Ερωτήσεις κατανόησης κεφ. σελίδων 95-99 Ι Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώστε το γράµµα, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής και το γράµµα, αν ο ισχυρισµός είναι ψευδής αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντηση σας.. ν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, ], παραγωγίσιµη στο (0, ) και f () 0 για όλα τα (0, ), τότε f(0) f() ιτιολογία ν ήταν f(0) = f(), τότε από το Θ.Rοlle στο [0, ], θα υπήρχε ένα τουλάχιστον ξ (0, ) ώστε f (ξ) = 0, που είναι άτοπο.. ν η συνάρτηση f είναι παραγωγίζεται στο [α, β] µε f(β) < f(α), τότε υπάρχει o (α, β) τέτοιο, ώστε f ( o ) < 0. ιτιολογία ν ήταν f ( o ) 0 για κάθε o (α, β), τότε η f θα ήταν γνησίως αύξουσα στο [α, β], οπότε δεν θα µπορούσε να είναι f(β) < f(α). ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο [α, β] µε f(α) = g(α) και f(β) = g(β), τότε υπάρχει o (α, β) τέτοιο, ώστε στα σηµεία ( o, f( o )) και Β( o, g( o )) οι εφαπτόµενες να είναι παράλληλες. ιτιολογία Για τη συνάρτηση h() = f() g() στο διάστηµα [α, β] ισχύει το Θ. Rolle, οπότε υπάρχει o (α, β) ώστε h ( o ) = 0 f ( o ) g ( o ) = 0 f ( o ) = g ( o ). ηλαδή οι εφαπτόµενες στα και Β είναι παράλληλες.
4. ν f () = ( ) ( ) για κάθε R, τότε : α) το f() είναι τοπικό µέγιστο της f β) το f() είναι τοπικό ελάχιστο της f ιτιολογία ι ρίζες και το πρόσηµο της f φαίνονται στον πίνακα + f 0 0 + f Βλέπουµε ότι η f δεν έχει τοπικό ακρότατο στο, ενώ έχει τοπικό ελάχιστο στο 5. α) Η γραφική παράσταση µιας πολυωνυµικής συνάρτησης άρτιου βαθµού έχει πάντα οριζόντια εφαπτοµένη. β) Η γραφική παράσταση µιας πολυωνυµικής συνάρτησης περιττού βαθµού έχει πάντα οριζόντια εφαπτοµένη ιτιολογία α) Η πρώτη παράγωγος θα είναι πολυώνυµο περιττού βαθµού, που ως γνωστόν έχει µία τουλάχιστον πραγµατική ρίζα, συνεπώς θα έχουµε µία τουλάχιστον οριζόντια εφαπτοµένη. β) Η πρώτη παράγωγος θα είναι πολυώνυµο άρτιου βαθµού, οπότε δεν είναι υποχρεωτικό να έχει πραγµατικές ρίζες. 6. Η συνάρτηση f() = α + β + γ + δ µε α, β, γ, δ R και α 0 έχει πάντα ένα σηµείο καµπής. ιτιολογία Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι η f () = 6α + β, η οποία έχει πάντα µία τιµή µηδενισµού αφού α 0, εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσηµο, άρα πάντα έχουµε ένα σηµείο καµπής.
7. ν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο o σηµείο καµπής, τότε και η συνάρτηση h = f g έχει στο o σηµείο καµπής. ιτιολογία Ένα αντιπαράδειγµα. f() = 5, g() = ι f και g µηδενίζονται στο 0 = 0 και αλλάζουν πρόσηµο εκατέρωθεν αυτού, άρα παρουσιάζουν καµπή στο 0. 8 λλά h() = h () = 8 7 και h () = 56 6 πότε η h µηδενίζεται στο 0 = 0, αλλά δεν αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν αυτού. Άρα δεν παρουσιάζει καµπή στο 0. 8. ίνεται ότι η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο R και ότι η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα των. ν υπάρχει κάποιο σηµείο ( o, f( o )) της C f του οποίου η απόσταση από τον άξονα των είναι µέγιστη (ή ελάχιστη), τότε η εφαπτοµένη σ αυτό θα είναι οριζόντια. ιτιολογία Είναι φανερό ότι το σηµείο θα βρίσκεται σε σχέση µε τα υπόλοιπα ψηλότερα ή χαµηλότερα από τον άξονα των οπότε η συνάρτηση θα έχει ακρότατο στο o και επειδή παραγωγίζεται στο Rσύµφωνα µε το Θ.Fermat θα είναι f ( o ) = 0, οπότε η εφαπτοµένη οριζόντια
9. Η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης α) f () = + β) g() = + ( ) ιτιολογία α) β) + lim f () = lim = ( )( ) lim = άρα η = δεν είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη + = = limg() lim ( ) ( )( ) lim = lim ( ) και επειδή lim g() = lim+ =, + η = είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη lim g() = lim =+,
0. ν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δίνεται από το παρακάτω σχήµα, τότε O 4 5 i) το πεδίο ορισµού της ii) το πεδίο ορισµού της f f iii) f () > 0 για κάθε (, 4) iν) υπάρχει o (, 4) : f ( o ) = 0 ιτιολογία είναι το (, 4) είναι το [, 4] i) Όπως φαίνεται από την γραφική παράσταση, υπάρχει σηµείο o (, 4) το οποίο είναι ψηλότερα από όλα τα άλλα και στο οποίο η f παραγωγίζεται, άρα από Θ.Fermat θα είναι f ( o ) = 0 ii) µοίως µε το (i) iii) Όχι, διότι η συνάρτηση είναι και γνησίως φθίνουσα στο [, 4] iν) Η εξήγηση δίνεται στο (i). Η συνάρτηση f() = + + έχει α) µία τουλάχιστον ρίζα στο (0, ) β) µία ακριβώς ρίζα στο (, 0) γ) τρεις πραγµατικές ρίζες ιτιολογία α) Όχι επειδή όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί β) Ισχύει Bolzano και είναι γνησίως αύξουσα, αφού f () = + > 0 γ) Καλύπτεται από το (ii)
. ν για τις παραγωγίσιµες στο Rσυναρτήσεις f, g ισχύουν f(0) = 4, f (0) =, f (5) = 6, g(0) = 5, g (0) =, g (4) =, τότε (fog) (0) = (gοf) (0) ιτιολογία (fog) (0) =f (g(0))g (0) = f (5) = 6 (gof) (0) =g (f(0))f (0) = g (4) = 6 II Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώστε την σωστή απάντηση.. Το όριο π π εφ ( + h) εφ lim 6 6 h 0 h ισούται µε. Β 4 Γ.. 4. Το. lim + h h 0 h Β. ισούται µε Γ. Ε. 0. ν f() = 5, τότε η f () ισούται µε. 5 - B. 5 ln 5 Γ. 5. 5 E 5 ln5 4. ν f()= συν ( +), τότε η f (π) ισούται µε. συν (π +)ηµ(π +) Β. συν (π +) Γ συν (π +)ηµ(π +). πσυν (π +)
5. ν f() = ( ), τότε η 7 η παράγωγος είναι. Β. Γ 0.. 7 Ε. δεν υπάρχει 6. ν οι εφαπτοµένες των συναρτήσεων f() = ln και g() = στα σηµεία µε τετµηµένη o είναι παράλληλες τότε το o είναι. 0 Β. 4 Γ. Ε. 7. ν f() = e β, g() = e α και α ισούται µε : α α. Β. α α+ f () f () = g() g () α+ Γ. α, τότε το β ως συνάρτηση του. α α Ε α α 8. ν f () > 0 για κάθε [, ] και f(0) = 0, τότε. f() = B.f( ) > 0 Γ f() > 0. f( ) = 0
ΙΙΙ. Να αντιστοιχίσετε κάθε µία από τις συναρτήσεις α, β, γ, δ σε εκείνη από τις συναρτήσεις, Β, Γ,, Ε, Ζ που νοµίζεται ότι είναι η παράγωγός της. 4 (α) (β) 4 (γ) (δ) (A) (B) (Γ) O O - - - ( ) (Ε) (Ζ) - α Ε, β, γ Β, δ
. Καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις να αντιστοιχίσετε στην ευθεία που είναι ασύµπτωτη της γραφικής της παράστασης στο + ΣΥΝΡΤΗΣΗ ΣΥΜΠΤΩΤΗ f () = + ψ = f () = + + e ψ = f () = + ψ = + ψ = ψ =