ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Μετασχηματισμός Z ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ποιός είναι ο DTFT της u(n)?? u(n) e πδ(ω πk) j ω k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Τι περιλαμβάνει Μετασχ. - ορισμός αντίστροφος μετασχ.- ιδιότητες μετασχ.- πόλοι και μηδενισμοί απόκριση συχνότητας εφαρμογές ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 3

Μετασχ. - Ορισμός X ( ) x( n) n0 n Μιγαδική συχνότητα e jω X() x(n) n jωn e ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 4

Παράδειγμα x(n)= {, 3, 4,, 0, } Ποιος είναι ο μετασχ.??? X()=+3 - +4 - + -3 + -5 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 5

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ x(n) Z [X()] πj C X() n d C είναι ένας κλειστός δρόμος που περικλείει την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου βρίσκεται μέσα στη περιοχή σύγκλισης περικλείει όλους τους πόλους της Χ() ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 6

Παράδειγμα X ( ) x( n) n0 n Να υπολογιστεί ο Μετασχηματισμός - της ακολουθίας x(n)=, 0.8, 0.64,. Από τον ορισμό : X() = 0 +0.8 - +0.64 - +...=+(0.8 - )+(0.8 - ) +(0.8 - ) 3 +...= 0.8 0.8 - < >0.8 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 7

0.8 3D 5 4 5 5 3 4 5 4 3 0 0 3 4 3 0 0 0-0 - 0-0 - - - 0-0 0- - - 0 - - - ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 8

Μιγαδικό επίπεδο Im() e jω επίπεδο- Re() μοναδιαίος κύκλος = ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 9

Περιοχή Σύγκλισης region of convergence (ROC) Το σύνολο των τιμών του που ο Χ() υπάρχει ονομάζεται περιοχή σύγκλισης Kαθορίζεται από δύο θετικούς αριθμούς R x+ και R x- : R x- < <R x+ Im() ROC R x+ Η μορφή του ROC είναι πάντα ένας δακτύλιος Re() R x- Το επίπεδο, και ένα γενικό ROC ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 0

Παράδειγμα Θα υπολογίσουμε το μετασχ.- της u(n) Υπολογίζουμε: X() n x(n) n n0 n 3... > Επομένως η Περιοχή Σύγκλισης (ROC) βρίσκεται έξω από ένα κύκλο ακτίνας = Εάν επιλέξουμε την τιμή = έχουμε ότι Χ()=+ - + - + -3 +... = Χ() = δηλ. η σειρά συγκλίνει γιατί η τιμή = ROC ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Ακολουθίες θετικού και αρνητικού χρόνου x (n)=a n u(n) για n>0 X () εάν α < a x(n) 0 n ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ b b b b ) b ( x(n) () X b 0 n n n n n n n n n n n Το συμπέρασμα από τη μελέτη των δύο παραπάνω ακολουθιών είναι ότι ενώ για a=b, οι μετασχ., είναι ίδιοι: Χ ()=X (), oι αντίστοιχες ακολουθίες x (n) και x (n) είναι διαφορετικές. n 0 x(n) x (n)=-b n u(-n-) για χρόνους (n-) <b

Παράδειγμα Έστω το σήμα x(n)=α n u(n)-b n u(-n-) έχουμε : X() a n0 n n, ROC: a a a b a b b n n, b ROC : b ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 4

Πόλοι-μηδενισμοί ιδιότητες του ROC Οι ρίζες του παρονομαστού και οι ρίζες του αριθμητού μίας συνάρτησης Χ() ονομάζονται αντίστοιχα πόλοι και μηδενισμοί της Χ() Ισχύει ότι το ROC δεν μπορεί να περικλείει ένα πόλο της Χ() Tο ROC είναι μία συνεκτική περιοχή δηλ. δεν μπορεί να αποτελείται από σύνολο επιμέρους τμημάτων. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 5

Πίνακας Μετασχηματισμών Ζ δ(n) και περιοχών για καθε σύγκλισης u(n) για nu(n) ( ) ( ) n a u(n) a a n a na u(n) ( a ) για για a γιά a u( n ) γιά sinω sin(nω)u(n) cos ω για cos ω cos(nω)u(n) cos ω για n a sinω a sin(nω)u(n) a cos ω a για a n a cos ω a cos(nω)u(n) a cos ω a για a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 6

Αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 7

Αντίστροφος μετασχηματισμός Μέθοδος Ολοκληρωτικών υπολοίπων Θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων του Cauchy : x(n) Z πj X() X() d C res[x() n n ] Όπου: m n d Res[ X()] lim [ p (m )! p m i i d για πόλους m τάξεως και n n Res[ X()] lim[( pi ) X()] pi pi για πόλους ης τάξεως n X()( p i ) m ] ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 8

Παράδειγμα H( ) 0.5 n h[ n] Re s 0.5 p p n n Re s 0.5 0.5 n n 0.5 Re s 0.5 0.5 0.5 hn [ ] 0.5 n p m 0.5 n ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 9

Αντίστροφος μετασχηματισμός Μέθοδος μακράς διαίρεσης Εκτελούμε την διαίρεση (long division) Παράδειγμα : X.. 3 [......] 3 4..44.78... Αρα x(n)=0,, -.,.44, -.78... ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 0

Αντίστροφος μετασχηματισμός Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα Η μέθοδος αυτή είναι η πιο διαδεδομένη και Βασίζεται στην μετατροπή της Χ() σε απλά κλάσματα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

Yλοποιείται με τα εξής βήματα: Εάν η Χ() έχει την μορφή : X M bo b... bm N a... a N Μ>Ν τροποποιούμε: X b b... b N MN o N k C N k a... a N k0 R P N M N k X k k k0 C k k Και τελικά x(n) N MN Rk Z Ckδ(n k) k pk k0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ

απλός πόλος Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα Παράδειγμα X Να βρεθεί η x(n) όταν: 3 4 X( ) 3 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 Πόλοι:, 3 x x /3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 3

Παράδειγμα (συνέχεια) Εάν : xn u( n) un 3 n Εάν : 3 xn u( n ) u n 3 n Εάν : 3 3 xn un un n ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 4

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα Παράδειγμα X() ( )( ) X() A B Γ 4 0.5 Τελικά: x(n)=δ(n-)+u(n-)- (0.5) n- u(n-) για ROC: > Τι «συμφέρει»??? ή - ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 5

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα Παράδειγμα 3 H(). 5 0. 5. 5 0. 5 ( )( 0. 5) 6 4 0. 5 6 4 0. 5 h(n) 6u(n) 4( 0. 5) n u(n) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 6

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα- Παράδειγμα 4 Μιγαδικός πόλος X() ό a 0.5,b 0.3 0.3 ( a jb) ( a jb) 0.568 X() a jb jb jb a jb x(n) jb n n / jnφ jnφ (a jb) (a jb) (a b ) e e n jb φ tan b a x(n) 0.568 (0.3) n/ sin(.934n) a n sin( nω)u(n) asin ω a cosω a για a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 7

Μέθοδος ανάπτυξης σε μερικά κλάσματα- Παράδειγμα 5 Διπλός πόλος X () ( 0.9 ) ( 0.9 ) : >0.9 X() 0.5 0.9 0.5 ( 0.9 0.5 0.9 ) λεπτομέρειες 0.5 0.9 0.5 0.9 0.9 ( 0.9 ) 0.5 0.9 h(n)=0.5 0.9 n u(n)+5/9 (n+) 0.9 n+ u(n+) +0.5 (-0.9) n u(n) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 8

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 9 0 9 0 9 0 9. Γ ). ( B. Α ). ( ). ( () X 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9. ). Γ( ). ( ). B(. ). Α( ). ( ). ( ). ( 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9. ). Γ( B ). A(. 0 9 0 9 B.. 4 0 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 A... A.... ). Γ( d d B d d ). ( d d A. d d.. Για το Α

Αντίστροφος μετασχηματισμός από την εξίσωση διαφορών α) θεωρούμε ότι H αντιστοιχεί σε ένα σύστημα h n X() H() Y() β) χρησιμοποιούμε την ιδιότητα m x n m X Παράδειγμα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 30

H Έχουμε : H Y X 3 3 Y X Y X Y X 3 Y 3 X από την οποία προκύπτει : yn 3y n y n xn 3 xn nhn3hn hn n 3 h00 h 0 h0 h3 h 4.5h 3 0.5h 0.75 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 3

H Η Η Η 3 4 ( ( ( ( 9 4 ) 0.84 0.5 ) 0.5 ) 0.8 ) 0.8 8 8 Matlab imp filter - residue imp(b,a) filter(b,a,[ eros(,n-)]) residue(b,a) [b,a]=residue([r(:)],[p(:)],0); [b,a]=residue([r(3:4)],[p(3:4)],0); 4 4 0.5 4 h (n)= h (n)= h 3 (n)= h 4 (n)= ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 3

g H () x(n) H () y(n) g x (n) H () H () y(n) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 33

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Ζ Γραμμικότητα Αν η x(n) έχει μετασχηματισμό τον X() και η y(n)έχει μετασχηματισμό τον Y() με περιοχές σύγκλισης και R αντίστοιχα τότε : R x Z ax n by n ax by y Kαθυστέριση - μετατόπιση στο χρόνο Αν η x(n) έχει μετασχηματισμό τον X() τότε : m x n m X Παράδειγμα: n o n X n n0 n no n no X n no n0 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 34

Ιδιότητες Μετασχηματισμού (συνέχεια) Συμπεριφορά για n Αν η x(n) έχει μετασχηματισμό τον X() lim n x n lim X Παράδειγμα To σύστημα H Y() Η έξοδος είναι: Στην σταθερή κατάσταση 0.8 X()H() έχει είσοδο την u(n). n lim yn lim H lim 5 n 0.8 0.8-0.8 έχουμε: Επιβεβαίωση ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 35

Y() X()H() - 0.8 Αναλύομε σε μερικά κλάσματα: Y() - 0.8 A B 0.8... 5 4 0.8 y(n) 5u(n) 40.8 n u(n) Για n y(n)=5 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 36

Ιδιότητες Μετασχηματισμού (συνέχεια) Θεώρημα συνέλιξης εάν x (n) X () και (n) X () x τότε x(n) x(n) X ()X() ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 37

3 0 0 0 0... 0 0 0 0 0 0... και * xn h n y n x n h n yn yn 3 3 3 6 0 0 0... Παράδειγμα X 3 και H 3 4 X H 3 4 6 3 3 3 6 3 3 3 6 0 0 0... δηλαδή όπως και προηγουμένως ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 38

Άλλες ιδιότητες Μετασχηματισμού Ζ (συνέχεια) Αντιστροφή στο χρόνο Αν x(n) X() τότε x(-n) Χ( - ) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 39

Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός της x(n)= n u(-n) Παρατηρώ ότι: x(n)= n u(-n)=(/) -n u(-n) Για την y(n)=(/) n u(n) Y() Επειδή y(-n)=x(n) Χ() Y( ) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 40

Άλλες ιδιότητες Μετασχηματισμού Ζ (συνέχεια) Παράγωγος Αν x(n) X() τότε nx(n) dx() d ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 4

Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός της Ισχύει ότι n Z a un a a επομένως θα είναι και n n x n na u n Z un a a a χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αντιστροφής στο χρόνο n Z a un a a Και τελικά με την ιδιότητα της παραγώγου προκύπτει ότι n x n na u n d a d a a a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 4

Μετασχ. Μετασχ. Laplace Μετασχ. Fourier ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 43

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Μετασχηματισμός του επιπέδου s στο επίπεδο (Laplace ) Ψηφιακό σήμα x(n) k0 x(k)δ(n k) Μετασχηματισμός- X() n0 x(n) n Το σήμα συνεχούς χρόνου x(t) k0 x(nt)δ(t nt) μετασχηματισμόσ Laplace X(s) n0 x(nt)e nts Mε σύγκριση των παραπάνω : =e Ts ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 44

=e Ts s=d+jω Για d=0 s=jω = και = ω = ΩΤ δηλ. ο άξονας jω του επιπέδου s απεικονίζεται στο μοναδιαίο κύκλο του επιπέδου σε λωρίδες π/τ. Για d<0 = e Td e jωt = e Td < δηλ. το αριστερό ημιεπίπεδο του επιπέδου s απεικονίζεται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου του επιπέδου. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 45

=e Ts jω επίπεδο-s Im() επίπεδο- π j Τ d Re() μοναδιαίος κύκλος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 46

Mετασχηματισμός- και Fourier Μετασχηματισμός DTFT Μετασχηματισμός - j X e x n e X ( ) x( n) n0 jn n Αν μια ακολουθία x(n) έχει μετασχηματισμό- τον X() και μετασχηματισμό Fourier (DTFT) τον X(e jω ) τότε : X(e jω ) X() e Aπό τη σχέση αυτή υπολογίζεται η απόκριση συχνότητας (μετασχηματισμός Fourier - DTFT) jω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 47

= μηδενισμός πόλος ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 48

Υπολογισμός της απόκρισης συχνότητας από τον μετασχηματισμό Παράδειγμα H() 0.707 Να βρεθεί η Η(e jω ) για ω=π/4 jω jω e H(e ) jω e 0.707 συνω jημω συνω jημω 0.707 συν45 jημ45 συν45 jημ45 0.707 0.707 j0.707 0.707 j0.707 0.707 μηδενισμός =e jπ/4 πόλος.63e j67.5 o ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 49

Γεωμετρικός υπολογισμός της Απόκρισης συχνότητας (DTFT) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 50

Παράδειγμα Επίπεδο H() 0.8 0.8 H(ω) e e jω jω 0.8 0.8 e jω Η ω=π ω ω=0 π π 3π ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 5

Απόκριση Συχνότητας (συνέχεια) j X e x n e jn Υπολογισμός του X(e jω ) Χ(e jω ) Χ(e jω )Χ * (e jω ) Χ(e jω )Χ (e jω ) X()X( ) e jω Η ιδιότητα αυτή διευκολύνει πολύ τον υπολογισμό της απόκρισης πλάτους παράδειγμα ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 5

Απόκριση Συχνότητας - Παράδειγμα Να υπολογιστεί η απόκριση του H 0.90.8 Βήμα ο : H()H( ) 0.9 0.8 0.9 0.8 Βήμα ο : υπολογίζουμε για j e H e j 0.8.69.466 0.8 3.58.466 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 53

Περιγραφή Συστημάτων στο Επίπεδο Πόλοι και Μηδενισμοί Συνάρτηση Μεταφοράς ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 54

Συνάρτηση Συστήματος Ορίζουμε ως συνάρτηση συστήματος την : H() Z{h(n)} h(n) n Λόγω της ιδιότητας της συνέλιξης η απόκριση Y() του συστήματος αυτού σε σήμα εισόδου X() είναι : Y()=H()X() ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 55

από την εξίσωση διαφορών y(n) N k a k y(n k) M m0 b m x(n m) Υπολογίζεται η και η H(): Y() Y() X() Η συνάρτηση αυτή μπορεί να γραφτεί με τον ακόλουθο τρόπο H() Y() X() b 0 H() NM Y() X() M m N k N k ( ( a k M m k b k k m m0 N ) ) a k m k M m0 μηδενισμοί πόλοι b m m ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 56

Πόλοι μηδενισμοί - Παράδειγμα Δεδομένων των πόλων και μηδενισμών εύκολα βρίσκεται η συνάρτηση μεταφοράς x Μοναδιαίος κύκλος x 7 o x X. 0.5 j 0.7 0.5 j 0.7 0.8 5 X ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 57

Και κάθε σήμα περιγράφεται στο πεδίο- από πόλους και μηδενισμούς πχ. η u(n) Επίπεδο - u(n) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 58

Ευστάθεια στο επίπεδο Ζ Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου: h(n)= h(k) Στο πεδίο του μετασχ.- έχουμε αντίστοιχη σχέση: Ενα σύστημα είναι ευσταθές όταν οι πόλοι του ευρίσκονται μέσα στον μοναδιαίο κύκλο. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 59

Ευστάθεια στο επίπεδο Ζ - Παράδειγμα H() Y() X() a Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα το σύστημα είναι ευσταθές εάν α< επαλήθευση : h(n)=z - a = a n- u(n-) h(n)=[0 a a a 3...] Είναι προφανές ότι για ευστάθεια πρέπει a< ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 60

Ευστάθεια στο επίπεδο Ζ - Παράδειγμα Y a X a a H Y Y X y n y n x n hn 4 6 0, 0,, 0, a, 0, a, 0, a,... ευστάθεια a ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 6

Ευστάθεια στο επίπεδο Ζ (συνέχεια) Για ένα σύστημα ας τάξεως εκφράζουμε τους πόλους στη μορφή H( ) (... j a re )( ) r cos r και έχουμε: ( re j )( re j ) Για ευστάθεια: r< ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 6

Συστήματα Κάθε σύστημα υψηλής τάξεως μπορεί να παρασταθεί από συστήματα ης και ας τάξεως σε διαδοχική ή παράλληλη σύνδεση. x(n) H () H () H k () y(n) c 0 H () x (n) H () y(n) H k () ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 63

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 64 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ Σύστημα -συνάρτηση ης τάξεως r rcos H(). a H(). o j j o r rcos b b b ) re )( re ( b b b () H p H() Σύστημα-συνάρτηση ας τάξεως

Συστήματα ης τάξεως H p Η απόκριση συχνότητας Η(e jω ) σχετίζεται με τον πόλο της συνάρτησης. H() a Ο πόλος είναι πάντα πραγματικός αριθμός Για ω=0 και ω=π η ενίσχυση είναι: 0 e G G(0) 0 e a a G G(π) jπ e jπ e a a Εάν a>0 βαθυπερατό φίλτρο Εάν a<0 ηψιπερατό φίλτρο ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 65

.συνέχεια H() a a επίπεδο a H(ω) H(ω) G G G π ω G π ω a n h(n) h(n) (-a) n ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 66

Συστήματα ης τάξεως - συμπερασματικά: Όσον ο πόλος κινείται πιο κοντά στον μοναδιαίο κύκλο (a): η «κορυφή» αυξάνει το εύρος ζώνης μειώνεται, και η κρουστική απόκριση εξασθενεί πιο αργά. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 67

ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 68 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ Συστήματα ας τάξεως a a b b b () H o Εάν οι πόλοι είναι μιγαδικοί:, =re jθ ) re )( re ( b b b () H jθ jθ o o r rcosθ b b b () H

..συνέχεια Aπόκριση συχνότητος Ας θεωρήσουμε μόνο τους πόλους (μηδενισμούς μόνο στο =0): x r θ H() rcos r x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 69

Τι γίνεται όταν μεταβάλλεται η γωνία θ 40 5 0 30 30 0 5 0 0 0 05 0 5 0 0-0 -0-5 -5 x r x r x r x x x r x r θ=0 r θ r x x x x x -0-0 0 3 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 70

magnitude --> db Τι γίνεται όταν μεταβάλλεται η απόσταση r 50 40 30 x x x r=0.5 r=0.7 r=0.999 0 0 0 0 0.5.5.5 3 frequency --> rad x ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 7

Συμπερασματικά r η απόκριση γίνεται οξεία και το εύρος ζώνης ελαττώνεται. Η κρουστική απόκριση έχει μικρότερο ρυθμό εξασθένησης. r= έχουμε σύστημα ταλαντωτή. θ=0 βαθυπερατό φίλτρο θ=π υψιπερατό. Σε ενδιάμεσα θ έχουμε ζωνοδιαβατά φίλτρα. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 7

Παράδειγμα (πόλοι πάνω στο μοναδιαίο κύκλο) Δίνεται : y(n)=y(n-)-y(n-)+x(n)+x(n-) () j ( e ( ) )( e H / 3 j / 3 ) x e e jπ/3 jπ/3 e e jπ/3 jπ/3 θ=π/3 x h(n) e j / 3 e jn/ 3 u(n) e jn/ 3 e j / 3 u(n) 4cos 3 (n ) u(n) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 73

.συνέχεια h(n) n Παρατήρηση: Η συχνότητα του ταλαντωτή είναι π/3 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 74

Παράδειγμα (πόλοι μέσα στο μοναδιαίο κύκλο) Για το σύστημα: y 4 (n) y(n ) y(n ) x(n) H() 3 e e jπ/ 6 jπ/ 3 4 3 e e jπ/ 6 jπ/ 3 x x r=/ θ=π/3 Η εξασθένηση h(n) 3 n cos π 3 n π u(n) 6 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 75

Ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Έχουν: πόλους πλησίον του μοναδιαίου κύκλου μηδενισμούς στο ω=0 και ω=π ( = και =-) H( ) H( e jω 0. 9 0. 8 cos ω ) 44 3 58 ω 6 ω.. cos. cos x x r=0.9 θ=π/3 Πόλοι= 0.4500 + 0.7794i 0.4500-0.7794i απόκριση ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 76

Η(e jω ) H m 0 H() 0.9 0.8 8 H m 6 4 ω ο 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 Δω ω/π Aπόκριση συχνότητας του ζωνοδιαβατού φίλτρου. Διακρίνονται: η κεντρική συχνότητα ω ο και οι μηδενισμοί (ω=0 και ω=π) το εύρος ζώνης Δω, ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 77

(Γεωμετρικός) Σχεδιασμός ενός ταλαντωτού p Re jω o ο τεταρτημόριο ω ο -ω ο P Α Q Δω Β 0 ω το σύστημα αυτό έχει την εξής συνάρτηση μεταφοράς H() ( Re jω ο G )( Re jω ο ) G R cos ω ο R ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 78

H...συνέχεια H απόκριση-επιπ.- 0 0 π/ π Α P Q Δω Β 0 ω ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 79

...συνέχεια P Α Q G H( ) PA P* A G H(ωQ ) PQ P*Q) 0 ω Δω Β H( ( Q ) ) PQ PA Από την τελευταία σχέση συνεπάγεται ότι αν το PQA είναι ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι και ισοσκελές δηλ. ΑQ=PQ. Άρα Δω = μήκος τόξου ΑΒ=ΑQ=PQ=(-OP)=(-R) Συμπέρασμα Δω=(-R) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 80

παράδειγμα Να σχεδιασθεί ένας ταλαντωτής ( πόλων) με μέγιστο στη συχνότητα f o =500H εύρος ζώνης Δf=3H και συχνότητα δειγματοληψίας f s = 0KH Αρχικά υπολογίζονται οι κανονικοποιημένες τιμές ω ο =πf o /f s =0.π rad Δω=πΔf/f s = 0.0064 π 0.0 (-R)=0.0 R=0.99 Από την τιμή αυτή υπολογίζονται οι οι παράμετροι του ταλαντωτή ως εξής: ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 8

H() Rcos R a R cos 0.99 cos 0..883 a R 0.980 G R R R cos 0.006 Αρα η συνάρτηση H() είναι: 0.006.883 0.980 H H f 0 3 4 5 f k H ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 8

Εξίσωση Διαφορών - Λύσεις ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 83

Μονόπλευρος Μετασχηματισμός Ζ Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός- ενός σήματος x(n) ορίζεται η μιγαδική συνάρτηση X ( ) x( n) n Z[ x( n) u( n)] n0 Στον μονόπλευρο μετασχηματισμό αθροίζουμε από το μηδέν ανεξάρτητα αν η ακολουθία είναι αιτιατή ή όχι. Για αιτιατά σήματα ο μονόπλευρος μετασχηματισμός- ταυτίζεται με τον δίπλευρο μετασχηματισμό- ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 84

Παρατηρήσεις Η αξία και το νόημα του μονόπλευρου μετασχηματισμού- βρίσκεται στην λύση εξισώσεων διαφορών με αρχικές συνθήκες Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός- δεν περιέχει πληροφορία για το σήμα στις αρνητικές χρονικές στιγμές Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός- ταυτίζεται με τον δίπλευρο του σήματος x(n)u(n) και δεν χρειάζεται να ορίζουμε περιοχή σύγκλισης Για τον μονόπλευρο μετασχηματισμό- ισχύουν όλες οι ιδιότητες του μετασχηματισμού- εκτός από την ιδιότητα της μετατόπισης (καθυστέρησης) που ορίζεται στη συνέχεια. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 85

Αρχικές συνθήκες ιδιότητα μετατόπισης Εάν Χ + () είναι ο μονόπλευρος μετασχ- του x(n) τότε x(n-k) έχει τον εξής (μονόπλευρο) μετασχ.- : Z [x(n k)] Z[x(n k)u(n)] mk mk k x(m) x(m) X () (mk ) (mk) m0 X x( ) x(m) () k k m n0 k x( ) x(n k) mk n x(m) nmk (mk )...x( k) mk m0 x(m) x(m) m (mk) Δηλαδή εκτός από την καθυστέρηση των k σημείων θα πρέπει να προστεθούν και k όροι για να εκφράσουν τις k αρχικές συνθήκες. k k ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 86

Παραδείγματα Αν τότε xn x n X( ) X( ) x( ) Αν τότε x n x n X( ) X( ) x( ) x( ) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 87

Παραδείγματα - συνέχεια Δίνεται η εξής Εξ.Διαφορών: a y n y n x n Πως γίνεται ο Μετασχ.- αν δίνονται και μη μηδενικές αρχικές συνθήκες?? a Y y Y X a a Y X y Y a y X a - ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 88

Εξίσωση Διαφορών Ομογενής και μερική λύση -Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών: y(n)- 3 / y(n-)+ / y(n-)=x(n) Όπου: x(n) n u(n) 4 και οι αρχικές συνθήκες είναι: y(-)=4 και y(-)=0 n0 Για την εύρεση της y(n) έχουμε: Y() 3 Y() ( y(n) Y() y( ) Y() y( ) y( ) 9 4 )( )( 4 ) 3 n u(n) u(n) n u(n) 3 3 4 3 4 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 89

.συνέχεια Η παραπάνω λύση της εξ. διαφορών μπορεί να χωρισθεί σε δύο τμήματα. y ( n) 3 4 n u( ) y n) u( n) u( ) n n ( 3 n Η y (n) είναι η μερική λύση και η y (n) η λύση της ομογενούς. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 90

Μετασχ.- Εφαρμογές ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 9

Ισοσταθμιστές (Equalier) ας τάξεως Για equalier ας τάξεως με μηδενισμούς στην ίδια συχνότητα με τους πόλους έχουμε: p re Re jω o jω, o, p re jω Re o, jω o H() rσυνω Rσυνω ο ο r R ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 9

.5.4.3.. 0.9 0.8 0.7 r<r r>r =0.98*exp(j*pi/3) =0.98*exp(-j*pi/3) p=0.99*exp(-j*pi/3) p=0.99*exp(j*pi/3) 0.6 ω ο 0.5 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Συχνότητα xπ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 93

Παράδειγμα Δίνεται για τους πόλους R=0.98, ω ο =0.4π. Να βρεθεί η H() για εξισωτή που έχει μηδενισμούς r 0.964 ή r 0.995 ή r Από την σχέση : H() r cos r Rcos R 0.5964 0.93 r 0.964 H 0.6057 0.9604 0.649 0.99 r 0.995 H 0.6057 0.9604 0.68 r H 0.6057 0.9604 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 94

equaliers ης τάξης με μηδενισμούς στην ίδια συχνότητα με τους πόλους και = (στον μοναδιαίο κύκλο) ------Notch Filters--- Eπειδή για την H() b b a a ισχύουν eros:... e poles: Re j o j o a Rcos a R b cos b a a Rb R b μπορεί να πάρει την μορφή : H( ) b b N b N b R R R ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 95

Η προηγούμενη σχέση μπορεί να γενικευτεί για συναρτήσεις υψηλής τάξεως Η Η(ω) είναι επίπεδη εκτός από μια περιοχή γύρω από τους μηδενισμούς του παρανομαστή Ν() M b b... b N M H( ) M M R b Ro b... R b M N R ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 96

H(e jω ) Παραμετρικοί εξισωτές υψηλής τάξεως - παράδειγμα πόλοι μηδενισμοί R=0.98 ω ο =0.π 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 ω xπ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 97

Notch Filters Παράδειγμα Ένα σύστημα με συχνότητα δείγματος f έχει παρεμβολές s 600H από το δίκτυο δηλαδή σε συχνότητες fs 60H και αρμονικές: fk k60h. Να σχεδιασθεί ένα φίλτρο, που να μηδενίζει τις παρεμβολές αυτές. Αυτό θα είναι ένα notch filter με μηδενισμούς στα f 0. ή γενικά: f s ω k k 0. k Οι τιμές του k βρίσκονται από: 0. k k 0 Δηλαδή k 0,,...9 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 98

Αρα 9 9 j 0. k j k N e e 0 0 0 και H() ( ) p 0 0 0 p 0 0 Μια επιλογή του p 0 0.98 0.998 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 99

Γεννήτριες Ημιτονικών Σημάτων Για τις γεννήτριες ημιτονικών σημάτων ισχύει : sin sin R h n R n n u n H Rcos R Απόδειξη ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 00

n H R sin n 0 n R 0 e n j n e j j n n n n n j j j j R e R e R e R e j 0 j 0 0 j R e R e j j j R e R e j R cos R R cos0 j sin cos j sin j R cos R Rsin Rcos R j ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 0

Γεννήτριες Περιοδικών Σημάτων Ένα περιοδικό σήμα έχει την μορφή: h b, b,..., b, b, b,..., b,... o D o D Θα μελετήσουμε την διαδικασία παραγωγής του με το επόμενο παράδειγμα: Εστω ότι η περίοδος του είναι D=4 σημεία: h=[b 0 b b b 3 b 0 b b b 3..] αποδεικνύεται ότι ο αντίστοιχος μετασχ- είναι : H bo b b b 3 3 4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 0

The Maclaurin series: ( x) =+x+x +x 3 + επειδή 3 4 8 o 3... H b b b b h n b b b b b b b b o 3 3 4 3 o 3 b b b b... o o o 3 8 3 b b b b b b b b 3 4 5 6 7 3 o 3 b b b 8 9 b b b b b... o 3 o 4 8... 4 b 0 3... ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 03

Ακουστικά Εφέ - Comb Filters Καθυστερήσεις To σήμα, που ακούμε συνήθως, είναι άθροισμα της ηχητικής πηγής και του ανακλωμένου από διάφορα σημεία, που έρχονται με κάποια καθυστέρηση. Απλή ανάκλαση Ηχώ (Echo) y(n) x(n) ax(n Y() X() a H() a D D D) X() h(n) δ(n) aδ(n D) Μηδενισμοί: k a / D e πj(k) / D k 0,,...,D ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 04

Πολλαπλή ανάκριση y(n) x(n) ax(n D) a H() a H() a D D a D x(n D) a... 3 x(n 3D)... Πόλοι : k pk pe pe p a D j j k D ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 05

Αποσυνέλιξη Αντίστροφο Φιλτράρισμα Στην εξίσωση δίνεται το y n και ζητείτε το Από την προηγούμενη εξίσωση με μετασχηματισμό Ζ έχουμε : Εφαρμογές : Channel Equalier Listening Rooms audio effects * y n h n x n xn Y H X X Y H ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 06

.συνέχεια Περιορισμοί Θόρυβος y n h n * x n v n n xˆ n h * y n x n vˆ n όπου vˆ n h * v n INV Ευστάθεια N D H, H INV D N επειδή οι μηδενισμοί δεν είναι μέσα στον μοναδιαίο κύκλο η μπορεί να είναι ασταθής n INV H INV ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 07

..συνέχεια Παράδειγμα H n hn.5 ( n).50.5 u n H h INV n INV.5.5.5 0.5 0.5 ευσταθές αιτιατό n 0.4 n 0.6.5 0.5 0.6 0.4.5.5 ασταθές αιτιατό «Παραβλέποντας» την αιτιατότητα έχουμε: h ( n) INV 0. 4δ( n) 0. 6(. 5) n u( n ) } ευσταθές μή αιτιατό ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 08

συνέχεια Υλοποίηση : Η άπειρη σειρά κόβεται σε κάποιο σημείο και γίνεται προσέγγιση ως εξής n D h n INV n hinv n D 0 nd Τελικά n x n h * y n INV ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ - Μετασχ.- Σ. Φωτόπουλος ΔΠΜΣ 09