54 URČENE MOMENU ZORVAČNOS FYZKÁLNEHO KYVADLA doc. g. Júlus Štela, CSc. eoetcký úvod: Fyzkálym kyvadlom ozumeme teleso (ap. dosku, tyč), ktoé vykoáva peodcký o d α Gp α GN G kmtavý pohyb okolo os, ktoá epechádza ťažskom. Schematcky je takéto kyvadlo zázoeé a ob. 1. Píčou jeho pohybu je tažová sla G pôsobaca v ťažsku telesa. eleso vychýleé z ovovážej polohy o uhol α do ovovážej polohy vaca zložka sly G p (ob.1). Ak kyvadlo kýva v ove ákese (ob.1) a os O je a ákesňu kolmá, potom pohybová ovca takéhoto fyzkáleho kyvadla je M ε (1) kde M je vekto mometu sly, momet zotvačost a ε vekto uhlového zýchlea. Pozámka: Momet zotvačost pe teleso so spojte ozložeou hmotosťou je defovaý vzťahom dm, kde M je hmotosť telesa a je vzdaleosť hmotého elemetu dm od os M Ob. 1 otáčaa. Pe sústavu hmotých bodov je momet zotvačost defovaý vzťahom kde m je hmotosť -teho hmotého bodu a je jeho vzdaleosť od os otáčaa. 1 m,
Kyvadlo zázoeé a ob. 1 vykoáva kmty v ove ákese okolo os O kolmej a ákesňu. Veľkosť momet sly je daá vzťahom 55 ( G s α) d mgd s α M G p.d () kde m je hmotosť telesa, g je tažové zýchlee a d je vzdaleosť ťažska od os, okolo ktoej sa kyvadlo kýva. Zameko (-) vo vzťahu () vyjaduje tú skutočosť, že sla Gp smeuje vždy do ovovážej polohy). Veľkosť uhlového zýchlea je daá vzťahom d α ε. (3) dt Keď ovcu (1) vyjadíme v skaláom tvae, Mε, dosadíme do ej vzťahy () a (3) a keď euvažujeme tlmace sly (teda máme a mysl hamocké kmty etlmeé) dostaeme po úpave pohybovú ovcu fyzkáleho kyvadla v tvae: d α + mgd sα. (4) dt Pe malé výchylky s α " α (ádovo do 5 ) a po ďalšej úpave (vydelíme ovcu (4) velčou ) dostávame ovcu d α mgd + α dt. (5) Rovca (4) je dfeecála ovca. ádu s koštatým koefcetam. Jej ešee má ap. tva ( ω ϕ) α α cos t +, (6) kde α je okamžtá uhlová vychýlka v daom čase t, α je maxmála uhlová výchylka z ovovážej polohy, ϕ počatočá fáza alebo tež fázová koštata a velča (ωt+α) je fáza kmtaa. Ak fukcu (6) zdevujeme dvakát podľa času a dosadíme do (5) a súčase (6) dosadíme za α, ľahko sa pesvedčíme, že (6) je ešeím ovce (5) vtedy, keď ω mgd/, mgd ω. (7) (Zápoá hodota ω emá fyzkály výzam). Velča ω je uhlová fekveca kyvadla. Pe peódu kmtaa (ω π/ ) dostávame vzťah π. (8) mgd A z eho pe momet zotvačost vyplýva
56 mgd. (9) 4π Ak ap. pomocou ektoej z fyzkálych metód učíme peódu a velčy m, d (g9,81ms - ) budeme podľa vzťahu (9) vedeť učť momet zotvačost vzhľadom a uvažovaú os, okolo ktoej kyvadlo vykoáva peodcký pohyb. Ako vyplýva z pohybovej ovce (1) otujúceho telesa (kyvadla), momet zotvačost plí úlohu mey zotvačých vlastostí otujúceho telesa. Jeho hodotu potebujeme vedeť ap. p učeí ketckej eege otujúceho telesa 1 E ω KR a podobe. d ova ezu kolmá a ákesňu Ako je záme z dyamky tuhého telesa, ak pozáme momet zotvačost otujúceho telesa vzhľadom a učtú os, môžeme učť momet zotvačost vzhľadom a ú os, ktoá je s ňou ovobežá, pomocou Steeovej vety, ktoá hovoí: Momet zotvačost telesa vzhľadom a os, epechádzajúcou ťažskom, sa ová mometu zotvačost vzhľadom a os pechádzajúcu ťažskom, ktoá je s daou osou ovobežá, zväčšeému o m, kde m je hmotosť telesa a je vzájomá vzdaleosť oboch spomíaých osí t.j.: ez uvažovaou ovou + m. (1) O d O o Ob. o m Dôkaz Steeovej vety: uhé teleso chápeme ako sústavu hmotých bodov a momet zotvačost takejto sústavy vzhľadom k ose O je daý vzťahom (ob. ): 1 m, (11) kde m je hmotosť -teho hmotého bodu a je jeho poloha vzhľadom a os O. Poloha -teho hmotého bodu vzhľadom a os O pechádzajúcu ťažskom je daá polohovým vektoom. S ohľadom a toto ozačee môžeme písať vzťah ( + ) + +. (1) Po dosadeí vzťahu (1) do (11) dostaeme 1 + m + 1 1 m m. (13) Pvý čle a pavej stae m m a duhý čle m. Sumačý výaz m v teťom člee je ový ule, lebo vystupuje v čtatel výazu pe polohový vekto ťažska
* m m a te je ový ule (petože polohový vekto ťažska vzhľadom a ťažsko je ový ule). Vzťah (13) potom pejde a tva (1), čo sme chcel dokázať. Pozámka: Veľkosť vektoa v pípade kyvadla ealzovaého vyšše (ob.1) je ová d. Odvodee vzťahu pe momet zotvačost: Odvoďme vzťah pe momet zotvačost homogéej dosky obdĺžkového tvau vzhľadom a os, ktoá pechádza ťažskom tejto dosky a je a dosku kolmá. Uvažovaú dosku oetujme vzhľadom a súadcovú sústavu podľa ob. 3. V ašom pípade os, voč ktoej momet zotvačost učujeme, je totožá s osou z (je kolmá a ákesňu). Momet zotvačost pe štvť dosky (časť achádzajúca sa v pvom kvadate) vyjadíme podľa defíce (poz lt.) 4 M M M dm ( x + y ) ds ( x + y ) dxdy ( x + y ) dxdy M ( b ) 1... M a +. 48 S 57 (14) y M dm, ds b b/ O x dx dy y x Pe plošú hustotu sme použl M dm dm vzťah ρ s a z S ds dxdy eho sme vyjadl hmotosť ekoeče malého elemetu dm. Plocha tohoto elemetu je ds dxdy a jeho poloha vzhľadom a uvažovaú os je x + y. Rozmey celej dosky sú daé staam a, b. Hľadaý momet zotvačost potom bude Ob 3 kde M je hmotosť dosky a a, b jej ozmey. a a/ ( b ) 1 M a + (15) 1 Náčt a pops meaceho zaadea: Fyzkále kyvadlo tvoí homogea kovová doska, ktoá môže vykoávať kmty okolo jedej zo zvoleých osí vytvoeých btom, ktoý môžeme zaskutkovať do zvoleého otvou. Os je vytvoeá dotykovým mestom btu a opoej ploške stojaa. oto uspoadae umožňuje vychýlee dosky o uhol α z jej ovovážej polohy (ob. 4), ktoá sa po uvoľeí bude kývať ako fyzkále kyvadlo. Vložeím btu do ého otvou v doske máme možosť volť vzdaleosť os otáčaa dosky od jej ťažska.
58 b O 3 O O 1 a α Kovová doska Stoja Ob. 4 Metóda meaa a postup p meaí: Vážeím staovíme hmotosť kovovej dosky m. Dosku vážme aj so skutkam a s btom. Učíme ozmey a, b dosky. Vzdaleosť ťažska od os otáčaa (btu) ( 1,, 3,... ) učíme posuvým meadlom. Po ozkývaí kyvadla (dosky), učíme postupou metódou peódu jeho kmtov. Nameaé hodoty peód zapíšeme do asledujúcej tuľky: Os č. 1 a... b... m... 1... 1 [s] ` 1 [s] ` - [s] 1 1 6 6 6 1 5-7 7 7 5-3 3 8 8. - 4 4 9 9. - 5 5 1 1. - 5 5 5 5 5 1 v pvom adku je hodota pvých 1 peód, ktoú sme získal stopkam s medzčasom, atď. Podobý záps uobíme pe zvoleé os č. a č. 3.
59 Úlohy: 1. Postupou metódou učte peódu daého fyzkáleho kyvadla pe t os a. Staovte momet zotvač-ost vzhľadom a teto os. Spacovae výsledkov: 1. Nameaé hodoty peódy kyvadla pe zvoleé os využte pe staovee memetu zotvačost podľa vzťahu (9).. Podľa ovce (1) učte ťažskový momet zotvačost, t. j. (16) m (keď sme učl podľa (9)), p zámej hodote m a. Výsledky získaé podľa vzťahu (16) vyhodotíme asledove 1 1 m1 m 3 3 3 m3 (17) 3. Výsledý momet zotvačost vzhľadom a ťažskovú os vyjadíme z ameaých,, podľa vzťahu 1 3 M 1 3. (18) 4. Zo zámej hodoty hmotost dosky m a jej ozmemov a, b vypočítajte podľa vzťahu (15) tzv. vypočítaý ťažskový momet zotvačost. 5. Vyjadte pecetuálu odchylku od M, to zameá M %. 1% (19) Kotolé otázky: 1. Čo je to fyzkále kyvadlo? Napíšte jeho pohybovú ovcu.. Defujte momet zotvačost vzhľadom a zadaú os. 3. Vyslovte Steeovu vetu. 4. Pečo fyzkále kyvadlo ozkývame le pe uhly α < 5? Úloha je pevzatá, dopleá a opaveá, zo skípt: Doc. RND. Dahoslav Vajda, CSc., Doc. g. Júlus Štela, CSc., RND. Jaoslav Ková, g. Ctbo Musl, CSc., RND. va Bella, Doc. g. go Jamcký, CSc. Návody k loatóym cvčeam z fyzky, vydala Žlská uvezta vo vydavateľstve EDS,. ezmeeé vydae, ok 3.