Identifikácia sústav
Gergely Takács, Ján Vachálek, Boris Rohaľ-Ilkiv Identifikácia sústav SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE 2014
Všetky práva vyhradené. Žiadna časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez predchádzajúceho súhlasu autorov alebo nakladateľstva. c Ing. Gergely Takács, PhD., Ing. Ján Vachálek, PhD., Prof. Ing. Boris Rohaľ- Ilkiv, CSc. Recenzenti: doc. Ing. Monika Bakošová, CSc. prof. Ing. Peter Hubinský, PhD. Jazyková korektúra: PhDr. Marta Rohaľová-Ilkivová Mgr. Katarína Vachálková Schválila Vedecká rada Strojníckej fakulty STU dňa 3.2.2014. Číslo v EP VU13/14. ISBN 978-80-227-4288-7
Obsah Obsah 5 Zoznam obrázkov 9 Zoznam tabuliek 13 Finančná podpora 17 Predslov 19 O autoroch 21 1 Úvod do problematiky identifikácie 23 1.1 Pojem identifikácie........................... 23 1.2 Základné prístupy k identifikácii.................... 24 1.2.1 Analytický prístup....................... 24 1.2.2 Experimentálny prístup.................... 25 1.2.3 Analyticko-experimentálny prístup.............. 26 1.3 Informácie o objekte.......................... 26 1.4 Úloha identifikácie........................... 27 2 Matematické nástroje identifikácie 31 2.1 Metódy linearizácie........................... 32 2.1.1 Príklad na linearizáciu..................... 34 2.2 Vybrané diskrétne modely....................... 35 2.2.1 Časovo premenlivá maticová diferenčná rovnica....... 36 2.2.2 Prírastkový tvar časovo premenlivej maticovej diferenčnej rovnice.............................. 37 2.2.3 Časovo nepremenlivá maticová diferenčná rovnica...... 37 2.2.4 Nemerateľné náhodné vplyvy................. 38 5
2.2.5 Náhodný šum ako chyba rovnice............... 40 2.2.6 Diskrétne modely inovačného typu.............. 40 2.2.7 Regresné modely........................ 41 2.3 Teória pravdepodobnosti........................ 43 2.3.1 Charakteristiky náhodných vektorov............. 43 2.3.2 Nezávislosť náhodných veličín................. 45 2.3.3 Konvergencia náhodných veličín................ 45 2.3.4 Vlastnosti odhadu parametrov................ 46 2.4 Teória náhodných procesov...................... 47 2.4.1 Prvá a druhá distribučná funkcia náhodného procesu.... 48 2.4.2 Stredná hodnota a rozptyl náhodného procesu........ 50 2.4.3 Stacionárnosť a ergodickosť náhodného procesu....... 52 2.4.4 Korelačné funkcie........................ 54 2.4.5 Výkonová spektrálna hustota................. 63 2.4.6 Náhodné časové rady (postupnosti).............. 72 3 Matematicko - fyzikálna analýza 75 3.1 Fázy matematicko - fyzikálnej analýzy................ 75 3.2 Analýza vlastností objektu....................... 78 3.2.1 Hmotný bod.......................... 78 3.2.2 RLC obvod........................... 81 3.2.3 Jednosmerný elektrický motor................. 82 3.2.4 Gulička na tyči......................... 85 3.2.5 Invertované kyvadlo...................... 87 3.2.6 Odvíjací mechanizmus papiera................ 93 3.2.7 Rúrkový výmenník tepla.................... 97 4 Experimentálna identifikácia 103 4.1 Kritériá kvality identifikácie a optimálne riešenie.......... 107 4.1.1 Kritéria kvality a stratová funkcia.............. 107 4.1.2 Účelová funkcia......................... 109 4.1.3 Stratégia minimalizácie účelovej funkcie........... 111 4.1.4 Spôsoby spracúvania dát.................... 112 4.2 Vstupné testovacie signály....................... 113 4.2.1 Základné typy vstupných testovacích signálov........ 115 4.2.2 Praktické aspekty výberu vstupných signálov........ 117 4.2.3 Softvérové nástroje na tvorbu testovacích signálov..... 118 4.2.4 Hardvérové nástroje na tvorbu testovacích signálov..... 120 4.2.5 Optimálny výber vstupného signálu............. 122 4.2.6 Vybudenosť sústavy...................... 123 6
4.3 Klasifikácia metód........................... 126 5 Deterministické metódy 129 5.1 Vyhodnocovanie prechodových charakteristík............ 130 5.1.1 Vyhodnocovanie opakovaných meraní skokovej odozvy... 131 5.1.2 Aproximácia prechodových charakteristík.......... 132 5.1.3 Diskrétna analýza prechodových charakteristík....... 141 5.2 Metóda postupnej integrácie...................... 144 5.3 Vyhodnocovanie frekvenčných charakteristík............. 147 5.3.1 Frekvenčná charakteristika v logaritmických súradniciach. 149 5.3.2 Aproximácia frekvenčnej charakteristiky podľa amplitúdovej charakteristiky.................. 151 5.3.3 Vyhodnotenie bodov frekvenčnej charakteristiky z prechodovej charakteristiky................. 154 5.3.4 Rozklad periodického signálu................. 156 5.3.5 Minimalizácia kvadrátov odchýlok frekvenčného prenosu.. 156 5.3.6 Hardvérové prostriedky frekvenčnej analýzy......... 160 6 Korelačné metódy 163 6.1 Štatistická analógia konvolútorneho integrálu............ 164 6.1.1 Časová oblasť.......................... 164 6.1.2 Frekvenčná oblasť....................... 168 6.1.3 Súvislosť medzi vstupnými a výstupnými signálmi pre deterministické a náhodné signály............... 170 6.2 Identifikácia pomocou korelačných funkcií.............. 171 6.3 Problém dekonvolúcie......................... 175 6.3.1 Numerický výpočet impulzovej funkcie............ 176 6.3.2 Riešenie vo frekvenčnej oblasti................ 178 6.3.3 Bieliaci filter.......................... 178 6.4 Softvérové nástroje........................... 179 6.4.1 Časová oblasť.......................... 180 6.4.2 Frekvenčná oblasť....................... 185 6.5 Aktívne experimenty.......................... 187 6.5.1 Aktívne experimenty...................... 187 6.5.2 Vytvorenie pseudonáhodného signálu cez M-postupnosť.. 188 6.5.3 Vytvorenie pseudonáhodného signálu softvérom....... 193 6.5.4 Vlastnosti pseudonáhodného signálu pri určovaní impulzovej funkcie....................... 197 7
7 Regresné metódy 199 7.1 Úvod do regresnej analýzy....................... 199 7.2 Odhad súradníc impulzovej funkcie.................. 207 7.2.1 Regresná a korelačná metóda odhadu impulzovej funkcie.. 208 7.3 Odhad stochastickej diferenčnej rovnice............... 209 7.3.1 Problém nestrannosti odhadu................. 214 7.3.2 Modifikácie metódy najmenších štvorcov pre alternatívne modely nemerateľných porúch................. 217 7.3.3 Softvérové prostriedky odhadu................ 219 7.4 Metóda inštrumentálnych premenných................ 223 7.5 Zovšeobecnená metóda najmenších štvorcov............. 226 7.6 Metóda rozšírenej matice........................ 229 7.7 Odhad metódou maximálnej vierohodnosti.............. 230 7.8 Rekurzívna metóda najmenších štvorcov............... 233 7.8.1 Exponenciálne zabúdanie................... 237 7.8.2 Vlastnosti odhadu rekurzívnou metódou najmenších štvorcov............................. 238 7.8.3 Softvérové prostriedky odhadu rekurzívnou metódou najmenších štvorcov...................... 238 7.9 Riešenie preurčenej sústavy rovníc.................. 245 7.9.1 Riešenie sústavy lineárnych rovníc Choleského rozkladom. 250 7.9.2 Riešenie sústavy lineárnych rovníc metódou LDL rozkladu. 250 A Základné pojmy a pravidlá maticového počtu 251 A.1 Vektory a matice............................ 251 A.2 Algebra matíc.............................. 252 A.2.1 Štvorcová matica........................ 252 A.2.2 Determinant.......................... 252 A.2.3 Hodnosť h............................ 252 A.2.4 Násobenie............................ 253 A.2.5 Kvadratické formy....................... 253 A.2.6 Inverzia............................. 253 A.2.7 Vlastné čísla.......................... 254 A.3 Maticový počet............................. 254 A.3.1 Derivácia podľa skalára.................... 254 A.3.2 Derivácia podľa vektora.................... 255 Literatúra 259 Register 273 8
Zoznam obrázkov 1.1 Spojenie objektu s prostredim..................... 27 2.1 Nelineárna funkcia........................... 33 2.2 Bloková schéma objektu so šumom na výstupe............ 39 2.3 Bloková schéma objektu s chybou v rovnici............. 40 2.4 Realizácie náhodného procesu..................... 47 2.5 Prvá hustota pravdepodobnosti náhodného procesu......... 49 2.6 Distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti so strednou hodnotou 50 2.7 Druhá hustota pravdepodobnosti náhodného procesu........ 51 2.8 Ilustrácia ergodickosti procesu..................... 54 2.9 Výpočet autokorelačnej funkcie pre stacionárny ergodický signál.. 56 2.10 Perióda vzorkovania pri stanovení autokorelačnej funkcie...... 57 2.11 Typický priebeh autokorelačnej funkcie................ 59 2.12 Priebeh kovariancie........................... 60 2.13 Odhad autokorelačnej funkcie pomocou Matlabu.......... 62 2.14 Odhad vzájomnej korelačnej funkcie pomocou Matlabu....... 63 2.15 Integrál funkcie výkonovej spektrálnej hustoty a stredný výkon signálu 64 2.16 Autokorelačná funkcia a výkonová spektrálna hustota niektorých signálov................................. 66 2.17 Zašumený harmonický signál..................... 68 2.18 Výkonová spektrálna hustota zašumeného harmonického signálu.. 69 2.19 Parametrický odhad výkonovej spektrálnej hustoty zašumeného signálu................................... 72 3.1 Vrtuľník Sikorsky SH-60B Seahawk.................. 79 3.2 Hmotný bod............................... 80 3.3 Silový obrazec hmotného bodu.................... 81 3.4 Elektrická schéma RLC obvodu.................... 82 3.5 Jednosmerný elektrický motor..................... 83 3.6 Elektro - mechanická schéma jednosmerného elektrického motora. 84 9
3.7 Laboratórna zostava gulička na tyči................. 85 3.8 Schéma laboratórnej zostavy gulička na tyči............ 87 3.9 Invertované kyvadlo.......................... 88 3.10 Pomocné rakety pri vzlietnutí..................... 89 3.11 Zjednodušená schéma invertovaného kyvadla............. 90 3.12 Silový obrazec vozíka a kyvadla.................... 91 3.13 Mechanický filter na kompenzáciu nerovnomerností v odvíjaní... 94 3.14 Bloková schéma matematického modelu mechanického filtra.... 96 3.15 Rúrkový výmenník tepla........................ 97 3.16 Schéma rúrkového výmenníka..................... 98 3.17 Element rúrkového výmenníka..................... 99 4.1 Schématické znázornenie objektu................... 104 4.2 Schéma procesu identifikácie...................... 105 4.3 Chyba výstupu............................. 108 4.4 Chyba vstupu.............................. 109 4.5 Chyba rovnice.............................. 110 4.6 Proces riešenia úlohy identifikácie................... 114 4.7 Typické testovacie signály....................... 116 4.8 Ukážka testovacích signálov v prostredí Simulink.......... 118 4.9 Rozhranie na vytvorenie ľubovoľného testovacieho signálu v prostredí Simulink............................. 119 4.10 Analógový laboratórny signálový generátor.............. 120 4.11 Digitálny laboratórny signálový generátor.............. 121 4.12 Signálový generátor pre rádiofrekvenčné a telekomunikačné použitie 122 4.13 Testovacie signály digitálneho signálového generátora........ 123 4.14 Softvér na vytvorenie komplexných testovacích signálov pre hardvérové signálové generátory...................... 124 5.1 Strejcova metóda vyhodnocovania prechodovej charaktristiky... 134 5.2 Vyhodnotenie experimentálnej odozvy bez oneskorenia....... 136 5.3 Porovnanie experimentu s identifikovaným modelom........ 137 5.4 Vyhodnocovanie astatickej sústavy podľa Strejca.......... 139 5.5 Experimentálne vyhodnotenie astatickej sústavy........... 141 5.6 Grafická interpretácia integrálu t1 y(t)dt.............. 145 5.7 Grafická interpretácia integrálu t 0 t y(t)dt 2............ 146 5.8 Grafická interpretácia integrálu t 0 t1 t1 0 t t1 t y(t)dt 2.......... 146 5.9 Súvislosť medzi amplitúdou zosilnenia a zosilnením v logaritmických súradniciach............................ 150 10
5.10 Lineárna versus dekádová logaritmická reprezentácia signálu.... 151 5.11 Amplitúdovo-fázová charakteristika.................. 152 5.12 Grafická aproximácia amplitúdovej charakteristiky......... 153 5.13 Diskretizácia prechodovej funkcie h(t)................ 155 5.14 Analyzátor dynamických signálov................... 160 5.15 Rýchla Fourierova transformácia a frekvenčná odozva na obrazovke analyzátora dynamických signálov.................. 161 5.16 Spektrálny analyzátor pre telekomunikačné účely.......... 162 6.1 Lineárny, časovo nepremenlivý objekt................. 165 6.2 Generovanie farebného šumu z bieleho šumu pomocou spektrálneho filtra................................... 169 6.3 Vstupno-výstupný systém v časovej a vo frekvenčnej oblasti.... 170 6.4 Vstupno-výstupný systém v časovej a vo frekvenčnej oblasti.... 171 6.5 Identifikácia impulzovej funkcie objektu pri pôsobení šumu..... 172 6.6 Identifikácia váhovej funkcie pomocou korelačnej analýzy...... 175 6.7 Vytvorenie signálov u b (t) a y b (t) pomocou bieliaceho filtra...... 179 6.8 Simulácia aktívneho identifikačného experimentu v prostredí Simulink180 6.9 Vstup a výstup simulovaného experimetnu.............. 181 6.10 Odhad priebehu impulznej charakteristiky a porovnávanie skutočnej a odhadovanej prechodnej charakteristiky............ 182 6.11 Experiment na sušiči.......................... 183 6.12 Impulzová odozva identifikovaného modelu a štatisticky významné vzorky odozvy.............................. 184 6.13 Odhad frekvenčnej charakteristiky korelačnou metódou....... 186 6.14 Porovnávanie neparametrických algoritmov na identifikáciu vo frekvenčnej oblasti............................. 186 6.15 Identifikácia s použitím testovacieho signálu............. 187 6.16 Dvojhladinový testovací pseudonáhodný signál maximálnej dĺžky s autokorelačnou funkciou........................ 192 6.17 Dvojhladinový pseudonáhodný signál s danou frekvenčnou charakteristikou................................ 194 6.18 Posuvný register............................ 195 6.19 Posuvný register v Simulinku..................... 196 6.20 Blok PN Sequence Generator v Simulinku.............. 197 7.1 Odhad súvislosti medzi silou na pružine a deformáciou pomocou metódy najmenších štvorcov...................... 205 7.2 Bloková schéma objektu s poruchou na vstupe............ 219 7.3 Simulácia experimentu podľa modelu ARMAX........... 221 11
7.4 Výsledok simulovaného experimentu modelom ARMAX...... 222 7.5 Porovnanie pôvodného modelu a odhadu metódou inštrumentálnych premenných............................ 227 7.6 Postup pri rekurzívnom odhade metódou najmenších štvorcov... 236 7.7 Simulácia experimentu podľa modelu ARX............. 239 7.8 Testovací signál a výstup z modelu ARX............... 240 7.9 Priebeh parametrov Θ r........................ 241 7.10 Simulácia rekurzívnej metódy identifikácie v prostredí Simulinku. 242 7.11 Výsledok rekurzívnej identifikácie parametrov ARX modelu v Simulink.................................. 243 7.12 Simulácia systému s premenlivými vlastnosťami v Simulinku.... 244 7.13 Výsledok priebežnej rekurzívnej identifikácie parametrov premenlivého ARX modelu v Simulinku.................... 245 12
Zoznam tabuliek 4.1 Zoradenie metód na základe objemu apriórnych znalostí...... 113 5.1 Hodnoty f(n),g(n) a µ pre identifikáciu sústav Strejcovou metódou 136 5.2 Vyhodnotenie astatických sústav Strejcovou metódou........ 140 7.1 Popis a štruktúry modelov....................... 220 13
14
Marte Janke; Kataríne; a
Autori ďakujú Agentúre na podporu výskumu a vývoja (APVV) za finančnú podporu pri riešení projektu, v rámci ktorého vznikla táto publikácia: číslo grantov APVV-0090-10 a APVV-0131-10. Autori ďakujú agentúre VEGA Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej Rebpubliky za finančnú podporu pri riešení projektu, v rámci ktorého vznikla táto publikácia. (číslo grantu VEGA 1/0144/15) MINISTERSTVO ŠKOLSTVA, VEDY, VÝSKUMU A ŠPORTU SLOVENSKEJ REPUBLIKY
Predslov Učebnica Identifikácia sústav je určená predovšetkým poslucháčom prvého a druhého ročníka inžinierskeho štúdia študijného programu Automatizácia a informatizácia strojov a procesov na Strojníckej fakulte STU. Je napísaná pre rovnomenný predmet a úzko nadväzuje na predmety Teória automatického riadenia I III, Simulácia a optimalizácia dynamických sústav a ďalšie. Hoci spôsob výkladu problematiky a voľba obsahu publikácie predurčuje knihu najmä pre začiatočníkov v oblasti identifikácie, kniha môže byť užitočná aj pre odborníkov pracujúcich v oblasti riadenia a automatizácie. V predpísanom rozsahu učebnice bolo možné uviesť len základné, prípadne informatívne poznatky z takých rozsiahlych a prepracovaných oblastí, ktoré súčasná teória identifikácie zahŕňa. Učebnica obsahuje dnes už klasické poznatky z identifikácie sústav. Sústredili sme sa na deterministické a štatistické metódy identifikácie, ktoré čitateľa môžu zaviesť do sveta tvorby modelov pre účely riadenia a majú potenciál pre získanie základov pre ďalšie štúdium vyspelejších algoritmov. Kniha predstavuje základnú terminológiu, metodiku a koncepty identifikácie, a na záver uvádza spôsoby priebežnej identifikácie, ktoré sú vhodné pre jednoduché mikroprocesorové adaptívne regulátory. Autori budú vďační každému čitateľovi, ktorý bude ochotný vyjadriť svoje kritické poznatky k tejto učebnici, prípadne upozorní na chyby a omyly, ktoré sa môžu v texte nájsť. Na záver chceme poďakovať za cenné pripomienky a názory k textu učebnice recenzentom rukopisu, doc. Ing. M. Bakošovej, CSc. a prof. Ing. P. Hubinskému, PhD. Za jazykovú korektúru ďakujeme PhDr. Marte Rohaľovej-Ilkivovej a Mgr. Kataríne Vachálkovej. Bratislava, december 2014. Gergely Takács Ján Vachálek Boris Rohaľ-Ilkiv 19
20
O autoroch Gergely Takács V roku 2006 ukončil Strojnícku fakultu STU v odbore Mechatronika, a následne pokračoval v doktorandskom internom štúdiu na rovnakom odbore. V rokoch 2006 2008 pôsobil ako hosťujúci výskumník na Oxfordskej Univerzite, pracujúci v oblasti výpočtovo efektívneho prediktívneho riadenia. Po ukončení štúdia nastúpil na Ústav automatizácie, merania a aplikovanej informatiky ako samostatný výskumný pracovník. Jeho odborný záujem je zameraný najmä na prediktívne riadenie a súčasný odhad stavov a parametrov, s dôrazom na praktickú realizáciu spomenutých technológií. Vo výskume sa venuje aj aktívnemu tlmeniu vibrácií, riadeniu smart materiálov a iných mechatronických systémov s rýchlou dynamikou. Pedagogicky sa podieľa na zabezpečení predmetov Teória automatického riadenia II a III a venuje sa vedeniu bakalárskych a diplomových prác. Okrem iných publikácií je hlavným autorom zahraničnej vedeckej monografie Predictive Vibration Control vydanej Springer Verlag, London. Ako spoluriešiteľ sa zúčastnil rôznych slovenských a zahraničných projektov, napr. APVV, VEGA, ESF, NIL a iné. Ján Vachálek V roku 1999 ukončil štúdium na Strojníckej fakulte STU, odbor Prístrojová, regulačná a automatizačná technika a od roku 2000 nastúpil ako interný zamestnanec Katedry automatizácie a merania so špecializáciou samostatný vedecký výskumný pracovník. V roku 2008 úspešne ukončil externé doktorandské štúdium. Náplňou jeho výskumu je vývoj algoritmov priebežnej identifikácie pre potreby riadenia, dátové úložiská, linearizované modely, aplikovaná výpočtová technika, počítačové systémy, lokálne siete a komunikačné prostriedky, elektrotechnika a robotika. Úspešne sa podieľa aj na pedagogickom procese, kde zabezpečuje prednášky a cvičenia z predmetov Robotika, Robotika a diskrétne systémy, Identifikácia sústav, Adaptívne riadiace systémy, Meranie a automatické riadenie, Počítačové systémy, Softvérové inžinierstvo, Lokálne siete a komunikačné systémy a Elektrotechnika. Ak- 21
tívne sa venuje študentom ako školiteľ v rámci bakalárskych a diplomových prác a úspešne sa podieľa aj na rôznych slovenských a zahraničných projektoch, napr. APVV, VEGA, ESF, NIL a iných, či už ako ich zodpovedný riešiteľ alebo spoluriešiteľ. Venuje sa aj publikačnej činnosti. Boris Rohaľ-Ilkiv Výskumne je orientovaný na oblasti automatizácie, mechatroniky a technickej kybernetiky. Systematicky sa venuje metódam adaptívneho a prediktívneho riadenia založených na priebežnom modelovaní dynamiky riadeného procesu a jeho okolia. Okrem teoretického výskumu venuje veľkú pozornosť aj experimentálnej laboratórnej činnosti predovšetkým pri návrhu a stavbe unikátnych laboratórnych zariadení umožňujúcich testovať a prakticky implementovať vyvinuté riadiace algoritmy v podmienkach blízkych priemyselnej praxi. Aktívne sa zameriava na tvorbu prediktívnych riadiacich systémov a ich uplatnenie pri riadení priemyselných objektov a mechatronických systémov pri zadaných obmedzeniach. V tomto smere rozpracoval metódy založené na integrálnych operátoroch použitých pri modelovaní dynamiky riadeného procesu a na riadiacich signáloch z triedy splajnových funkcií, splňujúcich definované fyzikálne ohraničenia kladené používateľom na veličiny riadeného procesu, alebo objektu. V oblasti prediktívneho riadenia sa zapojil aj do medzinárodnej vedeckej spolupráce na báze rámcových programov EU s viacerými univerzitami, najmä s univerzitou v Oxforde a NTNU v Trondheime. K významným praktickým výsledkom týchto projektov patrí programové vybavenie v prostredí MATLAB/Simulink pre návrh a testovanie prediktívnych riadiacich algoritmov a experimentálna implementácia týchto algoritmov v reálnych priemyselných podmienkach. Dosiahnuté vedecké výsledky pravidelne publikuje. 22
Kapitola 1 Úvod do problematiky identifikácie 1.1 Pojem identifikácie Aby sme mohli daný objekt, sústavu alebo proces efektívne riadiť, potrebujeme poznať jeho vlastnosti. Je zrejmé, čím dokonalejšie a presnejšie chceme riadiť, tým dokonalejšie a presnejšie musíme poznať vlastnosti riadeného objektu, predovšetkým tie, ktoré sú z hľadiska jeho riadenia podstatné. Akýkoľvek teoreticky zdôvodnený spôsob návrhu systému regulácie alebo riadenia sa nevyhnutne opiera o znalosť statických a dynamických vlastností riadeného objektu. Analýza týchto vlastností objektu z pohľadu jeho riadenia a ich vyjadrenie vo forme matematického modelu je predmetom identifikácie ako vednej disciplíny. Matematický opis statického, alebo dynamického správania sa objektu vo vhodnom tvare matematický model je východiskovým podkladom pre podstatnú väčšinu doteraz známych metód syntézy regulačného, resp. riadiaceho obvodu. Ak tento opis nie je v potrebnej forme známy, stáva sa teória riadenia z praktického hľadiska nepoužiteľná. I pri vyšších formách riadenia informácia o aktuálnych dynamických vlastnostiach objektu, vyjadrovaná priebežne prispôsobovaným alebo nastavovaným matematickým modelom, je nevyhnutná pre výpočet optimálnej stratégie riadenia. V súvislosti s mohutným rozvojom v oblasti výpočtovej techniky majú dnes matematické modely a modelovanie vôbec fundamentálny význam nielen v riadení a v ďalších kybernetických disciplínach, ale prakticky vo všetkých vedných odboroch. Modelovanie skutočnosti je jedna z hlavných zložiek ľudského poznania. Pri zostrojovaní modelov zložitých javov reálnej skutočnosti vyberáme z celého radu detailov a berieme do úvahy len tie podstatné stránky javu, ktoré majú 23
24 KAPITOLA 1. ÚVOD DO PROBLEMATIKY IDENTIFIKÁCIE! význam z hľadiska cieľa skúmania. Takým spôsobom získavame zjednodušenú, a práve preto užitočnú predstavu skutočnosti nazývanú modelom. V ďalšom texte sa pridržíme definície pojmu model v zmysle P. Eykhoffa [33]: Model je vyjadrenie podstatných vlastností existujúceho alebo konštruovaného objektu, ktoré popisuje znalosti o tomto objekte v použiteľnej forme. Táto definícia je dostatočne všeobecná, pripúšťa i také prípady, kedy objekt ešte neexistuje. Slovami v použiteľnej forme zdôrazňuje, že cieľ použitého modelu je jedna z podstatných charakteristík procesu tvorby modelu. Pre ľubovoľné objekty môžu byť zostrojené rozličné modely v závislosti od konkrétne riešenej úlohy v závislosti od toho, za akým účelom sa tvorí model. V zmysle uvedenej definície modelu budeme chápať i pojem matematického modelu, ako modelu formulovaného v jazyku vhodných matematických štruktúr, symbolov a výrazov. Zo všeobecného hľadiska potom problém identifikácie je problém zostrojenia matematického modelu pre vopred určený cieľ. 1.2 Základné prístupy k identifikácii Z hľadiska spôsobu, akým tvoríme matematický model, môžeme pri identifikácii v zásade postupovať dvoma odlišnými spôsobmi: analyticky, t.j. matematicko - fyzikálnou analýzou vlastností objektu, a experimentálne. Každý z týchto spôsobov má svoje prednosti a nevýhody. 1.2.1 Analytický prístup Pri analytickom prístupe zostavujeme matematický model na základe matematicko-fyzikálnej analýzy objektu. Vychádzame pritom z konštrukčných a prevádzkových údajov o danom objekte. Podľa fyzikálnych, chemických a ďalších zákonov, matematicky popisujeme javy prebiehajúce v objekte a získavame vzťahy medzi sledovanými veličinami. Tieto vzťahy potom určujú matematický model vyšetrovaného objektu. Do akej hĺbky javov a štruktúry objektu musíme pritom preniknúť, závisí od účelu použitia hľadaného modelu. Čím hlbšiu analýzu vykonávame, tým presnejší by mal byť i matematický model, ale určite bude i zložitejší. Jeho odvodenie je prácnejšie a časovo náročnejšie, používanie zložitejšie. Preto vždy treba uvážiť, do
1.2. ZÁKLADNÉ PRÍSTUPY K IDENTIFIKÁCII 25 akých podrobností objekt analyzovať, aby odvodený model bol dostatočne presný, pritom však aby nebol príliš zložitý. Takto získaný matematický model je štrukturálny, t.j. jeho jednotlivé vzťahy odpovedajú príslušným častiam vyšetrovaného objektu [93]. Štruktúry modelu a objektu sú si podobné, model pracuje obvykle s rovnakými vnútornými (stavovými) veličinami ako objekt. Výhodou je zrejmá súvislosť medzi parametrami modelu a konštrukčnými parametrami objektu a jeho dynamickými vlastnosťami. Prednosťou analytického prístupu je i to, že môžeme dynamické vlastnosti určovať a hodnotiť i pred vlastnou realizáciou objektu. Takto máme možnosť v etape navrhovania objektu prípadnými zmenami ovplyvňovať (optimalizovať) jeho dynamické vlastnosti. Preto získané modely sa uplatnia i v sfére návrhu, projektovania a simulácie dynamických systémov. Analytický prístup si vyžaduje dôkladné znalosti z príslušného odboru, do ktorého skúmaný objekt patrí. Analýza je často mimoriadne obtiažna, výsledné vzťahy sú neúmerne komplikované a treba ich vhodne zjednodušovať. Presnosť a použiteľnosť je obmedzená, ak uvažujeme rôzne náhodné vplyvy a neurčitosti, ktoré sa pri väčšine technických objektov prejavujú. Analytickou cestou získame vzťahy medzi všetkými vybratými veličinami v objekte. Z týchto vzťahov možno určiť stavové rovnice dynamického systému definovaného na vyšetrovanom objekte i vonkajší popis systému. 1.2.2 Experimentálny prístup Hlavnou charakteristikou experimentálneho prístupu k identifikácii je, že využíva údaje a informácie získané o vyšetrovanom objekte v priebehu jeho pozorovania, resp. experimentovania s ním. Rozborom priebehov vstupných a výstupných veličín objektu získavame matematický model vyjadrujúci vonkajší opis systému. Model vystihuje vstupno - výstupné správanie sa objektu, avšak neumožňuje pohľad do vnútornej štruktúry identifikovaného objektu. Súvislosť medzi parametrami modelu a konštrukčnými parametrami objektu z neho nie je zrejmá. Podstatná väčšina metód experimentálnej identifikácie postupuje obvykle tak, že pre vopred (a priori) známu alebo iným spôsobom predpokladanú štruktúru modelu (štruktúru matematického vyjadrenia závislosti medzi sledovanými veličinami) sa vykonáva na základe pozorovaní vstupov a výstupov objektu odhad neznámych parametrov tejto šktruktúry. Pri experimentálnej identifikácii, ak je správne vykonaná, možno rešpektovať rad závažných faktorov, ktoré do procesu tvorby modelu analytickým spôsobom nemožno zahrnúť. Na skúmaný objekt často pôsobia náhodné veličiny, alebo merané veličiny, ktoré sú zaťažené náhodnými chybami (šumom), prípadne vlastnosti objektu sa menia vopred neznámym spôsobom. To všetko sú skutočnosti v rôznej miere vlastné väčšine priemyselných procesov a technickým
26 KAPITOLA 1. ÚVOD DO PROBLEMATIKY IDENTIFIKÁCIE objektom, ktorých efektívne riadenie nás v súčasnosti najviac zaujíma. K nevýhodám experimentálnej identifikácie patrí dôležitý fakt, že objekt musí byť prístupný experimentu a sledované veličiny merateľné. Z formulovaného modelu nemožno získať informácie o vnútornej štruktúre objektu. Rýchly rozvoj ekonomicky dostupnej a spoľahlivej výpočtovej techniky v poslednej dobe spôsobil intenzívny rozvoj metód experimentálnej identifikácie [24, 32, 41, 84, 90, 100, 141]. 1.2.3 Analyticko-experimentálny prístup Pri identifikácii vlastností reálnych objektov nie sme odkázaní len na čisto analytický alebo experimentálny prístup. Pravdepodobne najvhodnejší je postup využívajúci citlivú a vhodnú kombináciu oboch prístupov. Častý je napr. postup, kedy sa matematicko - fyzikálnou analýzou získaný model objektu porovnáva s reálnym objektom porovnávaním experimentálne získaných dát s dátami získanými simuláciou matematického modelu pomocou počítača. Takáto kombinácia oboch prístupov je vhodná, pretože okrem hlbšieho preniknutia do vnútornej štruktúry objektu máme možnosť na základe experimentu model upresňovať, korigovať a opravovať. 1.3 Informácie o objekte V procese identifikácie sa pri tvorbe matematického modelu vo všeobecnosti opierame o informácie, ktoré môžeme nazvať apriórne a aposteriórne informácie. Apriórne informácie môžeme definovať ako súhrn doteraz existujúcich poznatkov nahromadených pri skúmaní a pozorovaní celej triedy a príbuzných tried objektov, do ktorých prislúcha vyšetrovaný objekt [141]. Tieto poznatky sú obvykle usporiadané do uceleného súboru poznatkov do teórie. Apriórne informácie o objekte máme k dispozícii ešte pred začatím pozorovania a vyhodnocovania nameraných údajov na objekte. Tieto informácie majú rozhodujúci význam pri zakladaní modelu, t.j. pri stanovení jeho štruktúry. Aposteriórnou informáciou označujeme informáciu prinášanú vhodne voleným a vyhodnocovaným experimentom, teda pozorovaním objektu. Apriórna a aposteriórna informácia predstavujú úplnú informáciu o objekte. Zatiaľ čo apriórna informácia má kvalitatívny charakter, aposteriórna informácia má skôr charakter kvantitatívny. Opierajúc sa o apriórne informácie a zámery riadenia zisťujeme, či skúmaný objekt je vhodné charakterizovať matematicky modelovať ako objekt: statický alebo dynamický,
1.4. ÚLOHA IDENTIFIKÁCIE 27 s rozloženými parametrami alebo so sústredenými parametrami, deterministický alebo stochastický, lineárny alebo nelineárny, časovo nepremenlivý alebo časovo premenlivý, spojitý alebo diskrétny, s jedným výstupom alebo s viacerými výstupmi. Apriórna informácia umožňuje objasniť počiatočnú štruktúru, druh použitého matematického modelu. Je zrejmé, že predstava o druhu matematického modelu, či o štruktúre modelu sa môže zmeniť po preskúmaní aposteriórnych informácií, prípadne sa potvrdiť. 1.4 Úloha identifikácie Pri podrobnejšom vymedzovaní úlohy identifikácie si môžeme identifikovaný objekt predstaviť ako objekt realizujúci transformáciu (zobrazenie) vstupných účinkov (vstupov) tkvejúcich v pôsobení okolitého prostredia na objekt, na výstupné účinky (výstupy), t.j. pôsobenie objektu na okolité prostredie [93]. Tejto predstave odpovedá schéma spojenia objektu s okolitým prostredím podľa Obr. 1.1, kde symbolom u je označený vektor riaditeľných vstupov, symbolom u vektor neriaditeľných vstupov a symbolom y vektor výstupov. Všetky vstupy predstavujú pôsobenie prostredia na objekt. Sú funkciami stavu prostredia a času. u* u Objekt y Prostredie Obr. 1.1: Spojenie objektu s prostredim
28 KAPITOLA 1. ÚVOD DO PROBLEMATIKY IDENTIFIKÁCIE Riaditeľné vstupy sú vstupy, pomocou ktorých realizujeme úlohy riadenia, zvyšné vstupy neriaditeľné vstupy môžu byť pozorovateľné alebo nepozorovateľné, môžu mať náhodný alebo deterministický charakter, ovplyvňujú objekt, ale nie sú ovplyvniteľné objektom. Vlastnosti reálneho objektu, uskutočňujúceho transformáciu vstupných signálov u, u na výstupný signál y, potom vyjadruje neznámy operátor objektu σ : y t = σ[u, u ]. (1.1) Úlohou identifikácie z tohto pohľadu je potom poznanie operátora objektu σ. Ide pritom o vytvorenie takého operátora modelu σ m, ktorý v presne definovanom zmysle bude blízky k operátoru objektu σ. Pre kvantitatívne posúdenie stupňa blízkosti operátorov σ a σ m sa zavádzajú tzv. stratové funkcie s(σ, σ m ), v zmysle ktorých sa hodnotí miera odchýlky operátorov. Obvykle ide napr. o zovšeobecnenie odchýlky vzájomne si odpovedajúcich signálov či parametrov modelu a objektu. Na báze stratovej funkcie s(σ, σ m ) definujeme účelovú funkciu - kritérium kvality identifikácie J[s], ktoré vhodne spracúva hodnoty stratovej funkcie. Ide o to, aby hodnota kritéria J[s] bola dobrým kvalitatívnym a kvantitatívnym ukazovateľom zhody operátorov reálneho objektu a modelu. Úlohu identifikácie môžeme potom chápať ako proces stanovenia optimálneho operátora modelu σ m cestou minimalizácie funkcionálneho kritéria J[s] vzhľadom na triedu operátorov S: J[s(σ, σ m )] min = σ m, (1.2) σ m S kde σ m je optimálny operátor modelu minimalizujúci zadané kritérium J[s] na zvolenej triede operátorov S = σ m. Všeobecne možno konštatovať, že úloha identifikácie pri svojom riešení predstavuje optimalizačnú úlohu. Problémy identifikácie môžeme v zmysle rovnice (1.2) začleniť do nasledujúcich skupín: 1. Voľba triedy operátorov S, na ktorej sa hľadá vlastné riešenie. Určenie triedy závisí predovšetkým od objemu apriórnej informácie a znalostí o objekte, musí však rešpektovať ciele a požiadavky syntézy riadenia a ekonomické otázky spojené s identifikáciou. 2. Voľba vhodnej stratovej funkcie a na jej báze definovanej účelovej funkcie. Najčastejšie sú kvadratické účelové funkcie. 3. Výber vhodného algoritmu pre riešenie úlohy identifikácie, t.j. optimalizačnej úlohy (1.2).
1.4. ÚLOHA IDENTIFIKÁCIE 29 Úlohu určenia triedy operátorov S, t.j. určenie formálnej štruktúry operátora modelu σ m, budeme nazývať štruktúrnou identifikáciou, resp. identifikáciou v širšom slova zmysle. Ak je štruktúra známa, úloha identifikácie vedie jednoznačne na problém odhadu parametrov modelu, t.j. stanovenia parametrov danej štruktúry. Tento proces sa tiež nazýva identifikácia v užšom slova zmysle.
30 KAPITOLA 1. ÚVOD DO PROBLEMATIKY IDENTIFIKÁCIE
Kapitola 2 Matematické a štatistické nástroje identifikácie V tejto kapitole sú stručne uvedené niektoré základné pojmy z oblasti linearizácie funkcií, z tvorby diskrétnych modelov, z teórie pravdepodobnosti, matematickej štatistiky a náhodných procesov, ktoré sú nevyhnutné pre ďalší výklad. Kapitola je zameraná najmä na východzie matematicko-štatistické pojmy, ktorým sa v osnovách predmetov na technických univerzitách venuje len okrajová pozornosť. Linearizácia funkcií je matematický pojem, ktorý je extrémne dôležitý pre technickú prax a hlavne pre identifikáciu modelov. Každý reálny dej a každý identifikovaný technický systém je do istej miery nelineárny. Ak je nelinearita veľmi malá, môžeme predpokladať, že zvolený lineárny model popisuje dynamické správanie sa deja presne. Pre lineárny model môžeme požívať dobre spracovanú teóriu riadenia, v ktorej syntéza regulátorov a analýza riadiaceho systému nie je obtiažna. Naopak, ak mieru nelinearity nemôžeme bezpečne ignorovať, musíme používať buď nelineárne modely alebo model linearizovať okolo pracovného bodu v danom pracovnom režime. Matematický základ nelineárnych modelov je pomerne komplikovaný a hlavne následná syntéza a analýza vlastností regulačných obvodov je veľmi obtiažna. Dobrým kompromisom môže byť linearizácia modelu a následne využitie lineárnej teórie automatického riadenia. Obsahom tejto kapitoly budú taktiež aj vybrané typy diskrétnych modelov. Diskrétne modely, ktoré opisujú diferenčné rovnice môžu byť aj časovo premenlivé. Tento koncept a typ modelu je dôležitý, ak si identifikáciu predstavujeme nie ako jednorázovú udalosť, ale ako priebežnú funkčnosť regulačného systému. Spolu s priebežnou identifikáciou a priebežnou syntézou riadenia potom vytvoríme adaptívny riadiaci systém. Podkapitola 2.2 taktiež obsahuje diskusiu o nemerateľných náhodných účinkoch, a ich vplyve na tvorbu modelov. Záverom stručne uvedieme 31
32 KAPITOLA 2. MATEMATICKÉ NÁSTROJE IDENTIFIKÁCIE aj niektoré typy modelov, ktoré sú dôležité na pochopenie ďalšieho výkladu. Tými sú napríklad diskrétne modely inovačného typu a regresné modely. Niektoré metódy identifikácie, ktoré budú uvedené v Kap. 5 sú deterministické. To znamená, že ďalšie hodnoty vstupu, výstupu a stavu modelov sú určené dokonale podľa diferenciálnych a diferenčných rovníc. Operátor derivácie a diferencie v týchto modeloch priamo popisuje smer a veľkosť zmien, takže podľa znalosti stavu v danom momente môžeme určiť a do istej miery aj predikovať hodnoty modelu v budúcnosti [77]. Štatistické metódy identifikácie, ktoré sú predstavené v Kap. 6 a 7 vychádzajú z úplne iného pohľadu. Tieto metódy vychádzajú zo štatistického popisu deja, a na okamžité hodnoty modelu pozerajú iba ako na aktuálnu realizáciu nejakého náhodného deja. Na pochopenie týchto metód potrebujeme predstaviť niektoré pojmy zo štatistiky a teórie pravdepodobnosti. Materiál je spracovaný hlavne podľa prác [93, 6, 7, 33, 39, 45, 80, 77, 74, 110, 63, 35, 98, 40, 68]. Pre podrobnejšie pochopenie problematiky sa odporúča naštudovať vyššie uvedené zdroje. Literatúra na tematiku základov matematickej štatistiky je obsiahla a nájdu sa vynikajúce pomôcky pre pochopenie týchto pojmov. Napríklad kniha Simona podáva problematiku štatistiky v identifikácii vo veľmi dostupnom štýle s príkladmi [98], podobne kniha Maybecka prezentuje tematiku zrozumiteľne a detailne [68]. 2.1 Metódy linearizácie Vzťahy medzi veličinami objektu získané matematicko-fyzikálnou analýzou majú často nelineárny charakter, objekt býva popisovaný nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami. Tieto nelineárne vzťahy linearizujeme v okolí pracovných bodov (základných, t.j. vzťažných stavov) a prevádzame ich vačšinou do bezrozmerného tvaru. Linearizované vzťahy platia pre malé odchýlky veličín od pracovných bodov, zvyšovaním odchýlok presnosť vzťahov klesá. Linearizácia nelineárnych vzťahov a závislostí vedie na lineárne modely objektov, s ktorými sa lepšie pracuje, a ktoré tvoria základ dobre prepracovanej teórie lineárnych regulačných obvodov. Linearizáciu robíme tak, že nelineárny vzťah rozvinieme do Taylorovho radu a použijeme len tie členy radu, ktoré sú lineárne závislé od premenných veličín a ostatné členy radu zanedbáme. Regulované sústavy, ktoré sa v praxi vyskytujú, majú obvykle nelineárne vlastnosti statické, ktoré vedú i k nelineárnym vlastnostiam dynamickým. Statické vlastnosti sústavy so sústredenými parametrami sa
2.1. METÓDY LINEARIZÁCIE 33 popisujú algebraickými rovnicami. Statické vlastnosti sústav so spojito rozloženými parametrami majú statické vlastnosti opísané obyčajnými diferenciálnymi rovnicami, lebo ich dynamika je opísaná parciálnymi diferenciálnymi rovnicami. Charakterizujú sa statickou charakteristikou (v potrebnom rozsahu akčnej a regulovanej veličiny) alebo zosilnením (v určitom bode charakteristiky). Statickou charakteristikou objektu označujeme závislosť medzi regulovanou veličinou y a akčnou veličinou u v ustálenom stave. y y y 0 u 0 u u Obr. 2.1: Nelineárna funkcia Majme statickú nelineárnu funkčnú závislosť y = f(u), vid. Obr. 2.1. Vo vhodne zvolenom pracovnom (vzťažnom) bode u 0, y 0 platí y 0 = f(u 0 ). Rozvojom v okolí pracovného bodu, napríklad do Taylorovho radu dostávame: ( ) f y = y 0 + y = f(u 0 ) + u + ε( 2 u,..., n u). (2.1) u u=u 0 Ak zanedbáme zvyšok radu ε( 2 u,..., n u), platí pre odchýlky u, y od pracovného bodu ( ) f y = u = K u, (2.2) u u=u 0 kde zosilnenie K v pracovnom bode sa rovná derivácii funkcie f(u) v bode (u 0, y 0 ). Linearizácia teda v podstate znamená nahradenie skutočnej nelineárnej závislosti priamkovou závislosťou vo zvolenom bode. Pri regulácii je obvykle týmto bodom žiadaná konštantná hodnota regulovanej veličiny. Podobne postupujeme pre funkcie viacerých premenných. Majme napr. funkciu dvoch premenných y = f(u, v), ktorú linearizujeme v pracovnom bode u 0, v 0, y 0.
34 KAPITOLA 2. MATEMATICKÉ NÁSTROJE IDENTIFIKÁCIE Pre malé odchýlky od pracovného bodu platí: y = ( ) f u + u u=u 0, v=v 0 ( ) f v = K u u + K v v, (2.3) v u=u 0, v=v 0 kde K u, K v sú príslušné zosilnenia. Uvažovaním a pracovaním len s malými odchýlkami veličín od pracovného bodu ľahko vykonáme linearizáciu východiskových vzťahov. Odchýlka x daná rozdielom skutočnej hodnoty veličiny x od pracovnej alebo vzťažnej hodnoty x 0 má rozmer fyzikálnej veličiny, často sa preto zavádzajú pomerné odchýlky, ktoré sú bezrozmerné tým, že odchýlka sa vzťahuje na zvolenú veličinu x 0 : φ x = x x 0 x 0 = x. (2.4) x 0 Vzťažná hodnota x 0 môže nadobúdať hodnoty veličiny v pôvodnom ustálenom stave, v konečnom stave, maximálnu hodnotu veličiny, menovitú hodnotu a pod. 2.1.1 Príklad na linearizáciu Príklad 2.1. Linearizujme a preveďme na bezrozmerný tvar súčin premenných y(t) = ku(t)v(t) v pracovnom bode y 0 = ku 0 v 0. Vyjadríme veličiny v odchýlkovom tvare vzhľadom na daný pracovný bod: y(t) = y 0 + y(t), u(t) = u 0 + u(t), v(t) = v 0 + v(t) Rozvojom východiskového vzťahu do Taylorovho radu v okolí pracovného bodu a uvažovaním iba lineárnych členov rozvoja približne platí: y(t) = y 0 + y(t) =. ( ) ( ) y y ku 0 v 0 + u(t) + u u=u 0, v v=v 0 u=u 0, v=v 0 v(t) Ak vykonáme naznačené parciálne derivácie a dosadíme ustálené stavy u 0, v 0 a y 0, potom dostaneme y 0 + y(t) =. ku 0 v 0 + kv 0 u(t) + ku 0 v(t), čiže y(t) =. kv 0 u(t) + ku 0 v(t).
2.2. VYBRANÉ DISKRÉTNE MODELY 35 Zavedením bezrozmerným veličín: φ y (t) = y(t) y 0 φ u (t) = u(t) u 0 φ v (t) = v(t) v 0 Po jednoduchej úprave delením poslednej rovnice hodnotou y 0 = ku 0 v 0 dostávame: φ y (t) = φ u (t) + φ v (t) Linearizáciou sme nahradili súčin veličín súčtom pomerných odchýlok. Podobne linearizáciou môžeme previesť podiel dvoch veličín na rozdiel pomerných odchýlok. Poznamenajme, že linearizáciu východiskového vzťahu môžeme vykonať priamo dosadením veličín v odchýlkovom tvare, prenásobením a zanedbaním členov s vyšším rádom odchýlok. Podrobnejšie pozri [58]. 2.2 Vybrané diskrétne modely Uvažujme kauzálny deterministický dynamický objekt, v ktorom výstup v ľubovoľnom okamihu môže byť vyjadrený pomocou predchádzajúcich vstupov a výstupov objektu. Potom vonkajší diskrétny matematický opis objektu môže byť vždy uvedený vo forme y(k) = f(y(k 1), y(k 2),..., y(k na); u(k d), u(k d 1),..., u(k d nb), ), (2.5) kde y(k) je ny rozmerný vektor výstupov, u(k) je nu rozmerný vektor vstupov a y(k), u(k) sú diskrétne postupnosti výstupných a vstupných veličín vzorkovaných s danou periódou a d je počet krokov dopravného oneskorenia. Reprezentácia vo forme (2.5) je všeobecná diferenčná rovnica deterministického objektu. Každý reálny objekt má konečnú pamäť, čím vyjadrujeme skutočnosť, že len konečný počet predchádzajúcich vstupov a výstupov má pozorovateľný vplyv na súčasnú hodnotu y(k). Praktický význam majú preto tie modely, pri ktorých y(k) závisí od na predchádzajúcich výstupov y(k i) na i=1 a nb predchádzajúcich vstupov u(k i) nb i=0. Parametre na, nb určujú hĺbku pamäti objektu, nazývame ich preto pamäti (rády) modelu.
36 KAPITOLA 2. MATEMATICKÉ NÁSTROJE IDENTIFIKÁCIE 2.2.1 Časovo premenlivá maticová diferenčná rovnica Predpokladajme, že pravú stranu rovnice (2.5) možno linearizovať v okolí vhodne zvolených tzv. referenčných dát U r u r (k i) nb i=0, Y r y r (k i) na i=1 rozvojom do radu: Označme na f y(k) = f(y r, U r, k) + y(k i) (y(k i) y r (k i)) i=1 Yr,U r nb f + u(k i d) (u(k i d) u r (k i d)) + L. (2.6) Yr,Ur i=0 f(y r, U r, k) = y a (k) (2.7) ako absolútny člen; L - chybu linearizácie (zvyšné členy rádu); a nech f y(k i) = A i (k) (2.8) Yr,U r f u(k i d) = B i (k) (2.9) Yr,U r Dosadením a zanedbaním chyby L dostávame y(k) = + na i=1 nb i=0 A i (k)(y(k i) y r (k i)) + (2.10) B i (k)(u(k i d) u r (k i d)) + y a (k), teda časovo premenlivú maticovú diferenčnú rovnicu v referenčnom tvare s maticovými koeficientami, ktorá reprezentuje aproximatívny model linearizovateľných časovo premenlivých objektov v okolí referenčných dát. Ako referenčné hodnoty volíme napr.: pri výstupoch žiadanú hodnotu, a pri vstupoch hodnotu vstupného signálu prislúchajúcu žiadanej hodnote výstupu v ustálenom stave.
2.2. VYBRANÉ DISKRÉTNE MODELY 37 2.2.2 Prírastkový tvar časovo premenlivej maticovej diferenčnej rovnice Často ako referenčné hodnoty je výhodné voliť predchádzajúce hodnoty meraných veličín, kedy dostávame model v prírastkovom (inkrementálnom) tvare na nb y(k) = A i (k) y(k i) + B i (k) u(k i d) (2.11) i=1 u(k i d) = u(k i d) u(k i d 1) (2.12) y(k i) = y(k i) y(k i 1) (2.13) V ďalšom výklade pre zjednodušenie označenia umiestnime odchýlky od zvolených referenčných dát priamo do vektorov y a u, to znamená hodnoty umiestnené v týchto vektoroch považujeme za merané už v odchýlkach voči referenčným hodnotám (vtedy y a (k) predstavuje nulovú vzťažnú úroveň). Tento zápis použijeme ďalej v nasledujúcom texte učebnice. 2.2.3 Časovo nepremenlivá maticová diferenčná rovnica V časovo nepremenlivom prípade matice A i (k), B i (k) a samotný vektor y a (k) nezávisia od času k a objekt charakterizujeme lineárnou maticovou diferenčnou rovnicou na nb y(k) + A i (k)y(k i) = B i (k)u(k i) + y e, (2.14) i=1 i=0 kde vektorom y e iba eliminujeme prípadný nesúlad medzi vybratými vstupnými a výstupnými referenčnými hodnotami pri ich nevhodnom výbere. Za výhodnú by sme považovali voľbu referenčných dát u r (), y r () spĺňajúcich apriori neznámu rovnicu (2.5). Pri jednoznačne lineárnych objektoch, ktoré nie sú výsledkom linearizácie, má závislosť (2.14) tvar lineárnej kombinácie vzorkovaných veličín (v ktorej pre názornosť zachovávame zavedené označenie maticových koeficientov) bez člena y e na nb y(k) + A i (k)y(k i) = B i (k)u(k i d). (2.15) i=1 i=0 Pomocou operátora spätného posunutia definovaného vzťahom q 1 x(k) = x(k 1) môžeme (2.15) zapísať ako A(q 1 )y(k) = B(q 1 )u(k)q d, (2.16) i=0
38 KAPITOLA 2. MATEMATICKÉ NÁSTROJE IDENTIFIKÁCIE kde A(q 1 ), B(q 1 ) sú maticové polynómy v q 1 definované: A(q 1 ) = I + A 1 q 1 +... + A na q na (2.17) B(q 1 ) = B 0 + B 1 q 1 +... + B nb q nb (2.18) Ľahko sa dá ukázať, že z-transformáciou (2.15) dostávame podobný výsledok s tými istými polynómami (2.17 2.18), ale v z 1, uvedené v [41] A(z 1 )y(z) = B(z 1 )u(z)z d, (2.19) a objekt môžeme charakterizovať maticovou prenosovou funkciou (ľavý maticový zlomok) G p (z) = A 1 (z 1 )B(z 1 )z d (2.20) Aby vstupný vektor jednoznačne determinoval výstupný vektor, vyžadujeme aby det A(z 1 ) 0. 2.2.4 Nemerateľné náhodné vplyvy Každý reálny objekt je vo väčšom alebo menšom rozsahu ovplyvňovaný náhodnými nemerateľnými vplyvmi symbolicky označenými ako ξ. Účinok týchto vplyvov pri lineárnych a linearizovateľných objektoch (podľa princípu superpozície) zohľadňujeme modelujeme fiktívnym vektorom ξ, pripočítavaným obvykle k hypotetickému nezašumenému alebo nerušenému výstupu objektu y u (k). Potom všeobecne lineárny, časovo nepremenlivý stochastický objekt môžeme opísať vzťahmi: A(q 1 )y u (k) = B(q 1 )u(k)q d, (2.21) y(k) = y u (k) + ξ(k). (2.22) Po dosadení za y u (k) dostávame lineárnu maticovú stochastickú diferenčnú rovnicu A(q 1 )y(k) = B(q 1 )u(k)q d + ϵ(k), (2.23) kde náhodná zložka ϵ(k) má tvar na ϵ(k) = A i ξ(k i) + ξ(k) = A(q 1 )ξ(k). (2.24) i=1 Vektor ξ(k) je v čase zložitý náhodný proces zahŕňajúci nemerateľné účinky okolia, analyticky nevyjadriteľné zmeny vlastnosti objektu, chyby teda v krátkosti šum merania.
2.2. VYBRANÉ DISKRÉTNE MODELY 39 v D(z -1 ) C(z -1 ) u B(z -1 ) A(z -1 ) y u y Obr. 2.2: Bloková schéma objektu so šumom na výstupe Tento proces môžeme modelovať viacerými spôsobmi, širokú triedu stacionárnych diskrétnych náhodných procesov s racionálnou výkonovou spektrálnou hustotou možno vyjadriť tzv. ARMA 1 procesom): ξ(k) + C 1 ξ(k 1) +... + C nc ξ(k nc) = (2.25) v(k) + D 1 v(k 1) +... + D nd v(k nd), kde v(k) je diskrétny biely šum, t.j. postupnosť nekorelovaných, normálne rozložených náhodných vektorov E[v(k)] = 0 (2.26) cov[v(k), v(k + τ)] = E[v T (k)v(k + τ)] τ=0,±1,±2,... = Σ. (2.27) Z-transformáciou (2.25) upravíme na tvar C(z 1 )ξ(z) = D(z 1 )v(z) (2.28) Týmto môžeme náhodnú zložku pôsobiacu v objekte a jeho modely pokladať za odozvu zvláštnej diskrétnej sústavy budenej bielym šumom. Rovnica (2.28) je potom opis tejto sústavy, často nazývanej sústavou šumu, definovanou príslušnými maticovými polynómami C(z 1 ) = I + C 1 z 1 +... + C nc z nc (2.29) D(z 1 ) = I + D 1 z 1 +... + D nd z nd, (2.30) a bielym šumom s kovariančnou maticou Σ. Dosadením (2.28) do z-transformácie (2.21) získavame kombinovaný model dynamiky objektu a dynamiky náhodnej zložky šumu A(z 1 )y(z) = B(z 1 )u(z)z d + A(z 1 )C 1 (z 1 )D(z 1 )v(z) (2.31) 1 angl. autoregressive moving average (ARMA)
40 KAPITOLA 2. MATEMATICKÉ NÁSTROJE IDENTIFIKÁCIE Odpovedajúca všeobecná bloková schéma pre objekt s jedným vstupom a jedným výstupom je na Obr. 2.2. 2.2.5 Náhodný šum ako chyba rovnice Fiktívny vektor náhodnej zložky ξ nie je vždy výhodné vzťahovať na výstup, možno ho interpretovať ako chybu rovnice (2.23), t. j. ϵ(k) = ξ(k), potom A(z 1 )y(z) = B(z 1 )u(z)z d + ξ(z), (2.32) a po dosadení z (2.28) dostávame A(z 1 )y(z) = B(z 1 )u(z)z d + C 1 (z 1 )D(z 1 )v(z). (2.33) Bloková schéma pre objekt s jedným vstupom a jedným výstupom s chybou v rovnici je na Obr. 2.3. v D(z -1 ) C(z -1 ) u B(z -1 ) y u 1 A(z -1 ) y Obr. 2.3: Bloková schéma objektu s chybou v rovnici Možno dokázať, že celý rad diskrétnych reprezentácií objektov je špeciálny prípad modelov podľa (2.31) a (2.33). Ak v rovnici (2.31) C(z 1 ) = A(z 1 ), hovoríme o tzv. ARMAX 2 modeli objektu. Ak D(z 1 ) = B(z 1 ) vzťah (2.33) odpovedá pôsobeniu šumu na strane vstupu s prenosom C 1 (z 1 ). 2.2.6 Diskrétne modely inovačného typu Významnou triedou modelov stochastických objektov sú modely tzv. inovačného typu, pracujúce s chybou predikcie. Vyššie uvedené modely i ďalšie známe reprezentácie (stochastický stavový model) môžu byť transformované do tohto vyjadrenia. 2 angl. autoregressive - moving average model with exogenous inputs (ARMAX)