Mehanika I. dio Mehanika I Obavezna literatura: V. Andrejev: Mehanika I. dio Statika www.sfsb.hr/ksk/statika www.mating.hr/prim_mehanika Ostala literatura: A. Kirienko: Tehnika mehanika I. dio-statika V. Špiranec: Tehnika mehanika Zbirke zadataka Fizika Fizika je fundamentalna prirodna nauka koja prouava: opa svojstva i zakone gibanja materije. Materija je u stalnom gibanju koje se zbiva prostoru i vremenu. Najstarija i osnovna grana fizike je: MEHANIKA MEHANIKA Mehanika je prirodna nauka koja se temelji na opažanju, iskustvu i eksperimentu. Mehanika prouava gibanja materijalnih tijela. Gibanje je najopenitiji oblik postojanja materije. 3 4 Mehanika Zadatak mehanike je prouavanje opih zakona mehanikog gibanja. Mehaniko gibanje je najjednostavniji oblik gibanja materije koje se prikazuje kao premještanje materijalnih tijela u prostoru i vremenu. Materijalno tijelo Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ogranieni prostor ispunjen materijom. Uzrok gibanju tijela je djelovanje jednog tijela na drugo. 5 6
Materijalno tijelo Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ogranieni prostor ispunjen materijom. Glavna svojstva materijalnih tijela su: oblik obujam položaj i ona ine prostorno stanje tijela. Promjenu oblika i obujma tijela nazivamo deformacijom, a promjenu položaja tijela gibanjem. Gibanje tijela uzrokuje sila. 7 8 Gibanje Desni koordinatni sustav a) Translacija b) Rotacija 9 0 Idealizacija realnog vrstog tijela u mehanici Mehanike analize se za realno vrsto tijelo izvode na idealiziranim modelima tijela.. Mehanika kontinuum Kontinuum Kontinuum je idealizirani model tijela za koji pretpostavljamo da je cijeli obujam tijela jednoliko ispunjen materijom.. Fizika diskretna raspodjela materije po obujmu tijela
Mehanika. Mehanika krutog tijela a) kontinuum b) apsolutno kruto tijelo. Mehanika deformabilnih tijela a) kontinuum Apsolutno kruto tijelo Apsolutno kruto tijelo je idealizirani model pod kojim podrazumijevamo tijelo koje ne mijenja niti oblik niti obujam pod djelovanjem vanjskih sila. 3 4 Materijalna toka Kod materijalne toke sva materija tijela skoncentrirana je u težištu tijela Idealizacija realnog vrstog tijela u mehanici U mehanikoj analizi dimenzije tijela nemaju nekog znaenja. Materijalna toka predstavlja najgrublji stupanj idealizacije realnog vrstog tijela. 5 6 Podjela mehanike Statika Statika je grana mehanike koja prouava djelovanje sila na tijelo u stanju mirovanja. To su sluajevi ravnoteža sila. 7 8 3
Kinematika Kinematika je grana mehanike koja prouava gibanja materijalnih tijela, povezuje položaje tijela s vremenom ne uzimajui u obzir uzroke koji ta gibanja izazivaju. Kinematika - geometrija gibanja Dinamika Dinamika je opa nauka o mehanikom gibanju koja prouava gibanja materijalnih tijela i uzroke zbog kojih ta gibanja nastaju i mijenjaju se. Uzrok sila Posljedica gibanje Gibanje je samo posljedica nekog uzroka a to je sila. 9 0 Statika materijalne toke Statika Statika apsolutno krutog tijela u ravnini u prostoru u ravnini u prostoru Sile na tijelo Vanjske sile Mehanika Newtonova mehanika koja se temelji na mehanikoj analizi inženjerskih problema (7. stoljee) Kvantna mehanika koja prouava gibanje malih materijalnih estica (atomi, elektroni) Relativistika mehanika (Teorija relativnosti, Einstein 0. stoljee) koja prouava gibanja materijalnih tijela velikim brzinama, reda veliine brzine svjetlosti c = 300 000 km/s. u ravnini u prostoru Povijest Mehanika je prirodna nauka koja se temelji na opažanju, iskustvu i eksperimentu. Tijesno je povezana sa životom ovjeka koji svjesno ili nesvjesno primjenjuje zakone mehanike. Najstarija grana fizike (Grci, Egipani, Babilonci i drugi).. Arhimed 3. st. prije Krista. Leonardo da Vinci 5. st. 3. Galileo Galilei 6. st. 4. Isaac Newton 7. st. 3 4 4
. Arhimed 3. st. prije Krista - Arhimedov zakon (poklik Heureka!); položio osnove hidrostatici, zakon plivanja, zakon poluge i odredio približnu vrijednost broja Π (Aristotel 4. st. prije Krista geocentriki sustav) (Giordano Bruno) (Kopernik 5. st. heliocentriki sustav; Kepler). Leonardo da Vinci 5. st. bavio se prouavanjem vrstoe tehnikih konstrukcija, eksperimentalnim istraživanjima proste grede i konzole. 5 3. Galileo Galilei (6. st.) prvi je primijetio da mehanika krutih tijela nije dovoljna za rješavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija te da se moraju uzeti u obzir fizikalna svojstva materijala. Postavio temelje mehanike deformabilnih tijela. ( Eppur si muove - Ipak se kree!) 6 4. Isaac Newton 7. st. 4. Isaac Newton 7. st. Matematika naela prirodne filozofije (Philosophiae naturalis principia matematica) položio je temelje mehanici kao znanosti. Aksiomi mehanike 7 8 Robert Hooke (635-703) prouava elastina svojstva materijala. Eksperimentalnim ispitivanjima na oprugama, žicama i drvenim konzolama pronalazi Zakon o linearnoj ovisnosti optereenja i deformacija pri rastezanju, na kojoj je kasnije izgraena mehanika elastinih tijela. Jakob Bernoulli (654-705) prouavao je oblik savijene grede i postavio jednu od važnijih hipoteza u znanosti o otpornosti materijala - hipotezu ravnih presjeka. L. Euler (700-783) istraživao je stabilnost pritisnutih štapova. C. A. Coulomb (785-806) prouava meu prvima torziju okruglog štapa, mehanika svojstva materijala, odredio granicu elastinosti za neke materijale, dao tono rješenje savijanja konzole T. Young (773-89) dao je matematiku formulaciju Hookeovog zakona i uveo pojam modula elastinosti E pri rastezanju i pritisku, koji se naziva Youngovim modulom. Uvodi i pojam posminog naprezanja. Prvi je poeo prouavanje djelovanje dinamikog optereenja. L. Navier (785-836) izdaje 86. prvi udžbenik o otpornosti materijala. Za razliku od ostalih istraživaa, koji su tražili optereenje koje dovodi do rušenja konstrukcije, on je tražio optereenje do kojeg se konstrukcija ponaša potpuno elastino bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulirao ope jednadžbe ravnoteže. A. L. Cauchy (789-857) uvodi pojam glavnih naprezanja i glavnih deformacija te dokazuje zakon o uzajamnosti posminih naprezanja. Ostali istraživai su: Poisson (koeficijent ν), Lame (koeficijenti λ i µ), Mohr (kružnice naprezanja), Saint-Venant (teorija plastinosti), Huber, Mises, Hencky (HMH teorija loma), Rankin, Maxwell, Clapeyron, Castiglian, Betti, Prandtl, Timošenko, Mushelšvilia, Ostrogradski i dr... Aksiomi mehanike. Aksiom: Zakon tromosti. Aksiom: Temeljni zakon gibanja 3. Aksiom: Princip akcije i reakcije 9 30 5
. Aksiom - Zakon tromosti Tijelo ustraje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog gibanja sve dok ne bude prisiljeno djelovanjem drugog tijela promijeniti to stanje. Tromost tijela je svojstvo tijela da ne mijenja svoju brzinu kojom se jednoliko giba po pravcu. Veliinu opiranja tijela promjeni brzine nazivamo masom tijela m. 3. Aksiom Temeljni zakon gibanja Sila je promjena koliine gibanja u vremenu F d( m v) = dt [ N ] 3 3. Aksiom: Princip akcije i reakcije Dva tijela djeluju uvijek uzajamno, jedno na drugo, silama koje su po veliini jednake ali suprotna smjera. Akciji je uvijek jednaka i suprotno usmjerena reakcija Važna posljedica: sila nikada ne djeluje pojedinano nego se sile uvijek javljaju u paru paru! 33 Zakoni mehanike kruto tijelo 4. Zakon o privlaenju masa 5. Zakon o paralelogramu sila 6. Zakon superpozicije 7. Zakon o održanju istog djelovanja (+, -) 8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja 9. Princip o održanju mehanike energije 0. D Alembert-ov princip 34 4. Zakon o privlaenju masa m m F = k r Zakoni mehanike kruto tijelo 5. Zakon o paralelogramu sila Stevinus 7. st. Djelovanje na tijelo sustava sila F i F ekvivalentno djelovanju jedne sile rezultante F R koja predstavlja dijagonalu paralelograma. 35 F = F + F = F + F R 36 6
6. Zakon superpozicije Zakon o neovisnosti djelovanja sila 6. Zakon o neovisnosti djelovanja sila - zakon superpozicije = + Sile u pridržajnim štapovima: R = R Sile u pridržajnim štapovima? (V) (H) 37 R3 = R3 + R3 38 R = R (V) (V) + R + R (H) (H) 7. Zakon o održanju istog djelovanja Stanje ravnoteže ili jednolikog gibanja nee se promijeniti ako se tijelu doda (+) ili oduzme uravnoteženi sustav sila. 7. Zakon o održanju istog djelovanja Stanje ravnoteže ili jednolikog gibanja nee se promijeniti ako se tijelu doda ili oduzme (-) uravnoteženi sustav sila 39 40 8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja 8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja (+) (-) Sila na kruto tijelo je klizni vektor! 4 4 7
9. Princip o održanju mehanike energije E k + E p = konstantan 0. D Alembert-ov princip Ako na tijelo koje se giba dodamo silu inerciju u smjeru suprotnom od smjera gibanja uspostavljamo fiktivnu ravnotežu u promatranom trenutku gibanja. Tako dinamiki problemi svodimo na statiki problem i rješavamo sluaj ravnoteže sila. Veliine u mehanici. Skalari (tenzori 0. reda). Vektori (tenzori I. reda) 3. Tenzori II. reda 4. Tenzori IV. reda 43 44. Skalari: 3 0 = podatak + mjerna jedinica (tenzori nultog reda) Meunarodni sustav mjere (SI). Vektori: 3 = 3 podatka + mjerna jedinica (tenzori prvog reda) 3. Tenzori drugog reda 3 = 9 podataka + mjerna jedinica Naziv Oznaka Jedinica Naziv duljina l m metar masa m kg kilogram vrijema t s sekunda 4. Tenzorietvrtog reda 3 4 = 8 podatak + mjerna jedinica 45 46. Skalari. duljina l (m). masa m (kg) 3. vrijeme t (s) 4. površina A (m ) 5. obujam V (m 3 ) 6. gustoa ρ (kg/m 3 ) 7. kut α ( ) (rad) 8. temperatura T ( C) (K) 9. rad W (J = Nm) 0. snaga P (W = Nm/s). energija E (J= Nm). pritisak p (Pa = N/m ) Rad: Sila na putu Snaga: (Skalarni produkt vektora) Moment na kutu W = F s Rad u jedinici vremena = F s cosα W = M ϕ dw P = dt 47 48 8
Energija. Vektori Kinetika energija Potencijalna energija E k = mv E p = mgh. radijus vektor r (m). vektor pomaka (m) 3. brzina (m/s) 4. ubrzanje a (m/s ) s v 5. koliina gibanja K = m v (kgm/s=ns) 6. sila F = m a (N=kgm/s ) 49 50 Vektori - nastavak 5. koliina gibanja (kgm/s=ns) 6. sila (N=kgm/s ) 7. statiki moment sile obzirom na neki pol (Nm) 8. moment koliine gibanja L = r m v (Nms) 9. impuls sile I = F t (Ns) K = m v M o = r F F = m a 3. Tenzori II. reda. Tenzor naprezanja. Tenzor deformacija ij = ij xx yx zx = xx yx zx xy yy zy xy yy zy xz yz zz xz yz zz 5 5 3. Tenzori II. reda Prefiksi dekadskih jedinica Tenzor naprezanja Tenzor deformacija x ij = τ yx τzx x = ij γ γ yx zx τ τ γ y γ xy y zy xy zy τxz τ yz z γ xz γ yz z piko p 0 nano n 0 9 mikro µ 0 6 mili m 0 3 centi c 0 deci d 0 osnovna jedinica 0 0 = 53 54 9
Prefiksi dekadskih jedinica osnovna jedinica 0 0 = deka da 0 hekto h 0 kilo k 0 3 Mega M 0 6 Giga G 0 9 Tera T 0 Sila Vektor - Tenzor I. reda 3 = 3 podatka + mjerna jedinica. Hvatište. Pravac ili smjer djelovanja 3. Intenzitet iznos Mjerna jedinica: Newton (N) 55 56 Sila II. Newton-ov aksiom Sila d(mv) dv kg m F = = m = m a (N = ) dt dt s Sila vlastite težine: G = m g. Hvatište: u težištu. Pravac djelovanja: vertikalan 3. Iznos: G = m g 57 58 Gravitacija g - Pol g = 9,83 m/s - Ekvator g = 9,78 m/s Mjerenje sile vaganjem mase m dinamometrom a) pomou deformacije opruge b) pomou deformacija prstena s enim mikrometrom - 45 paralela sjeverne geografske širine (Senj sunani sat) g = 9,8 m/s 59 60 0
Opruga F = k x Prsten F = k u Vrste vektora:. Vezani vektor M o = r F - statiki moment sile obzirom na pol. Klizni vektor F - sila na kruto tijelo; 8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja mehanike 3. Slobodni vektor - moment sprega sila M = h F F; - F 6 6. Statiki moment sile obzirom na pol O M o = r F. Sila na kruto tijelo je klizni vektor! (8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja) 63 64 3. Spreg sila Sustav sila (n>) Dvije sile jednakih intenziteta na paralelnim pravcima suprotnog smjera M = h F A. Podjela sustava sila: a) kolinearne sile (na pravcu) b) komplanarne sile (u ravnini) c) prostorne sile. 65 66
Sustav sila B. Podjela sustava sila prema meusobnom položaju pravaca djelovanja: a) konkurentne sile b) paralelne sile c) ope sile. 67 68 Komplanarne sile Prostorne sile ope ope konkuretne paralelne konkuretne paralelne kolinearne 69 70 Sustav sila C. Podjela sustava sila: a) koncentrirane sile F (N) b) kontinuirane sile jednolikog ili nejednolikog intenziteta q. po dužini (pravcu) q (N/m) kontinuirano optereenje po pravcu: jednolikog intenziteta kontinuirano optereenje po površini kontinuirano optereenje: nejednolikog intenziteta. po površini 3. po obujmu q (N/m ) 3 q (N/m ) 7 7
Sustav sila D. Podjela sustava sila: Sile na tijelo a) statike sile F = konstantno Vanjske sile Sile presjeka ili unutrašnje sile b) dinamike sile Fdin = F(t) 73 74 Sile na tijelo Sile na tijelo Vanjske sile Sile presjeka ili unutrašnje sile Vanjske sile Sile presjeka ili unutrašnje sile Aktivne sile Reaktivne sile Aktivne sile Reaktivne sile Sile veza Sile trenja 75 76 Hvala na pažnji! Sile na tijelo Vanjske sile Sile presjeka ili unutrašnje sile Aktivne sile Reaktivne sile Normalna sila N Sile veza Sile trenja Poprena sila T z Moment uvijanja M t Moment savijanjam y 77 78 3