Náhoda a pravdepodobnosť

Gymnázium Jozefa Gregora Tajovského Banská Bystrica Náhoda a pravdepodobnosť Banská Bystrica, 2010 Martin Búlik, Joel Dragošek 3.F

Obsah 1 ÚVOD... 3 2 NÁHODA... 4 2.1 Náhodny jav... 4 2.1.1 Istý, možný, nemožný... 4 3 PRAVDEPODOBNOSŤ JAVU... 6 3.1 Klasický prístup... 6 3.2 Štatistická definícia pravdepodobnosti ( Richard von Mises )... 6 4 BINOMICKÉ ROZDELENIE PRAVDEPODOBNOSTI... 8 5 METÓDA MONTE CARLO... 9 5.1 Niektoré príklady použitia metódy... 9 5.2 Ako a kedy sa využíva?... 9 5.3 Presnosť metódy Monte Carlo... 10 6 VLASTNÁ PRÁCA VÝSLEDKY... 11 7 ZÁVER... 13 8 ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚTY... 14 2

1 ÚVOD...Je pozoruhodné, že veda, ktorá začala úvahami o hazardných hrách, sa nakoniec mohla stať najdôležitejším predmetom ľudského poznania... (P. S. Laplace). Často i ten, kto sa výborne vyzná v aritmetike, vyniká v algebre, zbožňuje geometriu, si vôbec nevie dať rady s pravdepodobnosťou. Tá je dnes naozaj jednou z najdôležitejších matematických disciplín. Túto tému sme si nevybrali, len kvôli týmto skutočnostiam, ale hlavne preto, že je zaujímavá a užitočná. Teória pravdepodobnosti dnes pomáha v práci ekonómom, fyzikom, sociológom, dokonca i jazykovedcom. Často počúvame, že to bola náhoda, že niekto niekoho náhodou stretol. Pred začiatkom zápasu súperi losujú o stranu ihriska. Čo to znamená, že losujú? Ako to robia? Často, keď chceme nestranným spôsobom vybrať jednu z dvoch možností, hodíme si mincou. Môžeme pred hodom predpovedať výsledok? Našim cieľom nie je naučiť vás hrať hazardné hry. Chceme vám priblížiť túto tému a motivovať pre ďalšie štúdium. Dúfame, že náš projekt bude trošku zvláštny, zaujímavý, ale nie príliš náročný. 3

2 NÁHODA Pri rôznych hrách sa používa hracia kocka. Takouto kockou sa hádže a hráči pozorujú, ktorá stena sa po hode objaví navrchu. Môžeme skúmať zákony, ktoré určujú chovanie kocky od okamihu jej rozkotúľania. Na chovanie kocky má určite vplyv rýchlosť dodaná kocke, teplota prostredia, dĺžka kotúľania, prúdenie vzduchu atď. V dôsledku veľkého množstva zložitých zákonov, ktorými sa pohyb kocky riadi, je nemožné predpovedať výsledok hodu. Takýto výsledok sa nazýva náhodný a hovoríme, že o výsledku hodu rozhoduje náhoda. Náhoda v bežnej reči označuje javy, ktorých výskyt nevieme vysvetliť. Ak niečo označíme za náhodný jav, môžeme tým myslieť dva rôzne názory: 1. príčinu alebo vysvetlenie javu nevieme zistiť; 2. jav žiadnu príčinu nemá. Kým v prvom prípade teda konštatujeme zrejmý stav vecí, v druhom robíme navyše záver, ktorý možno len ťažko dokázať. 2.1 Náhodny jav Náhodný pokus je akákoľvek činnosť, ktorej výsledok nie je predurčený podmienkami, za ktorých prebieha a ktorá je neobmedzene veľakrát (aspoň teoreticky) opakovateľná za rovnakých istých podmienok (napr. hádzanie kocky, hod mincou, ruleta atď.). Hodnota náhodného pokusu sa od jedného konania k druhému mení (závisí od náhody).výsledkom náhodného pokusu je náhodný jav. Náhodný jav je akékoľvek tvrdenie o výsledku náhodného pokusu, o ktorom možno po uskutočnení pokusu rozhodnúť, či pri danej realizácii pokusu je, či nie je pravdivé. Náhodný jav predstavuje udalosť, ktorá za určitých podmienok buď nastane alebo nenastane. 2.1.1 Istý, možný, nemožný Vezmime si krabičku s dvoma červenými a dvoma zelenými kockami. Trojnásobný náhodný výber kocky bez vrátenia určí vežu. O tom, aká bude veža rozhodne náhoda. Skusme pred výberom predpovedať jeho výsledok, pričom nemusíme ísť do úplných podrobností. Po výbere porovnáme predpoveď so skutočnosťou. Dajme 4

tomu, že sú traja hráči X,Y a Z, ktorí predpovedali takto: X: Vo veži bude červená a zelená kocka. Y: Veža bude jednofarebná. Z: Vo veži bude viac červených ako zelených kociek. Hráč X má isté, že vyhrá. Teda jav, ktorý predpovedal označujeme ako istý. Hráč Y predpovedal jav nemožný. A hráč Z predpovedal jav možný. 5

3 PRAVDEPODOBNOSŤ JAVU Pravdepodobnosť náhodného javu je číslo, ktoré je mierou očakávateľnosti výskytu javu. Existujú tri prístupy definovania pravdepodobnosti náhodného javu. 3.1 Klasický prístup Klasický prístup vychádza z toho, že množina elementárnych javov Ω obsahuje konečný počet elementárnych javov E1, E2,..., En a že všetky tieto elementárne javy sú rovnako možné. Tieto elementárne javy sú výsledkami určitého náhodného pokusu. Pravdepodobnosť náhodného javu A: p A =m/ n n počet všetkých možných výsledkov náhodného pokusu m počet priaznivých výsledkov m, n sú determinované (nemenné) Z tejto definície vyplýva, že: - pravdepodobnosť nemožného javu sa rovná 0 - pravdepodobnosť istého javu sa rovná 1 - o pravdepodobnosti ľubovolného javu platí 0 P A 1 Príklad č.1: Hádžme štyrmi mincami, ktoré vieme rozoznať. Na každej minci môže padnúť líce alebo rub, označíme to ako l a r. Aká je pravdepodobnosť javu A: líce padlo aspoň na troch minciach? Všetkých možných výsledkov n je 16: llll lrll rlll rrll lllr lrlr rllr rrlr llrl lrrl rlrl rrrl llrr lrrr rlrr rrrr Priaznivých výsledkov m je 5: llll lllr llrl lrll rlll Pravdepodobnosť, že líce padne aspoň na troch minciach, je p(a) = 5/16 = 0,3125. 3.2 Štatistická definícia pravdepodobnosti ( Richard von Mises ) Táto definícia je vlastne len akési upresnenie klasickej definície. Pravdepodobnosť = číslo (presnejšia limita), ku ktorému sa pri mnohonásobnom 6

opakovaní pokusu blíži relatívna frekvencia javu (t. j. pomer počet relevantných prípadov / počet všetkých možných prípadov). Príklad č. 2: Otázka: Aká je pravdepodobnosť, že v Bratislave za deň niekoho zrazí auto? Riešenie: Urobíme nasledujúci výpočet (v ideálnom prípade pre veľmi veľa dní) so zadanými údajmi o počte havárií a Bratislavčanov: Deň Počet zrazených Počet ľudí v ľudí Bratislave Relatívna frekvencia dnes 85 490000 85/490000 = 0,0173 % včera 96 510000 96/510000 = 0,0188 % predvčerom 105 530000 105/500000 = 0,021 % predpredvčerom 103 499000 103/499000 = 0,0206%... Výsledok: Teraz by sme mali teoreticky podľa tejto tabuľky vypočítať (alebo nakresliť graf relatívna frekvencia - počet ľudí v Bratislave a v ňom nájsť) číslo, ku ktorému sa blíži relatívna frekvencia. Zjednodušene sa však väčšinou jednoducho počíta tzv. priemerná relatívna frekvencia, čiže: P = (85 + 96 + 105 + 103) / (490000 + 510000 + 530000 + 499000) = 0,000192 (čiže 0,0192%) K číslu 0,0192 % by sme dospeli, aj keby sme počítali P = priemer počtu zrazených ľudí / priemer počtu ľudí v Bratislave, a to je vlastne klasická definícia pravdepodobnosti. 7

4 BINOMICKÉ ROZDELENIE PRAVDEPODOBNOSTI Nech A je jav s pravdepodobnosťou P. Potom pravdepodobnosť, že pri n - násobnom opakovaní pokusu, jav A nastane práve k- krát je číslo: Príklad č. 3: Otcovia sú šťastní, keď sa im narodí syn. Z dlhodobých štatistík je známe, že pravdepodobnosť narodenia chlapca je P(A) = 0,51. Otec si naplánoval 5 detí. Aká je pravdepodobnosť, že z týchto detí budú práve 3 synovia? Riešenie: Ide o binomické rozdelenie pravdepodobnosti. n = 5, k = 3, P = 0,51 Otcovi sa prianie splní s pravdepodobnosťou 31,8 %. 8

5 METÓDA MONTE CARLO 5.1 Niektoré príklady použitia metódy - E. Fermi - objav neutrónov (1930) - Plán Manhattan projekt na vyvinutie atómovej bomby (1940-1945) - V aerodinamike na simuláciu fyzikálnych veličín a hodnôt, ktoré sú spojené s letom. - V matematike je možné použiť metódu na odhad n-rozmerného integrálu 5.2 Ako a kedy sa využíva? Túto metódu používame vtedy, keď matematický model daného problému je veľmi zložitý, alebo keď neexistuje dostupná technológia na riešenie daného problému. Jedná sa o numerickú výpočtovú metódu, ktorá je založená na využití náhodných veličín a teórii pravdepodobnosti. Veľký rozmach dosiahla v 2. polovivi 20. storočia s nástupom PC ( urobiť 100 náhodných pokusov je práca na hodinku, ale urobiť 1000000 pokusov je pre človeka práca na niekoľko mesiacov. PC to zvládne za pár sekúnd. Táto metóda vyžaduje dobrý generátor náhodných čísel a vhodný algoritmus riešení.všetko si ukážeme na príklade určenia hodnoty čísla pí. Do štvorca s polomerom r vpíšeme štvrťkružnicu. Platí S štvorca = r 2 S kruhu = (pí) r 2 / 4 Z tade (pí) = 4 S kruhu / S štvorca Predpokladajme, že budeme na štvorec hádzať šípky. Predpokladajme tiež, že budú padať náhodne a rovnomerne. Potom možme upraviť vzorec na tvar: (pí) = 4 n kruhu /n štvorca Kde n kruhu je počet zásahov do štvrťkružnice a n štvorca je počet zásahov do štvroca a zároveň aj do štvrťkružnice. Výsledok bude tým presnejší, čím viac urobíme zásahov. 9

5.3 Presnosť metódy Monte Carlo K odhadu chyby výsledku získaného metódou Monte Carlo sa väčšinou používa stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru. Chyba výsledku získaného pomocou n histórií je úmerná. Takže aby sa zlepšil výsledok o jeden rád musí sa počet histórií zvýšiť aspoň o dva rády. Aby sme získali výsledok s presnosťou na 6 desetinných miest, na čo už musíme získať 10 12 histórií. 10

6 VLASTNÁ PRÁCA VÝSLEDKY Pokus č. 1: Z definícií vieme, že pravdepodobnosť pri hodení mincou pre obidve strany je 1/2. Na to aby sme zistili či v praxy sa dá toto tvrdenie využiť sme hádzali mincou apoň sto krát. Na minci môže padnúť líce alebo rub, označíme to ako l a r. lrlllrlrll rllrrrllrr llrlrlrlrl lrlrllllrl rllllrrllr rrllrrrlrr lrrlrlrrll rrrlllrrll llrlrrrlrr lrrrrrrlrr Z výsledkov zapíšeme P(l)= 49/100 P(r)= 51/100 Vidíme, že keby sme urobili nekonečne veľa pokusov dostali by sme sa až k číslu 1/2. Pokus č. 2: Pri hode tromi kockami máme určiť súčet na kockách, ktorý má najväčšiu pravdepodobnosť, že padne. Najlepšie je keď si tipneme súčet desať alebo jedenásť. Na tieto dva súčty je najvyššia pravdepodobnosť. Urobíme si pravdepodobnosť všetkých možných súčtov, a tak dospejeme k výsledku. Najskôr sa nám bude P zvyšovať zo zvyšovaním súčtov, pri súčtoch 10 a 11 bude rovnaká a od 12 a vyššie, bude klesať. My si vypíšeme len súčet 11 (rovnakým postupom dosiahneme všetky výsledky). Riešenie: Súčet 11 n = V*(3,6) = 6 3 = 216 11

Pokus č. 3: V hazardnej číselnej hre sa losuje 6 čísiel zo 49 čísiel. Aká je pravdepodobnosť uhádnutia všetkých 6 čísel? Riešenie: Všetkých možných kombinácií je C(49,6) = 13 983 816. My chceme uhádnuť všetkých 6 vylosovaných čísel, takže pravdepodobnosť že sa nám to podarí je : 12

7 ZÁVER Dúfame, že sme dostatočne zodpovedali na otázky vytýčené v úvode a dúfame, že sa nám podarilo vás motivovať k ďalšiemu skúmaniu tejto nádhernej oblasti matematiky. Ako vidíte význam teórie pravdepodobnosti je naozaj veľký a obsiažny. Naše pátranie zakončíme citátom:,,...najpresvedčivejšie argumenti pre to, akú hodnotu matematika skutočne má, poskytuje teória pravdepodobnosti... ( Hanse Freudenthala ). 13

8 ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚTY 1. http://sk.wikipedia.org 2. http://cz.wikipedia.org 3. Adam Plocki: O náhode a pravdepodobnosti. Praha: Mier 1982. 14