MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu. Prema tome, rezultat merenja se izražava brojem i odgovarajućom jedinicom (mada postoje fizičke veličine koje nemaju jedinicu - tzv. bezdimenzione veličine, npr. indeks prelamanja, koeficijent trenja, itd.). Postoje neposredna (direktna) i posredna (indirektna) merenja. Ako se vrednost merene fizičke veličine određuje neposrednim upoređivanjem sa jedinicom, onda se takvo merenje naziva neposredno. Ako se, pak, određivanje vrednosti neke fizičke veličine obavlja sračunavanjem uz pomoć formule i vrednosti nekih drugih fizičkih veličina koje su izmerene direktno, onda je reč o posrednom merenju. Ponavljanjem merenja, pri istim uslovima, dobijaju se uglavnom različite vrednosti merene fizičke veličine. To znači da se merenja nikada ne mogu sprovesti sa idealnom tačnošću, i da se izmerena vrednost uvek, više ili manje, razlikuje od tačne vrednosti. Ako se izmerene vrednosti urede u neopadajući niz, onda je osnovni rezultat merenja interval koga određuju najmanja (minimalna) i najveća (maksimalna) izmerena vrednost. Logično je očekivati da se tačna vrednost merene fizičke veličine nalazi unutar ovog intervala. Prema tome, merenjem se ne može odrediti tačna vrednost, već samo interval u kome se ona nalazi. Odstupanje rezultata merenja od tačne vrednosti naziva se greška merenja. Greške se mogu podeliti na: sistematske greške slučajne greške grube greške (omaške) Sistematske greške deluju u jednom smeru, tj. dovode do realizacije merene vrednosti koja je uvek veća, ili uvek manja od tačne vrednosti. One mogu biti teorijske (greške metoda merenja), instrumentalne (npr. konačna tačnost kalibracije, odstupanje od linearnosti) i brojne (nedovoljna tačnost konstanti i parametara u sračunavanju). Slučajne greške nastaju kao rezultat manjeg ili većeg broja različitih uticaja koji uslovljavaju tačnost merene veličine, i koje je nemoguće pojedinačno kontrolisati ili predvideti. Slučajne greške se mogu opisati zakonima teorije verovatnoće i matematičke statistike. Grube greške nastaju usled nepažnje eksperimentatora, i nisu dozvoljene! Veličina sistematske greške definiše tačnost, a veličina slučajne greške definiše preciznost eksperimenta i rezultata merenja. X X X X X X X X X X X X X Tačno merenje Precizno Tačno i precizno 1
Odnos sistematske i slučajne greške: T.V. T.V. Sl. gr. > sis. gr. Sis. gr. > sl. gr. Sis. gr. sl. gr. Zaključujemo da, ako želimo da se tačna vrednost merene veličine nađe unutar intervala izmerenih vrednosti, potrebno je smanjiti sistematsku grešku. Na osnovu dosadašnje analize, jasno je da se eksperimentom, odnosno merenjem, ne može odrediti tačna vrednost, već samo interval u kome se ona nalazi, uz pretpostavku o eliminisanoj (smanjenoj) sistematskoj greški. Tačna vrednost merene fizičke veličine se procenjuje na osnovu rezultata merenja. Na osnovu teorijskih razmatranja, pokazuje se da se tačna vrednost najefikasnije procenjuje kao srednja vrednost merenja: 1 + +... + n i= 1 = sr = = n n Ovakva procena je utoliko bolja ukoliko je broj merenja n veći. Apsolutna greška merenja predstavlja odstupanje izmerene od tačne vrednosti. Pošto je tačna vrednost nepoznata, apsolutna greška se procenjuje kao odstupanje izmerene vrednosti od srednje vrednosti: =. i Jasno je da apsolutne greške mogu biti i pozitivne i negativne, i da se izražavaju u istim jedinicama kao i merena fizička veličina. Relativna greška merenja predstavlja količnik apsolutne greške i tačne vrednosti merene veličine. Ona se određuje kao: i i sr Ri = =, sr sr i očigledno predstavlja bezdimenzioni, pozitivni ili negativni broj. Relativna greška merenja se vrlo često izražava i u procentima, pri čemu se najčešće posmatra samo njena apsolutna vrednost: i R i [%] = 100 sr Ukoliko je broj izvršenih merenja veliki, onda najviše informacija o merenju može da pruži srednja kvadratna greška σ, koja se određuje kao: ili σ = i sr n ( ) + ( ) + + ( ) 1 sr sr n 1 i. ( ) i... n1 sr i= 1 = n 1 Rezultat merenja se najčešće prikazuje u sledećim oblicima: ± σ, = sr = sr ± ma gde je ma apsolutna vrednost maksimalne apsolutne greške., n.
Pored grešaka koje se javljaju usled nepažnje tokom eksperimenta, tj pogrešnog očitavanja skale, greške se mogu javiti i pri svim eksperimentalnim merenjima. Najuobičajnije greške su greške usled paralakse, greške očitavanja i greške nule. Na slici 1. je prikazan primer greške paralakse koja se može javiti pri očitavanju dužine pomoću lenjira: (1) () (3) Lenjir Objekat koji se meri Slika 1. Greška paralakse koja se javlja pri očitavanju dužine pomoću lenjira U položaju (1) se javlja grška paralakse pri očitavanju, pa se očitava 31.4 cm. U položaju () se ne javlja grška paralakse pri očitavanju ispravan položaj. U položaju (3) se javlja grška paralakse pri očitavanju, pa se očitava 31.5 cm. Izbegavanje greške paralakse pri očitavanju nivoa tečnosti se postiže ukoliko se očitavanje vrši kada je oko poravnano sa vrhom ili dnom meniska (slika.). oko je poravnano sa vrhom meniska oko je poravnano sa dnom meniska Slika. Pravilno očitavanje nivoa tečnosti Greška očitavanja se može javiti i usled proizvoljnosti pri čitanju sa skale ukoliko vrednost leži između podeoka skale, kao što je prikazano na slici 3. Vidi se da na termometru treba očitati vrednost između 36.8 o C i 36.9 o C, pa je najbolja procena polovina podeoka, što daje vrednost od 36.85 o C. Naravno da se i u ovom slučaju očitavanje nivoa tečnosti treba da obavlja prema vrhu meniska. Slika 3. Očitavanje sa skale kada vrednost leži između podeoka skale Greška nule se javlja ako merni instrument ne pokazuje nulu kada bi trebalo. Ukoliko se uoči takvo odstupanje, treba podesiti instrument tako da pokazuje nulu u odgovarajućem položaju. Ukoliko to nije moguće, pri očitavanju treba uzeti u obzir uočeno odstupanje. Naime, pri svakom sledećem očitavanju se dodaje ili oduzima odstupanje uočeno na korišćenom instrumentu. Na 3
primer, ako se koristi nonijus, kada je zatvoren kljun nonijusa treba da se na lenjiru nonijusa očitava 0. Na slici 4a je prikazan primer koji pokazuje da, kada je zatvoren kljun nonijusa, na lenjiru se očitava 0.1 mm, pa to predstavlja grešku nule. Zato, pri merenju, tj. pri svakom očitavanju treba oduzeti 0.1 mm, kao što je prikazano na slici 4b. Ukoliko se pri merenju sa nonijusa očitava vrednost 64.9 mm, onda je stvarna dužina 64.9 mm 0.1 mm = 64.8 mm. (a) (b) Slika 4. Greška nule (a), korekcija grške nule oduzimanjem uočene greške (b) Takođe se greška nule može javiti i pri merenju lenjirom ako su krajevi lenjira istrošeni, kao što je prikazano na slici 5. U ovom slučaju, korekcija se vrši tako što se za početnu referentnu vrednost usvoji npr. 10 mm, pa se od nje meri, a onda se od očitane vrednosti oduzme 10 mm. Istrošena, iskrzana početna ivica Slika 5. Korekcija pri merenju istrošenim lenjirom Naravno, osim grešaka do kojih dolazi pri samom merenju, mogu se javiti i greške pri obradi rezultata merenja, tj. pri računaju i pri zaokruživanju dobijenih rezutata. Naime, nekada nije od bitne važnosti da se greške izražavaju sa krajnjom mogućom tačnošću. Tada se koristi izražavanje rezultata merenja pomoću sigurnih i nesigurnih cifara. Na primer, ako je neka izmerena dužina izražena kao 5.43 cm, ne možemo biti sigurni da li je poslednja cifra baš 3, ili je možda ili 4. Zbog toga su 5 i 4 sigurne, a 3 nesigurna cifra. Posmatrano na drugi način, to znači da je maksimalna apsolutna greška 0.01 cm. Ako se ima približan broj sa više cifara nego što je u daljem radu potrebno, onda se vrši zaokruživanje, tj. odbacivanje suvišne decimale višeg reda (ako je broj decimalan), tj. cifre sa celih mesta zamenjujemo nulama (ako je broj ceo). Na primer:.73913.739, 50 474 81 50 475 000 Pravila zaokruživanja: Ako je prva cifra koja se odbacuje 0,1,,3, ili 4, popravka se ne vrši (tj. poslednja zadržana cifra se ne menja). Primeri zaokruživanja: 8 330 8 300 = 8.3 10 4 4 439 010 000 439 000 000 = 4.39 10 8 Ako je prva cifra koja se odbacuje 6,7,8 ili 9, popravka se vrši (tj. poslednja zadržana cifra se povećava za jedan). Primer zaokruživanja: 0.006385 0.00633 = 6.33 10-3 Ako je prva cifra koja se odbacuje 5, a iza nje ima cifara različitih od nule, popravka se vrši. Primer zaokruživanja: 0.08556 0.086 =.86 10 -
Ako je prva i jedina cifra koja se odbacuje 5 (tj. iza nje su samo nule), popravka se vrši ako je poslednja zadržana cifra neparna, a ne vrši ako je poslednja zadržana cifra parna (tzv. pravilo parne cifre). Primeri zaokruživanja: 5.475 5.48 5.485 5.48 0.0855 0.086 =.86 10 - Značajne cifre Prilikom računskih operacija sa približnim brojevima potrebno je voditi računa o značajnim ciframa. Značajne cifre su sve one osim nula na levoj stani (koje samo određuju položaj decimalnog mesta u decimalnom broju) i nula na desnoj strani (koje zamenjuju odbačene ili nepoznate cifre). Odnosno, broj značajnih cifara neke veličine je broj cifara u toj veličini ako se zanemare nule na početku ili kraju broja i ne uzme se u obzir položaj decimalnog zareza. Tako, ako se očita 803 mm, rezultat ima 4 značajne cifre bez obzira kako se napiše:.803 m ili 0.00803 km. Uvek je prva značajna cifra, a 3 četvrta značajna cifra. Primeri: 0.4080 - sve su cifre značajne (podvučene) 0.00481 - tri poslednje (podvučene) cifre su značajne 0.54340 - pet značajnih cifara (podvučne) 30 800 - prve četiri cifre su značajne (podvučene). Pri procesu smanjivanja broja navedenih cifara, poslednja značajna cifra se izostavlja i nova poslednja cifra se menja u zavisnosti od one koja se izostavlja. 7. 3935 Navedeno 5 značajnih cifara 7. 394 Zaokruženo na 4 značajne cifre 7. 39 Zaokruženo na 3 značajne cifre 7. 4 Zaokruženo na značajne cifre 7 Zaokruženo na 1 značajnu cifru 0.08873 Navedene 4 značajne cifre 0.0887 Zaokruženo na 3 značajne cifre 0.089 Zaokruženo na značajne cifre 0.09 Zaokruženo na 1 značajnu cifru 9.00 Navedene 4 značajne cifre 9.0 Zaokruženo na 3 značajne cifre 9 Zaokruženo na značajne cifre 30 Zaokruženo na 1 značajnu cifru Prilikom sračunavanja proizvoda, u rezultatu treba sačuvati onoliko značajnih cifara koliko ih ima onaj činilac koji ima najmanje značajnih cifara. Na primer, ako treba sračunati zapreminu paralelepipeda V, čije su ivice 54.3 cm, 340.6 cm i 0.08 cm, zapremina će biti: V = 54.3 340.6 0.08 cm 3 = 7 10.39556 cm 3 7 100 cm 3. Ako je, pak, reč o sabiranju i oduzimanju, onda treba voditi računa o sigurnim i nesigurnim ciframa. Na primer, obim jedne stranice pomenutog paralelepipeda sa ivicama 340.6 cm i 0.08 cm biće: 5
O = (340.6+0.08) cm = 681.364 cm 681.4 cm, tj., rezultat ima nesigurnu cifru 4 na prvom decimalnom mestu, što je posledica nesigurne cifre 6 na prvom decimalnom mestu broja 340.6 cm. Važna napomena: Pošto se prilikom sračunavanja vrednosti neke fizičke veličine najčešće javlja više od jedne računske operacije, onda se za sve međurezultate koristi nezaokružena vrednost, ili bar zaokružena vrednost koja ima jednu značajnu ili nesigurnu cifru više od konačnog rezultata. U fizici se često pri radu sa fizičkim veličinama, čija je vrednost puno veća ili puno manja od osnovne jedinice, koriste prefiksi jedinica koji se stavljaju ispred jedinice, čime se definišu veće ili manje jedinice od osnovne. Naravno, i u građevinarstvu se koriste ne samo osnovne jedinice, nego i one koje su veće ili manje od osnovne jedinice, uz primenu odgovarajućih prefiksa. Prefiksi su dati u tabeli. Naziv prefiksa Oznaka prefiksa Vrednost prefiksa ato a 10-18 femto f 10-15 piko p 10-1 nano n 10-9 mikro µ 10-6 mili m 10-3 centi c 10 - deci d 10-1 deka da 10 1 hekto h 10 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 1 peta P 10 15 eksa E 10 18 6
Ime i prezime Broj indeksa Dopuniti sledeću tablicu: VEŽBANJA Broj merenja Rezultat merenja Srednja vrednost Apsolutna greška Relativna greška i i (Ω) sr (Ω) i (Ω) R i (%) 1 37.0 36.8 3 36.8 4 36.9 5 35.1 6 37.1 Izraziti preko osnovnih jedinica u eksponencijalnom obliku sledeće vrednosti: 86. pf = 63 nc = 35 GHz= 11 fm = 300 EJ = 7
Zaokružiti sledeće brojeve: 3.14159654 na 6 značajnih cifara. Rezultat:.718818 na decimale. Rezultat: 0.69314718 na 3 značajne cifre Rezultat: 9.445550009 sukcesivno, smanjujući jednu po jednu značajnu cifru. Rezultat: 836 556 809 sukcesivno, smanjujući jednu po jednu značajnu cifru. Rezultat: 8
Na osnovu formule λ = d sin θ sračunati talasnu dužinu svetlosti λ i izraziti je u nanometrima (nm) ako je θ d [ ] = l, za sledeće slučajeve: 1. d=(1/10) mm d = 37.63 l =36.96 λ =. d=(1/10) mm d = 37.60 l =36.86 λ = 3. d=(1/10) mm d = 37.6 l =37.07 λ = Na osnovu formule 9
c = (l -l 1 ) ν izračunati brzinu zvuka c, i izraziti je u jedinicama m/s, za sledeće slučajeve: 1. ν =51 Hz l 1 = 16.0 cm l = 49.9 cm c =. ν =104 Hz l 1 = 7.3 cm l = 4. cm c = 10