ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon Βιοϊατρική Τεχνολογία ιδάσκων: Σεργιάδης Γεώργιος
Τοµογραφία Ενδιαφερόµαστε για την κατάσταση στο εσωτερικό των οργανισµών. Χωρίς να έχουµε πρόσβαση (π.χ. µε εγχείρηση) Τοµογραφία = 3-D χαρτογράφηση του εσωτερικού. ιεγείροντας από εξωτερικά και συνδυάζοντας κατάλληλα τις διάφορες αποκρίσεις. Ανάλογα µε το είδος της διέγερσης: Αξονική µε ακτίνες Χ. Μαγνητική Με υπερήχους κτλ. Η τοµογραφία βασίζεται στην αξιοποίηση της αθροιστικής απόκρισης του συστήµατος σε διάφορες διευθύνσεις. Μαθηµατικώς: Ανακατασκευή της µίας εικόνας από τις προβολές της. Μαθηµατικά Εργαλεία: Radon και 2D Fourier.
Ποιοτική αρχή λειτουργίας Προς αναγνώριση - Άγνωστη Άλλες Υποψήφιες??
Μία Προβολή (για τις 0 ο ) Ακτίνα
Μετασχηµατισµός Radon Συνάρτηση-σήµα δύο µεταβλητών: f(x,y) Ο Radon ολοκληρώνει πάνω σε ευθείες: L ( t,θ ): t = x cosθ + y sinθ R ( t, θ ) = f ( x, y) δ ( t xcosθ ysinθ ) dxdy Antipodal symmetry: R( t, θ ) = R( t, θ + π ) Οι προβολές µετά από τις 180 ο επαναλαµβάνονται.
Μετασχηµατισµός Radon
Μετασχηµατισµός Radon Αντιστοιχίζει σηµεία σε ηµιτονοειδή Radon=Sinogram Στην θεωρία Pattern recognition και επεξεργασίας εικόνας συναντάται µε το όνοµα Hough Transform. R(t,θ) t θ (degrees)
Μετασχηµατισµός Radon Αντιστοιχίζει ευθείες σε σηµεία. R(t,θ) t θ (degrees)
Μετασχηµατισµός Radon Radon για την Phantom. R(t,θ) -150-100 -50 t 0 50 100 150 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Μετασχηµατισµός Radon Radon για την Cameraman. R(t,θ) -150-100 -50 t 0 50 100 150 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. To τετράγωνο είχε περιοδικό (κατά θ) Radon µε περίοδο 90 ο.
Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. Για ποιο σώµα οι προβολές του θα επαναλαµβάνονται περιοδικά µε περίοδο 45 ο? Οκτάγωνο? 45
Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. Για ποιο σώµα οι προβολές του θα επαναλαµβάνονται περιοδικά µε περίοδο 45 ο? Οκτάγωνο? R(t,θ) -150-100 -50 t 0 50 100 150 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. Και φυσικά όλα τα κανονικά πολύγωνα µε αριθµό πλευρών ακέραιο πολλαπλάσιο του 8. Π.χ. 16γωνο R(t,θ) -150-100 -50 t 0 50 100 150 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. Μέχρι και τον κύκλο... R(t,θ) 50 100 150 t 200 250 300 350 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Προς τα πίσω προβολή Ηαπλούστερη µέθοδος ανακατασκευής της εικόνας από τις προβολές της. ίνει µία θολή (blurred) έκδοση της αρχικής. Αν και δεν χρησιµοποιείται, αποτελεί την βάση για σύγχρονες µεθόδους ανακατασκευής. Κάθε προβολή προβάλλεται προς τα πίσω. Ισότιµα: Αποδίδεται η ίδια τιµή σε όλα τα σηµεία που µπορεί να συνεισφέρουν στην προβολή.
Προς τα πίσω προβολή Ποιοτικά
Προς τα πίσω προβολή Ποιοτικά
Προς τα πίσω προβολή Radon Back-projection Μαθηµατικά: * 1 f ( x, y) = R( xcosθ + ysinθ, θ ) dθ 4π Αποδίδει τιµές εκεί που στην πραγµατικότητα δεν υπάρχει τίποτα. Star Artifact Πραγµατική Ανακατασκευασµένη µε απλό back-projection
Προς τα πίσω προβολή Star artifact
Προς τα πίσω προβολή Star artifact
Προς τα πίσω προβολή Star artifact
Προς τα πίσω προβολή Star artifact
1-D Fourier Transform Συνάρτηση-σήµα µίας µεταβλητής: f(t) Γράφεται σαν υπέρθεση (complex) ηµιτονοειδών : 1 j = ω ω t f ( t) F( ) e dω 2π Όπου: jωt F( ω ) = f ( t) e dt (Χρονική) συχνότητα = ρυθµός µεταβολής Rreal (e jω t ) ω=3 * 2 π 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 j t e ω Θεώρηµα δειγµατοληψίας: Τ min 1 = 2 f max -1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t
1-D Fourier Transform 1 60 0.8 0.6 50 f(t)=cos(ω t)) 0.4 0.2 0-0.2-0.4 F(ω) 40 30 20-0.6 10-0.8-1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t 0-50 -40-30 -20-10 0 10 20 30 40 50 ω
2-D Fourier Transform Συνάρτηση-σήµα δύο µεταβλητών: f(x,y) Γράφεται σαν υπέρθεση (complex) δισδιάστατων ηµιτονοειδών: ( y) y x x j e ω ω + όπου d d e e F y x f y x y jy x jx y x ω ω ω ω π ω ω = ), ( 4 1 ), ( 2 dxdy e e y x f F y x f y jy x jx y x ω ω ω ω = ), ( ), ( ), (
2-D Fourier Transform Χωρική συχνότητα: Ρυθµός µεταβολής στο χώρο.
2-D Fourier Transform Είναι διαχωρίσιµος: Πρώτα 1-D FT κατά στήλες και µετά 1-D FFT κατά γραµµές F F ( jxωx 1 ω x, y) = f ( x, y) e dx jyωy ( ω x, ωy) F1 ( ωx, y) e = dy Θεώρηµα δειγµατοληψίας: x min = 2 1 f x max y = min 2 1 f y max
2-D Fourier Transform Μία εικόνα που µεταβάλλεται συνηµιτονοειδώς κατά x 2D Fourier: ύο ώσεις (συµµετρία γύρω από το (ω x,ω y )=(0,0)) 30 IM1( x, y) cos = x 256
2-D Fourier Transform Ηίδια εικόνα µε µία µετατόπιση απλά. Πλάτος 2D Fourier ίδιο. Μεταβάλλεται η µόνο η φάση του. 30 30 IM 2 ( x, y) = cos x + sin x 256 256
2-D Fourier Transform Ηίδια εικόνα περιεστραµένη κατά 120 ο 2D Fourier: Περιστρέφεται κατά τον ίδιο τρόπο. o IM 120( x, y) = Rotate( IM,120 ) 1 1
2-D Fourier Transform Ηίδια εικόνα (η µετατοπισµένη) περιεστραµένη κατά 240 ο 2D Fourier: Περιστρέφεται κατά τον ίδιο τρόπο. o IM 240( x, y) = Rotate( IM,240 ) 2 2
2-D Fourier Transform Το άθροισµα των τριών προηγούµενων Εικόνα µε τέλεια εξαγωνική δοµή. ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ του 2D Fourier. IM = IM + IM 120 + IM 240 1 1 2 Εικόνα επιφάνειας HOPG (Higly oriented Pyrolytic graphite).
2-D Fourier Transform Scaling και προς όλες τις κατευθύνσεις 2D Fourier: Αντίστροφο scaling x y IM _ S2 = IM, 2 2
2-D Fourier Transform Scaling µόνο κατά x 2D Fourier: Αντίστροφο scaling µόνο κατά y. ( ) IM _ Sx = IM 2, x y
2-D Fourier Transform Συνέλιξη στο χωρικό πεδίο Πολλαπλασιασµός στο πεδίο χωρικών συχνοτήτων Lenna Ζωνοπερατό φίλτρο Lenna φιλτρασµένη Fourier 2D Lenna Fourier 2D Φίλτρου Lenna φιλτρασµένη 2D Fourier
Πολικός (Polar) Fourier Transform O 2-D Fourier Transform είναι υπολογισµένος σε καρτεσιανές συντετατέγµες ωx,ωy. Σε πολικές συντεταγµένες έχουµε τον polar Fourier. ω x = ω cos(θ ) ω y = ω sin(θ ) PF ( ω, θ ) = F( ω cosθ, ω sinθ )
Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΤΗ ΒΑΣΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ. Μία προβολή στον Radon R1(t)=R(t,θ) (συγκεκριµένη θ) και ο PF για την ίδια θ PF1(ω)=PF(ω,θ), αποτελούν ζεύγος 1-D FT. 1 D FT PF1 ( ω) R1 ( t) { R( t, )} PF( ω, θ ) = FT θ t { PF( ω, )} R( t, θ ) = IFT θ t
Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) R(t,θ) -60-40 -20 t 0 20 40 60 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem)
Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) 1-D FT pair R(t,θ) -60-40 Θεώρηµα κεντρικής φέτας t -20 0 20 40 60 Καρτεσιανές σε πολικές 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees) Radon 2-D FT
t Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) 1-D FT σε κάθε στήλη Image Radon -150-100 -50 0 50 100 150 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) 2-D Fourier Polar to Cartesian Polar Fourier 50 100 150 200 250 300 350 20 40 60 80 100 120 140 160 180
t Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) Παρόµοια: Σώµα που οι προβολές του επαναλαµβάνονται περιοδικά κάθε 60 ο? ΕΞΑΓΩΝΟ, 12ΓΩΝΟ κτλ. Αλλά και: -150-100 -50 0 50 100 150 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Μέθοδοι ανακατασκευής Αναλυτικές Μέθοδοι Fourier Προς τα πίσω προβολή µε φιλτράρισµα κανονικοποίηση Επαναληπτικές µέθοδοι
Ανακατασκευή Fourier Μέθοδος 1-D FT R(t,θ) -60-40 -20 1-D FT κατά t t 0 20 40 60 Πολικές σε καρτεσιάνες 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees) Radon 2-D IFT
Ανακατασκευή Fourier Μέθοδος Tα δεδοµένα µας είναι διακριτά σε πολικό πλέγµα. Για να πάρουµε σε καρτεσιανό πλέγµα τις τιµές του Fourier χρειάζονται διαδικασίες παρεµβολής (interpolation) Interpolation
Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Αποδεικνύεται εύκολα ότι: H f*(x,y) (ανακατασκευασµένη µε απλό Back-Projection) και η πραγµατική f(x,y) ιαφέρουν στον Polar Fourier κατά έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα ω. * f ( x, y) * PF ( ω, θ ) f ( x, y) PF( ω, θ ) PF( ω, θ ) = ω PF * ( ω, θ )
t t Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Πραγµατική Ανακατασκευασµένη µε απλό back-projection R(t,θ) R*(t,θ) 20 20 40 40 60 80 R( t, θ ) = IFT ( ω ) R * ( t, θ ) 60 80 100 100 120 120 140 140 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees) R(ω,θ) R*(ω,θ) 20 20 40 40 ω 60 80 PF( ω, θ ) = ω PF * ( ω, θ ) ω 60 80 100 100 120 120 140 140 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Απλά εξαλείφουµε αυτήν την διαφορά στον παράγοντα ω. Ορίζουµε τον κανονικοποιηµένο Polar Fourier: PF( ω, θ ) = ω PF( ω, θ ) Και τον κανονικοποιηµένο Radon (φιλτραρισµένες προβολές) R( t, θ ) = IFT { PF( ω, θ )} t R( t, θ ) = R( t, θ ) IFTt { ω } Κάνουµε Back-Projection τον R( t, θ )
t t Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Πραγµατική Ανακατασκευασµένη µε φιλτράρισµα & back-projection R(t,θ) Normalized R(t,θ) 20 40 60 80 100 120 Φιλτράρισµαπροβολών { ω } R( t, ) R( t, θ ) IFTt > θ 20 40 60 80 100 120 140 140 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees) R(ω,θ) Normalized PF(ω,θ) 20 40 Κανονικοποίηση 20 40 ω 60 80 100 ω PF ( ω, θ ) > PF( ω, θ ) ω 60 80 100 120 120 140 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees) 140 20 40 60 80 100 120 140 160 180 θ (degrees)
Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Στην ουσία κάνουµε ένα equalization (sharpening) για να ισορροπήσουµε την αλλοίωση που εισάγει το απλό backprojection (smoothing)
Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Ποιοτικά: Γιατί εξαλείφεται το starartifact? Μετά το φιλτράρισµα οι προβολές παίρνουν και αρνητικές τιµές. Πριν. R(t,0) Μετά. Filtered R(t,0) 200 200 150 100 100 0 50 0-100 -50-200 -100-300 -150-200 0 50 100 150-400 0 50 100 150
Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Στο back-projection (για ένα σηµείο που δεν έχει τίποτα): Κάποιες προβολές συνεισφέρουν θετικά & κάποιες αρνητικά Μηδενικό άθροισµα. Πριν. R(t,0) Μετά. Filtered R(t,0) 200 200 150 100 100 0 50 0-100 -50-200 -100-300 -150-200 0 50 100 150-400 0 50 100 150
Επαναληπτικές µέθοδοι Βασίζονται στην επαναληπτική διόρθωση των τιµών της ανακατασκευασµένης εικόνας µέχρι: Προβολές της ανακατασκευασµένης ~Πραγµατικές προβολές. 1. Ξεκινούµε µε απλή Back-Projection. 2. Υπολογίζουµε τις προβολές της ανακατασκευασµένης. 3. Συγκρίνουµε µε τις προβολές της πραγµατικής εικόνας. 4. ιορθώνουµε: Π.χ. αν η υπολ. προβολή έχει τιµή µικρότερη από την πραγµ. προβολή αυξάνουµε τις τιµές της εικόνας που συνεισφέρουν στην προβολή. 5. Επιστρέφουµε στο βήµα 2 µέχρι να συγκλίνουµε.
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 0 2 3 0 1 1 2 1 0 3 0 1 1 0 1 0 5 5 4 2 2 6 6 2 1. Προβάλω σε 4 διευθύνσεις
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 0.5 1.48 1.52 0.81 1.22 1.08 1.48 1.02 0.7 1.41 0.77 1.04 0.87 0.58 1.17 0.31 5 5 4 2 2 6 6 2 2. Προβάλω προς τα πίσω
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 0.5 1.48 1.52 0.81 1.22 1.08 1.48 1.02 0.7 1.41 0.77 1.04 0.87 0.58 1.17 0.31 3. Ξαναπροβάλω στις 4 διευθύνσεις
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 0.5 1.48 1.52 0.81 1.22 1.08 1.48 1.02 0.7 1.41 0.77 1.04 0.87 0.58 1.17 0.31 3. Ξαναπροβάλω στις 4 διευθύνσεις
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 4. Αφαιρώ από τις προβολές της πραγµατικής εικόνας
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 4. Αφαιρώ από τις προβολές της πραγµατικής εικόνας
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα -0.2 0.25 0.34-0.1 0.06 0.05 0.25 0-0.2 0.28-0.1 0 0-0.2 0.08-0.3 5. Προβάλω τις διαφορές προς τα πίσω
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα -0.2 0.25 0.34-0.1 0.06 0.05 0.25 0-0.2 0.28-0.1 0 0-0.2 0.08-0.3 6. Προσθέτω στην προηγούµενη ανακατασκευασµένη
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 0.23 1.73 1.86 0.66 1.29 1.13 1.73 1.02 0.52 1.69 0.62 1.02 0.85 0.33 1.24 0 6. Προσθέτω στην προηγούµενη ανακατασκευασµένη
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Αρχική Με απλό backprojection Μετά από 10 επαναλήψεις 0.5 0.5 0.5 1 1 1 1.5 1.5 1.5 2 2 2 2.5 2.5 2.5 3 3 3 3.5 3.5 3.5 4 4 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 4.5 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 2 2 2.5 2.5 3 3 3.5 3.5 4 4 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 4.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Απόλυτη διαφορά από την αρχική Απόλυτη διαφορά από την αρχική
Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 0.18 Μέσο τετραγωνικό σφάλµα 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Αριθµός επαναλήψεων