Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0 ) 0. Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f 0 στο ανοικτό διάστημα (, ). Γεωμετρική ερμηνεία Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [, ] και τα σημεία A(, f( )) και B(, f( )) ρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο 0 (, ). f() B(, f()) 0 0 0 f() Α(α,f(α)) Παρατηρήσεις Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzno δεν ισχύει. Δηλαδή αν για μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0 ) 0 αυτό δεν σημαίνει ότι η f είναι συνεχής ή ότι f f 0. 215
f() B(,f()) f() B(,f()) f() Α(α,f(α)) 0 f() Α(α,f(α)) Σχήμα (α) Σχήμα () Στο σχήμα (α) ενώ υπάρχει 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0 ) 0 και η συνάρτηση είναι συνεχής δεν ισχύει ότι f f 0. Στο σχήμα () ενώ υπάρχει 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0 ) 0 και ισχύει ότι f f 0 η συνάρτηση δεν είναι συνεχής. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι αν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzno αυτό δεν σημαίνει κατά ανάγκη ότι δεν υπάρχει 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0 ) 0. Το θεώρημα Bolzno μας δίνει την δυνατότητα να εξετάσουμε αν μια συνεχής συνάρτηση έχει ρίζα σε ένα διάστημα (, ). Δεν μας ξεκαθαρίζει όμως πόσες ακριώς ρίζες υπάρχουν στο διάστημα αυτό και ποιες είναι αυτές. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] και ισχύει ότι f f 0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε f( 0 ) 0. Συνέπειες του θεωρήματος Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 0, Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. f()>0 f()<0 216
Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. ρ 1 + ρ 2 ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Παρατήρηση f για κάθε Αν ρ 1, ρ 2 δύο διαδοχικές ρίζες της f τότε 0 1, 2. Επίσης η f είναι συνεχής άρα στο διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1, 2 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και f f τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0 (, ) τέτοιος, ώστε f( 0 ). Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι f f. Τότε θα ισχύει f f (κοίτα σχήμα α). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g f, [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g g 0, αφού g f 0 και g f 0. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzno, υπάρχει 0 (, ) τέτοιο, ώστε g ( 0) f( 0) 0, οπότε f( 0 ). 217
Γεωμετρική ερμηνεία H γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία σε ένα τουλάχιστον σημείο 0 (, ). Όπου η οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ των f ( ) και f ( ). f() η f() Α(α,f(α)) B(,f()) =η 0 0 Σχήμα (α) 0 Παρατηρήσεις Το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzno. Κάθε σημείο η του άξονα που ρίσκεται ανάμεσα στα f ( ) και f θα είναι τιμή της συνάρτησης f. Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f στο ανοικτό διάστημα (, ). Το αντίστροφο του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών δεν ισχύει κατά ανάγκη, δηλαδή αν μία συνάρτηση f ορισμένη στο [, ], παίρνει κάθε τιμή μεταξύ του f και του f ( ), δεν σημαίνει ότι αυτή είναι συνεχής στο [, ]. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα[, ], τότε, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές. f() η f() =η Συνέπειες του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Με τη οήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. 218
(α) () [ ) (γ) Παρατηρήσεις Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας σταθερής συνάρτησης f είναι ένα μόνο σημείο (μονοσύνολο). Για παράδειγμα αν έχουμε την σταθερή συνάρτηση f() 4 και Δ= [2,8] τότε f 4. 4 C f [ ] 2 8 Δεν υπάρχει συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση f : διότι το f ( ) πρέπει σύμφωνα με τα παραπάνω να είναι διάστημα αλλά το και όλα τα υποσύνολα του δεν είναι διαστήματα. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η f παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή, υπάρχουν 1, 2 [, ] τέτοια, ώστε, αν m f( 1 ) και M f( 2 ), να ισχύει m f M, για κάθε,. Μ m Μ m [ ] 2 1 Εύρεση συνόλου τιμών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημα [ mm, ], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της. 219
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ημ, [0,2 ] έχει σύνολο τιμών το [ 1,1], αφού είναι συνεχής στο [0,2 ] με m 1 και M 1. 3π/2 π/2 π 2π 1 1 Αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (, ) (Σχήμα α), όπου lim f και B lim f. Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (, ), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( BA, ) (Σχήμα ). B Α A Β (α) () Παρατηρήσεις Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [, ], [, ) και (, ]. Aν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ τότε το σύνολο τιμών της είναι ή διάστημα ή μονοσύνολο. 220