a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai este necesar sa ne situam intr-un spatiu an euclidian, ci doar intr-un spatiu an real, in care xam un reper cartezian R = O; ē,, ē n }. Se considera hipercuadrica ana nevida (0.) (Γ) H(X) := t XAX + 2BX + a 00 = 0, a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. t A = A M n (R), A O n, B M,n (R), Fie dreapta d ce trece prin P 0 ( r 0 ), de directie ū 0. Notam cu X 0, U matricea coloana a coordonatelor lui P 0, respectiv ū in raport cu reperul cartezian considerat (respectiv baza reperului). Deci d are ecuatia matriceala X = X 0 + λu, λ R. Intersectia dintre dreapta d si hipercuadrica Γ de ecuatie (0.) este determinata de sistemul de ecuatii λ 2 ( t UAU) + 2λ ( t X 0 AU + BU) + H(X 0 ) = 0, X = X 0 + λu. Vom studia numarul solutiilor acestuia. Sa presupunem ca t UAU 0, deci prima ecuatia a sistemului anterior este o ecuatie de gradul doi. Daca discriminantul ecuatiei λ este strict pozitiv, atunci d intersecteaza Γ in doua puncte distincte. Spunem ca d este secanta hipercuadricei. Daca λ < 0, atunci ecuatia nu are solutii si deci d Γ =. Spunem ca d este exterioara(sau nesecanta) hipercuadricei. Daca λ = 0, atunci dreapta taie hipercuadrica intr-un punct dublu. In acest caz d este tangenta hipercuadricei. Tangente la o hipercuadrica ana. Am obtinut deci ca dreapta d este tangenta hipercuadricei daca si numai daca λ = 0. Calculand discriminantul λ si tinand cont de faptul ca ecuatia dreptei d poate data utilizand orice punct al ei, obtinem ecuatia patratica a tangentelor la o hipercuadrica, de directie xata ū 0: (0.2) ( t XAU + BU ) 2 H(X) ( t UAU ) = 0. Ecuatia (0.2) reprezinta ecuatia unei hipercuadrice degenerate ( = 0), uneori hipercuadrica vida. In cazul unui elipsoid, se obtine un cilindru eliptic cu generatoarele de directie ū. Daca ne intereseaza sa determinam ecuatia patratica a tuturor tangentelor la o hipercuadrica, ce trec printr-un punct xat P 0 (X 0 ), procedam astfel. Fie M(X) un punct arbitrar al unei tangente la Γ ce trece prin P 0, M P 0. Deci exista t 0 astfel incat X = X 0 + tu si U = t (X X 0) verica ecuatia (0.2). Grupand convenabil termenii ecuatiei, obtinem (0.3) G(X, X 0 ) 2 H(X 0 )H(X) = 0. Am notat cu G(X, X 0 ) = t X 0 AX + B(X + X 0 ) + a 00. G se numeste forma ana biliniara simetrica asociata formei patratice ane H (forma polara a lui H).

POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. 2 Se obtine iarasi o hipercuadrica degenerata, eventual vida. In cazul unui elipsoid ecuatia de mai sus reprezinta un con patratic cu varful in P 0. Hiperplanul tangent la hipercuadrica intr-un punct al ei Sa presupunem ca punctul P 0 apartine hipercuadricei H(X 0 ) = 0. Atunci multimea tuturor tangentelor la hipercuadrica in P 0 (X 0 ) Γ este caracterizata de ecuatia matriceala (0.4) G(X, X 0 ) = 0 = t X 0 AX + B(X + X 0 ) + a 00. In cazul in care (0.4) este ecuatia unui hiperplan ( t X 0 A O), el se numeste in P 0. hiperplanul tangent hipercuadricei Observam ca ecuatia acestuia se obtine din ecuatia hipercuadricei prin dedublare in P 0. Vectorul normal acestui hiperplan are matricea coordonatelor t X 0 A + B, adica N(X 0 ) = ( 2 x (X 0)ē + x 2 (X 0)ē 2 + + ) x n (X 0)ē n. Normala la hipercuadrica Γ in P 0 Γ este normala in P 0 la hiperplanul tangent hipercuadricei in P 0. Ecuatia acesteia este X = X 0 + λ N(X 0 ), λ R. Exemple ) Determinati ecuatia planului tangent elipsoidului x2 48 + y2 2 + z2 in P 0 la elipsoid. Planul tangent: xx 0 48 + yy 0 2 + zz 0 3 = 0 24 x + 2 y + Ecuatiile canonice ale normalei: x 2 24 = y 2 = z 0 6 3 = 0 in P 0(2,, 5 2 = 0. 0 6 z = 0. 5 2 ), cat si ecuatiile normalei 2) Determinati punctele de pe elipsoidul x 2 + 4y 2 + z 2 26 = 0, in care normalele la elipsoid sunt paralele cu x dreapta d : = y+2 8 = z. Directia normalei la elipsoid in P 0 (x 0, y 0, z 0 ) este N ( ) = 2 x (X 0), y (X 0), z (X 0) = (x 0, 4y 0, z 0 ). Deci N este coliniar cu vectorul director al dreptei d daca si numai daca x 0 = 4y0 8 = z0 := t. Punand conditia ca P 0 sa apartina elipsoidului, obtinem t =, deci P 0 (, 2, ) sau P 0 (, 2, ). 3) Determinati ecuatiile tangentelor la conica Γ, paralele cu prima bisectoare, unde Γ : 2x 2 4xy + y 2 + 4x 2y 7 = 0. Fie dreapta d : y = x + n, paralela cu prima bisectoare. Determinam n R din conditia ca intersectia dintre d si Γ sa e un punct dublu. d Γ y = x + n 2x 2 4xy + y 2 + 4x 2y 7 = 0 y = x + n, x 2 + 2(n )x n 2 + 2n 7 = 0. Impunem ca discriminantul ecuatiei de gradul 2 in x sa e zero, deci n 2 2n 3 = 0, de unde obtinem n = 3 sau n =.

POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. 3 Deci ecuatiile tangentelor cautate sunt y = x + 3 si y = x. O alta metoda de ( a rezolva ) aceasta problema este folosirea ecuatiei (0.2). 2 2 Inlocuind A =, B = (2 ), 2 t U = ( ), obtinem ecuatia patratica a tangentelor paralele cu prima bisectoare: x 2 + y 2 2xy + 2x 2y 3 = 0 (y x 3)(y x + ) = 0. Directii asimptotice. Sa revenim la ecuatia λ 2 (t UAU ) + 2λ (t X 0 AU + BU ) + H(X 0 ) = 0. In cazul in care t UAU = 0, ecuatia precedenta este o ecuatie de gradul I in λ, deci in acest caz dreapta d poate intersecta hipercuadrica in cel mult un punct: (0.5) 2λ (t X 0 AU + BU ) + H(X 0 ) = 0. Denition 0.. Directia ū 0 se numeste directie asimptotica daca matricea coordonatelor sale verica t UAU = 0. Folosim denumirea de directie si nu de vector deoarece daca ū este directie asimptotica, rezulta imediat ca µū este directie asimptotica, µ R. Putem avea urmatoarele situatii: t X 0 AU + BU 0 d Γ = P }. In acest caz d se numeste secanta de directie asimptotica (este cazul axei de simetrie a unei parabole). t X 0 AU + BU = 0 daca H(X 0 ) 0, atunci Γ d = si d se numeste asimptota. daca H(X 0 ) = 0, atunci (0.5) este identic vericata si deci d Γ. Dreapta d este generatoar e rectilinie pentru hipercuadrica. Pentru a determina directiile asimptotice ale hipercuadricei, rezolvam ecuatia omogena t UAU = 0. Exemplicam pentru cazul conicelor intr-un plan an real. Pentru ū = lī + m j, ecuatia devine a l 2 + 2a 2 lm + a 22 m 2 = 0. Deoarece ū 0, rezulta ca m 0 sau l 0. Presupunem m 0. Impartim ecuatia de mai sus prin m 2 si notam l m = λ. Ecuatia devine a λ 2 + 2a 2 λ + a 22 = 0. Discriminantul acestei ecuatii este δ. Astfel, obtinem: o conica de gen hiperbolic are doua directii asimptotice distincte; o conica de gen parabolic are o singura directie asimptotica; o conica de gen eliptic nu are directii asimptotice. Din cele expuse mai sus deducem ca daca X e matricea coordonatelor unui punct de pe o asimptota, atunci t XAU + BU = 0, unde t UAU = 0. Pentru ū directie asimptotica si AU O, ecuatia t XAU + BU = 0 este ecuatia hiperplanului diametral conjugat lui ū, pe care il numim hiperplan asimptot asociat lui ū pentru hipercuadrica. Deci orice asimptota a unei hipercuadrice este situata intr-un hiperplan asimptot al acesteia.

POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. 4 In plus, din t UAU = 0 rezulta ca vectorul normal hiperplanului asimptot asociat lui ū este normal lui ū, deci o directie asimptotica pentru Γ are proprietatea ca hiperplanul conjugat lui ū fata de Γ este paralel cu ū. Mai observam ca pentru o cuadrica cu centru unic de simetrie, acesta apartine ecarei asimptote. In ceea ce priveste existenta asimptotelor unei conice, exista urmatoarele situatii: pentru o hiperbola exista doua asimptote, ele ind dreptele prin centrul de simetrie C, avand ca directie cele doua directii asimptotice; pentru parabola, observam ca ecuatia t XAU + BU = 0 reprezinta ecuatia diametrului conjugat directiei asimptotice ū. Tinand cont de δ = 0 si 0, se poate arata ca t XAU + BU 0. Deci parabola are o singura directie asimptotica, si anume directia axei de simetrie, dar nu are asimptote; pentru o elipsa nu exista directii asimptotice, deci nici asimptote; in cazul unei drepte duble sau a doua drepte paralele, se demonstreaza ca orice dreapta paralela cu conica este asimptota. In cazul unei hipercuadrice cu centru unic de simetrie C(X 0 ), considerand multimea tuturor asimptotelor hipercuadricei ( care trec prin centrul de simetrie), obtinem ecuatia t (X X 0 )A(X X 0 ) = 0 H(X) = δ. In cazul in care aceasta ecuatie reprezinta o hipercuadrica nevida, ea este un hipercon patratic, numit hiperconul asimptot al hipercuadrice i. In cazul cuadricelor, doar hiperboloizii au con asimptot, iar pentru conice, doar hiperbola are con asimptot, format din reuniunea celor doua asimptote. Exemple ) Revenim la un exemplu de hiperbola dat intr-un curs anterior. Ne propunem sa o aducem la forma canonica si sa determinam toate elementele ce o denesc folosind informatiile din ultimele doua cursuri. Am calculat δ =, = 8, λ =, λ 2 =. Ecuatia canonica a hiperbolei este (Γ) 6xy + 8y 2 2x 26y + = 0. λ (x ) 2 + λ 2 (y ) 2 + δ = 0 (y ) 2 (x ) 2 =. Directiile principale sunt ī = 0 0 (3ī j) U( ) si j = 0 0 (ī + 3 j) U(). Hiperbola are centru unic de simetrie. Coordonatele sale sunt solutiile sistemului Reperul canonic este deci R = C; ī, j }. Axele de coordonate ale acestuia sunt axele de simetrie ale hiperbolei. De exemplu, Cx trece prin C si are directia ī, deci obtinem ecuatia x+ 3 = x 2 gandi Cx ca diametrul conjugat lui j in raport cu Γ: x = 0 si obtinem C(, 2). y = 0 x + 3y 5 = 0. Sau putem x + 3 y = 0. Analog Cy : 3x y + 5 = 0. Determinam apoi directiile asimptotice ale lui Γ. Rezolvam ecuatia ( l m ) ( ) ( ) 0 3 l = 0 2m(4m + 3l) = 0. Deducem l = 0, deci de exemplu ū 3 8 m = ī si m = 3l 4, deci putem alege ū 2 = 4ī 3 j. Asimptotele trec prin C si au ca vectori directori respectiv pe ū, ū 2. Obtinem ecuatiile (a ) y = 2 si (a 2 ) 3x + 4y 5 = 0.

POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. 5 O alta metoda de a scrie ecuatiile asimptotelor este a le gandi ca diametri conjugati respectiv lui ū si ū 2. Astfel (a ) : x = 0 si (a 2) : 4 x 3 y = 0. Cea mai rapida metoda este sa scriem ecuatia conului asimptot al hiperbolei H(X) = δ : 6xy + 8y 2 2x 26y + = (y 2)(3x + 4y 5) = 0. Deci obtinem evident ecuatiile precedente pentru cele doua asimptote. Puteti acum sa reprezentati grac hiperbola. 2) Determinati ecuatia conului asimptot pentru hiperboloidul cu o panza x 2 + 3y 2 + 4yz 6x + 8y + 8. Am demostrat anterior ca aceasta cuadrica este un hiperboloid cu o panza, si ca centrul sau de simetrie este C(3, 0, 2). Ecuatia conului asimptot este H(X) = δ x2 + 3y 2 + 4yz 6x + 8y + = 0.