ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία, απόδειξη σχολικό σελίδα 36 Α Θεωρία, ορισμός σχολικό σελίδα 73 Α3 Θεωρία, ορισμός σχολικό σελίδα 4 Α4 α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β uyi u 3 3( u u) i 5 yi 3 3yi 5 3 yi 6y 5 ( 3) y 6y 5 ( 3) y 6y 9 4 ( 3) ( y 3) 4 Άρα πράγματι ο γεωμετρικός τόπος των u είναι ο κύκλος C κέντρου K (3,3) και ακτίνας, με u33i Β Από την υπόθεση για τους z ισχύει z 3 3i z i z ( w 3 3 i) ( z 3 3 i) i z ( w 3 3 i) ( z 3 3 i) z33i z z z i z w 3 3i z 3 3 i ( ) w 3 3i i w 3 3i w 3 3i Άρα πράγματι οι εικόνες των w βρίσκονται στον κύκλο C κέντρου K (3,3) και ακτίνας, με καρτεσιανή εξίσωση ( 3) ( y 3) Β3 Για τους z ισχύει: zyi z 3 3i z yi 3 3i yi 3 ( y 3) i yi ( 3) ( y 3) y y y y y 6 9 6 9 3,
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 άρα λοιπόν οι εικόνες των z βρίσκονται σε ευθεία, ενώ οι εικόνες των w βρίσκονται επί του C 333 3 z w d( K, ) min Όμως ( ) z w z w, άρα η δεδομένη εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού με min πραγματικούς συντελεστές, άρα αρκεί: z w z w z w ( ) 4 ( ) ( ), το οποίο και δείξαμε προηγουμένως Β4 Από Β ισχύει : 4 u 3 3i u 3 3i 4 ( u 3 3 i)( u 3 3 i) 4 u 3 3i u33i 5 5 4 5 5 ( u 33 i ) ( 3 3 ) ( 3 3 ) u 3 3i u i u i 5 5 5 ( 3 3 ) ( 3 3 ) Im(( 3 3 ) ) u i u i u i i, ο οποίος είναι φανταστικός Β5 Οι p ικανοποιούν μία εξίσωση μεσοκαθέτου με άκρα τις εικόνες των
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 5 5 4 ( u33 i) και, οποίοι από Β4 είναι συζυγείς μεταξύ τους, u33i συνεπώς οι εικόνες τους είναι συμμετρικές ως προς τον πραγματικό άξονα, άρα οι εικόνες των p βρίσκονται επί του πραγματικού άξονα, άρα είναι πραγματικοί ΘΕΜΑ Γ Γ D,, Η συνεχής και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα του D ως πηλίκο παραγωγίσιμων με ' ln ' ln () Θεωρώ τη συνάρτηση g ln, με, Η g συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις στο, με g ' ln ln ln Έχουμε g ' ln ln ln ln Άρα - - g' + _ g g οπότε ισχύει : g, για ΜΕΓΙΣΤΟ Από την () συμπεραίνουμε ότι : ', για D Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα του D και δεν έχει ακρότατα
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Γ Γ 3 Η είναι συνεχής στα, και, άρα κατακόρυφες ασύμπτωτες θα αναζητήσουμε μόνο στις θέσεις μείον δύο και μηδέν ln lim lim Άρα η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της lim ln ln lim ln ln lim lim Άρα η είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C ln lim lim lim DLH Άρα η y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C C Έτσι το,, ενώ,, Γ 4 ln δεν αληθεύει για, διότι δίνει ln Η εξίσωση : 5 Άρα για έχουμε: ln ln 5,, και το, 5 5 5 5 Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα, 5,, και το, 5 Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα 5 Άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες, Ακόμη
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Γ 5 Να δείξετε ότι για κάθε, με ισχύει : ln ln ln ln ln ln ln ln a που ισχύει Γ 6 Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει : Θεωρώ τη συνάρτηση ln, με, συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο,, με ' απ' όπου έχουμε ότι: υπάρχει ένα τουλάχιστον, ln ln ln ' Άρα ισχύει το ΘΜ Τ τέτοιο ώστε : ln, () όμως ln ln ln Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση Η ΘΕΜΑ Δ ( ) ( ( ) ) F t dt, η οποία ορίζεται στο ( t) είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών, άρα η / ( ( t) ) dt ( ) παραγωγίσιμη στο, με στο, άρα η F γνησίως αύξουσα στο ( ( ) ) t dt είναι
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ( ( ) ) ln( ( ) ) ( ( ) ) ln( ( ) ) ( ) ( ) ( ( t) ) dt ( ( t) ) dt ( ( t) ) dt ( ( ) ) ln( ( ) ) ( ) ( ( t) ) dt ( ( t) ) dt F(( ( ) ) ln( ( ) )) F( ( )) ( ( ) ) ln( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ln( ( ) ) ( ) (3) Θεωρούμε τη συνάρτηση r( ) ( )ln( ),, με r( ) ln( ), r ( ) + r ( ) ΟΕ r() Άρα η (3) γίνεται ( ( )) () ( ) ( ) r r, για κάθε Θέτοντας u t du dt και t - u τo oλοκλήρωμα γίνεται u u u u ( ) ( u) du ( ) ( u) du Η u u ( ) ( u) συνεχής ως πράξεις συνεχών, άρα η παραγωγίσιμη Θέτοντας u t du dt και t u το ολοκλήρωμα γίνεται t ( t) dt = t u u ( t) dt ( u) du ( u) du u Η ( u ) συνεχής ως πράξεις συνεχών, άρα η Η σχέση () γίνεται : u u ( ) ( u) du u ( u) du παραγωγίσιμη u u u u u u ( ) ( u) du ( u) du ( ) ( u) du ( u) du
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 / / u u u u ( ) ( u) du ( u) du ( ) ( ) ( u) du ( ) (4) u u ( ) ( ) ( u) du ( ) ( ) ( u) du Η παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων, άρα παραγωγίζοντας την, έχουμε ( ) u ( ) ( ) ( u) du ( ) ( ) (ln ( ) ) ( ) ( ) ln ( ) c, c Η (4) για χ= γίνεται ln () c ln c c Άρα ln ( ) Όμως συνεχής στο u () ( u) du Άρα για χ= έχουμε, για κάθε και δε μηδενίζεται σε αυτό άρα διατηρεί πρόσημο Επειδή (), συμπεραίνουμε ότι ( ), για κάθε Άρα ln ( ) ( ), για κάθε *ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το ερώτημα θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί και χωρίς χρήση της δεδομένης ανισότητας ως εξής : c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ( ) c Για, Άρα Άρα c c c Δ Η ( ) και συνεχής στο [,], άρα d E Θέτοντας u du d u To ολοκλήρωμα γίνεται:
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 u u u u d u du u du ( ) ( ) Δ3 Θέτοντας u du d και u το ολοκλήρωμα ( ) d γίνεται ( u) du Η ( u ) συνεχής, άρα η ( u) du ( u) du ( u) du παραγωγίσιμη, ως διαφορά των παραγωγίσιμων ( u) du, ( u) du, συνεπώς και συνεχής στο Επιπλέον ( ), άρα η στο Επειδή ( ) ( ) ( ) ( ) και lim( ( ) ( )) () (), ισχύει Άρα λοιπόν ισχύει: ή lim ( ) ( ) lim lim lim DLH ( ) ( ) ( u) du ( u) du ( u) du Θέτοντας u du d και u + το ολοκλήρωμα ( ) d γίνεται ( u) du Θέτοντας u du d και u το ολοκλήρωμα ( ) d γίνεται ( u) du
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη παραγωγίσιμων F( ) ( t) dt, Η ( u ) συνεχής, άρα η F ( u) du ( u) du ( u) du, ως διαφορά των Παραγωγίζοντας την F έχουμε ( u) du, ( u) du, συνεπώς και συνεχής στο F( ) ( u) du ( u) du ( ) ( ) διότι : ( ) ( ) ( ) ( ) Όμως F( ) F( ) F( ) F( ) και F ή lim F( ) F( ) F() F( ) /, Άρα lim ( u) du ( u) du Η συνάρτηση, είναι συνεχής στο [-,], άρα από ΘΜΕΤ παρουσιάζει μία ελάχιστη τιμή m και μία μέγιστη τιμή M, δηλαδή m ( ) M, για κάθε [,] Όμως [,], ά m m, με lim( m ) lim Το όριο λοιπόν ή ή lim( M ) γίνεται: lim ( u) du ( u) du ( u) du Δ4 α) Για, η συνάρτηση G είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,), διότι η g συνεχής στο Από ΘΜΤ υπάρχει [,], ώστε () ( ) ( ) ( ) G G G g( ) G Όμως : g G ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) G( )
ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Για, η συνάρτηση G είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ), διότι η g συνεχής στο Από ΘΜΤ υπάρχει [, ], ώστε ( ) () ( ) ( ) G G G g( ) G Όμως : g G ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) G( ) Για η σχέση ισχύει προφανώς g() G() β) Η Gt () H ( ) dt, παραγωγίσιμη διότι η t Gt () t συνεχής στο (, ), ως G ( ) πηλίκο συνεχών Άρα H( ),, η οποία είναι επίσης παραγωγίσιμη με g( ) G( ) H( ), από α) υποερώτημα Επιπλέον H () και G() H (), άρα η y, είναι η εφαπτομένη της Η στο (,Η()) Λόγω κυρτότητας η C H, βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη εκτός του σημείου επαφής Άρα H( ) H( ), και lim( H ( ) ) H (), άρα H ή Το όριο λοιπόν γίνεται: ( ), lim ( ( ) ), *αν ( ) *αν lim lim ( ( ) ) ( ) lim H ( ) Επιμέλεια : Μ ΜΥΛΩΝΑ Χ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΗΣ