Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς
Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών εξισώσεων διαφορών σε επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων Αναδρομικές εξισώσεις Αλγεβρικές εξισώσεις Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-
Μετασχηματισμός Ζ Ο μετασχηματισμός Ζ είναι ο αντίστοιχος μετασχηματισμός του Laplace για τα ψηφιακά σήματα Για παράδειγμα ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει μια διαφορική εξίσωση και τις αντίστοιχες αρχικές και οριακές της συνθήκες σε ένα χώρο στον οποίο η εξίσωση μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους. Ο μετασχηματισμός Ζ κάνει το αντίστοιχο για αναδρομικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών. Η αλλαγή χώρων για να μετασχηματίσουμε προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης σε προβλήματα της Άλγεβρας ονομάζεται Τελεστικός Λογισμός operatioal calculus. Οι μετασχηματισμοί Laplace και Ζ είναι από τις πιο βασικές μεθόδους Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-
Ορισμοί ZI Μονόπλευρος Μετασχηματισμός Ζ Z II Αμφίπλευρος Μετασχηματισμός Ζ όπου είναι μιγαδικός αριθμός για τον οποίο συγκλίνει το αντίστοιχο άθροισμα Εάν = για <, τότε ο αμφίπλευρος και ο μονόπλευρος Μετασχηματισμός Z μιας συνάρτησης είναι ίδιοι. Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε κυρίως με τον μονόπλευρο Μετασχηματισμό Z. Αυτός είναι κατάλληλος για την επίλυση των αναδρομικών εξισώσεων για τις οποίες. Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.- Παράδειγμα: Ποιός είναι ο Μ.Z. της δ Παράδειγμα: Ποιός είναι ο Μ.Z. της δ-
Βασικό Άθροισμα A A A Απόδειξη A Βασικές Σχέσεις N- A A - A A A A Άρα για < έχουμε N- N N A N A - A - και N A N N A - A - A - Im Παράδειγμα: Ποιος είναι ο Μ.Z. =a u = a a a a για > a Η συνάρτηση /- υπάρχει για κάθε, αλλά ο M.Z. της = u ισχύει μόνο για >!!! -\α\ \α\ Re Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-6
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-7 Το θεώρημα της μετάθεσης Απόδειξη: Γραμμικότητα b a b a - - - - - - -
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-8 Παράδειγμα.. Πολλαπλασιάζουμε με -. Αθροίζουμε για Διάστημα για το οποίο ισχύει η εξίσωση. Υποθέτουμε ότι η έχει μετασχηματισμό Z, και επιλύουμε την αλγεβρική εξίσωση. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός της Y είναι. Αντικαθιστούμε την λύση στην αρχική εξίσωση και επαληθεύουμε ότι είναι λύση 6 6 Y Y Y Y Y 6 u
Πίνακας M.Ζ. δ u /- για > a u /-a για > a a - u /-a για > a u a m m u a cosθu /-a m+ acos acos a asi acos a α siθu για > για > a για > a για > a Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-9
Γραμμικός Ιδιότητες MΖ a b a b Μετατόπιση χρόνου m m u m Μετατόπιση χρόνου m -m- m -m- - -m Κλιμάκωση στο Ζ-επίπεδο a a Πολλαπλασιασμός με Άθροισμα στο χρόνο d d Θεώρημα αρχικής τιμής Θεώρημα τελικής τιμής εάν = είναι στην περιοχή σύγκλισης Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-
Αντίστροφος Μ.Ζ. Σειρές ourier Θεώρημα Αρχικής Τιμής Συνεχή Μακριά Διαίρεση Δυναμοσειρές Πίνακες Ανάλυση σε Μερικά Κλάσματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-
Μετασχηματισμός Ζ και Σειρές ourier re r j r re re jθ στην περιοχή σύγκλισης j e e j re jθ περιοδική συνάρτησητου θ με περίοδο π και συντελεστές ourier r - j d και αντικαθιστώντας =re jθ d=jre jθ dθ Περιοχή Σύγκλισης Im re jθ Re j j re d Νοεμβρίου 8 Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.- Αντιστροφή συν. Θεώρημα Αρχικής Τιμής Παράδειγμα, = = = 6-6. =?
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.- Αντιστροφή συν. Δυναμοσειρές 6! e!! e e u! Παράδειγμα : Ποιος είναι ο αντίστροφος του =e / =cos/, =? =l+a -, =? u a! u - l!!! cos!!! si -!! p p p p p p p
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.- Μακριά Διαίρεση log divisio 8 Όταν έχουμε τον μετασχηματισμό Ζ υπό την μορφή κλάσματος δύο πολυωνύμων, κάνουμε την διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή. Από την μορφή των όρων προσπαθούμε να βρούμε την μορφή του γενικού όρου. Παράδειγμα : Παράδειγμα : 6 9 επομένως μπορούμε να δούμε ότι ο γενικός όρος είναι u
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-6 Αντιστροφή συν. Πίνακες / / u A A Παράδειγμα : Ποιός είναι ο αντίστροφος του
Μετασχηματισμός Ζ και MatLab Παράδειγμα Ανάλυση σε μερικά κλάσματα Με την συνάρτηση collect μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε παράγοντες ενός πολυωνύμου >> sms D ; D=-.*-.7*- D =-/*-/*- >>collectd as = -/8+^-9/*^+/8* Με την συνάρτηση residue μπορούμε να βρούμε τους συντελεστές των μερικών κλασμάτων και τους πόλους τους >> N=;;;;D=;-9/; /8; -/8;r,p,=residueN,D r = 8-9 Δηλαδή p =.7. = 9 8..7..7 Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-7
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-8 Παράδειγμα: Μετασχηματισμός Ζ Η συμβολική συνάρτηση tras υπολογίζει τον MZ μιας ρητής συνάρτησης του >> sms ; = 8+*/^-9*/^; =tras = 8*/-+*/*--*//*- Δηλαδή - - - - u 8 8 9 8
Παράδειγμα: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Η συμβολική συνάρτηση itras υπολογίζει τον αντίστροφο MZ μιάς ρητής συνάρτησης του >> sms ; =8*^/*-**-*-; =itras = 8+*/^-9*/^ >> prett 8 + / - 9 / Μπορούμε να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση της συμβολικής συνάρτησης >> eplot,, Για να βρούμε μια συγκεκριμένη τιμή χρησιμοποιούμε την εντολή >> it,, ; >> as 8/6 ή να υπολογίσουμε την απόκριση δ και να την σχεδιάσουμε με την dimpulse >> N= ;D= -9/ /8 -/8; =dimpulsen,d, 8 >> = ::9; stem, 8 8+ / -9 / 7 7 6 6 6 8 6 8 6 8 6 8 Νοεμβρίου 8 Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα, Χ. Χαμζάς.-9