ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του Κεφ..7 του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Αν για κάθε > 0 ισχύει ln ΘΕΜΑ Β α + α, να αποδείξετε ότι α= 1. α Θεωρούμε τη συνάρτηση f () = ln + - α, (0, + ). Για κάθε (0, + ) είναι: α α ln + α ln + -α 0 f() 0 f() f(1) Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) με: = 1 του πεδίου α 1 α f () = ln + - α = -, οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο f (1) = 1 α = 1 με: Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Fermat, οπότε f (1) = 0. f (1) = 0 1- α= 0 α= 1 Σημείωση: Στα επόμενα η φράση «ισχύει το Θεώρημα Fermat» χρησιμοποιείται με την έννοια ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις εφαρμογής του Θεωρήματος Fermat. 1

Άσκηση. Αν α, β, γ (0, + ) και για κάθε > 0 ισχύει α=β =γ = 1. α +β +γ, να αποδείξετε ότι Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε είναι: f() =α +β +γ -,. α +β +γ α +β +γ - 0 f() 0 f() f(0) Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με: οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο ( ) f () - ln ln ln = α +β +γ = α α +β β+γ γ, = 0 με: 0 0 0 f (0) = α lnα+β lnβ+γ lnγ= lnα+ lnβ+ lnγ= ln( αβγ ) Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Fermat, οπότε f (0) = 0. f (0) = 0 ln( αβγ ) = 0 αβγ= 1 (1) Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: = 0 του πεδίου i) Αν ένας τουλάχιστον από τους α, β, γ, έστω ο α, είναι μεγαλύτερος του 1, τότε ένας τουλάχιστον από τους β, γ, θα είναι λόγω της (1), μικρότερος του 1. Άρα lim α =+ και επομένως lim ( α +β +γ ) =+, που είναι άτοπο, γιατί από + + την υπόθεση είναι α +β +γ, για κάθε > 0. ii) Αν ένας τουλάχιστον από τους α, β, γ, έστω ο α, είναι μικρότερος του 1, τότε ένας τουλάχιστον από τους β, γ, έστω ο β, θα είναι λόγω της (1), μεγαλύτερος του 1. Άρα lim β =+ και επομένως lim ( α +β +γ ) =+, που είναι άτοπο, γιατί από την + υπόθεση είναι Άρα, αναγκαία: α=β=γ= 1. + α +β +γ, για κάθε 0 >.

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 1. Δίνεται η συνάρτηση f() -, [ 1, 4] =. Να βρείτε: α) Τις πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f. β) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f. γ) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. - +, 1, f() = - = -,, 4 [ ) [ ] α) Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f είναι: Τα άκρα του πεδίου ορισμού, δηλαδή τα 1 και 4. Οι ρίζες της f () = 0 στο διάστημα (1, 4). Τα σημεία του διαστήματος (1, 4) στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο διάστημα (1, ) ως πολυωνυμική με f () = - + 6. = 0 (1, ) απορρίπτεται = + = = ή = (1, ) δεκτή f () 0-6 0 -( - ) 0 Άρα το είναι πιθανή θέση τοπικού ακροτάτου. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο διάστημα (, 4) ως πολυωνυμική με =. f () - 6 = 0 (, 4) = = = ή = f () 0-6 0 (- ) 0 (, 4) απορρίπτεται απορρίπτεται Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο =.

Για 1< < έχουμε: f()-f() - + -0 - (-) = = = -, οπότε - - - f()-f() lim = lim(- ) = -9 - Για < < 4 έχουμε: f()-f() - -0 (-) = = =, οπότε - - - f()-f() lim = lim = 9 - + f()-f() f()-f() -9 = lim lim = 9 - + - οπότε η f δεν παραγωγίζεται στο =. Άρα το είναι πιθανή θέση τοπικού ακροτάτου. Επομένως οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων είναι: 1,, και 4. β) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f είναι: Οι ρίζες της f () = 0 στο διάστημα (1, 4). Τα σημεία του διαστήματος (1, 4) στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Επομένως τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f είναι: και γ) Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων και μη σταθερή 1, 4 f( Α ) = m, M, όπου m η ελάχιστη και στο διάστημα Α= [ ], το σύνολο τιμών της είναι το [ ] M η μέγιστη τιμή αντίστοιχα της f στο Α= [ 1, 4]. Είναι m και M αντίστοιχα η μικρότερη και η μεγαλύτερη από τις τιμές της f στις θέσεις των πιθανών τοπικών ακροτάτων. Έχουμε: f(1) =, f() = 4, f() = 0 και f(4) = 16 Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι: f ( Α ) = [ 0,16]. 4

Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση f() -, [ 0, ] =. Να βρείτε: α) Τις πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f. β) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f. γ) Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. -, 0, ) + f() = - = -,, α) Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f είναι: Τα άκρα του πεδίου ορισμού, δηλαδή τα 0 και. Οι ρίζες της f () = 0 στο διάστημα (0, ). Τα σημεία του διαστήματος (0, ) στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο διάστημα (0, ) ως πολυωνυμική με = -1 (0, ) απορρίπτεται f () = 0 - + = 0 = 1 ή = 1 (0, ) δεκτή Άρα το 1 είναι πιθανή θέση τοπικού ακροτάτου. Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο διάστημα (, ) ως πολυωνυμική με f () = +. f () = -. = -1 (, ) απορρίπτεται = = = ή = 1 (, ) απορρίπτεται f () 0-0 1 Εξετάζουμε αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο =. 5

Για 0< < έχουμε: f()-f( ) - + -0 -( -) - ( - )( + ) = = = = -( + ), οπότε - - - - f()-f( ) lim = lim -( + ) = -6 - Για < < έχουμε: f()-f( ) - -0 ( -) ( - )( + ) = = = = ( + ), οπότε - - - - f()-f( ) lim = lim ( + ) = 6 - + f()-f( ) f()-f( ) -6 = lim lim = 6 - + - οπότε η f δεν παραγωγίζεται στο =. Άρα το είναι πιθανή θέση τοπικού ακροτάτου. Επομένως οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων είναι: 0, 1, και β) Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f είναι: Οι ρίζες της f () = 0 στο διάστημα (0, ). Τα σημεία του διαστήματος (0, ) στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Επομένως τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f είναι: 1 και γ) Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων και μη σταθερή 0, f ( Α ) = m, M, όπου m η ελάχιστη στο διάστημα Α= [ ], το σύνολο τιμών της είναι το [ ] και M η μέγιστη τιμή αντίστοιχα της f στο Α= [ 0, ]. Είναι m και M αντίστοιχα η μικρότερη και η μεγαλύτερη από τις τιμές της f στις θέσεις των πιθανών τοπικών ακροτάτων. Έχουμε: f(0) = 0, f(1) =, f( ) = 0 και f() = Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι: f( Α ) = [ 0, ] 6

Άσκηση. αβ. Αν f( α ) = f( β ) και η f δεν είναι παραγωγίσιμη το πολύ σε ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων του ( α, β ), τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο ξ ( α, β ). Έστω συνεχής συνάρτηση f: [, ] Γνωρίζουμε ότι τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f είναι: Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. Από την εκφώνηση της άσκησης δεν γνωρίζουμε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ή όχι. Διακρίνουμε λοιπόν περιπτώσεις: Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β ), τότε ισχύει το θεώρημα Rlle, αφού α β και f( α ) = f( β ). Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = 0. Επομένως η f έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο ξ ( α, β ). από την υπόθεση η f είναι συνεχής στο [, ] Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο σημείο ξ ( α, β ), τότε αυτό το ξ είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης f. Σε κάθε λοιπόν περίπτωση η συνάρτηση f έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο ξ ( α, β ). 7

Άσκηση 4. Αν 0<α 1 και για κάθε (0, + ) ισχύει lgα -1, να αποδείξετε ότι α= e. Θεωρούμε τη συνάρτηση f () = lgα - + 1, (0, + ). Για κάθε (0, + ) είναι: lg -1 lg - + 1 0 f() 0 f() f(1) α α Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) με: ln 1 1 f () = ( lgα - + 1) = - + 1 = (ln ) -1= -1, ln α ln α ln α οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο = 1 με: 1 f (1) = -1 ln α Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Fermat, οπότε f (1) = 0. = 1 του πεδίου 1 f (1) = 0-1 = 0 ln α= 1 α= e ln α 8

Άσκηση 5. Αν για κάθε ισχύει ηµ ( α) ηµ ( β ) + ηµ ( γ ), όπου α, β, γ, να αποδείξετε ότι α=β+γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ηµ ( α)- ηµ ( β)- ηµ ( γ ),. Για κάθε είναι: ηµ ( α) ηµ ( β ) + ηµ ( γ) ηµ ( α)- ηµ ( β)- ηµ ( γ) 0 f() 0 f() f(0) Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με: f () = ηµ ( α)- ηµ ( β)- ηµ ( γ ) = ασυν( α)- βσυν( β)- γ συν( γ ), ( ) οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο = 0 με: f (0) = ασυν0-βσυν0-γσυν 0= α-β-γ Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Fermat, οπότε f (0) = 0. f (0) = 0 α-β- γ= 0 α =β+ γ = 0 του πεδίου 9

Άσκηση 6. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση f () + + 1. Αν f (0) = 1, τότε να βρείτε: α) Την κλίση της f στο σημείο 0 = 0. β) Την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη 0 = 0. α) Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε είναι: g() = f()- - -1,. f() + + 1 f()- - -1 0 g() 0 g() g(0) Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο ορισμού της. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με: g () = f()- --1 = f ()-6-, ( ) οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο g (0) = f (0) = 0 με: Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Fermat, οπότε g (0) = 0. g (0) = 0 f (0) = 0 f (0) = Άρα η κλίση της f στο σημείο = 0 είναι ίση με. β) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη y - f (0) = f (0)( - 0) y - 1 = ( - 0) y = + 1 = 0 του πεδίου = 0 είναι: 10

Άσκηση 7. Να βρείτε τις τιμές των α, β, για τις οποίες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία 1 = -1 και = 1. f () = ( α- β ) +β - +α Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f () = ( α- β ) + β - (1). Για να παρουσιάζει μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, αρκεί: f ( ο) = 0 και Η f () να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ο Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα εσωτερικά σημεία 1= -1 και = 1 του πεδίου ορισμού της, οπότε έχουμε: f (-1) = 0 ( α- β)-β -= 0 α-5β= ( αβ, ) = (1, 0) f (1) = 0 ( α- β ) + β - = 0 α- β= () Για ( αβ, ) = (1, 0) είναι: f () = - = ( -1)( + 1), οπότε f () = 0 = -1 ή = 1 και f () > 0 < -1 ή > 1 Άρα η συνάρτηση f για ( αβ, ) = (1, 0) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα εσωτερικά σημεία 1= -1 και = 1 του πεδίου ορισμού της και μάλιστα τοπικό μέγιστο στο 1= -1 και τοπικό ελάχιστο στο = 1. 11

Άσκηση 8. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση f () f () 6-5 + = +. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Έστω ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο το τοπικό ακρότατο θα το παρουσιάζει υποχρεωτικά σε εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύει το θεώρημα Fermat, οπότε θα είναι f ( ο) = 0 (1). Επειδή καθεμία από τις συναρτήσεις f () και f () είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων και η συνάρτηση + 6-5 είναι παραγωγίσιμη στο, ως πολυωνυμική, μπορούμε να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης. Για κάθε έχουμε: f () + f () = + 6-5 ( ) ( ) f ()f () 4f()f () 6 6 + = + () Από τη σχέση () για = έχουμε: (1) f ( )f ( ) + 4f( )f ( ) = 6 + 6 6 + 6 = 0 που είναι άτοπο γιατί η εξίσωση 6 + 6 = 0 είναι αδύνατη στο. Άρα η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. 1

Άσκηση 9. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση f() f () + e f() = e + + + + 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. Έστω ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο το τοπικό ακρότατο θα το παρουσιάζει υποχρεωτικά σε εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύει το θεώρημα Fermat, οπότε θα είναι f ( ) = 0 (1). Επειδή καθεμία από τις συναρτήσεις f (), f() e και σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων, η συνάρτηση ο e είναι παραγωγίσιμη στο, ως f() e f() είναι παραγωγίσιμη στο, ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων και η συνάρτηση e + + + + 1 είναι παραγωγίσιμη στο, ως άθροισμα παραγωγισίμων, μπορούμε να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης. Για κάθε έχουμε: ( ) f() f () e f() e 1 + = + + + + ( ) f() f() f()f () + e f() + e f () = e ( ) + + + 1 f() f() f()f () + e f ()f() + e f () = e + + + 1 () Από τη σχέση () για = έχουμε f( )f ( ) + e f ( )f( ) + e f ( ) = e + + + 1 f( ) f( ) (1) e + + + 1 = 0 που είναι άτοπο, γιατί e 0 και + + 1= + ( + 1) > 0 για οποιοδήποτε. Άρα η συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. 1

Άσκηση 10. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (0, + ), η οποία ικανοποιεί τη σχέση f () + f() + + = 0 για κάθε (0, + ). Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο (0, + ), τότε: α) Να αποδείξετε ότι = 1. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη = 1. α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύει το θεώρημα Fermat, οπότε θα είναι f ( ο) = 0 (1). Η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων, η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο, ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων και η συνάρτηση + είναι παραγωγίσιμη στο, ως πολυωνυμική, οπότε μπορούμε να παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της δοθείσας σχέσης. Για κάθε έχουμε: ( ) f () + f () + + = (0) f ()f () + 6f() + f () + 6 = 0 () Από τη σχέση () για = έχουμε: f ( )f ( ) + 6 f( ) + f ( ) + 6 = 0 ( ) 6 f( ) + 6 = 0 6 f( ) + = 0 () Είναι Για > 0, οπότε από () έχουμε f( ) + = 0 f( ) = - (4). = η αρχική σχέση γράφεται: (4) f ( ) + f( ) + + = 0 (1) (- ) + (- ) + + = 0 - - + + = 0 = = 1 = 1 (5) ο 14

β) Για ο = 1 από τη σχέση (4) έχουμε f (1) = -1. Επίσης έχουμε: (5) (1) f (1) = f ( ) = 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της y - f(1) = f (1)( -1) y + 1= 0 ( -1) y = -1 C f στο σημείο με τετμημένη = ο 1 είναι: 15

ΘΕΜΑ Δ Άσκηση 1. αβ με f ( α ) = -1 και αβ,, να βρείτε το σύνολο τιμών της Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α, β ], παραγωγίσιμη στο (, ) f( β ) = 4. Αν είναι f () 0 συνάρτησης f. για κάθε ( ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αβ, ], επομένως ισχύει το θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής, άρα θα υπάρχουν, 1 [ α, β ] τέτοια, ώστε να ισχύει: m = f ( ) f () f ( ) =Μ για κάθε [ α, β ]. 1 Το 1 (θέση ελαχίστου), όπως και το (θέση μεγίστου) δεν μπορεί να είναι εσωτερικά α β, γιατί αν υποθέσουμε ότι 1 αβ (, ) ή αβ, (, ) τότε ισχύει το θεώρημα Fermat, οπότε f ( 1) = 0 ή f ( ) = 0, που είναι άτοπο, γιατί από την υπόθεση είναι f () 0 για κάθε αβ. (, ) σημεία του διαστήματος [, ] Άρα αφού f( α ) = -1< 4= f( β ) είναι f( 1) = f( α ) = -1 και f( ) = f( β ) = 4, οπότε το σύνολο f α, β = -1, 4. τιμών της συνάρτησης f είναι ([ ]) [ ] 16

Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z= 1+α i και w = ( + 1) + i, και 0<α 1. Αν για κάθε είναι z-w z+ w, να αποδείξετε ότι: α) Re(z w) 0 β) α= e α) z-w z+ w z-w z+ w ( z-w)( z-w) ( z+ w)( z+ w) ( z-w)( z-w) ( z+ w)( z+ w) zz-zw -zw + ww zz+ zw + zw + ww ( zw+ zw) 0 zw+ zw 0 Re(z w) 0 Re(z w) 0 β) Για κάθε είναι: ( ) [ ] z w = 1+α i ( + 1) + i = = ( + 1) + i +α ( + 1) i +α i = = ( + 1- α ) + 1 +α ( + 1) i Επομένως: Re(z w) 0 + 1- α 0, Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε είναι: f () = + 1- α,. + 1-α 0 f() 0 f() f(0) Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο εσωτερικό σημείο πεδίου ορισμού της. = 0 του 17

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με: f () = + 1-α = 1-α lnα ( ) οπότε είναι παραγωγίσιμη και στο ο f (0) = 1-α lnα= 1- lnα = 0 με: Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Fermat, οπότε f (0) = 0. f (0) = 0 1- lnα= 0 lnα= 1 α= e 18

Άσκηση. Δίνεται συνάρτηση f: [ α, β ]. Να αποδείξετε ότι: α) Αν η f έχει τοπικό ελάχιστο στο α και είναι παραγωγίσιμη στο α, τότε f ( α) 0. β) Αν η f έχει τοπικό ελάχιστο στο β και είναι παραγωγίσιμη στο β, τότε f ( β) 0. γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] τέτοιο, ώστε f ( ) = 0. δ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] τέτοιο, ώστε f ( ) = κ. α β και f ( α ) < 0< f( β ), τότε υπάρχει αβ (, ) α β και f ( α ) <κ< f( β ), τότε υπάρχει αβ (, ) α) Η f έχει τοπικό ελάχιστο στο α, οπότε θα υπάρχει δ> 0 με α <α+δ<β τέτοιο, ώστε για κάθε [ α, β] ( α- δ, α+δ ) = [ α, α+δ ) να ισχύει f() f( α) f() f( α) 0. Εξάλλου για κάθε ( α, α+δ ) είναι -α> 0, οπότε f()-f( α ) 0 -α παραγωγίσιμη στο α έχουμε: και επειδή η f είναι f()-f( α) f ( α ) = lim 0 + α -α β) Η f έχει τοπικό ελάχιστο στο β, οπότε θα υπάρχει δ> 0 με α <β-δ<β τέτοιο, ώστε για κάθε [ α, β] ( β- δ, β+δ ) = ( β- δ, β ] να ισχύει f() f( β ) f() f( β ) 0. Εξάλλου για κάθε β ( - δβ, ) είναι -β< 0, οπότε f()-f( β ) 0 -β παραγωγίσιμη στο β έχουμε: και επειδή η f είναι f()-f( β) f ( β ) = lim 0. β - -β γ) Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη στο [ α, β ], θα είναι και συνεχής στο [, ] ισχύει το θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής, άρα θα ισχύει: m f () α, β. Μ για κάθε [ ] α β, οπότε θα 19

Αν υποθέσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι m= f( α ) και επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο α, συμπεραίνουμε από το (α) ερώτημα ότι f( α) 0που είναι άτοπο, γιατί από υπόθεση είναι f( α< ) 0. Αν υποθέσουμε ότι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι m= f( β ) και επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο β, συμπεραίνουμε από το (β) ερώτημα ότι f ( β) 0που είναι άτοπο, γιατί από υπόθεση είναι f( β ) > 0. Άρα η συνάρτηση f θα παρουσιάζει ελάχιστο σε εσωτερικό σημείο ο του πεδίου ορισμού της, επομένως ισχύει το θεώρημα Fermat, οπότε f ( ο) = 0. = κ, [ α β ]. Η g είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f ()-, με g () = f ()- κ. Είναι g ( α ) = f ( α)-κ< 0 και g ( β ) = f ( β)-κ> 0. Άρα από το (γ) ερώτημα συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ο αβ (, ) τέτοιο, ώστε g ( ) = 0 f ( )- κ= 0 f ( ) =κ. ο ο ο 0

Άσκηση 4. Έστω συνάρτηση f : δυο φορές παραγωγίσιμη στο, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 6f ( )- f () 9 (1) για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) f(0) = f(1). β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (0, 1) τέτοιο, ώστε f ( 0) = 0. γ) f(0) = f(1). δ) Η εξίσωση f () = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (0, 1). α) Για = 0 από τη σχέση (1) έχουμε: 6f (0) - f (0) 9 f (0) -6f (0) + 9 0 (f (0) -) 0 Από τη σχέση (f (0) -) 0 συμπεραίνουμε ότι f (0) - = 0, οπότε f (0) = (). Για = 1 από τη σχέση (1) έχουμε: 6f (1) - f (1) 9 f (1) -6f (1) + 9 0 (f (1) -) 0 Από τη σχέση (f (1) -) 0 συμπεραίνουμε ότι f (1) - = 0, οπότε f (1) = (). Από () και () έχουμε ότι f (0) = f(1). β) Έχουμε: Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και στο [ 0,1 ] f(0) = f(1) Ισχύει λοιπόν το θεώρημα Rlle, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ώστε f ( ) = 0 (4). (0, 1) τέτοιο, γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = 6f ( )- f () -9,. Για κάθε είναι: 6f ( )- f () 9 6f ( )-f () -9 0 g() 0 g() g(0) = g(1) Δείξαμε ότι: g() g(0) = g(1) για κάθε. 1

Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε δύο εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με: g () = 6f ( )- f () -9 = 6f ( ) ( ) - f ()f () = 1f ( )- f ()f () ( ) οπότε είναι παραγωγίσιμη και στα σημεία = 0 και 1= 1 με: = 0 και 1= 1 g (0) = 1 0 f (0)- f (0)f (0) = - 6f (0) και () g (1) = 1 1 f (1)- f (1)f (1) = 1 f (1)- 6 f (1) = 6 f (1) () Ισχύει λοιπόν το Θεώρημα Fermat σε δύο εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της g, οπότε: g (0) = 0-6f (0) = 0 f (0) = 0 (5) και g (1) = 0 6f (1) = 0 f (1) = 0 (6) Από (5) και (6) έχουμε ότι f (0) = f(1). δ) Από τις σχέσεις (4), (5), (6) παίρνουμε: f(0) f( ) f(1) = = με 0< < 1 Έχουμε: Η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο, άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα 0, και,1 f(0) = f( ) = f(1) Ισχύει λοιπόν το θεώρημα Rlle στα δύο διαστήματα, οπότε θα υπάρχει: ένα τουλάχιστον ένα τουλάχιστον ξ1 (0, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ 1 ) = 0 και ξ (, 1) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = 0 Άρα η εξίσωση f () = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (0, 1).

Άσκηση 5. Έστω μια συνάρτηση f: [ αβ, ] και γ, δ ( α, β ) τέτοια, ώστε f( γ ) < f( α ) < f( β ) < f( δ ) (1). Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( α, β ). Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη στο [ α, β ], θα είναι και συνεχής στο [, ] ισχύει το θεώρημα Μεγίστης Ελαχίστης Τιμής, δηλαδή θα υπάρχουν, [, ] ώστε f ( 1) = m (ελάχιστη τιμή) και f ( ) Λόγω της σχέσης (1) έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f γ < f α < f β < f δ f ( ) () 1 Από τη σχέση () συμπεραίνουμε ότι: = M (μέγιστη τιμή). Τα 1, αποκλείεται να συμπίπτουν με τα άκρα, από το θεώρημα Fermat έχουμε f ( 1) = f ( ) = 0 () και α β, οπότε θα α β τέτοια, 1 α β, επομένως, (, ) 1 αβ, οπότε 1 αφού η f δεν είναι σταθερή. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι 1<. Η f είναι παραγωγίσιμη στο, [ α, β] 1, αφού η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό. Από τη σχέση () έχουμε f ( 1) = f ( ), άρα ισχύει το θεώρημα Rlle, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( 1, ) ( α, β ) τέτοιο, ώστε f ( ξ= ) 0. Ημερομηνία τροποποίησης: /9/011