Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μαθηματικά για Οικονομολόγους 3 ο Μάθημα: Παράγωγος Συνάρτησης Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Σχέση με τα οικονομικά Στην επιστήμη των οικονομικών όπου μία συνάρτηση συνολικού κόστους C=f(Q) όπου με C συμβολίζεται το συνολικό κόστος και με Q η παραγωγή, το οριακό κόστος MC ορίζεται ως η μεταβολή του συνολικού κόστους κατά μία μονάδα αύξησης του προϊόντος. Το οριακό κόστος μπορεί να μετρηθεί από την κλίση της καμπύλης συνολικού κόστους η οποία συμπίπτει με την γεωμετρική έννοια της παραγώγου.
Η έννοια της παραγώγου Συνδέουμε μία συγκεκριμένη συνάρτηση f (x) με μία δεύτερη συνάρτηση f (x), την οποία και θα ονομάζουμε παράγωγο της f. Η τιμή της f (x), σε ένα συγκεκριμένο σημείο πάνω στη συνάρτηση f (x) έχει την ιδιότητά ότι είναι η κλίση της εφαπτομένης στο συγκεκριμένο αυτό σημείο.
Η έννοια της παραγωγού Ορισμός Η παράγωγος μίας συνάρτησης y = f (x) είναι η συνάρτηση f (x) που η τιμή της σε κάθε x ορίζεται από τον κανόνα: όταν υπάρχει αυτό το όριο. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των σημείων του πεδίου ορισμού της f όπου υπάρχει το εν λόγω όριο.
Συμβολισμός Παραγώγου Οι συνηθέστεροι συμβολισμοί για την παράγωγο μία συνάρτησης f(x) είναι:
Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων x x x 1 x 2 x x
Κανόνες Παραγώγισης
Παράγωγοι σύνθετων συναρτήσεων
Ασκήσεις στις παραγώγους Άσκηση 1 η Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων.
Ασκήσεις στις παραγώγους Άσκηση 2 η Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων.
Ασκήσεις στις παραγώγους Άσκηση 3 η Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων.
Ασκήσεις στις παραγώγους Άσκηση 4 η Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων.
Διαδοχική παραγώγιση Εάν η παράγωγος της συνάρτησης y = f (x) είναι παραγωγίσιμη στο x, και την παραγωγίσουμε για άλλη μία φορά, τότε η νέα συνάρτηση θα μας δώσει την δεύτερη παράγωγο της y = f (x). Οι συνηθέστεροι συμβολισμοί για την δεύτερη παράγωγο της y = f (x) είναι Γενικότερα το αποτέλεσμα της διαδοχικής παραγώγισης μίας συνάρτησης y = f (x) n -φορές δηλώνεται ως:
Ασκήσεις στις παραγώγους Άσκηση 5 η Να βρεθούν οι παράγωγοι τάξης 1 έως 4 για την επόμενη συνάρτηση.
Ασκήσεις στις παραγώγους Άσκηση 6 η Να βρεθεί η f (x) και η f (x) των παρακάτω συναρτήσεων.
Μονοτονία Συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x 1,x 2 Δ με x 1 < x 2 ισχύει: f (x 1 ) < f (x 2 ) Γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x 1,x 2 Δ με x 1 < x 2 ισχύει: f (x 1 ) > f (x 2 ) Οι γνησίως αύξουσες και οι γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις γενικά λέγονται γνησίως μονότονες.
Ακρότατα Συνάρτησης Για μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο x o Α (ολικό) μέγιστο, το f (x 0 ), όταν ισχύει : f(x) f(x o )για κάθε x Α. Παρουσιάζει στο x o Α (ολικό) ελάχιστο, το f ( x 0 ), όταν ισχύει : f(x) f(x o ), για κάθε x Α. Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ακρότατα.
Μονοτονία-Παράγωγος Έστω μία συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ Αν f (x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ Αν f (x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ
Κριτήριο 1 ης Παραγώγου Αν f (x)>0 στο (α, x 0 ) και f (x)<0 στο (x 0, β) τότε το f(x 0 ) είναι μέγιστο της f στο διάστημα (α, β). Αν f (x)<0 στο (α, x 0 ) και f (x)>0 στο (x 0, β) τότε το f(x 0 ) είναι ελάχιστο της f στο διάστημα (α, β)
Άσκηση 7 η Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων και να μελετηθούν ως προς την μονοτονία τους: α) f(x)=2x 3-3x 2-12x-7 β) f(x)=3x 5-5x 3 +2009
Κριτήριο 2 ης Παραγώγου Εξετάζω το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου για τις τιμές που μηδενίζουν την πρώτη παράγωγο (Κριτήριο 2 ης παραγώγου) Κριτήριο 2 ης παραγώγου ( Αν f xo ) 0 τότε f ( x o ) τοπικό ελάχιστο ( Αν f xo ) 0 τότε ( x o ) τοπικό μέγιστο f
Βιβλιογραφία 1. Chiang, A.C., Wainwright, K. (2009). Μαθηματικές Μέθοδοι Οικονομικής Ανάλυσης, Εκδόσεις Κριτική. 2. Rosser, M. (2003). Basic Mathematics for Economists. Second Edition. Routledge Eds.