Φ3: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ

Φ: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ο ΓΕΛ Ν ΣΜΥΡΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ

Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

Να εξηγήσετε με λίγα λόγια τι σημαίνει ότι το Απάντηση ΘΕΜΑ ΑΘΕΩΡΙΑ f()= l,!l! Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό l, καθώς το προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό, τότε γράφουμε f()= l και διαβάζουμε το όριο της f, όταν το τείνει στο, είναι l Î Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο, τι πρέπει να ελέγξουμε για την f ; Απάντηση Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο, πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε "κοντά στο ", δηλαδή η f να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( a, ) È (, b ) ή (, b ) ή (, ) a Τι ονομάζουμε πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f στο o ; 4 Πότε μπορούμε να γράφουμε f() = f() ; Απάντηση Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής ( a, ), αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (, b ), τότε ορίζουμε: f() = f() 5 Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά την ύπαρξη του ορίου μιας συνάρτησης f στο o και τα πλευρικά της όρια στο o 6 Ποιο είναι το f() αν: i η f είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής ( a, ) È (, b ) ; ii η f είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής (, b ) αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφή ( a, ) ; iii η f είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής ( a, ) αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφή(, b ); 7 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει μια ιδιότητα P κοντά στο ; 8 Να γράψετε τη σχέση ανάμεσα στο πρόσημο του ορίου και το πρόσημο της συνάρτησης 9 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ( υπάρχουν τα όρια των f και g στο o ) = c = ( f g ) = n = ( k f) = Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

( f g ) = f = g f = k f = P = = Q sun = sun = Να αποδείξετε ότι P = P Να αποδείξετε ότι P P = Q Q ( ) Ποια είναι τα βήματα υπολογισμού του ορίου f( g ) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής 4 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ημ = συν = ημ = συν = ημ συν = = f()= Απάντηση Καθώς το κινούμενο στον άξονα πλησιάζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό, οι τιμές 5 Να εξηγήσετε με λίγα λόγια τι σημαίνει ότι το της f()αυξάνονται απεριόριστα και γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό Μ f()= Απάντηση Καθώς το κινούμενο στον άξονα πλησιάζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό, οι τιμές 6 Να εξηγήσετε με λίγα λόγια τι σημαίνει ότι το της f()ελαττώνονται απεριόριστα και γίνονται μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό Μ 7 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω βασικές προτάσεις που αφορούν το μη πεπερασμένο όριο i Αν f =, τότε f κοντά στο, ενώ αν f =, τότε f( ) κοντά στο ii Αν f =, τότε ( f( )) =, ενώ αν f ( ) =, τότε ( f( )) = iii Αν f = ή, τότε = f iv Αν f = και f > κοντά στο, τότε =, f ενώ αν f = και f < κοντά στο, τότε = f Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 4

v Αν f = ή, τότε vi Αν f =, τότε f( ) = k f( ) = vii Έχουμε: = και γενικά =,n Î n viii Έχουμε: = και γενικά =, n Î n i Έχουμε: = και γενικά =, n Î n Απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι: * () () και ( ± ) i Επειδή f g = f (g) και πηλίκου συναρτήσεων είναι οι: f = f, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς και του g g ()(), ()() και, ± ± 8 Να συμπληρωθούν οι ιδιότητες του μη πεπερασμένου ορίου(στο o συναρτήσεων Î R ) για το άθροισμα δυο Αν το όριο της f είναι: Αν το όριο της g είναι: Τότε το όριο της fg είναι: aî R aî R 9 Να συμπληρωθούν οι ιδιότητες του μη πεπερασμένου ορίου(στο o συναρτήσεων: Î R ) για το γινόμενο δυο Αν το όριο της f είναι: Αν το όριο της g είναι: Τότε το όριο της fg είναι: a > a < a > a < Ποιες είναι οι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια: αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου; Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 5

Με τη βοήθεια διαγράμματος να περιγραφούν οι έννοιες: i f = lî R, g =, h = ii f = lî R, g =, h = * Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ( n Î N ) n n = = n n = = Να γράψετε τις προτάσεις που αφορούν στην εύρεση ορίου πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης όταν ή 4 Να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν το όριο της εκθετικής συνάρτησης f = a, όταν ή 5 Να γράψετε τις σχέσεις που δίνουν το όριο της λογαριθμικής συνάρτησης f = loga, όταν ή 6 Έχουμε: ν * = και = ν,n Î 7 Έχουμε: ν ì, an ν = í î, an ν και = ν, n Î * ν ν 8 Για την πολυωνυμική συνάρτηση P = αν αν L α, με α ¹ ισχύει: P = και P = 9 Για τη ρητή συνάρτηση f α α ν ν ν ν = κ κ βκ βκ L α α L β β ν, με α ¹, β ¹ ισχύει: f = και f = Αν a >, τότε: a = a = log = log = a a ν κ Αν a < <, τότε: a = a = log = a log = a Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 6

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Απαραίτητη προϋπόθεση για να αναζητήσουμε το ( a, ) È (, b) ή (, ) της μορφής a ή f() είναι η f να ορίζεται σε ένα σύνολο (, b ) Αν Αν f()= lû f()l = f()= Û f() = ()= l () =l 4 Αν f Û (f ) 5 Aν f()> g(), τότε f()>g() κοντά στο 6 Αν f() ³ (ή f() ) κοντά στο, τότε f() (ή ³ f() ) 7 Αν ¹ f ()=l τότε δεν είναι υποχρεωτικό ότι θα υπάρχει το f() 8 Αν f() l τότε δεν είναι υποχρεωτικό ότι θα υπάρχει το = f() 9 Αν η f είναι ρητή συνάρτηση η οποία έχει κάποιες παραμέτρους και ζητάμε να τις βρούμε έτσι ώστε να έχει η f όριο όταν το τείνει στο, από τον τύπο της f κάνουμε χιαστί και μετά παίρνουμε όρια Όταν υπάρχει, το όριο στο μιας συνάρτησης πολλαπλού τύπου, και το είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος, παίρνουμε πλευρικά όρια τα οποία είναι ίσα Όταν έχουμε ρίζες διαφορετικής τάξης, μπορούμε να θέσουμε ως u τη ρίζα που θα έχει τάξη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών, και αφού υπολογίσουμε το u που θα τείνει το, θα οδηγηθούμε σε ένα όριο πηλίκου πολυωνυμικών συναρτήσεων, τις οποίες u όταν το και θα παραγοντοποιήσουμε Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο, πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( α, ) Ενώ για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο, πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (, β) Για τα όρια στο, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την προϋπόθεση ότι: οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή 4 Για να βρούμε το όριο άρρητων συναρτήσεων( όταν ή ) ακολουθούμε τα εξής βήματα: Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 7

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f, για το f( ) θεωρούμε εκείνα τα, ενώ για το f( ) θεωρούμε εκείνα τα Î A με < Τους όρους της μορφής k n an a a τους γράφουμε στη μορφή k n a a k an, n n βγάζοντας από όλους τους όρους κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη δύναμη του Î A με > το όριο προκύπτει άμεσα, αν όμως οδηγηθούμε σε απροσδιόριστη μορφή τότε ακολουθούμε άλλη τακτική, συνήθως συζυγή παράσταση Για να μην χάνουμε χρόνο, ελέγχουμε από την αρχή την εμφάνιση ή μη της απροσδιοριστίας παίρνοντας μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους και θεωρώντας > όταν (ή < όταν ) Σε κάθε περίπτωση, όπου το άθροισμα των μεγιστοβάθμιων όρων είναι, θα προκύπτει απροσδιόριστη μορφή 5 Για να βρούμε όριο διαφοράς ριζικών στο άπειρο πχ f = k g k h ακολουθούμε τα εξής βήματα: Αν τα πολυώνυμα g και h έχουν διαφορετικό μεγιστοβάθμιο όρο, τότε βγάζουμε κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη δύναμη του στα δυο υπόρριζα και η f ( ) γράφεται ως γινόμενο δυο * lî R συναρτήσεων από τις οποίες η μια έχει όριο άπειρο και η άλλη g και h έχουν τον ίδιο μεγιστοβάθμιο όρο, τότε: g h ü Αν κ= γράφουμε f = g h = g h Αν τα πολυώνυμα k k a b ü Αν k ³, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: a b = a k a k b k k a b b 6 Αν το όριο æ ö f() καταλήγει στη μορφή ç και ο τύπος της f() περιέχει απόλυτα θα è ø πρέπει να τα απαλείψουμε Αν το δεν μηδενίζει τις συναρτήσεις που είναι μέσα στα απόλυτα, τότε τα βγάζουμε σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων Δηλαδή: Αν f()>, τότε f()> κοντά στο, δηλαδή βγάζουμε το απόλυτο χωρίς να αλλάξουμε τα πρόσημα της συνάρτησης μέσα στο απόλυτο, ενώ αν, δηλαδή βγάζουμε το απόλυτο αλλάζοντας τα f()<, τότε f()< κοντά στο πρόσημα της συνάρτησης μέσα στο απόλυτο Αν το τώρα μηδενίζει τη συνάρτηση που είναι μέσα σε κάποιο απόλυτο, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω δύο ιδιότητες των ορίων 7 Για να βρούμε τα όρια συναρτήσεων με απόλυτες τιμές βρίσκουμε πρώτα τα όρια των συναρτήσεων μέσα στα απόλυτα και μετά τα βγάζουμε σύμφωνα με τις ιδιότητες: Αν f( ) =, τότε f( ) > στο Αν f( ) =, τότε f( ) < στο Αν f( ) =, τότε f( ) > στο Αν f( ) =, τότε f( ) < στο 8 Οι γνωστές ιδιότητες των ορίων ισχύουν και για τα όρια στο, με την προϋπόθεση ότι οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 8

9 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις hm, sun, ej, sj δεν έχουν όριο στο, Επειδή δεν υπάρχουν στο ή τα όρια των συναρτήσεων: ημ, συν, εφ και σφ, για να βρούμε τριγωνομετρικά όρια μπορούμε να: χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής, ξεκινώντας από τις γνωστές ανισότητες για το ημίτονο και το συνημίτονο: hm, hm, sun χρησιμοποιούμε αλλαγή μεταβλητής με αντικατάσταση, αν η γωνία των τριγωνομετρικών αριθμών είναι σύνθετη Χρησιμοποιούμε (διαιρώντας κατάλληλα αριθμητή και παρονομαστή για να τα δημιουργήσουμε) τα hm sun hm sun γνωστά όρια: =, =, =, =, τα δυο τελευταία με ± ± απόδειξη Για να βρούμε όρια εκθετικών συναρτήσεων που έχουμε καταλήξει σε κάποια απροσδιόριστη μορφή τότε: Όταν, βγάζουμε κοινό παράγοντα την εκθετική παράσταση με τη μεγαλύτερη βάση n (αν υπάρχουν οι όροι e,, ln τότε κοινός παράγοντας βγαίνει ο e, αν δεν υπάρχει ο e τότε κοινός n παράγοντας βγαίνει ο, όπου ν είναι η μεγαλύτερη από τις παρουσιαζόμενες δυνάμεις του ), ενώ όταν, βγάζουμε κοινό παράγοντα την εκθετική παράσταση με τη μικρότερη βάση Για τον υπολογισμό ορίων της μορφής é éë g ë f ùû με f > κάνουμε χρήση του μετασχηματισμού ln éë ùû ln éë ùû ù g g = f g f e = e f, θέτοντας στη συνέχεια ln û υπολογίζουμε το όριο του εκθέτη u = g éë f ùû και ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥΛΑΘΟΥΣ Μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, έναν πραγματικό αριθμό l Αναγκαστικά το ανήκει στο πεδίο ορισμού της Το όριο μιας συνάρτησης f στο εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό Αν f ( ) = a, τότε f ( ) = a, a Î 4 Αν f ( ) = a και f ( ) g ( ) = b, ab, Î τότε 5 Αν g = b a f g = a, a Î τότε οι f, g έχουν πάντοτε όριο στο 6 Αν f ( ) g ( ) = a, a Î τότε ( f g ) f ( ) g ( ) = 7 Αν f ( ) g ( ) = τότε f ( ) = ή g ( ) 8 Δίνεται συνάρτηση : = f για την οποία ισχύει f ( ) > Τότε ισχύει και 9 Αν ισχύει f ( ) κοντά στο, τότε ισχύει και f ( ) f > Αν υπάρχει το f ( ) και ισχύει f ( ) > κοντά στο, τότε θα ισχύει ότι f ( ) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο f < g και ισχύει f ( ) g ( ) Αν ισχύει f ( ) =, τότε ισχύει: = ή f > < κοντά στο, τότε ισχύει: f = Αν ισχύει f ( ) g( ) =, τότε ισχύει ότι: f ( ) g ( ) = Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 9

4 Αν ισχύει f ( ) g( ) για κάθε Î και g ( ) =, τότε ισχύει και f ( ) 5 Αν f ( ) g ( ), τότε και f ( ) g ( ) κοντά στο 6 Αν f ( ) = b, g ( ) = g και f ( ) ¹ b κοντά στο α, τότε g f ( ) a ( ) 7 Αν f f ( ) 8 Αν g ( ) b = l Î τότε ( ) f = l = = τότε f ( ) g ( ) a = = g 9 Μια συνάρτηση f έχει στο = όριο το Τότε η f παίρνει αρνητικές τιμές για κάποια κοντά στο Αν Αν f () = l, l ¹, τότε πάντοτε ισχύει f () = l f () = l, τότε υπάρχει συνάρτηση φ με φ () = και f () = l φ () ημ (α) Ισχύει ότι = με α ¹, Έστω η συνάρτηση f = Ισχύει f () = = f () 4 Αν f : ισχύει ότι, αν f ( ) = τότε f ( ) = 5 Αν f, g : ισχύει ότι, αν f ( ) g ( ) f = g = 6 Αν ισχύει f ( ) =, τότε ισχύει και : = τότε f = f 7 Αν υπάρχει το όριο της f στο και είναι f ( ) =, τότε 8 Αν f ( ) > τότε f > κοντά στο 9 Αν για τη συνάρτηση υπάρχει το f μπορούμε να συμπεράνουμε ότι υπάρχει το f ( ) Το όριο ln ( ) Το όριο Το όριο 5 7 Το όριο ln ( ) 4 Το όριο ln ( 5) 5 Αν = και f είναι καλώς ορισμένο είναι καλώς ορισμένο είναι καλώς ορισμένο είναι καλώς ορισμένο είναι καλώς ορισμένο 6 Αν f ( ) =, τότε f ( ) f > κοντά στο, τότε = 7 Αν f 4 για κάθε Î ( a, ), τότε f 5 8 Αν f ( ) για Î, τότε f ( ) για κάθε f = είναι ίσο με = =, τότε Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

9 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε f ( ) 4 Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε f ( ) 4 Αν < a <, τότε a 4 Αν < a <, τότε a = = = = ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα, τότε λάθος είναι: Α f () = 4 B f () = Γ f () = Δ f ( ) = E f () = 4 4 y y Για τη συνάρτηση f του σχήματος, ισχύει Α f () = 6 B f () = 8 Γ 4 4 f () ¹ Δ υπάρχει το E 4 f () 4 4 f () f () = f () 4 4 y 8 6 4 y Αν f () g () με Î (, ) και οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο πραγματικό αριθμό στο, τότε ισχύει ότι Α f () > g () Β f () > και g () < Γ f () g () Δ f () ³ g () Ε τίποτα από τα παραπάνω 4 Αν h () f () g () με Î (, ) και h () = g () =, τότε ισχύει ότι Α f () = Β [f () g ()] = Γ [h () f ()] = Δ f () = Ε τίποτα από τα παραπάνω 5 Αν Α f () = και [f () g ()] = B g () =, τότε πάντοτε ισχύει ότι: [f () g ()] = Γ Δ για το όριο της συνάρτησης f g στο έχουμε απροσδιόριστη μορφή Ε [f () g ()] < [f () g ()] > Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

6 Από τις παρακάτω ισότητες να βρείτε αυτήν που είναι λάθος Α = B = Γ = Δ συν = E ημ = π 7 Αν f () =, τότε το συν (f ()) είναι ίσο με: π Α B Γ Δ E ì 5 6 ï, ¹ f = í Τότε ισχύει ï î, = Α η f δεν είναι συνεχής στο B η f είναι συνεχής στο Γ η f για > είναι γνησίως φθίνουσα 8 Δίνεται η συνάρτηση Δ δεν υπάρχει το f () E f () ¹ f () 9 Για τη συνάρτηση f με τύπο f() = 4 e ισχύει: Α f () = B f () = 4 y Γ η γραφική παράσταση της f μπορεί να είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα 4 Δ f () ¹ f () y E τίποτα από τα παραπάνω Το 4 (4 ) (4 ) είναι ίσο με Α 6 B 4 Γ Δ E Αν f () για < 4, τότε το f() (αν υπάρχει) είναι ίσο με Α B Γ Δ Ε Δίνεται η συνάρτηση f () = τον αριθμό Α,4 B 4 Γ,75 Δ,5 E 7 Η τιμή f ( 4 ) προσεγγίζεται με ικανοποιητική ακρίβεια από 4 7 Από τις παρακάτω ισότητες λάθος είναι η Α συν = B συν = Γ ημ = Δ ημ = E εφ = Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

Β Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β ( ) hm 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Να βρείτε το f p Β Για μια συνάρτηση f που ορίζεται κοντά στο ισχύει: p f ( ) Να υπολογίσετε το f ( ) p hm = Β Μια συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα (, ) Αν ισχύει ( ) 4 = 6 f, να βρείτε το f ( ) = 5 5 i Να εξηγήσετε γιατί έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου της f στο 5, ii Να βρείτε το f() 5 Β4 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με f Β5 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με f()= ( ) ( ) ( ) ( ) Β6 Αν η συνάρτηση f : είναι γνησίως μονότονη και να βρεθεί ο a Î ώστε να υπάρχει το f a Να βρείτε, αν υπάρχει, το Β7 Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ( h) 4 i f h f = f( a ), f = f( a ) a a = Να βρείτε τα όρια : ii f ( ) 4 iii f ( ) iv f ( ) 6 ( ) Β8 Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν f ( ) = l, f ( ) = l 4 και f ( 4 h) = όπου l Î Να βρείτε τον αριθμό l h 4 Β9 Αν k, lî και ï f =í ïî ì l l, < k( ), ³, να δείξετε ότι δεν υπάρχει το f Β Δίνονται συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει f = 4 και g ( ) Να δείξετε ότι: f ( ) g ( ) g ( ) f 4 = = Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

Β Αν f = ln a a, α> και f = να βρείτε την τιμή της παραμέτρου α ώστε να υπάρχει το f Β Να βρεθούν τα όρια: i ii 4 5 4 5 6 iii iv 4 4 Β Να βρεθούν τα όρια: i ημ sun ii (ημημ ) iii hm5ημ iv efεφ Β4 Να βρεθούν τα όρια: i () ( ) ii iii iv f ( ) και g όπου ì ï, f ( ) =í και ïî, > ì ï, < g ( ) = í ïî, ³ v vi vii viii i 9 5 Β5 Αν sun, για κάθε Î, να αποδείξετε ότι: f() = f () f() Β6 Έστω ότι: f =l Να δείξετε ότι: i Αν η f είναι άρτια, τότε f ii Αν η f είναι περιττή, τότε f = l =l Β7 Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και f ( ) = 5, να βρεθεί το f Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 4

ìhm, < ï = í Να βρείτε το όριο ï sun, > ïî f = t t και f( hm) = t να βρεθεί ο t Β8 Δίνεται η συνάρτηση: F Β9 Αν Β Να βρεθούν τα όρια: F() i ii iii iv 7 5 9 5 4 6 9 v vi vii viii 9 4 Β Να βρεθούν τα όρια: i 4hmc c ii ( hmc efc ) iii efcc hmc hmc iv sun4c hm c v efc efc 5 vi sunc hmc vii c hmc c hmc viii hmcsunc hmcsunc i sun p p Β Αν για τη συνάρτηση f : είναι f ( ) 5 = 7, να βρεθεί το f ( ) Β Αν ( ) f = 5 και g 4 Β4 Αν ½f()5ï, για κάθε ¹, να βρεθεί το f ( ) =, να υπολογιστεί το: f g Β5 Να βρεθούν abî, ώστε: α ( b ) α β 4 = Β6 Δίνεται η f : με f f ( f ) = Να αποδειχθεί ότι: = f Β7 Αν για την f : ισχύει: ïf() συν ½ ημ 4 για κάθε * Î, να δείξετε ότι: f ( ) = Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 5

Β8 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: ()f() 7 Να υπολογιστεί το f ( ) 6 για κάθε Î(,) Β9 Έστω f μια συνάρτηση για την οποία ισχύει 6 f() 9 για κάθε Î Να υπολογίσετε τα όρια: i f ( ) ii f()8 8 iii f()8 iv f() 8 5 v f() Β Δίνονται οι f, g : για τις οποίες ισχύουν f 6 ( f g ) Να βρείτε, αν υπάρχει, το ëg û = = και 4 ( 6) é ù f Β Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: f 4 = Να δείξετε ότι: f ( ) = 9 Β Έστω ένα όριο της μορφής f ( ) g( ), όπου f και g συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει: = (δηλαδή η f είναι μια μηδενική συνάρτηση) και g ( ) f η g είναι μια φραγμένη συνάρτηση) Να δείξετε ότι: f ( ) g ( ) Β Να αποδείξετε ότι: = i ( ημ ) = ii ( 4 συν )= Β4 Να βρεθούν τα όρια: M, όπου M > (δηλαδή i ii iii 4 4 ( ) iv π ημ v π sun vi æ ö ç è ø vii æ ö ç è ø viii æ ö ç è ø iii æ 4 ö ç è ø iv v 8 8 vi vii viii 5 ( ) 7 ej π i Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 6

i æ ö ç è ø æ ö ç è ø i æ ö ç hm è ø ii i ii sfc iii p sunc iv hm 4 Β5 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i f ì, an ¹ < ï 4 = í ï ïî, an ¹ = ii f ( ) 5 Να δείξετε ότι: = iii f = Β6 Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του l Î, το Β7 Έστω συνάρτηση f : f = Β8 Αν f = g l l f hm για την οποία ισχύει: ή και f =, να δείξετε ότι: = l Î, να δείξετε ότι: g ( ) = a Με τη βοήθεια του προηγουμένου, να βρείτε τις τιμές του a Î, ώστε = a 4 a Β9 Έστω η συνάρτηση f :, η οποία είναι περιττή Αν f ( ) i f ( ) ii f ( ) = δεν υπάρχει Β4 Έστω η συνάρτηση f : f Να δείξετε ότι: = Β4 Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: i f ( ) ii =, f ( ) 4 f f = =, να δείξετε ότι:, η οποία έχει την ιδιότητα: f()f(y) = yf()f(y)y για κάθε y, Î f = f, να δείξετε ότι: Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 7

Β4 Έστω οι συναρτήσεις f, g : *, με f ( ) g ( ) a a = = Να δείξετε ότι: f g f g a 4 4 = Β4 Αν f ( ) g ( ) = =, να δείξετε ότι: f 5 g = f g Β44 Α Αν f() g() κοντά στο και i = τότε και = ii = τότε και = Β Αν f: (, ) με f() ln, >, να δείξετε ότι: f ( ) = Β45 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z, αν είναι γνωστό ότι: 4 8 z i Î Β46 Αν f = 6 να εξετασθεί αν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου της συνάρτησης f καθώς: Β47 Να βρεθούν τα όρια: i ii iii iv i iii 5 ( ) 4 7 ii iv (5 ) 4 5 6 4 Β48 Να βρεθούν τα όρια: i hmq q, q < ii æ ö ç è ø Β49 Δίνεται η συνάρτηση f = 4 4 Να βρεθούν τα όρια: Β5 Δίνεται η συνάρτηση Β5 Δίνεται η συνάρτηση i f( ) ii f( ) f = 7 4 5 Να βρεθούν τα όρια: i f( ) ii f( ) f = 4 4 Να βρεθούν τα όρια: i f( ) ii f( ) Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 8

Β5 Δίνεται η συνάρτηση = 4 9 Να βρεθεί το όριο: f f Β5 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = 5 7 5 7 Να βρεθούν τα όρια: Β54 Δίνεται η συνάρτηση f i f ( ) ii f( ) = να βρεθεί το όριο f( ) Β55 Να βρεθούν τα όρια: l l l ( ) Για τις διάφορες τιμές του l Î, ( l 5) 7 i iii æ ö ç hm è ø sun ± n ii iv hm ± n sun 4 Β56 Να βρεθούν τα όρια: i 8 ii 5 6 4 iii iv 5 5 Β57 Να βρεθούν τα όρια: i ( log ln ) ii ln ( 5) ln ( ) é ù ë û iii ln ( ) é ù ë û iv ln ln ln 5 Β58 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με f = e και i Να δείξετε ότι οι f και g είναι γνησίως μονότονες ii Να λυθούν οι ανισώσεις f()> και g() > g() = ln Β59 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Nα βρείτε τα, ìïa b, = í ïî a b 6, > abî, έτσι ώστε το f ( ) = Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 9

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ Να βρεθούν τα όρια: i e e e e e ii Γ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = Να βρεθούν τα όρια: i f( ) ii f( ) Γ Να υπολογίσετε, αν υπάρχει το όριο: 4 Γ4 Να υπολογίσετε το όριο: Γ5 Να βρεθούν τα όρια: i hm sun ii hm sun æ ö iii hm ç è ø iv æ ö ç sun è ø Γ6 Έχουμε την συνάρτηση 4 ( a) Να βρείτε τα, g = b abî ώστε g ( ) 8 =, και g = 5 4 Γ7 Να βρείτε τα, abî ώστε να υπάρχει το f και να είναι πραγματικός αριθμός με: f ïì a b < = í ïî a b > 5, 5 4 ln, Γ8 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και ώστε: k a a = e Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

hm ej Γ9 Να υπολογίσετε το όριο Γ Έστω συνάρτηση f : é ë f ùû = hm p Γ Να υπολογίσετε το όριο με σύνολο τιμών ( 5,) sun ( ) Γ Έστω συνάρτηση f : τέτοια, ώστε: hm α Να βρείτε το f f f β Αν ισχύει =, να βρείτε το f f A = Να αποδείξετε ότι : æ p ö < f < sun για κάθε Î ç, è ø Γ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( ) = ln α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ Αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το διάστημα (,], να αποδείξετε ότι: ( ) < f για κάθε δ Να βρείτε το é f ù ë û Γ4 Στον ημιάξονα Ο παίρνουμε σημείο Μ με τετμημένη και φέρνουμε τμήμα ΜΝ κάθετο στον Ο με μέτρο i Να εκφράσετε το μέτρο του τμήματος ΟN συναρτήσει του ii Να υπολογίσετε το όριο του πηλίκου ON, όταν το Μ απομακρύνεται στο άπειρο OM iii Να υπολογίσετε το όριο της διαφοράς ( ON ) ( OM ) όταν το Μ απομακρύνεται στο άπειρο Γ5 Δίνεται πολυώνυμο P ( ), του οποίου η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (,) A Να βρείτε το όριο: P P Γ6 Να βρείτε τα abî,, ώστε: Γ7 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : και ég ( )( ) ë a b 4 = 9 για τις οποίες ισχύει ότι: éf ( )( ) ù = Να δείξετε ότι: û f ( ) g ( ) = êë 7 4 ù = 6 úû Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

Γ8 Να αποδείξετε ότι : i ii iii iv ( ) hma * = a, aî hma ( ) a =, ab, Î hm b b * ( ) hm hm hm K hmv vv = hm( p ) = hm 4p 4 Γ9 Να βρείτε τα abî,, ώστε η συνάρτηση f ( b 4) ì ï a,< = í να έχει όριο στο σημείο ïî 4a b,>, v Î N * = Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : για τις οποίες ισχύουν f Να βρείτε τα όρια: f g ( ) και g f ( ) 4 Γ Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο για την οποία ισχύει ότι: f ej5 sun 4 f = και g ( ) = 4 = Να βρείτε το όριο Γ Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι: f( y) = f( ) f( y), για κάθε,y Î και f f f = Να βρείτε το Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : για τις οποίες ισχύουν ( 7 ) f = και = ég ù 5 ë û = Αν η f είναι άρτια και η g περιττή, να αποδείξετε ότι f g 45 Γ4 Έστω η συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: f f 5= i Να δείξετε ότι η f είναι και να βρείτε την ii f Να βρείτε το f Γ5 Να βρεθεί το Γ6 Να βρείτε το 4 9 a a, για τις διάφορες τιμές του a Î, με α> Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

Γ7 Έστω η συνάρτηση f : Αν i f ( ) = ii f f() f = Γ8 Έστω η συνάρτηση f : για την οποία και για κάθε, = να αποδείξετε ότι: y Î ισχύει: ( ) = f y f fy i Να αποδείξετε ότι f() = ii Να αποδείξετε ότι f() = f για κάθε Î iii Aν η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα το =, να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη iv z z Αν z,w δυο μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε z = και w =, τότε: z z a) Να αποδείξετε ότι ο w είναι φανταστικός æ i ö b) Αν f ç z f ( ) = f ( 5), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w è z ø Γ9 Δίνεται μιγαδικός αριθμός z a bi 6 =, με abî, Επίσης το όριο: a b a b = l υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός 5 4 i Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z κινούνται σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση ii Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z iii Αν z a bi Γ Αν f ( ) των abî, = είναι ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο, να υπολογίσετε το όριο l a = b, abî,, να βρείτε(αν υπάρχει) το f ( ) για τις διάφορες τιμές Γ Αν α ³, να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το a a a α Γ Δίνεται η συνάρτηση των α, β, έτσι ώστε: f( ) = 6 = 4 4 b Να βρεθούν οι τιμές f a Γ Δίνεται η συνάρτηση f = ln, > i Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ii ln Να λυθεί η εξίσωση ln( ln ) = ln e ln e iii Να βρείτε το f( ) Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Δ Να βρεθούν τα όρια: i π ημ χ e ii e e iii hm Δ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = a b =, να βρείτε τα abî, Αν το f ( ) Δ Να βρεθεί το πολυώνυμο Ρ() αν ισχύει ότι: P = και P =, για κάθε Î Δ4 Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του νîν *, το,όπου f ca c a * f =, aî n ( c) f() f( a ) Δ5 Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο σύνολο Α=[, ) και = με α>, f f( a) να αποδείξετε ότι: a = Δ6 Αν abî,, να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια: i a β a α ii a β Δ7 Έστω ότι ισχύει: hm ( l ) hm ( ) 4l, για κάθε Î l ¹, ii Να βρεθεί ο l Î i Να δείξετε ότι Δ8 Αν ισχύει: hm ( a ) hm ( b) hm ( g ), κοντά στο =, να δείξετε ότι a = b g z Δ9 Δίνονται οι μιγαδικοί zw, με w =, όπου z = a bi, abî, z i 5 ì ïim( w ) Re( w ) ln ( ), και η συνάρτηση: f ( ) =í ïî Im( w ) Re ( w ), > f Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z αν είναι γνωστό ότι υπάρχει το είναι πραγματικός αριθμός και Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 4

ì, < ï f = í ï, ³ î 4 Δ Αν α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f ( ) f ( )f () β) Να βρείτε αν υπάρχει το Δ Έστω συνάρτηση f : τέτοια, ώστε : f ( ) για κάθε Î Να αποδείξετε ότι: α β γ Δ Έστω γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : και f ( ) = α Να αποδείξετε ότι: f ( ) β Να αποδείξετε ότι : γ Nα βρείτε το τέτοια, ώστε : ³, για κάθε Î y y,για κάθε y Î f Δ Δίνεται η συνάρτηση Δ4 Έστω οι συναρτήσεις f, g : g ( ) και = 5 a e f = ln Να βρεθεί το f( ) e τέτοιες,ώστε: Να βρείτε τα όρια: f, για κάθε Î 4 f 4, για κάθε Î, α β γ Δ5 Δίνονται οι συναρτήσεις f 4 = 4 i Να βρείτε τη σύνθεση της f με την g ii Να βρείτε το ( g f )( ) o iii Να βρείτε το ( g f )( ) o και g ( ) ln = Δ6 Έστω συνάρτηση f: R R τέτοια, ώστε για κάθε Î R να είναι : f 4f = hm i Να αποδείξετε ότι f ( ) = ii Να βρείτε τα όρια: f και f hm Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 5

Δ7 Δίνεται η συνάρτηση f = l, l Î i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Ορίζονται τα f ( ) και f ( ) ii Να βρείτε το f ( ) iii Να βρείτε το f ( ) για τις διάφορες τιμές του l Î για τις διάφορες τιμές του l Î ; Δ8 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: i Να δειχθεί ότι η f είναι ii Να λυθεί η εξίσωση f() = iii Για > να δείξετε ότι: f< iv Να βρείτε τα όρια: f f και για κάθε f f = Î ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΒΡΥΖΑΣΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣΜΑΝΑΡΙΔΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Ξιφαράς ΜΑΣΤΑΚΑΣΓΑΡΑΤΖΙΩΤΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κέδρος ΜΠΑΡΛΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Ελληνοεκδοτική ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΤΖΟΥΒΑΡΑΣ ΤΖΙΡΩΝΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας ΧΣΤΕΡΓΙΟΥΧΝΑΚΗΣΙΣΤΕΡΓΙΟΥ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ, Υπουργείο Παιδείας Φ : ΟΡΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/ Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ http://blogsschgr/jchras/ 6