= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες και 3 λ) ιαβάστε προσεκτικά και απαντήστε αιτιολογηµένα στα παρακάτω 5 Θέµατα V z z 3 {( ) R + } και ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3 W z z 3 {( ) R + + } υποχώρους του R 3 ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του V ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του W ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση για την τοµή W V Ισχύουν οι σχέσεις W+V R 3 W V R 3 ; β) (µ) Θεωρούµε το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο στον R 4 και U sp{( ) ()} υπόχωρο του R 4 ) Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του U ) Βρείτε µια ορθοκανονική βάση του U ) Να βρεθεί η ορθή προβολή του τυχόντος διανύσµατος w ( 3 4 ) του R 4 στον U ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ) Η εξίσωση + z ισοδυναµεί µε + z οπότε το τυχόν διάνυσµα του V γράφεται ( + z z) ( ) + ( z z) ( ) + z() Συνεπώς µία βάση του V είναι το Β {( ) ( )} καθώς από την τελευταία σχέση έχουµε άµεσα την γραµµική ανεξαρτησία του Β Η διάσταση είναι ) Παρόµοια µία βάση του W είναι το σύνολο {( -) (-)} και η διάσταση του W είναι 3 ) Για την τοµή: W V {( z) R + z και + + z } Μία βάση βρίσκεται από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα συντελεστών του γραµµικού οµογενούς συστήµατος που ορίζει τα 4 στοιχεία της τοµής: και είναι {( 4-3 ) } Η διάσταση 3 3 είναι Επειδή dm (W +V)dm W +dmv- dm (W V)+-3 W +V R 3 επειδή όµως W V {} δεν είναι ευθύ το άθροισµα β) ) α διανύσµατα που παράγουν τον U u ( ) u ( ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα καθώς ( ) + ( ) ( ) ( + + ) () Συνεπώς µια βάση του U είναι το σύνολο { u u } ) Στην βάση { u u } εφαρµόζουµε τη µέθοδο Grm-Shmdt (τυπολόγιο) και βρίσκουµε µία ορθογώνια βάση ως εξής (χρησιµοποιούµε ότι u u και ) u u 4 : u v v u ( ) v u v ( ) ( ) και διαιρώντας µε τα µέτρα 4 v v v ( ) () έχουµε µία ορθοκανονική βάση του U : Β{ } v v ) Για την ορθή προβολή u του w ( 3 4) στον U έχουµε: < w > ( + 3 4) s s s < w > ( + + 3+ 4) s οπότε u s + s ( ) + () s + s s + s s + s s + s ( 3 4 3 4) + + + +

Θέµα α) (µ) Θεωρούµε τον γραµµικό µετασχηµατισµό f ( z) ( + z + + z + ) του R 3 ) Γράψτε τον πίνακα αναπαράστασης Α του f ως προς την συνήθη βάση του R 3 ) Βρείτε βάση και διάσταση για τον πυρήνα Kerf και την εικόνα Imf ) Βρείτε την τιµή της ορίζουσας του πίνακα Α v) Ισχύει ότι R 3 Kerf Imf ; / β) (µ) ίνεται ο πίνακας Α / ) Βρείτε διαγώνιο πίνακα και αντιστρέψιµο πίνακα Ρ ώστε Α Ρ Ρ ) Βρείτε τον Α για κάθε φυσικό αριθµό ) Ποιά είναι τα όρια των ακολουθιών των στοιχείων του πίνακα Α καθώς ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) / 3 A Βρίσκουµε την ΑΚΜ: A 3 / 3 / 3 3 Από την ΑΚΜ του Α έχουµε: Aφού για τις λύσεις του συστήµατος ΑΧ έχουµε Χ ( - z/3 z /3 z) z ( - 3) /3 µία βάση για τον πυρήνα Kerf είναι το µονοσύνολο { (- 3)} και dm Kerf Aφού τα οδηγά στοιχεία στην ΑΚΜ του Α βρίσκονται στην η και η στήλη µία βάση για την εικόνα Imf : είναι { ( ) (- ) } και dm Imf Καθώς ο πυρήνας είναι µη µηδενικός η ορίζουσα του Α είναι µηδέν Γνωρίζουµε (και άµεσα επαληθεύουµε) ότι dmr 3 dm Kerf + dm Imf Καθώς ο πυρήνας είναι µονοδιάστατος για να ισχύει ότι R 3 Kerf Imf πρέπει και αρκεί το στοιχείο της παραπάνω βάσης του πυρήνα (- 3) να µην ανήκει στην Imf Από την ΑΚΜ του πίνακα µε δύο πρώτες στήλες τις συντεταγµένες των στοιχείων της βάσης της εικόνας και τρίτη στήλη τις συντεταγµένες του στοιχείου της βάσης του πυρήνα 3 5 3 5 συµπεραίνουµε ότι η παραπάνω βάση του πυρήνα 3 3 5 περιέχεται στην εικόνα Συνεπώς ο πυρήνας είναι υπόχωρος της εικόνας και ο R 3 δεν γράφεται ως ευθύ άθροισµα του πυρήνα και της εικόνας της f β) / ) Για τον πίνακα A το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι: / / λ det (/ λ )( λ ) / λ λ / / ( λ )( λ+ / ) µε ρίζες (ιδιοτιµές του Α): -/ / λ / / Για λ : A Ι βάση ιδιοχώρου / / Για την ιδιοτιµή λ -/: A+Ι/ (ήδη σε ΑΚΜ) βάση ιδιοχώρου / / Για τις δυνάµεις Α καθώς A P P µε P P 3 / ( / ) A P P ( / ) 3 3 ( / ) + ( / ) ( / ) που όταν θεωρήσουµε τα όρια των στοιχείων καθώς τείνει στο άπειρο 3 ( / ) + ( / ) τείνει στον πίνακα 3 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

Θέµα 3 3α) (8µ) Υπολογίστε τα όρια των επόµενων ακολουθιών (ενδεχοµένως µε χρήση κανόνα Hôptl για το όριο της αντίστοιχης πραγµατικής συνάρτησης): () + 3 + () + () + + l (v) d + 3β) (µ) Εξετάστε τη σύγκλιση των παρακάτω σειρών (για κάθε τιµή του πραγµατικού σε περίπτωση δυναµοσειράς): () ΑΠΑΝΤΗΣΗ + 5 () + () (v) + + + + 3α) () 3 3 + 3 3 + + e e + + e + () Ακολουθία θετικών όρων + + + + < άρα η είναι µηδενική ( + ) ( + ) + () + + + + l (v) d Επειδή + + l lm + + l + + + ( + ) ( + ) άρα και lm d από τον κανόνα Hôptl έχουµε: 3β) () + 5 Με κριτήριο λόγου ( + ) 5 5 + + + ( + ) έχουµε ότι η σειρά 5 5 5 συγκλίνει για < δηλαδή < 5 και αποκλίνει για >5 Αρα συγκλίνει για όλα τα στο ανοικτό διάστηµα 5 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

(-55) και αποκλίνει για όλα τα στα διαστήµατα (- 5) και (5 + ) Εξετάζουµε στα άκρα του διαστήµατος [-5 5]: αν 5 τότε η σειρά γίνεται + και αποκλίνει (απειρίζεται θετικά) και αν 5 τότε η σειρά γίνεται + και αποκλίνει (ταλαντώνεται ) Τελικό συµπέρασµα: συγκλίνει για στο διάστηµα (-55) και αποκλίνει παντού αλλού () + εναλλάσσουσα σειρά Η ακολουθία είναι φθίνουσα αφού < < + < < + < + Αρα εφαρµόζοντας το κριτήριο etz η σειρά συγκλίνει Επιπλέον () έχουµε είναι σειρά θετικών όρων Ο γενικός όρος + + 5/ 5/ + + 3/ + + 3/ 5/ + + συγκρίνεται µε τον 3/ : + + Αρα από κριτήριο σύγκρισης αφού η σειρά συγκλίνει ως p-σειρά µε p> η αρχική σειρά συγκλίνει 3/ (v) + + + + : η σειρά συγκλίνει ως γεωµετρική µε λόγο ½ Η σειρά αποκλίνει (αρµονική ή p-σειρά µε p) Άρα η αρχική αποκλίνει ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

Θέµα 4 5 6 4α) (µ) ίνεται η συνάρτηση f 6 5 )Υπολογίστε τις παραγώγους ης και ης τάξης της f και βρείτε τα διαστήµατα όπου διατηρούν πρόσηµο ) Βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η f : είναι αύξουσα είναι φθίνουσα στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ) Βρείτε όλα τα σηµεία: µηδενισµού ακροτάτων τιµών (τοπικών ολικών) καµπής της f v) Βρείτε τα όρια lm f lm + f και το σύνολο τιµών της f v) είξτε ότι η εξίσωση f ( ) έχει ακριβώς µία (πραγµατική) λύση στο διάστηµα [ ] 3 (Σηµείωση: δεν ζητείται εύρεση της λύσης αυτής) 4β) (8µ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα ) ) π s( ) d για κάθε φυσικό + e d ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4α) 5 6 4 5 3 4 ) Υπολογίζουµε τις παραγώγους της f 6 5 : f 3 3 f 5 και παραγοντοποιούµε για να προσδιορίσουµε σηµεία µηδενισµού και πρόσηµα: 5 4 3 f (6 5 ) f 3 ( ) f 3 (4 5 ) Σχηµατίζουµε τον παρακάτω πίνακα προσήµων: 4/5 6/5 + + + + 5 + + + + + 4 + + + + + + 3 + + + + + 65 + + + + 45 + + f + + + f + f σκ από τον οποίο συµπεραίνουµε ότι: + σκ + f() τµ + ) η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (- ] είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [ +) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστηµα [ 4/5] και στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήµατα (- ] και [4/5 +) ) η f µηδενίζεται στα σηµεία και 6/5 παίρνει ολικό (και τοπικό) µέγιστο την τιµή στο και παρουσιάζει σηµεία καµπής για και 4/5 6 6 v) lm f lm ( 5) ( +)( 5) Παρόµοια lm + f lm + ( 5) ( +)( 5) Από τα όρια αυτά την συνέχεια της f της παραπάνω µονοτονίας και του ολικού µεγίστου συµπεραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της f είναι το διάστηµα (- ] 6 6 v) Στο διάστηµα [] η f ως γνησίως αύξουσα είναι - Αρα αν υπάρχει λύση της εξίσωσης αυτή θα είναι µοναδική Επιπλέον f() και f() οπότε λόγω συνεχείας και καθώς < /3 < υπάρχει στο ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

διάστηµα () όπου η f παίρνει την τιµή /3 Ετσι συµπεραίνουµε ότι η εξίσωση f ( ) έχει 3 5 µοναδική λύση µεταξύ και -5 5 5-5 - 4β) ) os os os os s d d d + os d os s + Αρα για το ζητούµενο ορισµένο ολοκλήρωµα χουµε π os s π os( π ) s( π ) π s d + + () ) Το αόριστο ολοκλήρωµα υπολογίζεται ως εξής: Οπότε π e d µε την αντικατάσταση για [ ) u du u u + e d e e du e + C e + C + e d lm lm lm + e d + e + e e ( lm e ) + ( ) u du d ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

Θέµα 5 5α) (6µ) ύο µηχανές Α Β παράγουν τα ίδια προϊόντα Οι παραγόµενες ποσότητες προϊόντων είναι ίσες για τις δύο µηχανές Είναι όµως γνωστό από προηγούµενη πείρα ότι το % της παράγωγής της Α είναι ελαττωµατικά προϊόντα ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για την Β είναι 5% Αν πάρουµε ένα προϊόν µε τυχαίο τρόπο να βρεθεί η πιθανότητα: ) να είναι ελαττωµατικό ) να προέρχεται από την Α αν γνωρίζουµε ότι είναι ελαττωµατικό 5β) (4 µονάδες) Ο χρόνος ζωής σε έτη µιας µηχανής ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή έτη και τυπική απόκλιση έτη ) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι µεταξύ 8 ετών και ετών ; ) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι τουλάχιστον 5 έτη ; ) Ποιά είναι η τιµή q ώστε το γεγονός «η διάρκεια ζωής µιας µηχανής υπερβαίνει την τιµή q» έχει πιθανότητα ίση προς 9 ; v) Ποιά είναι η πιθανότητα από 4 µηχανές οι το πολύ να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη; (Σηµείωση: δεν απαιτείται να υπολογίσετε το τελικό αριθµητικό αποτέλεσµα) ίνονται: Φ() 843 Φ(5) 9938 Φ(8) 9 5α) Συµβολισµός: E το ενδεχόµενο ένα προϊόν να είναι ελαττωµατικό A το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Α B το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Β Έχουµε P( A ) 5 P( B ) 5 και υπολογίζουµε: ) Εχουµε την διαµέριση E ( E A) ( E B) οπότε P( E) P( E A) + P( E B) P( E A) P( A) + P( E B) P( B) 5 + 5 5 35 ) Για να βρούµε την πιθανότητα P( A E ) εφαρµόζουµε τον τύπο του Bes και έχουµε: P( E A) P( A) () (5) P( A E) P( E) 35 35 5β) Σύµφωνα µε την εκφώνηση ο χρόνος ζωής σε έτη της µηχανής είναι µια τυχαία µεταβλητή X η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ και σ Συνεπώς η τυποποιηµένη X τυχαία µεταβλητή Z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή N () : ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι µεταξύ 8 έτη και έτη είναι 8 X P(8 X ) P P( Z ) Φ() Φ( ) Φ() [ Φ ()] Φ() 843 686 686 ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι τουλάχιστον 5 έτη είναι X 5 P( X 5) P P( Z 5) P( Z < 5) [ P( Z < 5)] P( Z < 5) Φ (5) 9938 ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να υπερβεί τα q έτη είναι X q q q q P( X q) P P Z P Z > > > Φ q q Θέλουµε P( X > q) 9 δηλαδή Φ 9 Φ το οποίο ισοδύναµα δίνει q q q Φ 9 Φ Φ(8) 8 q+ 56 q 744 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

v) Εστω Y ο αριθµός των µηχανών (από τις 4) οι οποίες θα έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη Τότε η τυχαία µεταβλητή Y ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε 4 δοκιµές (συσκευές) πιθανότητα επιτυχίας (να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη) p P( X 5) 9938 (ερώτηµα ) και πιθανότητα αποτυχίας q p ηλαδή Y ~ B( p) B(49938) Έτσι για 3 4 4 4 4 4 P( Y ) p q p ( p) Η πιθανότητα να έχουµε το πολύ επιτυχίες σε 4 δοκιµές ισούται προς 4 4 4 4 4 4 P( Y ) P( Y ) P( Y ) P( Y ) p ( p) p ( p) + + + + p ( p) ---------ΤΕΛΟΣ--------- ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ο ανάστροφος πίνακας ενός m πίνακα A [ j ] σηµειώνεται µε A [ j ] (δηλαδή οι γραµµές γίνονται στήλες και αντίστροφα) Ιδιότητες: ( A ) A ( A+ B) A + B ( λ A) λ A λ R ( AB) B A Ένας m πίνακας A [ j ] ονοµάζεται συµµετρικός όταν ισχύει j δηλ A A j Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα A [ j ] (όταν υπάρχει) συµβολίζεται µε ισχύει AA AA I Ιδιότητες: Αν Α Β αντιστρέψιµοι πίνακες A A A A A και ( AB) B A ( A ) ( A ) Z Ανάπτυγµα ple της ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα A [ j ] ως προς την γραµµή ή την j στήλη: det( A) A A A j j M M M όπου A ( ) + j M και j j M η ελάσσων ορίζουσα του j j-στοιχείου Ιδιότητες ορίζουσας ενός πίνακα A : det( A ) det( A) det( λ A) λ det( A) λ R det( AB) det( A)det( B) det det Z \{} A [ A ] A αντιστρέψιµος det( A) τότε A dj( A) det( A) όπου dj( A) ο ανάστροφος του πίνακα µε στοιχεία τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του A Ένα µη κενό υποσύνολο U του πραγµατικού διανυσµατικού χώρου V είναι υπόχωρος του δχ V αν και µόνο αν λ R και u u U ισχύει u + λ u U Τα διανύσµατα v v K v είναι γραµµικά ανεξάρτητα όταν λ v +λ v + +λ v λ λ λ Ένα σύνολο { v v K v } του δχ V είναι µία βάση του V αν και µόνο αν I τα διανύσµατα v v K v είναι γραµµικά ανεξάρτητα IΙ Ο δχ Vπαράγεται από τα v v K v και τότε η διάσταση του V είναι dmv Αν Β{ u u K u } (διατεταγµένη) βάση του V και V τότε u µε µοναδικά R Η στήλη [ ] λέγεται στήλη συντεταγµένων του ως προς την B και συµβολίζεται µε [ ] B Έστω Vένας πεπερασµένης διάστασης δχ και U W υπόχωροι του V Τότε ισχύει: dm( U + W ) dmu + dmw dm( U W ) Για το ευθύ άθροισµα των υποχώρων U W V του δχ Vισχύει V U W ( V U + W και U W { } ) ( V U+ W και dmv dmu + dmw ) Εσωτερικό γινόµενο Ένα εσωτερικό γινόµενο στον R είναι µία συνάρτηση που σε κάθε ζεύγος ( ) R R αντιστοιχεί ένα πραγµατικό αριθµό o µε τις ιδιότητες: ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 Ι ( + λ ) o z ( o z) + λ( o z ) z R λ R ΙΙ o o R και o ΙΙΙ o o µέτρο του διανύσµατος ορίζεται από τον τύπο o Η γωνία ω [ π ] των R \{ } ορίζεται από τον τύπο: osω o Τα διανύσµατα R λέγονται κάθετα (ή ορθογώνια) αν και µόνο αν o Για το εσωτερικό γινόµενο και το µέτρο των διανυσµάτων R ισχύουν οι ιδιότητες: Ι o + + ΙΙ + + ΙIΙ λ λ λ R IV o (Cuh-Shwrz) Προβολή p διανύσµατος στη διεύθυνση του είναι o p Το ορθογώνιο συµπλήρωµα ενός υπόχωρου E R είναι ο υπόχωρος { : E} E R Επιπλέον E E R ( E ) E Μία βάση u u K u R ονοµάζεται ορθοκανονική αν και µόνο αν τα διανύσµατα είναι ανά δύο κάθετα και µοναδιαία (δηλ u o u j για j και u ) Αν ξ ξ K ξ είναι βάση του διανύσµατα η ξ και R τα ξ o η ξ o η ξ o η η ξ η η η j j j j j j j η o η η o η η jo η j για j 3 K είναι κάθετα µεταξύ τους τα δε διανύσµατα η u η η u η η K u η αποτελούν ορθοκανονική βάση του R Ο πραγµατικός πίνακας A µε την ιδιότητα A A A A I ή ισοδύναµα A Αν Α ορθογώνιος τότε ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο ισχύουν: I Οι στήλες του (και οι γραµµές του) αποτελούν A ονοµάζεται ορθογώνιος ορθοκανονική βάση του R II det A III A IV Ao A o V Αντίστροφος ορθογωνίου και γινόµενο ορθογώνιων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας Γραµµικές απεικονίσεις (µετασχηµατισµοί) Μία απεικόνιση f : U V ( U V πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι) ονοµάζεται γραµµική όταν f ( + λ ) f + λ f ( ) U και λ R (Αν U Vλέγεται και γραµ µετασχηµατισµός του U ) Το σύνολο er f { U : f } U ονοµάζεται πυρήνας της f και είναι υπόχωρος του U Το σύνολο Im f { V : f U } V λέγεται εικόνα της f και είναι υπόχωρος του V Η f : U V λέγεται ένα-προς-ένα (-) αν U f f Η f : U V λέγεται επί αν f ( U ) V Για τη γραµµική απεικόνιση f : U V ισχύουν: Ι dmu dm er f + dm Im f ΙΙ Η f είναι - αν και µόνο αν er f { } ΙΙΙ Αν Β { u u K u } διατεταγµένη βάση του Uκαι Β { v v K v m } διατεταγµένη βάση του V από τις ισότητες f ( u ) v + v + + v m m f ( u ) v + v + + v M m m f ( u ) v + v + + v m m ορίζεται ο m πίνακας αναπαράστασης της f A M M M m m m f ( ) για κάθε U και A[ ] [ ] B B Αν για τους διανυσµατικούς χώρους ισχύει dmu dmv τότε για τη γραµµική απεικόνιση f : U V οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες Ι f αντιστρέψιµη (υπάρχει η II f είναι - III er f { } f ) IV f είναι επί Ιδιοτιµές Ιδιοδιανύσµατα πίνακα Για έναν πίνακα A οι ιδιοτιµές λτου πίνακα είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου λ λ p( λ) det M M M λ λ + λ + + λ+ Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος τότε οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία του Για κάθε ιδιοτιµή λ K τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη-µηδενικές λύσεις [ K ] του οµογενούς συστήµατος ( λ ) + + + + ( λ ) + + M + + + ( λ ) Για τις ιδιοτιµές του A ισχύουν: det A λ λ λ και tra λ + λ + + λ όπου οι αντίστοιχοι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p( λ ) Αν λ ιδιοτιµή και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα του A τότε λ είναι ιδιοποσά του A Οι ιδιοτιµές πραγµατικού συµµετρικού πίνακα είναι αριθµοί πραγµατικοί τα δε ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα Ο πίνακας A λέγεται διαγωνοποιήσιµος όταν είναι όµοιος µε διαγώνιο πίνακα D δηλ όταν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε A PDP Ο διαγώνιος πίνακας D έχει διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιµές του A και ο P είναι πίνακας µε στήλες αντίστοιχα ιδιο- διανύσµατα που αποτελούν βάση του R Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται όταν: Για κάθε ιδιοτιµή αλγεβρικής πολλαπλότητας υπάρχουν ακριβώς γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα ή αλλιώς η γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την αλγεβρική της πολλαπλότητα (και αντιστρόφως) Εχει διακεκριµένες ιδιοτιµές Είναι συµµετρικός πραγµατικός ότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Q τέτοιος ώστε

A Q dg( λ λ K λ ) Q Αν f ( λ ) είναι πολυώνυµο τότε ( λ λ λ ) f ( A) P f ( D) P Pdg f f K f P Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A ισχύει p( A) A + A + + A+ I O Αν υ( λ ) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου f ( λ ) δια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p( λ ) τότε f ( A) υ( A) Τετραγωνικές µορφές Το πολυώνυµο των πραγµατικών µεταβλητών K της µορφής F A όπου [ ] K και A συµµετρικός πίνακας ονοµάζεται τετραγωνική µορφή Αν A Qdg( λ λ K λ ) Q τότε η F( ) µετασχηµατίζεται στη διαγώνια µορφή F( ) λ + λ + + λ όπου [ K ] Αν λ λ λ > ( < ) Q K η F λέγεται θετικά (αρνητικά) ορισµένη αν λ λ K λ ( ) λέγεται θετικά (αρνητικά) ηµιορισµένη ενώ σε κάθε άλλο συνδυασµό προσήµων των λ ονοµάζεται αόριστη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A R f : A R ή f A Γραφική παράσταση συνάρτησης f C σηµείο M ( ) τουεπ / δου : f f { } Συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο A f ( ) < f ( ) A µε < Συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο A f ( ) > f ( ) A µε < Άνω φραγµένη συνάρτηση f : A R Υπάρχει αριθµός s (άνω φράγµα της f ) µε την ιδιότητα: f s A (Ανάλογα ορίζεται η κάτω φραγµένη) Φραγµένη λέγεται η συνάρτηση αν είναι άνω και κάτω φραγµένη - συνάρτηση f : A R Για οποιαδήποτε f ( ) f ( ) A αν τότε ισοδύναµα: αν f ( ) f ( ) τότε Σύνθεση της f : A R µε την g : B R ( go f ) g( f ) A για τα οποία f B Αντίστροφη συνάρτηση µιας - συνάρτησης f είναι η f : f ( A) A που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο f ( A) στο µοναδικό για το οποίο ισχύει f δηλ f f Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Όριο συνάρτησης στο - Πλευρικά όρια lm f ( ) l lm f lm f l + Κριτήριο παρεµβολής: Αν g f h κοντά στο και lm h lm g l τότε lm f l Η ιδιότητα αυτή ισχύει και στην περίπτωση που + s lm Συνέχεια os lm ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 Η συνάρτηση f : A Rείναι συνεχής στο A αν lm f f ( ) Παράγωγος συνάρτησης ( A ( ) R) Η συνάρτηση f : A Rείναι παραγωγίσιµη στο σηµείο A αν υπάρχει το όριο lm f f f ( ) R Η εφαπτοµένη ευθεία της C στο σηµείο f ( f ( )) είναι f f ( ) Αν f είναι παραγωγίσιµη τότε f συνεχής Αν f δεν είναι συνεχής τότε f δεν είναι παραγωγίσιµη Ιδιότητες παραγώγων: Αν f g παραγωγίσιµες f f R ( f ± g ) ( f ) ± ( g ) f g f g + f g f f g f g g ( ) g g Aν επιπλέον f και f αντιστρέψιµη τότε η αντίστροφη f είναι παραγωγίσιµη και ( f ) f Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης f ( g) είναι ( f ( g) ) df ( g) df ( g) dg d dg d Παράγωγοι συνήθων συναρτήσεων ( )' R ( )' R ( s ) ' os ( t ) ' os ' s os ( )' e e ( )' l l ' > ( rs ) ' ( rt ) ' + Κανόνας l Hosptl Πρώτη διατύπωση: Αν f g και f g υπάρχουν και g τότε f f f lm lm g g g εύτερη διατύπωση : Αν f ( ) g( ) µε f g διαφορίσιµες στο ( ) g εκτός πιθανώς του ( ) τότε f f lm lm g g και Ο κανόνας ξαναχρησιµοποιείται αν ισχύουν οι ίδιες συνθήκες και για τις παραγώγους των f g( ) ± Οι απροσδιόριστες µορφές m µπορούν να µετατραπούν ως εξής / / f g : g f ± : fg / f / g / g/ f : f g / fg Οι απροσδιόριστες µορφές µετατρέπονται µε βάση τη σχέση lm ( l ) lm f g g f ( ) e > + f g e g f l Εφαρµογές των παραγώγων στην σχεδίαση της γραφικής παράστασης C της f : A R Από πρώτη παράγωγο Αν f > I A τότε η f γνησίως αύξουσα Αν f < I A τότε η f γνησίως φθίνουσα Αν f για κάποιο Aκαι υπάρχει ε> : f > ε < < και f < < < +ε τότε το είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Ανάλογα για σηµείο τοπ ελαχίστου Από δεύτερη παράγωγο Αν f > I A τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο διάστηµα Ι Αν f < I A τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα Ι Αν υπάρχει ε> µε f > για ε < < και f < για < < +ε (ή αντίστροφα) τότε το είναι σηµείο καµπής α) Αν f και f > τότε το είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου β) Αν f και f < τότε το είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Ασύµπτωτες Κάθετη ασύµπτωτη η ευθεία R αν lm f ± ή lm f ± Οριζόντια ασύµπτωτη η ευθεία R αν lm f ή lm f Πλάγια ασύµπτωτη της C στο ± η ευθεία f + αν ( f ) f lm ± f lm lm( f ) ± ± R και R Σηµαντικά θεωρήµατα Έστω συνάρτηση f : [ ] R Bolzo: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f f < τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε f ( ) Ενδιάµεσης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f f τότε για κάθε αριθµό ρ µεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε f ( ) ρ Μέγιστης - ελάχιστης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] τότε η f είναι φραγµένη στο [ ] Επιπλέον υπάρχουν [ ] έτσι ώστε f ( ) f f [ ] Θεώρηµα µέσης τιµής (ΘΜΤ): Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] και παραγωγίσιµη στο ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) f f τέτοιο ώστε : f ( ξ) Rolle: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( ) και f f τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) τέτοιο ώστε : f ( ξ ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) και f ( ) τότε f Cuh: Αν οι f g( ) είναι ορισµένες και συνεχείς στο [ ] διαφορίσιµες στο ( ) και g ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον f f f ένα ( ) : g g g Drou: Αν f παραγωγίσιµη στο [ ] µε f > f και R µε f < < f τότε υπάρχει ξ ( ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) (παρόµοια αν f < f )

Εφαρµογή του ΘΜΤ για την προσέγγιση ρίζας Αν η εξίσωση f έχει ρίζα µε f παραγωγίσιµη στο [ h + h] f ' < m< [ h h] αυθαίρετο [ h h] και + τότε για + η ακολουθία f ( ) συγκλίνει στη ρίζα Ορισµένο ολοκλήρωµα Κάθε συνεχής f είναι ολοκληρώσιµη f d f d f d f d+ f d + + f d f d f g d f d g d f g f d g d ΘΜΤ: f συνεχής τότε για κάποιο ξ [ ] f d f ( ξ)( ) Αόριστο ολοκλήρωµα ή αντιπαράγωγος (παράγουσα) F + f d F + f Ιδιότητες df f + ( + ) + f h d f d h d Μεθοδολογίες Ολοκλήρωσης Αντικατάσταση g( t) f ( g( t)) g '( t) dt f d Παραγoντική Ολοκλήρωση f g d f g f g d Πίνακας Ολοκληρωµάτων d + + d + R { } + d l + os d s + s d os + d t + r t + + d s + rs + e d e + f d l f + f Θεµελιώδη θεωρήµατα Ολοκληρωτικού Λογισµού Ι Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [ ] και F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωµα της f τότε f d F F ΙΙ Αν η f είναι συνεχής στο διάστηµα [ ] df d τότε f ( t) dt f d d Γενικευµένα Ολοκληρώµατα + (α είδους) lm f d f d + ή lm f d f d (β είδους) lm + ε ( ιδιόµορφο σηµείο) f d f d ε + ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 lm + f d f d e + e ( ιδιόµορφο σηµείο) (γ είδους) συνδυασµός α β είδους e lm + lm + + + f d f d f d e e + e µε < < ( ιδιόµορφα σηµεία) + lm + lm f d f d f d + e lm + lm + f d f d f d ( ιδιόµορφο σηµείο) + e lm + lm + + f d f d f d e + e ( ιδιόµορφο σηµείο) + Εσωτερικό ιδιόµορφο σηµείο ( ) e lm + lm + + f d f d f d e e + e η πρωτεύουσα τιµή του Cuh e f d lm f d f d + e + + e ( ιδιόµορφο σηµείο) Ο µετασχηµατισµός ple µίας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f : [ +) R είναι + t { f ( t)} e f ( t) dt για κάθε τιµή του για την οποία το παραπάνω γενικευµένο ολοκλήρωµα συγκλίνει Εφαρµογές Ολοκληρωµάτων E f d f S + f d E f + f d o π Vo π f d E f f d Vo π f f d ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Ακολουθία είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθµών Συµβολισµός: Πρόοδοι Αριθµητική: + +ω α + ω [ + ω] Άθροισµα όρων απ: S Γεωµετρική: + λ ή λ λ Άθροισµα πρώτων όρων γπ: S λ λ Γεωµετρικός µέσος: Αν είναι 3 διαδοχικοί όροι γπ τότε Σηµαντικά όρια ακολουθιών Το R παραµένει σταθερό καθώς το (στους τύπους που υπάρχει ) lm lm lm < l lm lm! lm > lm + e lm! Φραγµένες ακολουθίες άνω φραγµένη: υπάρχει M R: M N κάτω φραγµένη : υπάρχει m R: m N Φραγµένη: συγχρόνως άνω και κάτω φραγµένη δηλ υπάρχουν m M R : m M N Μια ακολουθία απολύτως φραγµένη είναι φραγµένη και αντιστρόφως Μία φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ ανάγκη Μονότονες ακολουθίες Μία ακολουθία Nονοµάζεται αύξουσα αν ισχύει + N φθίνουσα αν ισχύει + N µονότονη αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα Μονότονες και φραγµένες ακολουθίες- Σύγκλιση Μία µονότονη ακολουθία δε συγκλίνει κατ ανάγκη Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα στο R Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη Αν lmβ και β Nτότε lm Αν lm + / λ < τότε lm Ειδικές Κατηγορίες Σειρών α) Γεωµετρικές Σειρές: r αν r < : συγκλίνει Άθροισµα: r αν r : απειρίζεται θετικά αν r : κυµαίνεται το όριό της δεν υπάρχει β) p-σειρές: ς( p ) p αν p> : συγκλίνει αν p : αποκλίνει γ) Τηλεσκοπικές : + Συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lm Άθροισµα: lm δ) Εναλλάσσουσες Σειρές: ( ) < για όλα τα > ή ε) Αναπτύγµατα lor: Αν η συνάρτηση f και οι πρώτες τις παράγωγοι συνεχείς στο [ ] και αν η διαφορίσιµη στο ( ) () () f f f είναι τότε για ( ) f είναι ξ ισχύει () () f f f f + ( ) + ( ) +!! f + ( ) + R! ( + ) f ( ξ) + R είναι το υπόλοιπο ( + )! όπου της πολυωνυµικής προσέγγισης -βαθµού Όταν τότε το ανάπτυγµα ονοµάζεται και ανάπτυγµα Mlur Συνήθεις σειρές lor ( ) για R e + + + + +!! 3 5 + s + + ( ) + 3! 5! (+ )! 4 os + + ( ) +! 4!!

και για -< < 3 + l( + ) + + ( ) + 3 + 3 5 + rt + + ( ) + 3 5 + ε) Σειρές Fourer: Έστω f :[ ] Rπου επεκτείνεται περιοδικά Η σειρά Fourer της f δίνεται από π π f ~ ( os + s ) όπου f d π f os d K π f s d K Κριτήρια σύγκλισης σειρών Ι Αν lm τότε η σειρά δεν συγκλίνει ΙΙ α) Αν οι σειρές συγκλίνουν τότε για κάθε λ R συγκλίνει ( + λ ) + λ β) Αν συγκλίνει και δεν συγκλίνει τότε ( + ) δεν συγκλίνει ΙIΙ Αν η σειρά συγκλίνει τότε η συγκλίνει Το αντίστροφο δεν ισχύει ΙV (Απλό κριτήριο σύγκρισης) Έστω αν συγκλίνει τότε συγκλίνει αν δεν συγκλίνει τότε δεν συγκλίνει V (Γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης) Έστω < lm > Τότε οι σειρές και είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα VI (Κριτήριο λόγου - d Alemert) Έστω για και lm + λ Τότε: αν λ< τότε η αν λ> τότε η συγκλίνει δεν συγκλίνει αν λ τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε VIΙ (Κριτήριο ρίζας - Cuh) Έστω > και lm λ αν λ< τότε η αν λ> τότε η συγκλίνει δεν συγκλίνει αν λ τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε VIIΙ (Κριτήριο etz) Έστω ( ) Αν η ακολουθία ( ) είναι θετική φθίνουσα και lm τότε η σειρά συγκλίνει IX (Κριτήριο ολοκληρώµατος) Αν η ολοκληρώσιµη συνάρτηση f :[ +) R είναι θετική και + I f d φθίνουσα τότε και S f συγχρόνως συγκλίνουν ή αποκλίνουν και αν συγκλίνουν ισχύει: I < S< I+ f () ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ! Συνδυασµοί : Cr r r! ( r)! P( A B) εσµευµένη Πιθανότητα P ( A / B) P( B) Ανεξάρτητα ενδεχόµενα: ( A B) ( A) ( B) Αν A Aj P P P j και A A A Ω Ολική Πιθανότητα: P( B ) P( A )P( B / A ) + + P( A )P( B / A ) P( A )P( B / A ) Τύπος Bes: P( A / B) P( B) Τυχαία µεταβλητή (τµ) είναι µια συνάρτηση X µε πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών Η µέση τιµή µίας τµ συµβολίζεται µε E( X ) ή µε µ X και δίνεται από: E( X ) f για τις διακριτές τµ και από: E( X ) f d για τις συνεχείς τµ όπου f ( ) η συνάρτηση πιθανότητας (σπ) (περίπτωση διακριτής τµ) ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) (περίπτωση συνεχούς τµ) H διασπορά για τις διακριτές τµ δίνεται από: vr( X ) E ( X µ ) ( µ ) f και για τις συνεχείς τµ από: vr( X ) E ( X µ ) ( µ ) f d Ισχύει: vr( X ) E X ( E[ X] ) Η τυπική απόκλιση µιας τµ Χ συµβολίζεται µε σ και είναι η (θετική) τετραγωνική ρίζα της X διασποράς της Χ δηλαδή: σ vr( X ) Έστω X τµ (διακριτή ή συνεχής) Εάν ορίσω άλλη τυχαία µεταβλητή Y X + τότε ισχύει: E( Y ) E( X + ) E( X ) + Vr Y Vr X Vr X Κατανοµές τυχαίων µεταβλητών ιωνυµική: B( p) : f p ( p) ( + ) E( X ) p Vr( X ) p( p) Posso λ λ P λ : f e! E( X ) λ Vr( X ) λ Γεωµετρική: p p G( p) : f αλλιώς E( X ) / p Vr( X ) ( p) / p Αρνητική διωνυµική: ν ν f p ( p) ν ν + ν E( X ) ν / p Υπεργεωµετρική: Vr( X ) ν ( p) / p X N N f N m( N ) N+ N N N E( X ) N Οµοιόµορφη: U ( ) N N N N N N Vr( X ) f αλλού E( X ) ( + ) / Vr X ( ) / Κανονική ( ) < < E( X ) µ Εκθετική E( X ) / N µ σ : Vr( X ) σ f e σ π e E : f αλλού Vr( X ) / µ σ Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Αν X X X ανεξάρτητες µε E( X ) µ Vr( X ) σ τότε X ~ N ( µ σ ) 3 ( X µ ) ~ Ν () ή σ Χρήσιµες ταυτότητες και σχέσεις: ( + ) + + + + + r r r ( ± ) ± + ( ± ) ± 3 + 3 ± 3 3 3 + 3 3 ± ( ± )( m + ) 3 ( )( + + + 3 + + + ) 3 ( + ) + > 3 Βασικοί τριγωνοµετρικοί τύποι ( R ) s s( ) os os( ) s s + os t os s( ± ) s os ± s os os( ± ) os os m s s t t ± t ± m t t ( ) s s os t + t t os os s os t + t t t t + θ os θ ± m s ± s s os + os + os os os + os os s s s() os( π / ) os() s( π / ) s( π / 6) os( π / 3) / π π π π 3 s os s os 4 4 3 6 C z + R Σύνολο µιγαδικών { } Συζυγής: z z Αντίστροφος: z z z Μέτρο µιγαδικού αριθµού: r z + και r z z z Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού z r (osθ+ s θ ) όπου θ πρωτεύον όρισµα Θεώρηµα De Movre ( os( θ) s( θ) ) θ z r e r + ακέραιος Οι διακεκριµένες ρίζες της εξίσωσης z N (που λέγονται και -οστές ρίζες του z ) δίνονται από τον τύπο θ+ π θ+ π z r os + s K