειδή η h είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει h για κάθε, έπεται ότι

8 h d g d d g d d g d Βασικές ανισότητες ), ά (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) ) e (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) ) ln, ά (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) 4), ά, (η ισότητα ισχύει μόνο αν α = β) 5), ά 6) Αν m M, ά τότε (η ισότητα ισχύει μόνο αν a = ) m M... m M m M ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : (Δ: διάστημα) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει ' για κάθε, τότε η είναι συνάρτηση. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι η ΔΕΝ είναι συνάρτηση, τότε θα υπάρχουν, με και. Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και, έπεται ότι η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη,., Ακόμη είναι στο,, οπότε υπάρχει, ώστε ' για κάθε.. Άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. olle Επομένως η είναι συνάρτηση. ', ΑΤΟΠΟ, αφού δόθηκε ότι ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : (Δ: διάστημα) είναι συνεχής και, τότε η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Απόδειξη Έστω ότι η ΔΕΝ είναι γνησίως μονότονη στο Δ, τότε δεδομένου ότι η είναι συνάρτηση -, θα υπάρχουν,, με και ή

9 Έστω, τότε επειδή η είναι συνεχής στο,, ώστε ή ή και ισχύει έπεται, λόγω του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών, ότι υπάρχει και επειδή η είναι - προκύπτει ότι ΑΤΟΠΟ, αφού. Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε και στις υπόλοιπες περιπτώσεις. Επομένως η είναι γνησίως μονότονη στο Δ., ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και εξίσωση () = έχει ν διαφορετικές ρίζες v στο Δ, τότε η εξίσωση ' έχει τουλάχιστον (ν ) ρίζες στο Δ. Απόδειξη Έστω,,..., με... οι ν στο πλήθος ρίζες της εξίσωσης () =. Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο Δ έπεται ότι η είναι συνεχής στα διαστήματα,,,,...,,,,,,...,,. και παραγωγίσιμη στα διαστήματα Ακόμη είναι..., αφού οι αριθμοί,,..., είναι οι ρίζες της εξίσωσης () =. Άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. olle σε καθένα από τα διαστήματα,,,,...,,. Επομένως υπάρχουν,,,,...,, ', ',..., ', οπότε η εξίσωση ' ΘΕΜΑ Για κάθε zw, ώστε έχει τουλάχιστον (ν -) ρίζες στο διάστημα Δ. ισχύουν:. z w z w e z w z w e z w. z w z w z w. z w z w 4e z w 4ez w Απόδειξη. Έχουμε, z w z w z w z w z w zz zw wz ww z w zw zw οπότε e e z w z w z w z w z w z w και z w z w z w z w z w z w

. Έχουμε, z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z z z w wz w w z z z w wz ww z w z w. Έχουμε, z w z w z w z w z w z w z w z w z w z wz w zz z w w z w w zz z w w z w w z w z w z w z w z w zw e 4e Ακόμη είναι e e e Έτσι έχουμε z w z w z w. 4e z w z w 4e z w z w.

Ασκήσεις για λύση. Για τη συνάρτηση: : ισχύει: y y, για κάθε, Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο.. Για τη συνάρτηση : ισχύει: y με y. y y y y, για κάθε, y με y. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία.. Για τη συνάρτηση : ισχύει: y y y, για κάθε, y. Να δειχθεί ότι: Α) η είναι συνεχής στο. Β) η συνάρτηση g, είναι γνησίως φθίνουσα στο. Γ) αν επιπλέον ισχύει: 4, για κάθε να δειχθεί ότι: 4. Για τη συνάρτηση : ισχύει:,. e, για κάθε. Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο και να συγκριθεί το e με το,. 5. Για τη συνάρτηση : ισχύει: y y, για κάθε, Να δειχθεί ότι: y y, για κάθε, y. Α) y. Β) αν για κάθε ισχύει:,τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο και να λυθεί στη συνέχεια η ανίσωση: e. 6. Για τη συνάρτηση : e για κάθε. Α) Να δειχθεί ότι i) η είναι γνησίως αύξουσα στο. ii), ισχύει: B) Να οριστεί η αντίστροφη συνάρτηση της. 7. Για τη συνάρτηση :, ισχύει:

, για κάθε και για κάθε. Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. 8. Για τη συνάρτηση :, ισχύει: y y και η δεν είναι σταθερή συνάρτηση. Α) Να δειχθεί ότι: i), για κάθε. ii), για κάθε. iii) y y Β) Αν για κάθε, για κάθε y, για κάθε y,., τότε: ισχύει i) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο,. ii) Να λυθεί η ανίσωση: 9. Για τη συνάρτηση : ισχύει: 7 6 e, για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο.. Για τη συνάρτηση : ισχύει: y y y, για κάθε, y με y. Α) Να δειχθεί ότι: i) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. ii) Η συνάρτηση g, είναι γν. αύξουσα στο. iii) Η συνάρτηση h, είναι γν. φθίνουσα στο. Β) Να λυθεί η εξίσωση:.. Α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: ln,. Β) Να λυθεί η εξίσωση: ln 4,.. Α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση: e, Β) Να βρεθούν οι,, ώστε: e e 4 6 4.

. Δίνεται η συνάρτηση: ln,. i) Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να συγκριθούν οι αριθμοί:, iii) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης: k e,,για τις διάφορες τιμές της πραγματικής παραμέτρου k. iv) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την άξονα και την ευθεία e. v) Να βρεθούν οι,, ώστε: 4. Δίνεται η συνάρτηση: ln e 6. e i) Να δειχθεί ότι D ii) Να δειχθεί ότι η είναι γν. αύξουσα στο iii) Να δειχθεί ότι η είναι περιττή 6, iv) Να λυθεί η εξίσωση: v) Να οριστεί η αντίστροφη συνάρτηση της vi) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την άξονα των και την ευθεία vii) Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει: e 5 5. Α) Να δείξετε ότι: 6 6 5, για κάθε Β) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο, και ισχύει να δείξετε ότι: 6 d Γ) Αν,, να δείξετε ότι: 6 6 6 i) 5 5 5 5 5 5 ii) 6 6 6 Δ) Αν, y, και ισχύει: να βρεθούν οι y,,. 6 6 6 y y 64 6 6 5 C, τον C, τον d, τότε

4 6. Δίνεται η συνάρτηση: e, Α) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. Β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης διάφορες τιμές της παραμέτρου. e, για τις 7. Η συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα, παραγωγίσιμη και ισχύει: y y y για κάθε, y με y. Ακόμα είναι:. Στη συνέχεια θεωρούμε τη συνάρτηση:, g, i) Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή στο ii) Να δειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο iii) Να λυθεί στο η εξίσωση: iv) Να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει: με ισχύει: v) Να δειχθεί ότι για κάθε,, d ln 8. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : για κάθε. i) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο. ισχύει ii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. iii) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. iv) Να δειχθεί ότι: tdt tdt, για κάθε 9. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς της μορφής έχει το μικρότερο μέτρο. z i, 8. Α) Να δειχθεί ότι κάθε μιγαδικός της μορφής: z 8 8 i, δεν είναι πραγματικός αριθμός. Β) Να δειχθεί ότι η εικόνα κάθε μιγαδικού αριθμού της μορφής: 4 z i, ανήκει στο ημιεπίπεδο: y.. Η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη, κυρτή στο και ισχύει:

5 lim. Να δειχθεί ότι: i) Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο. ii),, για κάθε. iii) tdt. Η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο. A) Να δειχθεί ότι: i), για κάθε, ii), για κάθε,, iii), για κάθε, iv) d, για κάθε Β) Αν να δείξετε ότι: i), για κάθε, ii) d.. Η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη, κυρτή στο και υπάρχουν,, με ώστε: t dt t dt. Να δειχθεί ότι: i) Η δεν είναι συνάρτηση ii) Η έχει ολικό ελάχιστο. 4. Για την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: για κάθε και. i) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. ii) Να δειχθεί ότι υπάρχουν,, τέτοια, ώστε: iii) Αν επιπλέον ισχύει:., για κάθε, τότε να δειχθεί ότι:. 5. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει:

6 e e, για κάθε όπου, με. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. 6. Η συνάρτηση : είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο. i) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση: tdt g,, Είναι γνησίως αύξουσα στο. t dt. ii) Να δειχθεί ότι: tdt 7. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση :, e e, για κάθε Τότε να δειχθεί ότι:, για κάθε. (Βασίλης Μαυροφρύδης) ισχύει: και είναι 8. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει:. tdt e, για κάθε και η είναι συνεχής στο o. i) Να βρεθεί η ii) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. t dt. iii) Να δειχθεί ότι: tdt iv) Να μελετηθεί η ως προς τα κοίλα. v) Να δειχθεί ότι: tdt 9. Για την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει:, για κάθε. i) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση: g, και είναι σταθερή στο. ii) Να βρεθεί ο τύπος της. iii) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία στο,. (Βασίλης Μαυροφρύδης). Για την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει:,,

7 και η είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο. i) Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή στο. ii) Να δειχθεί ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σ ένα μόνο σημείο o iii) Αν για το o ισχύει: d, τότε να δειχθεί ότι. iv) Να δειχθεί ότι:, α), για κάθε β), για κάθε, γ) d δ) ε) d, για κάθε v) Να λυθούν οι εξισώσεις:, α) β) y y,, y. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει: δειχθεί ότι: z. 4, όπου,, να 4 z z. Α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: ln,. Β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Γ) Να λυθεί η εξίσωση:..., όπου * N. Για τη συνάρτηση : ισχύει: 5, i) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. ii) Να δειχθεί ότι 5 4. Να δειχθεί ότι: i) e e, ii) e e,. iii) e,. 6

8 5. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ώστε να ισχύει: e, για κάθε 6. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: 4 5, για κάθε i) Να βρεθούν τα όρια: lim, lim ii) Να βρεθεί το 7. Για τη συνάρτηση : ισχύει: για κάθε e e e και. i) Να δειχθεί ότι: e, για κάθε ii) Να δειχθεί ότι:, iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της οποία διέρχεται από το σημείο O,. iv) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την και την ευθεία yy 8. Για τη συνάρτηση :, για κάθε ισχύει: e e, και. Να δειχθεί ότι:, 9. Δίνεται η συνάρτηση F k kσυν d C με θετική κλίση και η C, τον άξονα A) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F B) Να αποδειχθεί ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. Berkeley Problems in Mathematics

9 Περιεχόμενα:.Γενικό Θέμα Ανάλυσης Σελ.. Χρήσιμες Προτάσεις Σελ.. Ασκήσεις για λύση Σελ.