Σχεδιασµός FIR φίλτρων

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 88 Σχεδιασµός FIR φίλτρων 6. Εισαγωγή FIR φίλτρα είναι ψηφιακά φίλτρα πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης (Finite Impulse Response). ηλ εφαρµογή της κρουστικής συνάρτησης δ(n) στο σύστηµα θα δώσει σαν απόκριση ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων. Αν δούµε την περιγραφή ενός τέτοιου συστήµατος σαν εξίσωση διαφορών τότε η σχέση θα είναι µη επαναληπτική. Η απλούστερα είναι µία σχέση όπου η έξοδος y(n) εκφράζεται σαν ένα άθροισµα (µε σχετικά βάρη) των σηµείων εισόδου x(n). 5 n -5-4 6 8 Το FIR φίλτρο του σχήµατος 6. έχει την ακόλουθη κρουστική Σχήµα 6. απόκριση : h(n)= -4δ(n)+δ(n-)-δ(n-)-δ(n-3)+5δ(n-4)+6δ(n-5)+6δ(n-6)+5δ(n-7)-δ(n-8)-δ(n-9)+δ(n-) αντίστοιχα η εξίσωση διαφορών είναι: y(n)= -4x(n)+x(n-)-x(n-)-x(n-3)+5x(n-4)+6x(n-5)+6x(n-6)+5x(n-7)-x(n-8)-x(n-9)+x(n-) h(n) 6. Γενικά χαρακτηριστικά των FIR φίλτρων Πρίν υπεισέλθουµε στη µελέτη των FIR φίλτρων ας δούµε τα φασµατικά χαρακτηριστικά των ψηφιακών φίλτρων που αποτελεί και τον βασικό τρόπο περιγραφής ενός φίλτρου. Τα βασικά είδη είναι τα εξής 4: Βαθυπερατό ή κατωπερατό (Low-pass), Υψιπερατό ή άνωπερατό, (High-pass), Ζωνοδιαβατό (band-pass)και Απόρριψης ζώνης (band-reject) Η ιδανική απόκριση για κάθε ένα από αυτά δίνεται στο Σχήµα 6.. Ας σηµειώσουµε ότι οι αποκρίσεις των Ψηφιακών φίλτρων δίδονται στην βασική ζώνη δηλ. από έως π. Στις ιδανικές αυτές αποκρίσεις του σχ.6. κάθε φίλτρο χαρακτηρίζεται από µία ή δύο χαρακτηριστικές συχνότητες που καθορίζουν την µετάβαση από υψηλή σε χαµηλή ενίσχυση Αυτό συµβαίνει συνήθως. Υπάρχει όµως περίπτωση να έχουµε FIR φίλτρα που εκφράζονται από επαναληπτικές σχέσεις. Αυτό όµως είναι η εξαίρεση.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 89 και αντίστροφα. Τέτοια συχνότητα είναι η ω C του βαθυπερατού φίλτρου (σχ6.α). Στην πραγµατικότητα οι προδιαγραφές αυτές ουδέποτε υλοποιούνται, διότι: Πάντα υπάρχει µία κυµάτωση στη ζώνη διέλευσης (υψηλής ενίσχυσης) Πάντα υπάρχει µία κυµάτωση στη ζώνη αποκοπής (χαµηλή ενίσχυση) και η µετάβαση από την ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής δεν είναι απότοµη αλλα υπάρχει πάντα µία ζώνη µετάβασης. Η ω C (α) (β) (γ) (δ) ω= π π Σχήµα 6. Ψηφιακά φίλτρα (α) Βαθυπερατό, (β) Ηψιπερατό, (γ) Ζωνοδιαβατό και (δ) απόρριψης ζώνης Οι πραγµατικές προδιαγραφές δίνονται από ζεύγη τιµών συχνότητας-ενίσχυσης όπως δεικνύεται στο σχήµα 6.3 Η(ω) +δ -δ Ζώνη µετάβασης δ ωp ω s ω Σχήµα 6. 3 Στη ζώνη διέλευσης (-ω p ) φαίνεται η κυµάτωση µεταξύ των τιµών +δ και -δ. Στη ζώνη αποκοπής (ω>ω ς ) η κυµάτωση είναι µικρότερη του δ

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 9 Η(ω) σε db R p Ζώνη µετάβασης A s ω p ω s ω Σχήµα 6. 4 Οι ίδιες προδιαγραφές όπως στο σχήµα 6.3 µετρηµένες σε Decibel (db) Οι τιµές ενίσχυσης σε db, R p και A s του σχήµατος 6.4 προκύπτουν από τις αντίστοιχες (απόλυτες) τιµές δ και δ του σχήµατος 6.3 ως εξής: R p + δ = log και Α s = log (6.) δ +δ δ Όπως είδαµε η γενική µορφή ενός LTI ψηφιακού συστήµατος είναι: N k= M k y(n k) = b k x(n k) k= a (6.) H µη επαναληπτική µορφή που αντιστοιχεί στα FIR φίλτρα είναι η εξής: M y (n) = b k x(n k) (6.3) k= H µορφή (6.3) είναι ουσιαστικά άµεση υλοποίηση της συνέλιξης του σήµατος x(n) και της ακολουθίας των συντελεστών b k. H συνάρτηση µεταφοράς z και η απόκριση συχνότητας δίνονται ως εξής : M Μ k jkω H (z) = b kz και Η( ω) = bke (6.4) k= k=

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 9 6.. Γραµµική φάση Η γραµµική φάση αποτελεί το βασικό χαρακτηριστικό των FIR φίλτρων. Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για γραµµική φάση είναι η συµµετρία των συντελεστών h(n) του FIR φίλτρου Για ένα φίλτρο τάξεως Ν, έχουµε δύο είδη συµµετρίας: άρτια h(n) = h(n-n) και περιττή h(n) = -h(n-n) Θα µελετησουµε στη συνέχεια την απόκριση συχνότητας (οπου θα εµφανισθεί και η φάση) σε δύο στάδια. Πρώτα ας θεωρήσουµε ότι το φίλτρο είναι µη αιτιατό και ορίζεται και για Μ αρνητικούς χρόνους µε την χρονική στιγµή ως κέντρο συµµετρίας: b k =b -k και N=M+ Η απόκριση συχνότητας είναι: H ( ω) = b o Μ κ= Μ + M b k= k b e k jkω = b o + b cosω + b cos ω +... + b (6.5) coskω Oπως φαίνεται η απόκριση συχνότητας είναι πραγµατική δηλ. η φάση είναι = Στη συνέχεια θα κάνουµε το σύστηµα αιτιατό µετακινώντας το σήµα h(n) κατά Μ σηµεία. Από την ιδιότητα του DTFT έχουµε Η(ω)=e -jmω Η (ω) (6.6) ηλ η φάση είναι θ=-μω (6.7) M h(n) θ= n - -5 5 5 θ=-μω - -5 5 5 Σχήµα 6. 5 Στο πάνω σχήµα οι συντελεστές είναι συµµετρικοί ως προς την αρχή των αξόνων και το σύστηµα είναι βέβαια µη αιτιατό. Στο κάτω σχήµα το σύστηµα είναι αιτιατό και έχει βέβαια (γραµµική) φάση θ=-μω

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 9 παράδειγµα 6. Να υπολογισθεί η απόκριση Η(ω) για µήκος φίλτρου Ν=7 και άρτια συµµετρία συντελεστών. έχουµε h(n)=h(6-n) για n=,,...6 H( ω) = = e = e = = e 6 jnω jω jω h(n)e = h() + h()e + h()e +... 3jω j3ω jω jω jω jω j3ω { h()e + h()e + h()e + h(3) + h(4)e + h(5)e + h(6)e } 3jω j3ω j3ω jω jω jω jω { h()(e + e ) + h()(e + e ) + h()(e + e ) + h(3) } 3jω j3ω jω jω jω jω j3ω = e { h()e + h()e + h()e + h(3) + h(4)e + h(5)e + h(6)e } 3jω { h()cos(3ω) + h()cos(ω) + h()cos( ω) + h(3) } 6.. Μηδενισµοί Επειδή δεν έχουν πόλους αλλά µόνο µηδενισµούς η ευστάθεια είναι δεδοµένη για όλο το µιγαδικό επίπεδο z Οι µηδενισµοί εφόσον είναι µιγαδικοί θα πρέπει να είναι συζυγείς για να έχουµε συναρτήσεις µε πραγµατικούς συντελεστές Εάν θεωρήσουµε και την συµµετρία δεδοµένη θα πρέπει για κάθε µηδενισµό να υπάρχει και ο αντίστροφός του (επειδή Η(z)=H(z - )) Aρα για κάθε µηδενισµό τιµής z, θα πρέπει να υπάρχουν και οι µηδενισµοί: z *, z - και (z * ) - 6.3 Τα 4 είδη των FIR φίλτρων γραµµικής φάσης Τύπος Ν=περιττός h(n)=h(n--n) H(ω)=-αω όπου α=(ν-)/ Υλοποιεί όλους τους τύπους των φίλτρων Τύπος Ν=άρτιος h(n)=h(n--n) H(ω)=-αω όπου α=(ν-)/ Ν/ Η Η(ω)=Η r (ω)e -jαω όπου (ω) h( N π r = n)cos(ωn - ) Επειδή για ω=π!η r (ω)= ο τυπος ΕΝ µπορεί να υλοποιήσει φίλτρα Υψιπερατά και Απόρριψης ζώνης. Τύπος 3 Ν=περιττός h(n)=-h(n--n) H(ω)=β-αω =π/-ω(ν-)/

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 93 Ευρίσκεται ότι Η(ω)=Η r (ω)e j[β-αω] N- όπου Η r(ω) = h( n)sin(ωn ) για ω= και ω=π!η r = Aρα ο τύπος αυτός ΕΝ δίνει Υψιπερατά και Βαθυπερατά φίλτρα είναι όµως κατάλληλο για διαφοριστές και µετασχ. Hilbert N - Τύπος 4 Ν=άρτιος h(n)=-h(n--n) H(ω)=β-αω =π/-ω(ν-)/ Ευρίσκεται ότι Η(ω)=Η r (ω)e j[β-αω] N όπου H r ( ω) = h( n)sin{ ω(n - /)} για ω=!η r = Ο τύπος αυτός είναι κατάλληλος για διαφοριστές και µετασχ. Hilbert N Στο σχήµα 6.6 δεικνύονται οι αποκρίσεις (συντελεστές) για τους 4 τύπους των FIR φίλτρων - - N=3 Τύπος Κέντρα συµµετρίας 4 6 8 4 N= Τύπος 4 6 8 4 - N=3 4 6 8 4 Τύπος3 - N= 4 6 8 4 Τύπος4 Σχήµα 6. 6 FIR φίλτρα γραµµικής φάσης: Οι 4 τύποι

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 94 6.4 To φίλτρο (κινούµενης) µέσης τιµής (moving average filter) Στο σηµείο αυτό και σαν εισαγωγή στα FIR φίλτρα θα µελετήσουµε το φίλτρο µέσης τιµής. To φίλτρο αυτό τάξεως Ν=Μ+ έχει συντελεστές που έχουν ίδια τιµή και ίση µε /Ν Η πράξη που εκτελεί σε κάθε σηµείο του σήµατος είναι να υπολογίζει την µέση τιµή των Ν σηµείων και να την αντικαθιστά σαν έξοδο στο σηµείο αυτό. Στο πεδίο των συχνοτήτων η ενέργεια αυτή είναι ενέργεια βαθυπερατού φίλτρου (ή φίλτρου λείανσης- smoothing filter) και έχει πολύ µεγάλη αξία και χρηση. Η απόκριση συχνότητας (DTFT) υπολογίζεται (για Ν=περιττό και κέντρο συµµετρίας το (Ν-)/ ) και είναι: H(ω)=/(Μ+) {+cosω+cosω+..+cosmω} (6.8) Και για αιτιατό φίλτρο η φάση είναι: H(ω)=-Μω Για Ν=5 η απόκριση Η(ω) δεικνύεται στο παρακάτω σχήµα 6.7 H(ω ).8.6.4...4.6.8 ω Σχήµα 6. 7 Απόκριση συχνότητας όπως δίνεται στην (6.8). Φαίνεται η υψηλή ενίσχυση στις χαµηλές συχνότητες. Το µήκος Ν=Μ+=5. ιακρίνονται οι µηδενισµοί για ω=π/5 και 4π/5 xπ Θα υπολογίσουµε στο σηµείο αυτό τους µηδενισµούς και τους πόλους του παραπάνω φίλτρου µέσης τιµής για Ν=5 Στο πεδίο του µετασχ.z έχουµε: Η(z)=.{+z - +z - +z -3 +z -4-5 - z }=. (6.9) - - z για τους µηδενισµούς!z 5 = θέτωντας :z=e jθ έχουµε e jθ5 = =e jkπ! θ=kπ/5 Αρα οι µηδενισµοί είναι z= e jπ/5, z= e jπ/5, z= e j4π/5 z= e j6π/5, z= e j8π/5 Επίσης µία άλλη µορφή που εξάγεται από την (6.9) είναι η ακόλουθη: Η(ω)=. e -jω sin.5ω (6.) sin.5ω

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 95 Ζωνοδιαβατά και Υψιπερατά φίλτρα Μία βαθυπερατή συνάρτηση Η(ω) µετατοπίζεται στο πεδίο των συχνοτήτων κατά ω ο εάν συνελιχθεί µε τη µοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(ω ο ). ω ο ω ο Επειδή η συνέλιξη στο πεδίο των συχνοτήτων αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό στο πεδίο του χρόνου, µια ζωνοδιαβατή συνάρτηση προκύπτει από τους συντελεστές του βαθυπερατού φίλτρου αν πολλαπλασιαστούν µε cosnω ο. Σαν παράδειγµα θεωρούµε τους συντελεστές βαθυπερατού φίλτρου που είναι h(n)=/, n=- έως Πολλαπλασιάζοντες µε cosnπ/3 έχουµε: h b =/cosnπ/3, n=- έως Η απόκριση συχνότητας δεικνύεται στο παρακάτω σχήµα.8 Η(ω).6.4 π/3....3.4.5.6.7.8.9 xπ rad Σχήµα 6. 8 Ζωνοδιαβατό φίλτρο µε κεντρική συχνότητα ω=π/3 Υψιπερατά φίλτρα υλοποιούνται αν η µετατόπιση της συχνότητας είναι ω ο =π Επειδή cosnπ=± ουσιαστικά αρκεί αλλαγή κάθε περιττού όρου των συντελεστών του βαθυπερατού φίλτρου για να µετατραπεί σε αντίστοιχο υψιπερατό. Στο σχήµα 6.9 δεικνύεται η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας για ένα βαθυπερατό φίλτρο µέσης τιµής Ν=5 (πάνω µέρος) και το αντίστοιχο υψιπερατό (κάτω µέρος). Τα περιττά σηµεία h(n) είναι αρνητικά.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 96.5 h(n) Βαθυπερατό H(ω).5 -.5.5 h(n) 4 6.5 Υψιπερατό H(ω).5 -.5 4 6.5 xπ rad Σχήµα 6. 9 Τα σχήµατα αναφέρονται σε Βαθυπερατό (πάνω µέρος) και Υψιπερατό (κάτω µέρος) φίλτρα µέσης τιµής µήκους Ν=5. Φαίνεται η διαφορά στην απόκριση h(n) όπου για n=,3,5 h(n) είναι αρνητικά. 6.5 Απόκριση µέτρου και απόκριση πλάτους Η απόκριση µέτρου διαφοροποιείται από την απόκριση πλάτους στις περιοχές που η απόκριση έχει πραγµατική αλλα αρνητική τιµή. Ετσι το µέν µέτρο είναι πάντα θετικό το πλάτος όµως παίρνει και αρνητικές τιµές. Αυτό έχει επίπτωση στη φάση που ουσιαστικά ελαττώνεται (ή αυξάνεται) κατά 8 ο. παράδειγµα 6. Εστω h(n)=[,, ] H απόκριση συχνότητας είναι: H(e jω )=Σh(n)e -jnω =+e -jω +e -jω =e -jω {+cosω} Απόκριση πλάτους : H(e jω )=H r (e jω ) H(e jω ) H r (e jω )= +cosω και H(e jω )=-ω για <ω π Απόκριση µέτρου: H(e jω )= H r (e jω ) H(e jω ) H(e jω ) = +cosω και H(e jω )=-ω για <ω π/3 H(e jω )=π-ω για π/3<ω π Στο σχήµα 6. δεικνύονται οι δύο αυτές αποκρίσεις. 3 Ηr(ω) 3 H(ω) (α) (β) -.5 xπ -.5 xπ Σχήµα 6. Απόκριση πλάτους (α) και απόκριση µέτρου (β)

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 97 6.6 Η µέθοδος των παραθύρων Η µέθοδος αυτή είναι η βασική µέθοδος σχεδιασµού FIR φίλτρων και βασίζεται στον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier (IDTFT) π h(n)=/(π) π Η(e jω )e jωn dω (6.) Συνήθως η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται για απλές µορφές Η(ω) Το βασικό πρόβληµα που αντιµετωπίζουµε στη µέθοδο αυτή είναι ο αριθµός των συντελεστών h(n) που πρέπει να επιλεγούν. 6.6. Σχεδιασµός ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου Θεωρούµε ότι η ζητούµενη απόκριση συχνότητας έχει την ιδανική µορφή βαθυπερατού φίλτρου όπως αυτό του σχ. 6.. Η ζώνη διέλευσης εκτείνεται µέχρι την συχνότητα ω και έχει ενίσχυση =. Στη ζώνη αποκοπής π>ω> ω έχει ενίσχυση = Από τον IDTFT (6.) βρίσκουµε: -π -ω ω π ω Σχήµα 6. φίλτρο Η(ω) Ιδανικό Βαθυπερατό h(n) = = π π π π Η( ω)e e jnω jnω dω = sin(nω) ω h(n) = = nπ π π π dω π jnω e jn sin c(nω ) ω ω (6.) Aξίζει να επισηµάνουµε ότι λόγω της συµµετρίας της Η(ω) οι συντελεστές h(n) είναι επίσης συµµετρικοί µε κέντρο συµµετρίας το σηµείο n= κει εποµένως αναφέρονται σε µη αιτιατό σύστηµα. Γιαυτό και η φάση της Η(ω) θεωρείται =. Η θεώρηση αυτή διευκολύνει πολύ τους υπολογισµούς(βλ και 6..)

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 98 παράδειγµα 6.3 Για ω =π/5 να υπολογισθούν οι συντελεστές h(n). Από την h(n)=/(nπ) sin(nπ/5) βρίσκουµε για τους πρώτους *8+ όρους: h(n)= [ -.378 -.43 -.3..468.9.54.87..87.54.9.468. -.3 -.43 -.378]..3 h(n).. -. - -5 - -5 5 5 n Σχήµα 6. Kρουστική απόκριση (συντελεστές φίλτρου) ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου. Το σχήµα δεικνύει *6+ συντελεστές. 6.6. Αποκοπή Οι σχέσεις (6.) και (6.) δίνουν αυτούς τιµές h(n) που αντιστοιχούν στην υλοποίηση αυτούς σχετικής βαθυπερατής συνάρτησης Η(ω). Ο αριθµός των συντελεστών αυτών είναι (θεωρητικά) άπειρος. Για να έχει εποµένως νόηµα το φίλτρο πεπερασµένου µήκους (FIR) πρέπει να κρατήσουµε έναν πεπερασµένο µόνο αριθµό από αυτούς δηλ. να κάνουµε µία αποκοπή. Η αποκοπή αυτή αλλοιώνει την αρχική ιδανική βαθυπερατή συνάρτηση του σχ.6. της οποίας είναι µία καλή προσέγγιση. Η προσέγγιση αυτή είναι η βέλτιστη µε την έννοια του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος. ηλ. το σφάλµα e = Ηd ( ω) Ηa( ω)dω (6.3) π είναι ελάχιστο. Σε κάθε όµως περίπτωση ισχύει το φαινόµενο Gibbs που λέει ότι το µέγιστο σφάλµα που εµφανίζεται στις µεταβολές της Η(ω) σε κάθε προσέγγιση παραµένει σταθερό. 6.6. Η έννοια του "παραθύρου" Η αποκοπή εκφράζεται καλύτερα µε την έννοια του παραθύρου. ηλ. η πράξη της αποκοπής είναι ισοδύναµη µε την πράξη του πολλαπλασιασµού της (άπειρης) ακολουθίας h(n) µε ένα ορθογώνιο παράθυρο w(n) που αποτελείται από µία ακολουθία µοναδιαίων τιµών και

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 99 πεπερασµένου µήκους Ν. Η έννοια του παραθύρου µας δίνει την δυνατότητα γενίκευσης της αποκοπής µε ταυτόχρονη διαµόρφωση των συντελεστών h(n). Ορθογώνιο παράθυρο Ας δούµε την επίδραση του ορθογώνιου παραθύρου στην απόκριση συχνότητας του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου. Στο σχήµα 6.3 στην αριστερή στήλη παρουσιάζονται η αρχική ακολουθία απείρων όρων, η ακολουθία των σηµείων του ορθογωνίου παραθύρου και η πεπερασµένη ακολουθία µετά την εφαρµογή του παραθύρου. Στη δεξιά στήλη φαίνονται οι αντίστοιχες αποκρίσεις συχνότητας..3.. h(n) (α).5 H(ω) (δ).5 -. - -5 5 n.5 w(n).5 xπ ω 5 W (ω) (β) (ε).5 5-5 5.5.3.. h(n) (γ).5 Η(ω) (ζ).5 -. - -5 5.5 Σχήµα 6. 3 α)ιδανική άπειρη κρουστική απόκριση β)ορθογώνιο παράθυρο γ) η πραγµατική απόκριση µετα την εφαρµογή του παραθύρου στην (α). Στα δ), ε), ζ) οι αντίστοιχες αποκρίσεις συχνότητας των α), β), γ).

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα Η τελική απόκριση Η(ω) προέρχεται από την συνέλιξη των Η (ω) και W(ω): Η(ω) = Η (ω) * W(ω) (6.4) Αντίστοιχα η τελική κρουστική απόκριση h(n) είναι το γινόµενο της αρχικής (άπειρης) µε το παράθυρο w(n): h(n)=h (n)w(n) (6.5) Στην διαδικασία αυτή φαίνεται και το αποτέλεσµα της αποκοπής των συντελεστών στην επιθυµητή συνάρτηση απόκριση συχνότητας. ύο είναι οι βασικές αποκλίσεις: H εµφάνιση ζώνης µετάβασης και η πεπερασµένη τιµή της ελάχισης δυνατής εξασθένισης. Πώς µπορεί να διορθωθούν οι αποκλίσεις αυτές; Προφανώς εάν η απόκριση συχνότητας του παραθύρου ήταν η δ(ω). Η απόκριση αυτή απαιτεί άπειρο αριθµό σηµείων δηλ. όλη την ακολουθία εισόδου. Ας σηµειώσουµε ότι αύξηση του παραθύρου βελτιώνει το πάχος του κυρίως λωβού (ελαττώνεται) αλλά δεν βελτιώνεται το ύψος των παράπλευρων λοβών. Αυτό έχει σαν συνέπεια την αδυναµία ελάττωσης της ενίσχυσης στην ζώνη εξασθένισης πέραν κάποιας ανώτατης τιµής. Η τιµή αυτή είναι ανεξάρτητη του µήκους του παραθύρου και είναι περίπου db. τριγωνικό παράθυρο Εχει τριγωνική µορφή. Για Μ+ σηµεία είναι w(n)=m+- n -M n M ή πιο αναλυτικά: w(n)= [,,3,4..M,M+,M,.4,3,, ] H απόκριση συχνότητας (DTFT) είναι Η(ω)=Μ++{Μcosω+(Μ-)cosω+ cos(mω)} Μία βελτιωµένη παραλλαγή του τριγωνικού είναι το παράθυρο Bartlett που ορίζεται ως M + n w(n)= (M + ) -M n M παράθυρο hanning και hamming Ορίζονται αντίστοιχα ως εξής w(n)=.5+.5cos{nπ/(n+)} -M n M w(n)=.54+.46cos{nπ/n} -M n M και Ν=Μ+

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 6.6.3 Σχεδιασµός FIR φίλτρων µε χρήση παραθύρων Συµπεράσµατα Στον πίνακα 6. δεικνύονται η µέγιστη εξασθένηση που επιτυγχάνεται µε κάθε παράθυρο και η τάξη του φίλτρου που αντιστοιχεί στη ζώνη µετάβασης. Σε όλες τις περιπτώσεις η τάξη του φίλτρου είναι αντίστροφη του εύρους της ζώνης µετάβασης. Πίνακας 6. Τύπος παραθύρου Ευρος ζώνης µετάβασης ω (rad) Μέγιστη εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής σε db Ορθογώνιο.8π/N Bartlett 6.π/N 5 Hanning 6.π/N 44 Hamming 6.6π/N 53 Blackman π/n 74 Η διαδικασία σχεδιασµού γίνεται σε τρία βασικά στάδια. Πρώτα επιλέγεται το παράθυρο από την επιθυµητή εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής Επειτα βρίσκεται η τάξη του φίλτρου από το εύρος της ζώνης µετάβασης Στη συνέχεια βρίσκονται η συνελεστές από την σχέση (6.) Αξίζει να επισηµάνουµε ότι δεν συµπεριλαµβάνεται στις προδιαγραφές πληροφορία για την αποδεκτή κυµάτωση στην ζώνη διέλευσης. Εάν δίνεται και η κυµάτωση τότε επιλέγουµε παράθυρο που να ικανοποιεί την ελάχιστη από τις δύο προδιαγραφές (εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής κυµάτωση στη ζώνη διέλευσης).

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 6.7 Παράθυρο Kaiser Στα παράθυρα που µελετήθηκαν πρηγουµένως είδαµε ότι κάθε παράθυρο συνεπάγεται ένα δεδοµένο εύρος ζώνης (του κυρίως λωβού) και µία αντίστοιχη εξασθένηση στην ζώνη διέλευσης. Mε το παράθυρο Kaiser γίνεται ένας "συµβιβασµός" µεταξύ του εύρους και της εξασθένησης δηλ. µπορούµε να επιλέξουµε τον καλύτερο συνδυασµο απο ένα ευρύτερο σύνολο τιµών. Ορίζεται ως εξής: n Io α M w(n) = Μ n Μ I ( α) o H συνάρτηση Ι ο είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους µηδενικής τάξεως: (6.6) n x n= n! Io(x) = + (6.7) Mερικές χαρακτηριστικές τιµές w(n): για n= w()= γιά α= ορθογώνιο παράθυρο. για α=5.44 παράθυρο Hanning Στο σχήµα 6.4 δεικνύονται οι διάφοροι παράµετροι που πρέπει να υλοποιηθούν για να γίνει ο σχεδιασµός του φίλτρου. Η D (ω) +δ -δ π ω δ -δ Σχήµα 6. 4 Προδιαγραφές για σχεδιασµό µε παράθυρο Kaiser. H κυµάτωση στη ζώνη διέλεσης και στη ζώνη αποκοπής είναι ίδια = δ. Η "παχιά" γραµµή αντιστοιχεί στο ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο.

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 3 Ο σχεδιασµός αρχίζει µε τον υπολογισµό της παραµέτρου Α που είναι η εξασθένηση δ σε db: A =- log δ (6.8) Στη συνέχεια απο την τιµή Α επιλέγουµε την παράµετρο α ως εξής: α=.(α-8.7) εάν Α 5 α=.584(α-).4 +.7886(Α-) εάν <Α<5 (6.9) α= εάν Α Η τάξη του φίλτρου Ν=Μ+ θα βρεθεί απο την ακόλουθη σχέση που εξαρτάται απο την ζώνη µετάβασης ως εξής: A 7.95 M (6.) 8.7 Απο την τιµή της παραµέτρου α αφενός και την τάξη του φίλτρου Μ αφετέρου και µε την βοήθεια της σχέσεως (6.6) θα βρούµε τις τιµές του παραθύρου w(n) και εποµένως και τους συντελεστές h(n).

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 4 6.8 Σχεδιασµός Υψιπερατού, Ζωνοδιαβατού και Απόρριψης ζώνης (φίλτρων) 6.8. Απο την αντίστοιχη απόκριση H(ω) Στη διαδικασία αυτή ακολουθούµε τα βήµατα που ακολουθήσαµε για τον σχεδιασµό βαθυπερατής συνάρτησης στην παράγραφο 6.6.. Η διαδικασία αυτή σε ελάχιστες περιπτώσεις χρησιµοποιείται 6.8. Με διαµόρφωση Η διαδικασία αυτή περιεγράφει στην περίπτωση του φίλτρου µέσης τιµής αλλά προφανώς ισχύει για κάθε βαθυπερατή συνάρτηση φίλτρο. Συνοψίζοντες την µέθοδο αυτή και µετα την εύρεση του παραθύρου και αντίστοιχης διαµόρφωσης των συντελεστών του βαθυπερατού φίλτρου, πολλαπλασιάζουµε µε cos(nω ο ) όπου ω ο αντιστοιχεί στη συνολική µετατόπιση της βαθυπερατής απόκρισης. Με την διαδικασία αυτή υλοποιούµε Ζωνοδιαβατά και υψιπερατά φίλτρα 6.8.3 Με συνδυασµό Βαθυπερατών συναρτήσεων. Μία οποιαδήποτε ιδανική συνάρτηση απόκριση συχνότητας µπορεί να υλοποιηθεί σαν άθροισµα βαθυπερατών συναρτήσεων. Ετσι στο παρακάτω σχήµα 6.5 το ζωνοδιαβατό φίλτρο υλοποιείται µε αφαίρεση δύο βαθυπερατών φίλτρων Η συντελεστές του τελικού ζωνοδιαβατού φίλτρου δίνονται συναρτήση των δύο βαθυπερατών ως εξής: h BP =sin(ω n)/(πn)- sin(ω n)/(πn) (6.) ω ω π Σχήµα 6. 5

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 5 παράδειγµα 6.4 Υλοποίηση FIR φίλτρου µε την µέθοδο των παραθύρων. ίνονται οι εξής προδιαγραφές: βαθυπερατό f p =.5kHz, f (ζώνη µετάβασης)=.5khz, A s >5dB Συχνότητα δειγµατοληψίας f s =8kHz Επιλέγουµε παράθυρο Hamming Για τους συντελεστές h D (n)=sin(nω C )/(nπ), n=, ±, ±, ±3, ±4. και ω C =πf C /f s =π(f p + f/)/f s =.4375π έχουµε: για n=! h D (n)=.4375, n=±!.3 n=±!.69 n=±3! -.88 n=±4! -.563 Τάξη φίλτρου N=3.3/ f=3.3/(.5/8)=5.8 53 παράθυρο w(n)=.54+.46cos{πn/6} -6 n 6 n=! w(n)=. n=±!.9966 n=±!.9866 n=±3!.97 n=±4!.9473... n=±6!.8 Oι συντελεστές τελικά είναι : h A (n)=h D (n).w(n) n=! h A (n)=.4375 n=±!.33.6 n=±!.6.5 n=±3! -.856 n=±4! -.533.4....3 n=±6! -.9.. Η(ω) σε db R p A s Ζώνη µετάβασ ω p ω s ω h D (n), h A (n) -. -3 - - 3 Σχήµα 6. 6. Oι 53 συντελεστές πρίν h D (n) και µετά h A (n) την διαµόρφωση µε παράθυρο Hamming

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 6 παράδειγµα 6.5 Nα σχεδιασθεί FIR φίλτρο µε τις εξής προδιαγραφές ω p =.π, R p =.5dB, ω s =.3π, Α s =5dB (Παρατηρούµε ότι δεν δίνεται η συχνότητα δειγµατοληψίας, διότι οι προδιαγραφές είναι κανονικοποιηµένες) h D (n)=sin(nω p )/(nπ), όπου ω p =(.π+.3π)/=.5π Η(ω) σε db Επιλέγουµε παράθυρο Hamming διότι αυτό εξασφαλίζει εξασθένιση στη ζώνη αποκοπής 5dB. H επιλογή αυτή ικανοποιεί και την συνθήκη κυµάτωσης στη ζώνη διέλευσης που είναι.5db. Η ταξη του φίλτρου Ν=6.6π/ ω=6.6π/(.3π-.π)=66 +=67 (Προσθέτουµε + για να έχουµε FIR φίλτρο η ς τάξεως) Οι 5 πρώτοι (n= έως ±4) συντελεστές είναι οι ακόλουθοι:.5,.48,.579.737,. Στο σχήµα δεικνύονται οι αρχικοί συντελεστές h D (n) και οι τελικοί h A (n) µετά την εφαρµογή του παραθύρου Hamming. R p A s Ζώνη µετάβασ ω p ω s ω.3. h A (n). h (n) D -. -4-4 Σχήµα 6. 7 Oι 67συντελεστές πρίν h D (n) και µετά h A (n) την διαµόρφωση µε παράθυρο Hamming

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 7 παράδειγµα 6.6 Nα σχεδιασθεί FIR φίλτρο µε παράθυρο Kaiser και τις εξής προδιαγραφές Ζώνη διέλευσης: 5-5 Hz Zώνη µετάβασης: 5 Hz Kυµάτωση στη Ζώνη διέλευσης: δ p!r p =.db Κυµάτωση στη Ζώνη αποκοπής: δ s!a s = 6 db συχνότητα δειγµατοληψίας ΚΗz Από τις προδιαγραφές φαίνεται ότι το φίλτρο είναι Ζωνοδιαβατό Θα σχεδιάσουµε το αντίστοιχο βαθυπερατό φίλτρο Ευρεση των αρχικών συντελεστών µε ω p =π{(5-5)/+5/}/=.5 π Υπολογισµός της τάξεως από την σχέση Ν=(Α-7.95)/(4.36 f) Το Α υπολογίζεται σε db ως: Α=-log{min(δ p, δ s ) = 6 και το f= 5/! N=(6-7.95)/(4.36 x.5)=7.5 73 Επίσης η µεταβλητή α=.(6-8.7)=5.67 Η(ω) σε db Υπολογισµός του παραθύρου w(n)=i o {α [-(n/36) ]}/I o (α) R p A s ω s ω p ω p ω s ω.5 w(n) Kaiser 4 6 8.5. h(n) για το LP.. h A =h D (n).w(n).5 -.5-4 - 4 -. h(n) για το Zωνοδιαβατό -. -4-4 ιαµόρφωση του βαθυπερατού για µετατροπή στο ζητούµενο Ζωνοδιαβατό: h(n)= h A cos(nπ/) Στο σχήµα (παράπλευρο) φαίνεται η απόκριση συχνότητας. H db - -4-6 -8 - συχνότητα Hz 5 5 3 35 Σχήµα 6. 8 Απόκριση συχνότητας του ζωνοδιαβατού φίλτρου

Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ- ΚΕΦ 6 ο FIR φιλτρα 8 6.9 FIR φίλτρα µε τη µέθοδο δειγµατοληψίας της απόκρισης συχνότητας (frequency sampling method) Στην µέθοδο αυτή οι συντελεστές h(n) βρίσκονται σαν αντίστροφος DFT από δειγµατοληψία της αποκρισης συχνότητας (DTFT).5 H(ω).5 συχνότητα 4 6 8 4 6 Fs 6. Σχεδιασµός µε την "βέλτιστη" µέθοδο (Parks McClellan) 6. ιαφοριστές