HMY 49: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 3: Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας
Μιγαδικά εκθετικά σήματα και ΓΧΑ συστήματα Τόσο στο συνεχή, όσο και στο διακριτό χρόνο, τα μιγαδικά εκθετικά σήματα αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις (eigefuctio) ΓΧΑ συστημάτων j Σε διακριτό χρόνο, για x[ ] = e ω η έξοδος είναι: ( k) [ ] = [ ] [ ] = [ ] = ( ) k= k= y hkx k hke e H e όπου He ( ) = hke [ ] k = k Ιδιοσυνάρτηση (Eigefuctio) Ιδιοτιμή (Eigealue) x[] h[] είναι η απόκριση συχνοτήτων (frequecy respose) του συστήματος και είναι γενικά μιγαδικός αριθμός: He ( ) = H( e ) + jh ( e ) R = He ( ) e I H( e ) Παράδειγμα: Το σύστημα καθυστέρησης y[ ] = x[ d ] έχει απόκριση συχνοτήτων j j d He ( ω ) e ω = και έχουμε: H ( e ) = cos( ω ) H( e ) = 1 R d H ( e ) = si( ω ) H( e ) = ω I d d
Μιγαδικά εκθετικά σήματα και ΓΧΑ συστήματα Σημείωση: Και για x[ ] = z, z έχουμε: [ ] [ ] y = hmz m = m= = hmz [ ] z = H( z) z m= όπου: m x[] h[] m H ( z ) = h [ m ] z συνάρτηση μεταφοράς (trasfer fuctio) m= Η παραπάνω σχέση είναι ο μετασχηματισμός Ζ της κρουστικής απόκρισης (στη συνέχεια). Άρα για να πάρουμε την απόκριση συχνοτήτων αντικαθιστούμε z=e Όπως και πριν: 3
Μιγαδικά εκθετικά σήματα και ΓΧΑ συστήματα Όπως γνωρίζουμε, κάθε σήμα μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα μιγαδικών εκθετικών σημάτων, δηλ: x[] T{.} j k x [ ] = ae ω k k επομένως η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος θα είναι: ωk y [ ] = ah k ( e ) e k Παράδειγμα j k Α x A e e e e Σύμφωνα με τα προηγούμενα: A 0 0 0 0 [ ] ( ) j j j j y H e e e ϕ ω ω ϕ = + H( e ) e e j ω0 0 [ ] cos( 0 ) ( j ϕ jϕ = ω + ϕ = + ) 0 0 Όμως για h[] πραγματικό ισχύει He ( ) = H*( e ) άρα: 0 0 y [ ] = AH( e ) cos( ω + ϕ+ H( e )) 0 Η έξοδος είναι επίσης συνημιτονοειδής με την ίδια συχνότητα με μέτρο και φάση j 0 που μετασχηματίζονται από το μέτρο και την φάση του He ( ω ) 4
Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ Για τα συστήματα διακριτού χρόνου, η απόκριση συχνοτήτων είναι περιοδική με περίοδο καθώς x[] j( ω+ π) j( ω+ π) k k jk ( ) = [ ] = [ ] = ( ) He hke hke e He και γενικά: k= k= h[] j( ω r) j He ( π ω ) = He ( ), r Αυτό συμβαίνει καθώς τα σήματα διακριτού χρόνου ω ( ) και ω+ π e e είναι πανομοιότυπα Επομένως χρειάζεται να προσδιορίσουμε την απόκριση συχνοτήτων μόνο μεταξύ 0 και ή π και π. Συνήθως προσδιορίζουμε την απόκριση για π ω π Χαμηλές συχνότητες: κοντά στο 0 (ή πιο γενικά κοντά στο ±m όπου m ακέραιος) Υψηλές συχνότητες: κοντά στο ±π (ή πιογενικάκοντάστο±πm κοντά όπου m περιττός ακέραιος) 5
Ιδεατά φίλτρα διακριτού χρόνου Χαμηλοπερατό (lowpass) Υψιπερατό (highpass) Ζωνοφρακτικό (badstop) Ζωνοπερατό (badpass) 6
Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ Παράδειγμα Σύστημα κινητού μέσου Απόκριση συχνοτήτων: M 1 y [ ] = x [ k] M + M + 1 k= M1 M 1 1 x[] h [ ] = δ [ k ] = M + M + 1 1 k= M 1, M1 M = M1+ M + 1 0, αλλιώς M 1 H( e ) = he [ ] = e M + M + 1 Για Μ 1 =0 (αιτιατό σύστημα) και χρησιμοποιώντας την έχουμε: k= N1 M ( M + 1) 1 1 1 e He ( ) = e = =... = M + 1 = 0 M + 1 1 e 1 si[ ω ( M + 1) / ] M = e / M + 1 si( ω /) 1 = 1 = M 1 h[] ] Συνήθως σε ανάλογες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε Μετασχηματισμό μ Fourier ή Ζ (ΗΜΥ30 και στη συνέχεια) N N N k 1 1 k a a + a =, N N 1 a 1 7
Μετασχηματισμός Fourier σημάτων ΔΧ Ο Μετασχηματισμός Fourier για σήματα διακριτού χρόνου προσδιορίζει την αναπαράσταση ενός σήματος x[] ως γραμμικό συνδυασμό μιγαδικών εκθετικών σημάτων και ορίζεται από το ζεύγος εξισώσεων: (1) Μετασχηματισμός Fourier Discrete Time Fourier Trasform (DTFT) () Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier Εδώ το ω είναι συνεχής μεταβλητή και κυμαίνεται μεταξύ π και π (ή ή μεταξύ 0 και ), ενώ το είναι διακριτή μεταβλητή. Στα επόμενα (Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT) θα δούμε πως μπορούμε να μετατρέψουμε και τη μεταβλητή συχνότητας σε διακριτή για χρήση σε Η/Υ κλπ. Η δεύτερη εξίσωση (() εξίσωση σύνθεσης) εκφράζει το σήμα ως υπέρθεση απείρως μικρών μιγαδικών εκθετικών σημάτων της μορφής: 1 j ω X ( e ) e dω Ο μετασχηματισμός Fourier είναι μιγαδικός αριθμός, δηλ μπορεί να γραφτεί ως: 8 Η πρώτη εξίσωση (1) είναι η αναπαράσταση σε σειρές Fourier του περιοδικού σήματος Χ(e ) ενώ η () είναι η εξίσωση που δίνει τους συντελεστές αυτής της αναπαράστασης
Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ Η απόκριση συχνοτήτων ενός ΓΧΑ συστήματος ΔΧ είναι ο Μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής του απόκρισης, δηλ: j ω j ω H ( e ) = h [ e ] = x[] x[] [ ] h[] ] Η[e ] ] 1 π h [ ] = H( e ) e dω π Ποια είναι τα σήματα που μπορούν να αναπαρασταθούν με τις εξισώσεις (1), ()? Θα πρέπει να συγκλίνει το άθροισμα: Ικανή συνθήκη: j δηλ. X ( e ω ) <, ω Επομένως πρέπει το σήμα ΔΧ x[] να είναι απολύτως αθροίσιμο (absolutely summable) 9
10 Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ x[] h[] ] Συνέπειες: Όλες οι ευσταθείς ΦΕΦΕ ακολουθίες έχουν Μετασχηματισμό Fourier. Όλα τα συστήματα FIR με πεπερασμένες τιμές x[] [ ] έχουν πεπερασμένη και συνεχή απόκριση συχνοτήτων Τι γίνεται για τα συστήματα IIR? Εξαρτάται από τη μορφή της h[] Παράδειγμα: = 0 = 0 Η[e ] ] x[ ] = a u[ ] 1 X( e ) = a e = ( ae ) =, αν ae < 1 a < 1 1 ae Τι γίνεται όταν δεν πληρείται η συνθήκη? Για τα σήματα π.χ. που είναι τετραγωνικά αθροίσιμα, δηλ: = x [ ] < ο MF δεν συγκλίνει κατ ανάγκη ομοιόμορφα, δηλ τα αθροίσματα: δεν είναι κατ ανάγκη ίσα για κάθε ω, αλλά η διαφορά τους X( e ) = x[ e ] έχει μηδενική συνολική ενέργεια, δηλ: = M XM ( e ) = x[ e ] = M π lim M X( e ) XM( e ) dω = 0 π
Απόκριση συχνοτήτων ΓΧΑ συστημάτων ΔΧ Παράδειγμα: Ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο 1 ωc 1 c c hlp[ ] = e dω [ e e ] = = ωc si( ω c ) =, - << < π 11 Το σύστημα αυτό δεν είναι αιτιατό και δεν είναι απολύτως αθροίσιμο, αλλά είναι τετραγωνικά αθροίσιμο. Τι γίνεται με την απόκριση συχνοτήτων M του? j si( c) j H ( ω ω ω M e ) = e = M π Η αρχική απόκριση συχνοτήτων είναι ασυνεχής. Στα σημεία ασυνέχειας έχουμε ταλαντώσεις όσο αυξάνουμε το Μ των οποίων το πλάτος γύρω από το σημείο ασυνέχειας δεν μεταβάλλεται (φαινόμενο μ Gibbs) αλλά ησυνολική ενέργεια μεταξύ των δύο τείνει στο μηδέν για Μ > π lim M He ( ) HM( e ) dω = 0 π
Μετασχηματισμός Fourier σημάτων ΔΧ Παράδειγμα: Σταθερή ακολουθία x[ ] = 1 Για X ( e ) = πδ ( ω ω0 + π r ) όπου r= π ω π 0 X( e ) = πδ( ω+ πr) r= 1 π 1 π x [ ] = X ( e ) e d ω πδ ( ω ω0 π re ) d ω = π + = π 1 π = πδ ( ω ω0) e dω e = π r= 0 1