ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 45
Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός Fourir β Σειρά Fourir γ Μετασχηματισμός Fourir Διακριτού χρόνου DTFT δ Διακριτή σειρά Fourir 2/ 45
α. Σήματα συνεχούς χρόνου μη περιοδικά x(t x(f f t Φάσμα συνεχές μη περιοδικό j2π ft f xt dt ( ( Χ j2π ft xt X f df ( ( 3/ 45
β. Σήματα συνεχούς χρόνου περιοδικά Φάσμα Διακριτό μη περιοδικό x(t ( ( j2π mft X mf x t dt t p t ( ( xt p X mf j2π mft X(t X(mF t.. F.. f 4/ 45
γ. Σήματα διακριτού χρόνου συνεχούς συχνότητας X(nT Διακριτό μη περιοδικό σήμα Φάσμα συνεχές περιοδικό j2π f nt x( nt X ( f df f s Χ(f π nft n j 2 ( ( X f x nt f s f 5/ 45
δ. Σήματα διακριτού χρόνου περιοδικά X(nT Διακριτό περιοδικό σήμα n Φάσμα διακριτό - περιοδικό X(nf 6/ 45
DTFT Αναφέρεται σε ψηφιακά σήματα x(n Ορισμός IDTFT x(n 2π n π π x(n jnω jnω dω 7/ 45
DTFT x(n n jnω x(n[cos(nω n jsin(nω] x(ncos(nω j n n x(nsin(nω Α + jβ 8/ 45
DTFT A άρτια συνάρτηση Β περιττή συνάρτηση φ( ω φ( ω tan Α 2 B A + Β 2 9/ 45
DTFT Απόκριση μέτρου και απόκριση φάσεως 6 φ( ω 4 2-2 -2-2 ω xπ rad / 45
x(n 5-5 2 3 4 5 6 7 8 9 cos(.n.5 sin(.n.5 Γραφικός υπολογισμός του j. 2 3 4 5 6 7 8 9 n Αρχικό σήμα x(n x(n Για ω.rad/sampl Έχουμε: cos(.n και sin(.n jnω 2 3 4 5 6 7 8 9 5 x(n cos(.n -5 2 3 4 5 6 7 8 9 x(n sin(.n - 2 3 4 5 6 7 8 9 Σx(ncos(.n.367 Σx(nsin(.n 4.7535 Αρα j..367-j4.7535 / 45
DTFT βασικών σημάτων δ(n n δ(n δ(n-κ δ(n k n k a n u(n + (a n n a n n + (a 2 +... (a n a 2 / 45
Έχει η u(n DTFT??? επειδή jnω n n n x(n jnω DTFT δεν υπάρχει n jnω 3 / 45
Παράδειγμα n x(n jnω x(nu(n+2-u(n-3 x(n.8.6.4.2-5 5 2 + + + + 2cosω + 2cos2ω + 2 6 sin sin 5 2 2 ω ω 4 2 Φάση??? -2-2 - 2 ω xπ rad 4 / 45
x(nu(n-u(n-ν Γενίκευση του Παρ. Χ( -jnω x(n N/ 2 / 2 n n - j ωn/ 2 / 2 N/ 2 / 2 n Ν- n -jnω + (N / 2 + j2ω sin(nω /2 sin( ω/2 +... + j(n ω jnω sin(nω / 2 Χ( sin( ω / 2 Χ N sin(nω/ 2 ( ω 2 + sin( ω/ 2 5 / 45
Παράδειγμα 2 Να βρεθεί ο DTFT για την ακολουθία : x(n.5,.5 2,.5 3,.. x(n.5.4.3.2. -2 2 4 6 n Χ( x(n n.5+.5 2 - +.5 3 -j2ω +....5{+.5 - +.5 2 -j2ω +...}.5.5.5.5cos ω + j.5sin ω.8.6.4.2-2 - 2 ω xπ rad φάση.5 -.5 - -2-2 6 / 45
DTFT - Ιδιότητες n x(n jnω Περιοδικότητα ΟΜετασχηματισμόςFourir Διακριτού Χρόνου είναι περιοδικός ως προς ω με περίοδο 2π + 2π 7 / 45
απόδειξη j( ω+ 2π n x(n n jnω x(n jn( ω+ 2π n x(n jnω jn2π n x(n jnω n x(n jnω Επομένως για τον υπολογισμό του DTFT αρκεί το διάστημα [,2π] ή [-π,π] 8 / 45
Συμμετρία Ισχύει μόνο για πραγματικά σήματα n x(n jnω jnω x(n x(n cos(nω j x(n sin(nω n n n jnω x(n x(n cos(nω + j x(n sin(nω??? n n n Α + Α jβ jβ - A-jB X*( Λόγω των παραπάνω για τη σχεδίαση του Χ( αρκεί μισή περίοδος ω π 9 / 45
n x(n jnω Γραμμικότητα ( 2( DTFT ( j ω ax n bx n ax bx2( j ω + + Μετατόπιση στο χρόνο DTFT n ( ( o o X x n n Συνέλιξη { ( * ( } ( { } { ( } F x n x n F x n F x n 2 2 ( ( X Χ 2 2 / 45
Μετατόπιση στο πεδίο των συχνοτήτων jnω DTFT j( ω x( n X( ω Πολλαπλασιασμός (περιοδική συνέλιξη π DTFT ( ( ( jθ j ω θ ( ( x nyn X Y dθ 2π π Ενέργεια θεώρημα Parsval φασματική πυκνότητα ενεργείας Φ(ω ( ( 2 2 Ε x x n Χ dω 2π n Φ(ω Χ( π 2 π π 2 / 45
Πίνακας Ιδιοτήτων DTFT Ιδιότητα Ακολουθία DTFT Γραμμικότητα Μετατόπιση στο Χρόνο Αντιστροφή στο Χρόνο Μετατόπιση συχνότητας Συνέλιξη στο Χρόνο ax( n + by( n ax ( + by( xn ( n jn ω X( x( n ( j X ω jnω x( n j( ω ω X( x( n* y( n X ( Y( 22 / 45
Απόκριση Συχνότητας και DTFT δ(n σύστημα h(n y(n x(n h(n x(n h(n y(n Y( H( H( Y( 23 / 45
Απόκριση Συχνότητας H( Y( Συμπέρασμα ΗαπόκρισησυχνότηταςΗ( χαρακτηρίζει ένα σύστημα στο πεδίο της συχνότητας 24 / 45
Η Απόκριση Συχνότητας είναι ο DTFT της κρουστικής απόκρισης Συμπέρασμα 2 H( j ω h(n n 25 / 45
Υπολογισμός της Η( Βάσει του ορισμού από την κρουστική απόκριση: H( j ω h(n n 26 / 45
Από την εξίσωση διαφορών N k a M k y(n k b kx(n k k N k a M k k k Y( bk Χ( k Η( Υ( Χ( N k M k a b k k k k a b o o + a + b +... + a +... + b N M N M Ποιές ιδιότητες του DTFT χρησιμοποιήσαμε?? 27 / 45
Παράδειγμα Δίνεται η ΕΔ: y(n-.8y(n-+x(n-x(n- y(n -.8y(n- + x(n - x(n - Υ( -.8Υ( - +Χ( -Χ( - Υ( [+.8 - ]Χ( [- - ] H( Y( Χ( +.8 3 28 / 45
Παράδειγμα 2 Ε.Δ: y(n 3 k x(n k Y( 3 3 k [ ] jkω jkω H( Y( 3 jkω (+ 3 2cosω Τι «πράξη» κάνει αυτό το σύστημα??? 29 / 45
Απόκριση συχνότητας και μιγαδική (εκθετική διέγερση Απόκριση στη διέγερση x (n ω n j ο ω n j ο h(n y(n y(n h(n o n h(k o (n k o n h(k o k o n H( ο 3 / 45
Ιδιοτιμές ιδιοδιανύσματα ΤΧ Τ o n λχ H( ο o n 3 / 45
Απόκριση σε ημιτονικό σήμα x(nacos(ω ο n Όταν η είσοδος είναι : Ηέξοδοςείναι: x(n y(n A A o o n n H( ο Σε πολική μορφή : y(n A o n H( ο jθ A H( ο j(ω o n+ θ το πραγματικό μέρος : y(n A H( ο cos ( ω n + H(ω ο o 32 / 45
Παράδειγμα Η( Y( Χ( +.8 Δίνεται: ζητούνται: cos(.8πn H( Acos(.8πn+φ Υπολογίζουμε: j.8π j.8π Η( j.8π +.8 cos(.8π + jsin(.8π +.8 [cos(.8π jsin(.8π].89 +.5878j.3528 -.472j.47 + 3.66j 3.23 7.2 o Αρα Α3.23 και φ7.2 ο 33 / 45
DTFT και μετασχηματισμός Fourir iω X(jΩ I[x(n] + - jωt n x(t dt x(n n Διακριτοποιούμε : ολοκλήρωμα άθροισμα T nt s dt T s 34 / 45
X(jΩ + - - jωt x(tdt x(nt T Τ jωnts s s X(jΩ Τ s 35 / 45
παράδειγμα x(t -5t u(t x(nt -5nT u(nt Fourir Διακριτού χρόνου 5nT 2πjfTn 5T 2 π jft ( 5Τ 2πfT T 5 + 2πf X( Ω 5 + j2πf Fourir Συνεχούς χρόνου 36 / 45
Ψηφιακά φίλτρα H( (α (β (γ (δ ω π 2π (α Βαθυπερατό, (β Ηψιπερατό, (γ Ζωνοδιαβατό και (δ απόρριψης ζώνης. Η ψηφιακή συχνότητα μεταβάλλεται από έως 2π rad, ή ισοδύναμααπό έως f s Hz. Η διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί σε πραγματικές προδιαγραφές 37 / 45
φίλτρα «comb» δεν κατατάσσονται σε καμία από τις γνωστές κατηγορίες Η(. 8 j8ω 5 Η(ω (db 5-5 - π/4 π/2 ω 3π/4 π 38 / 45
Υπολογισμός DTFT με MATLAB Η Εντολή H frqz(num,dn,w Παράδειγμα Comb filtr Η (. 8 j 8 ω 39 / 45
num[] dn[ -.8]; a[:pi/256:pi]; Hfrqz(num,dn,a; figur( plot(a/pi,abs(h xlabl('\omga/\pi' ylabl(' H(^{j\omga} ' titl('magnitud Rspons' grid on 4 / 45
6 Magnitud Rspons H( 4 2.2.4.6.8 ω/π 4 / 45
figur(2 plot(a/pi,angl(h xlabl('\omga/\pi' ylabl('phas(h(^{j\omga}' titl('phas Rspons' grid on 42 / 45
Phas Rspons phas(h(.5 -.5 -.2.4.6.8 ω/π 43 / 45
Απόκριση συχνότητας - εφαρμογές DTMF : ποιο πλήκτρο είναι?? ή # 44 / 45
29 Hz 336 Hz 477 Hz 633 Hz 697 Hz 77 Hz 852 Hz 94 Hz 4 7 * 2 5 8 3 6 9 # A B C D 45 / 45