Χρήσιµεες Συµβουλέές καιι Παραττηρήσεει ις από ττο κουκλίί καθηγηττή ΠΟΥ ΣΕ ΚΑΜΜΙΙΑ ΠΕΡΙΙΠΤΤΩΣΗ δεεν υποκαθισττούν ττο ΙΙΚΟ ΣΑΣ ΙΙΑΒΑΣΜΑ!!.. ΜΙΙΓΑ ΙΙΚΟΙΙ α. ΓΕΩΜΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ µε R ( z ) και Im ( z ) β. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ µε µέτρα γ. Μα ή min µέτρο δ. Ε ΟΜΕΝΟ z z z z I z z ΘΕΤΩ z + yi και ΦΕΡΝΩ το ( z ) στη µορφή a Στον κύκλο πάω «καρφί» Στην µεσοκάθετο «θέτω» Σε κάθε άλλη περίπτωση - υψώνω στο τετράγωνο και χρησιµοποιώ ότι z zz - ή θέτω z + yi και πλακώνοµαι στις πράξεις. Αν έχω κύκλο ο κόλπο µε την y λ Τριγωνική ανισότητα. + βi. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ α. Πεδία Ορισµού παρονοµαστης υποριζο l οg ( ) ( ) > β. Άρτια Περιττή ΠΡΟΣΟΧΗ το D πρέπει να είναι συµµετρικό ως γ. Σύνθεση ΠΡΟΣΟΧΗ προς το µορφή (-α,α)
Στο πεδίο ορισµού Στο να βρίσκω τη σ/ση όταν έχω τη σύνθεση και µια από τις σ/σεις. δ. Αντίστροφη ΠΡΟΣΟΧΗ Στο πως δείχνω το «-»(και µε µονοτονία!) Αν η C και C τέµνονται τότε τέµνονται πάνω στην y. Τύπος αντίστροφης µε Π.Ο.Σ.Σ. Εξισώσεις µε αντίστροφες ( ) y ( y) η αντιστρεψιµη ε. Μαθαίνω να χρησιµοποιώ την Π.Ο.Σ.Σ. 3. Ο Ρ Ι Α α. Στα όρια P( ) lim Q ( ) α έχω ρίζες συζηγή όχι ρίζες παραγοντοποίηση ή DLH πάνω στο άπειρο (ελέγχω το πρόσηµο του παρονοµαστή το όριο ΕΝ υπάάρχει. β. ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ συζηγή Αν έχω ριζικά ΕΝ ξεχνώ το TEST συνεχίζω Προσοχή στα τριγωνοµετρικά που θέλουν ΦΡΑΞΙΜΟ Προσοχή στη διερεύνηση P( ) ορίων στο άπειρο στη µορφή Q( ) Αν έχω ριζικά εξαιρώ ρχικά την τιµή της παρα- Μέτρου που µου κάνει το TEST O η η περίπτωση ο µεγιστοβάθµιος (ο σ/στης)
γ. ΠΡΟΣΟΧΗ στα ΕΚΘΕΤΙΚΑ και ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ ΟΡΙΑ. 4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ α. Προσοχή στη σύνθετη παράγωγω. β. Σταθερό πρόσηµο γ. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΤΟΠΟ Bolzano ( ) g( ) C, C g κοινή εφαπτοµένη στο '( ) g '( ) Η εφαπτοµένη της C στο εφάπτεται και στη C g Βρίσκω την εφαπτοµένη και απαιτώ το (Σ) εφαπτοµένης και g( ) να έχει µοναδική λύση. Εφαπτοµένη που άγεται από το Μ προς την C. Θεωρώ A(, ( )) το σ. επαφής, βρίσκω την εφαπτοµένη και απαιτώ οι σ/νες του Μ να την επαληθεύουν. δ. R Βρίσκω µονοτονία και ακολουθώ τους τύπους µε βάση το D. D R [ ( a), ( β )] [ a, β ] R [ ( β ), ( a)] D R ( lim ( ), lim ( )) + a β ( a, β ) R ( lim ( ), lim ( )) + β a ε. Απόδειξη ανισοτήτων α. Μονοτονία και ακρότατα ΠΡΟΣΟΧΗ που παίρνω και που όχι β. Θ,Μ,Τ. Συνήθως για «ΙΠΛΕΣ» ως προς τον αριθµό των η/των και της φοράς. γ. Κυρτότητα και εφαπτοµένη (EXTREME)
στ. Ανισότητα ως δεδοµένο ζ. Εξισώσεις (Εύρεση ριζών) Ζητάει ισότητα ή προσδιορισµό παραµέτρου Frmat Τουλάχιστον ρίζα Bolzano Roll Παρατήρηση HINTG Έχω ανισοτική σχέση Bolzano Έχω παραµέτρους και µια σχέση που τις συνδέει Roll Πολλές φορές µια σχέση µεταξύ των παραµέτρων που «ΕΙΧΝΕΙ» το διάστηµα! ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ρίζα ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ η ΑΤΟΠΟ Roll ΑΚΡΙΒΩΣ ρίζα R + MONOTONIA ιδιαίτερα χρήσιµο για εκθετικές και λογαριθµικές Το πολύ ν ρίζες ΑΤΟΠΟ Roll «ΠΕΡΙΕΡΓΟ» R + Μονοτονία ανά διάστηµα Τουλάχιστον ρίζα για την '( ) Roll στην
Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η - Τρόπος χρήσης Roll ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ρίζα για την ( ) Roll στην αρχική F TOΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ρίζα για την '( ) Roll στην To πολύ ν ρίζες για την ( ) ΑΤΟΠΟ Roll στην η. ΠΡΟΣΟΧΗ στο D l HOSPITAL θ. ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΠΡΟΣΕΧΩ Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΟΤΙ Χρησιµοποιείται στις περιπτώσεις ±, αρκεί οι ± σ/σεις να είναι παραγωγίσιµες και τα επί µέρους όρια να υπάρχουν. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΕΣ ψάχνω στα πεπερασµένα ανοιχτά άκρα του D. ΠΛΑΓΙΕΣ ή ΟΡΙΖΟΝΤΙΕΣ ψάχνω στο ± αρκεί να έχω κατάλληλο D Αν η y a+ β πλάγια ασύµπτωτη στο ± τότε [ a β ] lim ( ) ( + ) ± Η Μονοτονία αναφέρεται στα εσωτερικά σηµεία του D. Αν στο "( ) > στο στο "( ) < στο σε αυτές τις περιπτώσεις χρησιµοποιώ τα Ε ΟΜΕΝΑ µε βάση τη Μονοτονία της '( ) Αν στο '( ) στο Αν στο '( ) στο. 4. Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α α. ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΠΑΝΤΑ αλλάζει το διαφορικό
στα ΑΟΡΙΣΤΑ γυρίζω εκεί που έχω θέσει στα ΟΡΙΣΜΕΝΑ αλλάζω τα άκρα ολοκλήρωσης. β. Ε Μ Β Α Α εν ξεχνώ να βρω το πρόσηµο της ( ) ή της διαφοράς ( ) g( ) Αν ΕΝ δίνει άκρα ολοκλήρωσης βρίσκω ή που τέµνει τον ' η C ή τα σηµεία τοµής των C, C γ. Η συνάρτηση F( ) ( t) dt g Αν «παίζει» εφαπτοµένη κάνω γραφική παράσταση και το ζητούµενο εµβαδό προκύπτει σαν διαφορά άλλων. a D F : απαιτώ τα α, να ανήκουν στο ίδιο υποδιάστηµα του D Παραγώγιση Αν έχω ( και t) πάντα θέτω πριν παραγωγίσω Αν µέσα στην F( ) έχω κάποια g( ), την πετάω έξω από το ολοκλήρωµα και κάνω γινόµενο. Αν Αν g ( ) F( ) ( t) dt τότε F '( ) ( g( )) g '( ) g ( ) F( ) ( t) dt τότε h( ) g ( ) a F '( ) ( t) dt+ ( t) dt ' h( ) a ( h( ) h '( ) + ( g( ) g '( ). Εύρεση ρίζας Ορισµένο σαν Ε ΟΜΕΝΟ (π.χ. β a ( t) dt κ) τότε Roll µέσω σ/σης της µορφής ( t) dt (το κάτω άκρο ίδιο µε το Ε ΟΜΕΝΟ) a
Έχω σ/ση ( t) dt στην ζητούµενη a εξίσωση τότε συνήθως Bolzano. Σύνθεση και των περιπτώσεων τότε συνήθως Roll Όρια µε F( ) ( t) dt δ. Ανισοτικές σχέσεις µε ορισµένα a στο εφαρµόζω DLH. στο τη φράττω Προσπαθώ (συνήθως µου το δίνει σε προηγούµενο ερώτηµα) να φτιάξω µια ανισοτική σχέση µε το ίδιο πρώτο µέλος της ζητούµενης (χωρίς το ολοκλήρωµα), στη συνέχεια φοράω στην ανισότητα ΟΡΙΣΜΕΝΟ ολοκλήρωµα. εν παραγωγίζω ανισοτική σχέση εν φοράω αόριστο ολοκλήρωµα σε ανισοτική σχέση Να φορέσω σ/ση σε ανισοτική σχέση *ΠΑΝΤΑ λαµβάνοντας υπ όψιν τη Μονοτονία της*
Μ Ι Γ Α Ι Κ Ο Ι Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η () Στο ΕΝ ορίζεται διάταξη Αποτέλεσµα: Αν µου δώσουν µιγαδικό µε ανισότητα για να έχει νόηµα η ανισότητα πρέπει το φανταστικό µέρος να είναι ΜΗ ΕΝ. (ΠΡΟΣΟΧΗ: Ανισότητες µε µέτρα µπορώ εύκολα να έχω αφού z ) Άσκηση : Να βρεθούν τα ώστε 3 + i <. + i Λύση Πρώτα φέρνω το µιγαδικό στη µορφή a+ βi (3 + i)( i) 6 3i+ i+ 7 + ( 3) i < < < ( + i)( i) 4+ 5 7 3 + i< () 5 5 Για να έχει νόηµα η ανισότητα πρέπει 3 3 3 ± 5 Αν Αν 3 η () γίνεται 3 η () γίνεται 3 7 3 3 < 7 < 7 < 5 Α ΥΝΑΤΗ 5 3 7 < ισχύει. Άρα 5 3 Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η () Όταν έχω κάποια ισότητα µιγαδικών υψωµένων σε µεγάλη δύναµη ΠΑΝΤΑ ΦΟΡΑΩ ΜΕΤΡΑ v v χρησιµοποιώ την ιδιότητα z z αφού τα µέτρα είναι µη αρνητικές ποσότητες, εξαφανίζονται οι εκθέτες. Άσκηση : Να δείξετε ότι z ώστε Λύση + i ( + iz) () ` + 4i 4 4
Έχω Έστω ότι 4 ( ) (4) + 4+ i 4 4 + iz + iz + iz + iz + 4i + (4) z : z + iz + i + + Άρα τότε z. Από την () για z έχω: 4 4+ i + 4i 4+ i 4 + 4i ΑΤΟΠΟ. Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η (3) Όταν έχω πολυωνυµική εξίσωση µε πραγµατικούς συντελεστές τότε αν ο z ρίζα z ρίζα Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η (4) Σχέση που συνδέει τον z a+ βi µε τον w β ai. Παρατηρώ ότι β + β. Άρα wi i ai a i z wi z wi zi w iz Π Α Ρ Α Ε Ι Γ Μ Α Άσκηση 3 : Να υπολογισθεί η τιµή της παράστασης A ( a+ βi) + ( β ai) Λύση Θα έχω A z + ( iz) z + i z z z Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η (5) ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΕΙ ΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Αν A M ( z) ( ) Γ ( ) τότε B M z M z3 ΑΒΓ ισοσκελες ( ΑΒ ) ( ΑΓ) z z z z ( ΑΒΑΓ) 3 ισοπλευλο ( ΑΒ ) ( ΑΓ ) ( ΒΓ) z z z3 z z3 z ορθογωνιο στο Α ( ΒΓ ) ( ΑΒ ) + ( ΑΓ) z z z z + z z 3 3 Άσκηση 4 : z z + i z 3 i ΑΒΓ ορθογώνιο & ισοσκελές A M ( z ) B M ( z ) Γ M ( z ) 3
z z + i i 4+ 4 8 ισοσκελές µε ΑΒ ΑΓ z z3 + + i + i 8 z z + i+ + i 4 i 4 3 Να δείξετε ότι : z z z z + z z 6 8+ 8 6 6 3 3 Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η (6) Τις ισοδυναµίες z z z ή z I z z για να τις χρησιµοποιήσω θα πρέπει πρώτα να τις αποδείξω. Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η (7) Γεωµετρικοί τόποι µε µέτρα εκτός βιβλίου * z z + z z a µε z, z γνωστούς και a + Έλλειψη µε εστίες M ( z), M ( z ) και µεγάλο άξονα α z z ΠΡΟΣΟΧΗ : γ z z γ * z z z z a µε z, z γνωστούς και a + z z Υπερβολή µε εστίες M ( z), M ( z ) και γ Α Ν Τ Ι Σ Τ Ρ Ο Φ Η Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η : Οι και διατηρούν το Ι ΙΟ ΕΙ ΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ (αυτό το χρησιµοποιώ ΜΟΝΟ σε κατάσταση εκτάκτου ανάγκης) Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η : Το βιβλίο υποστηρίζει ότι οι C, C είναι συµµετρικές ως προς την y. Αυτό δεν συµβαίνει πάντα αλλά το δεχόµαστε! Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η 3 : γν. µονότονη " " " " γνησίως µονότονη συνεχης Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η 4 : ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β Α Σ Ι ΚΗ Α Σ Κ Η Σ Η : Αν η αντιστρέψιµη τότε : β a ( β ) ( ) + ( ) ( ) ( ) d d β b a a () ( a)
* ( β ) ( ) d Θέτω ( a) ( ) ω ( ω) d '( ω) dω " " ( a) ( ω) ( a) ω a ( ) ( ) ( ) " " β ω β ω β ( β ) β β β οπότε [ ] ( ) d ω '( ω) dω ω ( ω) ( ω) ' ( ω) ( a) a a a β ( β ) a ( a) ( ω) dω β a Εφαρµογή : Να δείξετε ότι l nd+ d () Θεωρώ την ( ) Θέτω l n στο [,] (που ορίζεται. '( ) (, ) ln > στο (,) " " η αντιστρέφεται. 4 y ( ) y ln y l n ( ) () l n ( ) l n Άρα η () παίρνει τη µορφή : ( ) B. A. ( ) ( ) ( ) () d+ d () Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η 5 : Αντίστροφη - Εµβαδά εν ξεχνώ ότι : Αν η C τέµνει τον ' στο (α,) η C τέµνει τον yy ' στο (,α) Αν η C τέµνει τον yy ' στο (,β) η C τέµνει τον ' στο (β,). Άσκηση : π. στο µε Λύση 3 ( ) + ( ) 3 α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρεθεί η β) E : yy ' C
Έστω, µε ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 Άρα η " " η αντιστρέφεται. Θέτω ( ) ( ) + 3 3 ( ) + ( ) ( ) + ( ) + 3 + 3 y y y 3 3 ( ) + 3 ( ) + 3.Τέµνει τον ' εκεί όπου ( ) + 3 ( ) + ( ) 3 3 + + + ( ) ( ) ( )( + + ) + ( ) + + 3 Α ΥΝ. - O + Ε 3 3 ( ) d + 3 d ( + 3 _ d 4 + 3 + 3 7 4 4 4 4 τ.µ. Ο Ρ Ι Α Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η στα σύνθετα όρια. Θα τα µετατρέπω σε απλά υπολογίζοντας τα ενδιάµεσα όρια. Π Α Ρ Α Ε Ι Γ Μ Α lim + l n 3 + + 5 Παρατηρώ ότι : lim + 3 + lim ln lim [ n( ω)] + l αφού + 5 ω + 3 3 + lim lim lim + + 5 + + + Όµως lim l n( ω) +. Άρα το αρχικό όριο είναι ( + ). Τότε ω +
3 3 + + ln + 3 n l + 5 + 5 lim n lim + + lim l + 5 ( ) ' + + DLH + ' 3 + 5 (3 + )( + 5) ( + ) 3 + ( + 5) lim + 3 6 ( + 5)(3 + )( + 5) ( + 5)( + ) lim lim + 3 8 ( + )( + 5) + Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: Aν lim[ ( ) + g( )] 5 Να βρεθεί το lim ( ) lim g( ) Λύση Αφού δεν ξέρω αν το lim g( ) υπάρχει ΕΝ µπορώ να σπάσω το lim[ ( ) + g( )]. Σε αυτές τις περιπτώσεις ΠΑΝΤΑ θέτω ϕ ( ) ( ) + g( ) µε lim ϕ( ) 5.Τότε g( ) ( ) ϕ( ) g( ) ϕ( ) ( ) lim g( ) lim[ ϕ( ) ( )] lim ϕ( ) lim ( ) 5 3 < -------------------------------------------> Εδώ έσπασα το όριο αφού τα επιµέρους όρια υπάρχουν Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α ) Όταν θέλω να δείξω ότι η διατηρεί το πρόσηµο στο (α,β) ΑΤΟΠΟ Bolzano ) Τι λέει στην πραγµατικότητα το Θ.Ε.Τ.; R Αν [ ( a), ( β )] ( α, β ) : ( ) n n ( ( a), ( β )) σ. στο [ a, β ]
Π Α Ρ Α Ε Ι Γ Μ Α συνεχεις,,... 5 στο ( α, β ) ορισµενες min m Εστωτοιδιο ma M ν. δ. ο. ( a, β ) h ( a, β ) : ( ) +... + 5( ) ( h) 5 Λύση m M ( ) + + 5 Έχω......... 5 m ( )... ( ) 5M m 5( ) M ( ) +... + 5( ) m M. 5 ( ) +... + 5( ) Άρα το [ m, M ] R 5 ΘΕΤ ( ) +... + 5( ) h ( a, β ) : ( h) σ. 5 Τελικά (ΑΠΛΟ π.χ.) R Αν [,] a β (, ) : ( ) 6 σ. στ o[ a, β ] (αφού 6 [,] 3) Αν η συνεχής ανάµεσα στις ρίζες διατηρεί σταθερό πρόσηµο (αν βρω µια τιµή γνωρίζω το πρόσηµο στο διάστηµα). 4) Θεώρηµα ύπαρξης ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ
σ. στο [α,β] m, M : m ( ) M ( a, β ) χρήσιµο στα ολοκληρώµατα αφού β β β m ( ) M md ( ) d Md m( β a) ( ) d M ( β a) a a a (Θ.Μ.Τ. ολ) 5) Η απόδειξη της συνέχειας στο τυχαίο ενός διαστήµατος συνεπάγεται τη συνέχεια σε ολόκληρο το διάστηµα. 6) Χρησιµοποιώ τον ορισµό : α) Σε θεωρητικές ασκήσεις β) Σε σηµεία που η συνάρτηση αλλάζει τύπο! ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ BOLZANO-ROLLE-ΘΜΤ-FERMAT Άσκηση η π. στο µε ( a) β, ( β ) a ( a< β ) ( a, β ) : ( ) ) ) ξ ξ a β ξ ξ, (, ) : '( ) '( ) Άσκηση η π. στο µε '( ) ( ). + ( ) ) Η g( ) είναι σταθερή + ( Αν () να βρεθεί η. Άσκηση 3 η µε D [,] π στο [,] και () () (,) : '( ) + 6 ( ) ΕΝ ΞΕΧΝΩ ΝΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΩ ΤΙΣ ΙΑΜΕΡΙΣΕΙΣ!
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Άσκηση η στο [,] µε ( t) dt τουλ. (,) : ( t) dt ( ) ΟΡΙΣΜΕΝΟΩΣ Ε ΟΜΕΝΟ Roll ΖΗΤΑΩ ΡΙΖΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ( t) d ( ) ( t) d ( ) 9 t) d ( t) dt ' Θυµίζω (Β.Κ.) ( ) '( ) g g g( ) g '( ) g( ) g '( ) g( ) ' Εδώ ( t) dt '. Θεωρώ την ϕ ( ) ( t) dt ϕ ϕσ. στο [,] π. στο (,) Roll ϕ() (,) : ϕ '( ) ( t) dt () Όταν έχω φράγµατα για την (π.χ. R [ a, β ] a ( ) β Αν η δοσµένη προς απόδειξη εξίσωση έχει όρο χρησιµοποιώ Bolzano. ( t) dt ΘΜΤ ΠΡΟΣΟΧΗ : Στις ΑΝΙΣΌΤΗΤΕΣ Φοράω ολοκλήρωµα. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Έχω δικαίωµα στις ανισότητες να φοράω ΟΡΙΣΜΕΝΟ! ΠΡΟΣΟΧΗ : Αν έχω ( ) ( t) dt και ζητάω ( ) α λ d ΠΑΝΤΑ κ
λ λ λ ( ) κ κ κ ( )' ( ) d ( ) '( ) d ώστε να απαλλαγώ από το ολοκλήρωµα που υπάρχει στον τύπο της Άσκηση η σ. στο (, + ) ( t ) ( ) + (, + ) ) Να δείξετε ότι ( ) l n( + ) ) Η αντιστρ. C Γ Ε Ν Ι Κ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 3) E : ', y 4) γ. τόπο των M ( z ) µε R( z) c αν? ( ) z + + (, + ) Λύση Ψαχνω τυπο ) παραγωγίζω : Εχω ολοκλ. ( t) ( t) Αφού η σ. σ. dt είναι π. η π. ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) [ ]' ( ) d+ c ( ) ( ) + c Η σταθερή τιµή προκύπτει πάντα για την τιµή που µηδενίζει το αρχικό ολοκλήρωµα. Εδώ : () + άρα + c c. Άρα ( ) l ( ) ( ) + n + ) '( ) (, ) " " + > + η αντιστρέφεται. y y Θέτω y ( ) y l n( + ) + ( )
3) Η C τέµνει τον ' εκεί όπου l n( + ) +. l E ( ) d n( + ) d ln + d l n + d ( ) l n( + ) + ( )' ( ) [ ( )] + d (Μπορούσα και να θέσω!) + ( ) d ( ) + d( + ) + [ ( ) ] + [ l n( + ) ] + + ln l n / + / τ.µ. [ ] 4) ln( + ) + z + / + z / Θεωρώ την ϕ ( ) + ( z ) µε ϕ( ). Παρατηρώ ότι ϕ( ) () (, ) ϕ () άρα ϕ + FERMAT ϕ '() () ϕπ. στο () '( ) z ϕ + z ϕ '() + z z () () R( z) ηµικύκλιο µε κ(,) R + y > Άσκηση η σ. στο. ( ) και u [ ( t) dt] du
C α) E : ', β) Να υπολογιστεί το I ( ) + ( t) dt ( t) dt Λύση α). Θεωρώ την E ( ) d ( ) d g( ) έχω g () +. () g '( ) ( t) dt g '() ( t) dt () & () ( t) dt E u g( ) [ ( t) dt] du +. Με g( ) g() FERMAT g '() g π. στο () ( t) dt β) Θέτω ω + Άσκηση 3 η ( t ) dt ίνεται η g( ), > όπου :[, +. Με '() και (), "( ) > [, + ) ν.δ.ο. g σ. στο [, + ). Λύση ( r ) dt Αν > g( ) σ. σαν πηλίκο σ/χων σ/σεων αφού n ( t) dt είναι π. αφού η είναι π. άρα και σ. (). Στο θα δουλέψω µε τον ορισµό (αφού η σ/ση αλλάζει τύπο!) ( t) dt ( ) lim g( ) lim lim αφού σ. () g () η g σ. στο + DLH + () η g σ. στο [,+ ).