Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές) α) (Μον. ) Για κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις αιτιολογήστε πλήρως αν είναι ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ: i) Ο υπόχωρος του R 4 που παράγεται από το σύνολο {(,,,),(,,4,),(4,,6,)} έχει διάσταση. ii) Για κάθε τιμή της πραγματικής παραμέτρου α, μία βάση του V {(, y, z) R y z } έχει στοιχεία. iii) Η διάσταση της τομής δύο υποχώρων του R που ο καθένας έχει διάσταση, είναι ή. β) (Μον. ) (Θεωρούμε το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον R ). Για την τιμή του b που θα βρείτε ώστε τα u,,, u b,, να είναι ορθογώνια, υπολογίστε την ορθή προβολή του τυχόντος διανύσματος διανύσματα u, y, z του R, στον υπόχωρο που παράγεται από τα διανύσματα u, u. (Η απάντησή σας θα δοθεί συναρτήσει των, y, z). Απάντηση α) i) Σχηματίζουμε τον πίνακα με γραμμές τα δοθέντα διανύσματα και με κατάλληλες πράξεις στις γραμμές βρίσκουμε μία κλιμακωτή μορφή του: 4 4. 4 6 Από την κλιμακωτή μορφή συμπεραίνουμε οτι η τάξη του πίνακα είναι και συνεπώς ο υπόχωρος του R 4 παράγεται από το δοθέν σύνολο έχει διάσταση και όχι. Η πρόταση είναι ΛΑΘΟΣ. που Απάντηση α) ii)παρατηρούμε οτι V y z R y z {(,, ) (,, ) (,,)}. Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα (ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο) του υποχώρου U που παράγεται από το διάνυσμα u=(,,) και dimv + dimu = dim R =. Αφού το διάνυσμα u είναι μή μηδενικό για κάθε τιμή της πραγματικής παραμέτρου α, dimu= και συνεπώς dimv=. Η πρόταση είναι ΣΩΣΤΗ. Αλλος τρόπος: Λύνοντας ως προς την εξίσωση που ορίζει τον V έχουμε y z οπότε (, yz, ) = yz, y, z) y(,,) z(,,) οπότε μία βάση του V είναι {(-α,,), (-,,)} και dimv=. Απάντηση α) iii) Θεωρούμε τους υπόχωρους του R V, U με dimv = dimu =. Επειδή dim(v +U) = dimv + dimu - dim(v U), dim(v +U) = 4 - dim(v U). Ομως dim(v +U) άρα 4 - dim(v U), δηλαδή - - dim(v U) - και τελικά dim(v U).Η πρόταση είναι ΛΑΘΟΣ. Απάντηση β) Συμβολίζουμε με <, > το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο. Υπολογίζουμε < u, u > = b -. Αρα για b = τα u, u είναι ορθογώνια. Επίσης τα διανύσματα u, u είναι μή μηδενικά οπότε η ορθή προβολή του τυχόντος u, y, z του R στον υπόχωρο που παράγεται από αυτά ισούται προς uu, uu, y z y z y z y z u u u u,,,, u, u u, u 6 6 y z y z y z y z y z y z y z z y y z y z 6,, 6,( ),( ),,. 6
Θέμα α) (Μον. ) Αιτιολογήστε με τον συντομότερο δυνατό τρόπο ποιοί από τους παρακάτω πίνακες έχουν πραγματικές ιδιοτιμές και διαγωνοποιούνται: A, A, A, A4 και για τον A (μόνο) να βρεθεί ορθογώνιος πίνακας Q τέτοιος ώστε ο Q AQ να είναι διαγώνιος. β) (Μον. 8) Θεωρούμε τον γραμμικό μετασχηματισμό του R : f yz,, ( y,4 y, y z). i) Αφού βρείτε την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα αναπαράστασης του f ως προς την συνήθη (διατεταγμένη) βάση του R, να βρεθούν βάσεις και διαστάσεις για τον πυρήνα, Ker f και την εικόνα, Im f. ii) Υπολογίστε τις εικόνες του f στα διανύσματα u (,,), u (,,), u (4,8,) και συμπεράνετε για τις ιδιοτιμές του f (χωρίς να υπολογίσετε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του f ). Διαγωνοποιείται ο f ; Απάντηση α) Ο A έχει πραγματικές ιδιοτιμές και διαγωνοποιείται ως πραγματικός συμμετρικός. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι det και έχει φανταστικές ιδιοτιμές i, άρα δεν διαγωνοποιείται στους πραγματικούς. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι det και έχει διπλή πραγματική ιδιοτιμή. Για βάση του ιδιοχώρου λύνουμε το ομογενές σύστημα με πίνακα συντελεστών A οπότε ο ιδιόχωρος έχει ένα βασικό διάνυσμα το (,) Τ και διάσταση. Αρα ο A δεν διαγωνοποιείται. Ο A4 έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ιδιοτιμές οπότε διαγωνοποιείται. Για την διαγωνοποίηση του Α : det ( ). Αρα οι ιδιοτιμές του A είναι και. Για, Α -Ι=, άρα βάση ιδιοδιανυσμάτων. Για, Α -Ι=, άρα βάση ιδιοδιανυσμάτων. Οπότε Ρ = τέτοιος, ώστε ο P AP =, διαγώνιος. Τα ιδιοδιανύσματα (στήλες του P) είναι ορθογώνια, αφού αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές συμμετρικού πραγματικού πίνακα, οπότε με κανονικοποίηση έχουμε ορθογώνιο πίνακα Q τέτοιο ώστε ο Q AQ να είναι διαγώνιος ως εξής: το μέτρο του είναι και το μέτρο του είναι επίσης. Συνεπώς Q= Q είναι ο ζητούμενος ορθογώνιος πίνακας.
Απάντηση β) i) f,, (,, ), f,, (, 4, ), f,, (,,) και ο πίνακας αναπαράστασης του f ως προς την συνήθη βάση του R είναι ο A f 4. Με πράξεις στις γραμμές A f 4 προκύπτει η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή (ΑΚΜ) του. Από αυτή έχουμε: για τον πυρήνα του f : (, yz, ) Kerf yκαι z δηλαδή (, yz, ) Kerf ( yz,, ) ( yy,,) y(,,) και επειδή το (,,), είναι γραμμικώς ανεξάρτητο (ως μή μηδενικό) μιά βάση του πυρήνα είναι { (,,), } και dimkerf=. για την εικόνα του f: μία βάση είναι το {(,,), (,,)} δηλαδή τα διανύσματα που αντιστοιχούν στην η και η στήλη του πίνακα αναπράστασης καθώς τα οδηγά στοιχεία βρίσκονται στην η και η στήλη της ΑΚΜ. Αρα dimimf =. Απάντηση β) ii) Από τον τύπο του f υπολογίζουμε: f( u) (,,), f( u) (,,), f( u) (, 4, ) (4,8,) δηλαδή f ( u) u, f( u) u, και f ( u) u. Αρα ιδιοτιμές του f είναι,,, διαφορετικές μεταξύ τους συνεπώς ο f διαγωνοποιείται.
Θέμα si cos α) (Μον. 4) Να υπολογισθούν τα όρια: i) lim, ii) lim. l β) (Μον. 6) Να βρεθεί το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς: (εξετάστε και τα άκρα του διαστήματος). cos( ) γ) (Μον. ) Να δείξετε οτι η σειρά συγκλίνει για κάθε τιμή του πραγματικού. δ) (Μον. 4) Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: i), ii). ( )( ) ε) (Μον. 4) Χρησιμοποιώντας κατάλληλη σειρά Maclauri και ολοκληρώνοντας όρο προς όρο, να εκφράσετε το ολοκλήρωμα l( ) d ως άθροισμα σειράς. Δώστε εκτίμηση του σφάλματος όταν το άθροισμα της σειράς προσεγγιστεί με το άθροισμα των 4 πρώτων μή μηδενικών όρων αυτής. Απάντηση α) i) lim, θεωρούμε την συνάρτηση και το όριό της καθώς το τείνει στο l l άπειρο. Εφαρμόζοντας κανόνα l'hopital έχουμε: lim lim lim. l Αρα lim Απάντηση α) ii) Εφαρμόζοντας κανόνα l'hopital έχουμε: si cos cos cos si si lim lim lim. Απάντηση β) Με κριτήριο του λόγου, για μή μηδενικό έχουμε: lim lim lim lim. / Αρα η σειρά συγκλίνει για < και αποκλίνει για >. Οταν = τότε η σειρά γίνεται και δεν συγκλίνει καθώς είναι p-σειρά με p<. Οταν = - τότε η σειρά γίνεται απολύτων του γρνικού όρου =. l και συγκλίνει καθώς είναι εναλλάσουσα με την ακολουθία των φθίνουσα και τείνουσα στο (κριτήριο Leibitz). Συνεπώς το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι το [-, ). cos( ) Απάντηση γ) και η σειρά συγκλίνει ως p-σειρά με p>. Αρα η σειρά συγκλίνει για κάθε.
Απάντηση δ) i) Θεωρούμε τις συγκλίνουσες γεωμετρικές σειρές με τα αντίστοιχα αθροίσματά τους: και. Κατά συνέπεια 4. 4 Απάντηση δ) ii) Καθώς ο γενικός όρος της σειράς γράφεται, ( )( ) ( ) ( ) η σειρά είναι τηλεσκοπική και το μερικό άθροισμα υπολογίζεται: οπότε ( )( ) ( ) ( ) ( ) lim N ( )( ) ( ) /. 4 6 Απάντηση ε) Θεωρούμε την σειρά Maclauri l( ) 4 6 4 l( ) οπότε και ολοκληρώνοντας όρο προς όρο έχουμε: 4 6 l( ) d d d d d d 4 4 / / / / / / 4 / / 4 / / 4 4 / k l( ) ( ) δηλαδή d k και επειδή πρόκειται για εναλλάσουσα σειρά που πληροί το κριτήριο του k k Leibitz, το σφάλμα, όταν προσεγγίσουμε την σειρά με το άθροισμα των 4 πρώτων μή μηδενικών όρων αυτής, είναι απολύτως μικρότερο από την απόλυτη τιμή του πέμπτου όρου, δηλαδή.
Θέμα 4 4α) (Μον. 6) Θεωρούμε την συνάρτηση f ( ) 6 9 στο διάστημα [, 4]. i) Να βρεθούν τα υποδιαστήματα του [, 4] στα οποία η f : είναι αύξουσα, είναι φθίνουσα και να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της f στο διάστημα [,4]. ii) Να βρεθού ν τα υποδιαστήματα του [, 4] στα οποία η γραφική παράσταση της f : είναι κυρτή, είναι κοίλη. Υπάρχει σημείο καμπής; 4β) (Μον. 4) Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα 4γ) (Μον. 4) Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα e d. d. e d για α> και στην συνέχεια το γενικευμένο ολοκλήρωμα 4δ)( Μον. 6) Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα si( d ) και στη συνέχεια το ορισμένο ολοκλήρωμα si( d ), για κάθε φυσικό αριθμό >. Απάντηση 4α) i) Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο f ( ) 9 4 Ο πίνακας προσήμων της f ' που προσδιορίζει τα διαστήματα μονοτονίας της f είναι: 4 πρόσημο f' ' + - + μονοτονία f ç é ç και συμπεραίνουμε οτι η f είναι αύξουσα στα διαστήματα [,] και [,4] και φθίνουσα στο [,]. Υπολογίζουμε (οπωσδήποτε) τις τιμές στα άκρα f()=, f(4)=, και στα κρίσιμα σημεία στο διάστημα [,4] : f ()=, f ()=. Η μεγαλύτερη από αυτές είναι η μέγιστη και η μικρότερη η ελάχιστη τιμή της f στο [,4]. Αρα στο διάστημα [,4] η f έχει μέγιστη τιμή το και ελάχιστη το. Απάντηση 4α) ii) Υπολογίζουμε την η παράγωγο f ( ) 66( ) 4 πρόσημο f' '' - + κυρτότητα της f κοίλη σ.κ. κυρτή και συμπεραίνουμε οτι η γραφική παράσταση της είναι κοίλη στο διάστημα [,], κυρτή στο διάστημα [,4] και παρουσιάζει σημείο καμπής για =. 4β) d d d d arcta( ) arcta( ) l C arcta( ) l C
4γ) Εφαρμόζουμε την αντικατάσταση u οπότε du d και για το ολοκλήρωμα u u e e d e du e c c A A e e e dlim A e dlim A lim A. e d έχουμε: A e καθώς lim A αφού α>. 4δ) Για το αόριστο ολοκλήρωμα: καθώς >, με διαδοχικές παραγοντικές ολοκληρώσεις έχουμε: cos( ) cos( ) cos( ) si( ) d d d cos( ) cos( ) si( ) cos( ) d C. Το ορισμένο ολοκλήρωμα: για =,,..., cos( ) si( ) cos( ) si( ) ( ) si( ) d.
Θέμα α) (Μον. ) Μηχάνημα διαθέτει 4 όμοιους κινητήρες. Η πιθανότητα να πάθει βλάβη κάποιος κινητήρας είναι q και οι κινητήρες λειτουργούν ανεξάρτητα. Για να εκτελέσει το έργο του το μηχάνημα χρειάζεται δύο τουλάχιστον κινητήρες εν λειτουργία. Ποιά είναι η πιθανότητα το μηχάνημα να εκτελέσει το έργο του; ( Η απάντηση είναι συνάρτηση του q). β) (Μον. 8) Σε ένα τεστ πολλαπλής επιλογής με m επιλογές ανά ερώτηση, ένας φοιτητής έχει πιθανότητα p (< p < ) να γνωρίζει την σωστή απάντηση σε μία ερώτηση και p να μη την γνωρίζει. Σε περίπτωση που γνωρίζει την απάντηση κάνει την σωστή επιλογή, ενώ αν δεν την γνωρίζει, απαντάει "στην τύχη" με πιθανότητα m να πετύχει την σωστή απάντηση. Ποιά είναι η δεσμευμένη πιθανότητα ο φοιτητής να γνωρίζει την σωστή απάντηση της ερώτησης δεδομένου οτι απάντησε σωστά στην ερώτηση; ( H απάντηση είναι συνάρτηση των p και m). γ) (Μον. 7) Οι υποψήφιοι για μία θέση σε ένα Πρόγραμμα Σπουδών (ΠΣ), υποβάλονται σε ένα τεστ. Το τεστ έχει σχεδιασθεί έτσι, ώστε η βαθμολογία Χ των υποψηφίων στο τεστ είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή και τυπική απόκλιση. To ΠΣ δέχεται ως φοιτητές, το % των υποψηφίων με τη μεγαλύτερη βαθμολογία στο τεστ. Ποια είναι η ελάχιστη βαθμολογία που επιτρέπει την εισαγωγή στο ΠΣ; Να κάνετε χρήση του Φ(.4) =.8. Απάντηση α) Ο αριθμός των κινητήρων που δεν έχουν βλάβη είναι τ.μ. Χ που ακολουθεί την διωνυμική κατανομή Β(4, - q). Το μηχάνημα λειτουργεί όταν και μόνο Χ. Αρα ζητάμε την πιθανότητα P(Χ ). Είναι γνωστό ότι η διωνυμική κατανομή Bp (, ) έχει συνάρτηση πιθανότητας η οποία δίνεται από τη σχέση: k k! Pk p ( p), k,,, και k. Οπότε από την παραπάνω σχέση για = 4, και k k!( k)! p = q P P P P προκύπτει η ζητούμενη πιθανότητα : 4 4 4 4 p ( p) p ( p) q 4( q) q.. Απάντηση β) Χρησιμοποπιούμε τον συμβολισμό: Γ γνωρίζει την σωστή απάντηση, Σ απαντά σωστά. Από τα δεδομένα έχουμε P (Γ) = p, P (Σ Γ) = και P ( Σ Γ ) = /m και ζητούμε P ( Γ Σ). Εχουμε διαδοχικά: P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) ( p) mp P( ). P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) ( p) ( p) p( m) m Απάντηση γ) Για τον προσδιορισμού της τιμής της ελάχιστης βαθμολογίας που επιτρέπει την εισαγωγή στο ΠΣ της Χ, εργαζόμαστε με τις παρακάτω διαδοχικές ισοδυναμίες: P. P. P.8 P.8 6 P.8.4 (.4). ---------------------------------