ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΣΕΑΡΣΗ 8 ΜΑΪΟΤ 6 ΘΕΜΑ Α A. Eπειδή () για κάθε ( α, ) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως αύξουσα στο α, ]. Έτσι έχουμε ( ) ( ), για κάθε α, ]. () ( Επειδή ( ) για κάθε (, β) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β). Έτσι έχουμε: ( ) ( ), για κάθε [, β). () ( y > < y 5a ( ) > < ( ) O a β O a β Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: ) ( ), για κάθε ( α, β), ( που σημαίνει ότι το ) είναι μέγιστο της στο ( α, β) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής. ( Α. Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: Μονάδες 7 έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει g
Α. Αν μια συνάρτηση είναι : Συνεχής στο κλειστό διάστημα *α, β+ και Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( ) Γεωμετρική ερμηνεία: Υπάρχει τουλάχιστον (, ) παράλληλη στην ΑΒ όπου Α(α, (α)) και Β(β, (β)) ώστε η εφαπτομένη στο Γ(ξ, (ξ)) να είναι Α. α) Λ β) γ) Λ δ) ε) Μονάδες
ΘΕΜΑ Β Β.Έχουμε Οπότε Η στο, Η στο, ελαχ. Η παρουσιάζει ελάχιστο στο, το Β. όπου για κάθε Μονάδες 6 κοίλη στα στο,,,, και κυρτή Σ. καμπής A,,B, Μονάδες 9
Β. D και συνεχής, άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Πλάγιες ασύμπτωτες im im im im λ im im im β Άρα η y οριζόντια ασύμπτωτη της C στο. Όμοια προκύπτει im, άρα η y οριζόντια ασύμπτωτη της C και στο. Μονάδες 7 B.Αφού D και, η είναι άρτια, άρα συμμετρική ως προς yy. Η C τέμνει τον όταν, άρα στο O, (και τον yy ) y y= y Μονάδες
ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω g() e, D g Παρατηρώ ότι Η Η g συνεχής στο. g παραγωγίσιμη με g() e g'() e g'() (e )g'() ή Ακόμα e e e e e e e e - + e + + g () - + g() τ.ε. g() Δηλαδή g() ολικό ελάχιστο. Άρα g() g() g() για κάθε Dg. Οπότε η μοναδική λύση. Γ. () (e ) () () (e ) e Από Γ έχω όμως ότι η () έχει μοναδική ρίζα την. Άρα: i). Αφού η συνεχής στο (,) και θα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν τότε () (e ) Αν τότε () (e ) 5
ii). Αφού η συνεχής στο (, ) και θα διατηρεί σταθερό πρόσημο. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. Αν Αν τότε τότε Τελικά: () (e ) () (e ) () (e ) e () () (e ) (e ) (e ) (e ) () (e ) Μονάδες 8 Γ. () e () (e ) () (e ) (e ) e e e e () 8e e e e 8 e e ( ) () () - + () τ.ε. () Άρα η έχει ολικό ελάχιστο το (), δηλαδή () () () για κάθε D και η ισότητα ισχύει μόνο για. Άρα η είναι κυρτή στο. 6
Γ. Θέτω h() ( ) (), [, ) h () ( )( ) () ( ) () Όμως για έχουμε και η κυρτή, δηλαδή η γνησίως αύξουσα. Επομένως για είναι () ( ) ( ) () h (), δηλαδή η h γνησίως αύξουσα στο, οπότε και -. Επομένως η εξίσωση ( ) () γίνεται: h( ) h(). Όμως για κάθε ισχύει και η ισότητα ισχύει μόνο για, δηλαδή για έχουμε Άρα h( ) h() ΘΕΜΑ Δ Δ. Για π π,, και img. g ημ, άρα θεωρούμε την συνάρτηση Μονάδες 9 g, άρα ημ im im g ημ img im ημ και επειδή η είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) στο, ισχύει ότι Επίσης π. π π π ημd π ημd ημd π π συν d ημd π π π π π συν συνd ημ συνd π συνπ π συν π ημπ ημ π π π π π Τέλος () () g() lim lim limg(), αφού lim g() και lim Μονάδες 7 7
Δ. α) Επειδή η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο, οι συναρτήσεις, είναι () παραγωγίσιμες (άρα και συνεχείς) στο. Οι συναρτήσεις e παραγωγίσιμες ως συνθέσεις παραγωγισίμων στο, έχουμε:, '() είναι () () e ' ()' ( () ' (e )' e '() '( ()) '() e () για κάθε. Έστω ότι η παρουσιάζει ακρότατο στο o εσωτερικό σημείο του στο οποίο η είναι παραγωγίσιμη, άρα σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει ότι '( o). Η () για γίνεται: o '( o ) ( o ) o o o o o o e '( ) '( ( )) '( ) e e και. '( o) '(), άτοπο αφού '(). Άρα η δεν παρουσιάζει ακρότατα στο β) Από (α) προκύπτει ότι '() για κάθε. Αφού η συνεχής ως παραγωγίσιμη, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο. Όμως '(), άρα '() για κάθε, δηλαδή η γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες Δ. Έχουμε ( ) (, ) lim (), lim () αύξουσα στο., αφού συνεχής και γνησίως Όμως ( ) (, ) οπότε lim () και lim (). Επομένως lim lim L () () () () () () () () Όμως lim lim, άρα από κριτήριο παρεμβολής ισχύει () () lim. () 8
Επίσης () () () () () Όμως lim lim, άρα από κριτήριο παρεμβολής ισχύει () () lim. () Άρα L lim () Μονάδες 6 ln ] [,e Δ. Για e ln ln ln e ln () (ln ) ( ) (ln ) (ln ) (ln ) με την ισότητα να ισχύει μόνο για =, οπότε (ln ) d e () (ln ) (ln ), με την ισότητα να ισχύει μόνοι για e, οπότε (ln ) (ln ) (ln ) d d d d d e e e e e e (ln ) e e (ln ) e e (ln ) d ln d ln d ln e ln (ln ) d e () Από (), () έχουμε e (ln ) d Μονάδες 6 Επιμέλεια: Βώρου Αργυρώ, Κατούνης Δημήτρης, Μπαξοπούλου Βιολέττα, Μυλούλης Γιώργος, Τσολακίδης Τέο, Φανίδου Αντωνίνα 9