Názov projektu: CIV Centru Internetového vzdelávania FMFI Číslo projektu: SOP ĽZ 005/1-046 ITMS: 113010011 Úvod Mateatické kvadlo Miroslav Šedivý FMFI UK Poje ateatické kvadlo sa síce nenachádza v povinných učebných osnovách, ale je jedný z najjednoduchších príkladov kitavého pohbu a väčšina učiteľov sa ní na hodinách fzik aspoň čiastočne zaoberá. Môžee ho nájsť aj v učebnici pre 3. ročník gnázia ako riešený príklad. Pri jeho vsvetľovaní vužívae vlastnosť, že pri alých uhloch sa sínus uhla približne rovná jeho veľkosti vjadrenej v oblúkovej iere sin α α. (1) Metódou dnaického odelovania sa však ôžee pozrieť na ateatické kvadlo aj bez tohto obedzenia a naviac ôžee porovnať výsledk oboch postupov. Mateatické kvadlo Najskôr usíe analzovať ateatické kvadlo po fzikálnej stránke. Pre sínus uhla výchlk platí: F sin α. () F G
Uhol α ôžee vjadriť v oblúkovej iere Obr. 1 Mateatické kvadlo kde je výchlka eraná pozdĺž kružnice. Poto platí resp. na guličku pôsobí výslednica síl α rad, (3) l F sin (4) l F G F FG sin g sin. (5) l l K získaniu trajektórie pohbu ná postačí vriešiť diferenciálnu rovnicu vjadrujúcu druhý Newtonov zákon d dt g sin l Znaienko ínus sa v posledno vzťahu vsktuje preto, lebo výchlka je eraná v opačno sere ako pôsobí sila F. (6) Dnaické odelovanie Pozrie sa na vužitie etód dnaického odelovania pri analýze pohbu ateatického kvadla. Z veľkosti pôsobiacej sil F(t) viee určiť zrýchlenie
() t a () t F g sin l gsin. (7) l V prograovo jazku PASCAL zápis saotného dnaického odelu pohbu ateatického kvadla vzerá nasledovne (progra nie je úplný - chýba zaznaenávanie vpočítaných hodnôt a definicie preenných): :0; Určenie začiatočných podienok v:v0; l:1; Paraetre kvadla a prostredia g:9.81; dt:0.0001; Nastavenie počítania času t:0; repeat Saotný cklus výpočtu a:-g/l*sin(); v:v+a*dt; :+v*dt; t:t+dt; until t>10; Z tabuľk a obrázkov názorne vidíe, aký vplv na výsledk á zvolenie veľkosti časového intervalu t. Je zrejé, že pre t < 0,001 s dostávae rovnaké výsledk. Krok t 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 Perióda T,00,060,04,041,041 Maxiálna výchlka [] 0,530 0,54 0,54 0,54 0,54 Tab. 1 Tabuľka závislosti periód a axiálnej výchlk od veľkosti kroku t.
T,50,00,150,100,050,000 1,950 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 t Obr. Vplv veľkosti intervalu na periódu [] 0,53 0,530 0,58 0,56 0,54 0,5 0,50 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 t Obr. 3 Vplv veľkosti intervalu na axiálnu výchlku Priblíženie haronického oscilátora Ak použijee priblíženie (1) pri riešení diferenciálnej rovnice (6) získae diferenciálnu rovnicu d dt g l. (8) Toto je z ateatického hľadiska vlastne rovnica haronického pohbu echanického oscilátora d dt k, (9) kde se použili substitúciu
g k (10) l Riešení rovnice (8) je výraz π sin( ω t) sin t + ϕ, (11) T 0 kde T l π (1) g a ϕ 0 závisí od zvolených začiatočných podienok. Maxiálnu výchlku určíe zo zákona zachovania energie pri haronicko oscilátore 1 1 1 k v0 + k0, (13) teda resp. v našo prípade v 0 + 0, k (14) l v 0 + 0. g (15) Porovnanie Ab se ohli vzájone porovnať výsledk oboch postupov usíe zvoliť nejaké paraetre ateatického kvadla a začiatočné podienk pohbu. Uiestnie kvadlo na Zei, kde je gravitačné zrýchlenie 9,81 s -, nech je dĺžka kvadla 1 a začiatočná výchlka 0. Za dĺžku časového intervalu v dnaicko odelovaní se zvolili 0,0001 s. Porovnanie uskutočníe pri rôznch začiatočných rýchlostiach a budee si všíať hodnot periód a axiálnej výchlk.
začiatočná rýchlosť [s -1 ] 0,0547 0,73 1,61,397 3,13 4,49 perióda,006,007,0410,0864,1530,3678 dnaické axiálna výchlka [] 0,0175 0,087 0,535 0,7853 1,047 1,5706 odelovanie uhol výchlk [ ] 1,00 5,00 9,99 45,00 60,00 89,99 priblíženie perióda,0061,0061,0061,0061,0061,0061 haronického axiálna výchlka [] 0,0175 0,087 0,5175 0,7653 1,0000 1,4141 oscilátora uhol výchlk [ ] 1,00 4,99 9,65 43,85 57,9 81,0 relatívn periód [%] 0,007 0,06 1,71 3,85 6,8 15,8 rozdiel ax. výchlok [%] 0,001 0,03 1,14,55 4,51 9,97 Tab. Porovnanie oboch etód výpočtu Z tabuľk je evidentné, že obidvoa postupi získae rovnaké hodnot axiálnej výchlk aj periód len pri alých začiatočných rýchlostiach, ale pri jej zväčšovaní sa rozdiel edzi hodnotai zväčšujú. Pri výchlke 90 dosahuje rozdiel edzi zistenýi hodnotai periód až 15 % a pri axiálnch výchlkách 10 %, čo rozhodne nie je zanedbateľné. Pozrie sa ešte na časový priebeh výchlk. Nastáva tu podobná situácia. Pri alých výchlkách nastane zhoda oboch priebehov, ale pri zväčšovaní výchlk sa zväčšujú aj rozdiel edzi grafi. [] 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, 0 4 6 8 10 t -0,4-0,6-0,8-1,0 dnaické odelovanie priblíženie haronického oscilátora Obr. 4 Závislosť výchlk od času t pri začiatočnej rýchlosti,40 s -
[],0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5 0 4 6 8 10 t -1,0-1,5 -,0 dnaické odelovanie priblíženie haronického oscilátora Obr. 5 Závislosť výchlk od času t pri začiatočnej rýchlosti 4,43 s -