Σχεδιασµός IIR φίλτρων - Λύσεις των Ασκήσεων. Ένα βαθυπερατό αναλογικό φίλτρο περιγράφεται από την σχέση Η(). Να βρεθεί ( ιγραµ. Μετασχ.) το αντίστοιχο ψηφιακό µε συχνότητα αποκοπής (-3dB) f 600H όταν η συχνότητα δειγµατοληψίας f είναι α) 000 H και β)5000h. Βρίσκουµε την αποστρεβλωµένη αναλογική συχνότητα: ktan(ω /) Η() k tan(ω k tan(ω / ) / ) k tan(ω / ) Η() k k tan(ω / ) Α) για ω π600/000.885 tan(ω / ) tan(ω / ) Η () α tan(.885 / ) tan(.885 / ).3764.3764 -.3764( ).3764 0.3764 -.765 0.735 Β) για ω π600/50000.7540 Η () β tan(0.7540 / ) tan(0.7540 / ) 0.3959 0.3959-0.3959( ).3959 0.3959-6.058 -.559. Ένα (κανονικοποιηµένο) βαθυπερατό φίλτρο Buttrworth ας τάξεως δίνεται από την σχέση: Η(). Σχεδιάστε το αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο µε (-3 db) συχνότητα f 000 H και συχνότητα δειγµατοληψίας f 8kH. Η ψηφιακή γων. συχνότητα είναι : ω π000/8000 rad 0.5π rad Η αντίστοιχη αναλoγική είναι: ktan(ω /)k tan(0.5π)k0.44 (kf ) Αρα Η()
Και k 0.44 H () - - - - k k0.44 k k 0.44 - - - - - 0.44-0.44 - - 0.44 0.09763 0.956 0.948 0.09763 0.3333 3. Με χρήση του µετασχ. κρουστικής αµεταβλητότητας να σχεδιάσετε ένα ης τάξεως βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής (-3dB) f 750 H και συχνότητα δειγµατοληψίας f 3kH. Αρχικά υπολογίζουµε την ψηφιακή (γωνιακή) συχνότητα: ω π750/30000.5π Ένα ης τάξεως βαθυπερατό φίλτρο έχει συνάρτηση Η() Η αναλογική συχνότητα και η αντίστοιχη ψηφιακή ω συνδέονται ως εξής: ω f 0.5π3000π750500π Eποµένως Η() ω f ω f 500π 500π Η αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση είναι: H() 500π 500π / 3000 500π 0.5π 47.4 0.079 4. Να σχεδιαστεί ένα υψιπερατό IIR φίλτρο ης τάξεως µε συχνότητα δειγµατοληψίας f 0kH και συχνότητα αποκοπής (3dB εξασθένηση), kh. Να επανασχεδιαστεί ώστε η συχνότητα kh να αντιστοιχεί σε εξασθένηση 0.46dB. (α) Ένα κανονικοποιηµένο () υψιπερατό φίλτρο ης τάξεως έχει τη µορφή: H(). Μας δίνεται η συχνότητα δειγµατοληψίας f0kh και η συχνότητα αποκοπής (-3dB) f c kh. Αρα η αναλογική συχνότητα αποκοπής tan(π f / f ) 0.349 rad/c. Η (αναλογική) συνάρτηση H() γίνεται: P H() P 0.349
Από αυτή αντικαθιστώντας λαµβάνουµε την αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η(): H() H().349( 0.675.349 0.349 0.349( ).349 0.676 0.7548 0.5095 ) (β) Θα επανασχεδιάσουµε το φίλτρο ώστε η συχνότητα kh να αντιστοιχεί σε εξασθένηση 0.46dB. Στην περίπτωση αυτή η συχνότητα αποκοπής είναι άγνωστη, έστω c. Εποµένως έχουµε ότι: H() Με βάσει τα δεδοµένα, θα πρέπει για συχνότητα fkh να έχουµε εξασθένηση 0.46dB Η αντίστοιχη είναι tan(π f / f ) 0.349 rad/c και 0 log 0 (H() j A 0 log ) 0 log 0 ( 0 ( ) ) 0 A 0 0 A 0 0.349 0 0.046 0.349 0.086 Για την ζητούµενη ψηφιακή συνάρτηση έχουµε: H() H() H() 0.086( ) 0.900 0.804 5. Ένα αναλογικό ζωνοδιαβατό φίλτρο έχει συνάρτηση H(). Σχεδιάστε ( )( ) ένα IIR φίλτρο µε την µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης µε συχνότητα δειγµατοληψίας 0 H. Η απάντηση να δοθεί σαν εξίσωση διαφορών µεταξύ εισόδουεξόδου. Η συνάρτηση H() αναλύεται σε µερικά κλάσµατα ως εξής: H() 3
Μπορούµε τώρα να βρούµε την συνάρτηση του φίλτρου στο -domain: H( ) Αρα T T H() - 0. 0. όπου: Τ περίοδος δειγµατοληψίας 0. c. 0.99.73 0.7408 Επειδή Η()Y()/X() Υ()-.73Y() - 0.7408Y() - X()-0.99X() -. Εφαρµόζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό και έχουµε : y(n)-.73y(n-)0.7408y(n-)x(n)-0.99x(n-) y(n).73y(n-)-0.7408y(n-)x(n)-0.99x(n-). 6. Να σχεδιαστεί ένα Buttrworth υψιπερατό ψηφιακό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω 0.7π. Η απόκριση πρέπει να είναι τουλάχιστον 30dB «κάτω» για ω 0.5π και 50dB «κάτω» για ω 0.3π. Ποιά είναι η ελάχιστη τάξη του φίλτρου; Ένα υψιπερατό φίλτρο Buttrworth, έχει την γενική µορφή: H() Εδώ tan(0.7π/).966 rad Επίσης tan(0.5π/).0 rad και tan(0.3π/)0.5095 rad N Για, Α30dB άρα: 300log N.966 Ν5.7 ή Ν6. Οµοίως για 0.5095, Α50dB. Ν4.686 ή Ν5. Εποµένως επιλέγουµε Ν6. 7. Ζητείται να υπολογισθεί ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως µε κεντρική συχνότητα f 0.5 KH και εύρος ζώνης f 0.5 KH. Η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι 0 KH. Επειδή πρόκειται για ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως, η συνάρτησή του είναι: Η() a a o Όπου α, και 0 είναι η κεντρική συχνότητα. πf Η συχνότητα 0 αυτή θα υπολογιστεί από τον τύπο: 0 εφ f 0 0 rad/c 4
Για το a έχω : a ( 0 ) εφ ω τελικά a π/40 0.078 rad π f, a εφ f Εποµένως η (αναλογική) συνάρτηση είναι η εξής : H() π / 40 π / 40. Εφαρµόζoντας τον διγραµµικό µετασχηµατισµό 0.078( )( ) Η() 0.04( )( ( 0.078).078.08 ) λαµβάνουµε: 8. Nα σχεδιασθεί ένα βαθυπερατό φίλτρο Buttrworth µε τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης ω 0.π (rad/aml) εξασθένηση R db ζώνη αποκοπής ω 0.3π (rad/aml) εξασθένηση Α 5dB Συχνότητα δειγµατοληψίας kh H σχεδίαση να γίνει µε την imul invariant µέθοδο. α. Βρίσκουµε τις συχνότητες του αναλογικού φίλτρου: 0.π 000400π,.600π (rad/c) β. Βρίσκουµε την τάξη Ν και την συχνότητα του Buttrworth φίλτρου. N 0log H() 0log Για 0log[(400π/ ) N ] (400π/ ) N 0 0. - Nlog(400π/ )-0.5868 Για 50log[(600π/ ) N ] (600π/ ) N 0.5 - Nlog(600π/ ).486 Αφαιρώντας βρίσκουµε την τάξη Ν του φίλτρου: Nlog(4/6) -0.5868-.486-.078 N5.885 6 Για την συχνότητα αποκοπής έχουµε: log(400π/ ) -0.5868/( 6) -0.0489 400π/ 0-0.0489 0.8935 406.4 rad/c f 3.8H Βρίσκουµε από το Matlab τους συντελεστές του αναλογικού φίλτρου:[b,a]buttr(6, 406.4,''); Και τους συντελεστές του αντίστοιχου ψηφιακού φίλτρου [b,a]iminvar(b,a,) ; b 0.0000 0.0006 0.00 0.06 0.004 0.000 0 a.0000-3.3635 5.0685-4.759.067-0.5707 0.066 H() N 9. Ένα 5 ης τάξεως Buttrworth φίλτρο έχει ζώνη διέλευσης 0-.3kH και ζώνη µετάβασης 600H. Ποία είναι η εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής; Η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι 0 kh. 5
Eνα Buttrworth αναλογικό φίλτρο 5 ης τάξεως έχει την µορφή: Θεωρούµε ότι ο σχεδιασµός γίνεται µε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό. Η (αναλογική)συχνότητα στη ζώνη διέλευσης (άκρο) είναι: 0 4 tan(π.3/0)8654.8 r/ H (ψηφιακή) συχνότητα αποκοπής είναι: ω.30.6.9kh Η (αναλογική) συχνότητα αποκοπής 0 4 tan(π/0.9)359 rad/c Αρα: H( ) 0.04 ή 9.65 db 0 359 8654.8 H(ω) db 0-3 -5-0 -5-0 H() 0.3k.9k Συχνότητα H 0. Σχεδιάστε µε την µέθοδο "imul invariant" ένα 5ης τάξεως Buttrworth βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής 0.6 H. Η συχνότητα δειγµατοληψίας f H. (µε το Matlab). βρίσκουµε την ψηφιακή συχνότητα (rad/aml) ω 0.6/*π0.6π r/aml. βρίσκουµε την αντίστοιχη αναλογική ω f 0.6π*.π r/c 3. βρίσκουµε το αναλογικό φίλτρο buttrworth 5ης τάξεως:[b,a]buttr(5,.*i,''); 4. βρίσκουµε το αντίστοιχο ψηφιακό µε την µέθοδο "imul invariant" [b,a]iminvar(b,a,); 5. Ελέγχουµε το αποτέλεσµα: frq(b,a) [b,a]buttr(5,.*i,''); [b,a]iminvar(b,a,); frq(b,a) 6