Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ) = 0 (1.1) între funcţia identicǎ t t definitǎ pe intervalul I necunoscut, o funcţie necunoscutǎ x şi derivata ei ẋ definite pe acelaşi interval. În ecuaţia (1.1) funcţia g se considerǎ cunoscutǎ, iar rezolvarea ecuaţiei înseamnǎ determinarea funcţiilor necunoscute x care verificǎ ecuaţia. Definiţia 1.0.2 O funcţie realǎ x de clasǎ C 1 definitǎ pe un interval deschis I IR 1 se numeşte soluţie a ecuaţiei (1.1) dacǎ pentru orice t I tripletul (t, x(t), ẋ(t)), aparţine domeniului de definiţie al lui g şi g(t, x(t), ẋ(t)) = 0. (1.2) Graficul unei soluţii: Γ = {(t, x(t)) t I} se numeşte curbǎ integralǎ. La început vom prezenta câteva cazuri particulare de asemenea ecuaţii, care se rezolvǎ cu metode elementare şi probleme concrete din diferite domenii care au condus la asemenea ecuaţii. 1

2 CAPITOLUL 1 1.1 Problema primitivei. Ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = f(t) Problema 1.1.1 O conductǎ termicǎ are diametrul 10 (cm) şi este izolatǎ cu un strat cilindric de 10 (cm) grosime. Temperatura conductei este 160 ( C), iar temperatura mediului exterior este 30 ( C). i) Care este legea de variaţie a temperaturii în stratul izolant în cazul staţionar? ii) Ce cantitate de cǎldurǎ cedeazǎ fiecare metru de conductǎ în 24 ore? Se dǎ coeficientul de conductivitate termicǎ k = 0, 07 (W/K m). Rezolvare: Fie t distanţa unui punct din stratul izolant şi axa conductei termice, t (5, 15) 10 2 m şi x(t) temperatura în acest punct. Temperatura este funcţia necunoscutǎ şi depinde de t, iar funcţia x = x(t) descrie variaţia temperaturiii în stratul izolant. i) Pentru determinarea funcţiei x(t) folosim legea lui Fourier: cantitatea de cǎldurǎ Q cedatǎ în unitatea de timp în regim staţionar pe suprafaţa lateralǎ a cilindrului de razǎ t este proporţionalǎ cu produsul dintre aria lateralǎ a cilindrului şi variaţia temperaturii dx: k S(t) dx dt = Q. (1.3) unde k este conductivitatea termicǎ a materialului izolant. Aria lateralǎ a cilindrului de razǎ t şi lungime l, este S(t) = 2π t l. Rezultǎ: dx dt = Q 2π k l 1 t. (1.4) Prin urmare avem de determinat o funcţie x(t) care veificǎ (1.4). Din teoria primitivelor rezultǎ cǎ orice funcţie x(t) care verificǎ (1.4) este datǎ de formula x(t) = Q ln t + C (1.5) 2π k l în care t (5, 15) şi C este o constantǎ oarecare. Determinarea legii de variaţie cerute revine la selecţionarea acelei funcţii x(t) din familia (1.5) care

Problema primitivei. Ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = f(t) 3 verificǎ condiţiile: pentru t 1 = 5 (cm) avem x(t 1 ) = 160 ( C), şi pentru t 2 = 15 (cm), x(t 2 ) = 30 ( C). Impunând aceste condiţii, rezultǎ de unde C = 303 + 130 ln 15 10 2 ln 3 = 78, 51( K) şi x(t) = 78, 51 118, 33 lnt. Q 2π k l = 130 ln3, ii) Folosind valorile numerice rezultǎ Q iar pentru cantitatea de cǎldurǎ cedatǎ de fiecare metru liniar (l= 1 m) în 24 ore, q = Q l 24 3600(s). Trecem acum la cazul general de rezolvare a unei ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = f(t) în care f este o funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval I IR 1, consideratǎ cunoscutǎ. Din teoria primitivelor se ştie cǎ, dacǎ f este o funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval I IR 1, atunci existǎ o familie de funcţii reale de clasǎ C 1 definite pe I a cǎror derivatǎ este funcţia f. Aceste funcţii diferǎ între ele printr-o constantǎ şi se obţin cu formula: x(t) = t t f(τ)dτ + C (1.6) t în care C este o constantǎ realǎ iar f(τ)dτ este o primitivǎ a funcţiei f. t Pentru t 0 I şi x 0 IR 1 existǎ o singurǎ soluţie x = x(t) a ecuaţiei (1.6) care verificǎ condiţia x(t 0 ) = x 0 şi aceasta este datǎ de formula x(t) = x 0 + t t 0 f(s)ds. (1.7) Problema determinǎrii acelei soluţii a ecuaţiei ẋ = f(t) care verificǎ condiţia x(t 0 ) = x 0 se numeşte problemǎ cu date iniţiale sau problemǎ Cauchy. Într-o asemenea problemǎ t 0 şi x 0 se considerǎ cunoscute şi se numesc date iniţiale. Problema în sine se noteazǎ tradiţional astfel: şi soluţia ei cu x(t; t 0, x 0 ). ẋ = f(t) (1.8) x(t 0 ) = x 0

4 CAPITOLUL 1 Concluzii 1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = f(t) (numitǎ problema primitivei) în care f este o funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval deschis (a, b) IR 1. 2. Oricare ar fi soluţia x = x(t) a ecuaţiei diferenţiale ẋ = f(t) existǎ o constantǎ realǎ C astfel încât x(t) = t t f(τ)dτ + C, ( )t (a, b). 3. Oricare ar fi t 0 (a, b) şi x 0 IR 1 existǎ o singurǎ funcţie x = x(t) definitǎ pe (a, b) care este soluţia problemei cu date iniţiale Exerciţii ẋ = f(t) x(t 0 ) = x 0 1. Sǎ se determine soluţiile urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale (cu calculatorul): a) ẋ = 1 + t + t 2 ; t IR 1 R : x(t) = t3 3 + t2 2 + t + C b) ẋ = 1 ; t > 0 R: x(t) = lnt + C t c) ẋ = 1 + sin t + cos 2t; t IR 1 R: x(t) = t cost + 1 sin 2t + C 2 d) ẋ = 1 1 + t 2; t IR1 R: x(t) = arctant + C e) ẋ = 1 ; t ( 1, 1) t 2 1 R: x(t) = 1 2 ln 1 t 1 + t + C f) ẋ = 1 t2 4 ; t IR1 [ 2, 2] R: x(t) = ln(t + t 2 4) + C

Problema primitivei. Ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = f(t) 5 g) ẋ = e 2t + sin t; t IR 1 R: x(t) = 1 2 e2t cost + C h) ẋ = e t2 ; t IR 1 R: se determinǎ numeric o primitivǎ a lui e t2, de exemplu t 0 e s2 ds 2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy şi sǎ se reprezinte grafic soluţiile (cu calculatorul): a) ẋ = 1 + t + t 2, t IR 1, x(0) = 1 R: x(t) = t3 3 + t2 2 + t + 1 b) ẋ = 1, t > 0, x(1) = 0 t R: x(t) = lnt c) ẋ=1+sint+cos 2t, t IR 1, x( π) = 7 d) ẋ = 1 1 + t 2, t IR1, x( 1) = 2 R: x(t)= cos t+ 1 sin 2t+t+6+π 2 R: x(t) = arctant + 1 4 π 2 2 e) ẋ = (t 2 1) 2, t < 1, x( 2) = 0 t 1 R: x(t)=ln t+1 + t t 2 1 +2 3 ln 3 1 f) ẋ =, t > 0, x(1) = 1 t2 + t ( ) 1 R: x(t)=ln 2 +t+ t 2 +t +ln 2+1

6 CAPITOLUL 1 1.2 Ecuaţii diferenţiale autonome ẋ = g(x) Problema 1.2.1 O rachetǎ meteorologicǎ este lansatǎ vertical în sus cu viteza iniţialǎ de 100 (m/s). Rezistenţa aerului frâneazǎ mişcarea ei şi-i comunicǎ acceleraţia k v 2 (t), v(t) fiind viteza rachetei la momentul t iar k o constantǎ pozitivǎ. i) Sǎ se afle timpul în care racheta atinge înǎlţimea maximǎ. ii) Sǎ se afle înǎlţimea maximǎ la care se ridicǎ racheta. Rezolvare: i) Acceleraţia totalǎ a rachetei, în lansarea pe verticalǎ în sus este a = (g + k v 2 ) unde g 10 (m/s 2 ) este acceleraţia gravitaţionalǎ, iar k o constantǎ pozitivǎ consideratǎ cunoscutǎ. Legea de mişcare a rachetei se scrie astfel: dv dt = (g + k v2 ) (1.9) Funcţia v care intervine în (1.9) reprezintǎ viteza rachetei şi este necunoscutǎ. Ea trebuie gǎsitǎ pentru ca apoi egalând-o cu zero (aceasta înseamnǎ cǎ racheta a atins înǎlţimea maximǎ) sǎ gǎsim timpul în care racheta atinge înǎlţimea maximǎ. Din (1.9) şi din inegalitatea g + k v 2 > 0 rezultǎ egalitatea 1 g + k v 2 dv dt = 1. Trecând la primitive se obţine egalitatea t 1 t g + k v 2 (τ) dv dτ dτ = t t dτ din care printr-o schimbare de variabilǎ rezultǎ ( ) k g arctan k t v(τ) = kτ t t g t sau v(t) = [ ] k g g tan ( k t + C). k

Ecuaţii diferenţiale autonome ẋ = g(x) 7 Constanta C se determinǎ din condiţia iniţialǎ v(0) = 100 (m/s) şi se obţine ( ) k C = g arctan k g 100 iar timpul t 1 dupǎ care racheta ajunge la înǎlţimea maximǎ se determinǎ din condiţia v(t 1 ) = 0 şi se obţine ( ) k arctan 100 g t 1 = (s) g k ii) Pentru a gǎsi înǎlţimea maximǎ la care se ridicǎ racheta se noteazǎ cu x(t) înǎlţimea la care se aflǎ racheta la momentul t. Funcţia x(t) este necunoscutǎ şi pentru determinarea ei se ţine seama cǎ viteza v(t) este derivata funcţiei x(t): [ g ( dx g dt = k tan k k t + ( ))] k g arctan k g 100 şi cǎ x(0) = 0 (racheta pleacǎ de pe sol). Determinarea funcţiei x(t) care verificǎ aceste condiţii este o problemǎ Cauchy de forma ẋ = f(t), x(t 0 ) = x 0 şi rezolvarea ei a fost fǎcutǎ în 1.1. Se determinǎ soluţia x(t; 0, x 0 ) a problemei Cauchy şi se calculeazǎ apoi x(t 1 ; 0, x 0 ). Aceasta este înǎlţimea maximǎ la care se ridicǎ racheta meteorologicǎ. Raţionamentul prezentat la rezolvarea punctului i) al problemei 1.2.1 poate fi generalizat pentru determinarea soluţiilor unei ecuaţii diferenţiale de forma: ẋ = g(x) (1.10) în care g este o funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval J IR 1, care nu se anuleazǎ (g(x) 0 ( )x J) şi este cunoscutǎ. Într-adevǎr, dacǎ o funcţie realǎ x : I J este o soluţie a ecuaţiei (1.10) atunci pentru orice t I avem sau dx dt = g(x(t)) 1 g(x(t)) dx dt = 1.

8 CAPITOLUL 1 Trecând la primitive rezultǎ egalitatea t 1 t g(x(τ)) dx dτ dτ = t din care printr-o schimbare de variabilǎ se obţine x x 1 g(u) t dτ du = t + C. (1.11) Rezultǎ în acest fel cǎ o soluţie x = x(t) a ecuaţiei diferenţiale (1.10) este soluţie pentru ecuaţia implicitǎ în care G(t, x; C) = 0 (1.12) G(t, x; C) = t + C x x 1 g(u) du. (1.13) Este uşor de arǎtat folosind teorema funcţiilor implicite cǎ, dacǎ x(t; C) este o soluţie a ecuaţiei (1.12), atunci este şi soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1.10). Observaţia 1.2.1 Dacǎ funcţia g se anuleazǎ în x J, atunci funcţia constantǎ x(t) = x este soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1.10). Observaţia 1.2.2 Pentru t 0 IR 1 şi x 0 J, problema determinǎrii acelei soluţii a ecuaţiei (1.10) care verificǎ condiţia suplimentarǎ x(t 0 ) = x 0 se numeşte problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date iniţiale: ẋ = g(x) x(t 0 ) = x 0 (1.14) iar soluţia acesteia, x = x(t; t 0, x 0 ), este datǎ de ecuaţia implicitǎ: x x 0 1 g(u) du = t t 0. (1.15) Într-o problemǎ Cauchy t 0 şi x 0 sunt considerate cunoscute şi se numesc date iniţiale.

Ecuaţii diferenţiale autonome ẋ = g(x) 9 Concluzii 1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = g(x) în care g este o funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval deschis (c, d) IR 1 şi nu se anuleazǎ. 2. Oricare ar fi soluţia x(t) a ecuaţiei diferenţiale ẋ = g(x) şi oricare ar fi x (c, d) existǎ o constantǎ scalarǎ C astfel încât x(t) este soluţia x ecuaţiei implicite du t C = 0 şi reciproc, o soluţie a acestei g(u) ecuaţii implicite este soluţie pentru ecuaţia diferenţialǎ. x 1 3. Oricare ar fi t 0 IR 1 şi x 0 (c, d) existǎ o funcţie unicǎ x = x(t) definitǎ pe un interval deschis I 0 (care conţine pe t 0 ) şi cu valori în (c, d) care este soluţia problemei cu date iniţiale ẋ = g(x), x(t 0 ) = x 0. 4. Dacǎ funcţia g se anuleazǎ într-un punct x (c, d) atunci funcţia constantǎ x(t) x este soluţie a ecuaţiei diferenţiale. Exerciţii 1. Sǎ se determine soluţiile urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale (cu calculatorul): a) ẋ = 1 + x 2, x IR 1 R: x(t) = tan(t + C), t + C (2k + 1) π 2 b) ẋ = e x, x IR 1 R: x(t) = ln(t + C), t + C > 0 c) ẋ = k x, x > 0 R: x(t) = C e k t, C > 0, t IR 1 d) ẋ = k x, x < 0 R: x(t) = C e k t, C < 0, t IR 1 e) ẋ = x 2, x > 0 R: x(t) = 1 t + C, t + C < 1

10 CAPITOLUL 1 2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy şi sǎ se reprezinte grafic soluţiile cu calculatorul: a) ẋ = k x, x(0) = x 0 R: x(t) = x 0 e kt b) ẋ = x + x 2, x(0) = x 0 R: x(t) = x 0 x 0 e t (x 0 1) c) ẋ = 1 + x 2, x(0) = x 0 R: x(t) = tan(t + arctan x 0 ) d) ẋ = x 2, x(0) = x 0 R: x(t) = x 0 t x 0 1

Ecuaţii diferenţiale cu variabile separate 11 1.3 Ecuaţii diferenţiale cu variabile separate O ecuaţie diferenţialǎ cu variabile separate are forma ẋ = f(t) g(x), (1.16) unde f şi g sunt funcţii reale continue, f : (a, b) IR 1, g : (c, d) IR 1 şi se considerǎ cunoscute. Dacǎ funcţia g nu se anuleazǎ pe intervalul (c, d) (g(x) 0, ( )x (c, d)) atunci soluţiile ecuaţiei (1.16) se determinǎ fǎcânduse un raţionament asemǎnǎtor cu cel din paragraful precedent. Dacǎ x : I (a, b) (c, d) este o soluţie a ecuaţiei (1.16) atunci pentru orice t I are loc dx = f(t) g(x(t)) dt sau Trecând la primitive rezultǎ t 1 g(x(t)) dx dt = f(t) 1 t g(x(τ)) dx dτ dτ = t t f(τ) care printr-o schimbare de variabilǎ conduce la egalitatea x x 1 g(u) du = t t f(τ) + C. (1.17) Am obţinut în acest fel cǎ o soluţie a ecuaţiei (1.16) este soluţie pentru ecuaţia implicitǎ G(x, t; C) = 0 (1.18) în care funcţia G(x, t; C) este datǎ de egalitatea: G(x, t; C) = t t f(τ) + C x x 1 g(u) du. (1.19) Folosind teorema funcţiilor implicite se aratǎ uşor cǎ dacǎ x(t, C) este o soluţie a ecuaţiei (1.18) atunci este soluţie şi a ecuaţiei diferenţiale (1.16).

12 CAPITOLUL 1 Exemplul 1.3.1 Sǎ se determine soluţiile ecuaţiei diferenţiale: ẋ = 1 1 + t 2(1 + x2 ), t IR 1, x IR 1 În acest caz f : IR 1 IR 1, f(t) = 1 1+t 2 şi g : IR 1 IR 1, g(x) = 1 + x 2, iar Ecuaţia implicitǎ este: G(t, x; C) = arctant + C arctanx arctan t + C arctan x = 0 de unde x(t) = tan(arctant + C) Observaţia 1.3.1 Dacǎ funcţia g din ecuaţia (1.16) se anuleazǎ într-un punct x (c, d) atunci funcţia constantǎ x(t) = x este soluţia ecuaţiei diferenţiale (1.16). Observaţia 1.3.2 Pentru t 0 (a, b) şi x 0 (c, d) problema determinǎrii acelei soluţii a ecuaţiei (1.16) care verificǎ condiţia suplimentarǎ x(t 0 ) = x 0 se numeşte problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date iniţiale şi se noteazǎ cu ẋ = f(t) g(x), x(t 0 ) = x 0. (1.20) Soluţia acestei probleme se noteazǎ de obicei cu x = x(t; t 0, x 0 ) şi este datǎ de ecuaţia implicitǎ x du t g(u) f(τ)dτ = 0. (1.21) t 0 x 0 Într-o problemǎ Cauchy, t 0 si x 0 sunt considerate cunoscute şi se numesc condiţii iniţiale. Observaţia 1.3.3 O clasǎ particularǎ importantǎ de ecuaţii diferenţiale cu variabile separate sunt ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi liniare şi omogene. Aceste ecuaţii sunt de forma ẋ = A(t) x, t (a, b), x IR 1 (1.22)

Ecuaţii diferenţiale cu variabile separate 13 în care A(t) este o funcţie realǎ continuǎ pe (a, b). Conform celor arǎtate, soluţiile ecuaţiei (1.22) sunt date de formula x(t) = C e t t A(τ)dτ (1.23) în care C este o constantǎ realǎ oarecare. Soluţia problemei Cauchy ẋ = A(t) x, x(t 0 ) = x 0 t 0 (a, b), x 0 IR 1 (1.24) este datǎ de formula: t t x(t; t 0, x 0 ) = x 0 e A(τ)dτ 0. (1.25) Problema 1.3.1 O pâine scoasǎ din cuptor are temperatura 100 C şi capǎtǎ temperatura de 60 C în decurs de 20 minute. Temperatura aerului fiind de 20 C, peste cât timp, începând din momentul rǎcirii, pâinea va cǎpǎta temperatura de 25 C? Rezolvare: Notǎm cu x(t) temperatura pâinii la momentul t şi folosim legea lui Newton dupǎ care, viteza de rǎcire a unui corp cu temperatura x(t), situat într-un mediu cu temperatura x 0, este proporţionalǎ cu diferenţa x(t) x 0 : ẋ(t) = k [x(t) x 0 ]. Funcţia y(t) = x(t) x 0 verificǎ ecuaţia ẏ(t) = k y(t) care este o ecuaţie liniarǎ şi omogenǎ. Rezultǎ şi astfel y(t) = C e k t x(t) = x 0 + C e k t. În aceastǎ egalitate x 0 = 20 C. Pentru determinarea constantelor C şi k ţinem seama de condiţiile x(0) = 100 C şi x(20) = 60 C. Rezultǎ x(t) = ( ) t 1 20 C + 80 20 C. Dacǎ t este timpul dupǎ care temperatura devine 2 ( ) t 1 25 C rezultǎ 25 C = 20 C + 80 20 C, de unde t = 80 minute. 2

14 CAPITOLUL 1 Concluzii 1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = f(t) g(x), numite ecuaţii cu variabile separate, în care f şi g sunt funcţii reale continue, funcţia f este definitǎ pe un interval (a, b) IR 1, iar funcţia g este definitǎ pe un interval (c, d) IR 1 şi nu se anuleazǎ în nici un punct (g(x) 0, ( )x (c, d)). 2. Oricare ar fi soluţia x(t) a ecuaţiei diferenţiale cu variabile separate şi oricare ar fi t (a, b) şi x (c, d), existǎ o constantǎ C astfel încât x(t) este soluţia ecuaţiei implicite x x du g(u) t t f(τ)dτ C = 0 şi reciproc, oricare ar fi t (a, b), x (c, d) şi C IR 1, o soluţie x = x(t) a ecuaţiei implicite este soluţie pentru ecuaţia diferenţialǎ. 3. Oricare ar fi t 0 (a, b) şi x 0 (c, d) existǎ o funcţie unicǎ x = x(t) definitǎ pe un interval deschis I 0 (care conţine punctul t 0 ) şi cu valori în intervalul (c, d), x : I 0 (a, b) (c, d) care este soluţia problemei cu date iniţiale ẋ = f(t) g(x), x(t 0 ) = x 0. 4. Dacǎ funcţia g se anuleazǎ într-un punct x (c, d) atunci funcţia constantǎ x(t) = x este soluţie a ecuaţiei diferenţiale. Exerciţii 1. Sǎ se determine soluţiile urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale (cu calculatorul): t 1 + x a) ẋ = 2, x < 0, t IR 1 R: 1 + t 2 x x2 +1+ t 2 +1 = C b) ẋ = t 1 + t (1 x), t > 1, x > 1 R: 1 + t 1 x = C et c) ẋ = ( 1 + 1 t ) x2 + 1, t > 0, x x 2 IR1 R: + 2 x+arctanx=ln t+t+c

Ecuaţii diferenţiale cu variabile separate 15 2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy şi sǎ se reprezinte soluţiile (cu calculatorul): a) ẋ = t x, t > 0, x > 0, t 0 =1, x 0 =0 R: x(t) = 0 4 x 2 b) ẋ= 2t, t IR 1, x (0, 2), t 0 =0, x 0 =1 x R: 4 x2 t 2 3=0 c) ẋ= 1 1 t x, t < 1, x (0, 1), t 0=0 x 0 = 1 2 R: x(t) = 3 4 t2 + 3 2 t+1 4

16 CAPITOLUL 1 1.4 Ecuaţii omogene în sens Euler Ecuaţiile omogene în sens Euler sunt ecuaţii de forma ẋ = P(t, x) Q(t, x) (1.26) în care funcţiile P(t, x) şi Q(t, x) sunt funcţii omogene în sens Euler de acelaşi grad, considerate cunoscute: P(λt, λx) = λ k P(t, x) şi Q(λt, λx) = λ k Q(t, x). (1.27) Din (1.27) rezultǎ egalitatea: P(t, x) Q(t, x) = P ( ) 1, x t Q ( ), ( )t 0 (1.28) 1, x t şi prin urmare ecuaţia omogenǎ (1.26) are forma canonicǎ ( x ) ẋ = g, ( )t 0 (1.29) t în care ( x ) g = P ( ) 1, x t t Q ( ). 1, x t Funcţia realǎ g este consideratǎ continuǎ şi cunoscutǎ. Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (1.29) se introduc noile funcţii necunoscute y = x t care verificǎ ecuaţia: ẏ = 1 [g(y) y]. (1.30) t Ecuaţiile diferenţiale (1.26) şi (1.30) sunt echivalente în sensul urmǎtor: dacǎ o funcţie x(t) este soluţie pentru ecuaţia (1.26) atunci funcţia y(t) = x(t) t este soluţie pentru ecuaţia (1.30) şi reciproc. În acest fel, rezolvarea ecuaţiei omogene în sens Euler se reduce la rezolvarea ecuaţiei cu variabile separate (1.30). Problema 1.4.1 Ce suprafaţǎ de rotaţie trebuie sǎ reprezinte oglinda unui proiector, pentru ca toate razele de luminǎ ce pleacǎ de la o sursǎ punctiformǎ sǎ fie reflectate paralel cu o direcţie datǎ?

Ecuaţii omogene în sens Euler 17 Rezolvare: Considerǎm un plan meridian pe care îl luǎm ca fiind planul (tox). Axa Ot o alegem paralelǎ cu direcţia dupǎ care lumina trebuie reflectatǎ, iar originea axelor în sursa de luminǎ. Figura 2 - Reflexia razelor de luminǎ pe o oglindǎ parabolicǎ Dupǎ legile reflexiei OPM = MPQ şi RPO = R PQ şi deci v = 2u. Cum tanv = x şi tan u = ẋ iar tan2u = 2 tanu t 1 tan 2 u rezultǎ x t = 2ẋ sau ẋ = t ± t2 + x 2. 1 ẋ 2 x Ecuaţia diferenţialǎ este omogenǎ în sens Euler (este de ( forma (1.29)) şi se rezolvǎ dupǎ modul prezentat obţinându-se x 2 = 2C t + C ). Deci 2 curba meridianǎ este o parabolǎ cu vârful pe Ot iar oglinda un paraboloid de rotaţie. Concluzii 1. Existǎ ( probleme de fizicǎ care conduc la ecuaţii diferenţiale de forma x ) ẋ = g (numite ecuaţii omogene în sens Euler) în care g este o t funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval I IR 1.

18 CAPITOLUL 1 ( x ) 2. O funcţie x = x(t) este soluţie a ecuaţiei ẋ = g t dacǎ şi numai dacǎ funcţia y = x t ẏ = 1 [g(y) y]. t 3. Rezolvarea problemei Cauchy ẋ = g este soluţie a ecuaţiei cu variabile separate ( x t ), x(t 0 ) = x 0 se reduce la rezolvarea problemei Cauchy ẏ = 1 t [g(y) y], y(t 0) = y 0 = x 0 t 0. Exerciţii 1. Sǎ se determine soluţiile urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale: a) ẋ = x t + e x t R: ln(t) = e x t + C b) ẋ = x2 + t 2 t x c) ẋ = t + x t x R: x 2 = 2t 2 ln(t) + C t 2 R: arctan x 2 ln x 2 +1=ln t+c t2 x d) ẋ = t 2 tx R: t x ln x t = ln t + C 2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy şi sǎ se reprezinte grafic soluţiile (cu calculator): a) ẋ = 4tx x2 2t 2, t 0 = 1, x 0 = 1 R: x(t) = 2t2 t + 1 b) ẋ = 2tx 3t 2 x 2, t 0 = 0, x 0 = 0 R: x(t) = 0 c) ẋ = 2t + x 4t x, t 0 = 1, x 0 = 1 R: x(t) = t d) ẋ = x + t 5x + t, t 0 = 1, x 0 = 0 R: x(t)= 1 5 t+1 4t2 +5 5

Ecuaţii omogene generalizate 19 1.5 Ecuaţii omogene generalizate Ecuaţiile omogene generalizate sunt ecuaţii diferenţiale de forma: ( ) at + bx + c ẋ = f a 1 t + b 1 x + c 1 (1.31) în care funcţia realǎ f este consideratǎ continuǎ şi cunoscutǎ, şi unde c 2 1+c 2 0 (dacǎ c 1 = c = 0, ecuaţia este omogenǎ în sens Euler). Pentru determinarea soluţiilor acestei ecuaţii ţinem seama de urmǎtoarele rezultate: Propoziţia 1.5.1 Dacǎ a a 1 b b 1 atunci în urma schimbǎrii de variabilǎ independentǎ t şi de funcţie necunoscutǎ x definite de formulele: τ = t t 0 şi y = x x 0 (1.32) ecuaţia diferenţialǎ (1.31) se transformǎ în ecuaţia diferenţialǎ omogenǎ în sens Euler: ( ) dy aτ + by dτ = f (1.33) a 1 τ + b 1 y unde (t 0, x 0 ) este soluţia sistemului de ecuaţii algebrice { at + bx + c = 0 (1.34) a 1 t + b 1 x + c 1 = 0. Demonstraţie: Prin calcul. În urma schimbǎrii de funcţie necunoscutǎ definitǎ prin z = y τ (1.35) ecuaţia (1.33) se transformǎ în ecuaţia diferenţialǎ cu variabile separate dz dτ = 1 [ ( ) ] a + bz f z. (1.36) τ a 1 + b 1 z Propoziţia 1.5.2 Dacǎ a a 1 = b b 1 = m, atunci în urma schimbǎrii de funcţie necunoscutǎ x definitǎ de y(t) = a 1 t + b 1 x(t) (1.37) ecauţia diferenţialǎ (1.31) se transformǎ în ecuaţia diferenţialǎ autonomǎ ( ) my + c ẏ = a 1 + b 1 f. (1.38) y + c 1

20 CAPITOLUL 1 Exerciţii 1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale: a) ẋ= 3t 4x+7 4t 5x+11 b) ẋ= 3t+3x 1 t+x+1 c) ẋ= 2(x+2)2 (t+x+2) 2 R: x(t)= 5 1 C [ 4 ] 5 (t+1)+1 (t+9)2 C 5 2 +5 R: 1 2 (x+t) ln(x+t 1)=t+C R: 2 arctan x 2 t ln x 2 ln t C =0 t

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi 21 1.6 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi O ecuaţie diferenţialǎ de forma ẋ = A(t)x + B(t) (1.39) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul întâi. În ecuaţia (1.39) A şi B sunt funcţii reale continue A, B : (a, b) IR 1 şi se considerǎ cunoscute. Dacǎ funcţia B este identic nulǎ, atunci ecuaţia (1.39) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi liniarǎ omogenǎ şi soluţiile ei sunt date de formula: x(t) = C e t t A(τ)dτ (1.40) în care C este o constantǎ realǎ oarecare (a se vedea 1.3). Pentru a determina soluţiile ecuaţiei (1.39) remarcǎm faptul cǎ diferenţa a douǎ soluţii ale acestei ecuaţii este o soluţie a ecuaţiei liniare şi omogene. Acest fapt se verificǎ uşor prin calcul. Rezultǎ de aici cǎ dacǎ x este o soluţie oarecare a ecuaţiei (1.39) şi x este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (1.39), atunci diferenţa x x este soluţie pentru ecuaţia liniarǎ şi omogenǎ, şi prin urmare sau x(t) x(t) = C e t t A(τ)dτ x(t) = C e t t A(τ)dτ + x(t). (1.41) Egalitatea (1.41) aratǎ cǎ o soluţie oarecare x(t) a ecuaţiei (1.39) se obţine adǎugând la o soluţie particularǎ x(t) a acestei ecuaţii, o soluţie oarecare a ecuaţiei liniare şi omogene x(t) = C e t t A(τ)dτ. În acest mod determinarea tuturor soluţiilor ecuaţiei (1.39) se reduce la determinarea unei soluţii particulare a acestei ecuaţii. Determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei (1.39) se face cu metoda variaţiei constantei a lui Lagrange.Aceasta înseamnǎ cǎ pentru ecuaţia (1.39) se cautǎ o soluţie particularǎ x(t) care are forma funcţiei datǎ de (1.40), deosebirea fiind cǎ C nu mai este o constantǎ realǎ ci este o funcţie de t (C = C(t)): x(t) = C(t) e t t A(τ)dτ. (1.42) Pentru a impune funcţiei x(t) sǎ verifice ecuaţia (1.39) se admite cǎ funcţia C(t) este derivabilǎ şi din faptul cǎ x(t) verificǎ (1.39) se obţine: Ċ(t) e t t A(τ)dτ + A(t) C(t) e t t A(τ)dτ = A(t) C(t) e t t A(τ)dτ + B(t)

22 CAPITOLUL 1 sau Ċ(t) = B(t) e t t A(τ)dτ. (1.43) În 1.1 am vǎzut cǎ toate funcţiile care verificǎ (1.43) sunt date de C(t) = t t B(u) e u t A(τ)dτ du + C (1.44) Întrucât avem nevoie de o singurǎ soluţie, considerǎm C = 0 şi înlocuind în (1.42) avem: ( t ) x(t) = B(u) e u t A(τ)dτ du e t t A(τ)dτ (1.45) t Rezultǎ în acest mod cǎ toate soluţiile ecuaţiei (1.39) sunt date de: ( x(t) = C e t ) t t A(τ)dτ + B(u) e u t A(τ)dτ du e t t A(τ)dτ. (1.46) t Pentru t 0 (a, b) şi x 0 IR 1 ecuaţia (1.39) are o singurǎ soluţie x care verificǎ x(t 0 ) = x 0 şi este datǎ de formula: t t x(t; t 0, x 0 ) = x 0 e A(τ)dτ 0 + t t 0 B(u) e t u A(τ)dτ du. (1.47) Problema 1.6.1 Unei bobine cu inductanţa L = 1 (H) şi rezistenţa R = 2 (Ω) i se aplicǎ tensiunea electromotoare u = sin 3t (V ). Care este intensitatea curentului prin bobinǎ? Rezolvare: Legea lui Kirchoff aplicatǎ circuitului format din bobinǎ şi sursa de tensiune ne dǎ L ẋ + R x = sin 3t, x(t) fiind intensitatea curentului. Ţinând seama de datele numerice rezultǎ ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul întâi ẋ + 2x = sin 3t. Conform celor arǎtate obţinem cǎ intensitatea curentului este: x(t) = 3 13 e 2t + 2 13 sin 3t 3 cos 3t. 13 (S-a considerat cǎ la momentul iniţial intensitatea curentului în circuit este zero).

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi 23 Concluzii 1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = A(t)x + B(t) (numite ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi) în care A, B sunt funcţii reale continue definite pe un interval real I IR 1. 2. Oricare ar fi soluţia x = x(t) a ecuaţiei şi oricare ar fi t I existǎ o constantǎ realǎ C astfel încât sǎ avem x(t) = C e t t A(τ)dτ + t t e t τ A(s)ds B(τ)dτ, ( )t I. 3. Oricare ar fi t 0 (a, b) şi x 0 IR 1 existǎ o singurǎ funcţie x = x(t) definitǎ pe I care este soluţia problemei cu date iniţiale ẋ = A(t)x + B(t), x(t 0 ) = x 0 şi aceastǎ funcţie este datǎ de formula: Exerciţii t t t x(t) = x 0 e A(τ)dτ 0 + e t τ A(s)ds B(τ)dτ. t 0 1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale (cu calculatorul): a) ẋ = 1 x 1 R: x(t) = t ( ln t + C) t b) ẋ= 2 t 2 1 x+2t+2 R: x(t) = ( t2 + 2t + C) (t + 1) 2 1 t 2 c) ẋ= 2 4t x+ t 2 1 1 t 2 ( R: x(t)= 4 ln(t+1)+ 4 ) (t+1)2 t+1 +C 1 t 2 d) ẋ = x t 2 R: x(t) = t 2 + 2t + 2e t C

24 CAPITOLUL 1 2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme cu date iniţiale şi sǎ se reprezinte grafic soluţiile lor (cu calculatorul): a) ẋ= 2tx + t 3, t 0 =0, x 0 = e 1 2 b) ẋ= 1 t x ln t, t 0=1, x 0 =1 R: x(t)= R: x(t)= 1 2 t2 1 2 +1 2 e t2 +1 ( 1 ) 2 ln2 t+1 t c) ẋ= x + 2e t, t 0 =0, x 0 =2 R: x(t)=e t + e t d) ẋ= ax+be p t, t 0 =0, x 0 =1 R: x(t)= ( be (p+a)t b+p+a ) e at a+p

Ecuaţia diferenţialǎ a lui Bernoulli 25 1.7 Ecuaţia diferenţialǎ a lui Bernoulli Ecuaţia diferenţialǎ a lui Bernoulli are forma ẋ = A(t) x + B(t) x α (1.48) în care funcţiile A şi B sunt funcţii reale continue A, B : (a, b) IR 1 şi se considerǎ cunoscute, α este un numǎr real diferit de 0 şi 1 cunoscut, iar funcţia necunoscutǎ x(t) este pozitivǎ. Pentru a determina soluţiile x (pozitive) ale ecuaţiei (1.48) se introduce o nouǎ funcţie necunoscutǎ y = x 1 α. Aceasta verificǎ ecuaţia: dy dt = (1 α) A(t) y + (1 α) B(t). (1.49) Ecuaţia (1.49) este o ecuaţie liniarǎ de ordinul întâi şi soluţiile ei sunt date de formula: y(t) = C e (1 α) t t A(τ)dτ + (1.50) ( t ) + (1 α) B(u) e (1 α) u t A(τ)dτ du e (1 α) t t A(τ)dτ. t Soluţiile pozitive x(t) ale ecuaţiei (1.48) se determinǎ din y(t) cu formula x(t) = y(t) 1 1 α şi în general sunt definite pe (a, b). Pentru t 0 (a, b) şi x 0 > 0 ecuaţia (1.48) are o soluţie care verificǎ x(t 0 ) = x 0 şi este datǎ de formula unde: y(t; t 0, y 0 ) = y 0 e (1 α) t t A(τ)dτ + (1 α) şi y 0 = x 1 α 0. x(t; t 0, x 0 ) = y 1 1 α (t; t0, x 0 ) (1.51) t B(u) e (1 α) t u A(τ)dτ du (1.52) t 0 Observaţia 1.7.1 Ecuaţia Bernoulli apare în studiul mişcǎrii corpurilor în medii care opun o rezistenţǎ la mişcare de forma R = k 1 v + k 2 v α, v fiind viteza corpului.

26 CAPITOLUL 1 Problema 1.7.1 Sǎ se determine curba r = r(u) ştiind cǎ aria sectoarelor limitate de curbǎ, raza vectoare a punctului P 0 (r 0, u 0 ) şi raza vectoare a punctului P(r, u) este proporţionalǎ cu produsul r u, coeficientul de proporţionalitate fiind a. Rezolvare: Conform enunţului avem: 1 2 din care prin derivare obţinem: care este o ecuaţie Bernoulli. Concluzii u u 0 r 2 du = a r u r 2 = 2a (ṙ u + r) 1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = A(t) x + B(t) x α, (α IR 1, α 0, 1) (numitǎ ecuaţia diferenţialǎ a lui Bernoulli) în care A, B sunt funcţii reale continue definite pe un interval I IR 1. 2. O funcţie pozitivǎ x = x(t) este soluţie a ecuaţiei Bernoulli dacǎ şi numai dacǎ funcţia y(t) = [x(t)] 1 α este soluţie a ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul întâi ẏ = (1 α) A(t) y + (1 α) B(t). 3. Determinarea soluţiilor pozitive ale ecuaţiei Bernoulli se reduce la rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi.

Ecuaţia diferenţialǎ a lui Bernoulli 27 Exerciţii 1. Sǎ se determine soluţiile pozitive ale ecuaţiilor: a) ẋ = 1 t x + 1 t 2x2 R: x(t) = b) ẋ = 4 t x + tx1/2 R: 2t 1 + 2t 2 C x(t) = ( 1 2 ln t + C ) t 2 = 0 c) ẋ = 1 t x + 1 tx2 R: x(t) = (t C) t d) ẋ = 1 t x 2tx2 R: x(t) = 3t 2t 3 + 3C 2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy: a) ẋ= 1 t x+tx2, t 0 =1, x 0 =1 R: x(t) = 1 t(t 2) b) ẋ= 1 t x 2tx2, t 0 =1, x 0 =1 R: x(t)= 3t 2t 3 + 1 c) ẋ= 2 t x+ 1 2t 2x2, t 0 =1, x 0 =1 R: x(t)= 2t2 3 t

28 CAPITOLUL 1 1.8 Ecuaţia diferenţialǎ a lui Riccati Ecuaţia diferenţialǎ a lui Riccati are forma ẋ = A(t) x 2 + B(t) x + C(t) (1.53) în care A, B, C sunt funcţii reale A, B, C : (a, b) IR 1 continue (A(t) 0, C(t) 0) considerate cunoscute. Propoziţia 1.8.1 Dacǎ x 1 (t) este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (1.53) şi x(t) este o soluţie oarecare a aceleiaşi ecuaţii, atunci funcţia y(t) = x(t) x 1 (t) este o soluţie a ecuaţiei Bernoulli ẏ = A(t) y 2 + (2A(t) x 1 + B(t)) y. (1.54) Demonstraţie: Se verificǎ prin calcul. Propoziţia precedentǎ reduce determinarea soluţiilor ecuaţiei Riccati la determinarea soluţiilor unei ecuaţii Bernoulli. Trebuie subliniat cǎ aceastǎ reducere se face în ipoteza cǎ se cunoaşte o soluţie x 1 (t) a ecuaţiei Riccati. În general dacǎ nu se cunoaşte o soluţie pentru ecuaţia lui Riccati, determinarea soluţiilor acestei ecuaţii nu se poate face cu metode elementare. Observaţia 1.8.1 Prin schimbarea de funcţie y(t) = x(t) x 1 (t) rezolvarea ecuaţiei lui Riccati (1.53) se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de tip Bernoulli care, conform cu 1.7 se reduce la o ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi liniarǎ. Observaţia 1.8.2 Rezolvarea ecuaţiei lui Riccati se poate reduce direct la rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniarǎ cu necunoscuta z(t) dacǎ se face schimbarea de funcţie x(t) = 1 z(t) + x 1(t).

Ecuaţia diferenţialǎ a lui Riccati 29 Exerciţii 1. Sǎ se determine soluţiile urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale Riccati: a) ẋ= sin t x 2 +2 sin t cos 2 t, x 1(t)= 1 cost R: x(t)= 1 cos t + 6 cos2t+6 cos 3t 3 cost+12 C c) ẋ = x 2 a t x a t 2, x 1(t) = a t R: x(t)= a t + a+1 t+t a (a+1) C 2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy: a) ẋ = 1 t(2t 1) x2 + 4t+1 t(2t 1) x 4t t(2t 1), x 1(t)=1, t 0 =2, x 0 =1 R: x(t)= t(2t 1) 5 t b) ẋ = x 2 + 4 t x 4 t 2, x 1(t)= 1 t,t 0=1, x 0 =0 R: x(t) = + 1 3 t(t+2) + 1 t

30 CAPITOLUL 1 1.9 Ecuaţii cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant O ecuaţie diferenţialǎ de forma: P(t, x) ẋ = Q(t, x) (1.55) este cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ dacǎ existǎ o funcţie U de clasǎ C 1 cu proprietatea: du = P dt + Q dx. (1.56) Acesta înseamnǎ cǎ existǎ o funcţie U de clasǎ C 1 a cǎrei diferenţialǎ este egalǎ cu P dt + Q dx. Altfel spus, P = U U şi Q = t x. Propoziţia 1.9.1 Dacǎ ecuaţia diferenţialǎ (1.55) este cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ şi o funcţie realǎ U = U(t, x) de clasǎ C 1 are proprietatea (1.56), atunci pentru orice soluţie x=x(t) a ecuaţiei (1.55) U(t, x(t)) = const. Demonstraţie: Pentru a demonstra cǎ funcţia U(t, x(t)) nu depinde de t, se deriveazǎ în raport cu t şi se obţine: d U U(t, x(t)) = dt t + U dx ( ) P(t, x) = P(t, x(t))+q(t, x(t)) = x dt Q(t, x) = P(t, x(t)) P(t, x(t)) = 0 Aceastǎ propoziţie aratǎ cǎ o soluţie x(t) a ecuaţiei cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ este o soluţie a ecuaţiei implicite: U(t, x) = C (1.57) în care C este o constantǎ realǎ. Este uşor de verificat cǎ şi afirmaţia reciprocǎ este adevǎratǎ: o soluţie x = x(t) a ecuaţiei implicite (1.57) este o soluţie a ecuaţiei cu diferenţialǎ totalǎ (1.55). Astfel, determinarea soluţiilor ecuaţiei cu diferenţialǎ totalǎ (1.55) se reduce la determinarea soluţiilor ecuaţiei implicite (1.57). Acest rezultat conduce în mod natural la urmǎtoarele douǎ probleme:

Ecuaţii cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant 31 1. Cum ne dǎm seama cǎ ecuaţia (1.55) este cu diferenţialǎ totalǎ? 2. Cum se determinǎ o funcţie U = U(t, x) a cǎrei diferenţialǎ este egalǎ cu P dt + Q dx? Un rǎspuns la aceste întrebǎri este dat de urmǎtoarea propoziţie. Propoziţia 1.9.2 Dacǎ funcţiile P şi Q sunt de clasǎ C 1 pe un domeniu Ω şi P x = Q t, atunci pentru orice (t 0, x 0 ) Ω existǎ un r > 0 şi o funcţie realǎ U = U(t, x) definitǎ pe discul centrat în (t 0, x 0 ) şi de razǎ r astfel încât sǎ aibe loc relaţia (1.56). Demonstraţie: Pentru un punct (t 0, x 0 ) Ω se considerǎ r > 0 astfel ca discul centrat în (t 0, x 0 ) şi de razǎ r > 0 sǎ fie inclus în Ω. Pornind de la faptul cǎ pe disc trebuie sǎ avem U t = P deducem cǎ U(t, x) = P(τ, x)dτ+ψ(x) t t 0 unde Ψ este o funcţie de clasǎ C 1 necunoscutǎ. Impunând condiţia U x = Q obţinem egalitatea: t t 0 P x (τ, x) dτ + Ψ (x) = Q(t, x). Ţinând seamǎ acum de egalitatea P x = Q t t deducem cǎ: t 0 Q t (τ, x) dτ + Ψ (x) = Q(t, x). Efectuând integrarea se obţine egalitatea: din care rezultǎ: Q(t, x) Q(t 0, x) + Ψ (x) = Q(t, x) Ψ (x) = Q(t 0, x). Prin urmare funcţia Ψ(x) este datǎ de formula: Ψ(x) = x x 0 Q(t 0, y) dy + C (1.58)

32 CAPITOLUL 1 în care C este o constantǎ realǎ. Revenind la funcţia U(t, x) obţinem cǎ aceasta este datǎ de formula: U(t, x) = t t 0 P(τ, x) dτ + x x 0 Q(t 0, y) dy + C. (1.59) Formula aceasta defineşte o mulţime de funcţii U(t, x) care au proprietatea exprimatǎ prin relaţia (1.56). Comentariu: Propoziţia aratǎ cǎ egalitatea P x = Q este o condiţie t suficientǎ pentru ca sǎ existe în vecinǎtatea oricǎrui punct (t 0, x 0 ) Ω o funcţie U(t, x) de clasǎ C 2 astfel ca du = P dt + Q dx. Menţionǎm cǎ şi reciproca acestei afirmaţii este adevǎratǎ. Mai precis este adevǎratǎ urmǎtoarea afirmaţie: dacǎ existǎ r > 0 şi o funcţie U(t, x) de clasǎ C 2 pe discul centrat în (t 0, x 0 ) şi razǎ r astfel ca du = P dt + Q dx pentru orice (t, x) din acest disc, atunci funcţiile P şi Q sunt de clasǎ C 1 şi P x = Q pentru orice (t, x) din disc. Acest rezultat se obţine folosind t posibilitatea inversǎrii ordinii de derivare, stabilit de Schwartz. Observaţia 1.9.1 Dacǎ funcţiile P şi Q sunt de clasǎ C 1 pe Ω IR 2 dar P x Q atunci ecuaţia (1.55) nu este o ecuaţie cu diferenţialǎ totalǎ t exactǎ şi metoda prezentatǎ nu poate fi utilizatǎ pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei. În acest caz este util sǎ observǎm cǎ ecuaţia (1.55) are aceleaşi soluţii ca şi ecuaţia P(t, x) µ(t, x) ẋ = (1.60) Q(t, x) µ(t, x) în care µ(t, x) este o funcţie de clasǎ C 1 care nu se anuleazǎ. Datoritǎ acestui fapt apare natural sǎ încercǎm sǎ determinǎm funcţia µ(t, x) astfel ca ecuaţia (1.60) sǎ fie cu diferenţialǎ totalǎ. Impunând aceastǎ condiţie rezultǎ cǎ funcţia µ(t, x) trebuie sǎ verifice relaţia: P x µ + P µ x = Q t µ + Q µ t. (1.61) O funcţie care verificǎ (1.61) se numeşte factor integrant, iar relaţia de dependenţǎ funcţionalǎ (1.61) se numeşte ecuaţia factorului integrant.

Ecuaţii cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant 33 Exerciţii 1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuaţii cu diferenţiale totale: a) ẋ = 4tx xetx te tx 2t 2 R: 2t 2 x(t) + e t x(t) = C b) ẋ= tm +2tx 2 + 1 t x n +2t 2 x+ 1 x R: t m+1 +x(t)n+1 m+1 n+1 +t2 x(t) 2 +ln(t x(t))=c 2tx 2x3 c) ẋ = t 2 6tx 2 R: t 2 x(t) 4t x(t) 3 = C 2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy: a) ẋ = t + x t x, t 0 = 0, x 0 = 1 R: x(t) = t + 2t 2 + 1 b) ẋ = t2 x 2, t 0 = 1, x 0 = 1 R: x(t) = 3 t 3 + 2 3. Sǎ se rezolve ecuaţiile diferenţiale ştiind cǎ ele admit factor integrant µ = µ(t): t sin x + x cosx a) ẋ = t cos x x sin x R: µ(t) = et e t [(t 1) sin x(t) + x(t) cosx(t)]=c b) ẋ = 1 t2 x t 2 (x t) R: µ(t) = 1 t 2 x(t) 2 t x(t) 1 2 t = C

34 CAPITOLUL 1 4. Sǎ se rezolve ecuaţiile diferenţiale ştiind cǎ ele admit factor integrant µ = µ(x): x(1 t x) a) ẋ = t R: µ(x) = 1 x 2 t x(t) t2 2 = C 2t x b) ẋ = 3x 2 t 2 + 3 R: µ(x) = 1 x 2 t 2 x(t) + 3x(t) = C

Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul întâi 35 1.10 Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale de ordinul întâi Foarte multe dintre modelele matematice ale unor fenomene din realitate conţin cel puţin o ecuaţie diferenţialǎ. Toate softurile comerciale de matematicǎ (Maple, Mathematica, Mathcad) oferǎ posibiltatea sǎ rezolvǎm numeric aceste probleme. Exemplele de rezolvare numericǎ care sunt în acest curs vor fi prezentate în programul Maple 9, versiune care acoperǎ toate celelate versiuni de Maple în momentul de faţǎ. Pentru rezolvarea numericǎ a ecuaţiilor diferenţiale cu programul Maple se foloseşte funcţia dsolve (solve ordinary differential equations - ODEs) cu una din urmǎtoarele sintaxe : dsolve(ode); dsolve(ode, x(t), extra.args); dsolve({ode, ICs}, x(t), extra.args); în care: ODE x(t) ICs extra.args - ecuaţia diferenţialǎ ordinarǎ pe care dorim sǎ o rezolvǎm - funcţia necunoscutǎ pe care dorim sǎ o determinǎm - condiţiile iniţiale - argumente opţionale care se folosesc pentru schimbarea formei de afişare a soluţiei (explicitǎ, implicitǎ, parametricǎ), a metodei de rezolvare a ecuaţiei (separarea variabilelor, Bernoulli, Riccati, etc.). Pentru exemplificare, considerǎm ecuaţia diferenţialǎ de ordinul întâi: ẋ = t (1 x); t R { 1}, x R {1}. (1.62) 1 + t Aceastǎ ecuaţie este cu variabile separate (caz particular de ecuaţie liniarǎ). Prin utilizarea sintaxei dsolve(ode) se obţine mulţimea soluţiilor ecuaţiei date (ecuaţia familiei de curbe integrale scrisǎ sub formǎ explicitǎ):

36 CAPITOLUL 1 > dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t))); ( ) e x (t) = t + C1 (e t + e t t). 1+t Dacǎ dorim ca soluţiile sǎ fie afişate sub formǎ parametricǎ, atunci se foloseşte argumentul opţional parametric şi obţinem: > dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t), parametric ); x (t) = 1 e t C1 e t t C1. Se mai poate utiliza ca argument opţional metoda de rezolvare a ecuaţiei. Dacǎ dorim sǎ se rezolve ecuaţia diferenţialǎ ca o ecuaţie liniarǎ, atunci se foloseşte argumentul opţional [linear] şi obţinem: > dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),[linear]); ( ) e x (t) = t + C1 (e t + e t t), 1+t iar dacǎ dorim sǎ se rezolve ecuaţia diferenţialǎ ca fiind o ecuaţie cu variabile separate, atunci folosim argumentul opţional [separable] şi obţinem: > dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),[separable]); x (t) = ( C1 et 1 t)e t C1. Nespecificând metoda de rezolvare Maple va alege una dintre ele. Deoarece în secvenţele de mai sus nu s-a dat nici o condiţie iniţialǎ, Maple a afişat rǎspunsul cu ajutorul unei constante necunoscute. Dacǎ specificǎm şi condiţia iniţialǎ atunci calculatorul va rezolva o problemǎ cu condiţii iniţiale (Problemǎ Cauchy) şi va afişa soluţia acesteia. Pentru ecuaţia diferenţialǎ (1.62) vom considera douǎ Probleme Cauchy deoarece domeniul de definiţie al membrului drept este reuniunea (, 1) IR 1 ( 1, + ) IR 1. Dacǎ considerǎm t > 1 şi condiţia iniţialǎ x(2) = 4, atunci se obţine soluţia: > dsolve({diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(2)=4},x(t)); ( ) e x (t) = t 1/3 e 2 e 2 4 (e t + e t t), 1+t e 2 iar dacǎ considerǎm t < 1 şi condiţia iniţialǎ x( 2) = 0, atunci se obţine soluţia: > dsolve({diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(-2)=0},x(t));

Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul întâi 37 ( ) e x (t) = t + 1+t e 2 (e t + e t t). Pentru reprezentarea graficǎ a soluţiei unei probleme cu date iniţiale, programul Maple foloseşte funcţia plot (create a two-dimensional plot of functions). Utilizarea acesteia implicǎ urmǎtoarea sintaxǎ: plot(f,h,v); în care: f h v - funcţia care trebuie reprezentatǎ grafic; - domeniul de definiţie al funcţiei pe axa orizontalǎ; - (opţional) domeniul de variaţie al funcţiei pe axa verticalǎ. Soluţia Problemei Cauchy a ecuaţiei (1.62) corespunzǎtoare condiţiei iniţiale x(2) = 4 este reprezentatǎ pe Figura 2. > f1:=(exp(t)/(1+t)-1/3*(exp(-2)*exp(2)-4)/exp(-2))* (exp(-t)+exp(-t)*t): > plot(f1,t=-1..infinity); Figura 2 iar soluţia Problemei Cauchy corespunzǎtoare condiţiei iniţiale x( 2) = 0 este reprezentatǎ pe Figura 3.

38 CAPITOLUL 1 Figura 3 Dupǎ cum se poate observa din instrucţiunile de mai sus s-a atribuit variabilei f 1 funcţia soluţie a Problemei Cauchy şi apoi am folosit în instrucţiunea plot. În general, este recomandabil sǎ se atribuie unor expresii matematice variabile, deoarece aceasta simplificǎ scrierea. În cele ce urmeazǎ, continuǎm exemplificarea rezolvând trei probleme cu date iniţiale şi, în fiecare caz, vom reprezenta grafic soluţia: 1. Ecuaţia liniarǎ ẋ = x + 2e t (1.63) > dsolve(diff(x(t),t)=-x(t)+2*exp(t),x(t),[linear]); x (t) = e t + e t C1 > dsolve({diff(x(t),t)=-x(t)+2*exp(t),x(0)=2},x(t), [linear]); x (t) = e t + e t > plot(exp(t)+exp(-t),t=-2..2);

Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul întâi 39 Figura 4 sau > plot(exp(t)+exp(-t),t=-2..2,color=black,style=point, axes=boxed); Figura 5 în care am folosit diferite comenzi opţionale referitoare la modalitatea de afişare a graficului. 2. Ecuaţia de tip Riccati ẋ = x 2 + 4 t x 4 t2, t > 0 (1.64)

40 CAPITOLUL 1 > eq:=diff(x(t),t)=-x(t)^2+(4/t)*x(t)-4/t^2; eq := d x (t) = (x dt (t))2 + 4 x(t) 4 t 2 t > dsolve(eq, explicit,[riccati]); x (t) = ( C1 1/3 t 3 ) 1 t 4 + 4 t 1 > dsolve(eq,[riccati]); x (t) = ( C1 1/3 t 3 ) 1 t 4 + 4 t 1 > dsolve({eq,x(1)=2},x(t)); x (t) = 4 t3 +2 (2+t 3 )t > dsolve({eq,x(1)=2},x(t),[riccati]); x (t) = ( 1/6 1/3 t 3 ) 1 t 4 + 4 t 1 > sol1:=(4*t^3+2)/((2+t^3)*t): > sol2:=1/((-1/6-1/3/t^3)*t^4)+4/t: > plot([sol1,sol2],t=0..90,x=0..3,color=[red,blue], style=[point,line]); Figura 6

Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul întâi 41 În secvenţele de mai sus observǎm cǎ, argumentul opţional în care cerem sǎ se afişeze soluţia sub formǎ explicitǎ este inutil, deoarece acest lucru este fǎcut automat de dsolve. Deasemenea, dacǎ folosim argumentul opţional [Riccati] soluţia ecuaţiei diferǎ doar aparent (cele douǎ soluţii afişate coincid dupǎ cum se poate observa din Figura 6 unde am reprezentat simultan ambele forme ale soluţiei în acelaşi sistem de coordonate). 3. Ecuaţia cu factor integrant ẋ = 2 t x 3x 2 t 2 + 3, 3x2 t 2 + 3 0 (1.65) > dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3), explicit ); x (t) = 1/6 C1 ± 1/6 C1 2 12 t 2 + 36 > dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3), implicit ); t 2 x(t) + 3 x (t) 3 (x (t)) 1 + C1 = 0 > dsolve({diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),x(0)=1}); x (t) = 1/6 36 12 t 2 > plot(1/6*(36-12*t^2)^(1/2), t=-1..1); Figura 7

42 CAPITOLUL 1 Ecuaţia cu factor integrant a fost rezolvatǎ de Maple fǎrǎ specificarea factorului integrant µ = µ(t, x) iar soluţia a fost afişatǎ sub formǎ explicitǎ în primul caz, respectiv sub formǎ implicitǎ în al doilea caz. În Figura 7 este reprezentatǎ soluţia Problemei Cauchy corespunzǎtoare.

Capitolul 2 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior rezolvabile prin metode elementare Definiţia 2.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul n 2 este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ,..., x (n) ) = 0 (2.1) între funcţia identicǎ t t definitǎ pe un interval I IR 1 necunoscut, o funcţie necunoscutǎ x(t) şi derivatele ei ẋ, ẍ,..., x (n) pânǎ la ordinul n definite pe acelaşi interval. În ecuaţia (2.1) funcţia g se considerǎ cunoscutǎ şi rezolvarea ecuaţiei înseamnǎ determinarea funcţiilor necunoscute x care verificǎ ecuaţia. Definiţia 2.0.2 O funcţie realǎ x de clasǎ C n definitǎ pe un interval deschis I IR 1 se numeşte soluţie a ecuaţiei (2.1) dacǎ pentru orice t I, sistemul ordonat (t, x(t), ẋ(t),..., x (n) (t)) aparţine domeniului de definiţie a lui g şi g(t, x(t), ẋ(t),..., x (n) (t)) = 0 (2.2) Vom prezenta câteva cazuri de asemenea ecuaţii care se rezolvǎ cu metode elementare şi probleme concrete din diferite domenii care au condus la asemenea ecuaţii. 43

44 CAPITOLUL 2 2.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi Problema 2.1.1 Sǎ se determine variaţia curentului într-un circuit format dintr-o rezintenţǎ R, o bobinǎ cu inductanţǎ L şi un condensator de capacitate C legaţi în serie şi conectaţi la o sursǎ de curent alternativ de tensiune electromotoare E = E 0 cos ωt Rezolvare: Fie i(t) intensitatea curentului din circuit la momentul t. Cǎderile de tensiune pe elementele circuitului sunt: u R = R i; u L = L di dt ; u C = 1 i(t)dt; C conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, suma cǎderilor de tensiune pe bobinǎ, rezistenţǎ şi condensator este egalǎ în orice moment cu tensiunea electromotoare a generatorului. Prin urmare avem: L di dt + R i + 1 i(t)dt = E 0 cosωt, C iar prin derivare se obţine cǎ intensitatea a curentului verificǎ egalitatea: L d2 i dt 2 + R di dt + 1 C i = E 0 ω sin ωt. Prin urmare avem de determinat o funcţie i(t) care împreunǎ cu derivatele ei de ordinul întâi şi doi verificǎ relaţia de dependenţǎ funcţionalǎ ( ). În ( ) cu excepţia funcţiei i totul este cunoscut. Pentru a determina funcţia necunoscutǎ i(t) vom arǎta în continuare cum se rezolvǎ o ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi. O ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi este o ecuaţie diferenţialǎ de forma: ( ) a 2 ẍ + a 1 ẋ + a 0 x = f(t) (2.3) în care a 0, a 1, a 2 sunt constante reale cunoscute, a 2 0, f(t) funcţie continuǎ cunoscutǎ şi x este o funcţie realǎ de clasǎ C 2 necunoscutǎ.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi 45 Observaţia 2.1.1 Dacǎ f = 0 atunci ecuaţia (2.3) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul doi cu coeficienţi constanţi omogenǎ, iar dacǎ f 0 ecuaţia (2.3) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul doi cu coeficienţi constanţi neomogenǎ. Vom determina mai întâi soluţiile ecuaţiei omogene urmând apoi sǎ determinǎm şi soluţiile ecuaţiei neomogene. Fie ecuaţia omogenǎ ataşatǎ ecuaţiei (2.3): a 2 ẍ + a 1 ẋ + a 0 x = 0 (2.4) Dacǎ a 2 = 0 atunci ecuaţia (2.4) este o ecuaţie liniarǎ de ordinul întâi: şi soluţiile ei sunt date de formula a 1 ẋ + a 0 x = 0 x(t) = Ce a 0 a 1 t în care C este o constantǎ realǎ oarecare. Observǎm cǎ raportul a 0 din a 1 exponent, este soluţia ecuaţiei algebrice a 1 λ+a 0 = 0, iar la formula soluţiei x(t) = Ce a 0 a t 1 se poate ajunge nu numai pe calea descrisǎ în Capitolul 1 6 ci şi cǎutând soluţii de forma x(t) = Ce λt. Aceasta este ideea pe care o vom folosi pentru a determina soluţiile ecuaţiei (2.4). Impunând unei funcţii de forma x(t) = Ce λt sǎ verifice ecuaţia (2.4) rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuaţia de gradul al doilea: a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 x = 0. (2.5) Dacǎ rǎdǎcinile λ 1 şi λ 2 ale ecuaţiei (2.5) sunt reale şi distincte, atunci funcţiile x 1 (t) = C 1 e λ 1t şi x 2 (t) = C 2 e λ 2t sunt soluţii ale ecuaţiei (2.4) şi funcţia x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t este de asemenea soluţie a ecuaţiei (2.4). Mai mult, pentru orice t 0, x 0 0, x 1 0 IR 1 putem determina în mod unic constantele C 1 şi C 2 astfel încât sǎ aibǎ loc x(t 0 ) = x 0 0 şi ẋ(t 0 ) = x 1 0. (2.6)

46 CAPITOLUL 2 În adevǎr, impunând condiţiile (2.6) funcţiei x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t, obţinem urmǎtorul sistem de ecuaţii algebrice: x 0 0 = C 1 e λ 1t 0 + C 2 e λ 2t 0 x 1 0 = C 1 e λ 1t 0 + C 2 e λ 2t 0 în care necunoscutele sunt C 1 şi C 2. Determinantul acestui sistem este e (λ 1+λ 2 )t0 (λ 2 λ 1 ) şi este nenul (λ 1 λ 2 ), fapt pentru care sistemul are o soluţie unicǎ. În particular rezultǎ de aici cǎ formula: x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t (2.7) reprezintǎ toate soluţiile ecuaţiei (2.4) în cazul în care ecuaţia (2.5) are rǎdǎcini reale distincte. Dacǎ ecuaţia (2.5) are rǎdǎcinile confundate λ 1 = λ 2 = λ atunci pe lângǎ funcţia x 1 (t) = C 1 e λt şi funcţia x 2 (t) = C 2 t e λt este soluţie a ecuaţiei (2.4). Prin urmare orice funcţia x(t) de forma adicǎ x(t) = C 1 e λt + C 2 t e λt x(t) = e λt (C 1 + C 2 t) (2.8) este soluţie a ecuaţiei (2.4). Mai mult, pentru orice t 0, x 0 0, x1 0 IR1 putem determina în mod unic constantele C 1 şi C 2 astfel încât sǎ aibe loc x(t 0 ) = x 0 0 şi ẋ(t 0 ) = x 1 0. În adevǎr, impunând aceste condiţii funcţiei datǎ de (2.8) rezultǎ urmǎtorul sistem de ecuaţii algebrice: x 0 0 = e λt 0 (C 1 + C 2 t 0 ) x 1 0 = λe λt0 C 1 + C 2 e λt 0 + e λt0 t 0 λ C 2 al cǎrui determinant este e 2λt0 0. În particular rezultǎ de aici cǎ, formula (2.8) reprezintǎ toate soluţiile ecuaţiei (2.4) în cazul în care ecuaţia (2.5) are rǎdǎcinile confundate. Rǎmâne sǎ considerǎm cazul în care ecuaţia (2.5) are rǎdǎcinile complex conjugate λ 1 = µ + iν şi λ 2 = µ iν. În acest caz considerǎm funcţiile x 1 (t) = C 1 e µt cos νt şi x 2 (t) = C 2 e µt sin νt

Ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi 47 (C 1, C 2 constante reale) şi arǎtǎm cǎ fiecare din acestea este soluţie a ecuaţiei (2.4). Demonstraţia se face prin verificare. Pentru exemplificare facem acest calcul în cazul funcţiei x 1 (t): ẋ 1 (t) = C 1 µ e µt cosνt C 1 ν e µt sin νt ẍ 1 (t) = C 1 µ 2 e µt cosνt 2C 1 µν e µt sin νt C 1 ν 2 e µt cos νt şi înlocuind în ecuaţia (2.5) avem: a 2 ẍ 1 + a 1 ẋ 1 + a 0 x 1 = C 1 e µt cosνt [ (µ 2 ν 2 )a 2 + µa 1 + a 0 ] + + C 1 e µt sin νt [ 2µνa 2 νa 1 ]. avem Deoarece a 2 (µ + iν) 2 + a 1 (µ + iν) + a 0 = 0 (µ 2 ν 2 )a 2 + µa 1 + a 0 + i [2µνa 2 + νa 1 ] = 0 şi prin urmare: (µ 2 ν 2 )a 2 + µa 1 + a 0 = 0 şi 2µνa 2 + νa 1 = 0. Ţinând seama de aceste egalitǎţi deducem egalitatea a 2 ẍ 1 + a 1 ẋ 1 + a 0 x 1 = 0 care aratǎ cǎ funcţia x 1 (t) = C 1 e µt cosνt este soluţie a ecuaţiei diferenţiale (2.4). La fel se aratǎ cǎ funcţia x 2 (t) = C 2 e µt sin νt este soluţie a ecuaţiei diferenţiale (2.4). Astfel, rezultǎ cǎ orice funcţie x(t) = C 1 e µt cos νt + C 2 e µt sin νt (2.9) este soluţie a ecuaţiei (2.4). Arǎtǎm în continuare cǎ pentru orice t 0, x 0 0, x 1 0 IR 1 putem determina constantele C 1 şi C 2 în mod unic astfel încât sǎ aibe loc x(t 0 ) = x 0 0 şi ẋ(t 0) = x 1 0.

48 CAPITOLUL 2 Impunând aceste condiţii funcţiei (2.9) rezultǎ urmǎtorul sistem de ecuaţii algebrice: x 0 0 = e µt0 [C 1 cosνt 0 + C 2 sin νt 0 ] x 1 0 = e µt0 [C 1 (µ cosνt 0 ν sin νt 0 ) + C 2 (µ sin νt 0 + ν cosνt 0 )] având ca necunoscute constantele C 1, C 2. Determinantul acestui sistem algebric este ν e 2µt0 şi este diferit de zero. În particular, rezultǎ de aici cǎ formula (2.9) reprezintǎ toate soluţiile ecuaţiei (2.4) în cazul în care ecuaţia (2.5) are rǎdǎcinile complexe. Am ajuns în acest fel sǎ determinǎm toate soluţiile ecuaţiei (2.4). Aceasta însǎ nu permite încǎ sǎ rezolvǎm problema 2.1.1 pusǎ la începutul paragrafului, pentru cǎ aceasta conduce de fapt la ecuaţia (2.3), adicǎ: a 2 ẍ + a 1 ẋ + a 0 x = f(t) în care funcţia f este datǎ. Reamintim cǎ, deosebirea dintre ecuaţiile (2.4) şi (2.3) constǎ în faptul cǎ în membrul drept al ecuaţiei (2.3) este o funcţie continuǎ care nu neapǎrat este funcţia identic nulǎ, adicǎ este o ecuaţie diferenţialǎ de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi neomogenǎ. Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (2.3) este important sǎ observǎm la început cǎ, dacǎ x(t) este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (2.3) şi x(t) este o soluţie oarecare a aceleiaşi ecuaţii, atunci diferenţa x(t) = x(t) x(t) este o soluţie oarecare a ecuaţiei (2.4). Întrucât soluţiile x(t) ale ecuaţiei (2.4) sunt cunoscute, determinarea soluţiilor x(t) ale ecuaţiei (2.3) revine la determinarea unei singure soluţii x(t) ale acestei ecuaţii. O soluţie particularǎ x(t) pentru ecuaţia (2.3) se determinǎ cu metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange (un procedeu asemǎnǎtor cu cel descris în Cap 1 6). În continuare prezentǎm aceastǎ metodǎ în cazul în care ecuaţia algebricǎ (2.5) are rǎdǎcinile reale distincte λ 1, λ 2. În acest caz soluţiile ecuaţiei omogene (2.4) se scriu sub forma (2.7): x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi 49 Soluţia particularǎ x(t) a ecuaţiei neomogene (2.3) se cautǎ sub aceeaşi formǎ considerând însǎ C 1, C 2 funcţii de clasǎ C 1 de variabila t: x(t) = C 1 (t)e λ 1t + C 2 (t)e λ 2t (2.10) Pentru a impune funcţiei x(t) sǎ verifice ecuaţia (2.3) calculǎm derivata acesteia şi obţinem: ẋ(t) = Ċ1(t)e λ 1t + Ċ2(t)e λ 2t + C 1 (t)λ 1 e λ 1t + C 2 (t)λ 2 e λ 2t (2.11) În continuare ar trebui sǎ calculǎm derivata de ordinul al doilea ẍ prin derivare în raport cu t în expresia (2.11). Aceasta ar introduce derivatele de ordinul al doilea ale funcţiilor C 1 (t), C 2 (t) de existenţa cǎrora nu ne-am asigurat. De aceea impunem condiţia suplimentarǎ: Cu aceasta (2.11) devine: Ċ 1 (t)e λ 1t + Ċ2(t)e λ 2t = 0 (2.12) ẋ(t) = C 1 (t)λ 1 e λ 1t + C 2 (t)λ 2 e λ 2t (2.13) iar prin derivare obţinem: ẍ(t) = Ċ1(t)λ 1 e λ1t + Ċ2(t)λ 2 e λ2t + C 1 (t)λ 2 1 eλ 1t + C 2 (t)λ 2 2 eλ 2t. (2.14) Înlocuind (2.13) şi (2.14) în (2.3) rezultǎ: C 1 (t)(a 2 λ 2 1 + a 1 λ 1 + a 0 )e λ 1t + C 2 (t)(a 2 λ 2 2 + a 1 λ 2 + a 0 )e λ2t + + Ċ1(t)a 2 λ 1 e λ1t + Ċ2(t)a 2 λ 2 e λ2t = f(t) sau Ċ 1 (t)λ 1 e λ 1t + Ċ2(t)λ 2 e λ 2t = 1 a 2 f(t) (2.15) Astfel, sistemul de ecuaţii algebrice format din ecuaţiile (2.12) şi (2.15): Ċ 1 (t)e λ 1t + Ċ 2 (t)e λ 2t = 0 Ċ 1 (t)λ 1 e λ 1t + Ċ2(t)λ 2 e λ 2t = 1 a 2 f(t) (2.16)

50 CAPITOLUL 2 în care necunoscutele sunt Ċ1(t), Ċ2(t) (derivatele funcţiilor C 1 (t) şi C 2 (t)), are determinantul (λ 2 λ 1 )e (λ 1+λ 2 )t 0 şi permite determinarea funcţiilor Ċ 1 (t) şi Ċ 2 (t): 1 Ċ 1 (t) = a 2 (λ 2 λ 1 ) e (λ 1+λ 2 )t e λ 2t f(t) Ċ 2 (t) = 1 a 2 (λ 2 λ 1 ) e (λ 1+λ 2 )t e λ 1t f(t) Rezultǎ de aici cǎ funcţiile C 1 (t) şi C 2 (t) sunt date de: 1 C 1 (t) = a 2 (λ 2 λ 1 ) C 2 (t) = t t e λ 1τ f(τ)dτ 1 t e λ 2τ f(τ)dτ a 2 (λ 2 λ 1 ) t iar soluţia particularǎ a ecuaţiei neomogene (2.3) este: adicǎ: 1 x(t) = a 2 (λ 2 λ 1 ) eλ 1t t t e λ 1τ f(τ)dτ+ 1 t + a 2 (λ 2 λ 1 ) eλ 2t e λ 2τ f(τ)dτ. t Rezultǎ cǎ o soluţie oarecare a ecuaţiei (2.3) este datǎ de x(t) = x(t) + x(t) (2.17) (2.18) (2.19) x(t) = C 1 e λ1t + C 2 e λ2t 1 a 2 (λ 2 λ 1 ) eλ 1t e λ 1τ f(τ)dτ + t 1 t + a 2 (λ 2 λ 1 ) eλ 2t e λ 2τ f(τ)dτ (2.20) t Fǎcând un raţionament asemǎnǎtor în cazul în care ecuaţia algebricǎ (2.5) are rǎdǎcini reale egale λ 1 = λ 2 = λ, pentru ecuaţia (2.3) gǎsim soluţia particularǎ: x(t) = e λt [ 1 a 2 t t e λτ τ f(τ)dτ + t a 2 t ] e λτ f(τ)dτ t t

Ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi 51 şi soluţia generalǎ x(t) = e λ 1t (C 1 + C 2 t) + + e λt [ 1 a 2 t t e λτ τ f(τ)dτ + t a 2 ] e λτ f(τ)dτ t t (2.21) În cazul în care ecuaţia algebricǎ (2.5) are rǎdǎcinile complexe λ 1 = µ+iν şi λ 1 = µ iν, cu metoda variaţiei constantelor gǎsim soluţia particularǎ: şi soluţia generalǎ x(t) = 1 a 2 ν eµt cos νt + 1 a 2 ν eµt sin νt t t t e µτ sin ντ f(τ)dτ + t e µτ cosντ f(τ)dτ x(t) = C 1 e µt cosνt + C 2 e µt sin νt 1 t a 2 ν eµt cos νt e µτ sin ντ f(τ)dτ + t + 1 a 2 ν eµt sin νt t t e µt cosντ f(τ)dτ (2.22) În general pentru orice t 0, x 0 0, x 1 0 IR 1 putem determina constantele C 1 şi C 2 din formula de reprezentare a soluţiei x(t) a ecuaţiei neomogene ((2.20), (2.21), (2.22)) astfel încât sǎ avem x(t 0 ) = x 0 0 şi ẋ(t 0) = x 1 0. Folosind una din formulele (2.20), (2.21), (2.22), determinatǎ de natura rǎdǎcinilor ecuaţiei L λ 2 + R λ + 1 = 0, putem determina toate soluţiile C ecuaţiei ( ) din problema 2.1.1. Cunoscând valoarea i 0 a curentului la momentul t 0 şi valoarea variaţiei curentului i 1 0 la momentul t 0, se determinǎ constantele C 1 şi C 2 din formulele de reprezentare a soluţiei astfel încât soluţia oarecare i(t) a ecuaţiei sǎ verifice condiţiile iniţiale i(t 0 ) = i 0 şi i(t 0 ) = i 1 0. Exerciţii 1. Rezolvaţi urmǎtoarele probleme cu date iniţiale: a) ẍ x = 0 x(0) = 2, ẋ(0) = 0

52 CAPITOLUL 2 R: x(t) = e t + e t b) ẍ + 2ẋ + x = 0 x(0) = 0, ẋ(0) = 1 R: x(t) = t e t c) ẍ 4ẋ + 4x = 0 x(1) = 1, ẋ(1) = 0 R: x(t) = 3e 2t 2 2t e 2t 2 d) ẍ + x = 0 ( π ( π x = 1, ẋ = 0 2) 2) R: x(t) = sin t e) ẍ + ẋ + x = 0 x(0) = 0, ẋ(0) = 1 R: x(t) = 2 3 3 e 1 2 t sin 2. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale : a) ẍ + 3ẋ + 2x = 1 1 + e t ( ) 2 3t 3 R: x(t) = e t ln(1 + e t ) + e 2t ln(1 + e t ) e 2t C 1 + e t C 2 b) ẍ 6ẋ + 9x = 9t2 + 6t + 2 t 3 R: x(t) = e 3t C 1 + t e 3t C 2 + 1 t c) ẍ + x = et 2 + e t 2 R: x(t) = C 1 sin t + C 2 cost + 1 4 (e2t + 1) e t d) ẍ 3ẋ + 2x = 2e 2t R: x(t) = (2te t 2e t + C 1 e t + C 2 )e t e) ẍ 4ẋ + 4x = 1 + e t + e 2t

Ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi 53 R: x(t) = C 1 e 2t + C 2 t e 2t + 1 4 + 1 2 t2 e 2t + e t f) ẍ + x = sin t + cos 2t R: x(t) = C 1 sin t + C 2 cost 2 3 cost2 + 1 3 1 2 t cost g) ẍ 2(1 + m)ẋ + (m 2 + 2m)x = e t + e t, m IR 1 R: x(t) = C 1 e mt + C 2 e (m+2)t + ((m + 3)e2t + m 1) e t m 3 + 3m 2 m 3 h) ẍ 5ẋ + 6x = 6t 2 10t + 2 R: x(t) = C 1 e 3t + C 2 e 2t + t 2 i) ẍ 5ẋ = 5t 2 + 2t j) ẍ + x = te t R: x(t) = 1 3 t3 + 1 5 e5t C 1 + C 2 R: x(t) = C 1 sin t + C 2 cost + 1 ( 1 + t) et 2 k) ẍ x = te t + t + t 3 e t R: x(t) = C 1 e t + C 2 e t + 1 16 ( 4te2t + 2e 2t 16te t 2t 4 + +4t 2 e 2t 4t 3 6t 2 6t 3) e t l) ẍ 7ẋ + 6x = sin t R: x(t) = C 1 e t + C 2 e 6t + 7 74 cost + 5 74 sin t m) ẍ 4ẋ + 4x = sin t cos 2t R: x(t) = C 1 e 2t + C 2 te 2t 10 169 sin t cos t2 191 sin t+ 4225 + 24 169 cos t3 788 4225 cost

54 CAPITOLUL 2 n) ẍ + x = cos t cos 3t R: x(t) = C 1 sin t + C 2 cost + 1 2 t sin t + 1 2 cos t3 1 8 cost

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi 55 2.2 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi O ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi este o ecuaţie diferenţialǎ de forma a n x (n) + a n 1 x (n 1) +... + a 1 ẋ + a 0 x = f(t) (2.23) în care a 0, a 1,...,a n 1, a n sunt constante reale cunoscute, a n 0, f(t) funcţie cunoscutǎ continuǎ şi x este funcţie realǎ de clasǎ C n necunoscutǎ. Observaţia 2.2.1 Dacǎ f = 0, atunci ecuaţia (2.23) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi omogenǎ, iar dacǎ f 0 ecuaţia (2.23) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi neomogenǎ. Rezolvǎm mai întâi ecuaţia omogenǎ ataşatǎ ecuaţiei (2.23): a n x (n) + a n 1 x (n 1) +... + a 1 ẋ + a 0 x = 0 (2.24) Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (2.24) se cautǎ soluţii de forma x(t) = C e λt. Impunând unei asemenea funcţii sǎ verifice ecuaţia (2.24) rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuaţia algebricǎ a n λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 1 λ + a 0 = 0 (2.25) numitǎ ecuaţie caracteristicǎ. Dacǎ ecuaţia (2.25) are toate rǎdǎcinile reale şi distincte λ 1, λ 2,...λ n atunci funcţiile x i (t) = C i e λ it, i = 1, n sunt soluţii ale ecuaţiei (2.24) şi orice funcţie x(t) datǎ de: x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t +... + C n e λnt (2.26) este soluţie a ecuaţiei (2.24) (C 1, C 2,...,C n sunt constante reale oarecare). Mai mult, oricare ar fi t 0, x 0 0, x1 0,..., xn 1 0 IR 1 putem determina în mod unic constantele C 1, C 2,...,C n astfel încât sǎ aibǎ loc x(t 0 ) = x 0 0, ẋ(t 0) = x 1 0,..., x(n 1) (t 0 ) = x n 1 0. În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.26) reprezintǎ toate soluţiile ecuaţiei (2.24) în acest caz.

56 CAPITOLUL 2 Dacǎ printre rǎdǎcinile ecuaţiei caracteristice (2.25) existǎ şi rǎdǎcini complexe simple, de exemplu λ = µ+iν şi λ = µ iν, atunci fiecǎrei perechi de rǎdǎcini complex conjugate îi corespund soluţiile x 1 λ (t) = C1 λ eµt cosνt şi x 2 λ (t) = C2 λ eµt sin νt Pentru µ = 0 aceste soluţii devin: x 1 λ (t) = C1 λ cosνt şi x2 λ (t) = C2 λ sin νt Astfel, dacǎ ecuaţia caracteristicǎ are 2k rǎdǎcini complexe simple λ j = µ j +iν j şi λ j = µ j iν j, j = 1, k şi n 2k rǎdǎcini reale simple λ 2k+1,...,λ n, atunci orice funcţie x(t) datǎ de: x(t) = k k n Cj 1 e µ jt cosν j t + Cj 2 e µ jt sin ν j t + C j e λ jt j=1 j=1 j=2k+1 (2.27) este soluţie a ecuaţiei (2.24) (Cj 1, C2 j, j = 1, k şi C j, j = 2k + 1, n sunt constante reale oarecare). Mai mult, oricare ar fi t 0, x 0 0, x1 0,..., xn 1 0 IR 1 putem determina în mod unic constantele Cj 1, Cj 2, j = 1, k şi C j, j = 2k + 1, n astfel încât sǎ aibǎ loc x(t 0 ) = x 0 0, ẋ(t 0 ) = x 1 0,..., x (n 1) (t 0 ) = x n 1 0. În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.27) reprezintǎ toate soluţiile ecuaţiei (2.24) în acest caz. Dacǎ ecuaţia caracteristicǎ (2.25) are k rǎdǎcini reale λ 1,...,λ k având ordine de multiplicitate q 1,..., q k şi l rǎdǎcini complex conjugate µ 1 ±iν 1,...,µ l ± iν l având ordine de multiplicitate r 1,...,r l, atunci orice funcţie x(t) datǎ de formula: k l x(t) = e λ jt P qj 1(t) + e µ jt [Q rj 1(t) cosν j t + R rj 1(t) sin ν j t ] j=1 j=1 (2.28) este soluţie a ecuaţiei (2.24), unde P qj 1(t) sunt polinoame de grad q j 1 cu coeficineţi reali nedeterminaţi şi Q rj 1, R rj 1 sunt polinoame de grad r j 1 cu coeficienţi reali nedeterminaţi. Mai mult, oricare ar fi t 0, x 1 0, x2 0,..., xn 1 0 IR 1 putem determina în mod unic coeficienţii polinoamelor P qj 1, Q qj 1, R qj 1 astfel încât sǎ aibǎ loc x(t 0 ) = x 1 0, ẋ(t 0 ) = x 2 0,..., x (n 1) (t 0 ) = x n 1 0. În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.28) reprezintǎ toate soluţiile ecuaţiei (2.24) în acest caz.

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi 57 Reamintim cǎ obiectul acestui paragraf este rezolvarea ecuaţiei diferenţiale de ordinul n, cu coeficienţi constanţi neomogenǎ (2.23): a n x (n) + a n 1 x (n 1) +... + a 1 ẋ + a 0 x = f(t) în care a 0, a 1,..., a n 1, a n sunt constante reale date, a n 0, f funcţie cunoscutǎ continuǎ şi x este funcţie realǎ de clasǎ C n necunoscutǎ. Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (2.23) este important sǎ observǎm cǎ dacǎ x(t) este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (2.23) şi x(t) este o soluţie oarecare a aceleiaşi ecuaţii, atunci diferenţa x(t) x(t) = x(t) este o soluţie oarecare a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi constanţi, (2.24). Întrucât soluţiile x(t) ale ecuaţiei omogene (2.24) sunt date în general de (2.28), determinarea soluţiilor x(t) ale ecuaţiei (2.23) revine la determinarea unei singure soluţii x(t) ale acestei ecuaţii. O soluţie particularǎ x(t) pentru ecuaţia (2.23) se determinǎ cu metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange, un procedeu asemenǎtor cu cel descris în paragraful precedent. Vom ilustra acest procedeu pe un exemplu (n = 3): Exemplul 2.2.1 Sǎ se determine soluţiile ecuaţiei:... x + 4ẍ + 5ẋ = 4e t Considerǎm ecuaţia omogenǎ... x + 4ẍ + 5ẋ = 0 Ecuaţia caracteristicǎ asociatǎ este: ale cǎrei rǎdǎcini sunt: λ 3 + 4λ 2 + 5λ = 0 λ 0 = 0, λ 1 = 2 i, λ 2 = 2 + i. Soluţiile ecuaţiei omogene sunt date de: y(t) = C 1 + C 2 e 2t cost + C 3 e 2t sin t. Cǎutǎm x(t), o soluţie particularǎ pentru ecuaţia neomogenǎ, sub forma x(t) = C 1 (t) + C 2 (t) e 2t cost + C 3 (t) e 2t sin t

58 CAPITOLUL 2 în care C 1 (t), C 2 (t), C 3 (t) sunt funcţii de clasǎ C 1 care trebuiesc determinate. Calculǎm derivata întâi a funcţiei x(t) şi obţinem: ẋ = Ċ1 + Ċ2 e 2t cos t + Ċ3 e 2t sin t 2C 2 e 2t cos t 2C 3 e 2t sin t C 2 e 2t sin t + C 3 e 2t cost Impunem ca Ċ1, Ċ2, Ċ3 sǎ verifice: şi obţinem: Ċ 1 + Ċ2 e 2t cost + Ċ3 e 2t sin t = 0 ẋ = C 2 e 2t (2 cost + sin t) + C 3 e 2t (cost 2 sin t) Calculǎm derivata a doua a funcţiei x(t) şi obţinem: ẍ = Ċ2 e 2t (2 cost + sin t) + Ċ3 e 2t (cost 2 sin t)+ +2C 2 e 2t (2 cost + sin t) 2C 3 e 2t (cos t 2 sint) C 2 e 2t ( 2 sin t + cost) + C 3 e 2t ( sin t 2 cost) = = Ċ2 e 2t (2 cost + sin t) + Ċ3 e 2t (cost 2 sin t)+ +C 2 e 2t (3 cost + 4 sin t) + C 3 e 2t (3 sint 4 cost). Impunem ca Ċ2, Ċ3 sǎ verifice: şi obţinem Ċ2 e 2t (2 cost + sin t) + Ċ3 e 2t (cost 2 sin t) = 0 ẍ = C 2 e 2t (3 cost + 4 sin t) + C 3 e 2t (3 sin t 4 cost) De aici calculǎm derivata a treia a funcţiei x(t) şi obţinem:... x = Ċ2 e 2t (3 cost + 4 sint) + Ċ3 e 2t (3 sin t 4 cost) 2C 2 e 2t (3 cost + 4 sin t) 2C 3 e 2t (3 sint 4 cost)+ +C 2 e 2t ( 3 sin t + 4 cost) + C 3 e 2t (3 cost + 4 sin t) = = Ċ2 e 2t (3 cost + 4 sint) + Ċ3 e 2t (3 sin t 4 cost)+ +C 2 e 2t ( 2 cost 11 sint) + C 3 e 2t ( 2 sin t + 11 cost).

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi 59 sau Înlocuind toate acestea în ecuaţia datǎ rezultǎ: Ċ 2 e 2t (3 cost + 4 sint) +Ċ3 e 2t (3 sin t 4 cost) + +C 2 e 2t ( 2 cost 11 sint) +C 3 e 2t ( 2 sin t + 11 cost) + +C 2 e 2t (12 cost + 16 sin t) +C 3 e 2t (12 sin t 16 cost) C 2 e 2t (10 cost + 5 sin t) +C 3 e 2t (5 cost 10 sint) = 4e t Ċ 2 e 2t (3 cost + 4 sin t) + Ċ3 e 2t (3 sin t 4 cost) = 4e t Aceastǎ egalitate împreunǎ cu sistemul de condiţii impus pe parcurs funcţiilor Ċ1, Ċ2, Ċ3 conduce la urmǎtorul sistem liniar de ecuaţii algebrice în necunoscutele Ċ1, Ċ2, Ċ3: Ċ 1 +Ċ2 e 2t cos t +Ċ3 e 2t sin t = 0 Ċ2 e 2t (2 cost + sin t) +Ċ3 e 2t (cos t 2 sint) = 0 Ċ 2 e 2t (3 cost + 4 sin t) +Ċ3 e 2t ( 4 cost + 3 sin t) = 4e t Din ultimele douǎ ecuaţii rezulǎ sistemul algebric: Ċ 2 ( 2 cost sin t) +Ċ3 (cost 2 sint) = 0 Ċ 2 (3 cost + 4 sin t) +Ċ3 ( 4 cost + 3 sin t) = 4e t Determinantul sistemului este: = ( 2 cost sin t)( 4 cost + 3 sin t) (cos t 2 sint)(3 cost + 4 sin t) = = 8 cos 2 t 6 sin t cost + 4 sintcost 3 sin 2 t 3 cos 2 t 4 sin t cost + 6 sintcost + 8 sin 2 t = 8 3 = 5 şi soluţiile sunt date de: Ċ 2 = 4 5 et (cos t 2 sint) Ċ 3 = 4 5 et ( 2 cos t sin t).

60 CAPITOLUL 2 Înlocuind Ċ2, Ċ3 în prima ecuaţie, se obţine Ċ1: Ċ 1 = 4 5 e t cost(cos t 2 sin t) + 4 5 e t sin t(2 cost + sin t) = = 4 5 e t [cos 2 t + sin 2 t] = = 4 5 e t Astfel au fost gǎsite derivatele funcţiilor necunoscute Ċ 1 = 4 5 e t Ċ 2 = 4 5 et [cost 2 sin t] Ċ1, Ċ2, Ċ3: Ċ 3 = 4 5 et [2 cost + sin t] de unde rezultǎ: Obţinem de aici: C 1 C 2 = C 3 = = 4 5 e t 1 10 et [ 12 cost + 4 sint] 1 10 et [4 cost + 12 sin t] x(t) = 4 5 e t + 1 10 e t [ 12 cost + 4 sin t] cost + + 1 10 e t [4 cost + 12 sint] sin t de unde avem cǎ soluţia generalǎ a ecuaţiei neomogene este: x(t) = x(t) + x(t) x(t) = C 1 + c 2 e 2t cos t + C 3 e 2t sin t 4 5 e t + + 1 10 e t [ 12 cost + 4 sin t] cost + + 1 10 e t [4 cost + 12 sin t] sin t

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi 61 Exerciţii 1. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale (cu calculatorul): a)... x 2ẍ ẋ + 2x = 0 R: x(t) = C 1 e t + C 2 e 2t + C 3 e t b) x (4) 5ẍ + 4x = 0 R: x(t) = C 1 e t + C 2 e 2t + C 3 e t + C 4 e 2t c)... x 6ẍ + 12ẋ 8x = 0 R: x(t) = C 1 e 2t + C 2 t e 2t + C 3 t 2 e 2t d) x (7) + 3x (6) + 3x (5) + x (4) = 0 R: x(t) = C 1 e t +C 2 t e t +C 3 t 2 e t +C 4 +C 5 t+c 6 t 2 +C 7 t 3 e)... x ẍ + ẋ x = 0 R: x(t) = C 1 e t + C 2 sin t + C 3 cost f) x (4) + 2ẍ + x = 0 R: x(t) = C 1 sin t + C 2 cost + C 3 t sin t + C 4 t cost g) x (4) 3... x + 5ẍ 3ẋ + 4x = 0 R: x(t) = C 1 sin t + C 2 cost + C 3 e 3 2 t sin +C 4 e 3 2 t cos ( ) 7 2 t ( ) 7 2 t + 2. Determinaţi soluţiile urmǎtoarelor probleme cu date iniţiale: a)... x 2ẍ ẋ + 2x = 0 x(0) = 0, ẋ(0) = 1 ẍ(0) = 2

62 CAPITOLUL 2 R: x(t) = 1 2 et + 2 3 e2t 1 6 e t b)... x ẍ + ẋ x = 0 x(1) = 0, ẋ(1) = 1 ẍ(1) = 2 R: x(t) = e t 1 (sin 1) sin t (cos 1) cos t c) x (4) 5ẍ + 4x = 0 x(0) = 0, ẋ(0) = 1 ẍ(0) = 2,... x(0) = 3 R: x(t) = 1 6 et + 1 6 e 2t 1 2 e t + 1 2 e2t 3. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale: a)... x 2ẍ ẋ + 2x = t + 1 b) R: x(t) = 3 4 + 1 2 t + C 1e t + C 2 e 2t + C 3 e t... x 6ẍ + 12ẋ 8x = sin t R: x(t) = 11 125 cost 2 125 sin t+c 1e 2t +C 2 t 2 e 2t 2t +C 3 t 3 e

Reducerea ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul n a lui Euler la o ecuaţie liniarǎ 63 2.3 Reducerea ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul n a lui Euler la o ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi Definiţia 2.3.1 Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n de forma: a n t n x (n) + a n 1 t n 1 x (n 1) +... + a 1 t ẋ + a 0 x = 0 (2.29) în care a 0, a 1,...,a n sunt constante reale, se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n a lui Euler. Propoziţia 2.3.1 Prin schimbarea de variabilǎ t = e τ ecuaţia diferenţialǎ (2.29) se reduce la o ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi. Demonstraţie: Fie x = x(t) o soluţie a ecuaţiei (2.29) şi y funcţia y(τ) = x(e τ ). De aici, pentru t > 0, avem cǎ x(t) = y(lnt) iar prin derivare succesivǎ obţinem: dx dt d 2 x dt 2 = dy dτ 1 t = d2 y dτ 2 1 t 2 dy dτ 1 t 2 = 1 t 2 ( d 2 y dτ dy ) 2 dτ d 3 x = 2 ( d 2 dt 3 t y 3 dτ dy ) + 1 ( ) d 3 2 dτ t y 3 dτ d2 y = 3 dτ 2 = 1 t 3 ( ) d 3 y dτ y 3 3d2 dτ + 2dy 2 dτ Dacǎ presupunem cǎ pentru 1 k < n avem d k x dt k = 1 t k k i=1 c k i di y dτ i atunci printr-o nouǎ derivare deducem egalitatea d k+1 x dt = 1 k+1 t k+1 k+1 i=1 c k+1 i di y dτ i

64 CAPITOLUL 2 Rezultǎ în acest fel cǎ derivatele de orice ordin (1 k n) ale funcţiei 1 x se exprimǎ ca un produs între şi o combinaţie liniarǎ a derivatelor de tk+1 ordin i k + 1 ale funcţiei y. Înlocuind în (2.29) se obţine cǎ funcţia y verificǎ o ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi. Se determinǎ soluţiile y = y(τ) ale acestei ecuaţii şi apoi soluţiile x(t) ale lui (2.29) pentru t > 0: x(t) = y(lnt). Pentru t < 0 se raţioneazǎ la fel şi se obţine: Exerciţii: x(t) = y(ln t ). Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale: 1. t 2 ẍ + tẋ x = 0 R: x(t) = C 1 t + C 2 1 t 2. 12t 3... x 25t 2 ẍ + 28tẋ 6x = 0 3. t 2 ẍ + tẋ = 0 4. t 2 ẍ tẋ + x = 0 R: x(t) = C 1 t 2 + C 2 t 1 12 + C3 t 3 R: x(t) = C 1 + C 2 ln t R: x(t) = C 1 t + C 2 t ln t

Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul n 65 2.4 Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale de ordinul n Pentru rezolvarea numericǎ a ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior (n 2) Maple foloseşte aceeaşi funcţie dsolve (solve ordinary differential equations - ODEs) care a fost prezentatǎ în capitolul anterior. Noutatea care apare aici constǎ în scrierea sintaxei pentru derivatele de ordin superior. De exemplu, derivata de ordinul al doilea a funcţiei x(t) poate fi scrisǎ într-unul din urmǎtoarele moduri: diff(x(t),t,t) diff(x(t),t$2) (D@@2)(x)(t) Pentru exemplificare, vom rezolva câteva ecuaţii şi probleme cu date iniţiale: 1. Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi omogenǎ: ẍ 4ẋ + 4x = 0; (2.30) > eq1:=diff(x(t),t,t)-4*diff(x(t),t)+4*x(t)=0; eq1 := d2 x (t) 4 d x (t) + 4 x (t) = 0 dt 2 dt > dsolve(eq1,x(t)); x (t) = C1 e 2 t + C2 e 2 t t > dsolve({eq1,x(1)=1,d(x)(1)=0},x(t)); x (t) = 3 e2 t 2 e2 t t e 2 e 2 > sol1:=3*exp(2*t)/exp(2)-2*exp(2*t)*t/exp(2): > plot(sol1,t=-infinity..infinity);

66 CAPITOLUL 2 Figura 8 Se observǎ cǎ, dacǎ nu s-a dat nici o condiţie iniţialǎ soluţia generalǎ este afişatǎ cu ajutorul a douǎ constante. Mai precis, numǎrul constantelor este acelaşi cu ordinul ecuaţiei, în cazul ecuaţiei de ordinul al doilea soluţia generalǎ exprimându-se cu ajutorul a douǎ constante. Pentru ca Maple sǎ afişeze soluţia unei Probleme Cauchy în cazul unei ecuaţii de ordin superior trebuie sa-i dǎm n condiţii iniţiale: x(t 0 ) = x 0 0, ẋ(t 0) = x 1 0,..., x(n 1) (t 0 ) = x n 1 0. 2. Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al patrulea cu coeficienţi constanţi omogenǎ: x (4) 5ẍ + 4x = 0; (2.31) > eq2:=diff(x(t),t,t,t,t)-5*diff(x(t),t,t)+4*x(t)=0; eq2 := d4 dt 4 x (t) 5 d2 dt 2 x (t) + 4 x (t) = 0 > eq2:=diff(x(t),t$4)-5*diff(x(t),t$2)+4*x(t)=0; eq2 := d4 dt 4 x (t) 5 d2 dt 2 x (t) + 4 x (t) = 0 > eq2:=(d@@4)(x)(t)-5*(d@@2)(x)(t)+4*x(t)=0; eq2 := ( D (4)) (x) (t) 5 ( D (2)) (x) (t) + 4 x (t) = 0 > dsolve(eq2,x(t)); x (t) = C1 e 2 t + C2 e t + C3 e 2 t + C4 e t > dsolve({eq2,x(0)=0,d(x)(0)=1,(d@@2)(x)(0)=2, (D@@3)(x)(0)=3},x(t)); x (t) = 1/2 e t + 1/6 e 2t + 1/2 e 2 t 1/6 e t

Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul n 67 > sol2:=-1/2*exp(-t)+1/6*exp(-2*t)+1/2*exp(2*t)- 1/6*exp(t): > plot(sol2,t=-2..2); Figura 9 Din instrucţiunile de mai sus reiese cǎ, în rezolvarea Problemei Cauchy pentru o ecuaţie diferenţialǎ de ordinul patru s-au folosit patru condiţii iniţiale. Se observǎ deasemenea, sintaxa corespunzǎtoare derivatelor de ordin superior a fost scrisǎ în cele trei moduri prezentate la începutul paragrafului. 3. Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al treilea cu coeficienţi constanţi neomogenǎ:... x 6ẍ + 12ẋ 8x = sin t; (2.32) > eq3:=diff(x(t),t,t,t)-6*diff(x(t),t,t)+12*diff(x(t),t) -8*x(t)=sin(t); eq3 := d3 x (t) 6 d2 x (t) + 12 d x (t) 8 x (t) = sin (t) dt 3 dt 2 dt > dsolve(eq3); x (t) = 11 2 cos (t) sin (t) + C1 125 125 e2 t + C2 e 2 t t + C3 e 2 t t 2 > dsolve({eq3,x(0)=0,d(x)(0)=2,(d@@2)(x)(0)=4}); x (t) = 11 2 11 cos (t) sin (t) + 125 125 125 e2 t + 46 25 e2 t t 19 10 e2 t t 2 > sol3:=-11/125*cos(t)-2/125*sin(t)+11/125*exp(2*t)+ 46/25*exp(2*t)*t-19/10*exp(2*t)*t^2: > plot(sol3,t=-4..1);

68 CAPITOLUL 2 Figura 10 În cele ce urmeazǎ, vom mai prezenta o altǎ funcţie de plotare DEtools [DEplot] (plot solutions to an equation or a system of DEs) pentru a vizualiza soluţia acestei probleme cu date iniţiale. Utilizarea acesteia nu necesitǎ rezolvarea ecuaţiei în avans deoarece ecuaţia este inclusǎ direct în instrucţiune. Sintaxa acestei funcţii poate avea una din urmǎtoarele forme: with(detools):deplot(deqns, vars, trange, options); with(detools):deplot(deqns, vars, trange, inits, options); with(detools):deplot(deqns, vars, trange, xrange, yrange, options); with(detools):deplot(deqns, vars, trange, inits, xrange, yrange, options); în care:

Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul n 69 deqns vars trange inits xrange yrange options - ecuaţia diferenţialǎ de orice ordin pe care dorim sǎ o rezolvǎm sau lista de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi (în cazul sistemelor) - variabila independentǎ sau lista variabilelor independente - domeniul de definiţie al variabilei independente - lista de condiţii iniţiale - domeniul de variaţie al primei variabile dependente - domeniul de variaţie al celei de-a doua variabile dependente - diferite opţiuni: modul de afişare al soluţiei, metoda de rezolvare, etc. > with(detools):deplot(eq3,x(t),t=-4..1,[[x(0)=0,d(x)(0)=2, (D@@2)(x)(0)=4]],x=-0.6..1.8,stepsize=.05,title= Solutia Problemei Cauchy ); Figura 11 4. Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al treilea cu coeficienţi variabili de tip Euler: t 2... x + 5tẍ + 4ẋ = ln t, t > 0 (2.33) > eq4:=t^2*diff(x(t),t,t,t)+5*t*diff(x(t),t,t)+ 4*diff(x(t),t)=ln(t); eq4 := t 2 d3 dt 3 x (t) + 5 t d2 dt 2 x (t) + 4 d dt x (t) = ln (t) > dsolve({eq4,x(2)=2,d(x)(2)=1/2,(d@@2)(x)(2)=3});

70 CAPITOLUL 2 x(t) = 2 ln(2) + 19 + 32 ln(2) 2(ln(2)) 2 32 ( 29+2 ln(2)) ln(t) + t t + 1/4t(ln(t)) 2 > sol4:=-2*ln(2)+19+(-29+2*ln(2))*ln(t)/t+(32*ln(2)- 2*ln(2)^2-32)/t+1/4*t*(ln(t)-2): > plot(sol4,t=0.1..infinity,axes=boxed); Figura 12

Capitolul 3 Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi 3.1 Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi omogene Definiţia 3.1.1 Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi omogen este un sistem de n relaţii de dependenţǎ funcţionalǎ de forma: ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n (3.1). ẋ n = a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n dintre un sistem de n funcţii necunoscute x 1, x 2,...,x n şi derivatele acestora x 1, x 2,..., x n. În sistemul (3.1) coeficienţii a ij sunt constante considerate cunoscute. Definiţia 3.1.2 Un sistem ordonat de n funcţii reale x 1, x 2,...,x n de clasǎ 71

72 CAPITOLUL 3 C 1 este soluţie a sistemului (3.1) dacǎ verificǎ pentru orice t IR 1. dx i n dt = a ij x i (t) j=1 Definiţia 3.1.3 Fiind date t 0 IR şi (x 0 1, x 0 2,...,x 0 n) IR n problema determinǎrii soluţiei (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) a sistemului (3.1) care verificǎ x i (t 0 ) = x 0 i i = 1, n se numeşte problemǎ cu date iniţiale sau problemǎ Cauchy. Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.1) notǎm cu A matricea pǎtraticǎ care are ca elemente constantele a ij : A = (a ij ) i,j=1,n şi cu X matricea coloanǎ X = (x 1, x 2,...x n ) T. Cu aceste matrice sistemul (3.1) se scrie sub forma matricealǎ: Ẋ = A X. (3.2) În aceastǎ problemǎ derivarea funcţiei matriceale X = X(t) înseamnǎ derivarea elementelor matricei, iar produsul A X însemnǎ produsul dintre matricea A şi matricea X. Problema Cauchy (problema cu date iniţiale) se scrie matriceal sub forma: Ẋ = A X, X(t 0 ) = X 0 (3.3) şi constǎ în determinarea funcţiei matriceale X = X(t) care verificǎ ecuaţia (3.2) şi condiţia iniţialǎ X(t 0 ) = X 0. Teorema 3.1.1 (de existenţǎ a soluţiei problemei Cauchy) Pentru orice t 0 IR 1 şi X 0 = (x 0 1, x0 2,...x0 n )T problema Cauchy (3.3) are o soluţie definitǎ pe IR 1. Demonstraţie: Considerǎm şirul de funcţii matriceale definite astfel:

Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare omogene 73 X 0 (t) = X 0 = I X 0 X 1 (t) = X 0 + X 2 (t) = X 0 + X 3 (t) = X 0 +... t A X 0 (τ)dτ = [I + (t t 0) A ] X 0 t 0 1! t A X 1 (τ)dτ = [I + (t t 0) A t 0 1! t t 0 A X 2 (τ)dτ = = [I + (t t 0) A 1! X m (t) = X 0 +... t t 0 A X m 1 (τ)dτ = = [I + (t t 0) A 1! + (t t 0) 2 A 2 2! + (t t 0) 2 A 2 2! Funcţiile din acest şir verificǎ inegalitatea X m+p (t) X m (t) m+p k=m+1 + (t t 0) 2 A 2 ] X 0 2! + (t t 0) 3 A 3 ] X 0 3! +... + (t t 0) m A m ] X 0 m! t t 0 k A k X 0, ( ) m, p IN, ( ) t IR 1 k! şi prin urmare şirul de funcţii {X m (t)} m n este uniform fundamental pe orice compact K IR 1. Rezultǎ cǎ şirul este uniform convergent pe orice compact K IR 1 şi se poate trece la limitǎ în egalitatea X m (t) = X 0 + t t 0 A X m 1 (τ)dτ. pentru m. Trecând la limitǎ obţinem cǎ limita X(t) a şirului X m (t) X(t) = lim m Xm (t) verificǎ egalitatea X(t) = X 0 + t t 0 A X(τ)dτ

74 CAPITOLUL 3 sau X(t) = X 0 + A t t 0 X(τ)dτ. De aici rezultǎ cǎ funcţia X(t) este de clasǎ C 1 şi derivata ei verificǎ Ẋ(t) = A X(t), adicǎ X(t) este soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale sub formǎ matricealǎ (3.2). Punând t = t 0 în egalitatea X(t) = X 0 + A t t 0 X(τ)dτ obţinem egalitatea X(t 0 ) = X 0 care aratǎ cǎ X(t) este soluţia problemei Cauchy (3.3). Am arǎtat în acest fel cǎ problema Cauchy (3.3) are o soluţie. Observaţia 3.1.1 În aceastǎ demonstraţie norma matricei pǎtratice A A este datǎ de A = sup A X. X 1 Observaţia 3.1.2 Şirul de matrice pǎtratice care intervine în aceastǎ demonstraţie: U m (t; t 0 ) = I + (t t 0) A 1! este de asemenea fundamental. Într-adevǎr: + (t t 0) 2 A 2 2! +... + (t t 0) m A m m! U m+p (t; t 0 ) U m (t; t 0 ) m+p k=m+1 t t 0 k A k, ( )m, p IN, t IR 1 k! şi prin urmare şirul de funcţii matriceale {U m (t; t 0 )} m IN este uniform convergent pe orice compact K IR 1. Limita acestui şir este suma seriei de matrice (t t 0 ) m A m care se noteazǎ cu e (t t 0) A : m=0 e (t t 0) A = m! (t t 0 ) m A m m=0 m!

Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare omogene 75 Observaţia 3.1.3 Funcţia matricealǎ e (t t 0) A se numeşte matricea rezolvantǎ a sistemului (3.2). O soluţie a problemei Cauchy (3.3) se obţine înmulţind matricea e (t t 0) A cu matricea X 0 : Aceastǎ soluţie este definitǎ pe IR 1. X(t; t 0, X 0 ) = e (t t 0) A X 0. Teorema 3.1.2 (de unicitate a soluţiei problemei Cauchy) Problema Cauchy (3.3) are o singurǎ soluţie. Demonstraţie: Presupunem prin absurd cǎ problema Cauchy (3.3), pe lângǎ soluţia X(t; t 0, X 0 ) determinatǎ în teorema precedentǎ mai are o soluţie X(t). Pe intervalul I de definiţie a acestei soluţii (I t 0 ) scriem egalitǎţile : şi şi deducem succesiv: X(t; t 0, X 0 ) = X 0 + A X(t) = X 0 + A t t 0 X(τ; t 0, X 0 )dτ, t t t 0 X(τ)dτ, ( )t I ( )t I X(t; t 0, X 0 ) X(t) = A [X(τ; t 0, X 0 ) X(τ)]dτ t 0 X(t; t 0, X 0 ) X(t) t A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ < t 0 Pentru t > t 0 rezultǎ în continuare: ε + t t < ε + A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ t ( )ε > 0 ( )t I. X(t; t 0, X 0 ) X(t) 1 A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ t 0

76 CAPITOLUL 3 ε + ( d ε + dt ε + A X(t; t 0, X 0 ) X(t) A A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ t 0 ) A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ t 0 A A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ t 0 ) ln(ε) A (t t 0 ) t t t ( t ln ε + A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ t 0 ε + ln t A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ t 0 ) A (t t 0 ) ε ε + t t 0 A X(τ; t 0, X 0 ) X(τ) dτ ε e A (t t 0), ( )t t 0, ε > 0. = X(t; t 0, X 0 ) X(t) < εe A (t t 0), ( )t t 0, ( )ε > 0 Pentru t fixat şi ε 0 rezultǎ X(t; t 0, X 0 ) X(t) = 0. Astfel am arǎtat cǎ pentru orice t t 0 şi t I avem X(t) = X(t; t 0, X 0 ). Raţionǎm analog pentru t t 0, t I şi obţinem X(t) = X(t; t 0, X 0 ). Se obţine în final egalitatea X(t) = X(t; t 0, X 0 ) pentru orice t I, care aratǎ cǎ soluţia X(t) coincide cu soluţia X(t; t 0, X 0 ) gǎsitǎ în teorema de existenţǎ. Observaţia 3.1.4 Din teorema de existenţǎ şi cea de unicitate rezultǎ cǎ orice soluţie a sistemului (3.2) este definitǎ pe IR 1 şi se obţine cu formula X(t) = e (t t 0) A X 0. Într-adevǎr fie X(t) o soluţie oarecare a sistemului (3.2) definitǎ pe un interval

Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare omogene 77 I. Considerǎm t 0 I şi X(t 0 ) = X 0. Soluţia consideratǎ X(t), conform teoremei de unicitate, coincide cu funcţia X(t; t 0, X 0 ) = e (t t 0) A X 0 soluţie a problemei Cauchy (3.3): X(t) X(t; t 0, X 0 ) e (t t 0) A X 0. Teorema 3.1.3 Mulţimea S a soluţiilor sistemului diferenţial liniar cu coeficienţi constanţi de ordinul întâi este un spaţiu vectorial n-dimensional. Demonstraţie: Fie X 1 (t) şi X 2 (t) douǎ soluţii ale sistemului(3.2) şi α, β douǎ constante reale. Ţinând seama de egalitatea: α X 1 (t) + β X 2 (t) = e (t t 0) A [α X 1 (t 0 ) + β X 2 (t 0 )] rezultǎ cǎ funcţia α X 1 (t)+β X 2 (t) este soluţie a sistemului (3.2). Obţinem în acest fel cǎ mulţimea S a soluţiilor sistemului (3.2) este spaţiu vectorial. Pentru a demonstra cǎ dimensiunea spaţiului vectorial S este n, considerǎm baza canonicǎ b 1, b 2,...,b n în IR n : b 1 = (1, 0, 0,..., 0) T, b 2 = (0, 1, 0,..., 0) T,..., b n = (0, 0, 0,..., 1) T şi sistemul de soluţii X i (t) = e t A b i, i = 1, n. Vom arǎta cǎ sistemul de soluţii X 1 (t), X 2 (t),...,x n (t) este o bazǎ în spaţiul soluţiilor S. Pentru aceasta, fie la început c 1, c 2,..., c n, n constante reale astfel ca n c k e t A b k = 0 ( )t IR 1. k=1 În particular pentru t = 0 avem n c k b k = 0 k=1 de unde rezultǎ c 1 = c 2 =... = c n = 0. Rezultǎ astfel cǎ sistemul de funcţii X i (t) = e t A b i, i = 1, n este liniar independent. Considerǎm acum o soluţie oarecare X(t) a sistemului (3.2), şi vectorul X(0). Pentru acest vector X(0) IR n existǎ n constante reale c 1, c 2,...,c n astfel ca n X(0) = c k b k. k=1

78 CAPITOLUL 3 Construim funcţia n X(t) = c k X k (t) şi remarcǎm cǎ aceasta este o soluţie a sistemului (3.2) şi verificǎ: n n X(0) = c k X k (0) = c k b k = X(0). k=1 k=1 k=1 În baza teoremei de unicitate rezultǎ cǎ: X(t) = X(t), ( )t. Am obţinut astfel cǎ, o soluţie oarecare X(t) este combinaţia liniarǎ X(t) = n c k X k (t) k=1 a soluţiilor X k (t). Definiţia 3.1.4 Un sistem de n soluţii {X k (t) k=1,n } ale ecuaţiei (3.2) se numeşte sistem fundamental dacǎ sistemul de funcţii {X k (t) k=1,n } este liniar independent. Teorema 3.1.4 Un sistem de n soluţii {X k (t) k=1,n } ale ecuaţiei (3.2) este sistem fundamental dacǎ şi numai dacǎ funcţia realǎ definitǎ prin: W(X 1 (t),...,x n (t)) = det(x i j(t)), numitǎ wronskianul sistemului, nu se anuleazǎ. Am notat: X i (t) = (x i 1(t), x i 2(t),...,x i n(t)) T. Demonstraţie: Arǎtǎm la început necesitatea condiţiei. Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ, deşi sistemul de soluţii X 1 (t), X 2 (t),...,x n (t) este fundamental existǎ un punct t 0 IR 1 în care wronskianul sistemului de soluţii se anuleazǎ: det(x i j (t 0)) = 0. În aceste condiţii, sistemul algebric liniar şi omogen de n ecuaţii cu n necunoscute c 1, c 2,...,c n n c i x i j (t 0) = 0 j = 1, n i=1

Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare omogene 79 are o soluţie nebanalǎ c i = c 0 i, i = 1, n. Cu o asemenea soluţie nebanalǎ c i = c 0 i, i = 1, n (c 0 i nu sunt toate nule) construim funcţia: n X(t) = c 0 i Xi (t) t IR 1. i=1 Funcţia X(t) construitǎ astfel este soluţie a sistemului (3.2) şi se anuleazǎ în t 0 : n X(t 0 ) = c 0 i X i (t 0 ) = 0. i=1 În virtutea teoremei de unicitate rezultǎ cǎ funcţia X(t) este identic nulǎ: n c 0 i X i (t) = 0, ( )t IR 1. i=1 Aceastǎ însǎ este absurd, deoarece sistemul de n soluţii {X i (t) i=1,n } este independent. Trecem acum sǎ arǎtǎm suficienţa condiţiei. Presupunem cǎ wronskianul W(X 1 (t),...,x n (t)) = det(x i j(t)) nu se anuleazǎ şi arǎtǎm cǎ sistemul de soluţii {X i (t) i=1,n } este fundamental. Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ sistemul de soluţii {X i (t) i=1,n } nu este fundamental (nu este liniar independent). În aceastǎ ipotezǎ existǎ un sistem de constante {c 0 i }, i = 1, n, nu toate nule astfel cǎ n c 0 i Xi (t) = 0 pentru orice t IR 1. Egalitatea aceasta implicǎ egalitǎţile n c 0 i xi j (t) = 0 ( )t IR1 j = 1, n i=1 i=1 ceea ce aratǎ cǎ det(x i j(t)) = 0 ( )t IR 1 ; absurd. Teorema 3.1.5 (Liouville). Un sistem de n soluţii {X i (t) i=1,n } ale sistemului (3.2) este fundamental dacǎ şi numai dacǎ existǎ un punct t 0 IR 1 în care wronskianul sistemului de soluţii este nenul. W(X 1 (t),...,x n (t)) = det(x i j(t))

80 CAPITOLUL 3 Demonstraţie: Având în vedere teorema precedentǎ este suficient sǎ arǎtǎm cǎ dacǎ existǎ t 0 IR 1 astfel ca W(X 1 (t 0 ),..., X n (t 0 )) 0 atunci pentru orice t IR 1, W(X 1 (t),...,x n (t)) 0. Calculǎm derivata wronskianului sistemului de soluţii {X i (t) i=1,n } şi obţinem ( n d dt W(X1 (t),...,x n (t)) = i=1 a ii ) W(X 1 (t),...,x n (t) De aici rezultǎ egalitatea: [( n ] W(X 1 (t),..., X n (t)) = W(X 1 (t 0 ),..., X n (t 0 )) exp a ii ) (t t 0 ) care aratǎ cǎ pentru orice t IR 1 avem W(X 1 (t),...,x n (t)) 0. Observaţia 3.1.5 În demonstraţia teoremei care afirma cǎ soluţiile sistemului (3.2) formeazǎ un spaţiu vectorial n dimensional am vǎzut cǎ dacǎ b 1 = (1, 0, 0,..., 0) T, b 2 = (0, 1, 0,..., 0) T,..., b n = (0, 0, 0,..., 1) T atunci sistemul de funcţii X 1 (t) = e t A b 1, X 2 (t) = e t A b 2,..., X n (t) = e t A b n este un sistem fundamental de soluţii. Dacǎ ţinem seama de faptul cǎ soluţia X i (t) este coloana i a matricei pǎtratice e t A atunci deducem cǎ putem construi soluţiile ecuaţiei (3.2) dacǎ cunoaştem elementele matricei e t A. Pentru determinarea elementelor matricei e t A ţinem seama de urmǎtoarele rezultate de algebrǎ liniarǎ: Propoziţia 3.1.1 Dacǎ matricea A este similarǎ cu matricea A 0 adicǎ A = S A 0 S 1 atunci matricea e t A este similarǎ cu matricea e t A 0 adicǎ e t A = S e t A0 S 1. i=1

Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare omogene 81 Aceasta întrucât pentru orice k IN avem A k = S A k 0 S 1. Propoziţia 3.1.2 (teorema lui Jordan) Pentru orice matrice A existǎ o matrice diagonalǎ A 0 = diag(a 01, A 02,...A 0m ) şi o matrice nesingularǎ S cu urmǎtoarele proprietǎţi: i) A 0j este matrice pǎtratǎ de ordin q j, j = 1, m şi m q j = n; ii) A 0j este matrice de forma A 0j = λ j I j + N j, j = 1, m, unde λ j este valoare proprie pentru matricea A, I j este matricea unitate de ordin q j, N j este matricea nilpotentǎ : N j = ( b j kl), k, l = 1, qj cu b j k,k+1 = 1 şi b j kl = 0, pentru l k + 1, şi q j este cel mult egal cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ j ; iii) A = S A 0 S 1. Propoziţia 3.1.3 Matricea e t A 0 are forma: e t A 0 = diag ( e t A 01, e t A 02,...,e t A 0m ) şi matricea e t A 0 are forma: e t A 0j = e λ j t 1 t 1! j=1 t 2 t q j 1 2! (q j 1)! 0 1 t 1! t q j 2 (q j 2)!............... 0 0 0 1 Teorema 3.1.6 Elementele matricei e t A = S e t A0 S 1 sunt funcţii de forma: u ij (t)= p l e λkt P ij q k 1 (t)+ e [ µ kt Q ij r k 1 (t) cosν kt+r ij r k 1 (t) sin ν kt ], k=1 k=1 i, j =1, n unde λ 1,...,λ p sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordinele de multiplicitate respectiv q 1,...,q p, µ k + iν k, k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale lui A cu ordin de multiplicitate r k, iar P qk 1, Q rk 1 şi R rk 1 sunt polinoame de grad q k 1 şi r k 1 respectiv, cu coeficienţi reali.

82 CAPITOLUL 3 Rezultatul este imediat în baza propoziţiilor (3.1.1, 3.1.2, 3.1.3). Teorema 3.1.7 Soluţiile sistemului (3.2) sunt funcţii de forma: e λ kt P qk 1(t) + l e µ kt [Q rk 1(t) cosν k t + R rk 1(t) sin ν k t], i, j = 1, n k=1 unde λ 1,...,λ p sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordin de multiplicitate respectiv q 1,...,q p ; µ k + iν k, k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale lui A cu ordin de multiplicitate r k ; P qk 1, Q rk 1 şi R rk 1 sunt vectori coloanǎ ai cǎror elemente sunt polinoame de grad q k 1 respectiv r k 1. Exerciţii 1. Rezolvaţi urmǎtoarele sisteme: a) b) c) d) e) f) { { x1 = x 1 +8x 2 x1 (t) = c R: 1 e 3t + c 2 e 3t x 2 = x 1 + x 2 x 2 (t) = 1 2 c 1 e 3t 1 4 c 2 e 3t { { x1 = 3x 1 + 2x 2 x1 (t) = c R: 1 e t + c 2 t e t x 2 = 2x 1 + x 2 x 2 (t) = c 1 e t + 2t+1 c 2 2 e t { { x1 =2x 1 x 2 x1 (t) = c R: 1 cost e 2t + c 2 sin t e 2t x 2 = x 1 + 2x 2 x 2 (t) = c 1 sin t e 2t c 2 cost e 2t x 1 = 3x 1 +12x 2 4x 3 x 2 = x 1 3x 2 + x 3 R: x 3 = x 1 12x 2 +6x 3 x 1 (t) = c 1 e 2t + c 2 e t + c 3 e 3t x 2 (t) = 3 c 8 1 e 2t 1 c 2 2 e t 1 c 3 3 e 3t x 3 (t) = 7 c 8 1 e 2t c 2 e t c 3 e 3t x 1 = x 1 +x 2 2x 3 x 1 (t) = 1 c 2 1 e t + + 1 c 4 3 e t x 2 =4x 1 + x 2 R: x 2 (t) = c 1 e t + c 2 e t + c 3 t e t x 3 =2x 1 +x 2 x 3 x 3 (t) = + 1 c 2 2 e t + 1 c 2 3 t e t x 1 = 2x 1 x 2 x 3 x 2 = 3x 1 2x 2 3x 3 R: x 3 = x 1 + x 2 + 2x 3 x 1 (t) = c 2 + c 3 e t x 2 (t) = c 1 e t +3 c 2 x 3 (t) = c 1 e t c 2 + c 3 e t

Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare omogene 83 g) x 1 = x 1 x 2 x 2 = x 2 x 3 R: x 3 = x 3 x 1 (t) = c 1 e t c 2 t e t + 1 c 2 3 t 2 e t x 2 (t) = + c 2 e t c 3 t e t x 3 (t) = c 3 e t 2. Rezolvaţi urmǎtoarele probleme Cauchy (cu date iniţiale): a) b) c) { x1 = x 2 x 1 (0) = 1 x 2 = x 1 x 2 (0) = 0 { x1 = 11x 1 +16x 2 x 1 (1) = 0 x 2 = 2x 1 x 2 x 2 (1) = 1 { x1 = x 1 x 2 x 1 (1) = 1 x 2 = 4x 1 2x 2 x 2 (1) = 1 { x1 (t) = 1 e R: t + 1 2 2 et x 2 (t) = 1 2 e t + 1 2 et { x1 (t) =4e R: 3t 3 + 4e 7t 7 x 2 (t) =2e 3t 3 e 7t 7 { x1 (t) = 3 R: 5 e2t 2 + 2 5 e 3t+3 x 2 (t) = 3 5 e2t 2 + 8 5 e 3t+3 3. Se considerǎ sistemul de ecuaţii diferenţiale cu a d b c 0. Arǎtaţi cǎ: { x1 = a x 1 + b x 2 x 2 = c x 1 + d x 2 i) dacǎ (a d) 2 + 4 b c 0 şi a + d < 0 şi a d b c > 0, atunci orice soluţie nenulǎ a sistemului tinde la (0, 0). ii) dacǎ (a d) 2 + 4 b c 0 si a + d > 0 şi a d b c > 0, atunci orice soluţie nenulǎ a sistemului tinde în normǎ la +. iii) dacǎ (a d) 2 + 4 b c < 0 si a + d < 0, atunci toate soluţiile nenule ale sistemului tind la (0, 0). iv) dacǎ (a d) 2 + 4 b c < 0 si a + d > 0, atunci toate soluţiile nenule ale sistemului tind în normǎ la +. v) dacǎ (a d) 2 + 4 b c < 0 si a + d = 0, atunci toate soluţiile nenule ale sistemului sunt periodice.

84 CAPITOLUL 3 3.2 Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi neomogene Definiţia 3.2.1 Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi neomogen este un sistem de n relaţii de dependenţǎ funcţionalǎ de forma: ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n +f 1 (t) ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n +f 2 (t) (3.4). ẋ n = a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n +f n (t) dintre un sistem de n funcţii necunoscute x 1, x 2,..., x n şi derivatele acestora x 1, x 2,..., x n. În sistemul (3.4) coeficienţii a ij sunt constante cunoscute, iar funcţiile reale f i : IR 1 IR sunt continue şi cunoscute. Definiţia 3.2.2 Un sistem ordonat de n funcţii reale x 1, x 2,..., x n de clasǎ C 1 este soluţie a sistemului (3.4) dacǎ verificǎ: dx i n dt = a ij x j + f i (t) ( )t IR j=1 Definiţia 3.2.3 Fiind datǎ t 0 IR 1 şi (x 0 1, x 0 2,...,x 0 n) IR n, problema determinǎrii soluţiei (x 1 (t), x 2 (t),...,x n (t)) a sistemului (3.4) care verificǎ x i (t 0 ) = x 0 i i = 1, n, se numeşte problemǎ cu date iniţiale sau problemǎ Cauchy. Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.4) notǎm cu A matricea pǎtratǎ n n care are ca elemente constantele a ij : A = (a ij ) i,j=1,n, cu F(t) matricea coloanǎ F(t) = (f 1 (t), f 2 (t),...,f n (t)) şi cu X(t) matricea coloanǎ X = (x 1, x 2,..., x n ) T. Cu aceste matrice sistemul (3.4) se scrie sub forma matricealǎ: Ẋ = A X + F(t) (3.5) iar problema Cauchy se scrie sub forma Ẋ = A X + F(t), X(t 0 ) = X 0 (3.6)

Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare neomogene 85 Teorema 3.2.1 (de existenţǎ şi unicitate şi de reprezentare a soluţiei problemei cu date iniţiale). Dacǎ funcţia F(t) este continuǎ pe IR 1, atunci pentru orice t 0 IR 1 şi X 0 IR n problema cu date iniţiale (3.6) are soluţie unicǎ definitǎ pe IR 1 şi aceastǎ soluţie se reprezintǎ sub forma: X(t; t 0, X 0 ) = e (t t 0) A X 0 + t t 0 e (t s) A F(s)ds (3.7) Demonstraţie: Pentru a demonstra cǎ problema Cauchy (3.6) are cel mult o soluţie, presupunem prin absurd cǎ X 1 (t) şi X 2 (t) sunt douǎ soluţii ale problemei (3.6) şi considerǎm funcţia X 3 (t) = X 1 (t) X 2 (t). Se verificǎ uşor cǎ funcţia X 3 (t) este soluţia problemei Cauchy Ẋ 3 = A X 3, X 3 (t 0 ) = 0. Din teorema de unicitate a soluţiei problemei Cauchy pentru sisteme omogene rezultǎ cǎ: X 3 (t) = 0, ( )t. Prin urmare X 1 (t) X 2 (t) 0, ceea ce contrazice ipoteza X 1 (t) X 2 (t). Rǎmâne sǎ arǎtǎm cǎ funcţia Z(t) definitǎ prin: Z(t) = e (t t 0) A X 0 + t t 0 e (t s) A F(s)ds pentru orice t IR 1 verificǎ (3.6). Remarcǎm cǎ funcţia Z(t) este corect definitǎ; este de clasǎ C 1 pe IR 1 şi derivata ei verificǎ: Ż(t) = A e (t t 0) A X 0 + F(t) + t t 0 A e (t s) A F(s)ds = A Z + F(t). Prin urmare funcţia Z(t) este soluţie a ecuaţiei neomogene (3.5). În plus calculând Z(t 0 ) gǎsim Z(t 0 ) = X 0 şi astfel teorema a fost complet demonstratǎ.

86 CAPITOLUL 3 Problema 3.2.1 O substanţǎ A se descompune în alte douǎ substanţe B şi C. Viteza de formare a fiecǎreia din ele este proporţionalǎ cu cantitatea de substantǎ nedescompusǎ. Sǎ se determine variaţia cantitǎţilor x şi y, ce se formeazǎ în funcţie de timp. Se dau cantitatea iniţialǎ de substanţǎ a şi cantitǎţile de substanţe B şi C formate dupǎ trecerea unei ore: a 8 şi 3a 8. Rezolvare: La momentul t cantitatea de substanţǎ A este a x y. Deci vitezele de formare ale substanţelor B şi C vor fi: { ẋ = k1 (a x y) ẏ = k 2 (a x y) sau { ẋ = k1 x k 1 y + k 1 a ẋ = k 2 x k 2 y + k 2 a [ ] k1 k Matricea A în acest caz este A = 1. k 2 k 2 Valorile proprii ale matricei A sunt rǎdǎcinile ecuaţiei (k 1 + λ) (k 2 + λ) k 1 k 2 = 0. Aceste rǎdǎcini sunt λ 1 = (k 1 + k 2 ) şi λ 2 = 0, iar matricea e t A este: e t A = 1 k 1 + k 2 [ De aici în virtutea formulei (3.7) rezultǎ: Exerciţii ( x(t) y(t) k 1 e (k 1+k 2 ) t + k 2 e (k 1+k 2 ) t 1 k 1 k 2 e (k 1+k 2 ) t k 1 k 2 k 1 + k 2 e (k 1+k 2 ) t ) = e (t 1) A ( a/8 3/8 ) + t 1 e (t s) A ( k1 a k 2 a 1. Rezolvaţi urmǎtoarele sisteme de ecuaţii neomogene: ) ds ] a) { x1 = x 2 x 2 = x 1 +e t + e t

Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare neomogene 87 x 1 (t) = c 1 e t + c 2 e t + ( 1t 1 2 4 )et ( 1t + 1 2 4 )e t R: x 2 (t) = c 1 e t + c 2 e t + ( 1 t + 1 2 4 )et + ( 1 t 1 2 4 )e t b) { x1 = 11x 1 +16x 2 + t x 2 = 2x 1 x 2 +1 t R: x 1 (t) = c 1 e 3t + c 2 e 7t + 23 49 5 7 t x 2 (t) = 1 2 c 1 e 3t 1 4 c 2 e 7t 18 49 + 3 7 t c) { x1 = x 1 x 2 + 3t 2 x 2 = 4x 1 2x 2 + 2 + 8t x 1 (t) = c 1 e 2t + c 2 e 3t t 2 R: x 2 (t) = c 1 e 2t + 4c 2 e 3t + 2t + 2t 2

88 CAPITOLUL 3 3.3 Reducerea ecuaţiilor diferenţiale de ordinul n liniare cu coeficienţi constanţi la un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi Considerǎm ecuaţia diferenţialǎ de ordinul n liniarǎ omogenǎ cu coeficienţi constanţi: a n x (n) + a n 1 x (n 1) +... + a 1 ẋ + a 0 x = 0 (3.8) în care coeficientul a n este presupus diferit de zero. Ecuaţia diferenţialǎ (3.8) are aceleaşi soluţii ca şi ecuaţia diferenţialǎ: x (n) + b n 1 x (n 1) +... + b 1 ẋ + b 0 x = 0 (3.9) în care b i = a i a n. Ecuaţia (3.9) la rândul ei, este echivalentǎ cu sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi: Ẏ = A Y (3.10) în care matricea coloanǎ Y este Y = (x, u 1, u 2,..., u n 1 ), iar matricea pǎtratǎ A este: 0 1 0 0 0... 0 0 0 1 0 0... 0 0 0 0 1 0... 0 A =..................... 0 0 0 0 0... 1 a 0 a 1............ a n 1 a n a n a n Valorile proprii ale acestei matrice sunt rǎdǎcinile ecuaţiei algebrice a n λ n + a n 1 λ n 1 +... + a 1 λ + a 0 = 0. (3.11) Rezultǎ în acest fel cǎ soluţiile ecuaţiei diferenţiale de ordinul n liniare (3.8) sunt funcţii de forma: x(t) = p l e λjt P qj 1(t) + e [ µ jt Q rj 1(t) cosν j t + R rj 1(t) sin ν j t ] j=1 j=1

Reducerea ecuaţiilor diferenţiale liniare de ordinul n la un sistem 89 în care λ j, j = 1, k sunt rǎdǎcinile reale ale ecuaţiei (3.11) cu ordin de multiplicitate respectiv q 1,...,q p ; µ j + iν k, k = 1, l sunt rǎdǎcinile complexe ale ecuaţiei (3.11) cu ordin de multiplicitate r j, iar P qj 1, Q rj 1 şi R rj 1 sunt polinoame de grad q j 1 respectiv r j 1. Dacǎ ecuaţia diferenţialǎ de ordinul n liniarǎ cu coeficienţi constanţi este neomogenǎ: a n x (n) + a n 1 x (n 1) +... + a 1 ẋ + a 0 x = f(t) (3.12) şi a n 0, iar f(t) este o funcţie continuǎ pe IR 1, atunci orice soluţie x = x(t) a acestei ecuaţii este de forma: x(t)= p l e λjt P qj 1(t)+ e [ µ jt Q rj 1(t) cosν j t+r rj 1(t) sin ν j t ] + x(t) j=1 j=1 unde x(t) este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (3.12). Dacǎ ecuaţia (3.12) nu are rǎdǎcini pur imaginare şi f este periodicǎ de perioadǎ T, atunci ecuaţia (3.12) are o singurǎ soluţie periodicǎ de perioadǎ T. Problema 3.3.1 Arǎtaţi cǎ ecuaţia diferenţialǎ: L d2 i dt 2 + R di dt + 1 C i = E 0 ω sin ωt care guverneazǎ evoluţia intensitǎţii curentului într-un circuit R, L, C (R, L, C constante pozitive) cuplat la o sursǎ de curent alternativ are o singurǎ soluţie periodicǎ pe perioadǎ 2π ω şi toate celelalte soluţii tind la aceastǎ soluţie. Rezolvare: Se considerǎ o soluţie particularǎ de forma i(t) = A cos ωt + B sin ωt care se înlocuieşte în ecuaţie şi se determinǎ constantele A şi B. Aceasta este soluţia periodicǎ cǎutatǎ. Dupǎ aceasta, se scrie formula unei soluţii oarecare i(t) şi se face diferenţa i(t) i(t) care este o soluţie a ecuaţiei omogene (f(t) = 0). Deoarece R > 0 se obţine cǎ i(t) i(t) 0 pentru t adicǎ, i(t) i(t).

90 CAPITOLUL 3 Exerciţii Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi prin metoda reducerii la un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi: 1. 2. a) ẍ x = 0 x(0) = 2 ẋ(0) = 0 R: x(t) = e t + e t b) ẍ + 2ẋ + x = 0 x(0) = 0 ẋ(0) = 1 R: x(t) = t e t c) ẍ 4ẋ + 4x = 0 x(1) = 1 ẋ(1) = 0 R: x(t) = 3e 2t 2 2te 2t 2 ( π ( π d) ẍ + x = 0 x = 1 ẋ = 0 R: x(t) = sin t 2) 2) e) ẍ + ẋ + x = 0 x(0) = 0 ẋ(1) = 1 R: x(t) = 2 3 3 e 1 2 t sin a)... x 2ẍ ẋ + 2x = 0 x(0) = 0 ẋ(0) = 1 ẍ(0) = 2 ( 3 2 ) b) R: x(t) = 1 2 et + 2 3 e2t 1 6 e t... x ẍ + ẋ x = 0 x(1) = 0 ẋ(1) = 1 ẍ(1) = 2 R: x(t) = e t 1 + (sin 1) sin t (cos 1) cost c) x (4) 5ẍ + 4x = 0 x(0) = 0 ẋ(0) = 1 ẍ(0) = 2... x(0) = 3 R: x(t) = 1 6 et + 1 6 e 2t 1 2 e t + 1 2 e2t

Calculul simbolic al soluţiilor sistemelor de ecuaţii liniare 91 3.4 Calculul simbolic al soluţiilor sistemelor de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi Pentru rezolvarea numericǎ a sistemelor de ecuaţii diferenţiale de ordin întâi Maple foloseşte funcţia dsolve (solve ordinary differential equations - ODEs) care a fost prezentǎ în capitolele precedente. În scrierea sintaxei ecuaţia diferenţialǎ va fi înlocuitǎ cu lista de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi care formeazǎ sistemul de ecuaţii, respectiv condiţia iniţialǎ va fi înlocuitǎ cu lista condiţiilor iniţiale x i (t 0 ) = x 0 i corespunzǎtoare fiecǎrei funcţii necunoscute x i (t), i = 1, n: dsolve({ode1, ODE2,..., ODEn}); dsolve({ode1, ODE2,..., ODEn}, {x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)}, extra.args); dsolve({ode1, ODE2,..., ODEn, x 1 (t 0 )=x 0 1, x 2 (t 0 )=x 0 2,..., x n (t 0 )=x 0 n}, {x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)}, extra.args); Pentru exemplificare, vom rezolva urmǎtoarele siteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi liniare cu coeficienţi constanţi: 1. Sistemul de douǎ ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi omogen: { x1 = x 1 +8x 2 (3.13) x 2 = x 1 + x 2 Pentru acest sistem vom considera condiţiile iniţiale x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 1 şi soluţia problemei cu date iniţiale va fi reprezentatǎ grafic utilizând trei instrucţiuni de plotare: > sys1_eq1:=diff(x1(t),t)=-x1(t)+8*x2(t); sys1 Eq1 := d x1 (t) = x1 (t) + 8x2 (t) dt > sys1_eq2:=diff(x2(t),t)=x1(t)+x2(t); sys1 Eq2 := d x2 (t) = x1 (t) + x2 (t) dt

92 CAPITOLUL 3 > dsolve(sys1_eq1,sys1_eq2,x1(0)=1,x2(0)=1,x1(t),x2(t)); {x2 (t) = 5/6 e 3t + 1/6 e 3t,x1 (t) = 5/3 e 3t 2/3 e 3t } > sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t): > sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t): > plot([sol_x1,sol_x2],t=0..1,color=[red,blue], style=[line,point]); Figura 13 Soluţia problemei cu date iniţiale asociatǎ acestui sistem va fi consideratǎ > with(detools): > DEplot(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(t),x2(t),t=0..1, > [[x1(0)=1,x2(0)=1]],x1=0..40,x2=0..20,scene= [x1(t),x2(t)]); Figura 14

Calculul simbolic al soluţiilor sistemelor de ecuaţii liniare 93 > with(detools): > DEplot3d(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(t),x2(t),t=0..1, > [[x1(0)=1,x2(0)=1]],x1=0..40,x2=0..20,scene= [t,x1(t),x2(t)]); Figura 15 Se observǎ cǎ, funcţia de plotare plot afişeazǎ curbele plane x 1 = x 1 (t) şi x 2 = x 2 (t) în acelaşi sistem de coordonate. Funcţia with(detools) : DEplot, odatǎ cu rezolvarea sistemului afişeazǎ perechile de puncte (x 1 (t), x 2 (t)) care corespund domeniului de variaţie a variabilei independente t. Funcţia with(detools) : DEplot3d permite reprezentarea în trei dimensiuni a curbei spaţiale ce reprezintǎ soluţia sistemului considerat. 2. Sistemul de trei ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi omogen: x 1 = x 1 x 2 x 2 = x 2 x 3 (3.14) x 3 = x 3 Pentru acest sistem considerǎm condiţiile iniţiale x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 1, x 3 (0) = 2, determinǎm soluţia problemei cu date iniţiale şi apoi o vom reprezenta grafic:

94 CAPITOLUL 3 > sys2_eq1:=diff(x1(t),t)=-x1(t)-x2(t); sys2 Eq1 := d x1 (t) = x1 (t) x2 (t) dt > sys2_eq2:=diff(x2(t),t)=-x2(t)-x3(t); sys2 Eq2 := d x2 (t) = x2 (t) x3 (t) dt > sys2_eq3:=diff(x3(t),t)=-x3(t); sys2 Eq3 := d x3 (t) = x3 (t) dt > dsolve({sys2_eq1,sys2_eq2,sys2_eq3},{x1(t),x2(t),x3(t)}); { x1 (t) = 1/2 ( C3 t 2 2 C2 t + 2 C1) e t, x2 (t) = ( C3 t C2)e t, x3 (t) = C3 e t } > dsolve({sys2_eq1,sys2_eq2,sys2_eq3,x1(0)=1,x2(0)=0, x3(0)=2}); { x1 (t) = 1/2 (2 t 2 + 2) e t x2 (t) = 2 te t, x3 (t) = 2 e t } > plot([1/2*(2*t^2+2)*exp(-t),-2*t*exp(-t),2*exp(-t)], t=-1.3..8,colour=[green,black,blue],thickness=[3,4,1], style=[line,point,line]); Figura 16 3. Sistemul de douǎ ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi neomogen: { x1 = x 1 x 2 + 3t 2 (3.15) x 2 = 4x 1 2x 2 + 2 + 8t

Calculul simbolic al soluţiilor sistemelor de ecuaţii liniare 95 Pentru acest sistem considerǎm condiţiile iniţiale x 1 (1) = 1, x 2 (1) = 0, determinǎm soluţia problemei cu date iniţiale reprezentǎm grafic acaestǎ soluţie: > sys3_eq1:=diff(x1(t),t)=x1(t)-x2(t)+3*t^2; sys3 Eq1 := d x1 (t) = x1 (t) x2 (t) + 3 t2 dt > sys3_eq2:=diff(x2(t),t)=-4*x1(t)-2*x2(t)+2+8*t; sys3 Eq2 := d x2 (t) = 4x1 (t) 2x2 (t) + 2 + 8 t dt > dsolve({sys3_eq1,sys3_eq2}); { x1 (t) = e 3 t C2 + e 2 t C1 t 2 x2 (t) = 4 e 3 t C2 e 2 t C1 + 2 t + 2 t 2, } > dsolve({sys3_eq1,sys3_eq2,x1(1)=1,x2(1)=0}); { x1 (t) = 12 5 e 2 e 2 t 2/5 e 3 e 3 t t 2, x2 (t) = 12 5 e 2 e 2 t 8/5 e 3 e 3 t + 2 t + 2 t 2 } > x1:=12/5*exp(-2)*exp(2*t)-2/5*exp(3)*exp(-3*t)-t^2: > x2:=-12/5*exp(-2)*exp(2*t)-8/5*exp(3)*exp(-3*t)+2*t+ 2*t^2: > plot([x1,x2],t=-0.1..2,color=[red,green],style= [line,point]); Figura 17

Capitolul 4 Teoreme de existenţǎ şi unicitate. Metode numerice. Proprietǎţi calitative ale soluţiilor. Integrale prime 4.1 Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi neliniare Fie problema cu date iniţiale ẋ = f(t, x); x(t 0 ) = x 0 (4.1) cu f : Ω IR 2 IR 1 şi (t 0, x 0 ) Ω. Vom enunţa şi demonstra o teoremǎ referitoare la existenţa unei soluţii (locale) a problemei cu date iniţiale (4.1). Considerǎm în acest scop douǎ numere a > 0 şi b > 0, astfel ca dreptunghiul sǎ fie inclus în Ω ; Ω. = {(t, x) t t 0 a şi x x 0 a} Teorema 4.1.1 (Cauchy- Lipschitz de existenţǎ a unei soluţii locale) Dacǎ funcţia f este continuǎ pe dreptunghiul şi este lipschitzianǎ în raport cu 96

Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 97 variabila x pe, atunci problema cu date iniţiale (4.1) are { o soluţie localǎ } definitǎ pe intervalul I h = [t 0 h, t 0 + h], unde h = min a,, M = max f(t, x) şi K este constanta lui Lipschitz pe : (t,x) f(t, x) f(t, y) K x y, (t, x), (t, y). b M, 1 K + 1 Demonstraţie: Considerǎm funcţia constantǎ x 0 (t) x 0 şi pornind de la ea, construim şirul de funcţii {x n (t)} n IN definit astfel: x 1 (t) = x 0 + x 2 (t) = x 0 + t t t 0 f(τ, x 0 (τ))dτ; t t 0 f(τ, x 1 (τ))dτ; x 3 (t) = x 0 + f(τ, x 2 (τ))dτ; t 0... t x n (t) = x 0 + f(τ, x n 1 (τ))dτ; t 0... ( )t I h. Arǎtǎm la început cǎ funcţiile din acest şir sunt bine definite. Aceasta revine la a arǎta cǎ pentru orice n 1 şi t I h avem (t, x n (t)) Ω. Folosim metoda inducţiei matematice, vom arǎta cǎ pentru orice t I h avem (t, x n (t)). Etapa I (a verificǎrii): Pentru n = 1 avem: x 1 (t) = x 0 + t t 0 f(τ, x 0 (τ))dτ; şi deci x 1 (t) x 0 M t t 0 Mh b, ( )t I h. Rezultǎ astfel cǎ (t, x 1 (t)) pentru orice t I h. Pentru n = 2 avem: x 2 (t) = x 0 + t t 0 f(τ, x 1 (τ))dτ;

98 CAPITOLUL 4 şi deci x 2 (t) x 0 M t t 0 Mh b, ( )t I h. Rezultǎ astfel cǎ (t, x 2 (t)) pentru orice t I h. Etapa II (a implicaţiei): Presupunem cǎ (t,x n (t)), ( ) t I h şi arǎtǎm cǎ (t, x n+1 (t)), ( ) t I h. Pentru aceasta calculǎm x n+1 (t) şi gǎsim x n+1 (t) = x 0 + t t 0 f(τ, x n (τ))dτ de unde x n+1 (t) x 0 M t t 0 Mh b, ( ) t I h. Rezultǎ (t, x n+1 (t)) pentru orice t I h. Astfel am arǎtat cǎ pentru ( )n 1 şi ( )t I h avem (t, x n (t)). Trecem acum sǎ evaluǎm maximul modulului x n+1 (t) x n (t) pe I h. Pentru aceasta, ţinem seamǎ de egalitǎţile: x n+1 (t) = x 0 + x n (t) = x 0 + pe care le scǎdem şi obţinem: t x n+1 (t) x n (t) K De aici rezultǎ inegalitatea: din care deducem: max t I h x n+1 (t) x n (t) max t I h x n+1 (t) x n (t) t t 0 f(τ, x n (τ))dτ t 0 f(τ, x n 1 (τ))dτ t t 0 x n (τ) x n 1 (τ) dτ K K + 1 max τ I h x n (τ) x n 1 (τ) ( ) n K max x 1 (t) x 0 K + 1 t I h ( ) n ( ) n K K M h b K + 1 K + 1

Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 99 Scriem acum funcţia x n = x n (t) sub forma: n 1 x n (t) = x 0 (t) + (x i+1 (t) x i (t)) şi remarcǎm cǎ, şirul x n (t) este şirul sumelor parţiale ale seriei de funcţii x 0 (t) + i=0 (x n+1 (t) x n (t)). n=0 ( ) n K Deoarece x n+1 (t) x n (t) b, ( ) t I h, din convergenţa seriei K + 1 ( ) n K numerice b, cu teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria de K + 1 n=0 funcţii x 0 (t) + (x n+1 (t) x n (t)) este absolut şi uniform convergentǎ pe n=0 intervalul I h, la o funcţie x = x(t). Prin urmare şirul sumelor parţiale, adicǎ şirul x n (t) converge uniform la funcţia x(t). Observǎm în continuare cǎ pentru ( ) t I h avem t [f(s, x n (s)) f(s, x(s))]ds K h max x n (s) x(s) t s I h 0 şi prin urmare, avem egalitatea: t lim n t 0 f(s, x n (s))ds = t t 0 f(s, x(s))ds, ( )t I h. Trecem acum la limitǎ în egalitatea x n+1 (t) = x 0 + t t 0 f(τ, x n (τ))dτ

100 CAPITOLUL 4 şi obţinem egalitatea x(t) = x 0 + t t 0 f(τ, x(τ))dτ. Aceasta aratǎ cǎ funcţia x(t) este de clasǎ C 1 şi verificǎ ẋ(t) = f(t, x(t)); x(t 0 ) = x 0. Am demonstrat în acest fel cǎ problema cu date iniţiale (4.1) are o soluţie definitǎ pe intervalul I h. S-ar putea ca problema (4.1) sǎ aibe soluţie definitǎ pe un interval mai mare ca intervalul I h. Aceasta este motivul pentru care soluţia gǎsitǎ se numeşte soluţie localǎ. Teorema 4.1.2 (Cauchy-Lipschitz de unicitate a soluţiei locale) Dacǎ sunt îndeplinite condiţiile din teorema lui Cauchy-Lipschitz de existenţǎ a unei soluţii locale a problemei cu date iniţiale (t 0, x 0 ), atunci problema (4.1) nu poate avea douǎ soluţii diferite pe un interval J, I h J t 0 Demonstraţie: Presupunem prin absurd cǎ funcţiile x, y : J I h IR 1 sunt douǎ soluţii locale ale problemei cu date iniţiale. Aceste soluţii verificǎ: x(t) = x 0 + t t 0 f(τ, x(τ))dτ, y(t) = y 0 + Rezultǎ de aici cǎ, funcţiile x(t) şi y(t) verificǎ inegalitatea: x(t) y(t) < ε + K De aici rezultǎ cǎ: t t t 0 f(τ, y(τ))dτ. x(τ) y(τ) dτ ( )t J. ( )ε > 0. t 0 x(t) y(t) ε e K t t 0 ( )t J, ( )ε > 0. Pentru t J, t fixat, trecem la limitǎ pentru ε 0 şi obţinem cǎ x(t) = y(t), ( )t J. Problema 4.1.1 Se ştie cǎ materia radioactivǎ se dezintegreazǎ şi viteza de dezintegrare este

Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 101 proporţionalǎ, la orice moment, cu cantitatea de materie radioactivǎ rǎmasǎ. Dacǎ x(t) reprezintǎ cantitatea de materie radioactivǎ rǎmasǎ atunci ẋ = a x, unde a este o constantǎ pozitivǎ. În cazul dezintegrǎrii carbonului radioactiv C 14, a = 1 şi deci în acest 8000 caz, ecuaţia devine ẋ = 1 8000 x. Arǎtaţi cǎ, dacǎ la un moment t 0 se cunoaşte cantitatea de carbon radioactiv C 14 dintr-o mostrǎ de animal sau plantǎ gǎsitǎ într-un strat geologic, atunci se poate reconstitui vârsta acelei mostre. Rezolvare Fie x 0 cantitatea de carbon radioactiv C 14 dintr-o mostrǎ la momentul t 0. Problema cu date iniţiale: { ẋ = 1 8000 x x(t 0 ) = x 0 are soluţie unicǎ şi aceasta este datǎ de x(t; t 0, x 0 ) = x 0 e 1 8000 (t t 0). Dacǎ x 1 este valoarea normalǎ a cantitǎţii de carbon radioactiv C 14 în starea vie a animalului sau plantei atunci, egalând x 1 = x 0 e 1 8000 (t t 0) gǎsim o ecuaţie în t, care ne dǎ timpul t în care animalul sau planta erau vii, iar diferenţa t t 0 aratǎ vârsta mostrei. Problema 4.1.2 Un rezervor cilindric are o gaurǎ circularǎ la bazǎ prin care lichidul din rezervor se poate scurge. O întrebare asemǎnǎtoare cu cea din Problema 4.1.1 este urmatoarea: dacǎ la un moment dat vedem cǎ rezervorul este gol putem oare sǎ ştim dacǎ acesta a fost odatǎ plin şi când? Rǎspunsul este evident nu. Cum se explicǎ?

102 CAPITOLUL 4 Rezolvare: Fie x(t) înǎlţimea lichidului din rezervor la momentul t. Notǎm cu A aria bazei cilindrului şi cu a aria gǎurii. Dupǎ legea lui Toricelli avem: ẋ = a A 2g x Dacǎ I este înǎlţimea rezervorului, atunci x = I corespunde la situaţia când rezervorul este plin şi x = 0 la situaţia când rezervorul este gol. Dacǎ la momentul t = 0 rezervorul este plin, atunci x(0) = I şi avem: 2 u x I = a A 2g t de unde: ( a ) 2 x(t) = I 2g t. 2A Timpul de golire este t = 2A I şi deci: a 2g ( a 2g t a x(t) = 2A 2A 2g ) 2 t pentru 0 t t 0 pentru t t reprezintǎ legea de golire a rezervorului dacǎ acesta a fost plin la momentul t = 0. Existǎ o infinitate de soluţii x(t) ale ecuaţiei ẋ = a A 2g x care pentru t = t sunt egale cu zero. Acestea sunt date de formula: 2g a 2 x τ (t) = 4A (t 2 t τ) 2 pentru τ t t τ 0 pentru t t τ Soluţia x τ (t) reprezintǎ legea de golire a rezervorului care la momentul τ a fost plin. Pe lângǎ aceste soluţii problema Cauchy ẋ = a 2g A x(t ) = 0 x

Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 103 mai are ca soluţie funcţia identic nulǎ x(t) = 0. Aceastǎ soluţie corespunde situaţiei în care rezervorul nu a fost umplut niciodatǎ. Rezultǎ astfel cǎ soluţiile problemei Cauchy descriu toate situaţiile posibile şi multitudinea acestora se manifestǎ prin neunicitatea soluţiei problemei Cauchy. Concluzii 1. Dacǎ variabila de stare x(t) a unui proces fizic sau chimic este soluţia unei probleme cu date iniţiale ẋ = f(t, x), x(t 0 ) = x 0, atunci aceastǎ variabilǎ de stare trebuie cǎutatǎ printre soluţiile acestei probleme Cauchy. 2. Dacǎ problema cu date iniţiale în cauzǎ are o singurǎ soluţie, atunci gǎsind-o este clar cǎ aceasta este cea care descrie evoluţia în timp a variabilei de stare. 3. Dacǎ problema cu date iniţiale în cauzǎ are mai multe soluţii, atunci gǎsind una din aceste soluţii nu avem nici un drept sǎ susţinem cǎ aceasta este aceea care descrie evoluţia în timp a variabilei de stare. Mai precis, avem nevoie de informaţii suplimentare care sǎ permitǎ identificarea acelei soluţii care descrie evoluţia variabilei de stare. 4. În caz de neunicitate gǎsirea unei soluţii a problemei cu date iniţiale nu înseamna rezolvarea problemei de fizicǎ.

104 CAPITOLUL 4 4.2 Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi neliniare Definiţia 4.2.1 Un sistem de ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul întâi explicit este un sistem de n relaţii de dependenţǎ funcţionalǎ de forma: ẋ 1 = f 1 (t, x 1, x 2,..., x n ) ẋ 2 = f 2 (t, x 1, x 2,..., x n )... ẋ n = f n (t, x 1, x 2,..., x n ) (4.2) dintre un sistem de n funcţii necunoscute x 1, x 2,..., x n şi derivatele acestora ẋ 1, ẋ 2,..., ẋ n. În sistemul (4.2) funcţiile f 1, f 2,..., f n sunt funcţii reale considerate cunoscute definite pe I D; I IR 1, I interval deschis şi D IR n, D domeniu. Definiţia 4.2.2 Un sistem ordonat de n funcţii reale x 1, x 2,..., x n definite pe un interval J I, de clasǎ C 1 este o soluţie a sistemului (4.2) dacǎ (t, x 1 (t),..., x n (t)) I Ω, ( )t J şi: dx 1 dt = f 1(t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) dx 2 dt = f 2(t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t))... dx n = f n (t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) dt pentru orice t J. Definiţia 4.2.3 Fiind date: t 0 I şi (x 0 1,..., x0 n ) D problema determinǎrii soluţiei x 1 (t),..., x n (t) a sistemului (4.2) care verificǎ x i (t 0 ) = x 0 i pentru i = 1, n, se numeşte problemǎ cu date iniţiale sau problemǎ Cauchy. Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (4.2) notǎm F : I D IR n funcţia matricealǎ definitǎ prin F(t, x 1, x 2,..., x n ) = (f 1 (t, x 1,..., x n ), f 2 (t, x 1,..., x n ),..., f n (t, x 1,..., x n )) T

Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi105 şi cu X matricea coloanǎ (x 1, x 2,..., x n ) T. Cu aceste notaţii sistemul (4.2) se scrie sub forma matricealǎ: Ẋ = F(t, X). (4.3) În aceastǎ problemǎ derivarea funcţiei matriceale X(t) înseamnǎ derivarea elementelor matricei. Observaţia 4.2.1 Problema cu date iniţiale (problema Cauchy) se scrie matriceal sub forma: Ẋ = F(t, X) (4.4) X(t 0 ) = X 0 şi constǎ în determinarea funcţiei matriceale X(t) care verificǎ (4.3) şi condiţia iniţialǎ X(t 0 ) = X 0. Observaţia 4.2.2 O funcţie X : J I IR n de clasǎ C 1 este soluţie a problemei (4.4) dacǎ Ẋ = F(t, X(t)), ( )t J şi X(t 0) = X 0 (se presupune cǎ t 0 J). Considerǎm a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul : sǎ fie inclus în domeniul I D. = { (t, x) : t t 0 a şi x x 0 b } Teorema 4.2.1 (Cauchy-Lipschitz de existenţǎ a unei soluţii locale) Dacǎ funcţia F este continuǎ pe şi este lipschitzianǎ în raport cu X pe, atunci problema cu date iniţiale (4.4) are o soluţie localǎ definitǎ pe intervalul I h = [t 0 h, t 0 + h] unde h = min K este constanta lui Lipschitz: { a, b M, 1 K + 1 } ; M = max F(t, X) şi (t,x) F(t, X ) F(t, X ) K X X, ( ) (t, X ), (t, X ).

106 CAPITOLUL 4 Demonstraţie: Construim urmǎtorul şir de funcţii: X 0 (t) = X 0 X 1 (t) = X 0 + t t 0 F(τ, X 0 (τ))dτ t X 2 (t) = X 0 + F(τ, X 1 (τ))dτ t... 0 t X k+1 (t) = X 0 + F(τ, X k (τ))dτ t... 0 Funcţiile din acest şir sunt corect definite, întrucât pentru orice t I h şi k IN are loc apartenenţa (t, X k (t)) (demonstraţia se face prin inducţie). Urmând raţionamentul din paragraful precedent evaluǎm diferenţa max t I h X k+1 (t) X k (t) şi gǎsim: max t I h X k+1 (t) X k (t) de unde deducem inegalitatea K K + 1 max t I h X k (t) X k 1 (t), ( ) k K max X k+1 (t) X k (t) b. t I h K + 1 Scriem acum funcţia X k (t) sub forma: k 1 ( X k (t) = X 0 (t) + X i+1 (t) X i (t) ) i=0 şi remarcǎm cǎ, şirul { X k (t) } este şirul sumelor parţiale ale seriei de k IN funcţii [ X 0 (t) + X i+1 (t) X i (t) ]. Deoarece i=0 X k+1 (t) X k (t) ( ) k K b K + 1

Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi107 pentru orice t I h, din convergenţa seriei numerice b teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria de funcţii [ X 0 (t) + X k+1 (t) X k (t) ] k=0 k=0 ( ) k K, folosind K + 1 este absolut şi uniform convergentǎ pe intervalul I h, la o funcţie X(t). Astfel, şirul sumelor parţiale adicǎ şirul X k (t), converge uniform la funcţia X(t). Inegalitatea: t [F(τ, X k (τ)) F(τ, X(τ))]dτ K h max X k (τ) X(τ) t τ I h 0 valabilǎ pentru orice t I h şi k IN permite sǎ obţinem egalitatea: t lim k t 0 F(τ, X k (τ))dτ = Trecem acum la limitǎ în egalitatea: şi obţinem: X k+1 (t) = X 0 + t t t t 0 F(τ, X(τ))dτ. t 0 F(τ, X k (τ))dτ X(t) = X 0 + F(τ, X(τ))dτ. t 0 Aceasta aratǎ cǎ funcţia X(t) este de clasǎ C 1 şi verificǎ Ẋ(t) = F(t, X(t)) X(t 0 ) = X 0 În concluzie, problema cu date iniţiale (4.4) are o soluţie definitǎ pe intervalul I h. Este posibil ca problema(4.4) sǎ aibe soluţie definitǎ pe un interval J mai mare ca intervalul I h. Acesta este motivul pentru care soluţia gǎsitǎ se numeşte soluţie localǎ. Teorema 4.2.2 (Cauchy-Lipschitz de unicitate a soluţiei locale) Dacǎ sunt indeplinite condiţiile din teorema Cauchy-Lipschitz de existenţǎ a unei soluţii locale pentru problema cu date iniţiale (t 0, X 0 ), atunci problema (4.4) nu poate avea douǎ soluţii diferite pe un interval J I h, t 0 J.

108 CAPITOLUL 4 Demonstraţie: Presupunem prin absurd cǎ funcţiile X, X : J I h IR n (t 0 J) sunt douǎ soluţii locale ale problemei cu date iniţiale (4.4). Aceste soluţii verificǎ: X (t) = X 0 + t t F(τ, X (τ))dτ, X (t) = X 0 + F(τ, X (τ))dτ. t 0 t 0 De aici rezultǎ cǎ X (t), X (t) satisfac inegalitatea: t X (t) X (t) < ε + K X (τ) X (τ) dτ ( ) t J, ( ) ε > 0, t 0 de unde se obţine: X (t) X (t) < εe K t t 0 ( )t J, ( )ε > 0. Trecând la limitǎ pentru ε 0 se obţine egalitatea X (t) = X (t), ( )t J, t fixat.

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 109 4.3 Proprietǎţi calitative ale soluţiilor Considerǎm I IR 1 un interval deschis, D IR n un domeniu, F : I D IR n o funcţie vectorialǎ şi sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi scris sub forma matricealǎ: Ẋ = F(t, X). (4.5) Fie X 1 : J 1 I D şi X 2 : J 2 I D douǎ soluţii locale ale sistemului (4.5). Definiţia 4.3.1 Zicem cǎ soluţia localǎ X 2 este o prelungire a soluţiei locale X 1 şi notǎm X 1 X 2, dacǎ J 1 J 2 şi X 1 (t) = X 2 (t) pentru orice t J 1. Relaţia binarǎ X 1 X 2 introdusǎ în mulţimea soluţiilor locale ale sistemului (4.5) este o relaţie de ordine parţialǎ. Definiţia 4.3.2 Orice soluţie localǎ a sistemului (4.5) care este element maximal (i.e. nu mai poate fi prelungitǎ) se numeşte soluţie saturatǎ. O soluţie saturatǎ este o soluţie care nu este prelungibilǎ. Teorema 4.3.1 Dacǎ funcţia F : I D IR n este de clasǎ C 1 pe domeniul Ω = I D şi (t 0, X 0 ) I D, atunci problema cu date iniţiale: Ẋ = F(t, X) (4.6) X(t 0 ) = X 0 are soluţie saturatǎ X(t; t 0, X 0 ) unicǎ. Demonstraţie: Vom face demonstraţia pentru cazul n = 1, cazul n 2 fǎcându-se analog. Considerǎm familia de funcţii {x α } α Λ, x α : I α IR 1, t 0 I α, formatǎ cu toate soluţiile locale ale problemei: ẋ = f(t, x) (4.7) x(t 0 ) = x 0 Teorema Cauchy-Lipschitz de existenţǎ şi unicitate a soluţiei locale pentru problema cu date iniţiale în cazul unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, asigurǎ faptul cǎ aceastǎ familie de funcţii are cel puţin un element.

110 CAPITOLUL 4 Considerǎm intervalul deschis I = α Λ I α, precum şi funcţia x = x(t) definitǎ pe I în modul urmǎtor: pentru t I considerǎm α Λ, astfel ca t I α şi definim x(t) = x α (t). Aceastǎ definiţie este corectǎ dacǎ, pentru orice t I α I α, avem x α (t) = x α (t). Analizǎm aceastǎ implicaţie pentru t > t 0 (cazul t < t 0 se trateazǎ la fel). Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ existǎ t 1 > t 0, t 1 I α I α, astfel ca x α (t 1 ) x α (t 1 ). Considerǎm în continuare t = inf{t 1 : t 1 > t 0, t 1 I α I α, x α (t 1 ) x α (t 1 )} şi remarcǎm cǎ x α (t ) = x α (t ) = x. Punctul (t, x ) este în domeniul Ω, (t, x ) Ω, şi putem considera constantele pozitive a, b, K astfel ca: - dreptunghiul = {(t, x): t t a, x x b } sǎ fie inclus în Ω ( Ω); - intervalul [t, t + a ] sǎ fie inclus în intersecţia I α I α ; - pentru orice t [t, t + a ] sǎ avem: x α (t) x b şi x α (t) x b ; - pentru orice (t, x), (t, y) sǎ avem: f(t, x) f(t, y) K x y. Fie acum t 1 [t, t + a ], astfel ca x α (t 1 ) x α (t 1 ). Din definiţia lui t rezultǎ cǎ, existǎ asemenea puncte t 1, oricât de aproape de t Pentru t 1 fixat, fie ε > 0 astfel ca ε < x α (t 1 ) x α (t 1 ) e K a. Pe de altǎ parte, pentru orice t [t, t + a ] avem: x α (t) = x + t t f(s, x α (s))ds,

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 111 x α (t) = x + t f(s, x α (s))ds, din care rezultǎ inegalitǎţile: t t x α (t) x α (t) f(s, x α (s)) f(s, x α (s)) ds t t t K x α (s) x α (s) ds < ε + K x α (s) x α (s)) ds. t Astfel, obţinem cǎ: t x α (t) x α (t) < εe K a, ( ) t [t, t + a ]. iar din modul de alegere a lui ε rezultǎ inegalitatea: x α (t) x α (t) < x α (t 1 ) x α (t 1 ), ( ) t [t, t + a ] care este o contradicţie. Astfel, rezultǎ în final cǎ funcţia x = x(t) este corect definitǎ pe intervalul I. Urmeazǎ sǎ arǎtǎm cǎ funcţia x = x(t) este soluţie a problemei cu date iniţiale (4.7). Deoarece pentru orice α Λ avem x α (t 0 ) = x 0, rezultǎ: x(t 0 ) = x 0. Fie acum t 1 I şi α 1 Λ, astfel ca t 1 I α1. Pentru orice t I α1, avem x(t) = x α1 (t) şi prin urmare ẋ(t) = ẋ α1 (t) = f(t, x α1 (t)) = f(t, x(t)), ( )t I α1. În particular, pentru t = t 1 avem ẋ(t 1 ) = f(t, x(t 1 )). Rezultǎ în acest fel cǎ funcţia x = x(t) este soluţie a problemei cu date iniţiale (4.7).

112 CAPITOLUL 4 Urmeazǎ sǎ mai arǎtǎm cǎ funcţia x = x(t) definitǎ pe intervalul I este o soluţie saturatǎ. Fie în acest scop y : J IR 1 (J interval deschis, t 0 J) o soluţie localǎ a problemei cu date iniţiale (4.7). Evident, funcţia y aparţine familiei {x α } α Λ şi prin urmare: J I = α Λ I α şi x(t) = y(t). Astfel am demonstrat existenţa şi unicitatea soluţiei saturate a problemei cu date iniţiale (4.7). Aceastǎ soluţie saturatǎ va fi notatǎ cu x = x(t; t 0, x 0 ) iar intervalul deschis pe care este definitǎ aceastǎ soluţie saturatǎ va fi notat cu I 0. În condiţiile din teorema precedentǎ considerǎm soluţia saturatǎ X(t; t 0, X 0 ) a problemei Cauchy (4.6) definitǎ pe intervalul deschis I 0 = (α 0, β 0 ) I. Teorema 4.3.2 Pentru orice t 1 I 0 soluţia saturatǎ X(t;t 1,X(t 1 ;t 0,X 0 )) a problemei cu date iniţiale Ẋ = F(t, X), X(t 1 ) = X(t 1 ; t 0, X 0 ) = X 1 (4.8) coincide cu soluţia saturatǎ X(t; t 0, X 0 ). Demonstraţie: Vom face demonstraţia pentru cazul n = 1, analog fǎcânduse în cazul n 2. Notǎm cu I 1 = (α 1, β 1 ) intervalul de definiţie a soluţiei saturate a problemei cu date iniţiale: ẋ = f(t, x), x(t 1 ) = x(t 1 ; t 0, x 0 ) = x 1. (4.9) Deoarece x(t 1 ; t 0, x 0 ) = x 1, funcţia x = x(t; t 0, x 0 ) este soluţie localǎ a problemei cu date iniţiale (4.9). Rezultǎ cǎ I 0 I 1 şi x(t; t 0, x 0 ) = x(t; t 1, x 1 ), ( ) t I 0. Pe de altǎ parte, din faptul cǎ x(t; t 0, x 0 ) este soluţie saturatǎ, rezultǎ cǎ I 0 I 1 şi x(t; t 0, x 0 ) = x(t; t 1, x 1 ). Teorema 4.3.3 Dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condiţii: (i) β 0 < + (respectiv α 0 > ); (ii) şirul de numere {t n } n din I 0 converge la β 0 (respectiv α 0 );

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 113 (iii) şirul de vectori {X(t n ; t 0, X 0 )} n este convergent la un vector Λ, atunci punctul (β 0, Λ) (respectiv (α 0, Λ)) aparţine frontierei domeniului Ω = I D; (β 0, Λ) Ω (respectiv (α 0, Λ) Ω ) Demonstraţie: Facem demonstraţia pentru n = 1 urmând ca pentru n 2 sǎ se facǎ în mod analog. Pentru orice t I 0 punctul (t, x(t; t 0, x 0 )) aparţine domeniului Ω şi, prin urmare, punctul (β 0, λ) aparţine aderenţei domeniului Ω, (β 0, λ) Ω. Putem arǎta cǎ (β 0, λ) aparţine frontierei Ω, arǎtând cǎ (β 0, λ) nu aparţine domeniului Ω. Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ (β 0, λ) Ω. Considerǎm a > 0, b > 0, K > 0, M > 0 astfel ca dreptunghiul = {(t, x) : t β 0 a, x λ b} sǎ fie inclus în domeniul Ω ( Ω), funcţia f sǎ verifice f(t, x) M pentru orice (t, x), şi f(t, x) f(t, y) K x { y pentru orice (t, x), (t, y). Fie acum ε > 0 astfel ca ε < min a 2ε, b 2ε } M, 1 şi t 1 < β 0 K + 1 astfel ca t 1 β 0 < ε şi x(t 1 ; t 0, x 0 ) λ < ε. Soluţia saturatǎ x = x(t; t 1, x(t 1 ; t 0, x 0 )) a problemei cu date iniţiale este definitǎ cel puţin pe intervalul şi verificǎ ẋ = f(t, x), x(t 1 ) = x(t 1 ; t 0, x 0 ) I δ = [t 1 δ, t 1 + δ] cu δ = min { a 2ε, b 2ε } M, 1 K + 1 x(t; t 1, x(t 1 ; t 0, x 0 )) = x(t; t 0, x 0 ), ( ) t I δ I 0. Întrucât t 1 + δ > t 1 + ε > β 0, rezultǎ cǎ soluţia saturatǎ x(t; t 0, x 0 ) este prelungibilǎ, ceea ce este absurd. Teorema 4.3.4 Dacǎ I = IR 1, D = IR n şi β 0 < + (respectiv α 0 > ), atunci soluţia saturatǎ X(t; t 0, X 0 ) este nemǎrginitǎ pe [t 0, β 0 ) (respectiv (α 0, t 0 ]).

114 CAPITOLUL 4 Demonstraţie: Pentru cazul n = 1, raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ soluţia saturatǎ x = x(t; t 0, x 0 ) este mǎrginitǎ pe [t 0, β 0 ). Considerǎm m > 0, astfel ca x(t; t 0, x 0 ) m, ( ) t [t 0, β 0 ) şi t n [t 0, β 0 ) astfel încât lim t n = β 0. Şirul {x(t n ; t 0, x 0 )} n este mǎrgint şi are un subşir n convergent la un numǎr λ. Deoarece Ω = IR n punctul (β 0, λ) aparţine lui Ω, ceea ce este în contradicţie cu teorema precedentǎ. Pentru cazul n 2 se raţioneazǎ în mod analog. Teorema 4.3.5 Dacǎ I = IR 1, D = IR n şi F este lipschitzianǎ pe orice bandǎ de forma = J IR n, unde J IR 1 este un interval compact oarecare, atunci orice soluţie saturatǎ este definitǎ pe IR 1. Demonstraţie: Pentru cazul n = 1, raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ intervalul de definiţie I 0 = (α 0, β 0 ) al soluţiei saturate x = x(t; t 0, x 0 ) este mǎrginit la dreapta: β 0 < +. Pentru t [t 0, β 0 ) scriem inegalitatea: t x(t; t 0, x 0 ) x 0 f(s, x(s : t 0, x 0 )) f(s, x 0 ) ds + f(s, x 0 ) ds t 0 t 0 t K β0 x(s; t 0, x 0 ) x 0 ds + (β 0 t 0 ) sup f(s, x 0 ). t 0 s [t 0,β 0 ] Rezultǎ de aici cǎ pentru orice t [t 0, β 0 ] avem: x(t; t 0, x 0 ) x 0 (β 0 t 0 ) t sup f(s, x 0 ) e K β 0 (β 0 t 0 ). s [t 0,β 0 ] Aceastǎ inegalitate aratǎ cǎ funcţia x(t; t 0, x 0 ) este mǎrginitǎ pe intervalul [t 0, β 0 ), ceea ce este în contradicţie cu concluzia din teorema anterioarǎ. Analog se face raţionamentul pentru cazul n 2. Consecinţa 4.3.1 Dacǎ I = (a, b), D = IR n şi β 0 < b (respectiv α 0 > a), atunci soluţia saturatǎ este nemǎrginitǎ pe intervalul [t 0, β) (respectiv (α 0, t 0 ]). Consecinţa 4.3.2 Dacǎ I = (a, b), D = IR n şi F este lipschitzianǎ în raport cu X pe orice bandǎ de forma J I, unde J IR 1 este un interval compact inclus în I, atunci orice soluţie saturatǎ este definitǎ pe I.

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 115 Teorema 4.3.6 Dacǎ funcţia de clasǎ C 1, F : IR 1 IR n IR n nu depinde de t, atunci pentru orice X 0 IR n şi t 1, t 2 IR 1, avem: X(t 1 + t 2 ; 0, X 0 ) = X(t 2 ; 0, X(t 1 ; 0, X 0 )) = X(t 1 ; 0, X(t 2 ; 0, X 0 )) Demonstraţie: Demonstrǎm teorema pentru n = 1. Se observǎ cǎ pentru t 2 = 0 au loc: x(t 1 + t 2 ; 0, x 0 ) = x(t 2 ; 0, x(t 1 ; 0, x 0 )) = x(t 1 ; 0, x(t 2 ; 0, x 0 )). În continuare se remarcǎ faptul cǎ avem egalitatea: d dt x(t + t 1; 0, x 0 ) = f(x(t + t 1 ; 0, x 0 )) şi deducem cǎ x(t+t 1 ; 0, x 0 ) este soluţia saturatǎ a problemei cu date iniţiale Rezultǎ în acest fel egalitatea: ẋ = f(x), x(0) = x(t 1 ; 0, x 0 ). x(t + t 1 ; 0, x 0 ) = x(t; 0, x(t 1 : 0, x 0 ), pentru orice t. În particular, pentru t = t 2, se obţine prima egalitate din enunţ. Pentru cazul n 2 teorema se demonstreazǎ analog. Fie I un interval real deschis (I IR 1 ), Ω un domeniu deschis în IR n (Ω IR n ) şi F : I Ω IR n, F = F(t, X) o funcţie de clasǎ C 1. Considerǎm în continuare condiţia iniţialǎ (t 0, X 0 ) I Ω şi soluţia maximalǎ X = X(t; t 0, X 0 ) a problemei Cauchy Ẋ = F(t, X), X(t 0 ) = X 0. Notǎm cu I 0 intervalul de definiţie al soluţiei maximale X = X(t; t 0, X 0 ). Teorema 4.3.7 (de dependenţǎ continuǎ de poziţia iniţialǎ X 0 ) Pentru orice interval compact I = [T 1, T 2 ], inclus în intervalul I 0 (I I 0 ), care conţine punctul t 0 în interior (t 0 I ) şi pentru orice ε > 0, existǎ

116 CAPITOLUL 4 δ = δ(ε, I ), astfel ca, pentru orice X 1 cu X 1 X 0 < δ, soluţia saturatǎ X 1 = X 1 (t; t 0, X 1 ) a problemei Cauchy Ẋ = F(t, X) X(t 0 ) = X 1 este definitǎ cel puţin pe intervalul I şi verificǎ inegalitatea: X(t; t 0, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) < ε, ( ) t I. Demonstraţie: Pentru t I, fie a t > 0 şi b t > 0, astfel ca cilindrul t = {(τ, X) : τ t a t şi X X(t; t 0, X 0 ) b t } sǎ fie inclus în mulţimea I Ω ( t I Ω). Mulţimea Γ definitǎ prin Γ = {(t, X(t; t 0, X 0 )) : t I } este compactǎ şi este inclusǎ în mulţimea t I t; Γ t I finit de puncte t 1, t 2,..., t q în I, astfel ca Γ q t. Existǎ, prin urmare, un numǎr j=1 tj. Considerǎm funcţia d(y, Z) = Y Z definitǎ pentru Y Γ şi Z de pe q frontiera mulţimii tj ; Z ( q tj ). j=1 j=1 Existǎ r > 0, astfel ca d(y, Z) > r, pentru orice Y Γ şi Z ( q tj ). Tubul de securitate, definit prin: = {(t, X) : t I şi X X(t; t 0, X 0 ) r} verificǎ urmǎtoarele incluziuni: q j=1 t j I Ω şi existǎ K > 0, astfel ca, pentru orice (t, X 1 ), (t, X 2 ) sǎ avem: F(t, X 1 ) F(t, X 2 ) K X 1 X 2 (o funcţie local Lipschitzianǎ este global Lipschitzianǎ pe compacte). Notǎm cu h = max{t 2 t 0, t 0 T 1 } şi considerǎm ε, 0 < ε < r. Fie δ = δ(ε, I ) = ε 2 1 e Kh şi X 1, astfel ca X 1 X 0 < δ. Notǎm cu j=1

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 117 I 1 intervalul de definiţie a soluţiei saturate X = X(t; t 0, X 1 ) a problemei Cauchy: Ẋ = F(t, X) X(t 0 ) = X 1. Vom arǎta acum cǎ: X(t; t 0, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) < ε 2 pentru orice t I I 1. Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ existǎ t 1 I I 1 astfel ca X(t 1 ; t 0, X 1 ) X(t 1 ; t 0, X 0 ) ε. De aici rezultǎ cǎ, cel puţin pentru 2 unul din numerele α 1, α 2, definite prin { α 1 =inf t I I 1 : X(τ; t 0, X 1 ) X(τ; t 0, X 0 ) < ε } 2, ( ) τ [t, t 0], { α 2 =sup t I I 1 : X(τ; t 0, X 1 ) X(τ; t 0, X 0 ) < ε } 2, ( ) τ [t 0, t], are loc egalitatea X(α i ; t 0, X 1 ) X(α i ; t 0, X 0 ) = ε, i = 1, 2. 2 Sǎ presupunem de exemplu cǎ X(α 2 ; t 0, X 1 ) X(α 2 ; t 0, X 0 ) = ε 2. Pe de altǎ parte, pentru orice t [t 0, α 2 ] avem: +K t X(t; t 0, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) X 1 X 0 + t 0 X(τ; t 0, X 1 ) X(τ; t 0, X 0 ) dτ X 1 X 0 e K h < ceea ce constituie o contradicţie şi prin urmare: ε 2. pentru orice t I I 1. X(t; t 0, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) < ε 2

118 CAPITOLUL 4 Vom arǎta în continuare cǎ α = inf I 1 T 1 şi cǎ β = sup I 1 T 2. Din nou raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem de exemplu cǎ β < T 2. Pentru orice t [t 0, β) avem inegalitǎţile: +K t X(t; t 0, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) X 1 X 0 + t 0 X(τ; t 0, X 1 ) X(τ; t 0, X 0 ) dτ X 1 X 0 e K h < În plus, pentru orice t, t cu t 0 < t < t < β avem inegalitatea: X(t ; t 0, X 1 ) X(t ; t 0, X 1 ) M t t, unde M = sup F(t, X). (t,x) Acestea demonstreazǎ cǎ existǎ limita: λ = lim t β X(t; t 0, X 1 ) şi (β, λ). Contradicţie. Inegalitǎţile stabilite sunt valabile deci pe întreg intervalul I şi astfel teorema este demonstratǎ. Teorema 4.3.8 (de dependenţǎ continuǎ de condiţia iniţialǎ (t 0, X 0 )) Pentru orice interval compact I = [T 1, T 2 ], inclus în intervalul I 0 (I I 0 ), care conţine punctul t 0 în interior (t 0 I ) şi pentru orice ε > 0, existǎ δ = δ(ε, I ), astfel ca, pentru orice condiţie iniţialǎ (t 1, X 1 ) cu t 1 t 0 < δ şi X 1 X 0 < δ, soluţia saturatǎ X 1 = X 1 (t; t 1, X 1 ) a problemei Cauchy Ẋ = F(t, X) X(t 0 ) = X 1 este definitǎ cel puţin pe intervalul I şi verificǎ inegalitatea: X(t; t 1, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) < ε, ( ) t I. ε 2.

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 119 Demonstraţie: Fie r > 0 şi K > 0, astfel ca tubul, definit prin = {(t, X) : t I, X X(t; t 0, X 0 ) r} sǎ fie inclus în mulţimea I Ω ( I Ω) şi pentru orice (t, X 1 ), (t, X 2 ) sǎ avem Considerǎm numerele: F(t, X 1 ) F(t, X 2 ) K X 1 X 2. h 1 = min{t 2 t 0, t 0 T 1 }; h 2 = max{t 2 t 0, t 0 T 1 }; M = sup F(t, X) ; (t,x) un numǎr ε, 0 < ε < r şi numǎrul δ = δ(ε, I ), definit astfel: δ = 2 1 min{h 1, ε (M + 1) 1 e K(h 1+h 2 ) } Pentru (t 1, X 1 ) cu t 1 t 0 < δ şi X 1 X 0 < δ avem inegalitǎţile: T 1 < t 1 < T 2, X 1 X(t 1 ; t 0, X 0 ) X 1 X 0 + X 0 X(t 1 ; t 0, X 0 ) < < δ (M + 1) < ε 2 < r; şi prin urmare (t 1, X 1 ) I Ω. Fie X 1 = X(t; t 1, X 1 ) soluţia maximalǎ a problemei Cauchy: Ẋ = F(t, X) X(t 0 ) = X 1 definitǎ pe intervalul I 1. Vom arǎta cǎ X(t; t 1, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) < ε pentru orice 2 t I I 1. Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ existǎ t 2 I I 1, astfel ca X(t 2 ; t 1, X 1 ) X(t 2, t 0, X 0 ) ε 2. Rezultǎ de aici cǎ cel puţin pentru unul din numerele α 1, α 2 definite prin { α 1 =inf t I I 1 : X(τ; t 0, X 1 ) X(τ; t 0, X 0 ) < ε } 2, ( ) τ [t, t 1]

120 CAPITOLUL 4 { α 2 =sup t I I 1 : X(τ; t 0, X 1 ) X(τ; t 0, X 0 ) < ε } 2, ( ) τ [t 1, t] se realizeazǎ egalitatea: X(α i ; t 1, X 1 ) X(α i ; t 0, X 0 ) = ε, i = 1, 2. 2 Sǎ presupunem, de exemplu, cǎ avem: X(α 2 ; t 1, X 1 ) X(α 2 ; t 0, X 0 ) = ε 2 Pe de altǎ parte, pentru orice t [t 1, α 2 ] avem inegalitǎţile: X(t; t 1, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) t X 1 X(t 1 ; t 0, X 0 ) + K X(τ; t 1, X 1 ) X(τ; t 0, X 0 ) dτ t 1 X 1 X(t 1 ; t 0, X 0 ) e K(h 1+h 2 ) < (M + 1) δ e K(h 1+h 2 ) < ε 2. Contradicţie. Prin urmare, X(t; t 1, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) < ε 2, ( ) t I I 1. Vom arǎta în continuare cǎ α = inf I 1 T 1 şi β = sup I 1 T 2. Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem de exemplu cǎ β < T 2. Pentru orice t [t 1, β) avem inegalitatea: X(t; t 1, X 1 ) X(t; t 0, X 0 ) < ε 2 şi pentru orice t, t [t 1, β) : X(t ; t 1, X 1 ) X(t ; t 1, X 1 ) M t t Aceasta aratǎ cǎ existǎ limita λ = lim t β X(t; t 1, X 1 ) şi (β, λ) I Ω. Contradicţie. Inegalitǎţile stabilite sunt valabile pe I şi astfel teorema este demonstratǎ.

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 121 Fie I IR 1 un interval deschis, D IR n un domeniu, Ω IR m un domeniu, F : I D Ω IR n o funcţie vectorialǎ şi sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi cu parametru scris sub forma matricealǎ: Ẋ = F(t, X, µ) t I, X D, µ Ω. (4.10) Considerǎm un punct (t 0, X 0, µ 0 ) I D Ω şi problema Cauchy: Ẋ = F(t, X, µ 0 ) (4.11) X(t 0 ) = X 0 Presupunem cǎ funcţia F este de clasǎ C 1 în raport cu (t, X) şi este continuǎ în raport cu parametrul µ şi considerǎm soluţia saturatǎ X(t; t 0, X 0, µ 0 ) a problemei Cauchy (4.11) definitǎ pe intervalul I 0. Teorema 4.3.9 (de dependenţǎ continuǎ de parametru) Pentru orice interval compact I = [T 1, T 2 ] I 0, care conţine punctul t 0 în interior (t 0 I ) şi pentru orice ε > 0, existǎ δ = δ(ε, I ) > 0, astfel încât, dacǎ µ µ 0 < δ, atunci soluţia saturatǎ X = X(t; t 0, X 0, µ) a problemei Cauchy Ẋ = F(t, X, µ) X(t 0 ) = X 0 este definitǎ pe intervalul I şi verificǎ inegalitatea: pentru orice t I. X(t; t 0, X 0, µ) X(t; t 0, X 0, µ 0 ) < ε Demonstraţie: Fie r 1 > 0 şi r 2 > 0 astfel ca mulţimea şi S definite prin: = {(t, X) : t I, X X(t; t 0, X 0, µ 0 ) r 1 } S = S(µ 0, r 2 ) = {µ : µ µ 0 r 2 } sǎ verifice I Ω, respectiv S Ω 1. Existǎ K > 0 astfel încât sǎ avem: F(t, X 1, µ) F(t, X 2, µ) K X 1 X 2, ( )(t, X 1, µ), (t, X 2, µ) S

122 CAPITOLUL 4 Notǎm h = max{t 2 t 0, t 0 T 1 } şi considerǎm un numǎr ε, cu proprietatea 0 < ε < r. Fie δ = δ(ε, I ) astfel ca pentru 0 < δ < r 2 şi µ µ 0 < δ sǎ avem: F(t, X, µ) F(t, X, µ 0 ) < ε 2 1 e Kh, ( ) (t, X). Pentru µ cu proprietatea µ µ 0 < δ considerǎm soluţia saturatǎ X = X(t; t 0, X 0, µ) a problemei Cauchy Ẋ = F(t, X, µ) definitǎ pe intervalul I µ. Vom arǎta cǎ: pentru orice t I I µ. X(t 0 ) = X 0 X(t; t 0, X 0, µ) X(t; t 0, X 0, µ 0 < ε 2 Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ existǎ t 1 I I µ astfel ca X(t 1 ; t 0, X 0, µ) X(t 1 ; t 0, X 0, µ 0 ) ε 2. Rezultǎ de aici cǎ, cel puţin pentru unul dintre numerele α 1, α 2 definite prin: { α 1 =inf t I I µ : X(τ; t 0, X 0, µ) X(τ; t 0, X 0, µ 0 ) < ε } 2, ( )τ [t, t 0] { α 2 =sup t I I µ : X(τ; t 0, X 0, µ) X(τ; t 0, X 0, µ 0 ) < ε } 2, ( )τ [t, t 0] are loc egalitatea: X(α i ; t 0, X 0, µ) X(α i ; t 0, X 0, µ 0 ) = ε 2, i = 1, 2. Sǎ admitem de exemplu cǎ avem: X(α 2 ; t 0, X 0, µ) X(α 2 ; t 0, X 0, µ 0 ) = ε 2. Pe de altǎ parte, pentru orice t [t 0, α 2 ] au loc inegalitǎţile:

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 123 X(t; t 0, X 0, µ) X(t; t 0, X 0, µ 0 ) t t 0 t t 0 t F(τ, X(τ; t 0, X 0, µ), µ) F(τ, X(τ; t 0, X 0, µ 0 ), µ 0 ) dτ F(τ, X(τ; t 0, X 0, µ), µ) F(τ, X(τ; t 0, X 0, µ 0 ), µ) dτ F(τ, X(τ; t 0, X 0, µ 0 ), µ) F(τ, X(τ; t 0, X 0, µ 0 ), µ 0 ) dτ t 0 t K X(τ; t 0 X 0, µ) X(τ; t 0, X 0, µ 0 ) dτ+ε 2 1 e K h t 0 ε 2 1 e K h e K(t t 0) < ε 2. Contradicţie. Prin urmare: X(t; t 0, X 0, µ) X(t; t 0, X 0, µ 0 ) < ε 2, ( )t I I µ. Vom arǎta în continuare cǎ α = inf I µ T 1 şi β = sup I µ T 2. Raţionǎm prin reducere la absurd presupunând de exemplu β < T 2. Pentru orice t [t 0, β) are loc inegalitatea: X(t; t 0, X 0, µ) X(t; t 0, X 0, µ 0 ) < ε 2 şi pentru t, t [t 0, β] avem: X(t ; t 0, X 0, µ) X(t ; t 0, X 0, µ) < M t t cu M = sup F(t, X, µ) S

124 CAPITOLUL 4 Rezultǎ de aici cǎ existǎ limita λ = lim t β X(t; t 0, X 0, µ) şi (β, λ) I Ω. Contradicţie. Calculele fǎcute sunt valabile pe intervalul I şi astfel teorema este demonstratǎ. Consecinţa 4.3.3 Dacǎ funcţia F = F(t, X, µ) este liniarǎ în raport cu X IR n, atunci pentru orice interval I (I I) care conţine punctul t 0 în interior ( I t 0 ) şi pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε, I ) > 0 astfel încât dacǎ µ µ 0 < δ, avem: pentru orice t I. X(t; t 0, X 0, µ) X(t; t 0, X 0, µ 0 ) < ε Demonstraţie: Cu teorema lui Banach-Steinhaus se obţine cǎ funcţia F(t,, µ) este mǎrginitǎ pe compacte şi lim F(t, X, µ) = F(t, X, µ 0 ). µ µ 0 Teorema 4.3.10 (de diferenţiabilitate în raport cu condiţiile iniţiale) În condiţiile Teoremei 4.3.7, funcţia (t, t 1, X 1 ) X(t; t 1, X 1 ) este diferenţiabilǎ în raport cu t 1, X 1 şi au loc urmǎtoarele egalitǎţi: d ( X 1X(t; t 0, X 0 ) ) = X F(t, X(t; t 0, X 0 )) X 1X(t; t 0, X 0 ) dt X 1X(t 0 ; t 0, X 0 ) = I d ( t1 X(t; t 0, X 0 ) ) = X F(t, X(t; t 0, X 0 )) t1 X(t; t 0, X 0 ) dt t1 X(t 0 ; t 0, X 0 ) = F(t 0, X 0 ) t1 X(t; t 0, X 0 ) = X 1X(t; t 0, X 0 ) F(t 0, X 0 )

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 125 Demonstraţie: Pentru t I δ, X 1 S(X 0, δ/2), Y IR n considerǎm funcţia: h S(0, δ/2) şi = H(t, t 0, X 1, h, Y ) = 1 X F(t, X(t; t 0, X 1 )+s [X(t; t 0, X 1 +h) X(t; t 0, X 1 )])ds Y 0 Funcţia H definitǎ în acest mod este continuǎ în raport cu t şi este liniarǎ în raport cu Y. În plus funcţia H este continuǎ în raport cu (t, h). Fie e 1, e 2,...,e n baza canonicǎ din R n şi ξ R astfel ca ξ < δ/2. Problemele Cauchy: Ẏ k ξ = H(t, t 0, X 1, ξ e k, Y k ξ ) Y k ξ (t 0) = e k Ẏ k ξ = H(t, t 0, X 1, 0, Y k ) Y k (t 0 ) = e k au soluţii definite pe intervalul I δ pentru k = 1, 2,..., n. În plus pentru orice interval compact I I δ avem lim Yξ k(t) = Y k (t) uniform în raport cu t I. ξ 0 Pe de altǎ parte pentru ξ 0 avem: pentru orice t I δ. Prin urmare, existǎ limita Y k ξ (t) = 1 ξ [X(t; t 0, X 1 + ξ e k ) X(t; t 0, X 1 )] 1 lim ξ 0 ξ [X(t; t 0, X 1 + ξ e k ) X(t; t 0, X 1 )] şi este egalǎ cu Y k (t) pentru t I δ. Aceasta demonstreazǎ cǎ funcţia X(t; t 0, X 1 ) are derivate parţiale în raport

126 CAPITOLUL 4 cu X 1 în punctele (t, t 0, X 1 ) şi în plus avem: ( ) d X (t, t dt x 1 0, X 1 ) k = H ( t, t 0, X 1, 0, X ) (t, t x 1 0, X 1 ) k X (t 0, t 0, X 1 ) = e k x 1 k Funcţia H(t, t 0, X 1, 0, Y ) fiind continuǎ în raport cu (t, X 1 ) şi liniarǎ în raport cu Y rezultǎ cǎ soluţia problemei Cauchy precedente X (t, t 0, X 1 ) converge la soluţia problemei Cauchy: dy k dt = H(t, t 0, X 0, 0, Y k ) Y k (t 0 ) = e k x 1 k pentru X 1 X 0 uniform, pe intervale compacte I 1 I δ. Aceasta implicǎ cǎ derivatele parţiale ale funcţiei X(t; t 0, X 1 ) în raport cu X 1 sunt funcţii continue în raport cu X 1 în punctele (t, t 0, X 0 ). Deci funcţia X(t; t 1, X 1 ) este diferenţiabilǎ în raport cu X 1 în punctele (t, t 0, X 0 ) şi satisfac: d ( X 1X(t; t 0, X 0 ) ) = X F (t, X(t; t 0, X 0 )) X 1X(t; t 0, X 0 ) dt X 1X(t 0 ; t 0, X 0 ) = I. Fie acum τ IR 1 astfel ca 0 < τ < δ şi apoi funcţia X τ (t) = 1 τ [X(t; t 0 + τ, X 0 ) X(t; t 0, X 0 ) ] pentru t I δ.

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 127 Avem egalitǎţile: τ X τ (t) = X(t; t 0 + τ, X 0 ) X(t; t 0, X 0 ) = = X(t; t 0, X(t 0 ; t 0 + τ, X 0 )) X(t; t 0, X 0 ) = = X 1X(t; t 0, X 0 ) [X(t 0 ; t 0 + τ, X 0 ) X 0 ]+ +O( X(t 0 ; t 0 + τ, X 0 ) X 0 ) = = X 1X(t; t 0, X 0 ) [X(t 0 ; t 0 +τ, X 0 ) X(t 0 +τ; t 0 +τ, X 0 )]+ +O( X(t 0 ; t 0 + τ, X 0 ) X 0 ) = = τ X 1X(t; t 0, X 0 ) n F k (t 0 +θ k τ, X(t 0 +θ k τ; t 0 +τ, X 0 ) e k + cu 0 < θ k < 1 pentru k = 1, n. Astfel, X τ (t) = X 1X(t; t 0, X 0 )( k=1 +O( X(t 0 ; t 0 + τ, X 0 ) X 0 ) n F k (t 0 + θ k τ, X(t 0 + θ k τ; t 0 + τ, X 0 ))e k )+ k=1 + O( X(t 0; t 0 +τ, X 0 ) X 0 ) X(t 0 ; t 0 +τ, X 0 ) X 0 X(t 0; t 0 +τ, X 0 ) X(t 0 +τ; t 0 +τ, X 0 ). τ Deoarece raportul 1 τ X(t 0; t 0 +τ, X 0 ) X(t 0 +τ, t 0 +τ, X 0 ) este mǎrginit pentru τ 0 şi X(t 0 ; t 0 +τ, X 0 ) X 0 0 pentru τ 0 uniform pe orice interval compact I I δ (I t 0 ) rezultǎ cǎ lim X τ(t) = X 1X(t; t 0, X 0 ) F(t 0, X 0 ) τ 0 şi deci funcţia X(t; t 1, X 1 ) este deiferenţiabilǎ în raport cu t 1 în (t; t 0, X 0 ). În plus, t1 X(t; t 0, X 0 ) = X 1X(t; t 0, X 0 ) F(t 0, X 0 ).

128 CAPITOLUL 4 Derivabilitatea în raport cu t a funcţiei t1 X(t; t 0, X 0 ) este o consecinţǎ a acestei egalitǎţi. În plus avem egalitǎţile: d ( t1 X(t; t 0, X 0 ) ) = dt = d dt ( X 1X(t; t 0, X 0 ) ) F(t 0, X 0 ) = = X F(t, X(t; t 0, X 0 )) ( X 1X(t; t 0, X 0 )) F(t 0, X 0 ) = = X F (t, X(t; t 0, X 0 )) t1 X(t; t 0, X 0 ) t1 X(t 0 ; t 0, X 0 ) = F(t 0, X 0 ). În acest fel teorema de diferenţiabilitate în raport cu condiţiile iniţiale este complet demonstratǎ. Teorema 4.3.11 (de diferenţiabilitate în raport cu parametru). Dacǎ funcţia F = F(t, X, µ) satisface condiţiile din Teorema 4.3.9 şi în plus este de clasǎ C 1 în raport cu µ, atunci funcţia (t; t 0, X 0, µ) X(t; t 0, X 0, µ) este diferenţiabilǎ în raport cu µ şi au loc urmǎtoarele egalitǎţi: d dt ( µx(t;t 0,X 0,µ 0 )) = X F(t, X(t; t 0, X 0, µ 0 ), µ 0 ) µ X(t; t 0, X 0, µ 0 )+ + µ F(t; X(t; t 0, X 0, µ 0 ), µ 0 ) µ X(t 0 ; t 0, X 0, µ 0 ) = 0. Demonstraţie: Fie e 1, e 2,..., e m baza canonicǎ în spaţiul IR m. Pentru t I δ, µ 1 S(µ 0, δ 2 ), h IR1, h < δ 2, Y IRn şi k = 1, m

Proprietǎţi calitative ale soluţiilor 129 definim funcţia H k = H k (t, t 0, X 0, µ 1, h, Y ) cu formula: = H k (t, t 0, X 0, µ 1, h, Y ) = 1 X F(t,X(t;t 0,X 0, µ 1 )+s [ X(t;t 0,X 0, µ 1 +h e k ) X(t;t 0,X 0, µ 1 ) ], 0 1 µ 1 + h e k )ds Y + µ F(t, X(t; t 0, X 0, µ 1 ), µ 1 + s h e k )ds e k. 0 Funcţia H k este continuǎ în raport cu t I δ, lipschitzianǎ în raport cu Y pe intervale compacte I I. În plus, funcţia H k(t, t 0, X 0, µ 1, h, Y ) tinde la H k (t, t 0, X 0, µ 1, 0, Y ) pentru h 0 uniform pe compacte în raport cu (t, Y ). Problemele Cauchy: dy k ξ dt = H k (t, t 0, X 0, µ 1, Y k h ) Y k h (t 0) = 0 dy k dt = H k (t, t 0, X 0, µ 1, Y k ) Y k (t 0 ) = 0 au soluţii definite pe I δ şi lim h 0 Y k h (t) = Y k (t) uniform în raport cu t pe orice interval J I. Pe de altǎ parte se verificǎ uşor cǎ pentru h 0 avem: Y k h (t) = 1 h [X(t; t 0, X 0, µ 1 + h e k ) X(t; t 0, X 0, µ 1 )] şi deducem cǎ funcţia X(t; t 0, X 0, µ) are derivate parţiale în raport cu µ k în (t, t 0, X 0, µ 1 ) şi ( ) ( d X (t, t 0, X 0, µ 1 ) = H k t, t 0, X 0, µ 1, 0, X ) (t, t 0, X 0, µ 1 ) dt µ k µ k X µ k (t 0, t 0, X 0, µ 1 ) = 0

130 CAPITOLUL 4 Pe de altǎ parte: lim Hk (t, t 0, X 0, µ 1, 0, Y ) = H k (t, t 0, X 0, µ 0, 0, Y ) µ 1 µ 0 uniform în raport cu (t, Y ) pe mulţimi compacte. Deci X (t, t 0, X 0, µ 1 ) tinde la X ( t, t0, X 0, µ 0) pentru µ µ 0 uniform µ k µ k pe orice interval compact I I. Aceasta demonstrazǎ cǎ derivatele parţiale în raport cu µ k ale funcţiei X(t; t 0, X 0, µ) sunt continue în raport cu µ în (t; t 0, X 0, µ 0 ). În plus, avem: d dt ( X µ k (t, t 0, X 0, µ 0 ) ) = = X F ( t, X(t; t 0, X 0, µ 0 ), µ 0) X µ k ( t; t0, X 0, µ 0) + F µ K ( t, X(t; t0, X 0, µ 0 ), µ 0) X µ k ( t0 ; t 0, X 0, µ 0) = 0 Prin urmare funcţia X = X(t; t 0, X 0, µ) este diferenţiabilǎ în raport cu µ în punctul (t, t 0, X 0, µ 0 ) şi pentru orice t I δ avem: d ( µ X(t; t 0, X 0, µ 0 ) ) = dt X F(t, X(t; t 0, X 0, µ 0 ), µ 0 ) µ X(t; t 0, X 0, µ 0 ) + µ F(t, X(t; t 0, X 0, µ 0 ), µ 0 ) µ X(t 0 ; t 0, X 0, µ 0 ) = 0.

Metode numerice 131 4.4 Metode numerice 4.4.1 Metoda liniilor poligonale a lui Euler de determinare numericǎ localǎ a unei soluţii neprelungibile în cazul sistemelor diferenţiale de ordinul întâi Fie I un interval real deschis şi nevid I IR 1, D un domeniu nevid în spaţiul IR n, D IR n şi F o funcţie de clasǎ C 1, F : I D IR n. Pentru (t 0, X 0 ) I D considerǎm soluţia neprelungibilǎ X = X(t; t 0, X 0 ) a problemei cu date iniţiale Ẋ = F(t, X); X(t 0 ) = X 0 (4.12) şi notǎm cu I 0 = (α 0, β 0 ) I intervalul de definiţie al acestei soluţii. O primǎ metodǎ de determinare numericǎ localǎ a soluţiei neprelungibile X = X(t; t 0, X 0 ) este cea a liniilor poligonale a lui Euler. În cele ce urmeazǎ vom prezenta aceastǎ metodǎ. Considerǎm douǎ constante pozitive a şi b, a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul = {(t, X) t t 0 a şi X X 0 b} sǎ fie inclus în domeniul Ω = I D; I D. Notǎm cu M maximul funcţiei F pe cilindrul compact : cu α numǎrul pozitiv α = min M = max F(t, X) (t,x) } { a, b M I α = [t 0 α, t 0 + α]. şi cu I α intervalul Considerǎm un numǎr real şi pozitiv ε > 0 şi alegem δ = δ(ε) astfel ca pentru orice (t, X ), (t, X ) care verificǎ inegalitǎţile: t t < δ(ε) şi X X < δ(ε) sǎ avem F(T, X ) F(t, X ) < ε.

132 CAPITOLUL 4 Funcţia F = F(t, X) este uniform continuǎ pe cilindrul compact şi, de aceea, pentru orice ε > 0, alegerea unui δ(ε) > 0 cu proprietatea menţionatǎ este posibilǎ. Considerǎm acum un numǎr pozitiv h > 0 pe care-l vom numi pas şi pe care îl alegem astfel încât sǎ satisfacǎ inegalitatea 0 < h < δ. Fie q numǎrul M natural cu proprietatea: t q = t 0 + q h t 0 + α şi t q+1 = t 0 + (q + 1) h > t 0 + α. Pentru i = 1, q considerǎm numerele t i = t 0 + ih şi t i = t 0 ih. Aceste numere definesc o diviziune a segmentului I α. t 0 α t q < t q+1 < < t 1 < t 0 < t 1 < < t q 1 < t q t 0 + α. Pe intervalul [t 0, t 1 ] definim funcţia X 1 = X 1 (t) cu formula X 1 (t) = X 0 + (t t 0 ) F(t 0, X 0 ) iar pe intervalul [t 1, t 0 ] funcţia X 1 = X 1 (t) datǎ de: X 1 (t) = X 0 + (t t 0 ) F(t 0, X 0 ). Aceste funcţii verificǎ urmǎtoarele inegalitǎţi: X 1 (t) X 0 b şi Ẋ1 (t) F(t, X 1 (t)) < ε, ( ) t [t 0, t 1 ] X 1 (t) X 0 b şi Ẋ 1 (t) F(t, X 1 (t)) < ε, ( ) t [t 1, t 0 ]. În continuare, pe intervalul [t 1, t 2 ] definim funcţia X 2 = X 2 (t) cu formula X 2 (t) = X 1 (t 1 ) + (t t 1 ) F(t 1, X 1 (t 1 )). şi pe intervalul [t 2, t 1 ] funcţia X 2 = X 2 (t) cu formula X 2 (t) = X 1 (t 1 ) + (t t 1 ) F(t 1, X 1 (t 1 )). Funcţiile X 2 (t) şi X 2 (t) definite în acest fel verificǎ urmǎtoarele inegalitǎţi: X 2 (t) X 0 b şi Ẋ2 (t) F(t, X 2 (t)) < ε, ( ) t [t 1, t 2 ] X 2 (t) X 0 b şi Ẋ 2 (t) F(t, X 2 (t)) < ε, ( ) t [t 2, t 1 ]

Metode numerice 133 Sǎ presupunem cǎ în acest fel am ajuns sǎ construim funcţiile X j = X j (t), respectiv X j = X j (t) definite pe intervalul [t j 1, t j ], respectiv [t j, t j+1 ] pentru j = 1, j 0, (j 0 q 1) şi ele verificǎ inegalitǎţile: X j (t) X 0 b şi Ẋj (t) F(t, X j (t)) <ε, ( ) t [t j 1, t j ] X j (t) X 0 b şi Ẋ j (t) F(t, X j (t)) <ε, ( ) t [t j, t j+1 ] Definind în continuare funcţiile X j 0+1 (t), respectiv X j 0 1 (t) pe intervalul [t j0, t j0 +1], respectiv [t j0 1, t j0 ] cu formulele: X j 0+1 (t) = X j 0 (t j0 ) + (t t j0 ) F(t j0, X j 0 (t j0 )) X j 0 1 (t) = X j 0 (t j0 ) + (t t j0 ) F(t j0, X j 0 (t j0 )) putem obţine uşor cǎ acestea verificǎ inegalitǎţile: X j0+1 (t) X 0 b şi Ẋj 0+1 (t) F(t, X j0+1 (t) < ε, ( ) t [t j0, t j0 +1] X j 0 1 (t) X 0 b şi Ẋ j 0 1 (t) F(t, X j 0 1 (t) < ε, ( ) t [t j0 1, t j0 ]. Se obţine în acest fel cǎ pentru orice i = 1, q, formulele: X i (t) = X i 1 (t i 1 ) +(t t i 1 ) F(t i 1, X i 1 (t i 1 )), ( )t [t i 1, t i ] X i (t) = X i+1 (t i+1 ) +(t t i+1 ) F(t i+1, X i+1 (t i+1 )), definesc funcţii care verificǎ inegalitǎţile: ( )t [t i, t i+1 ] X i (t) X 0 b şi Ẋi (t) F(t, X i (t)) <ε, ( ) t [t i 1, t i ] X i (t) X 0 b şi Ẋ i (t) F(t, X i (t)) <ε, ( ) t [t i, t i+1 ] Considerǎm acum funcţia X ε (t) definitǎ pentru t I α în modul urmǎtor: X ε (t) = X i (t) dacǎ t [t i 1, t i ]

134 CAPITOLUL 4 X ε (t) = X i (t) dacǎ t [t i, t i+1 ] X ε (t) = X q (t q ) + (t t q ) F(t q, X q (t q )) dacǎ t [t q, t 0 + α] X ε (t) = X q (t q ) + (t t q ) F(t q, X q (t q )) dacǎ t [t 0 α, t q ] Funcţia X ε (t) definitǎ în acest fel este continuǎ pe intervalul I α, este derivabilǎ pe acest interval cu excepţia eventualǎ a punctelor {t i } i=1,q şi {t i } i=1,q şi verificǎ: X ε (t) X 0 b şi Ẋε (t) F(t, X ε (t)) < ε, t I α. Dacǎ definim funcţia θ ε (t) prin: atunci avem: θ ε (t) = Ẋε (t) F(t, X ε (t)) pentru t t i, t i i = 1, q şi θ ε (t) = 0 pentru t = t i sau t i i = 1, q, X ε (t) = X 0 + t t 0 F(τ, X ε τ ))dτ + t pentru orice t I α cu θ ε (t) < ε pentru orice t I α. t 0 θ ε (τ)dτ, Inegalitatea X ε (t) X 0 b, adevǎratǎ pentru orice t I α, aratǎ cǎ X ε (t) b + X 0, ( ) t I α. Rezultǎ astfel cǎ familia de funcţii {X ε (t)} ε>0 este egal mǎrginitǎ pe I α = [t 0 α, t 0 + α]. Egalitatea: X ε (t) = X 0 + t împreunǎ cu inegalitatea: t 0 F(τ, X ε (τ))dτ + t t 0 θ ε (τ)dτ, ( ) t I α implicǎ: θ ε (τ) < ε. ( ) τ I α X ε (t 1 ) X ε (t 2 ) t 2 t 2 t 1 F(τ, X ε (τ)) dτ + t 1 θ ε (τ) dτ M t 2 t 1 + ε t 2 t 1 (M + ε) t 2 t 1

Metode numerice 135 ceea ce demonstreazǎ cǎ funcţiile X ε (t) sunt echicontinue pe I α. Cu teorema lui Arzela-Ascoli rezultǎ cǎ existǎ un şir ε n 0, astfel ca şirul {X εn } εn sǎ fie uniform convergent pe intervalul I α la o funcţie continuǎ X pe intervalul I α, şi aceasta satisface X(t) X 0 b, pentru orice t I α. Continuitatea uniformǎ a funcţiei F pe cilindrul şi convergenţa uniformǎ a şirului de funcţii X εn la funcţia X asigurǎ convergenţa uniformǎ a şirului de funcţii F(τ, X εn (τ)) la funcţia F(τ, X(τ)) pe intervalul I α. Trecem la limitǎ în egalitatea: X εn (t) = X 0 + t şi obţinem cǎ funcţia X(t) verificǎ X(t) = X 0 + t 0 F(τ, X εn (τ))dτ + t t t 0 θ εn (τ)dτ t 0 F(τ, X(τ))dτ, ( ) t I α. Aceasta demonstreazǎ cǎ limita X = X(t) este soluţia problemei cu date iniţiale Ẋ = F(t, X), X(t 0 ) = X 0. Din teorema de unicitate rezultǎ cǎ funcţia X(t) coincide cu soluţia saturatǎ X(t; t 0, X 0 ) pe intervalul I α : X(t) = X(t; t 0, X 0 ), ( ) t I α. Se obţine în acest fel cǎ funcţia X ε (t) aproximeazǎ soluţia neprelungibilǎ X(t; t 0, X 0 ) pe intervalul I α. Valorile funcţiei X ε (t) în punctele t i se obţin cu formula de recurenţǎ: X ε (t i ) = X ε (t i 1 ) + h F(t i 1, X ε (t i 1 )), i = 1, q iar în punctele t i cu formula de recurenţǎ: X ε (t i ) = X ε (t i+1 ) h F(t i+1, X ε (t i+1 )), i = 1, q Aceste proceduri de trecere de la (t i 1, Xi 1 ε ) la (t i, Xi ε ) ori de la (t i+1, X i+1 ε ) la (t i, X i ε ) sunt uşor de programat.

136 CAPITOLUL 4 Pentru exemplificare, utilizând procedura de iteraţie Euler: t i+1 = t i + h X i+1 = X i + h m E cu m E = F(t i, X i ), vom determina soluţia numericǎ pentru o ecuaţie diferenţialǎ şi respectiv pentru un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. Astfel, vom considera ecuaţia liniarǎ: ẋ = x + 2e t (4.13) a cǎrei soluţie a fost deja determinatǎ prin calcul simbolic în Capitolul 2: x(t) = e t + e t. Programând în Maple şi utilizând procedura de iteraţie Euler se obţine: > h:=0.1: n:=10: > f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t): > t:=(n,h)->n*h: > x:=proc(n,h); > if n=0 then x(0) else x(n-1,h)+h*f(t(n-1,h),x(n-1,h)) end if; > end proc: > x(0):=2: > x(t):=[seq(x(i,h),i=0..n)]; x (t) := [2, 2.0, 2.021034184, 2.063211317, 2.126861947, 2.212540692, 2.321030877, 2.453351549, 2.610766936, 2.794798428, 3.007239207] > t:=[seq(t(i,h),i=0..n)]; t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]

Metode numerice 137 Pentru a compara valorile numerice ale soluţiei date de procedura de iteraţie Euler cu cele obţinute prin calcul simbolic, vom calcula soluţia (obţinutǎ în Capitolul 2) în diferite puncte: > sol_x(t):=exp(t)+exp(-t): > eval(sol_x(t),t=0); eval(sol_x(t),t=0.1); eval(sol_x(t),t=0.2); eval(sol_x(t),t=0.3);eval(sol_x(t),t=0.9); 2 2.010008336 2.040133511 2.090677029 2.866172771 Se observǎ cǎ rezultatele obţinute prin calcul numeric cu procedura de iteraţie Euler sunt apropiate de cele obţinute prin calcul simbolic doar pentru valori ale lui t apropiate de condiţia iniţialǎ (zero) aceasta întrucât domeniul de convergenţǎ este mic. În concluzie, metoda liniilor poligonale a lui Euler ne dǎ o bunǎ aproximare a soluţiei doar pe intervale mici. În continuare, vom prezenta un alt exemplu în care vom determina numeric (utilizând procedura de iteraţie Euler) soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale: x 1 = x 1 +8x 2 (4.14) x 2 = x 1 + x 2 soluţie care a fost deja determinatǎ prin calcul simbolic în Capitolul 4: x 1 (t) := 5 3 e3t 2 3 e 3t, x 2 (t) := 5 6 e3t + 1 6 e 3t. Programând în Maple se obţine:

138 CAPITOLUL 4 > h:=0.1: n:=10: > f1:=(t,x1,x2)->-x1(t)+8*x2(t): f2:=(t,x1,x2)->x1(t)+x2(t): > t:=(n,h)->n*h: > x1:=proc(n,h); > if n=0 then x1(0) else x1(n-1,h)+h*f1(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h))end if; > end proc: > x2:=proc(n,h) > if n=0 then x2(0)else x2(n-1,h)+h*f2(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h))end if; > end proc: > x1(0):=1: x2(0):=1: > x1(t):=[seq(x1(i,h),i=0..n)]; x1 (t) := [1, 1.7, 2.49, 3.433, 4.6001, 6.07617, 7.966249, 10.4031833, 13.55708001, 17.64726322, 22.95758363] > x2(t):=[seq(x2(i,h),i=0..n)]; x2 (t) := [1, 1.2, 1.49, 1.888, 2.4201, 3.12212, 4.041949, > t:=[seq(t(i,h),i=0..n)]; 5.2427688, 6.80736401, 8.843808412, 11.49291558] t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0] Pentru a compara valorile numerice ale soluţiei cu cele obţinute prin calcul simbolic, vom calcula valorile soluţiei obţinute în Capitolul 4 în câteva puncte: > sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t): > sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t): > eval(sol_x1(t),t=0); eval(sol_x1(t),t=0.1);eval(sol_x1(t),t=0.2);

Metode numerice 139 eval(sol_x1(t),t=0.3);eval(sol_x1(t),t=0.9); 1 1.755885866 2.670990243 3.828292078 24.75474919 > eval(sol_x2(t),t=0); eval(sol_x2(t),t=0.1); eval(sol_x2(t),t=0.2); eval(sol_x2(t),t=0.3); eval(sol_x2(t),t=0.9); 1 1.248352044 1.609900939 2.117430869 12.41097735 Şi în acest caz se observǎ cǎ, rezultatele obţinute numeric cu procedura de iteraţie Euler sunt apropiate de cele obţinute prin calcul simbolic doar pe un interval mic. Deci, şi în cazul sistemelor de ecuaţii diferenţiale, metoda liniilor poligonale a lui Euler ne dǎ o bunǎ aproximare a soluţiei doar pe intervale mici. 4.4.2 Metoda Runge-Kutta de determinare numericǎ a unei soluţii neprelungibile în cazul sistemelor diferenţiale de ordinul întâi Cea mai rǎspânditǎ metodǎ de determinare numericǎ a unei soluţii neprelungibile este metoda lui Runge-Kutta. Ea a fost pusǎ la punct la sfârşitul sec. al XIX-lea de matematicienii germani C. Runge şi W. Kutta. În esenţǎ, este tot o aproximare a soluţiei neprelungibile cu linii poligonale. Convergenţa cǎtre soluţia saturatǎ este însǎ mult mai rapidǎ decât în cazul liniilor poligonale a lui Euler. Aceasta datoritǎ modului de alegere a pantei. În practicǎ, sunt folosite câteva forme particulare ale acestei metode: metoda Runge-Kutta de ordinul al doilea rk2, al treilea rk3, al patrulea (standard)

140 CAPITOLUL 4 rk4 şi repectiv cea de ordinul al cincilea Fehlberg-Runge-Kutta rkf45. Fǎrǎ a intra în detalii privitoare la convergenţǎ, redǎm aici procedura de iteraţie a metodei Runge-Kutta standard rk4: t i+1 = t i + h X i+1 = X i + h m R K unde m R K = 1 6 (m 1 + 2m 2 + 2m 3 + m 4 ) m 1 = F(t i, X i ) m 2 = F(t i + h/2, X i + h/2 m 1 ) m 3 = F(t i + h/2, X i + h/2 m 2 ) m 4 = F(t i + h, X i + h m 3 ). Aceastǎ procedurǎ de trecere de la (t i, X i ) la (t i+1, X i+1 ) este uşor de programat. Pentru exemplificare vom considera aceleaşi exemple ca şi in cazul metodei Euler, dupǎ care vom compara rezultatele numerice obţinute. Programând în Maple procedura de iteraţie Runge-Kutta standard rk4 corespunzǎtoare ecuaţiei diferenţiale (4.13) obţinem: > h:=0.1: n:=10: > f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t): > t:=(n,h)->n*h: > x:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4; > if n=0 then x(0) else k1:=f(t(n-1,h),x(n-1,h)); k2:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k1/2); k3:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k2/2); k4:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k3); x(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)

Metode numerice 141 > end if; > end proc: > x(0):=2: > x(t):=[seq(x(i,h),i=0..n)]; x (t) := [2, 2.008211921, 2.036522685, 2.085215637, 2.154778115, 2.245906324, 2.359512308, 2.496733074, 2.658941974, 2.847762451, 3.065084284] > t:=[seq(t(i,h),i=0..n)]; t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9,1.0] > sol_x(t):=exp(t)+exp(-t): > eval(sol_x(t),t=0); eval(sol_x(t),t=0.1); eval(sol_x(t),t=0.2); eval(sol_x(t),t=0.3); eval(sol_x(t),t=0.9); 2 2.010008336 2.040133511 2.090677029 2.866172771 Comparând aceste rezultate numerice cu cele obţinute cu metoda Euler şi apoi cu cele obţinute prin calculul simbolic (din paragraful precedent), observǎm cǎ metoda lui Runge-Kutta are domeniul de convergenţǎ întreg intervalul considerat, soluţiile obţinute prin rk4 fiind foarte apropiate de cele obţinute prin calcul simbolic. Programând în Maple procedura de iteraţie Runge-Kutta standard rk4 corespunzǎtoare sistemului de ecuaţii diferenţiale (4.14) obţinem: > h:=0.1: n:=10: > f1:=(t,x1,x2)->-x1(t)+8*x2(t):f2:=(t,x1,x2)->x1(t)+x2(t): > t:=(n,h)->n*h: > x1:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4; > if n=0 then x1(0) else k1:=f1(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h)); k2:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k1/2,x2(n-1,h)+h*k1/2);

142 CAPITOLUL 4 k3:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k2/2,x2(n-1,h)+h*k2/2); k4:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k3,x2(n-1,h)+h*k3); x1(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4) > end if; > end proc: > x2:=proc(n,h) local m1,m2,m3,m4; > if n=0 then x2(0) else m1:=f2(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h)); m2:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m1/2,x2(n-1,h)+h*m1/2); m3:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m2/2,x2(n-1,h)+h*m2/2); m4:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m3,x2(n-1,h)+h*m3); x2(n-1,h)+h/6*(m1+2*m2+2*m3+m4) > end if; > end proc: > x1(0):=1: x2(0):=1: > x1(t):=[seq(x1(i,h),i=0..n)]; x1 (t) := [1., 1.75588586516103406, 2.67099024240189342, 3.82829207712650410, 5.33273206041661840, 7.32072833903442266, 9.97254650756094564, 13.5286455567960680, 18.3114819804437801, 24.7547491716790910, 33.4427034511831920] > x2(t):=[seq(x2(i,h),i=0..n)]; x2 (t) := [1., 1.24835204296884550, 1.60990093931829237, 2.11743086851170714, 2.81696313624160988, 3.77192924966291354, 5.06892269795481632, 6.82555099257945131, 9.20109996691309817, 12.4109773422481773, 16.7462452598074308] > t:=[seq(t(i,h),i=0..n)]; t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0] > sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t): > sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t): > eval(sol_x1(t),t=0); eval(sol_x1(t),t=0.1);eval(sol_x1(t),t=0.2);

Metode numerice 143 eval(sol_x1(t),t=0.3);eval(sol_x1(t),t=0.9); 1 1.755885866 2.670990243 3.828292078 24.75474919 > eval(sol_x2(t),t=0); eval(sol_x2(t),t=0.1); eval(sol_x2(t),t=0.2); eval(sol_x2(t),t=0.3); eval(sol_x2(t),t=0.9); 1 1.248352044 1.609900939 2.117430869 12.41097735 Şi în cazul sistemului considerat se observǎ o bunǎ convergenţa a metodei Runge-Kutta rk4. 4.4.3 Calculul numeric al soluţiilor unor ecuaţii diferenţiale şi sisteme de ecuaţii diferenţiale În aceastǎ secţiune, utilizând metodele de calcul numeric pe care ni le oferǎ programul Maple în care sunt incluse programele procedurilor de iteraţie Euler sau Runge-Kutta, vom determina soluţiile unor ecuaţii diferenţiale şi respectiv sisteme de ecuaţii diferenţiale, dupǎ care, vom reprezenta grafic aceste soluţii. Primul exemplu se referǎ la ecuaţia diferenţialǎ neliniarǎ de ordinul al treilea cu coeficienţi variabili: t 2... x + 5tẍ + 4ẋ = ln x, x > 0; (4.15) > eq3:=t^2*diff(x(t),t,t,t)+5*t*diff(x(t),t,t)+4*diff(x(t),t) =ln(x(t)); eq3 := t 2 d3 x (t) + 5 t d2 x (t) + 4 d x (t) = ln (x (t)) dt 3 dt 2 dt > dsolve({eq3,x(2)=2,d(x)(2)=1/2,(d@@2)(x)(2)=3}); Deoarece Maple nu afişeazǎ nimic înseamnǎ cǎ este incapabil de a gǎsi o soluţie utilizând calculul simbolic; mai precis, nu poate exprima soluţia

144 CAPITOLUL 4 problemei cu date iniţiale folosind funcţii elementare. În acest caz, vom rezolva numeric aceastǎ ecuaţie folosind o sintaxǎ dsolve care sǎ permitǎ rezolvarea ecuaţiei printr-una din metodele numerice clasice: metoda linilor poligonale a lui Euler, metoda Runge-Kutta de ordin doi, trei sau patru, etc. Noua sintaxǎ dsolve/numeric/classical (numerical solution of ordinary differential equations), specificǎ calculului numeric, are una din urmǎtoarele forme: dsolve(odesys, numeric, method=classical); dsolve(odesys, numeric, method=classical[choice], vars, options); în care: odesys numeric method = classical vars options - ecuaţia sau lista de ecuaţii şi condiţiile iniţiale - nume care indicǎ lui dsolve sǎ rezolve prin metode numerice - opţionalǎ, se indicǎ numele metodei numerice: impoly pentru metoda liniilor poligonale a lui Euler; rk2, rk3, rk4 pentru metoda lui Runge-Kutta de ordin doi, trei, patru,etc. - lista de variabile dependente (opţionalǎ) - diferite opţiuni: output-ul care dorim s,a se afişeze, numǎrul de puncte, etc. Dacǎ nu folosim opţiunea în care sǎ specifiǎm o metodǎ numericǎ atunci, calculatorul va alege metoda Fehlberg-Runge-Kutta de ordinul cinci (method=rkf45) metodǎ cu cea mai rapidǎ convergenţǎ. Ecuaţia (4.16) se rezolvǎ numeric cu metoda rk4 astfel: > a:=dsolve({eq3,x(2)=2,d(x)(2)=1/2,(d@@2)(x)(2)=3},numeric, method=classical[rk4],output=listprocedure): > sol_x := subs(a,x(t)): > sol_x(0.2);sol_x(0.4);sol_x(1);sol_x(2); sol_x(5);sol_x(8);sol_x(10);sol_x(30);

Metode numerice 145 178.442355332346864 52.2875370423634607 6.30572074481224831 2.0 6.08914601990852234 9.31175162767340581 11.0536870708637434 25.1681506399649386 Prin instrucţiunea dsolve/numeric/classical, Maple a calculat valorile numerice ale soluţiei ecuaţiei considerate în punctele domeniului de defniţie. Pentru afişarea valorilor soluţiei x(t) în t = 0.2, 0.4, 1, 2, 5, 8, 10, 30 s-a folosit funcţia subs. Pentru reprezentarea graficǎ a soluţiei ecuaţiei diferenţiale rezolvatǎ numeric se utilizeazǎ o funcţie de plotare specificǎ metodelor numerice, care are urmǎtoarea sintaxǎ: odeplot(dsn, vars, range, options); în care: dsn vars range options - numele output-ului ecuaţiei rezolvatǎ numeric - variabila independentǎ şi funcţia care se ploteazǎ (opţional) - opţional - numǎrul de puncte, diferite modalitǎţi de afişare a soluţiei. Folosind aceastǎ instrucţiune de plotare pentru reprezentarea graficǎ (Figura 18) a soluţiei ecuaţiei (4.16) se obţine: > with(plots):odeplot(sol_x,t=0.2..30,numpoints=100);

146 CAPITOLUL 4 Figura 18 Al doilea exemplu este ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al doilea: L d2 i dt + R di 2 dt + 1 C i = E 0 ω sin ωt, (4.16) a cǎrei soluţie i(t) exprimǎ intensitatea curentului într-un circuit R-L-C (vezi Capitolul 3). Considerând valori numerice pentru R, L, C, E 0 şi reducând ecuaţia la un sistem de douǎ ecuaţii diferenţiale se obţine: > R:=2: C:=0.1: L:=1: E=10: ω:=pi/4: > Eq:=L*diff(i(t),t,t)+R*diff(i(t),t)+(1/C)*i(t)=-E* ω *sin(t*ω): > sys_eq1:=diff(x1(t),t)=x2(t): > sys_eq2:=diff(x2(t),t)=-10*x1(t)-2*x2(t)-10*pi/4*sin(t*pi/4): Pentru rezolvarea numericǎ a acestui sistem şi pentru vizualizarea soluţiilor corespunzǎtoare la diferite condiţii iniţiale (Figura 19 şi Figura 20) se folosesc funcţiile: with(detools) : DEplot with(detools) : phaseportrait with(detools) : DEplot3d > with(detools):deplot({sys_eq1,sys_eq2},{x1(t),x2(t)}, t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0],[x1(0)=1,x2(0)=1], [x1(0)=3,x2(0)=3]],scene=[t,x1(t)],method=classical[rk4]);

Metode numerice 147 Figura 19 > with(detools):deplot({sys_eq1,sys_eq2},{x1(t),x2(t)}, t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0],[x1(0)=1,x2(0)=1], [x1(0)=3,x2(0)=3]],scene=[t,x2(t)],method=classical[rk4]); Figura 20 În aceste figuri sunt reprezentate soluţiile (x 1 (t), x 2 (t)) pentru trei condiţii iniţiale. Se observǎ cǎ, indiferent de condiţiile iniţiale, dupǎ un anumit timp soluţia se stabilizeazǎ în jurul unei soluţii periodice. Acest fapt, reiese şi din portretele de fazǎ care se obţin cu: > with(detools):phaseportrait([sys_eq1,sys_eq2], [x1(t),x2(t)],t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0]], scene=[x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);

148 CAPITOLUL 4 Figura 21 > with(detools):phaseportrait([sys_eq1,sys_eq2], [x1(t),x2(t)],t=0..15,[[x1(0)=1,x2(0)=1]], scene=[x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]); Figura 22 Portretele de fazǎ (Figura 21 şi Figura 22) aratǎ faptul cǎ, soluţiile sistemului (intesitatea curentului şi variaţia acesteia) se stabilizeazǎ dupǎ un anumit timp, tinzând cǎtre un ciclu limitǎ. Mai precis, folosind condiţii iniţiale din interiorul sau exteriorul ciclului limitǎ soluţiile se stabilizeazǎ în jurul unei soluţii periodice. Acelaşi fenomen de stabilizare se observǎ şi din figura tri-dimensionalǎ (Figura 23): > with(detools):deplot3d({sys_eq1,sys_eq2}, {x1(t),x2(t)},t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0]], scene=[t,x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);

Metode numerice 149 Figura 23 Un alt exemplu este sistemul lui Lotka-Volterra de douǎ ecuaţii diferenţiale neliniare care constituie un model matematic utilizat în biologie care descrie evoluţia în timp a douǎ specii pradǎ-prǎdǎtor (de exemplu sardine-rechini): ẋ = x(1 y) ẏ = 0.3 y(x 1), (4.17) unde x(t) reprezintǎ numǎrul sardinelor, iar y(t) numǎrul de rechini. Cu instrucţiunile with(detools) : DEplot (Figura 24 şi Figura 25) şi respectiv with(detools) : DEplot3d (Figura 26) se obţine evoluţia în timp a celor douǎ specii: > with(detools):deplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)), diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)}, t=0..50,[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,x(t)], linecolor=t/2,method=rkf45);

150 CAPITOLUL 4 Figura 24 > with(detools):deplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)), diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)}, t=0..50,[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,y(t)], linecolor=t/2,method=rkf45); Figura 25 > with(detools):deplot3d({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)), diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},t=0..50, [[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,x(t),y(t)], stepsize=.2,linecolor=t/2,method=rkf45);

Metode numerice 151 Figura 26 Portretul de fazǎ a evoluţiei celor douǎ specii este prezentatǎ în Figurile 27: > with(detools):deplot([diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)), diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)],[x(t),y(t)],t=0..13, [[x(0)=1.2,y(0)=1.2],[x(0)=1,y(0)=.7],[x(0)=.8,y(0)=.5]], stepsize=.2,title= Lotka-Volterra model, color=[.3*y(t)*(x(t)-1),x(t)*(1-y(t)),.1], linecolor=t/2,arrows=medium,method=rkf45);

152 CAPITOLUL 4 Figura 27 Acest sistem are soluţiile staţionare (0, 0), (1, 1) şi soluţii periodice (Figura 26). Interpretarea acestora este urmǎtoarea: i) soluţia staţionarǎ (0, 0) reprezintǎ dispariţia ambelor specii; ii) soluţia staţionarǎ (1, 1) reprezintǎ situaţia de echilibru (numǎrul de sardine este egal cu numǎrul de rechini); iii) soluţiile periodice care înconjoarǎ soluţia staţionarǎ (1, 1) reprezintǎ variaţii ale numǎrului de sardine şi respectiv rechini între douǎ limite. Aceste variaţii (creşteri sau descreşteri) descriu lipsa sau abundenţa de hranǎ (sardine) care duce la micşorarea sau creşterea numǎrului de prǎdǎtori (rechini). Un alt portret de fazǎ interesant este al sistemului: ẋ = y z ẏ = z x ż = x 2y, (4.18)

Metode numerice 153 care aratǎ cǎ, din orice punct ar pleca soluţiile, toate vor evolua cǎtre zero (Figura 28): > with(detools):phaseportrait([d(x)(t)=y(t)-z(t), D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)=x(t)-y(t)*2],[x(t),y(t),z(t)], t=-10..50,[[x(0)=3,y(0)=3,z(0)=3]],stepsize=.05, scene=[z(t),y(t)],linecolour=sin(t*pi/2), method=classical[rk4]); Figura 28

154 CAPITOLUL 4 4.5 Integrale prime Considerǎm sistemul de ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul întâi explicit: x 1 = f 1 (t, x 1, x 2,..., x n ) x 2 = f 2 (t, x 1, x 2,..., x n ) (4.19)... x n = f n (t, x 1, x 2,..., x n ) în care funcţiile f 1, f 2,..., f n sunt funcţii reale de clasǎ C 1 definite pe I D; I IR 1, I - interval deschis şi D IR n - domeniu. Definiţia 4.5.1 Se numeşte integralǎ primǎ a sistemului (4.19) o funcţie U : I D IR 1 de clasǎ C 1 care nu este constantǎ, dar este constantǎ pe soluţiile sistemului (4.19). Teorema 4.5.1 Condiţia necesarǎ şi suficientǎ pentru ca o funcţie U : I D IR 1 de clasǎ C 1 neconstantǎ sǎ fie integralǎ primǎ este ca U sǎ verifice: U n t + U f i = 0 ( ) (t, x 1,..., x n ) I D. x i i=1 Demonstraţie: Fie (t 0, x 0 1,..., x 0 n) I D şi x 1 (t),..., x n (t) soluţia sistemului (4.19) care verificǎ x i (t 0 ) = x 0 i, i = 1, n şi U(t, x 1(t),..., x n (t)) o integralǎ primǎ. Deoarece U(t, x 1 (t),..., x n (t)) este constantǎ, rezultǎ cǎ De aici avem cǎ U t (t,x 1(t),..., x n (t)) + du dt (t, x 1(t),..., x n (t)) 0. n i=1 U x i (t, x 1 (t),..., x n (t)) f i (t, x 1 (t),..., x n (t))=0, Pentru t = 0, rezultǎ de aici egalitatea: ( ) t I. U n t (t 0, x 0 1,..., x0 n ) + U (t 0, x 0 1 x,..., x0 n ) f i(t 0, x 0 1,..., x0 n ) = 0 i i=1

Integrale prime 155 Întrucât (t 0, x 0 1,..., x0 n ) este un punct oarecare din mulţimea I D rezultǎ U t + n i=1 U t f i = 0, ( )(t, x 1,..., x n ) I D. Sǎ arǎtǎm acum implicaţia reciprocǎ, adica: dacǎu :I D IR 1 este o funcţie de clasǎ C 1, care nu este constantǎ şi verificǎ U t + n i=1 U t f i = 0 atunci U este constantǎ pe soluţiile sistemului (4.19). În acest scop considerǎm o soluţie oarecare x 1 (t),..., x n (t) a sistemului (4.19) şi funcţia ϕ(t) = U(t, x 1 (t),..., x n (t)). Pentru a arǎta cǎ funcţia ϕ(t) este constantǎ calculǎm derivata ei şi gǎsim: dϕ dt = U t (t, x 1(t),..., x n (t)) + n U + (t, x 1 (t),..., x n (t)) f i (t, x 1 (t),..., x n (t)) = 0, ( ) t I. x i i=1 Astfel, rezultǎ cǎ funcţia ϕ(t) este constantǎ. Observaţia 4.5.1 Pentru ca o funcţie U : D IR 1 de clasǎ C 1 neconstantǎ care nu depinde de t sǎ fie integralǎ primǎ este necesar şi suficient ca U sǎ n U verifice f i = 0. x i i=1 Definiţia 4.5.2 Sistemul (4.19) se zice autonom dacǎ funcţiile f i nu depind de t; f i : D IR n, f i = f i (x 1, x 2,..., x n ), i = 1, n. Observaţia 4.5.2 Problema determinǎrii mişcǎrii unui punct material de masǎ m într-un câmp de forţe potenţial având potenţialul V, revine la determinarea soluţiilor sistemului canonic a lui Hamilton: dx i dt = H p i i = 1, 2, 3 (4.20) dp i dt = H x i

156 CAPITOLUL 4 unde H(x 1, x 2, x 3, p 1, p 2, p 3 ) = 1 2m (p2 1 + p 2 2 + p 2 3) + V (x 1, x 2, x 3 ) este funcţia Hamilton asociatǎ punctului material. Sistemul (4.20) este autonom, iar condiţia ca o funcţie U(x 1, x 2, x 3, p 1, p 2, p 3 ) sǎ fie integralǎ primǎ pentru (4.20) este ca U sǎ verifice 3 i=1 ( U x i H p i U p i H x i ) =0. În particular, rezultǎ cǎ funcţia lui Hamilton este integralǎ primǎ pentru sistemul canonic. Revenim la cazul general al sistemelor autonome: x 1 = f 1 (x 1,..., x n ) x 2 = f 2 (x 1,..., x n ) (4.21)... x n = f n (x 1,..., x n ) f i : D IR n IR 1, i = 1, n pentru care considerǎm integrale prime U j, j = 1, m care nu depind de variabila independentǎ t; U j = U j (x 1,..., x n ). Definiţia 4.5.3 Un sistem de m n integrale prime ale sistemului (4.19) se zice independent dacǎ rangul matricei: U 1 U 1... U 1 x 1 x 2 x n U 2 U 2... U 2 x 1 x 2 x n... U m U m... U m x 1 x 2 x n este egal cu m. În continuare vom arǎta importanţa integralelor prime.

Integrale prime 157 Teorema 4.5.2 Dacǎ se cunosc m < n integrale prime ale sistemului (4.19) atunci problema determinǎrii soluţiilor sistemului (4.19) revine la problema determinǎrii soluţiilor unui sistem de n m ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. Dacǎ se cunosc n integrale prime atunci problema determinǎrii soluţiilor sistemului (4.19) revine la rezolvarea unui sistem de ecuaţii implicite. Demonstraţie: Considerǎm la început m < n integrale prime U 1,..., U m independente ale sistemului (4.19). Independenţa asigurǎ faptul cǎ din sistemul de ecuaţii: U 1 (t, x 1,..., x n ) c 1 = 0 U 2 (t, x 1,..., x n ) c 2 = 0 (4.22)... U m (t, x 1,..., x n ) c m = 0 putem exprima m dintre necunoscutele x 1,..., x n în funcţie de celelalte necunoscute, şi în funcţie de t şi de constantele c 1,..., c m. Pentru a face o alegere presupunem cǎ x 1,..., x m se exprimǎ în funcţie de t, x m+1,..., x n : x 1 = ϕ 1 (t, x m+1,..., x n, c 1,..., c m ) x 2 = ϕ 2 (t, x m+1,..., x n, c 1,..., c m )... x m = ϕ m (t, x m+1,..., x n, c 1,..., c m ) Dacǎ x 1 (t),..., x n (t) este o soluţie a sistemului (4.19), atunci avem: x 1 (t) = ϕ 1 (t, x m+1 (t),..., x n (t), c 1,..., c m ) x 2 (t) = ϕ 2 (t, x m+1 (t),..., x n (t), c 1,..., c m )... x m (t) = ϕ m (t, x m+1 (t),..., x n (t), c 1,..., c m ) Rezultǎ în acest fel cǎ primele m componente ale soluţiei x 1 (t),..., x m (t) se construiesc cu restul componentelor x m+1 (t),..., x n (t) şi a constantelor c 1,..., c m prin intermediul funcţiilor ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ m. Prin înlocuire în sistemul (4.19) rezultǎ cǎ x m+1 (t),..., x n (t) verificǎ urmǎtorul sistem de ecuaţii diferenţiale: dx m+1 =f m+1 (t, ϕ 1 (t, x m+1,...,x n, c 1,...,c m ),...,ϕ m (t, x m+1,...,x n, c 1,...,c m ), x m+1,...,x n ) dt... dx n =f n (t, ϕ 1 (t, x m+1,...,x n, c 1,...,c m ),...,ϕ m (t, x m+1,...,x n, c 1,...,c m ), x m+1,...,x n ) dt

158 CAPITOLUL 4 Astfel, rezultǎ cǎ funcţiile x m+1,..., x n verificǎ un sistem de n m ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. Dacǎ m = n atunci sistemul algebric (4.22) este din care obţinem: U k (t, x 1, x 2,..., x n ) c k = 0, k = 1, n x k = ϕ(t, c 1,..., c m ) k = 1, n. Imprecis, dar sugestiv putem spune, cu cât avem mai multe integrale prime cu atât mai mult se reduce dimensiunea sistemului diferenţial. Dacǎ m = n problema rezolvǎrii sistemului diferenţial se reduce la rezolvarea unui sistem algebric. Vom relua în continuare câteva exemple în cazul unei singure ecuaţii n = 1 când este nevoie doar de o singurǎ integralǎ primǎ. Exemple: 1. Arǎtaţi cǎ dacǎ f : (a, b) IR 1 este funcţie continuǎ, atunci funcţia U(t, x) = x t t f(τ)dτ este integralǎ primǎ pentru ecuaţia diferenţialǎ ẋ = f(t). Deduceţi în acest fel cǎ soluţiile acestei ecuaţii diferenţiale sunt soluţiile ecuaţiei algebrice x t t f(τ)dτ c = 0. 2. Arǎtaţi cǎ dacǎ g : (c, d) IR 1 este o funcţie continuǎ care nu se anuleazǎ, atunci funcţia U(t, x) = t x x du g(u) este integralǎ primǎ pentru ecuaţia diferenţialǎ ẋ = g(x). Deduceţi astfel cǎ soluţiile acestei ecuaţii diferenţiale sunt soluţiile ecuaţiei algebrice x du t g(u) c = 0. x

Integrale prime 159 3. Arǎtaţi cǎ dacǎ f : (a, b) IR 1 şi g : (c, d) IR 1 sunt funcţii continue şi funcţia g nu se anuleazǎ, atunci funcţia U(t, x) = t t f(τ)dτ x x du g(u) este integralǎ primǎ pentru ecuaţia diferenţialǎ ẋ = f(t) g(x). Deduceţi de aici cǎ soluţiile acestei ecuaţii diferenţiale sunt soluţiile ecuaţiei algebrice. Revenind la cazul general n > 1, problema naturalǎ care se pune este: care este numǎrul maxim de integrale prime independente pentru sistemul (4.19)? Rǎspunsul la aceastǎ întrebare este datǎ de urmǎtoarea teoremǎ. Teorema 4.5.3 Pentru orice punct (t 0, x 0 1,..., x0 n ) I D existǎ o vecinǎtate deschisǎ V I D astfel ca pe V sistemul (4.19) are n integrale prime independente şi orice integralǎ primǎ definitǎ pe V se exprimǎ ca funcţie de cele n integrale prime independente. Demonstraţie: Fie X(t; t 0, X 0 ) soluţia saturatǎ a sistemului (4.19) care verificǎ X(t 0 ) = X 0 şi I 0 intervalul ei de definiţie. Considerǎm un interval compact [T 1, T 2 ] inclus în I 0 care conţine punctul t 0 în interior. Conform teoremei de continuitate în raport cu condiţiile iniţiale existǎ o vecinǎtate U 0 a lui x 0 = (x 0 1,..., x0 n ) astfel încât pentru orice X = (x 1,..., x n ) U 0 soluţia sistemului (4.19) care coincide cu X în t = t 0 este definitǎ pe [T 1, T 2 ]; notǎm cu X(t; t 0, X ) aceastǎ soluţie saturatǎ. Funcţia (t, X ϕ ) X(t; t 0, X ) este de clasǎ C 1 pe baza teoremei de diferenţiabilitate în raport cu condiţiile iniţiale. Din aceeaşi teoremǎ rezultǎ cǎ matricea X [X(t; t 0, X )] este nesingularǎ şi prin urmare aplicaţia X ϕ X(t; t 0, X ) este local inversabilǎ. Existǎ deci douǎ vecinǎtaţi deschise W 1, W 2 ale punctului (t 0, X 0 ) şi o funcţie ψ de clasǎ C 1, ψ : W 2 W 1 cu proprietǎţile: ψ(t, X(t; t 0, X )) (t, X ) şi X(t; t 0, ψ(t, X )) X ( ) (t, X ) W 1 şi (t, X ) W 2. Componentele scalare ψ k ale funcţiei ψ rǎmân constante atunci când x 1,..., x n se înlocuieşte cu o soluţie a sistemului definitǎ în vecinǎtatea consideratǎ, deci ψ k ( sunt ) integrale prime. În plus ψ(t 0, X ) = (t 0, X ) de unde ψk rezultǎ cǎ rang = n. Adicǎ integrabile prime ψ 1,..., ψ n sunt independente. x r

160 CAPITOLUL 4 Fie acum U o integralǎ primǎ oarecare a sistemului (4.1). definiţiei U(t, X(t; t 0, X )) nu depinde de t şi putem scrie Conform U(t, X(t; t 0, X )) = h(x ). Înlocuind X cu ψ(t, X ) şi ţinând seama de egalitatea obţinem: X(t; t 0, ψ(t, X )) X U(t, X ) = h(ψ(t, X )). Aceastǎ din urmǎ egalitate aratǎ cǎ integrala primǎ U este o funcţie h de cele n integrale prime independente ψ 1,..., ψ n. O metodǎ de determinare a integralelor prime este datǎ de ecuaţia: U n t + U f i = 0 x i i=1 În aceastǎ ecuaţie U este funcţie necunoscutǎ şi intervine în ecuaţie prin intermediul derivatelor parţiale de ordinul întâi. De aceea ecuaţia aceasta se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi. Orice soluţie a acestei ecuaţii este o integralǎ primǎ. Observǎm cǎ dacǎ funcţiile µ 0, µ 1,..., µ n sunt astfel ca µ 0 + n µ i f i = 0 1 şi existǎ o funcţie U cu proprietatea U t = µ 0 şi U = µ i, atunci funcţia U x i este integralǎ primǎ pentru sistemul (4.19).

Integrale prime 161 Exerciţii: 1. Fie sistemul de ecuaţii: Sǎ se determine o integralǎ primǎ. µ 0 = 0, µ 1 = x 1, µ 2 = x 2 R: U(x 1, x 2 ) = 1 2 (x2 1 + x 2 2) x 1 = x 2 x 2 = x 1 2. În descrierea mişcǎrii solidului rigid intervine sistemul: A ṗ = (B C)g r B q = (C A)r p C ṙ = (A B)p q Sǎ se determine douǎ integrale prime pentru sistemul considerat. R: U 1 (p, q, r) = Ap 2 +Bq 2 +cr 2 şi U 2 (p, q, r) = A 2 p 2 +B 2 q 2 +C 2 r 2. 3. Sǎ se determine douǎ integrale prime pentru sistemul: a) dx x = dy 2y = dz z R:U 1 (x, y, z) = x y şi U 2 (x, y, z) = xz. b) dx z y = dy x z = dz y x R: U 1 (x, y, z) = x + y + z şi U 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. c) dx x 2 (y + z) = dy y 2 (z + x) = dz z 2 (y x) R: U 1 (x, y, z) = xyz şi U 2 (x, y, z) = 1 x + 1 y + 1 z.

162 CAPITOLUL 4 d) dx xy = dy 2 x 2 y = dz z(x 2 + y 2 ) R: U 1 (x, y, z) = x 2 y 2 şi U 2 (x, y, z) = xy z.

Capitolul 5 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi 5.1 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare Definiţia 5.1.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi liniarǎ este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma: n i=0 u x i f i (x 0, x 1,...,x n ) = 0 (5.1) între derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei necunoscute u = u(x 0, x 1,...,x n ). Funcţiile f 0, f 1,...,f n în ecuaţia (5.1) f i : Ω IR n+1 IR 1 se considerǎ cunoscute şi sunt presupuse funcţii de clasǎ C 1 pe Ω. Definiţia 5.1.2 O soluţie a ecuaţiei (5.1) este o funcţie u : Ω Ω IR 1 de clasǎ C 1 astfel încât în toate punctele (x 0, x 1,...,x n ) Ω sǎ avem verificatǎ identitatea: n u (x 0, x 1,...,x n ) f i (x 0, x 1,...,x n ) 0 x i i=0 163

164 CAPITOLUL 5 Fie ξ = (ξ 0, ξ 1,...,ξ n ) Ω astfel încât n fi 2 (ξ 0, ξ 1,...,ξ n ) 0. i=0 Existenţa unui punct ξ Ω cu aceastǎ proprietate poate fi admisǎ pentru cǎ, în caz contrar, toate funcţiile f i ar fi identic nule pe Ω de unde ar rezulta cǎ ecuaţia (5.1) este verificatǎ, oricare ar fi funcţia u de clasǎ C 1 pe Ω. Putem admite de asemenea cǎ f 0 (ξ 0, ξ 1,...,ξ n ) 0. Aceasta întrucât din n ipoteza f i (ξ 0, ξ 1,...,ξ n ) 0 rezultǎ cǎ existǎ i 0 {0, 1,..., n} astfel ca i=0 f i0 (ξ) 0. Ceea ce presupunem noi în plus este faptul cǎ i 0 = 0, adicǎ f 0 (ξ) 0. Dacǎ f 0 (ξ) = 0, atunci se face raţionamentul pentru f i0. Revenim deci la f 0 (ξ) 0 şi deoarece f 0 este continuǎ, existǎ o vecinǎtate V ξ a punctului ξ astfel ca f 0 (x) 0 pentru orice x V ξ. Considerǎm acum sistemul de ecuaţii diferenţiale: unde ẋ i = g i (t, x 1,...,x n ), i = 1, n (5.2) g i (t, x 1,...,x n ) = f i(t, x 1,..., x n ) f 0 (t, x 1,...,x n ) t fiind componenta x 0 a vectorului x = (x 0, x 1,...,x n ) V ξ, t = x 0. Sistemul (5.2) este definit pentru (t, x 1,...,x n ) V ξ,iar funcţiile g i sunt de clasǎ C 1 pe V ξ. Teorema 5.1.1 Soluţiile ecuaţiei (5.1) definite pe Ṽ V ξ sunt integrale prime ale sistemului (5.2) şi reciproc. Demonstraţie: Fie u : Ṽ R 1 o soluţie a ecuaţiei (5.1). Cu notaţiile introduse avem: n k=1 u t (t, x 1,...,x n ) f 0 (t, x 1,...,x n )+ u x k (t, x 1,...,x n ) f k (t, x 1,..., x n ) 0

Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare 165 deci u t (t, x 1,...,x n ) + şi prin urmare: u t (t, x 1,...,x n ) + n k=1 n k=1 u (t, x 1,...,x n ) fk(t, x 1,..., x n ) x k f 0 (t, x 1,...,x n ) 0 u x k (t, x 1,...,x n ) g k (t, x 1,...,x n ) 0 ceea ce aratǎ cǎ u este integralǎ primǎ a sistemului (5.2). Cu un raţionament asemǎnǎtor se aratǎ cǎ dacǎ u este integralǎ primǎ pentru sistemul (5.2) atunci este soluţie pentru ecuaţia (5.1). Prin urmare, problema determinǎrii soluţiilor ecuaţiei (5.1) revine la problema determinǎrii integralelor prime pentru sistemul (5.2). Ţinând seama de cele demonstrate pentru integralele prime ale unui sistem, rezultǎ cǎ soluţiile ecuaţiei cu derivate parţiale (5.1) au urmǎtoarele proprietǎţi: i) oricare ar fi (x 0 0, x0 1,..., x0 n ) Ω, dacǎ f 0(x 0 0, x0 1,..., x0 n ) 0, atunci existǎ o vecinǎtate deschisǎ V Ω a punctului (x 0 0, x 0 1,...,x 0 n) şi n funcţii u 1,...,u n : V R 1 de clasǎ C 1 astfel încât: a) u 1, u 2,...,u n sunt soluţii ale ecuaţiei (5.1); b) u k (x 0 0, x 1,...,x n ) = x k ; ( ) uk c) det 0, k, l = 1, 2,..., n. x l ii) dacǎ u este o soluţie oarecare a ecuaţiei (5.1) definitǎ pe Ṽ V, atunci existǎ o vecinǎtate deschisǎ D a lui (x 0 1,...,x0 n ) şi o funcţie γ : D IR n R 1 astfel ca u(x 0, x 1,...,x n ) = = γ(u 1 (x 0, x 1,...,x n ), u 2 (x 0, x 1,...,x n ),..., u n (x 0, x 1,...,x n )). Definiţia 5.1.3 (Problema Cauchy pentru ecuaţia (5.1)) Se numeşte problemǎ Cauchy pentru ecuaţia (5.1) problema determinǎrii unei soluţii u a ecuaţiei (5.1) astfel ca u(x 0 0, x 1,...,x n ) = h(x 1,...,x n ), ( )(x 1,...,x n ) D D, unde x 0 0 şi funcţia h : D IRn R 1 de clasǎ C 1 sunt date; D fiind o vecinǎtate deschisǎ a lui (x 0 1,...,x0 n ).

166 CAPITOLUL 5 Teorema 5.1.2 Dacǎ în (x 0 0, x0 1,..., x0 n ) Ω avem f 0 (x 0 0, x0 1,..., x0 n ) 0 atunci pentru h de clasǎ C 1 definitǎ într-o vecinǎtate deschisǎ D a lui (x 0 1,...,x0 n ) problema Cauchy are soluţie unicǎ. Demonstraţie: Considerǎm soluţiile u 1, u 2,...,u n ale ecuaţiei (5.1) definite în vecinǎtatea deschisǎ V a lui (x 0 0, x0 1,...,x0 n ) cu proprietatea u k (x 0 0, x 1,...,x n ) = x k, k = 1,...,n. Existǎ o vecinǎtate Ṽ V a lui (x0 0, x0 1,...,x0 n ) astfel ca pentru (x 0, x 1,...,x n ) Ṽ sǎ avem Fie (u 1 (x 0, x 1,..., x n ),...,u n (x 0, x 1,...,x n )) D. u(x 0, x 1,...,x n ) = h(u 1 (x 0, x 1,...,x n ),..., u n (x 0, x 1,...,x n )). Funcţia u(x 0, x 1,..., x n ) definitǎ astfel este de clasǎ C 1 şi verificǎ ecuaţia (5.1): u x 0 f 0 0 + n k=1 u x k f k = = n l=1 h y l u l n h y l l=1 f 0 + x 0 ( u l f 0 + x 0 n n h u l f k = y l x k l=1 ) n u l f k = 0. x k k=1 k=1 În plus, u(x 0 0, x 1,...,x n ) = h(u 1 (x 0 0, x 1,...,x n ),...,u n (x 0 0, x 1,...,x n )) = = h(x 1,..., x n ) deci u este soluţia problemei Cauchy. Pentru unicitate sǎ presupunem cǎ ũ este o altǎ soluţie a problemei Cauchy definitǎ pe Ṽ. Rezultǎ cǎ existǎ γ astfel ca ũ(x 0, x 1,...,x n ) = γ(u 1 (x 0, x 1,...,x n ),..., u n (x 0, x 1,...,x n )).

Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare 167 De aici rezultǎ cǎ h(x 1,..., x n ) = ũ(x 0 0, x 1,..., x n ) = γ(x 1,..., x n ); şi deci ũ coincide cu u. Dacǎ în punctul (x 0 0, x0 1,...,x0 n ) avem f k (x 0 0, x0 1,...,x0 n ) 0, atunci se poate formula un rezultat analog pentru o funcţie h definitǎ pe o vecinǎtate deschisǎ a punctului (x 0 0, x 0 1,..., x 0 k 1, x0 k+1,...,x0 n). Problema 5.1.1 O funcţie u = u(x 1, x 2,...,x n ) se zice funcţie omogenǎ de grad zero în sens Euler dacǎ pentru orice λ IR 1 + avem u(λ x 1, λ x 2,...,λ x n ) = u(x 1, x 2,...,x n ). Arǎtaţi cǎ funcţia u = u(x 1, x 2,...,x n ) de clasǎ C 1 este omogenǎ de grad zero în sens Euler dacǎ şi numai dacǎ existǎ γ = γ(ξ 1, ξ 2,..., ξ n 1 ) astfel ca: ( x1 u(x 1, x 2,...,x n ) = γ, x 2,..., x ) n 1. x n x n x n Rezolvare: Din u(λ x 1, λ x 2,...,λ x n ) = u(x 1, x 2,...,x n ) rezultǎ cǎ d dλ [u(λ x 1, λ x 2,...,λ x n )] = 0 adicǎ: x 1 u x 1 (λ x 1, λ x 2,...,λ x n ) +...+ x n u x n (λ x 1, λ x 2,...,λ x n ) = 0, ( )λ > 0. Pentru λ = 1 rezultǎ: x 1 u x 1 (x 1, x 2,...,x n ) +... + x n u x n (x 1, x 2,...,x n ) = 0, ( )(x 1, x 2,...,x n ), de unde avem cǎ: u(x 1, x 2,...,x n ) = γ ( x1, x 2,..., x ) n 1. x n x n x n

168 CAPITOLUL 5 Exerciţii: 1. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare: a) y u x x u y = 0 b) x u x + y u y = 0 R: u(x, y) = γ(x 2 + y 2 ) ( y R: u(x, y) = γ x) c) x u u 2y x y z u z = 0 R: u(x, y, z) = γ ( x y, xz ) d) xy u x ( 1 y 2 y u y z u ) = xy u z z R: u(x, y, z) = γ ( 2yz + x( (y + ) ) 1 y 2, x e arcsin y 2. Rezolvaţi urmǎtoarele probleme Cauchy: a) x u x + y u y = 0; u(x, 1) = x R: u(x, y) = x y

Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare 169 b) x u x + y u y + z u z = 0; u(1, y, z) = y z R: u(x, y, z) = y + z 2 yz c) (1 + x 2 ) u u + xy x y = 0; u(0, y) = y2 R: u(x, y) = y2 1 + x 2

170 CAPITOLUL 5 5.2 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare Definiţia 5.2.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniarǎ este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma: n i=1 u x i f i (x 1,...,x n, u) g(x 1,...,x n, u) = 0 (5.3) dintre funcţia necunoscutǎ u = u(x 1,...,x n ) şi derivatele parţiale u x i,i = 1, n ale acesteia. Funcţiile f 1,..., f n şi g în ecuaţia (5.3) se considerǎ date: f i, g : Ω IR n+1 R 1 şi sunt presupuse de clasǎ C 1. Ecuaţia (5.3) se numeşte cvasiliniarǎ pentru cǎ este liniarǎ în derivatele parţiale u x k, dar nu este liniarǎ în general în u. Definiţia 5.2.2 O soluţie a ecuaţiei (5.3) este o funcţie: u : D R n R 1 de clasǎ C 1 care are proprietatea cǎ pentru orice (x 1,..., x n ) D punctul (x 1,..., x n, u(x 1,...,x n )) Ω şi în D. n i=1 u x i (x 1,...,x n ) f i (x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) g(x 1,..., x n, u(x 1,...,x n )) 0 Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (5.3) considerǎm ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul întâi liniarǎ: n v f i (x 1,...,x n, u) + v x i u g(x 1,...,x n, u) = 0 (5.4) i=1 cu (x 1,..., x n, u) Ω

Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare 171 Teorema 5.2.1 Dacǎ v este soluţie a ecuaţiei (5.4) defintǎ pe Ω Ω, iar (x 0 1,...,x 0 n, u 0 ) Ω şi v u (x0 1,...,x 0 n, u 0 ) 0 atunci funcţia u = u(x 1,...,x n ) definitǎ implicit prin ecuaţia este o soluţie a ecuaţiei (5.3). v(x 1,...,x n, u) v(x 0 1,...,x0 n, u0 ) = 0 Demonstraţie: Fie u = u(x 1,...,x n ) funcţia definitǎ implicit prin ecuaţia Avem: v(x 1,...,x n, u) v(x 0 1,...,x0 n, u0 ) = 0. v(x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) v(x 0 1,...,x0 n, u0 ) 0 şi prin derivare în raport cu x k gǎsim: v x k (x 1,...,x n, u(x 1,...,x n ))+ v u (x 1,...,x n, u(x 1,..., x n )) u (x 1,...,x n ) 0 x k pentru k = 1, 2,..., n. Înmulţind pe rând aceste egalitǎţi cu f k (x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) şi adunândule gǎsim: n k=1 v x k (X, u(x)) f k (X, u(x))+ v n u (X, u(x)) u (X, u(x)) f k (X, u(x)) 0 x k k=1 unde X = (x 1,...,x n ). Dar v fiind soluţie a ecuaţiei (5.4) are loc n k=1 v x k (x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) f k (x 1,...,x n, u(x 1,...,x n ))+

172 CAPITOLUL 5 + v u (x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) g(x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) 0 şi prin urmare: v u (x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) g(x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) = v u (x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )) n k=1 u x k (x 1,..., x n ) f k (x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )). Ţinem seamǎ de faptul cǎ v u (x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )) 0 deducem egalitatea: n k=1 u x k (x 1,..., x n ) f i (x 1,..., x n, u(x 1,..., x n ))=g(x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )). Rezultǎ în acest fel cǎ funcţia u = u(x 1,...,x n ) este soluţie a ecuaţiei (5.3). Teorema aratǎ cǎ rezolvarea ecuaţiilor cvasiliniare cu derivate parţiale de ordinul întâi se reduce la rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare. Definiţia 5.2.3 Pentru (x 0 1,...,x0 n ) Ω problema gǎsirii unei soluţii u(x 1,...,x n ) a ecuaţiei (5.3) astfel încât u(x 0 1, x 2,...,x n ) = ξ(x 2,...,x n ), ξ fiind o funcţie datǎ de clasǎ C 1 se numeşte problemǎ Cauchy pentru ecuaţia (5.3). Teorema 5.2.2 Dacǎ f 1 (x 0 1,...,x 0 n, ξ(x 0 2,...,x 0 n)) 0, atunci existǎ o vecinǎtate deschisǎ V a punctului (x 0 1,...,x0 n ) şi o soluţie u=u(x 1,..., x n ) a ecuaţiei (5.3) definitǎ pe V astfel încât u(x 0 1, x 2,...,x n ) = ξ(x 2,...,x n ). Demonstraţie: Existǎ n soluţii v 1, v 2,...,v n ale ecuaţiei (5.4) definite pe o vecinǎtate a punctului (x 0 1,...,x 0 n, ξ(x 0 2,...,x 0 n)) astfel încât v k (x 0 1, x 2,...,x n, u) = x k+1, k = 1, 2,..., n 1

Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare 173 şi Funcţia v definitǎ prin: v n (x 0 1, x 2,...,x n, u) = u. v(x 1,...,x n, u) = v n (x 1,...,x n, u) ξ(v 1 (x 1,...,x n, u),..., v n 1 (x 1,...,x n, u)) este soluţie a ecuaţiei (5.4) (este obţinutǎ ca funcţie de cele n integrale prime independente) şi v(x 0 1, x 2,...,x n, u) = u ξ(x 2,..., x n ). Din teorema funcţiilor implicite rezultǎ cǎ existǎ o vecinǎtate V a punctului (x 0 1,...,x 0 n) şi o funcţie u = u(x 1,..., x n ) de clasǎ C 1 definitǎ pe aceastǎ vecinǎtate astfel încât v(x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )) 0. Deoarece v u (x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) 0 din teorema precedentǎ rezultǎ cǎ u = u(x 1,...,x n ) este soluţie a ecuaţiei (5.3). Avem: v(x 1,...,x n, u(x 1,...,x n )) ξ(v 1 (x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )),..., v n 1 (x 1,..., x n, u(x 1,..., x n )) 0 deci în x i avem: u(x 0 1, x 2,...,x n ) ξ(x 2,...,x n ) 0. Observaţia 5.2.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi de forma: n u f i = g (5.5) x i i=1 se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi liniarǎ şi neomogenǎ. Aceastǎ denumire se datoreazǎ faptului cǎ pentru g = 0 ecuaţia (5.5) este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi liniarǎ (şi omogenǎ). În ecuaţia (5.5), funcţiile f 1,...,f n şi g sunt funcţii de clasǎ C 1 şi depind de variabilele (x 1,...,x n ) Ω. Ecuaţia (5.5) se rezolvǎ ca şi ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare.

174 CAPITOLUL 5 Exerciţii: 1. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare: a) u x (1 + u x y) + u y = 2 R: γ(u 2y, y + 2 u x y) = 0 b) n i=1 x i u x i = m u R: γ ( x1 x n, x 2 x n,..., x n 1 x n, u x m n ) = 0 c) xy u x y2 u y + x(1 + x2 ) = 0 R: γ ) (xy u + x2 2 + x2 4, xy = 0 d) 2y 4 u u xy x y = x u 2 + 1 R: γ ( x 2 + y 4, y ( u + u 2 + 1 )) = 0 2. Rezolvaţi urmǎtoarele probleme Cauchy: a) u x u y = y x u, u(1, y) = y2 R: u 2 (x, y, z) = (x + y 1) 4 + 2xy 2(x + y 1) b) xy u x y2 u 3 = x, u(1, y) = y 2y R: u(x, y) = x2 + 2 2xy

Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniare 175 c) u u x + (u2 x 2 ) u y + x = 0, u(x, x2 ) = 2x R: y 2 + u 2 (x, y) = 5 (x u(x, y) y)

176 CAPITOLUL 5 5.3 Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul întâi Pentru calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul întâi Maple foloseşte funcţia pdsolve (find solutions for partial differential equations (PDEs) and systems of PDEs) cu una din urmǎtoarele sintaxe : pdsolve(pde, f, INTEGRATE, build); pdsolve(pde system, funcs, other options); în care: PDE f INTEGRATE build - ecuaţia cu derivate parţiale pe care dorim sǎ o rezolvǎm - numele funcţiei necunoscute (implicǎ existenţa derivatelor parţiale ale mai multor funcţii) -(opţional) indicǎ integrarea automatǎ a ecuaţiilor diferenţiale ordinare care intervin atunci când PDE este rezolvatǎ cu metoda separǎrii variabilelor - (opţional) indicǎ afişarea unei forme explicite (dacǎ este posibil) a soluţiei Pentru exemplificare, considerǎm ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul întâi liniarǎ: y u x x u y = 0 (5.6) Cu instrucţiunea pdsolve se obţine soluţia generalǎ (toate soluţiile) a ecuaţiei: > PDE1 := y*diff(u(x,y),x)-x*diff(u(x,y),y) = 0; PDE1 := y u (x, y) x u (x, y) = 0 x y > pdsolve(pde1); u (x, y) = F1 (x 2 + y 2 )

Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul întâi 177 Se observǎ cǎ, soluţia generalǎ este afişatǎ cu ajutorul unei funcţii F1 care poate fi orice funcţie de clasǎ C 1. Pentru determinarea unei anumite soluţii avem nevoie de o condiţie iniţialǎ, dar în sintaxa funcţiei pdsolve prezentatǎ anterior nu existǎ nici un parametru care sǎ specifice utilizarea acesteia. În cele ce urmeazǎ, vom mai determina soluţia generalǎ pentru o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi în care funcţia necunoscutǎ este de trei variabile x, y, z: u x x + y u y + z u z = 0 (5.7) > PDE3 :=sqrt(x)*diff(u(x,y,z),x)+sqrt(y)*diff(u(x,y,z),y)+ sqrt(z)*diff(u(x,y,z),z) = 0; PDE3 := x x u (x, y, z) + y y u (x, y, z) + sqrtz z u (x, y, z) = 0 > pdsolve(pde3); u (x, y, z) = F1 ( x y, z y )

Capitolul 6 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniare 6.1 Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniare (clasificarea problemelor de fizicǎ - matematicǎ) Definiţia 6.1.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniarǎ este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma: n n 2 u n a ij + b i u + c u + f = 0 (6.1) x i x j x i i=1 j=1 i=1 dintre funcţia necunoscutǎ u = u(x 1,...,x n ), derivatele parţiale de ordinul întâi şi de ordinul al doilea ale acesteia. Funcţiile a ij, b i, c, f : Ω IR n IR 1 din ecuaţia (6.1) se considerǎ cunoscute şi sunt presupuse cel puţin continue pe Ω. Definiţia 6.1.2 O soluţie clasicǎ a ecuaţiei (6.1) este o funcţie u : D Ω IR 1 de clasǎ C 2 care are proprietatea cǎ pentru orice (x 1,...,x n ) D avem: n n 2 u a ij (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n )+ x i x j i=1 + j=1 n i=1 b i (x 1,...,x n ) u x i (x 1,...,x n )+ 178

Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniare 179 +c(x 1,..., x n ) u(x 1,...,x n ) + f(x 1,...,x n ) = 0. Fie T : Ω Ω un difeomorfism de clasǎ C 2 de componente ξ k = ξ k (x 1,..., x n ), k = 1, n şi u = u(x 1,...,x n ) o soluţie a ecuaţiei (6.1). Considerǎm funcţia v = u T 1 şi din derivarea funcţiilor compuse obţinem: 2 u x i x j = n k=1 n l=1 u x i = n k=1 v ξ k ξ k x i 2 v ξ k ξ l ξ k x i ξ l x j + Înlocuind derivatele în ecuaţia (6.1) obţinem: unde: n k=1 n 2 v a kl + x k x l l=1 b = a kl = n i=1 n i=1 n k=1 n j=1 b i ξ k x i + n k=1 v 2 ξ k. ξ k x i x j b k v ξ k + c v + f = 0 (6.2) a ij ξ k x i ξ l x j n i=1 n 2 ξ k a ij. x i x j Ecuaţia (6.2) este echivalentǎ cu ecuaţia (6.1), soluţiile u ale ecuaţiei (6.1) obţinându-se din soluţiile v ale ecuaţiei (6.2) cu formula u = v T. Pe de altǎ parte într-un punct oarecare, fixat (x 0 1,...,x 0 n) Ω putem considera forma pǎtraticǎ n n a 0 ij y i y j i=1 j=1 j=1 unde a 0 ij = a ij(x 0 1,...,x0 n ). Prin schimbarea de variabile y i = n k=1 ξ k x k η k forma pǎtraticǎ consideratǎ se transformǎ în forma pǎtraticǎ: ( n n n ) n a 0 ij ξ k ξ n n l η k η l = a kl η k η l. x i x j k=1 l=1 i=1 j=1 k=1 l=1

180 CAPITOLUL 6 Prin urmare, coeficienţii derivatelor parţiale de ordinul al doilea se schimbǎ la fel cu coeficienţii formei pǎtratice sub acţiunea transformǎrii liniare: y j = n k=1 ξ k x i η k. Se ştie cǎ, prin alegerea unei transformǎri liniare adecvate, forma pǎtraticǎ se aduce la forma canonicǎ (adicǎ matricea a 0 ij poate fi adusǎ la forma diagonalǎ: a 0 ii = 1 sau 0 şi, a 0 ij = 0 dacǎ i j). Aceasta înseamnǎ cǎ alegând în mod adecvat transformarea ξ k = ξ k (x 1,..., x n ), k = 1, n, coeficienţii derivatelor parţiale 2 v ξ 2 k în punctul ξ k = ξ k (x 0 1,..., x0 n ), k = 1, n vor fi egali cu +1, 1 sau 0, iar coeficienţii derivatelor parţiale 2 v ξ k ξ l vor fi nuli. Conform legii inerţiei, numǎrul coeficienţilor a 0 ii pozitivi, negativi sau nuli nu depinde de transformarea liniarǎ care aduce forma pǎtraticǎ la forma canonicǎ. Aceasta permite sǎ dǎm urmǎtoarea definiţie: Definiţia 6.1.3 i) Zicem cǎ ecuaţia (6.1) este elipticǎ în punctul (x 0 1,...,x0 n ) dacǎ toţi cei n coeficienţi a 0 ii sunt de acelaşi semn. ii) Zicem cǎ ecuaţia (6.1) este hiperbolicǎ în punctul (x 0 1,...,x0 n ) dacǎ (n 1) coeficienţi a 0 ii au acelaşi semn şi unul din coeficienţi are semn contrar. iii) Zicem cǎ ecuaţia (6.1) este ultra-hiperbolicǎ în punctul (x 0 1,...,x0 n ) dacǎ printre coeficienţii a 0 ii existǎ m coeficienţi de un semn şi n m coeficienţi de semn contrar. iv) Zicem cǎ ecuaţia (6.1) este parabolicǎ dacǎ cel puţin unul din coeficienţii a 0 ii este nul. Observaţia 6.1.1 În acord cu definiţia anterioarǎ, ecuaţia (6.1) are una dintre urmǎtoarele forme standard: i) Ecuaţie de tip eliptic în (x 0 1,...,x0 n ): 2 v ξ 2 1 + 2 v ξ 2 2 +... + 2 v + Φ = 0; (6.3) ξn

Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniare 181 ii) Ecuaţie de tip hiperbolic în (x 0 1,...,x0 n ): 2 v n ξ = 2 v 1 ξi 2 i=2 + Φ; (6.4) iii) Ecuaţie de tip ultra-hiperbolic în (x 0 1,...,x0 n ): m i=1 2 v ξ 2 i = n i=m+1 2 v ξ 2 i + Φ; (6.5) iii) Ecuaţie de tip parabolic: n m i=1 ( ) ± 2 v + Φ = 0, (m > 0). (6.6) ξi 2 Tipul ecuaţiei (6.1) în (x 0 1,..., x0 n ) se determinǎ prin aducerea formei pǎtratice: n i=1 n a 0 ij y i y j j=1 la forma canonicǎ. Ecuaţia poate fi adusǎ la una din formele standard prezentate alegând transformarea ξ k = ξ k (x 1,...,ξ n ), k = 1, n astfel încât transformarea liniarǎ: n ξ k y i = (x 0 1 x,...,xi n ) η k i k=1 sǎ aducǎ forma pǎtraticǎ la forma canonicǎ. Sǎ examinǎm în continuare problema posibilitǎţii aducerii ecuaţiei (6.1) la forma canonicǎ (una din formele prezentate) într-o vecinǎtate a unui punct (x 1,...,x n ), în condiţiile în care în toate punctele acestei vecinǎtǎţi ecuaţia aparţine aceluiaşi tip. Pentru a aduce ecuaţia (6.1) la forma canonicǎ într-un anumit domeniu ar trebui, în primul rând, sǎ impunem funcţiilor ξ k (x 1...,x n ), k = 1, n condiţiile diferenţiale a kl = 0 pentru k l. Numǎrul acestor condiţii este n(n 1) 2 şi este mai mic decât n (n reprezintǎ numǎrul funcţiilor ξ k, k = 1, n) dacǎ n < 3. De aceea pentru n > 3 ecuaţia (6.1) nu poate fi adusǎ la forma

182 CAPITOLUL 6 canonicǎ în vecinǎtatea unui punct (x 1,...,x n ). Pentru n = 3 elementele nediagonale ar putea fi anulate în general, însǎ elementele diagonale ar putea fi diferite de ±1,0. Deci, nici în acest caz, ecuaţia (6.1) nu poate fi adusǎ la forma canonicǎ în vecinǎtatea unui punct. Doar pentru n = 2, putem anula unicul coeficient nediagonal şi satisface condiţia de egalitate a celor doi coeficienţi diagonali. Aceasta înseamnǎ cǎ doar în cazul n = 2 putem aduce ecuaţia cu derivate parţiale la forma canonicǎ pe o vecinǎtate. Exerciţii 1. Aduceţi la forma canonicǎ ecuaţia: a 11 2 u x + 2a 2 u 2 12 x y + a 22 2 u y + b 2 1 u x + b 2 u + c u + f(x, y) = 0 y unde a ij, b i, c sunt constante. R: Scriind ecuaţia caracteristicǎ asociatǎ: ( ) 2 dy a 11 2a 12 dx ( ) dy + a 22 = 0 dx se obţine discriminantul: = (a 12 ) 2 a 11 a 22. - dacǎ > 0 (cazul ecuaţiei hiperbolice), atunci ecuaţia caracteristicǎ are douǎ rǎdǎcini reale: dy dx = a 12 + (a12 ) 2 a 11 a 22 a 11 dy dx = a 12 (a12 ) 2 a 11 a 22 Se rezolvǎ aceste ecuaţii diferenţiale ordinare şi se obţine f(x, y) = c 1, respectiv g(x, y) = c 2. Schimbarea de variabile care ne va duce la forma canonicǎ va fi: { ξ(x, y) = f(x, y) a 11 η(x, y) = g(x, y).

Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniare 183 - dacǎ = 0 (cazul ecuaţiei parabolice), atunci ecuaţia caracteristicǎ are douǎ rǎdǎcini reale egale: dy dx = a 12. a 11 Rezolvând aceastǎ ecuaţie diferenţialǎ ordinarǎ se obţine f(x, y) = c 1 care ne va conduce la schimbarea de variabilǎ ξ(x, y) = f(x, y). Pentru η(x, y) se alege convenabil o funcţie g(x, y) astfel încât sǎ fie îndeplinite proprietǎţile schimbǎrii de variabile, de exemplu: { ξ(x, y) = f(x, y) η(x, y) = x { ξ(x, y) = f(x, y) η(x, y) = y. - dacǎ < 0 (cazul ecuaţiei eliptice), atunci ecuaţia caracteristicǎ are douǎ rǎdǎcini complexe: dy dx = a 12 a 11 + i a 11 a 22 (a 12 ) 2 dy dx = a 12 a 11 i a 11 a 22 (a 12 ) 2 Rezolvând aceste ecuaţii diferenţiale ordinare se obţin α(x, y) ± iβ(x, y) = τ care ne va conduce la schimbarea de variabilǎ: { ξ(x, y) = α(x, y) η(x, y) = β(x, y). 2. Sǎ se gǎseascǎ domeniile de elipticitate, hiperbolicitate şi parabolicitate ale ecuaţiei: y 2 u x 2 + x 2 u y 2 = 0 R: Deoarece = b 2 ac = xy avem cǎ: - ecuaţia este de tip hiperbolic ( > 0) în cadranele II şi IV; - ecuaţia este de tip eliptic ( < 0) în cadranele I şi III.

184 CAPITOLUL 6 3. Sǎ se aducǎ la forma canonicǎ ecuaţiile: a) 2 u x 2 + 2 2 u x y + 2 u y 2 = 0 R: Ecuaţia este de tip parabolic ( = 0); forma canonicǎ este: 2 v η 2 = 0; b) x 2 2 u x 4 2 y2 u = 0, x, y > 0 y2 R: Ecuaţia este de tip hiperbolic ( > 0); forma canonicǎ este: 2 v ξ η 3 8 v ξ 1 8 v η = 0; c) x 2 2 u x + 4 2 y2 2 u = 0, x, y > 0 y2 R: Ecuaţia este de tip eliptic ( < 0); forma canonicǎ este: 2 v ξ + 2 v 2 η v 2 ξ + 1 2 v η = 0;

Formulele lui Green şi formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 185 6.2 Formulele lui Green şi formule de reprezentare în douǎ dimensiuni În acest paragraf prezentǎm câteva rezultate de calcul diferenţial şi integral pentru funcţii de douǎ variabile, care intervin frecvent în rezolvarea E.D.P în douǎ dimensiuni. Teorema 6.2.1 (legǎtura dintre integrala dublǎ pe un domeniu mǎrginit în IR 2 şi integrala curbilinie pe frontiera acestuia) Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ), iar funcţiile P, Q : Ω IR 1 sunt continue pe Ω şi de clasǎ C 1 în Ω, atunci are loc urmǎtoarea egalitate: Ω ( P x 1 + Q x 2 ) dx 1 dx 2 = Ω (P cosα 1 + Q cosα 2 )ds (6.7) în care: α i este unghiul dintre versorul n al normalei exterioare la Ω şi axa e i, iar ds este mǎsura elementului de arc pe curba Ω. Demonstraţie: Aceastǎ teoremǎ este obiectul cursului de analizǎ matematicǎ din anul I. Aici redǎm doar cîteva idei din demonstraţia acestei teoreme. Mai întâi, reamintim cǎ egalitatea (6.7) se obţine prin adunarea egalitǎţilor: P dx 1 dx 2 = P cosα 1 ds x 1 Ω Ω Q dx 1 dx 2 = x 2 Ω Ω Q cosα 2 ds (6.8) şi prin urmare demonstraţia egalitǎţii (6.7) revine la demonstraţia egalitǎţilor (6.8). Prima dintre egalitǎţile (6.8) se obţine calculând integrala dublǎ ca o integralǎ iteratǎ şi interpretând apoi cele obţinute ca o integralǎ curbilinie. Astfel avem: Ω = P dx 1 dx 2 = x 1 d c d c ( x + 1 (x 2) x 1 (x 2) ) P dx 1 dx 2 = x 1 [ P(x + 1 (x 2 ), x 2 ) P(x 1 (x 2), x 2 ) ] dx 2

186 CAPITOLUL 6 în care intervin curbele: Γ + : { x1 = x + 1 (x 2) x 2 = x 2 Γ : { x1 = x 1 (x 2) x 2 = x 2 Figura 29. Ilustrarea elementelor ce intervin in formula lui Green Pe figurǎ se vede cǎ avem cosα 1 = cos (τ, Ox 2 ) = 1 ( dx + 1 + 1 dx 2 ) 2 şi rezultǎ astfel în continuare: = d c d c [ P(x + 1 (x 2 ), x 2 ) P(x 1 (x 2), x 2 ) ] dx 2 = ( dx + ) 2 P(x + 1 (x 2), x 2 ) cosα 1 1 + 1 dx 2 + dx 2

Formulele lui Green şi formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 187 + d c ( dx ) 2 P(x 1 (x 2 ), x 2 ) cosα 1 1 + 1 dx 2 = dx 2 A doua egalitate din (6.8) se obţine asemǎnǎtor. Ω P cosα 1 ds Teorema 6.2.2 (de integrare prin pǎrţi) Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 şi frontiera Ω a lui Ω este netedǎ (parţial netedǎ), iar P, Q : Ω IR 1 sunt funcţii continue pe Ω şi de clasǎ C 1 în Ω atunci au loc egalitǎţile: Ω P Qdx 1 dx 2 = x i Ω P Q cosα i ds Demonstraţie: Pe de o parte avem: P (P Q)dx 1 dx 2 = Qdx 1 dx 2 + x i x i Ω iar pe de altǎ parte avem: (P Q)dx 1 dx 2 = x i Prin egalare rezultǎ egalitatea: P Qdx 1 dx 2 + x i Ω Ω de unde rezultǎ (6.9). Ω Ω Ω Q Pdx 1 dx 2 = x i P Q dx 1 dx 2, i = 1, 2 (6.9) Ω x i Ω P Q cosα i ds. Ω Q Pdx 1 dx 2, x i P Q cosα i ds Teorema 6.2.3 (prima formulǎ a lui Green) Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 şi frontiera Ω a lui Ω este netedǎ (parţial netedǎ), iar funcţiile P, Q : Ω IR 1 sunt de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 în Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate: P Qdx 1 dx 2 = Ω Ω P Q n ds P Qdx 1 dx 2 (6.10) Ω Demonstraţie: adicǎ: În formula (6.10): Q reprezintǎ Laplacianul funcţiei Q Q = 2 Q x 2 1 + 2 Q, x 2 2

188 CAPITOLUL 6 iar Q n este derivata normalǎ definitǎ pe Ω prin: Q n = Q x 1 n 1 + Q x 2 n 2 = = Q x 1 cosα 1 + Q x 2 cosα 2 cosα i =< n, e i >= n i, i = 1, 2; P şi Q sunt funcţiile vectoriale (gradienţii funcţiilor P şi Q) definite prin: P = P x 1 e 1 + P x 2 e 2 Q = Q x 1 e 1 + Q x 2 e 2. Pentru demonstraţie se calculeazǎ membrul stâng al egalitǎţii (6.10) ţinând seama de formula de integrare prin pǎrţi (6.9) şi se obţine: [ P Qdx 1 dx 2 = P Ω Ω x 1 = + = Ω Ω Ω Ω = Ω ( ) Q x 1 + x 2 P cosα 1 Q x 1 ds P cosα 2 Q x 2 ds P ( Q Ω Ω x 2 )] dx 1 dx 2 = P Q dx 1 dx 2 + x 1 x 1 P Q dx 1 dx 2 = x 2 x 2 [ Q cos α 1 + Q ] cosα 2 ds x 1 x 2 ( P Q dx 1 dx 2 + P Q ) dx 1 dx 2 = x 1 x 1 x 2 x 2 P [ Q cos α 1 + Q ] cosα 2 ds x 1 x 2 P Qdx 1 dx 2 = Ω

Formulele lui Green şi formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 189 = Ω P Q n ds P Qdx 1 dx 2. Ω Teorema 6.2.4 (cea de-a doua formulǎ a lui Green) Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ), iar funcţiile P, Q : Ω IR 1 sunt de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 în Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate: (P Q Q P)dx 1 dx 2 = Ω Ω ( P Q n Q P ) ds. (6.11) n Demonstraţie: Egalitatea (6.11) se obţine scriind egalitatea (6.10) pentru funcţiile P Q şi Q P dupǎ care se face diferenţa acestora. Teorema 6.2.5 (de reprezentare a unei funcţii de douǎ variabile) Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit în IR 2 cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi funcţia u : Ω IR 1 este de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 în Ω atunci pentru orice X = (x 1, x 2 ) Ω are loc urmǎtoarea egalitate: Demonstraţie: Funcţia u(x) = 1 ln 2π Ω + 1 ln 2π Ω 1 u(y ) 2π n Y Ω 1 X Y u(y )dy 1dy 2 + 1 X Y u (Y )ds Y n Y ( ln E(X) = 1 2π ln 1 X 1 X Y ) ds Y. (6.12) definitǎ pentru orice X IR 2, X 0 este de clasǎ C 2 pe IR 2 \ {0} şi are proprietatea E = 0. Pentru X IR 2, X-fixat considerǎm funcţia: E(X Y ) = 1 2π ln 1 X Y definitǎ pentru orice Y IR 2 \ {X}. Aceastǎ funcţie de Y este de clasǎ C 2 şi are proprietatea Y E(X Y ) = 0. De asemenea, pentru orice Y IR 2,

190 CAPITOLUL 6 Y -fixat funcţia E(X Y ) = 1 2π ln 1 definitǎ pentru orice X X Y IR 2, X Y este de clasǎ C 2 şi verificǎ X E(X Y ) = 0. Considerǎm X Ω, X-fixat şi ε > 0 astfel ca, pentru orice Y cu X Y ε, sǎ avem Y Ω. Notǎm cu B(X, ε) discul centrat în X de razǎ ε: B(X, ε) = {Y : X Y ε} şi domeniul Ω ε = Ω B(X, ε). Considerǎm funcţiile Y u(y ) şi Y 1 2π ln 1 X Y = E(X Y ). Pe domeniul Ω ε, ambele funcţii sunt de clasǎ C 2, iar pe Ω ε sunt de clasǎ C 1. Scriem cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funcţii şi obţinem: 1 1 ln 2π Ω ε X Y ( u)(y )dy 1dy 2 = = 1 2π Ω ε ln 1 u(y ) 2π Ω ε 1 X Y n Y u n Y (Y )ds Y + ( ) 1 ln ds Y. X Y Frontiera Ω ε a mulţimii Ω ε are douǎ pǎrţi: Ω ε = Ω S ε unde S ε = {Y : Y X = ε}, astfel cǎ integralele din membru drept al acestei egalitǎţi se pot scrie dupǎ cum urmeazǎ: 1 2π = 1 2π = 1 2π Ω ε ln Ω Ω 1 X Y u (Y )ds Y = n Y 1 ln X Y u ds Y 1 ln n Y 2π S ε 1 ln X Y 1 X Y u n Y ds Y = u n Y (Y )ds Y + 1 2π lnε 2πε n n Y (Y ).

Formulele lui Green şi formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 191 1 u(y ) 2π Ω ε n Y = 1 u(y ) 2π Ω n Y + 1 u(y ) 2π S ε n Y = 1 u(y ) 2π Ω + 1 u(y ) 2π S ε n Y ( ) 1 ln ds Y = X Y ( ) 1 ln ds Y + X Y ( ln ) 1 ds Y = X Y ( ) 1 ln ds Y + X Y [ x1 y 1 X Y cosα 2 1 + x ] 2 y 2 X Y cos α 2 2 ds Y = = 1 ( u(y ) ln 2π Ω n Y + 1 [ (x1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 u(y ) 2π S ε X Y 3 = 1 u(y ) 2π Ω ( ln n 1 1 u(y ) 2π S ε X Y ds Y = = 1 u(y ) 2π Ω n Y Pentru ε 0 rezultǎ: lim ε 0 ) 1 ds Y + X Y ) 1 ds Y + X Y ] ds Y = ( ) 1 ln ds Y + 1 u(y )ds Y X Y 2πε S ε 1 2π = 1 2π Ω ε ln Ω 1 X Y u u(y )ds Y = n Y ln 1 X Y u u(y )ds Y. n Y

192 CAPITOLUL 6 lim ε 0 1 u(y ) 2π Ω ε = 1 2π Ω ( ln n Y ( u(y ) ln n Y ) 1 ds Y = X Y ) 1 X Y ds Y + u(x). Rezultǎ de aici cǎ avem: 1 1 ln 2π Ω X Y ( u)(y )dy 1dy 2 = = 1 2π Ω ln 1 u(y ) 2π Ω sau 1 X Y u (Y )ds Y + n Y n Y ( ) 1 ln ds Y + u(x), X Y u(x) = 1 1 ln 2π Ω X Y ( u)(y )dy 1dy 2 + + 1 ln 2π Ω 1 u(y ) 2π Ω 1 X Y n Y u n Y (Y )ds Y ( ) 1 ln ds Y X Y Comentariu: Aceastǎ formulǎ de reprezentare permite determinarea funcţiei u în toate punctele lui Ω cunoscând urmǎtoarele elemente: Laplacianul funcţiei u pe Ω, valorile derivatei normale u pe frontiera Ω şi valorile n funcţiei u pe frontiera Ω. Vom arǎta în continuare importanţa acestei formule de reprezentare pentru cazul funcţiilor armonice.

Formulele lui Green şi formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 193 Definiţia 6.2.1 Zicem cǎ o funcţie u : Ω IR 1 este armonicǎ în Ω dacǎ funcţia u este de clasǎ C 2 şi u = 0, ( )(x 1, x 2 ) Ω unde u reprezintǎ Laplacianul funcţiei u: u = 2 u + 2 u. x 2 1 x 2 2 Observaţia 6.2.1 În condiţiile din teorema de reprezentare (6.2.5) dacǎ funcţia u este armonicǎ în Ω şi de clasǎ C 1 pe Ω atunci avem: u(x) = 1 1 ln 2π Ω X Y u (Y )ds Y n Y 1 ( ) 1 u(y ) ln ds Y 2π n Y X Y Ω Teorema 6.2.6 (de reprezentare a funcţiilor armonice) Dacǎ u : Ω IR 2 IR 1 este o funcţie armonicǎ pe domeniul Ω atunci ( )X Ω şi ( )r > 0 pentru care discul: este inclus în Ω, are loc egalitatea: B(X, r) = {Y : Y X r} u(x) = 1 2πr B(X,r) u(y )ds Y (6.13) Demonstraţie: Scriind formula de reprezentare (6.12) pentru funcţia armonicǎ u pe B(X, r) se obţine egalitatea: u(x) = 1 ln 1 2π r u (Y )ds Y + 1 u(y ) 1 n Y 2π r ds Y sau B(X,r) B(X,r) u(x) = 1 u(y )ds Y + 1 2πr B(X,r) 2π ln 1 u (Y )ds Y. r B(X,r) n Y Arǎtǎm în continuare cǎ B(X,r) u n Y (Y )ds Y = 0.

194 CAPITOLUL 6 Pentru aceasta, considerǎm pe discul B(X, r) funcţiile P 1 şi Q = u şi aplicǎm prima formulǎ a lui Green: P Qdy 1 dy 2 = P Q ds Y P Qdy 1 dy 2 B(X,r) B(X,r) n Y B(X,r) de unde se obţine: 0 = B(X,r) P Q u ds Y = ds Y. n Y B(X,r) n Y Observaţia 6.2.2 Din demonstraţie rezultǎ cǎ integrala derivatei normale a unei funcţii armonice pe un cerc este zero: u (Y )ds Y = 0. n Y B(X,r) Acest rezultat se poate generaliza. Consecinţa 6.2.1 Dacǎ u este o funcţie armonicǎ de clasǎ C 2 pe Ω şi este de clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea: u (Y )ds Y = 0. n Y Ω Demonstraţie: Pentru a demonstra aceastǎ egalitate se aplicǎ prima formulǎ a lui Green în cazul funcţiilor P 1 şi Q = u: P Qdx 1 dx 2 = P Q ds Y P Qdx 1 dx 2 Ω Ω n Y Ω adicǎ 0= 1 udx 1 dx 2 = 1 Ω Ω u ds Y 1 udx 1 dx 2 = n Y Ω Ω u n Y ds Y. O altǎ proprietate importantǎ a funcţiilor armonice se referǎ la localizarea punctelor în care aceste funcţii îşi ating extremele: Teorema 6.2.7 (teorema de extrem a funcţiilor armonice) Dacǎ Ω IR 2 este un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ şi funcţia armonicǎ u : Ω IR 1 este de clasǎ C 1 pe Ω, atunci u este constantǎ pe Ω sau îşi atinge extremele pe frontiera Ω.

Formulele lui Green şi formule de reprezentare în douǎ dimensiuni 195 Demonstraţie: Presupunem cǎ funcţia u nu este constantǎ pe Ω şi dorim sǎ arǎtǎm cǎ u îşi atinge extremele pe Ω. Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ, existǎ X 0 Ω astfel încât oricare ar fi X Ω avem u(x) u(x 0 ). Considerǎm r 0 > 0 astfel încât B(X 0, r 0 ) = {Y : Y X 0 r 0 } Ω şi arǎtǎm cǎ u este constant egalǎ cu u(x 0 ) pe B(X 0, r 0 ). Dacǎ u nu ar fi constant egalǎ cu u(x 0 ) pe B(X 0, r 0 ) atunci ar exista X 1 B(X 0, r 0 ) astfel încât u(x 1 ) < u(x 0 ). Pentru X 1, existǎ r 1 > 0 astfel încât pentru orice X B(X 1, r 1 ) avem: u(x) < 1 2 [ u(x 0 ) + u(x 1 ) ]. Putem admite cǎ r 1 < min{r 0 X 1 X 0, X 1 X 0 } şi considerǎm numǎrul ρ = X 1 X 0 > 0. Aplicǎm formula de reprezentare a lui u(x 0 ) pe B(X 0, ρ) şi gǎsim: u(x 0 ) = 1 2πρ B(X 0,ρ) Frontiera B(X 0, ρ) se descompune astfel: u(y )ds Y. B(X 0, ρ) = B(X 0, ρ) B(X 1, r 1 ) B(X 0, ρ) (Ω \ B(X 1, r 1 )) = σ 1 σ 2 şi cu aceastǎ descompunere formula de reprezentare devine: u(x 0 ) = 1 2πρ ds u(y )ds Y + 1 u(y )ds Y < σ 1 2πρ σ 2 < 1 2πρ 1 [ u(x 0 ) + u(x 1 ) ] 2 < 1 2πρ u(x0 ) 2πρ = u(x 0 ) absurd. σ 1 ds Y + 1 2πρ u(x0 ) σ 2 ds Y < Rezultǎ în acest fel cǎ funcţia u este constant egalǎ cu u(x 0 ) pe B(X 0, r). Pentru a arǎta în continuare cǎ pentru orice X Ω avem u(x) = u(x 0 ) fie

196 CAPITOLUL 6 X Ω oarecare, X fixat şi P o linie poligonalǎ conţinutǎ în Ω care leagǎ punctele X 0 şi X. Fie de asemenea un sens de parcurs pe linia poligonalǎ P de la X 0 la X. Mulţimile P şi Ω sunt compacte şi nu au nici un punct comun. Prin urmare existǎ r > 0 astfel încât pentru orice X P discul închis: B(X, r) = {Y : Y X r 0 } este inclus în Ω; B(X, r) Ω. Fie X 2 punctul de intersecţie dintre linia poligonalǎ P şi frontiera bilei B(X 0, r 0 ) primul întâlnit pe direcţia de parcurs de la X 0 la X. În X2 avem u(x 2 ) = u(x 0 ) şi rezultǎ de aici cǎ pentru orice X B(X 2, r) avem u(x) = u(x 0 ). Astfel se obţine egalitatea u(x) = u(x 0 ) pentru orice X B(X 0, r 0 ) B(X 2, r). În continuare se considerǎ punctul de intersecţie X 3 dintre P şi B(X 2, r) primul întâlnit pe direcţia de parcurs X 2, X. În X3 avem u(x 3 ) = u(x 0 ) şi rezultǎ u(x) = u(x 0 ) pentru orice X B(X 3, r). În acest fel, dupǎ un numǎr finit de paşi se ajunge la punctul X capǎtul liniei poligonale P şi la egalitatea u(x ) = u(x 0 ). Dar aceasta înseamnǎ cǎ funcţia u este constantǎ pe Ω ceea ce este absurd. S-a demonstrat în acest fel cǎ dacǎ funcţia armonicǎ u pe Ω îşi atinge maximul într-un punct X 0 Ω, atunci u este constantǎ pe Ω. Prin urmare: dacǎ o funcţie armonicǎ nu este constantǎ pe Ω, atunci îşi atinge extremele pe Ω. Consecinţa 6.2.2 Dacǎ funcţia u este armonicǎ pe Ω şi u/ Ω = 0 atunci u 0. Consecinţa 6.2.3 Existǎ cel mult o funcţie u de clasǎ C 2 în Ω şi de clasǎ C 1 pe Ω care verificǎ: { u = F u/ Ω = f. unde F şi f sunt funcţii date: F : Ω f : Ω IR 1 continuǎ pe Ω. IR 1 continuǎ pe Ω, iar Demonstraţie: Se raţioneazǎ prin reducere la absurd.

Formulele lui Green şi formule de reprezentare în dimensiunea n 3 197 6.3 Formulele lui Green şi formule de reprezentare în dimensiunea n 3 În acest paragraf prezentǎm câteva rezultate de calcul diferenţial şi de calcul integral pentru funcţii de n variabile (n 3), care intervin în rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale în dimensiunea n. Teorema 6.3.1 (de legǎturǎ între integrala pe un domeniu mǎrginit şi integrala pe frontiera acestuia) Dacǎ Ω IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi f 1, f 2,..., f n sunt n funcţii f 1, f 2,..., f n : Ω IR 1 continue pe Ω şi de clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea: Ω ( n ) f i dx 1 dx n = x i i=1 Ω i=1 n f i cos( n, ē i )ds. (6.14) Demonstraţie: Semnificaţia simbolurilor din formula (6.14) este aceeaşi ca şi în cazul n = 2, iar demonstraţia teoremei se face în mod analog. Teorema 6.3.2 (de integrare prin pǎrţi) Dacǎ Ω IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi f, g sunt douǎ funcţii f, g : Ω IR 1, continue pe Ω şi de clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea: Ω f g dx 1 dx n = f g cos( n, ē i )ds f g dx 1 dx n (6.15) x i Ω Ω x i Demonstraţie: Analoagǎ cu cea din cazul n = 2. Teorema 6.3.3 (prima formulǎ a lui Green) Dacǎ Ω IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi f, g sunt douǎ funcţii f, g : Ω IR 1, de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 în Ω, atunci are loc egalitatea: Ω f g dx 1 dx n = Ω f g n ds f g dx 1 dx n (6.16) Ω

198 CAPITOLUL 6 Demonstraţie: Simbolurile din formula (6.16) au urmǎtoarele semnificaţii: g = n i=1 2 g, x 2 i g n n = g cos( n, ē i ), f = x i i=1 n i=1 f x i ē i Teorema se demonstreazǎ ca şi în cazul n = 2. Teorema 6.3.4 (a doua formulǎ a lui Green) Dacǎ Ω IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi f, g sunt douǎ funcţii f, g : Ω IR 1, de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 în Ω, atunci are loc egalitatea: ( (f g g f) dx 1 dx n = f g n g f ) ds (6.17) n Ω Demonstraţie: Teorema se demonstreazǎ ca şi în cazul n = 2. Teorema 6.3.5 (de reprezentare a unei funcţii de n variabile) Dacǎ Ω IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi u : Ω IR 1 este o funcţie de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 în Ω, atunci are loc urmǎtoarea formulǎ de reprezentare: 1 1 u(x) = (n 2)σ n Ω X Y u(y ) dy n 2 1 dy n + 1 1 u + (Y ) ds (n 2)σ n Ω X Y n 2 Y (6.18) n Y ( ) 1 1 u(y ) ds (n 2)σ n n Y X Y n 2 Y Ω unde σ n reprezintǎ aria suprafeţei bilei B(0, 1) = {Y = (y 1,..., y n ) IR n Y 1} iar indicele Y la aratǎ cǎ se calculeazǎ derivata normalǎ a funcţiei n Y 1 Y X Y n 2; analog ds Y. Demonstraţie: Se face analog cu cazul n = 2. Ω

Formulele lui Green şi formule de reprezentare în dimensiunea n 3 199 Comentariu Formula (6.18) permite construcţia funcţiei u din valorile Laplacianului u al funcţiei în Ω, valorile derivatei normale u a lui u pe n Ω şi valorile lui u pe Ω. Vom arǎta ce devine aceastǎ formulǎ de reprezentare în cazul funcţiilor armonice. Definiţia 6.3.1 Zicem cǎ funcţia u : Ω IR n IR 1 este armonicǎ în Ω dacǎ funcţia este de clasǎ C 2 în Ω şi dacǎ u = n i=1 2 u x 2 i = 0, ( )(x 1,...,x n ) Ω. Observaţia 6.3.1 În condiţiile din Teorema 6.3.5 (de reprezentare), dacǎ funcţia u este armonicǎ în Ω, atunci avem: u(x) = 1 [ (n 2)σ n u(y ) n Y Ω 1 X Y ( n 2 1 X Y n 2 Ω u (Y ) ds Y n ) Y ] ds Y. Teorema 6.3.6 (de reprezentare a funcţiilor armonice) Dacǎ Ω IR n este un domeniu şi u : Ω IR 1 este o funcţie armonicǎ în Ω ( u = 0), atunci pentru orice x Ω şi orice r > 0 astfel încât bila închisǎ B(0, r) = {Y IR n Y r} este inclusǎ în Ω are loc egalitatea: u(x) = 1 u(y ) ds σ n r n 2 Y (6.19) B(X,r) Demonstraţie: Demonstraţia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2. Observaţia 6.3.2 Dacǎ Ω IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi u : Ω IR 1 este o funcţie de clasǎ C 1 pe Ω şi este armonicǎ în Ω ( u = 0 în Ω), atunci: Ω u ds = 0. n

200 CAPITOLUL 6 Teorema 6.3.7 (de extrem a funcţiilor armonice) Dacǎ Ω IR n este un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi u : Ω IR 1 este o funcţie continuǎ pe Ω şi armonicǎ în Ω ( u = 0 în Ω), atunci funcţia u este constantǎ sau îşi atinge extremele pe frontiera Ω. Demonstraţie: Demonstraţia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2. Consecinţa 6.3.1 Dacǎ u = 0 şi u Ω = 0 atunci u = 0. Consecinţa 6.3.2 Existǎ cel mult o funcţie u de clasǎ C 2 în Ω şi de clasǎ C 1 pe Ω care verificǎ { u = F u Ω = f unde F şi f sunt douǎ funcţii date, F : Ω IR 1 este continuǎ pe Ω şi f : Ω IR 1 este continuǎ pe Ω.

Probleme la limitǎ pentru ecuaţia lui Poisson 201 6.4 Probleme la limitǎ pentru ecuaţia lui Poisson Fie Ω IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi f o funcţie f : Ω IR 1 de clasǎ C 1 pe Ω. Definiţia 6.4.1 Ecuaţia lui Poisson este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma u = f(x), ( )X = (x 1,..., x n ) Ω (6.20) dintre o funcţie necunoscutǎ u : Ω IR 1 şi funcţia datǎ f de clasǎ C 1 pe Ω. n 2 u În ecuaţia (6.20) u înseamnǎ (adicǎ Laplacianul funcţiei u) iar x 2 i=1 i funcţia u : Ω IR 1 este soluţie clasicǎ dacǎ este continuǎ pe Ω, de clasǎ C 2 în Ω şi satisface egalitatea: n i=1 2 u (x x 2 1,..., x n ) = f(x 1,..., x n ), ( )(x 1,..., x n ) Ω. i Definiţia 6.4.2 Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Poisson este problema determinǎrii acelor soluţii ale ecuaţiei (6.20) care verificǎ condiţia la frontierǎ u Ω = h (6.21) unde h este o funcţie h : Ω IR 1 continuǎ pe Ω consideratǎ cunoscutǎ. Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Poisson se noteazǎ tradiţional: { u = f, ( )(x1,..., x n ) Ω. (6.22) u Ω = h Definiţia 6.4.3 Problema Neumann pentru ecuaţia lui Poisson este problema determinǎrii acelor soluţii ale ecuaţiei (6.20) care verificǎ condiţia la frontierǎ u n = g (6.23) Ω unde g este o funcţie g : Ω IR 1 continuǎ pe Ω consideratǎ cunoscutǎ şi n este versorul normalei exterioare.

202 CAPITOLUL 6 Problema Neumann pentru ecuaţia lui Poisson se noteazǎ tradiţional: u = f, u n = g Ω ( )(x 1,..., x n ) Ω. (6.24) Teorema 6.4.1 (de unicitate a soluţiei Problemei Dirichlet) Dacǎ Problema Dirichlet (6.22) are soluţie, aceastǎ soluţie este unicǎ. Demonstraţie: Fie u 1 şi u 2 douǎ soluţii ale Problemei Dirichlet (6.22). Considerǎm funcţia u = u 1 u 2 pentru care avem: u = 0 şi u Ω = 0. Rezultǎ de aici, pe baza principiului de maxim a funcţiilor armonice, cǎ u 0. Prin urmare u 1 = u 2. Teorema 6.4.2 (de neunicitate a soluţiei Problemei Neumann) Dacǎ u este o soluţie a Problemei Neumann (6.24), atunci şi u + C este o soluţie a Problemei Neumann, unde C este o constantǎ. Dacǎ u, v sunt soluţii ale Problemei Neumann (6.24), atunci u v = const. Demonstraţie: Fie u o soluţie a problemei (6.24) şi v = u + C. Întrucât v = u şi v n = u Ω n = g, rezultǎ cǎ v este soluţie a problemei (6.24). Ω Dacǎ u, v sunt soluţii ale problemei (6.24) atunci w = u v verificǎ: w = 0 şi w n = 0. Ω În baza formulelor de reprezentare rezultǎ w = const. Teorema 6.4.3 Condiţia necesarǎ pentru ca Problema Neumann (6.24) sǎ aibǎ soluţie este ca funcţiile f şi g sǎ verifice egalitatea: g(y ) ds Y + f(y ) dy = 0. (6.25) Ω Ω

Probleme la limitǎ pentru ecuaţia lui Poisson 203 Demonstraţie: Sǎ presupunem cǎ Problema Neumann (6.24) are o soluţie u. Considerând funcţiile u şi 1, aplicǎm cea de-a doua formulǎ a lui Green acestor funcţii: Ω ( u 1 u 1) dy = Ţinând seama de egalitǎţile u = f, obţinem relaţia (6.25). Ω ( u u 1 ) ds Y. n Y n Y u n Y = g, 1 = 0 şi Ω 1 n Y = 0 Din cele prezentate pânǎ acum nu rezultǎ cǎ Problema Dirichlet (6.22) sau Problema Neumann (6.24) are soluţie. În paragrafele urmǎtoare vom prezenta metoda funcţiilor Green pentru a arǎta cǎ în anumite condiţii aceste probleme au soluţie şi apoi vom reprezenta aceste soluţii.

204 CAPITOLUL 6 6.5 Funcţia Green pentru Problema Dirichlet Considerǎm un domeniu Ω IR n mǎrginit, cu frontiera netedǎ (parţial netedǎ), funcţia f : Ω IR 1 de clasǎ C 1 pe Ω şi funcţia h : Ω IR 1 continuǎ pe Ω. Aceste elemente definesc Problema Dirichlet: { u = f, ( )(x1,..., x n ) Ω. (6.26) u Ω = h Definiţia 6.5.1 Numim funcţie Green pentru o Problemǎ Dirichlet o funcţie G de forma: G(X, Y ) = E(X, Y ) v(x, Y ) (6.27) în care 1 2π ln 1, ( )X,Y Ω, X Y, n=2 X Y E(X, Y )= 1 1 (6.28) (n 2)σ n X Y n 2, ( )X,Y Ω, X Y, n>2 iar funcţia v(x, Y ) are urmǎtoarele proprietǎţi: a) Y v(x, Y ) este funcţie armonicǎ în Ω şi continuǎ pe Ω pentru orice X = (x 1,...,x n ) Ω, X fixat. b) pentru X Ω, X fixat, G(X, Y ) = 0, ( )Y = (y 1,...,y n ) Ω. Propoziţia 6.5.1 Dacǎ existǎ funcţia Green G(X, Y ) pentru Problema Dirichlet, atunci ea este unicǎ. Demonstraţie: Dacǎ G 1, G 2 sunt douǎ funcţii Green pentru Problema Dirichlet, atunci pentru orice X Ω fixat, v(x, Y ) = v 1 (X, Y ) v 2 (X, Y ) este funcţie armonicǎ în Ω şi identic nulǎ pe Ω. Rezultǎ v(x, Y ) = 0, ( )Y Ω, şi ( )X Ω, fixat. Aceasta aratǎ cǎ v(x, Y ) 0, adicǎ v 1 (X, Y ) = v 2 (X, Y ).

Funcţia Green pentru Problema Dirichlet 205 Propoziţia 6.5.2 Dacǎ pentru orice X Ω funcţia Y v(x, Y ) este de clasǎ C 1 pe Ω, atunci funcţia Green este simetricǎ, adicǎ: G(X 1, X 2 ) = G(X 2, X 1 ), ( )X 1, X 2 Ω şi X 1 X 2. (6.29) Demonstraţie: Se considerǎ funcţiile P(Y )=G(X 1, Y) şi Q(Y )=G(X 2, Y) şi se aplicǎ cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funcţii pe domeniul Ω ε =Ω \ (B(X 1,ε) B(X 2,ε)), unde B(X i,ε)={x : X X i <ε}, i = 1, 2. Se obţine egalitatea: B(X 1,ε) ( P Q n Y Q P n Y ) ds Y + B(X 2,ε) ( P Q Q P ) ds Y = 0. n Y n Y Trecând la limitǎ pentru ε 0 în aceastǎ egalitate, se obţine simetria. Teorema 6.5.1 Dacǎ G este funcţia Green pentru Problema Dirichlet (6.26) şi u este soluţia acestei probleme, atunci are loc egalitatea: u(x) = G(X, Y ) f(y ) dy h(y ) G(X, Y ) ds Y. (6.30) n Y Ω Demonstraţie: Scriem cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru funcţiile u(y ) şi Y v(x, Y ), precum şi formula generalǎ de reprezentare a funcţiei u(x) (formula (6.18)). Prin adunarea acestora rezultǎ (6.30). Observaţia 6.5.1 Aceastǎ teoremǎ aratǎ cǎ dacǎ existǎ o funcţie Green G pentru Problema Dirichlet (6.26) care are soluţia u, atunci u se reprezintǎ sub forma (6.30) cu ajutorul lui G. Este adevǎratǎ şi afirmaţia reciprocǎ: dacǎ G este funcţia Green pentru Problema Dirichlet, atunci funcţia u definitǎ cu (6.30) este soluţia problemei Dirichlet (6.26). Metoda de determinare a soluţiei Problemei Dirichlet pe aceastǎ cale se numeşte metoda funcţiei Green. Exemplul 6.5.1 Fie Ω = {X IR 3 X < r} şi Ω = {X IR 3 X = r}. Soluţia Problemei Dirichlet { u = 0, ( )X Ω u Ω = h unde h este o funcţie continuǎ pe Ω, este datǎ de formula lui Poisson: u(x) = 1 r 2 X 2 4πr X Y h(y ) ds 3 Y (6.31) Ω Ω

206 CAPITOLUL 6 întrucât funcţia G(X, Y ) definitǎ prin G(X, Y ) = 1 4π X Y r 4π X Y (6.32) unde X este conjugatul lui X faţǎ de sfera Ω (adicǎ X, X sunt coliniare şi X X = r) este funcţia Green pentru aceastǎ Problemǎ Dirichlet. Observaţia 6.5.2 Determinarea funcţiei Green pentru Problema Dirichlet revine la determinarea funcţiei v = v(x, Y ) ceea ce revine, conform definiţiei funcţiei Green, la rezolvarea Problemei Dirichlet: { Y v(x, Y ) = 0 v(x, Y ) Y Ω = E(X, Y ) Y Ω (6.33) Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ decât Problema Dirichlet (6.26) dar în realitate ea este rezolvatǎ pentru domenii Ω particulare, prin metode geometrice. Din acest motiv demonstraţia existenţei soluţiei Problemei Dirichlet (6.26) prin folosirea funcţiei Green se poate face doar pentru domenii Ω particulare pentru care se ştie cǎ existǎ funcţia Green. Exerciţii 1. Determinaţi soluţia Problemei Dirichlet: 2 u + 2 u + 2 u = 0, în Ω = {(x x 2 1 x 2 2 x 2 1, x 2, x 3 ) x 2 1 + x2 2 + x2 3 < r2 } 3 u(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 ) 2, pentru (x 1, x 2, x 3 ) Ω. 2. Determinaţi funcţia Green a Problemei Dirichlet pentru cerc şi rezolvaţi o Problemǎ Dirichlet pentru cerc.

Funcţia Green pentru Problema Neumann 207 6.6 Funcţia Green pentru Problema Neumann Considerǎm Problema Neumann u = f, ( )(x 1,...,x n ) Ω u n = g Ω (6.34) în care f : Ω IR 1 este funcţie de clasǎ C 1 pe Ω şi g : Ω IR 1 este funcţie continuǎ. Presupunem cǎ funcţiile f şi g verificǎ: f(y ) dy + g(y ) ds Y = 0. (6.35) Ω Ω Definiţia 6.6.1 Numim funcţia Green pentru Problema Neumann (6.34) orice funcţie G de forma care verificǎ G(X, Y ) = E(X, Y ) v(x, Y ) (6.36) G n Y (X, Y ) = 0, ( )Y = (y 1,...,y n ) Ω (6.37) unde v : Ω Ω IR 1 şi pentru orice Y Ω fixat funcţia Y v(x, Y ) este armonicǎ pe Ω, iar E(X, Y ) este definitǎ pentru orice X, Y Ω, X Y şi este datǎ de: 1 E(X, Y )= 2π ln 1, ( )X,Y Ω, X Y, n=2 X Y 1 1 (6.38) (n 2)σ n X Y n 2, ( )X,Y Ω, X Y, n>2 Observaţia 6.6.1 Dacǎ G 1 şi G 2 sunt funcţii Green pentru Problema Neumann, atunci G 1 G 2 = const. Propoziţia 6.6.1 Dacǎ pentru orice X Ω funcţia Y v(x, Y ) este de clasǎ C 1 pe Ω, atunci funcţia Green pentru Problema Neumann este simetricǎ: G(X 1, X 2 ) = G(X 2, X 1 ), ( )X 1, X 2 Ω şi X 1 X 2. (6.39)

208 CAPITOLUL 6 Demonstraţie: Analoagǎ cu cea din cazul funcţiei Green pentru Problema Dirichlet. Teorema 6.6.1 Dacǎ G este o funcţie Green pentru Problema Neumann (6.34) şi u este o soluţie a acestei probleme, atunci existǎ o constantǎ C astfel ca sǎ aibe loc egalitatea: u(x) = G(X, Y ) f(y ) dy + E(X, Y ) g(y ) ds Y + C. (6.40) Ω Demostraţie: Analoagǎ cu cea de la cazul soluţiei Problemei Dirichlet. Observaţia 6.6.2 Determinarea funcţiei Green pentru Problema Neumann revine la determinarea funcţiei v(x, Y ) ceea ce înseamnǎ, conform definiţiei funcţiei Green pentru Problema Neumann, rezolvarea Problemei Neumann Y v(x, Y ) = f, ( )(x 1,..., x n ) Ω v n Y = E (6.41) Ω n Y Ω Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ decât Problema Neumann (6.34), dar în realitate este complexǎ. De aceea demonstraţia existenţei soluţiei Problemei Neumann (6.34) prin folosirea funcţiei Green se poate face doar pentru cazuri pentru care se ştie cǎ existǎ funcţia Green. Ω

Probleme pentru ecuaţia lui Laplace pe disc 209 6.7 Problemele Dirichlet şi Neumann pentru ecuaţia lui Laplace pe disc. Separarea variabilelor. Considerǎm mulţimea Ω = {(x 1, x 2 ) IR 2 x 2 1 + x 2 2 < R 2 } care va fi numitǎ disc centrat în origine şi de razǎ R. Ecuaţia lui Poisson pe Ω este ecuaţia: 2 u x 2 1 + 2 u x 2 2 = f(x 1, x 2 ) (6.42) unde f este o funcţie de clasǎ C 1 pe Ω. Dacǎ funcţia f este identic nulǎ, atunci ecuaţia lui Poisson devine: 2 u x 2 1 + 2 u x 2 2 şi se numeşte ecuaţia lui Laplace pe discul Ω de razǎ R. = 0 (6.43) Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe discul de razǎ R înseamnǎ determinarea acelor soluţii ale ecuaţiei (6.43) care pe frontiera discului Ω coincid cu o funcţie continuǎ h dinainte datǎ, adicǎ 2 u + 2 u = 0, ( )(x x 2 1 x 2 1, x 2 ) Ω (6.44) 2 u Ω = h Soluţia acestei Probleme Dirichlet se poate determina folosind funcţia Green pentru Problema Dirichlet. Problema Neumann pentru ecuaţia lui Laplace pe discul de razǎ R înseamnǎ determinarea acelor soluţii ale ecuaţiei (6.43) ale cǎror derivatǎ dupǎ direcţia versorului normalei exterioare la Ω coincide cu o funcţie continuǎ g dinainte datǎ pe Ω, adicǎ: 2 u + 2 u = 0, (x x 2 1 x 2 1, x 2 ) Ω 2 u n = g Ω (6.45)

210 CAPITOLUL 6 Pentru ca problema (6.45) sǎ aibe soluţie este necesar ca g(y )ds Y = 0 (6.46) Ω şi dacǎ aceastǎ condiţie este îndeplinitǎ, atunci, folosind funcţia Green pentru Problema Neumann, se pot determina soluţiile prolemei (6.45), (care diferǎ printr-o constantǎ aditivǎ). Scopul nostru în acest paragraf este sǎ prezentǎm o altǎ metodǎ, numitǎ separarea variabilelor, cu care se pot determina soluţiile problemelor (6.44) şi (6.45). Deoarece s-a considerat Ω ca fiind un domeniu circular vom face mai întâi o schimbare de coordonate, mai exact vom scrie problemele (6.44) şi (6.45) în coordonate polare: { x1 = r cos ϕ, r > 0, ϕ [0, 2π). (6.47) x 2 = r sin ϕ Notǎm cu T transformarea (r, ϕ) (x 1, x 2 ) definitǎ de (6.47). Dacǎ u este o funcţie care satisface ecuaţia (6.43) atunci notǎm cu ũ funcţia ũ = u T. Folosind regulile de derivare ale funcţiilor compuse deducem cǎ ũ verificǎ ecuaţia: 2 ũ r + 1 2 ũ 2 r 2 ϕ + 1 ũ 2 r r = 0 (6.48) care se numeşte ecuaţia lui Laplace în coordonate polare. Metoda separǎrii variabilelor constǎ în cǎutarea unor soluţii ũ(r, ϕ) de forma: ũ(r, ϕ) = P(r) Q(ϕ) (6.49) adicǎ soluţii care sunt produse de funcţii ce depind fiecare de câte o variabilǎ r, respectiv ϕ. Impunând la (6.49) sǎ verifice (6.48) rezultǎ: r 2P P + rp P = Q Q. (6.50) Membrul stâng în aceastǎ egalitate depinde doar de r iar membrul drept de ϕ. Cum r şi ϕ sunt variabile independente rezultǎ cǎ fiecare membru este constant. Dacǎ notǎm cu λ aceastǎ constantǎ atunci deducem din (6.50) egalitǎţile: r 2 P + rp λp = 0 (6.51)

Probleme pentru ecuaţia lui Laplace pe disc 211 Q + λq = 0 (6.52) Deoarece funcţia ũ este de clasǎ C 2 soluţia ecuaţiei (6.52) trebuie sǎ verifice Q(0) = Q(2π). De aici rezultǎ cǎ λ n = n 2, n IN. Pentru λ n = n 2 avem: Q n (ϕ) = A n cosnϕ + B n sin nϕ (6.53) în care A n şi B n sunt constante arbitrare. Ecuaţia (6.51) este liniarǎ de tip Euler şi se rezolvǎ fǎcându-se schimbarea de variabilǎ r = e t. Pentru λ = n 2 soluţia generalǎ este: P n (r) = C n r n + D n r n, dacǎ n = 1, 2,... (6.54) P 0 (r) = A 0 + B 0 ln r, dacǎ n = 0. (6.55) Rezultǎ în acest fel cǎ (6.48) admite urmǎtoarea familie de soluţii: A 0 + B 0 ln r, n = 0 ũ n (r, ϕ) = r n (A n cosnϕ + B n sin nϕ), n = 1, 2,... r n (A n cosnϕ + B n sin nϕ), n = 1, 2,... (6.56) în care A 0, B 0, A n, B n, A n, B n sunt constante oarecare. Observaţia 6.7.1 Orice sumǎ finitǎ de soluţii de forma (6.48) este soluţie pentru ecuaţia (6.48). Definiţia 6.7.1 O soluţie formalǎ a ecuaţiei lui Laplace în coordonate polare este o funcţie ũ(r, ϕ) de forma: ũ(r, ϕ)=a 0 +B 0 lnr+ [(A n r n +A n r n ) cosnϕ+(b n r n +B n r n ) sin nϕ] n=1 (6.57) Denumirea de soluţie formalǎ provine de la faptul cǎ nu avem informaţii relative la convergenţa seriei (6.57). Ceea ce este clar este cǎ, termenii seriei (6.57) sunt soluţii şi cǎ, dacǎ seria are doar un numǎr finit de termeni diferiţi de zero, atunci suma este o funcţie care este soluţie a ecuaţiei lui Laplace.

212 CAPITOLUL 6 Pentru determinarea soluţiei Problemei Dirichlet (6.44), mai întâi sriem problema în coordonate polare: 2 ũ r + 1 2 ũ 2 r 2 ϕ + 1 ũ = 0, r < R, ϕ [0, 2π) 2 r r ũ(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π) lim ũ(r, ϕ) < + r 0 ũ(r, ϕ) = h(ϕ) (6.58) unde h(ϕ) = h(r cosϕ, R sin ϕ). Considerǎm dezvoltarea funcţiei h în serie Fourier în L 2 [0, 2π) h(ϕ) = a0 + (a n cos nϕ + b n sin nϕ) (6.59) n=1 şi impunem soluţiei formale ũ(r, ϕ) datǎ de (6.57) sǎ verifice condiţiile (6.58). Deducem: A 0 = a 0, A n = a n R şi B n n = b n R n care înlocuite, conduc la soluţia formalǎ: ũ(r, ϕ) = a 0 + n=1 r n R n(a n cos nϕ + b n sin nϕ). (6.60) Pentru a demonstra cǎ aceastǎ soluţie formalǎ este soluţia problemei vom presupune cǎ funcţia h este de clasǎ C 2 şi h(0) = h(2π). În aceste condiţii pentru coeficienţii Fourier a n, b n ai funcţiei h putem scrie: a n = 1 n b n = 1 n 2a n şi b n = 1 n a n = 1 n 2b n. (6.61) unde a n, b n şi a n, b n sunt coeficienţii Fourier ai funcţiei h, respectiv h. Din apartenenţa h L 2 [0, 2π) avem ( a n 2 + b n 2 ) < + de unde rezultǎ cǎ existǎ M > 0 astfel încât sǎ avem a n M şi b n M pentru n=1

Probleme pentru ecuaţia lui Laplace pe disc 213 orice n IN. De aici şi din (6.61) se obţine inegalitatea: ( a n 2 + b n 2 ) 2M n=1 n=1 1 n 2 < + Cu criteriul lui Weierstrass rezultǎ de aici cǎ seria (6.60) este absolut şi uniform convergentǎ pe [0, R] [0, 2π], deci funcţia ũ(r, ϕ) definitǎ de (6.60) este corect definitǎ şi este continuǎ pe [0, R] [0, 2π]. Derivabilitatea ũ(r, ϕ) rezultǎ din derivabilitatea termenilor seriei (6.60) şi din faptul cǎ seriile obţinute prin derivare termen cu termen sunt absolut şi uniform convergente fiind majorate de serii de forma ( r n n R) p [ an + b n ], p = 1, 2,... n=1 Calculând suma seriei obţinem formula: ũ(r, ϕ) = 1 2π 2π 0 R h(θ) 2 r 2 r 2 2Rr cos(ϕ θ) + R2dθ (6.62) numitǎ formula lui Poisson. Pentru determinarea soluţiei Problemei Neumann se procedeazǎ asemǎnǎtor. Exerciţii 1.Gǎsiţi soluţia Problemei Dirichlet: 2 u + 2 u = 0, x 2 x 2 1 x 2 1 + x 2 2 < R 2 2 u(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 ) 2, x 2 1 + x 2 2 = R 2 R: u(x 1, x 2 ) = R 2 + 2x 1 x 2 2.Gǎsiţi soluţia Problemei Dirichlet: 2 u + 2 u = 0, x 2 x 2 1 x 2 1 + x2 2 < 1 2 u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, x 2 1 + x2 2 = 1

214 CAPITOLUL 6 R: u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 3.Gǎsiţi soluţia Problemei Neumann: 2 u x 2 1 + 2 u x 2 2 = 0, x 2 1 + x2 2 < R2 u ñ = x 1 + x 2 1 x2 2, x2 1 + x2 2 = R2 R: u(x 1, x 2 ) = A 0 + Rx 1 + R 2 (x2 1 x 2 2)

Calculul simbolic al soluţiei Problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe disc 215 6.8 Calculul simbolic al soluţiei Problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe disc Cosiderǎm Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe discul de razǎ R: 2 u x + 2 u = 0, ( )(x, y) Ω 2 y2 u Ω = h (6.63) Funcţia pdsolve nu poate gǎsi direct, prin calcul simbolic soluţia corespunzǎtoare unei astfel de probleme. Astfel, pe baza noţiunilor teoretice prezentate în paragraful precedent (formula pentru soluţia formalǎ), vom prezenta un program in Maple care sǎ afişeze expresia analiticǎ a soluţiei Problemei Dirichlet (6.63). Scriind problema în coordonate polare: 2 ũ r + 1 2 ũ 2 r 2 ϕ + 1 ũ = 0, r < R, ϕ [0, 2π) 2 r r ũ(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π) lim ũ(r, ϕ) < + r 0 ũ(r, ϕ) = h(ϕ) (6.64) şi dezvoltând funcţia h în serie Fourier, se obţine soluţia formalǎ: ũ(r, ϕ) = a 0 + n=1 în care a 0, a n, b n sunt coeficienţii Fourier: a 0 = 1 2π π π h(ϕ)dϕ an = 1 π b n = 1 π π r n R n(a n cosnϕ + b n sin nϕ). (6.65) π π π h(ϕ) sin nϕdϕ h(ϕ) cos nϕdϕ

216 CAPITOLUL 6 Aceastǎ soluţie formalǎ se obţine în Maple cu ajutorul procedurii DirichletInt: > restart; > DirichletInt:=proc(f,R) local a0,a,b; > a0:=(1/(2*pi))*int(f,phi=-pi..pi); > a:=n->1/pi*int(f*cos(n*phi),phi=-pi..pi); > b:=n->1/pi*int(f*sin(n*phi),phi=-pi..pi); > a0+add(r^n/r^n*(a(n)*cos(n*phi)+b(n)*sin(n*phi)),n=1..order); > RETURN(map(simplify,value(%))); > end: Apelarea acestei proceduri se realizeazǎ cu instrucţiunea DirichletInt(f, R) în care f este funcţia h din problema (6.64), dupǎ cum se poate observa din urmǎtoarele exemple: Exemplul 1: 2 u + 2 u = 0, x 2 x 2 1 x 2 1 + x2 2 < R2 2 u(x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2 ) 2, x 2 1 + x2 2 = R2 > f:=(x1+x2)^2: R:=R: > f:=subs(x1=r*cos(phi),x2=r*sin(phi),r=r,f); f := (R cos (φ) + R sin (φ)) 2 > sol1:=dirichletint(f,r); sol1 := R 2 + r 2 sin (2 φ) Exemplul 2: 2 u + 2 u = 0, x 2 x 2 1 x 2 1 + x2 2 < 1 2 u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, x 2 1 + x2 2 = 1

Calculul simbolic al soluţiei Problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe disc 217 > f:=x1*x2: R:=1: > f:=subs(x1=r*cos(phi),x2=r*sin(phi),r=r,f); f := cos (φ) sin (φ) > sol2:=dirichletint(f,r); sol2 := 1/2 r 2 sin (2 φ) Exemplul 3: 2 ũ r + 1 2 ũ 2 r 2 ϕ + 1 ũ 2 r r = 0, r < 1, ϕ [0, 2π) ũ(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π) lim ũ(r, ϕ) < + r 0 ũ(1, ϕ) = sin 3 ϕ > f:=sin(phi)^3: R:=1: > sol3:=dirichletint(f,r); sol3 := 3/4 r sin (φ) 1/4 r 3 sin (3 φ) Exemplul 4: 2 ũ r + 1 2 ũ 2 r 2 ϕ + 1 ũ 2 r r = 0, r < 1, ϕ [0, 2π) ũ(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π) lim ũ(r, ϕ) < + r 0 ũ(1, ϕ) = sin 6 ϕ + cos 6 ϕ > f:=sin(phi)^6+cos(phi)^6: R:=1: > sol4:=dirichletint(f,r); sol4 := 5/8 + 3/8 r 4 cos (4 φ)

Capitolul 7 Soluţii generalizate. Metode variaţionale În capitolul anterior ne-am ocupat de rezolvarea Problemei Dirichlet şi a Problemei Neumann în cazul ecuaţiei lui Poisson. Particularitatea acestei ecuaţii constǎ în aceea cǎ ecuaţia elipticǎ este definitǎ de Laplacianul. În cele ce urmeazǎ vom considera ecuaţii eliptice mai generale, numite ecuaţii eliptice de tip divergenţǎ pentru care vom formula conceptul de Problemǎ Dirichlet. Pe lângǎ conceptul de soluţie clasicǎ introducem şi conceptul de soluţie generalizatǎ şi prezentǎm condiţii în care soluţia generalizatǎ existǎ şi este unicǎ. Deasemenea, în acest capitol introducem Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice şi hiperbolice, şi prezentǎm condiţii în care soluţia generalizatǎ a acestor probleme existǎ. 218

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 219 7.1 Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet pentru aceastǎ ecuaţie Considerǎm un domeniu mǎrginit Ω IR n cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi funcţiile reale a ij, c şi F definite pe Ω (i, j = 1, n) având urmǎtoarele proprietǎţi: 1) a ij sunt de clasǎ C 1 pe Ω şi existǎ µ 0 > 0 astfel încât pentru orice X = (x 1,..., x n ) Ω şi orice (ξ 1, ξ 2,...,ξ n ) IR n avem n n a ij (X) ξ i ξ j µ 0 ξi 2 şi a ij (X) = a ji (X) i,j=1 2) funcţia c este continuǎ pe Ω şi c(x) 0, ( )X Ω. 3) funcţia F este continuǎ pe Ω. i=1 Definiţia 7.1.1 Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale elipticǎ de tip divergenţǎ o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma ( n n ) a ij (X) u + c(x) u = F(X), ( ) X Ω (7.1) x i x j i=1 j=1 dintre funcţia necunoscutǎ u şi derivatele sale parţiale de ordinul întâi şi de ordinul al doilea. În ecuaţia (7.1) funcţiile a ij, c şi F se considerǎ cunoscute. Definiţia 7.1.2 O funcţie realǎ u de clasǎ C 2 pe Ω care verificǎ ( n n ) a ij (X) u (X) + c(x) u(x) = F(X), ( ) X Ω x i x j i=1 j=1 se numeşte soluţie clasicǎ a ecuaţiei (7.1). Definiţia 7.1.3 Problema determinǎrii acelor soluţii u ale ecuaţiei (7.1) care sunt continue pe Ω şi verificǎ condiţia la frontierǎ se numeste Problemǎ Dirichlet pentru ecuaţia (7.1). u Ω = h (7.2)

220 CAPITOLUL 7 În egalitatea (7.2), h este o funcţie realǎ continuǎ pe Ω, consideratǎ cunoscutǎ. Problema Dirichlet pentru ecuaţia cu derivate parţiale elipticǎ de tip divergenţǎ se noteazǎ cu ( n n ) a ij (X) u + c(x) u=f(x), ( ) X Ω x i=1 i x j=1 j (7.3) u Ω = h. Observaţia 7.1.1 Dacǎ existǎ o funcţie H : Ω Ω IR de clasǎ C 2 astfel încât H Ω = h atunci u este soluţie a Problemei Dirichlet (7.3) dacǎ şi numai dacǎ funcţia v = u H este soluţia Problemei Dirichlet: n i=1 x i v Ω = 0 ( n j=1 a ij (X) v x j unde G(X) = F(X) c(x) H(X) + ) + c(x) v=g(x), ( ) X Ω n i=1 x i ( n j=1 ) a ij (X) H. x j (7.4) Astfel, printr-o schimbare de funcţie Problema Dirichlet cu condiţii pe frontierǎ neomogene se reduce la o Problemǎ Dirichlet cu condiţii pe frontierǎ omogene. Datoritǎ acestui fapt, în cele ce urmeazǎ vom considera Probleme Dirichlet în care funcţia h datǎ pe frontierǎ este identic nulǎ. Observaţia 7.1.2 Dacǎ se considerǎ spaţiul vectorial al funcţiilor reale u continue pe Ω de clasǎ C 2 în Ω şi nule pe frontierǎ : D = { u u : Ω IR 1, u C(Ω) C 2 (Ω) şi u Ω = 0}, şi operatorul diferenţial A definit pe acest spaţiu vectorial D cu formula: ( n n ) (Au)(X) = a ij (X) u + c(x) u (7.5) x i x j i=1 j=1

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 221 atunci Problema Dirichlet : ( n n ) a ij (X) u + c(x) u = F(X), ( ) X Ω x i x j i=1 u Ω = 0 j=1 (7.6) este echivalentǎ cu problema urmǎtoare : Sǎ se determine u D astfel încât sǎ avem : unde Au = F, D= { u u : Ω IR 1, u C(Ω) C 2 (Ω) şi u Ω = 0 }. (7.7) În aceastǎ formulare a Problemei Dirichlet condiţia la limitǎ nu mai apare separat pentru cǎ este inclusǎ în definiţia spaţiului vectorial D (adicǎ domeniul de definiţie a lui A). Problema unicitǎţii soluţiei clasice a Problemei Dirichlet revine la injectivitatea operatorului A : D C(Ω) iar problema existenţei soluţiei clasice revine la surjectivitatea operatorului A. În cele ce urmeazǎ vom pune în evidenţǎ proprietǎţi ale operatorului A pentru a rǎspunde la problema existenţei şi unicitǎţii soluţiei Problemei Dirichlet (7.6) Teorema 7.1.1 Operatorul A definit pe spaţiul de funcţii D cu formula (7.5) are urmatoarele proprietaţi: i) domeniul de definiţie D al operatorului A este un subspaţiu dens în spaţiul Hilbert L 2 (Ω); ii) operatorul A este liniar ; iii) pentru orice u, v D are loc egalitatea Au vdx = Av udx Ω Ω Demonstraţie: i) Presupunem cunoscut faptul cǎ spaţiul vectorial D(Ω) format cu funcţiile

222 CAPITOLUL 7 reale u de clasǎ C pe Ω şi cu suport compact inclus în Ω: D(Ω) = {u u : Ω IR 1, u C (Ω), supp u Ω} este dens în L 2 (Ω). Întrucât spaţiul de funcţii D include spaţiul vectorial D(Ω) rezultǎ cǎ spaţiul D este dens în L 2 (Ω). ii) Pentru a demonstra cǎ A este liniar, vom arǎta cǎ { A(u + v) = Au + Av A(α u) = α Au ( ) u, v D, ( ) α IR 1. Într-adevǎr, A(u + v) = ( n n ) (u + v) = a ij (X) + c(x) (u + v) = x i=1 i x j=1 j ( n n ) ( = a ij (X) u n n + c(x) u x i x j x i i=1 j=1 + c(x) v = Au + Av. şi A(α u)= ( n n a ij (X) x i i=1 j=1 i=1 j=1 ) a ij (X) v + x j ) (α u) + c(x) (α u)=α Au, x j ceea ce demonstreazǎ liniaritatea lui A. iii) Pentru u, v D calculǎm Au vdx şi gǎsim : Ω Au v dx = Ω = Ω n i=1 n i=1 x i n j=1 Ω ( n j=1 ) a ij (X) u v dx + c(x) u v dx x j Ω a ij (X) u x j cos(u, e i ) v ds+

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 223 + = n n Ω i=1 j=1 n n Ω i=1 j=1 Calculând în continuare Ω a ij (X) u v dx+ c(x) u v dx x j x i Ω a ij (X) u v dx+ c(x) u v dx x j x i Ω Av u dx gǎsim: n n Av u dx = a ij (X) v u dx+ c(x) u v dx. Ω Ω x i=1 j=1 j x i Ω Deoarece a ij (X) = a ji (X) rezultǎ Au vdx = Av udx Ω Teorema 7.1.2 Existǎ γ > 0 astfel încât pentru orice u D sǎ avem Au udx γ u 2 dx (7.8) Demonstraţie: Calculǎm Ω Au udx = Ω n Ω n Ω i=1 j=1 Ω n µ 0 u x i i=1 Ω Ω Au udx şi obţinem : a ij (X) u u dx + c(x)u 2 (X) dx x i x j Ω 2 dx + Ω c(x)u 2 (X) dx n 2 Rǎmâne sǎ evaluǎm u Ω x i=1 i dx pentru u D. Aceastǎ evaluare constitue conţinutul unei teoreme care poartǎ numele lui Friedrichs. Conform acestei teoreme existǎ o constantǎ k > 0, astfel încât pentru orice u C 1 ( Ω) cu u Ω = 0 avem: Ω u(x) 2 dx k Ω n u 2 x i dx. i=1

224 CAPITOLUL 7 Admiţând pentru moment cǎ aceastǎ evaluare este adevǎratǎ putem continua evaluarea deja stabilitǎ n Au udx µ 0 u 2 x i dx + c(x)u 2 (X)dX, Ω şi gǎsim: Au udx µ 0 k Ω Ω Ω i=1 u(x) 2 dx + Ω Ω c(x)u 2 (X)dX µ 0 k Ω u(x) 2 dx Astfel inegalitatea (7.8) a fost demonstratǎ. Rǎmâne sǎ demonstrǎm acum teorema folositǎ în demonstraţia teoremei (7.1.2) denumitǎ inegalitatea lui Friedrichs. Teorema 7.1.3 (inegalitatea lui Friedrichs) Existǎ o constantǎ k > 0, astfel încât pentru orice u C 1 ( Ω) cu u Ω = 0 sǎ avem: Ω u(x) 2 dx k Ω n u x i i=1 2 dx. (7.9) Demonstraţie: Domeniul Ω fiind mǎrginit existǎ o translaţie T : IR n IR n, (TX = X + X 0 ) astfel încât pentru orice X Ω = TΩ sǎ avem x i 0. Deoarece u (X ) 2 dx = u(x) 2 dx şi u 2 2 dx = u Ω x i dx Ω unde u (X ) = u(tx) şi X = TX, rezultǎ cǎ este suficient sǎ se demonstreze inegalitatea (7.9) pe Ω. Mai mult, Ω fiind domeniu mǎrginit existǎ a > 0 astfel ca Ω Γ a = {X 0 x i a} şi prelungind cu 0 funcţia u pe Γ a Ω rezultǎ cǎ, are loc: u (X ) 2 dx = u (X ) 2 dx şi u 2 dx = u 2 dx Ω Γ a Ω Astfel, ajungem la concluzia cǎ, este suficient sǎ demonstrǎm inegalitatea (7.9) doar pentru Ω = Γ a. Pentru aceasta folosim formula lui Leibnitz- Newton u(x 1, x 2,...x n ) = xi 0 Ω x i x i Ω Γ a u x i (x 1,..., x i 1, ξ, x i+1,...x n )dξ x i

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 225 din care utilizând Cauchy-Buniakovski rezultǎ: u(x) xi 0 ( xi De aici obţinem: 0 u x i (x 1,..., x i 1, ξ, x i+1,..., x n )dξ ) ( 1/2 xi dξ 0 u (x 1,..., x i 1, ξ, x i+1,..., x n ) x i ( a a 1/2 u (x 1,..., x i 1, ξ, x i+1,...x n ) x i 0 u(x) 2 dx a 2 Γ a Γa u(x) 2 dx a2 n Γ a Γ a 2 2 u x i dx n 2 u x i dx. i=1 dξ) 1/2. 2 dξ) 1/2 Astfel rezultǎ astfel cǎ pentru k = a2 are loc inegalitatea (7.9). n Teorema 7.1.4 (de caracterizare variaţionalǎ a soluţiei ecuaţiei Au = F). Funcţia u 0 D este soluţie a ecuaţiei Au = F (F C(Ω)) dacǎ şi numai dacǎ u 0 este punct de minim pentru funcţionala: Φ F : D IR 1, Φ F (u) = Au udx 2 F udx. (7.10) Ω Demonstraţie: Dacǎ u 0 D este soluţie a ecuaţiei Au = F atunci Au 0 = F şi pentru orice u D avem: Φ F (u) Φ F (u 0 )= Au udx 2 F udx Au 0 u 0 dx+2 F u 0 dx = = = = Ω Ω Au udx 2 Ω Ω Ω Au udx Ω Au 0 u Au 0 u 0 dx+2 Ω Ω Au 0 u A(u u 0 ) (u u 0 )dx γ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Au 0 u 0 dx = u 0 AudX+ Au 0 u 0 dx = Ω u u 0 2 dx 0.

226 CAPITOLUL 7 Rezultǎ astfel cǎ u 0 este minim absolut pentru funcţionala Φ F. Reciproc, dacǎ presupunem cǎ u 0 D este punct de minim absolut pentru funcţionala Φ F, atunci pentru orice u D avem Φ F (u) Φ F (u 0 ) Considerǎm u D, u-fixat, t IR 1 şi remarcǎm cǎ: Φ F (u 0 + tu) Φ F (u 0 ) pentru orice t IR 1. Prin urmare funcţia ϕ(t) = Φ F (u 0 + tu) are un minim în t = 0. Din condiţia ϕ (0) = 0 rezultǎ: (Au 0 F)udX = 0 ( )u D Ω Deoarece spaţiul vectorial D este dens în spaţiu Hilbert L 2 (Ω) rezultǎ cǎ Au 0 = F. Observaţia 7.1.3 Aceastǎ teoremǎ nu este o teoremǎ de existenţǎ pentru cǎ nu stabileşte faptul cǎ funcţionala Φ F are un punct de minim absolut. Teorema reduce însǎ problema existenţei şi unicitǎţii soluţiei clasice a ecuaţiei Au = F la problema existenţiei şi unicitǎţii punctului de minim al funcţionalei Φ F. Teorema 7.1.5 (teorema de unicitate) Pentru F C( Ω) existǎ cel mult un u 0 D astfel încât Au 0 = F. Demonstraţie: Presupunem cǎ pentru F C( Ω) existǎ u 1, u 2 D astfel încât Au 1 = F şi Au 2 = F. De aici rezultǎ Φ F (u 2 ) Φ F (u 1 ) şi Φ F (u 1 ) Φ F (u 2 ). Prin urmare Φ F (u 2 ) = Φ F (u 1 ). Ţinând seama de inegalitatea: Φ F (u 1 ) Φ F (u 2 ) γ u 1 u 2 2 dx rezultǎ în continuare cǎ u 1 = u 2. Ω Ω u 1 u 2 2 dx = 0 de unde rezultǎ egalitatea

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 227 Observaţia 7.1.4 i) Teorema de unicitate demonstreazǎ cǎ Problema Dirichlet are cel mult o soluţie clasicǎ. ii) Existenţa unui minim absolut în D a funcţionalei Φ F (u) nu este adevǎratǎ. Existǎ exemple care demonstreazǎ cǎ în general Problema Dirichlet nu are soluţie clasicǎ. Pentru a asigura minimul absolut al funcţionalei Φ F lǎrgim spaţiul vectorial D astfel ca sǎ devinǎ spaţiu Hilbert. În acest scop, pe D D definim urmǎtoarea corespondenţǎ: D D (u, v) < u, v > A = Au vdx. (7.11) Lema 7.1.1 Corespondenţa definitǎ cu (7.11) este un produs scalar pe spaţiul vectorial D. Demonstraţie: prin verificare. Observaţia 7.1.5 Pentru (u, v) D are loc egalitatea: < u, v > A = n n Ω i=1 j=1 Ω a ij (X) u v dx + c(x)u(x)v(x)dx x i x j Ω Definiţia 7.1.4 Completatul spaţiului vectorial D în norma A generatǎ de produsul scalar < u, v > A = Au vdx se numeşte spaţiul energetic al operatorului A şi se noteazǎ cu X A. Observaţia 7.1.6 Elementele spaţiului energetic X A sunt elementele spaţiului vectorial D la care se mai adaugǎ limite în norma A de şiruri fundamentale u n din D. Altfel spus, dacǎ u X A atunci u D sau existǎ (u n ) n cu u n D astfel încât u n u A 0. Un element u X A are proprietatea: u L 2 u (Ω), L 2 (Ω) şi u Ω = 0 x i Ω

228 CAPITOLUL 7 Observaţia 7.1.7 Spaţiul energetic X A împreunǎ cu produsul scalar < u, v > A este un spaţiu Hilbert. Lema 7.1.2 Funcţionala Φ F : D IR definitǎ de formula Φ F (u) = Au udx 2 F udx (7.12) Ω în care F L 2 (Ω), se prelungeşte prin continuitate la o funcţionalǎ continuǎ Φ F definitǎ pe spaţiul energetic X A. Demonstraţie: Arǎtǎm la început cǎ funcţionala Φ F (u) definitǎ cu (7.12) este continuǎ în topologia spaţiului energetic. În acest scop considerǎm u D, un şir (u n ) n, u n D cu proprietatea cǎ u n u A n 0 şi apoi şirul Φ F (u n ) = Ω Au n u n dx 2 F u n dx. Ω Arǎtǎm cǎ acest şir numeric este convergent şi limita lui este Φ F (u) = Au udx 2 F udx. Într-adevǎr, avem: Ω Φ F (u n ) = u n 2 A 2 Φ F (u) = u 2 A 2 Ω Ω Ω Ω F u n dx F udx de unde rezultǎ: Φ F (u n ) Φ F (u) u n 2 A u 2 A + 2 Ω F u n u dx u n 2 A u 2 A + 2 F L 2 (Ω) u n u L 2 (Ω). Deoarece convergenţa u n u A 0 implicǎ convergenţele u n 2 A u 2 A 0 şi u n u L 2 (Ω) 0, rezultǎ convergenţa Φ F (u n ) Φ F (u) 0.

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 229 Dacǎ u D şi u X A atunci se defineşte Φ F (u) cu n n Φ F (u) = a ij (X) u u dx 2 x i x j Ω i=1 j=1 Ω F udx iar pentru u n D, u n u A 0 se reface acelaşi raţionament. Teorema 7.1.6 (de existenţǎ şi unicitate a punctului de minim absolut) Pentru orice F L 2 (Ω) prelungita Φ F prin continuitate a funcţionalei Φ F la spaţiul energetic X A are un singur punct de minim. Demonstraţie: Pentru a demonstra existenţa punctului de minim considerǎm funcţionala liniarǎ şi continuǎ u F udx Ω definitǎ pe spaţiul energetic X A. Conform cu teoremei lui F. Riesz existǎ o funcţie u F X A astfel încât sǎ avem: < u F, u > A = F udx pentru orice u X A. Rǎmâne de arǎtat cǎ u F este punctul de minim absolut al funcţionalei Φ F (u).în acest scop calculǎm Φ F (u F ) şi Φ F (u) pentru u X A. Avem: Φ F (u F ) = < u F, u F > A 2 < F, u F > L 2 (Ω)= u F 2 A 2 u F 2 A = u F 2 A Ω Φ F (u) = < u, u > A 2 < F, u > L 2 (Ω) = < u u F, u u F > A +2< u F, u > A < u F, u F > A 2< F, u > L 2 (Ω) = u u F 2 A u F 2 A = u u F 2 A + Φ F (u F ) Aceastǎ din urmǎ egalitate Φ F (u) = u u F 2 A + Φ F (u F ) este adevǎratǎ pentru orice u X A şi aratǎ cǎ Φ F (u) Φ F (u F ). Egalitatea aratǎ şi faptul cǎ Φ F (u) > Φ F (u F ) pentru orice u u F ceea ce demonstreazǎ unicitatea.

230 CAPITOLUL 7 Observaţia 7.1.8 Dacǎ punctul de minim absolut u F al funcţionalei prelungite Φ F aparţine lui D X A atunci Au F = F, şi prin urmare u F, este soluţie clasicǎ a Problemei Dirichlet. Observaţia 7.1.9 Dacǎ punctul de minim absolut u F al funcţionalei prelungite Φ F nu aparţine spaţiului vectorial D X A atunci nu-i putem aplica operatorul A ca sǎ vedem dacǎ este soluţie a ecuaţiei Au = F. În acest caz este naturalǎ întrebarea: Ce reprezintǎ u F în contextul rezolvarii ecuaţiei Au = F? Vom da un rǎspuns la aceastǎ întrebare arǎtând cǎ operatorul A are o prelungire à : D(Ã) L2 (Ω), numitǎ prelungirea Friedrichs, unde D D(Ã) X A şi cǎ u F verificǎ Ãu F = F. Aceasta înseamnǎ cǎ funcţia u F nu mai verificǎ condiţia de soluţie clasicǎ : u D şi n i=1 x i ( n j=1 ) a ij (X) u + c(x) u = F x j ci verificǎ doar condiţia : u F X A şi n n Ω i=1 j=1 a (X) u F ij v dx+ c(x) u F v dx = F v dx, ( ) v X A x j x i Ω Ω Teorema 7.1.7 (de prelungire a lui Friedrichs). Operatorul G : L 2 (Ω) X A definit prin G(F)=u F X A unde u F verificǎ are urmǎtoarele proprietǎţi: i) G este liniar şi mǎrginit ; ii) G este injectiv ; iii) G este autoadjuct ; iv) G este compact ; < u F, u > A =< F, u > L 2 (Ω), ( ) u X A,

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 231 v) G 1 : Im G X A L 2 (Ω) este o prelungire a lui A. Demonstraţie: Remarcǎm la început cǎ operatorul G este corect definit pentru cǎ existenţa şi unicitatea funcţiei u F = G(F) a fost demonstratǎ. i) Pentru α, β IR 1, F 1, F 2 L 2 (Ω) şi u X A avem: < G(αF 1 + βf 2 ), u > A = < αf 1 + βf 2, u > L 2 (Ω) = < αf 1, u > L 2 (Ω) + < βf 2, u > L 2 (Ω) = α < F 1, u > L 2 (Ω) +β < F 2, u > L 2 (Ω) = < αg(f 1 ) + βg(f 2 ), u > L 2 (Ω) de unde rezultǎ egalitatea : G(αF 1 + βf 2 ) = αg(f 1 ) + βg(f 2 ) care aratǎ cǎ operatorul G este liniar. Pentru a demonstra mǎrginirea operatorului G considerǎm F L 2 (Ω) şi evaluǎm G(F) 2 A. Avem: µ 2 0 k 2 G(F) 2 L 2 (Ω) G(F) 2 A = < F, G(F) > L 2 (Ω) F L 2 (Ω) G(F) L 2 (Ω) unde k > 0 este constanta din inegalitatea lui Friedrichs şi µ 0 > 0 este constanta din condiţia de elipticitate. Simplificând cu G(F) L 2 (Ω) în inegalitatea obţinutǎ, rezultǎ: G(F) L 2 (Ω) k2 F µ 2 L 2 (Ω) 0 care aratǎ cǎ operatorul G : L 2 (Ω) L 2 (Ω) este mǎrginit.

232 CAPITOLUL 7 ii) G(F)=0 < u F, u > A = 0, ( )u X A < F, u > L 2 (Ω)= 0, ( )u X A F =0 iii) Operatorul G : L 2 (Ω) Im G X A fiind injectiv putem considera operatorul G 1 : Im G L 2 (Ω) şi arǎtǎm cǎ este autoadjunct, adicǎ : Astfel, < G 1 u, v > L 2 (Ω)=< u, G 1 v > L 2 (Ω), ( )u, v Im G. < G 1 u, v > L 2 (Ω) = < u, v > A =< v, u > A =< G 1 v, u > L 2 (Ω) = < u, G 1 v > L 2 (Ω). Folosim acum acest rezultat pentru a demonstra cǎ operatorul G este autoadjunct: < G(F), H > L 2 (Ω)=< G(F), G 1 (G(H)) > L 2 (Ω= =< G 1 (G(F)), G(H) > L 2 (Ω)=< F, G(H) > L 2 (Ω). iv) Prin faptul cǎ operatorul G este compact înţelegem cǎ transformǎ sfera închisǎ de razǎ unu din L 2 (Ω) într-o mulţime compactǎ din L 2 (Ω). Considerǎm F L 2 (Ω) cu F L 2 (Ω) 1. Calculǎm G(F) 2 A şi gǎsim: G(F) 2 A =< F, G(F) > L 2 (Ω) F 2 L 2 (Ω) G(F) 2 L 2 (Ω) F L 2 (Ω) k µ 0 G(F) A. Simplificând cu G(F) A obţinem : G(F) A k µ 0 F L 2 (Ω) k µ 0, ceea ce aratǎ cǎ imaginea sferei închise de razǎ unu din L 2 (Ω) prin operatorul G este o mulţime mǎrginitǎ în spaţiul energetic X A. Ştiind cǎ o

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 233 mulţime mǎrginitǎ în X A este compactǎ în L 2 (Ω) deducem cǎ operatorul G este compact. v) Arǎtǎm acum cǎ operatorul G 1 : Im G X A L 2 (Ω) este o prelungire a operatorului A. Din cele de pânǎ acum ştim cǎ G 1 : Im G X A L 2 (Ω) este un operator injectiv. Considerǎm u D şi apoi Au L 2 (Ω). Funcţia GAu aparţine la Im G şi avem : < GAu, v > A =< Au, v > L 2 (Ω)=< u, v > A ( )v X A. Rezultǎ de aici egalitatea : GAu = u, ( ) u D, care demonstreazǎ apartenenţa u ImG şi egalitatea G 1 u = Au. Am arǎtat în acest fel cǎ operatorul G 1 : Im G X A L 2 (Ω) este o prelungire a operatorului A. Definiţia 7.1.5 Operatorul G 1 se numeşte prelungirea Friedrichs a operatorului A şi se noteazǎ cu Ã. Teorema 7.1.8 (caracterizarea minimului absolut al funcţionalei Φ) Funcţia u F X A este minimul absolut al funcţionalei Φ F : X A IR 1, ΦF (u) =< u, u > A 2 < F, u > L 2 (Ω) dacǎ şi numai dacǎ u F este soluţia ecuaţiei Ãu = F, unde à este prelungirea Friedrichs a operatorului A. Demonstraţie: Rezultatul se obţine imediat din construcţia prelungirii Friedrichs a operatorului A. Observaţia 7.1.10 Din cele prezentate rezultǎ cǎ pentru orice F L 2 (Ω) ecuaţia Ãu = F are o singurǎ soluţie în spaţiul Hilbert X A. Definiţia 7.1.6 Soluţia u F a ecuaţiei Ãu = F se numeşte soluţia generalizatǎ a ecuaţiei Au = F.

234 CAPITOLUL 7 Observaţia 7.1.11 Dacǎ u F D X A atunci u F este soluţie clasicǎ a Problemei Dirichlet. Dacǎ u F X A nu aparţine la D (u F D) atunci ea verificǎ doar: n n Ω i=1 j=1 pentru orice v X A. a ij (x) u F x j v x i dx + Ω c(x) u F (x) v(x)dx = Ω F(x) v(x)dx În continuare vom descrie o metodǎ de determinare a soluţiei generalizate u F a ecuaţiei Au = F (despre care ştim cǎ existǎ şi este unicǎ). Metoda se bazeazǎ pe determinarea valorilor proprii şi vectorilor proprii ai prelungirii Friedrichs Ã. Definiţia 7.1.7 Un numǎr λ este valoare proprie pentru operatorul à dacǎ existǎ o funcţie u în D(Ã) (domeniul de definiţie al operatorului Ã), u 0, astfel încât sǎ avem: Ãu = λ u. Teorema 7.1.9 Pentru operatorul à existǎ un şir infinit de valori proprii 0 < λ 1 λ 2 λ 3... λ m... şi corespunzǎtor acestor valori proprii un şir infinit de funcţii proprii cu urmǎtoarele proprietǎţi: u 1, u 2, u 3,..., u n,... lim λ n = + n < u i, u j > L 2 (Ω) = δ ij. Demonstraţie: Operatorul G : L 2 (Ω) L 2 (Ω) este liniar autoadjunct şi complet continuu. Pe baza unei teoreme relative la aceastǎ clasǎ de operatori liniari rezultǎ cǎ, G admite un şir infinit de valori proprii şi un şir infinit de funcţii proprii. Valorile proprii ale lui G le notǎm cu 1, 1 1,...,,... λ 1 λ 2 λ m

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 235 iar funcţiile proprii cu u 1, u 2,..., u m,... Presupunem cǎ aceste valori proprii sunt aranjate în şir astfel ca sǎ avem: 1 1... 1... λ 1 λ 2 λ m iar funcţiile proprii sunt alese astfel ca sǎ avem < u i, u j > L 2 (Ω)= δ ij. Ţinând seamǎ de egalitatea à = G 1 rezultǎ cǎ à admite şirul de valori proprii λ 1 λ 2... şi şirul de funcţii proprii u 1, u 2,..., u m,... Arǎtǎm acum cǎ λ m > 0 pentru orice m. Într-adevǎr din G u m = 1 λ m u m rezultǎ cǎ Pe de altǎ parte, < G u m, u m > L 2 (Ω)= 1 λ m u m 2 L 2 (Ω) = 1 λ m. şi astfel < G u m, u m > L 2 (Ω)=< u m, u m > A γ u m 2 L 2 (Ω) 1 λ m γ u m 2 L 2 Ω > 0. Arǎtǎm acum cǎ, à admite chiar un şir infinit de valori proprii. La început arǎtǎm cǎ mulţimea de definiţie ImG a operatorului à ( formatǎ din elementele G(F) cu F L 2 (Ω) ) este un spaţiu vectorial infinit dimensional. Pentru aceasta, fie u o funcţie de clasǎ C cu suport compact în Ω. Considerǎm funcţia F = Au şi observǎm cǎ u este soluţia clasicǎ a Problemei Dirichlet Au = F. Rezultǎ cǎ, u este şi soluţie generalizatǎ a acestei probleme, ceea ce înseamnǎ cǎ G(F) = u. Am arǎtat în acest fel cǎ orice funcţie de clasǎ C cu suport compact inclus în Ω aparţine mulţimii Im(G) şi ca urmare spaţiul vectorial Im(G) este infinit dimensional.

236 CAPITOLUL 7 Sǎ presupunem acum prin absurd cǎ, operatorul G are doar un numǎr finit de valori proprii diferite de zero: λ 1, λ 2,...,λ m. Ţinând seama de faptul cǎ G este autoadjunct şi compact rezultǎ de aici: m G(F) = < G(F), u k > u k, ( )F L 2 (Ω). k=1 Aceastǎ egalitate aratǎ cǎ şirul u 1, u 2,..., u m este bazǎ în Im(G) deci Im(G) este spaţiu vectorial finit dimensional. Astfel, am ajuns la o contradicţie şi deci G admite un şir infinit de valori proprii. Încheiem demonstraţia observând cǎ lim m λ m = +. Teorema 7.1.10 Şirul de funcţii proprii {u m } m ai operatorului à este un şir { ortonormat } complet în spaţiul Hilbert L 2 (Ω), iar şirul de funcţii proprii um este un şir ortonormat complet în spaţiul energetic X A. λm m Demonstraţia acestei teoreme este laborioasǎ şi nu o facem aici. Suntem acum în mǎsurǎ sǎ formulǎm urmǎtoarea teoremǎ referitoare la soluţia generalizatǎ a ecuaţiei Au = F, F L 2 (Ω). Teorema 7.1.11 Oricare ar fi F L 2 (Ω), soluţia generalizatǎ u F a ecuaţiei Au = F este datǎ de: u F = + m=1 1 λ m < F, u m > L 2 (Ω) u m unde {u m } m este şirul de funcţii proprii ale operatorului à (à prelungirea Friedrichs a opertorului A) ortonormal şi complet în spaţiul Hilbert L 2 (Ω). Demonstraţie: Deoarece u F = + m=1 folosind egalitatea: avem cǎ: u F = < u F, u m > L 2 u m sau u F = + m=1 + m=1 < u F, < u F, v > A =< F, v > L 2, ( )v X A < F, u m λm > L 2 um λm = + m=1 u m λm > A um λm 1 λ m < F, u m > L 2 u m.

Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet 237 Exerciţii: Fie Ω = (0, l 1 ) (0, l 2 ) şi operatorul A definit prin ( ) 2 u Au = + 2 u x 2 1 x 2 2 pentru u D = {u C 2 (Ω) şi u Ω }. Determinaţi soluţia generalizatǎ a Problemei Dirichlet Au = F unde: a) F(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 ; b) F(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 ; c) F(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 ; R: Din Au = λu se obţin valorile proprii şi vectorii proprii: ( ) 2 ( nπ mπ λ m,n = + l 1 l 2 ) 2 respectiv u m,n = sin nπ l 1 x 1 mπ l 2 x 2. Calculând u m,n L 2 = 1 2 l1 l 2 se obţin vectorii bazei ortonormale { 2 sin nπ x 1 sin mπ } x 2 l1 l 2 l 1 l 2 m,n Soluţia generalizatǎ este: u F (x 1, x 2 ) = l 1 l 2 0 0 ( F(x 1, x 2 ) + + m=1 n=1 2 sin nπ x 1 sin mπ ) x 2 l1 l 2 l 1 l 2 unde F(x 1, x 2 ) este funcţia datǎ la a), b), c). 1 ( ) 2 ( ) 2 nπ mπ + l 1 l 2 2 dx 1 dx 2 sin nπ x mπ 1 sin x 2 l1 l 2 l 1 l 2

238 CAPITOLUL 7 7.2 Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice Fie Ω IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi funcţiile reale: a ij, c, u 0 : Ω IR 1, f :[0, + ) Ω IR 1, g : [0, + ) Ω IR 1 cu urmǎtoarele proprietǎţi: i) a ij sunt funcţii de clasǎ C 1 pe Ω şi a ij = a ji, i, j = 1, n; c este o funcţie continuǎ pe Ω, u 0 este o funcţie continuǎ pe Ω şi de clasǎ C 2 pe Ω. ii) existǎ µ 0 > 0 astfel încât pentru orice (ξ 1,...,ξ n ) IR n sǎ aibe loc inegalitatea n n n a ij (X) ξ i ξ j µ 0 ξi 2, ( ) X Ω; i=1 j=1 iii) c(x) 0, ( ) X Ω; iv) f este funcţie continuǎ pe [0, ) Ω şi g este o funcţie continuǎ pe [0, + ) Ω. Definiţia 7.2.1 Problema care constǎ în determinarea funcţiilor reale u : [0, + ) Ω IR 1 care au urmǎtoarele proprietǎţi: 1) u este continuǎ pe [0, + ) Ω, de clasǎ C 1 pe (0, + ) Ω şi pentru orice t (0, + ) fixat u este de clasǎ C 2 pe Ω. 2) u n t i=1 x i ( n j=1 i=1 a ij (X) u x j ) +c(x) u(t, X)=f(t, X), ( ) t>0 şi ( )X Ω (7.13) 3) u(t, X) = g(t, X), ( ) (t, X) [0, + ) Ω. (7.14) 4) u(0, X) = u 0 (X), ( )x Ω. (7.15) se numeşte Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ.

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice 239 Definiţia 7.2.2 O funcţie u care verificǎ condiţiile din definiţia precedentǎ se numeşte soluţie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ. Propoziţia 7.2.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω IR n care include mulţimea Ω şi o funcţie G : [0, + ) Ω IR 1 de clasǎ C 2 pe [0, + ) Ω astfel încât G(t, X) = g(t, X) (t, X) [0, + ) Ω, atunci Problema Cauchy-Dirichlet neomogenǎ pentru ecuaţia parabolicǎ, prin schimbarea de funcţie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) G(t, X) se reduce la Problema Cauchy-Dirichlet omogenǎ pentru ecuaţia parabolicǎ: ( v n n t x i=1 i j=1 ( n n + x i i=1 j=1 ) a ij (X) v +c(x) v(t, X)=f(t, X) G x j t + ) a ij (X) G c(x) G(t, X), (7.16) x j ( ) t)>0 şi ( )X Ω v(t, X) = 0 ( )(t, X) [0, + ) Ω (7.17) v(0, X) = u 0 (X) G(0, X) ( ) X Ω. (7.18) Demonstraţie: prin verificare. Observaţia 7.2.1 Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ cu condiţii pe frontierǎ neomogene (prezentatǎ în Def. 7.2.1), se reduce la o Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ cu condiţii pe frontierǎ omogene. Datoritǎ acestui fapt, vom considera în continuare Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ de tipul urmǎtor:

240 CAPITOLUL 7 ( u n n t x i i=1 j=1 ) a ij (X) v +c(x) u(t, X)=f(t, X) (7.19) x j u(t, X) = 0 ( )(t, X) [0, + ) Ω. (7.20) u(0, X) = u 0 (X) ( ) X Ω (7.21) în care funcţiile a ij, c, f au proprietǎţile deja prezentate: (i), (ii), (iii), (iv), iar funcţia u 0 este continuǎ pe Ω şi de clasǎ C 2 în Ω. Definiţia 7.2.3 O soluţie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21) este o funcţie u : [0, + ) Ω IR 1 care are urmǎtoarele proprietǎţi: u este continuǎ pe [0, + ) Ω, este de clasǎ C 1 pe (0, + ) Ω şi este de clasǎ C 2 în Ω pentru ( )t (0, + ), t - fixat şi verificǎ: u n t i=1 x i ( n j=1 a ij (X) u x j ) +c(x) u(t, X)=f(t, X) ( )t>0 şi ( ) X Ω (7.22) u(t, X) = 0 ( ) (t, X) [0, ) Ω (7.23) u(0, X) = u 0 (X) ( ) x Ω. (7.24) Dacǎ considerǎm operatorul diferenţial A definit pe spaţiul de funcţii: cu formula: D = {w w : Ω IR 1, w C(Ω) C 2 (Ω) şi w Ω = 0}, Aw = n i=1 x i ( n j=1 ) a ij (X) w + c(x) w x j atunci Problema Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21) se scrie: u t + Au = f u(0, X) = u 0. (7.25)

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice 241 În continuare, vom formula o problemǎ mai generalǎ pentru care vom demonstra o teoremǎ de existenţǎ şi unicitate. Teorema 7.2.1 Dacǎ funcţia u : [0, + ) Ω IR 1 este soluţie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21), atunci funcţia V definitǎ prin are urmǎtoarele proprietǎţi: V (t)(x) = u(t, X) a) V : [0, + ) L 2 (Ω) este continuǎ; b) V : (0, + ) L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 ; c) V : (0, + ) X A este continuǎ, unde X A reprezintǎ spaţiul energetic al operatorului A. d) V (0) = u 0. e) dv dt + AV = F(t), ( ) t > 0 unde F(t)(X) = f(t, X). Demonstraţie: a) Fie t 0 [0, + ) şi η > 0. Funcţia u(t, X) este uniform continuǎ pe mulţimea compactǎ [t 0 η, t 0 + η] Ω (dacǎ t 0 = 0, atunci [0, η] Ω). Prin urmare, ( )ε > 0, ( )δ(ε) > 0 astfel ca ( )(t, X ), (t, X ) [t 0 η, t 0 +η] Ω cu t t < δ(ε) şi X X < δ(ε) sǎ avem: u(t, X ) u(t, X ) < ε/ Ω unde Ω este mǎsura lui Ω. Rezultǎ de aici cǎ are loc inegalitatea: u(t, X) u(t 0, X) 2 dx < ε 2, ( ) t cu t t 0 < δ(ε). Ω Deducem de aici cǎ, dacǎ t t 0 < δ(ε) atunci V (t) V (t 0 ) L 2 (Ω) < ε. Aceasta demonstreazǎ continuitatea funcţiei V : [0, + ) L 2 (Ω) într-un punct oarecare t 0.

242 CAPITOLUL 7 b) Pentru a demonstra cǎ funcţia V : (0, + ) L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 se considerǎ un punct t 0 (0, + ) şi cu un raţionament analog cu cel prezentat anterior se aratǎ cǎ: lim t t 0 Ω u(t, X) u(t 0, X) t t 0 u t (t 0, X) 2 dx = 0 ceea ce aratǎ cǎ funcţia V : (0, + ) IL 2 (Ω) este de clasǎ C 1 şi dv + AV = F(t). dt c) pentru a demonstra cǎ funcţia V : (0, + ) X A este continuǎ se considerǎ t 0 (0, + ) şi se aratǎ cǎ lim V (t) V (t 0 ) XA = 0. t t0 d) V (0)(X) = u(0, X) = u 0 (X). e) s-a demonstrat împreunǎ cu (b). Fie acum à prelungirea Friedrichs, a operatorului A definit pe D(Ã), F o funcţie F : [0, + ) L 2 (Ω) continuǎ şi V 0 L 2 (Ω). Considerǎm problema Cauchy: dv + ÃV = F(t) dt (7.26) V (0) = V 0 Definiţia 7.2.4 O soluţie a acestei probleme este o funcţie V : [0, + ) L 2 (Ω) care are urmǎtoarele proprietǎţi: a) V C 1 ((0, + ); L 2 ) C([0, + ), L 2 ) b) V (t) D(Ã), ( ) t (0, + ) şi dv dt c) V (0) = V 0. + ÃV = F(t). Definiţia 7.2.5 Problema Cauchy (7.26) va fi numitǎ problema Cauchy abstractǎ pentru ecuaţia parabolicǎ, iar o soluţie a acesteia va fi numitǎ soluţie tare a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ. Observaţia 7.2.2 Dacǎ u(t, X) este o soluţie clasicǎ a Problemei Cauchy- Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ, atunci funcţia V definitǎ prin V (t)(x) = u(t, X) este soluţie a problemei Cauchy abstracte pentru ecuaţia parabolicǎ.

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice 243 Teorema 7.2.2 Problema Cauchy abstractǎ (7.26) pentru ecuaţia parabolicǎ are cel mult o soluţie. Demonstraţie: Fie V 1, V 2 douǎ soluţii ale problemei (7.26) şi V = V 1 V 2. Funcţia V verificǎ dv dt + ÃV = 0 şi V (0) = 0. Rezultǎ de aici egalitatea din care rezultǎ inegalitatea 1 d 2 dt V 2 L 2 (Ω) + V 2 A = 0 d dt V 2 L 2 (Ω) 0. Funcţia V 2 L 2 (Ω) este pozitivǎ, nulǎ pentru t = 0 şi conform inegalitǎţii, descreşte. Rezultǎ cǎ V 2 L 2 (Ω) = 0, ( ) t 0, de unde V 1 = V 2. Teorema 7.2.3 Dacǎ funcţia F : [0, + ) L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 pe [0, + ) atunci problema Cauchy abstractǎ pentru ecuaţia parabolicǎ are o soluţie unicǎ. Demonstraţie: Va trebui sǎ arǎtǎm doar cǎ problema (7.26) are soluţie, unicitatea o avem deja în baza teoremei precedente. Presupunem cǎ avem o soluţie şi, pentru t [0, + ) o dezvoltǎm dupǎ sistemul ortonormat complet de funcţii proprii (u m ) m IN ale operatorului à : V (t) = < V (t), u m > L 2 (Ω) u m m=1 Şirul corespunzǎtor de valori proprii va fi notat cu 0 < λ 1 λ 2 λ m... Procedǎm la fel cu F(t) şi V 0 : F(t) = < F(t), u m > L 2 (Ω) u m m=1

244 CAPITOLUL 7 Notǎm: V 0 = < V (0), u m > L 2 (Ω) u m m=1 v m (t) =< V (t), u m > L 2 (Ω) f m (t) =< F(t), u m > L 2 (Ω) şi din ecuaţia şi condiţia iniţialǎ deducem: v 0 m (t) =< V 0, u m > L 2 (Ω) dv dt + ÃV = F(t) V (0) = V 0 dv m dt + λ m v m = f m, v m (0) = v 0 m m = 1, 2, 3,.... Aceste probleme cu date iniţiale au soluţiile date de formula v m (t) = v 0 me λmt + t 0 e λm(t s) f m (s)ds m = 1, 2, 3,... de unde rezultǎ cǎ soluţia V (t) a Problemei Cauchy abstracte (7.26) verificǎ egalitatea: t V (t) = vme 0 λmt u m + e λm(t s) f m (s)ds u m. (7.27) m=1 m=1 Vom arǎta acum cǎ, dacǎ V 0 L 2 (Ω) şi funcţia F : [0, + ) L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 pe [0, + ), atunci membrul drept al formulei (7.27) defineşte o funcţie V (t) care este soluţie pentru problema Cauchy abstractǎ, adicǎ V are proprietǎţile (a), (b), (c) din Definiţia (7.26). În prima etapǎ, trebuie demonstratǎ convergenţa seriilor din membrul drept al egalitǎţii (7.27) şi examinatǎ netezimea funcţiilor care sunt sumele acestor serii. Deoarece {u m } m este un sistem ortonormat complet în L 2 (Ω), din convergenţa seriei numerice vm 0 2 e 2λmt rezultǎ convergenţa în L 2 (Ω) a seriei de m=1 0

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice 245 funcţii m=1 seria numericǎ cǎ, seria m=1 v 0 m e λmt u m. Seria m=1 m=1 v 0 m 2 e 2λmt, ( ) t 0, este majoratǎ de v 0 m 2 care este convergentǎ (V 0 L 2 (Ω)). Rezultǎ astfel v 0 m e λmt u m este uniform convergentǎ pentru orice t 0 în spaţiul L 2 (Ω) şi suma ei este ( funcţie continuǎ de t. Pentru a arǎta cǎ seria t ) e λm(t s) f m (s)ds u m converge în L 2 (Ω) m=1 0 uniform pe un segment oarecare [0, T], procedǎm dupǎ cum urmeazǎ: considerǎm seria t e λm(t s) f m (s)ds 2, şi o majorǎm astfel: m=1 m=1 = = = 0 t 0 m=1 0 e λm(t s) f m (s)ds t e 2λmt m=1 m=1 m=1 m=1 e 2λm(t s) ds 2 t 0 1 e 2λms 2λ m f 2 m (s)ds= t 0 t ( 1 1 ) t e 2λmt 2λ m 2λ m 1 t (1 e 2λmt ) 2λ m 1 2λ 1 t 0 0 f 2 m (s)ds = 1 2λ 1 0 0 f 2 mds = f 2 m(s)ds = f 2 m (s)ds t m=1 0 f 2 m (s)ds. seria fm 2 (s) converge pentru orice s [0, T] iar funcţiile sunt continue m=1 şi pozitive şi suma seriei fm(s) 2 = F(s) 2 este funcţie continuǎ. Con- m=1

246 CAPITOLUL 7 form teoremei lui Dini rezultǎ cǎ, seria m=1 t fm 2 (s) converge pe [0, T], de unde rezultǎ convergenţa uniformǎ a seriei f m (s) 2 ds pe [0, T]. Se obţine de m=1 ( 0 aici cǎ seria t ) e λm(t s) f m (s)ds u m este convergentǎ în L 2 (Ω) uniform m=1 0 în raport cu t [0, T] şi suma ei este funcţie continuǎ de t. Am obţinut în acest fel cǎ, funcţia V (t) definitǎ de (7.27) este funcţie continuǎ de la [0, + ) la L 2 (Ω). Vom arǎta în continuare cǎ V : (0, + ) L 2 (Ω) este funcţie de clasǎ C 1. Aceasta rezultǎ din convergenţa uniformǎ pe [t 0, + ) (cu 0 < t 0 < T oarecare) a seriilor vm 0 e λmt u m şi m=1 ( t 0 m=1 ) e λm(t s) f m (s)ds u m şi a seriilor obţinute din acestea prin derivare termen cu termen. Pentru derivata seriei m=1 v 0 m e λmt u m, adicǎ pentru seria: λ m vme 0 λmt u m m=1 convergenţa uniformǎ rezultǎ din estimǎrile: λ 2 m (v0 m )2 e 2λmt λ 2 m (v0 m )2 e 2λmt 0 c (v 0 m )2 unde c este o constantǎ independentǎ de m şi t. Pentru derivata celei de a doua serii, adicǎ pentru seria t f m (t) λ m e λm(t s) f m (s)ds u m m=1 convergenţa uniformǎ se obţine din estimarea: 0

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice 247 f m (t) λ m t 0 e λm(t s) f m (s) 2 = = f m (0)e λmt + t 0 f m (s)e λm(t s) ds 2 2 f m (0) 2 e 2λ 1t t 0 + 2 f m t (s) 2 ds e 2λm(t s) ds 0 0 f m (0) 2 e 2λ 1t 0 + 1 λ 1 T 0 f m(s) 2 ds. Din aceastǎ estimare şi din ipoteza cǎ F C 1 ([0, + ), L 2 ) rezultǎ convergenţa uniformǎ a seriei derivate şi continuitatea sumei. Apartenenţa V C 1 ((0, + ), L 2 ) este acum imediatǎ. Pentru apartenenţa V (t) D(Ã) dacǎ t > 0 remarcǎm cǎ domeniul D(Ã) poate fi caracterizat astfel: D(Ã) = {v = c m u m m=1 } λ 2 m c2 m < +. m=1 Aceastǎ caracterizare şi raţionamentele precedente aratǎ cǎ: V (t) D(Ã), ( ) t > 0. Verificarea egalitǎţilor: dv dt + ÃV = F(t) şi V (0) = V 0 este imediatǎ. Exerciţiul 1 Gǎsiţi Problema Cauchy abstractǎ în cazul Problemei Cauchy-Dirichlet şi determinaţi soluţia tare. u t = u a2 2 t > 0, x (0, l) x 2 u(t, 0) = u(t, l) = 0 u(0, x) = u 0 (x)

248 CAPITOLUL 7 Rǎspuns: u(x, t) = a k e k=1 ( ) 2 kπ λ k =, k IN, u k = sin kπx V l l akπ ( l ) 2 t sin kπx l unde a k = 2 l Exerciţiul 2 Determinaţi soluţiile urmǎtoarelor Probleme Cauchy-Dirichlet: a) u t = u 4 2 x 2, u(0, t) = u(1, t) = 0, t 0 u(x, 0) = 3 sin 2πx, x [0, 1] l (x, t) (0, 1) (0, + ) R: u(x, t) = 3 e 16π2t sin 2πx 0 u 0 (x) sin kπx dx l b) u t = 4 2 u x + 2 e 4t sin x x (0, π) (0, ) u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0 u(x, 0) = 4 sin x cos x, x [0, π] R: u(x, t) = t e 4t sin x + 2e 16t sin 2x c) u t = 2 u + x + 1, (x, t) (0, 1) (0, + ) x2 u(0, t) = t + 1, u(1, t) = 2t + 1, t 0 u(x, 0) = 1, x [0, 1] R: u(x, t) = t + 1 + x t

Calculul simbolic şi numeric pentru ecuaţii parabolice 249 7.3 Calculul simbolic şi numeric al soluţiei Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice Calculul simbolic al soluţiei unei probleme Cauchy-Dirichlet nu poate fi realizat cu funcţia pdsolve. În astfel de cazuri se trece la rezolvarea numericǎ. Pentru exemplificare, vom considera trei Probleme Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice a cǎror soluţie o vom determina numeric folosind funcţia pdsolve cu sintaxa pentru calcul numeric: pdsolve(pde or PDE system, conds, type=numeric, other option); în care: PDEorPDEsystem conds type = numeric otheroption - ecuaţia cu derivate parţiale pe care dorim sǎ o rezolvǎm sau sistemul de ecuaţii cu derivate parţiale - condiţiile iniţiale şi condiţiile la limitǎ - indicǎ rezolvarea utilizând metode numerice - diferite opţiuni (de ex. metoda numericǎ, nr. de puncte, etc.) Exemplul 1: u t (x, t) = 1 10 2 u x2(x, t) Heat equation u(0, t) = u(1, t) = 0 u(x, 0) = 1 > PDE1 :=diff(u(x,t),t)=1/10*diff(u(x,t),x,x); PDE1 := 2 u (x, t) = 1/10 u (x, t) t x 2 > IBC1 := {u(0,t)=0, u(1,t)=0, u(x,0)=1}; IBC1 := {u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, u (x, 0) = 1} > pds1 := pdsolve(pde1,ibc1,numeric);

250 CAPITOLUL 7 pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate, value, settings; option Copyright (c) 2001 by Waterloo Maple Inc. All rights reserved. ; end module > p1 := pds1:-plot(t=0): p2 := pds1:-plot(t=1/10): p3 := pds1:-plot(t=1/2): p4 := pds1:-plot(t=1): p5 := pds1:-plot(t=2): plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5}, title= Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2 ); Figura 30 > pds1:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);

Calculul simbolic şi numeric pentru ecuaţii parabolice 251 Exemplul 2: Figura 31 u (x, t) = 4 t ( 2 u x 2 ) (x, t) + e 4t sin x u(0, t) = u(π, t) = 0 u(x, 0) = 4 cosxsin x Heat equation > PDE2 := diff(u(x,t),t)=4*diff(u(x,t),x,x)+(exp(-4*t))*sin(x); PDE2 := 2 u (x, t) = 4 u (x, t) + e 4 t sin (x) t x 2 > IBC2 := {u(0,t)=0,u(pi,t)=0,u(x,0)=4*cos(x)*sin(x)}; IBC2 := {u (0, t) = 0, u (π, t) = 0, u (x, 0) = 4 cos (x) sin (x)} > pds2 := pdsolve(pde2,ibc2,numeric); pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate, value, settings; option Copyright (c) 2001 by Waterloo Maple Inc. All rights reserved. ; end module > p6 := pds2:-plot(t=0): p7 := pds2:-plot(t=1/10):

252 CAPITOLUL 7 p8 := pds2:-plot(t=1/2): p9 := pds2:-plot(t=1): p10 := pds2:-plot(t=2): plots[display]({p6,p7,p8,p9,p10}, title= Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2 ); Figura 32 > pds2:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed); Figura 33

Calculul simbolic şi numeric pentru ecuaţii parabolice 253 Exemplul 3: u t (x, t) = 2 u x2(x, t) + t cosx u(0, t) = t, u(π, t) = 0 u(x, 0) = cos 2x + cos 3x Heat equation > PDE3 := diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x,x)+t*cos(x); PDE3 := 2 u (x, t) = u (x, t) + t cos (x) t x 2 > IBC3 := {u(0,t)=t,u(pi,t)=0,u(x,0)=cos(2*x)+cos(3*x)}; IBC3 := {u (π, t) = 0, u (0, t) = t, u (x, 0) = cos (2 x) + cos (3 x)} > pds3 := pdsolve(pde3,ibc3,numeric); pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate, value, settings; option Copyright (c) 2001 by Waterloo Maple Inc. All rights reserved. ; end module > q1 := pds3:-plot(t=0): q2 := pds3:-plot(t=1/10): q3 := pds3:-plot(t=1/2): q4 := pds3:-plot(t=1): q5 := pds3:-plot(t=2): plots[display]({q1,pq2,q3,q4,q5}, title= Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2 );

254 CAPITOLUL 7 Figura 34 > pds3:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed); Figura 35

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 255 7.4 Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice Fie Ω IR n un domeniu mǎrginit cu frontiera Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi funcţiile reale a ij, c, u 0, u 1 : Ω IR 1, f : [0, + ) Ω IR 1, g : [0, + ) Ω IR 1 cu urmǎtoarele proprietǎţi: i) a ij sunt funcţii de clasǎ C 1 pe Ω şi a ij = a ji, i, j = 1, n; c este continuǎ pe Ω; u 0 este de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 pe Ω; u 1 este continuǎ pe Ω şi de clasǎ C 1 pe Ω. ii) existǎ µ 0 > 0 astfel încât pentru orice (ξ 1, ξ 2,...,ξ n ) IR n sǎ aibe loc inegalitatea: n n a ij (X) ξ i ξ j µ 0 i=1 j=1 n ξi 2, ( )X Ω i=1 iii) c(x) 0, ( )X Ω; iv) funcţiile f : [0, + ) Ω IR 1 şi g : [0, + ) Ω IR 1 sunt continue. Definiţia 7.4.1 Problema care constǎ în determinarea funcţiilor reale u : [0, + ) Ω IR 1 continue pe [0, + ) Ω, de clasǎ C 1 pe [0, + ) Ω şi de clasǎ C 2 pe (0, + ) Ω, care au urmǎtoarele proprietǎţi: 2 u n t 2 i=1 x i ( n j=1 ) a ij (X) u + c(x) u=f(t, X), x j ( )(t, X) (0,+ ) Ω (7.28) u(t, X) =g(t, X), ( )(t, X) [0, + ) Ω. (7.29) u(0, X) =u 0 (X), ( )X Ω. (7.30) u t (0, X) =u 1(X), ( )X Ω. (7.31) se numeşte Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ.

256 CAPITOLUL 7 Definiţia 7.4.2 O funcţie u care verificǎ condiţiile din definiţia precedentǎ se numeşte soluţie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ. Propoziţia 7.4.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω IR n care include domeniul Ω şi o funcţie G : [0, + ) Ω IR 1 de clasǎ C 2 pe [0, + ) Ω astfel încât G(t, X) = g(t, X), ( )(t, X) (0, + ) Ω atunci Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ, prin schimbarea de funcţie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) G(t, X), se reduce la Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ cu condiţii nule pe frontierǎ: 2 v n t 2 i=1 x i ( n j=1 = f(t, X) 2 G t 2 + n ) a ij v + c(x) v(t, X) = x j i=1 x i ( n j=1 ) G c(x) G(t, X), x j (7.32) ( )(t, X) (0, + ) Ω v(t, X) = 0, ( )(t, X) [0, + ) Ω. (7.33) u(0, X) = u 0 (X) G(0, X) = v 0 (X), ( )X Ω. (7.34) v t (0, X) = u 1(X) G t (0, X) = v 1(X), ( )X Ω. (7.35) Demonstraţie: Prin verificare. Observaţia 7.4.1 Propoziţia reduce problema (7.28-7.31) cu condiţie nenulǎ pe frontierǎ la problema (7.32-7.35), în care condiţia la frontierǎ (7.33) este zero: v(t, X) = 0, ( )(t, X) [0, + ) Ω. De aceea, vom studia existenţa şi unicitatea soluţiei Problemei Cauchy- Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ cu condiţia la frontierǎ nulǎ.

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 257 Vom considera în continuare Probleme Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ de urmǎtoarea formǎ: 2 u n t 2 i=1 x i ( n j=1 ) a ij (X) u + c(x) u(t, X)=f(t, X), X j (t, X) (0,+ ) Ω (7.36) u(t, X) = 0, ( )(t, X) [0, + ) Ω. (7.37) u(0, X) = u 0 (X), ( )x Ω. (7.38) u t (0, X) = u 1(X), ( )X Ω. (7.39) în care funcţiile a ij, c, f au proprietǎţile (i), (ii), (iii), (iv) anterior prezentate; funcţia u 0 este de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 în Ω; funcţia u 1 este continuǎ pe Ω şi de clasǎ C 1 în Ω. O soluţie clasicǎ a acestei probleme este o funcţie u : [0, + ) Ω IR 1 care este de clasǎ C 1 pe [0, + ) Ω, şi este de clasǎ C 2 pe (0, + ) Ω şi verificǎ: ( 2 u n n ) t a 2 ij (X) u + c(x) u(t, X)=f(t, X); (t, X) (0,+ ) Ω x i x j i=1 j=1 u(t, X) = 0, ( )(t, X) [0, + ) Ω. u(0, X) = u 0 (X), ( )X Ω. u t (0, X) = u 1(X), ( )X Ω. Considerând operatorul diferenţial A definit pe spaţiul de funcţii D = {w w : Ω IR 1 ; w C(Ω) C 2 (Ω), w Ω = 0}

258 CAPITOLUL 7 cu formula Aw = n i=1 x i ( n j=1 ) a ij (X) w + c(x) w(x) x j ecuaţia hiperbolicǎ poate fi scrisǎ sub forma: 2 u + A u(t, X) = f(t, X), ( )(t, X) (0, + ) Ω. t2 Teorema 7.4.1 Dacǎ funcţia u : [0, + ) Ω IR 1 este soluţie clasicǎ a problemei (7.36-7.39), atunci funcţia U definitǎ prin: are urmǎtoarele proprietǎţi: U(t)(X) = u(t, X) i) U : [0, + ) L 2 (Ω) este de clasǎ C 1 pe [0, + ). ii) U : [0, + ) H 1 0 este funcţie continuǎ; iii) U(0) = u 0 şi U (0) = u 1. Demonstraţie: i) Arǎtǎm la început cǎ funcţia U : [0, + ] L 2 (Ω) este derivabilǎ în orice t 0 [0, + ). Pentru aceasta, considerǎm t 0 [0, + ) şi apoi raportul 1 t t 0 [U(t) U(t 0 )] L 2 (Ω) şi arǎtǎm cǎ acest raport tinde la u t (t 0, x) L 2 (Ω) în norma L 2 (Ω) atunci când t t 0. Aceasta înseamnǎ cǎ trebuie sǎ arǎtǎm egalitatea: lim 1 [U(t) U(t 0 )](X) u t t 0 t (t 2 0, X) dx = 0. t t 0 Ω Folosind teorema creşterilor finite a lui Lagrange scriem: 1 [U(t) U(t 0 )] (X) = 1 [u(t, X) u(t 0, X)] = u (t(x), X) t t 0 t t 0 t

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 259 cu t(x) t 0 < t t 0. Prin urmare are loc egalitatea: 1 [U(t) U(t 0 )] (X) u t t 0 t (t 0, X) cu t(x) t 0 < t t 0. 2 = u u (t(x), X) t t (t 0, X) Funcţia (t, X) u (t, X) este continuǎ pe [0, + ) Ω şi deci este uniform continuǎ pe o mulţime de forma [t 0 η, t 0 + η] Ω (η > 0) şi prin t urmare: ( )ε > 0, ( )δ(ε) a.î. ( )(t, X ), (t, X ) [t 0 η, t 0 + η] Ω cu t t < δ şi X X < δ avem u t (t, X ) u (t, X ) ε t < Ω. unde Ω este mǎsura domeniului Ω. Rezultǎ de aici cǎ, dacǎ t t 0 < δ(ε), atunci are loc inegalitatea: 1 [U(t) U(t 0 )](X) u t t 0 t (t 2 0, X) dx < ε. Ω În acest fel, egalitatea lim 1 t t 0 [U(t) U(t 0 )](X) Ω u t t 0 t (t 0, X) 2 dx = 0 a fost demonstratǎ. Va trebui în continuare sǎ arǎtǎm cǎ funcţia U : [0, + ) L 2 (Ω) este continuǎ. Aceasta revine la a demonstra egalitatea: lim U (t) U (t 0 ) L t t 2 (Ω) = 0. 0 Pentru aceasta, vom folosi egalitatea 2 U (t) U (t 0 ) L 2 (Ω) = u u (t, X) t t (t 0, X) dx Ω 2

260 CAPITOLUL 7 şi faptul cǎ funcţia u este continuǎ pe [0, + ) Ω. Din continuitatea t funcţiei u rezultǎ cǎ aceasta este uniform continuǎ pe o mulţime de forma t [t 0 η, t 0 + η] Ω, (y > 0) şi prin urmare: ( )ε > 0, ( )δ(ε) a.î.( )(t, X ), (t, X ) [t 0 η, t 0 + η] Ω dacǎ t t < δ şi X X < δ atunci u t (t, X ) u (t, X ) ε t < Ω. Rezultǎ de aici cǎ, dacǎ t t 0 < δ(ε) avem: U (t ) U (t 0 ) < ε. ii) Sǎ arǎtǎm cǎ U ca funcţie cu valori în spaţiul: { } H0 1 = u L 2 (Ω) u ( ) L 2 (Ω) şi u Ω = 0 x i este continuǎ. Faptul cǎ, pentru orice t [0, + ) funcţia U(t) aparţine spaţiului H0 1 rezultǎ din proprietǎţile soluţiei u(t, X) = U(t)(X). Trebuie doar sǎ evaluǎm norma U(t) U(t 0 ) H 1 0 şi sǎ arǎtǎm cǎ aceasta tinde la zero dacǎ t t 0. Avem: n U(t) U(t 0 ) 2 = U(t) U(t H0 1 0 ) 2 L 2 (Ω) + U(t) U(t 0) 2 x i x i = = + Ω n i=1 = + Ω i=1 u(t, X) u(t 0, X) 2 dx+ Ω u (t, X) u (t 0, X) x i x i u (t(x), X) t n i=1 Ω 2 2 t t 0 2 dx+ dx = 2 2 u (t i (X), X) t x i t t 0 2 dx L 2 (Ω)

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 261 cu t(x) t 0 t t 0 şi t i (X) t 0 t t 0. Funcţiile u t şi 2 u sunt continue şi prin urmare mǎrginite pe compacte t x i de forma [t 0 η, t 0 + η] Ω. Rezultǎ de aici cǎ, existǎ o constantǎ pozitivǎ K 2 > 0 astfel ca U(t) U(t 0 ) 2 H K 2 t t 0 1 0 2, de unde se obţine continuitatea funcţiei U : [0, + ) H0. 1 iii) Egalitǎţile: U(0) = u 0 şi U (0) = u 1 sunt imediate. Considerǎm în continuare spaţiul de funcţii S definit prin: S = C([0, + ); H 1 0 ) C1 ([0, + ); L 2 ). Teorema precedentǎ aratǎ cǎ, dacǎ u = u(t, X) este o soluţie clasicǎ a problemei (7.36-7.39), atunci funcţia U definitǎ prin U(t)(X) = u(t, X) aparţine spaţiului de funcţii S şi verificǎ U(0) = u 0, U (0) = u 1. Fie T > 0 şi subspaţiul de funcţii S T definit prin: S T = {V S V (T) = 0} Teorema 7.4.2 Dacǎ funcţia u = u(t, X) este o soluţie clasicǎ a problemei (7.36-7.39), atunci funcţia U definitǎ prin U(t)(X) = u(t, X) aparţine spaţiului de funcţii S, verificǎ U(0) = u 0, U (0) = u 1 şi pentru orice T > 0 şi orice funcţie V S T are loc egalitatea: T < U (t), V (t) > L 2 (Ω) dt < u 1, V (0) > L 2 (Ω) + 0 T T < U(t), V (t) > A dt = < F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt. (7.40) 0 0 Demonstraţie: Apartenenţa funcţiei U la spaţiul S a fost demonstratǎ. S-a arǎtat de asemenea cǎ U(0) = u 0 şi U (0) = u 1. Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm cǎ

262 CAPITOLUL 7 pentru orice T > 0 şi orice V S T are loc egalitatea (7.40). În acest scop, fie T > 0 şi V S T. Scriind egalitatea (7.36) sub forma: d 2 U(t) (X) + A U(t)(X) = F(t)(X) dt 2 (unde F(t)(X) = f(t, X)), înmulţind aceastǎ egalitate cu funcţia V (t)(x) şi integrând pe Ω obţinem: < d2 U dt 2, V > L 2 (Ω) + < U(t), V (t) > A =< F(t), V (t) > L 2 (Ω). Integrǎm acum aceastǎ egalitate în raport cu t pe segmentul [0, T], ţinem seama de V (T) = 0 şi obţinem: < U (t), V (t) > L 2 (Ω) T T 0 0 T < U (t), V (t) > L 2 (Ω) dt+ 0 < U(t), V (t) > A dt = adicǎ: = T 0 < F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt T < U (0), V (0) > L 2 (Ω) 0 T < U (t), V (t) > L 2 (Ω) dt+ 0 < U(t), V (t) > A dt = = ceea ce este echivalent cu: T 0 < F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt T < u 1, V (0) > L 2 (Ω) 0 < U (t), V (t) > L 2 (Ω) dt + T 0 < U(t), V (t) > A = = T 0 < F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 263 Definiţia 7.4.3 O funcţie U S se numeşte soluţie generalizatǎ a problemei (7.36-7.39) dacǎ U(0) = u 0, U (0) = u 1 şi pentru ( )T > 0, ( )V S T verificǎ: T < u 1, V (0) > L 2 (Ω) 0 < U (t), V (t) > L 2 (Ω) dt+ T + 0 < U(t), V (t) > A dt = T 0 < F(t), V (t) > L 2 (Ω) dt (7.41) Observaţia 7.4.2 O soluţie clasicǎ u(t, X) a problemei (7.36-7.39) defineşte o soluţie generalizatǎ a acestei probleme. Teorema 7.4.3 Dacǎ funcţia U S este soluţie generalizatǎ a problemei (7.36-7.39) şi funcţia u : [0, + ) Ω IR 1 definitǎ prin u(t, X) = U(t, X) este de clasǎ C 2 pentru t > 0 şi X Ω, atunci funcţia u = u(t, X) este soluţie clasicǎ a problemei (7.36-7.39). Demonstraţie: Egalitatea (7.37): u(t, X) = 0, ( )t 0 şi ( )x Ω rezultǎ din apartenenţa U(t) H 1 0. Egalitatea (7.38): u(0, X) = u 0(0), ( )X Ω rezultǎ din U(0) = u 0. Egalitatea (7.39): u t (0, X) = u 1(X), ( )X Ω rezultǎ din U (0) = u 1. Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm egalitatea (7.36) adicǎ: 2 u + A u(t, X) = f(t, X). t2 Pentru a deduce aceastǎ egalitate pornim de la egalitatea (7.41) pe care o scriem sub forma: T 0 ( Ω ) u t (t, X) V (t)(x)dx dt Ω u 1 (X) V (0)(X)dX+

264 CAPITOLUL 7 T ( ) T ( ) + A u(t, X) V (t)(x)dx dt = f(t, X) V (t)(x)dx dt. 0 Ω Ω 0 Itervertind ordinea de integrare şi fǎcând o integrare prin pǎrţi în raport cu t în prima integralǎ, obţinem: T Ω 0 [ ] 2 u + A u(t, X) f(t, X) V (t)(x)dt dx = 0 t2 pentru orice V S T (am ţinut seama de faptul cǎ V (T) = 0). Rezultǎ de aici cǎ: 2 u + A u(t, X) = f(t, X), ( )t > 0, ( )X Ω. t2 Observaţia 7.4.3 Aceastǎ teoremǎ aratǎ cǎ dacǎ o soluţie generalizatǎ este suficient de netedǎ atunci ea este soluţie clasicǎ. Teorema 7.4.4 (de unicitate a soluţiei generalizate) Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o soluţie generalizatǎ. Demonstraţie: Presupunem prin absurd cǎ problema (7.36)-(7.39) admite soluţiile generalizate U 1 (t) şi U 2 (t) şi considerǎm funcţia U(t) = U 1 (t) U 2 (t). Pentru orice T > 0 şi orice V S T funcţiile U şi V verificǎ: T < U (t), V (t) > L 2 (Ω) dt + T < U(t), V (t) > A dt = 0 0 Funcţia V definitǎ prin V (t) = şi are urmǎtoarele proprietǎţi: T t 0 U(τ)dτ aparţine spaţiilor de funcţii S şi S T V (t) = U(t) şi V (t) = U (t). Înlocuind acestea în relaţia de mai sus rezultǎ cǎ: T 0 T < V (t), V (t) > L 2 (Ω) dt < V (t), V (t) > A dt = 0. 0

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 265 Deoarece şi < V (t), V (t) > L 2 (Ω)= 1 2 d dt V (t) 2 L 2 (Ω) < V (t), V (t) > A = 1 2 d dt V (t) 2 A egalitatea precedentǎ implicǎ egalitatea: V (T) 2 L 2 (Ω) V (0) 2 L 2 (Ω) V (T) 2 A + V (0) 2 A = 0. Ţinem seamǎ acum de egalitǎţile V (T) = 0, V (0) = U(0) = 0 şi deducem cǎ: V (T) 2 L 2 (Ω) + V (T) 2 A = 0, din care rezultǎ V (T) = 0 şi V (0) = 0. Întrucât T > 0 este oarecare rezultǎ V (T) = U(T) = 0. Prin urmare U 1 (T) = U 2 (T), ( )T 0. Astfel, rezultǎ cele douǎ soluţii generalizate coincid. Consecinţa 7.4.1 Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o soluţie clasicǎ. Teorema 7.4.5 (de existenţǎ a soluţiei generalizate) Dacǎ funcţia F definitǎ prin F(T)(X) = f(t, X) este continuǎ ca funcţie cu valori în L 2 (Ω) şi dacǎ u 0 H 1 0, u 1 L 2 (Ω), atunci problema (7.36)-(7.39) are o soluţie generalizatǎ. Demonstraţie: Facem demonstraţia în douǎ etape. În prima etapǎ deducem o formulǎ de reprezentare a soluţiei generalizate în ipoteza cǎ aceastǎ soluţie existǎ. În a doua etapǎ arǎtǎm cǎ formula de reprezentare gǎsitǎ în prima etapǎ, în condiţiile teoremei, defineşte o funcţie care este o soluţie generalizatǎ. Etapa I. Presupunem cǎ U = U(t) este o soluţie generalizatǎ a problemei (7.36)-(7.39) şi considerǎm şirul valorilor proprii 0 < λ 1 λ 2 λ 3 λ k ai prelungirii Friedrichs à a operatorului A, şi apoi şirul ortonormat de funcţii proprii (ω k ) k IN corespunzǎtor, care este complet în spaţiul L 2 (Ω). Considerǎm funcţiile u k (t) =< U(t), ω k > L 2 (Ω)

266 CAPITOLUL 7 şi reprezentarea U(t) = u k (t) ω k k=1 a funcţiei U(t). Pentru cǎ U C 1 ([0, + ); L 2 (Ω)) funcţiile u k (t) sunt derivabile şi au derivatǎ continuǎ, iar U (t) se reprezintǎ astfel: U (t) = u k (t) ω k. k=1 În virtutea acestei formule de reprezentare, egalitatea (7.41) pe care o satisface soluţia generalizatǎ U devine: T + 0 T 0 + k=1 + k=1 u k (t) < V (t), ω k > L 2 (Ω) dt λ k u k (t) < V (t), ω k > L 2 (Ω) dt = + k=1 T 0 u k (0) < V (0), ω k > L 2 (Ω) + + k=1 f k (t) < V (t), ω k > L 2 (Ω) dt. Fie acum j un numǎr natural oarecare fixat şi funcţia V j S T definitǎ prin: V j (t) = (T t) ω j. În egalitatea precedentǎ înlocuim V cu V j, ţinem seama de egalitǎţile şi obţinem: T T < u 1, ω j > L 2 (Ω) + < ω k, ω j > L 2 (Ω)= δ kj ; V (t) = ω j, V (0) = T ω j u j(t)dt + λ j T (T t) f j (t)dt = T (T t)f j (t)dt 0 pentru j = 1, 2,... Derivând de douǎ ori în raport cu T rezultǎ: u j(t) + λ j u j (T) = f j (T), ( )T > 0 u j (0) =< u 1, ω j > L 2 (Ω) u j (0) =< u 0, ω j > L 2 (Ω), j = 1, 2,... 0 0 (7.42)

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 267 Problema cu datele iniţiale (7.42) are o singurǎ soluţie şi aceasta este datǎ de: u j (t) =< u 0, ω j > L 2 (Ω) cos λ j t + 1 λj < u 1, ω j > L 2 (Ω) sin λ j t + + 1 T λj 0 f j (τ) sin λ j (t τ)dτ, ( )t 0, j = 1, 2,... (7.43) Astfel rezultǎ cǎ soluţia generalizatǎ U are urmǎtoarea reprezentare: [ + U(t) = < u 0, ω j > L 2 (Ω) cos λ j t + 1 < u 1, ω j > L 2 (Ω) sin ] λ j t ω j + λj j=1 + + j=1 1 λj T 0 f j (τ) sin λ j (t τ)dτ ω j. Etapa II Arǎtǎm acum cǎ, în condiţiile din teoremǎ formula (7.44) defineşte o funcţie U care aparţine spaţiului S şi verificǎ (7.41) pentru T > 0. Convergenţele (7.44) + j=1 < u 0, ω j > L 2 2 < + şi + j=1 < u 1, ω j > L 2 2 < + implicǎ convergenţa uniformǎ în raport cu t [0, + ) în spaţiul L 2 (Ω) a seriei de funcţii: [ + < u 0, ω > L 2 (Ω) cos λ j t + 1 < u 1, ω j > L 2 sin ] λ j t ω j λj j=1 şi faptul cǎ suma seriei este funcţie continuǎ de t cu valori în L 2 (Ω). Inegalitǎţile: 1 T f j (τ) sin 2 λ j (t τ)dτ λj T T fj 2 (τ)dτ, λ 1 0 0

268 CAPITOLUL 7 ( )t [0, T], j = 1, 2,... precum şi convergenţa seriei de funcţii continue şi pozitive + fj 2 j=1 (τ) la funcţia continuǎ F(τ) 2 L 2 (Ω) implicǎ convergenţa uniformǎ în raport cu t [0, T] (( )T > 0 şi T < + ) în L 2 (Ω) a seriei de funcţii: + j=1 1 λi t 0 f j (τ) sin λ j (t τ)dτ ω j şi faptul cǎ suma seriei este funcţie continuǎ de t cu valori în L 2 (Ω). Rezultǎ cǎ, în condiţiile din teoremǎ formula (7.44) defineşte o funcţie U C([0, + ); L 2 (Ω)). Pentru a demonstra apartenenţa U C 1 ([0, + ); L 2 (Ω)) se considerǎ seria derivatelor: + j=1 [ λ j < u 0, ω > L 2 (Ω) sin λ j t+ < u 1, ω j > L 2 (Ω) cos ] λ j t ω j + + j=1 T 0 f j (τ) cos( λ j ) (t τ)dτ ω j şi se aratǎ cǎ aceasta converge uniform în raport cu t [0, T](T > 0 şi T < + ) în spaţiul L 2 (Ω). Trecem sǎ examinǎm convergenţa seriei derivatelor care este de fapt o sumǎ de trei serii. Prima dintre acestea este seria + j=1 λ j < u 0, ω j > L 2 (Ω) sin λ j t ω j şi este uniform convergentǎ în raport cu t [0, + ) dacǎ seria numericǎ: + λ j < u 0, ω j > L 2 (Ω) 2 este convergentǎ. Aceasta din urmǎ, poate fi j=1

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 269 scrisǎ sub forma: + j=1 λ j < u 0, ω j > L 2 (Ω) 2 = = = + j=1 + j=1 + j=1 1 λ j λ 2 j < u 0, ω j > L 2 (Ω) 2 = 1 λ j < u 0, ω j > A 2 = < u ω 2 j 0, > A λj şi prin urmare este convergentǎ pentru cǎ u 0 H0. 1 Urmǎtoarea serie a cǎrei convergenţǎ trebuie examinatǎ este seria + < u 1, ω j > L 2 (Ω) cos λ j t ω j. j=1 Aceastǎ serie este uniform convergentǎ în raport cu t [0, + ) dacǎ seria numericǎ + j=1 < u 1, ω j > L 2 (Ω) 2 este convergentǎ, ceea ce este adevǎrat pentru cǎ u 1 L 2 (Ω). Ceea de a treia serie care trebuie examinatǎ este seria: + j=1 T 0 f j (τ) cos λ j (t τ)dτ ω j. Aceasta este uniform convergentǎ în raport cu t (0, T] (T > 0 T < + ) dacǎ seria numericǎ: + T f j (τ) cos λ j (t τ)dτ j=1 0 şi este uniform convergentǎ în raport cu t [0, T]. Datoritǎ majorǎrii: + j=1 T 0 f j (τ) cos λ j (t τ)dτ 2 + T T j=1 0 f 2 j (τ)dτ

270 CAPITOLUL 7 problema se reduce la convergenţa uniformǎ pe [0,T] a seriei + T fj 2 j=1 0 uniformǎ a seriei (τ)dτ. Aceastǎ din urmǎ convergenţǎ se obţine din convergenţa + j=1 f 2 j (τ)dτ pe [0,T], care rezultǎ pe baza teoeremei lui Dini din continuitatea şi pozitivitatea funcţiilor fj 2 (τ), continuitatea funcţiei F(τ) 2 şi egalitatea + j=1 f 2 j (τ) = F(τ) 2, ( )τ [0, T]. În acest fel, se obţine cǎ formula (7.44) defineşte o funcţie U C 1 ([0, + ); L 2 (Ω)). Urmeazǎ sǎ arǎtǎm aparteneţa U C([0, + ); H 1 0). Convergenţa uniformǎ în raport cu t [0, + ) a seriei + j=1 < u 0, ω j > L 2 (Ω) cos λ j t ω j în H0 1 poate fi asiguratǎ prin convergenţa uniformǎ în raport cu t [0, + ) a seriei: + λj < u 0, ω j > L 2 (Ω) cos ω j λ j t în H0. 1 λj j=1 Convergenţa acestei serii rezultǎ din convergenţa seriei numerice + j=1 λ j < u 0, ω j > L 2 (Ω) 2, convergenţǎ ce este asiguratǎ de ipoteza u 0 H 1 0. Convergenţa uniformǎ în raport cu t [0, + ) a seriei de funcţii + j=1 1 λj < u 1, ω j > L 2 (Ω) sin λ j t ω j + în spaţiul H0 1 este asiguratǎ de convergenţa seriei < u 1, ω j > 2 L 2 (Ω), convergenţǎ care rezultǎ din apartenenţa u 1 L 2 (Ω). j=1

Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice 271 În fine, convergenţa uniformǎ în raport cu t [0, T] (T > 0 şi T < + ) a seriei de funcţii: + 1 T f j (τ) sin λ j (t τ)dτ ω j λj j=1 în spaţiul H0 1 este asiguratǎ dacǎ seria + j=1 0 T 0 f j (τ) sin λ j (t τ)dτ converge uniform pe [0,T]. Aceasta din urmǎ convergenţǎ a fost deja demonstratǎ. Am obţinut în acest fel apartenenţa U C([0, + ); H 1 0 ). Derivând acum în raport cu t funcţia U datǎ de (7.44) ca funcţie cu valori în L 2 (Ω), ţinând seama de relaţiile (7.42) se obţine cǎ funcţia U datǎ de (7.44) este soluţie generalizatǎ a problemei (7.36)-(7.39).

272 CAPITOLUL 7 Exerciţii: Determinaţi soluţia generalizatǎ pentru fiecare din Problemele Cauchy-Dirichlet de tip hiperbolic: 2 u t = 2 u 2 x 2, (x, t) (0, l) (0, + ) 1. 2. 3. u(0, t) = u(l, t) = 0, t 0 u(x, 0) = sin 4π l x, x [0, l] u (x, 0) = 0, x [0, l] t 2 u t = 2 u t sin x, 2 x2 R: u(x, t) = cos 4π l t sin 4π l x u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0 u(x, 0) = 4 sinxcos x, x [0, π] (x, t) (0, π) (0, + ) u (x, 0) = 2 sin3x, x [0, π] t R: u(x, t) = (sin t t) sin x + 2 cos2t sin 2x+ 2 u t = u 2 4 2 x 2, u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0 + 2 sin 3t sin 3x 3 u(x, 0) = 2 sinx, x [0, π] u t (x, t) (0, π) (0, + ) (x, 0) = sin x + sin 2x, x [0, π] R: u(x, t) = (2 cos2t + 12 ) sin 2t sin x + 1 sin 4t sin 2x 4

Calculul simbolic şi numeric pentru ecuaţii hiperbolice 273 7.5 Calculul simbolic şi numeric al soluţiei Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice Deoarece pentru calculul simbolic al soluţiei unei probleme Cauchy-Dirichlet funcţia pdsolve nu afişeazǎ nimic, vom trece la rezolvarea numericǎ folosind funcţia pdsolve specificǎ calculului numeric, a cǎrei sintaxǎ a fost prezentatǎ într-unul din paragrafele anterioare. Pentru exemplificare considerǎm urmǎtoarele probleme Cauchy-Dirichlet de tip hiperbolic: Exemplul 1: 2 u t (x, t) = 2 u 2 x2(x, t) u(0, t) = u(1, t) = 0 u(x, 0) = x 2 x Wave equation u (x, 0) = 0 t > PDE1 :=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x); PDE1 := 2 t 2 u (x, t) = 2 x 2 u (x, t) > IBC1 := {u(0,t)=0, u(1,t)=0,u(x,0)=x^2-x, D[2](u)(x,0)=0}; IBC1 := {u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, u (x, 0) = x 2 x, D 2 (u)(x, 0) = 0} > pds1 := pdsolve(pde1,ibc1,numeric); pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate, value, settings; option Copyright (c) 2001 by Waterloo Maple Inc. All rights reserved. ; end module > p1 := pds1:-plot(t=0):

274 CAPITOLUL 7 p2 := pds1:-plot(t=1/10): p3 := pds1:-plot(t=1/2): p4 := pds1:-plot(t=1): p5 := pds1:-plot(t=2): plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5}, title= Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2 ); Figura 36 > pds1:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed); Figura 37

Calculul simbolic şi numeric pentru ecuaţii hiperbolice 275 Exemplul 2: 2 u t (x, t) = 2 u 2 x2(x, t) t sinx u(0, t) = u(π, t) = 0 Wave equation u(x, 0) = 4 sinx cosx u (x, 0) = 2 sin3x t > PDE2 :=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x)-t*sin(x); PDE2 := 2 t 2 u (x, t) = 2 x 2 u (x, t) t sin (x) > IBC2 :={u(0,t)=0,u(pi,t)=0,u(x,0)=4*(sin(x))*(cos(x)), D[2](u)(x,0)=2*sin(3*x)}; IBC2 := {u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, u(x, 0) = 4 sin(x) cos(x), D 2 (u)(x, 0) = 2 sin(3 x)} > pds2 := pdsolve(pde2,ibc2,numeric); pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate, value, settings; option Copyright (c) 2001 by Waterloo Maple Inc. All rights reserved. ; end module > p6 := pds2:-plot(t=0): p7 := pds2:-plot(t=1/10): p8 := pds2:-plot(t=1/2): p9 := pds2:-plot(t=1): p10 := pds2:-plot(t=2): plots[display]({p6,p7,p8,p9,p10}, title= Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2 );

276 CAPITOLUL 7 Figura 38 > pds2:-plot3d(t=0..1,x=0..pi/2,axes=boxed); Figura 39