Osnove matematičke analize

Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 /

Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija i neprekidnost u R n (u metričkim i topološkom prostorima) 2 Diferencijabilnost funkcija f : Ω R m R n. Diferencijalni račun i primjene FPMOZ Sveučilište u Mostaru 2 /

Topološka i metrička struktura normiranog n-dimenzionalnog realnog vektorskog prostora Realni vektorski prostor (V, +, h) se sastoji od abelovske grupe (V, +), te vanjskog (hibridnog) množenja h : R V V h (α, a) =: αa koje udovoljuje sljedećim uvjetima: (i) α (βa) = (αβ) a, za sve a V, a, β R; (ii) 1a = a1 = a, za svaki a V ; (iii) (α + β) a = αa + βa, za sve a V, a, β R; (iv) α (a + b) = αa + αb, za sve a, b V, a R. Skup R n, zajedno s koordinatnim zbrajanjem (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) i s vanjskim množenjem (skraćeno množenje sa skalarom) zadanim s tvori realni vektorski prostor. λ (x 1,..., x n ) := (λx 1,..., λx n ) FPMOZ Sveučilište u Mostaru 3 /

Njegove elemente e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1) nazivamo elementima kanonske baze jer se svaki element x = (x 1,..., x n ) R n može na jedinstven način prikazat u obliku x = n x i e i. i=1 FPMOZ Sveučilište u Mostaru 4 /

Funkciju A : R m R n nazivamo linearnim operatorom ako, za sve x, y R m, λ, η R, vrijedi A (λx + ηy) = λa (x) + ηa (y). Svaki linarani operator A : R n R m je jednoznačno određen djelovanjem na kanonsku bazu. Ako je A (e i ) = (a 1i,..., a mi ), i = 1,..., n, onda djelovanje linearnog operatora na x = (x 1,..., x n ) R n smijemo matrično zapisivati kao a 11 a 1n A (x) =... a m1 a mn x 1 x n, pa linearni operator A često poistovijećujemo s matricom m n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 5 /

Normirani prostori Definicija Normiranim prostorom nazivamo svaki uređeni par (X, ) koji se sastoji od (realnoga) vektorskog prostora X i funkcije ( norme) : X R, (x) x, s ovim svojstvima: (N1) x 0; (N2) x = 0 x = 0; (N3) λx = λ x, λ R; (N4) x + y x + y. Broj x nazivamo normom vektora x. Ako je x = 1 za vektor kažemo da je normiran. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 6 /

Normu na R n zadanu sa x 2 = n i=1 (x i ) 2, x = (x 1,..., x n ) R n, nazivamo euklidskom normom, a normirani vektorski prostor (R n, 2 ) n-dimenzionalnim euklidskim prostorom. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 7 /

U analizi se često koriste i sljedeće norme na R n : FPMOZ Sveučilište u Mostaru 8 /

U analizi se često koriste i sljedeće norme na R n : : R n R, (x) x = max{ x i i = 1,, n}, x = (x 1,, x n ) FPMOZ Sveučilište u Mostaru 8 /

U analizi se često koriste i sljedeće norme na R n : : R n R, (x) x = max{ x i i = 1,, n}, x = (x 1,, x n ) 1 : R n R, 1 (x) x 1 = n x i, x = (x 1,, x n ) i=1 FPMOZ Sveučilište u Mostaru 8 /

Za svaki x R n vrijedi x x 2 2 x n x x x 1 n x x 2 x 1 n x 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 9 /

Metrički prostori Definicija Pod metrikom ili udaljenošću na skupu X podrazumijevamo svaku funkciju d : X X R s ovim svojstvima: (M1) d(x, y) 0; (M2) d(x, y) = 0 x = y; (M3) d(x, y) = d(y, x); (M4) d(x, y) + d(y, z) d(x, z). Uređeni par (X, d) tada nazivamo metričkim prostorom, a elemente x X - točkama metričkoga prostora (X, d). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 10 /

Primjer Svaki neprazni skup X postaje metričkim prostorom (X, d) čim se definira d(x, y) = { 0, x = y c, x = y. Radi se o tzv. diskretnoj metrici, odnosno, o diskretnom metričkom prostoru. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 11 /

Primjer Svaki neprazni skup X postaje metričkim prostorom (X, d) čim se definira d(x, y) = { 0, x = y c, x = y. Radi se o tzv. diskretnoj metrici, odnosno, o diskretnom metričkom prostoru. Teorem Svaka norma na vektorskom prostoru X inducira metriku d : X X R zadanu pravilom d (x, y) = x y. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 11 /

Na euklidskom prostoru R n, n N, (s euklidskom normom 2 ) inducirana euklidska metrika d 2 : R n R n R je zadana pravilom d 2 (x, y) = x y 2 = n i=1 (x i y i ) 2, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ). Metrički prostor (R n, d 2 ) ćemo nazvati n-dimenzionalnim euklidskim prostorom i označiti samo s R n. Primijetimo da za n = 1 dobivamo metrički prostor R realnih brojeva s metrikom d(ξ, η) = ξ η. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 12 /

Pored euklidske norme, norme i 1 na vektorskomu prostoru R n induciraju metričke prostore (R n, d ) i (R n, d 1 ). Ovdje je, dakle, d (x, y) = max{ x i y i i = 1,, n}, d 1 (x, y) = n i=1 x i y i. Iz međusobnog odnosa odgovarajućih normi proizlazi i odnos metrika d 1, d 2 i d. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 13 /

Neka su (X, d ) i (X, d ) metrički prostori. Definirajmo na X = X X funkciju d : X X R, d(x, y) = d (x, y ) 2 + d (x, y ) 2, x = (x, x ), y = (y, y ) X. Pokaže se da je d metrika na X, tj. (X, d) novi metrički prostor. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 14 /

Neka su (X, d ) i (X, d ) metrički prostori. Definirajmo na X = X X funkciju d : X X R, d(x, y) = d (x, y ) 2 + d (x, y ) 2, x = (x, x ), y = (y, y ) X. Pokaže se da je d metrika na X, tj. (X, d) novi metrički prostor. Dobiveni metrički prostor (X, d) nazivat ćemo (standardnim) produktom metričkih prostora (X, d ) i (X, d ) i pisati (X, d) = (X, d ) (X, d ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 14 /

Neka su (X, d ) i (X, d ) metrički prostori. Definirajmo na X = X X funkciju d : X X R, d(x, y) = d (x, y ) 2 + d (x, y ) 2, x = (x, x ), y = (y, y ) X. Pokaže se da je d metrika na X, tj. (X, d) novi metrički prostor. Dobiveni metrički prostor (X, d) nazivat ćemo (standardnim) produktom metričkih prostora (X, d ) i (X, d ) i pisati (X, d) = (X, d ) (X, d ). Ova konstrukcija se prirodno poopćuje na direktni produkt od konačno mnogo metričkih prostora. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 14 /

Neka su (X, d ) i (X, d ) metrički prostori. Definirajmo na X = X X funkciju d : X X R, d(x, y) = d (x, y ) 2 + d (x, y ) 2, x = (x, x ), y = (y, y ) X. Pokaže se da je d metrika na X, tj. (X, d) novi metrički prostor. Dobiveni metrički prostor (X, d) nazivat ćemo (standardnim) produktom metričkih prostora (X, d ) i (X, d ) i pisati (X, d) = (X, d ) (X, d ). Ova konstrukcija se prirodno poopćuje na direktni produkt od konačno mnogo metričkih prostora. Euklidski prostor (R n, d 2 ) je produkt (R, d) (R, d), d : R R R, d(ξ, η) = ξ η. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 14 /

Ako je (X, d) metrički prostor i Y X bilo koji podskup, onda se suženjem metrike d na Y Y, tj, s funkcijom d Y d Y Y : Y Y R, dobiva novi metrički prostor (Y, d Y ). Pri tom govorimo o (metričkom) potprostoru metričkoga prostora (X, d) i pišemo (Y, d) (X, d). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 15 /

Definicija Neka je (X, d) metrički prostor, x 0 X bilo koja točka i r R + bilo koji pozitivan realni broj. Skup B(x 0, r) = {x X d(x 0, x) < r} X, nazivamo kuglom polumjera r sa središtem u točki x 0. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 16 /

Primjer Nacrtajte kugle B 2 ((0, 0), 1), B ((0, 0), 1), B 1 ((0, 0), 1) i B d ((0, 0), 1) u metričkim prostorima (R 2, d 2 ), (R 2, d ), (R 2, d 1 ) i (R 2, d) (d označava diskretnu metriku) redom. Što su odgavarajuće kugle u prostorima (R 3, d 2 ), (R 3, d ), (R 3, d 1 )? FPMOZ Sveučilište u Mostaru 17 /

Primjer Nacrtajte kugle B 2 ((0, 0), 1), B ((0, 0), 1), B 1 ((0, 0), 1) i B d ((0, 0), 1) u metričkim prostorima (R 2, d 2 ), (R 2, d ), (R 2, d 1 ) i (R 2, d) (d označava diskretnu metriku) redom. Što su odgavarajuće kugle u prostorima (R 3, d 2 ), (R 3, d ), (R 3, d 1 )? Primjer U slučaju n = 1 pripadni metrički prostori (R n, d 2 ), (R n, d ), (R n, d 1 ) se podudaraju s euklidskim pravcem (R, d), d(ξ, η) = ξ η, pa se i odgovarajuće kugle podudaraju. Na euklidskomu pravcu je svaka kugla B d (ξ 0, r) neki simetrični interval ξ 0 r, ξ 0 + r R. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 17 /

Zadatak Opišite kugle u potprostorima N i 2, 5] euklidskog prostora (R, ), te u potprostorima { (x, y) x 2 + y 2 1 }, { (x, y) x 2 + y 2 = 1 }, {(x, 0) x R} euklidskog prostora ( R 2,d 2 ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 18 /

Zadatak Opišite kugle u potprostorima N i 2, 5] euklidskog prostora (R, ), te u potprostorima { (x, y) x 2 + y 2 1 }, { (x, y) x 2 + y 2 = 1 }, {(x, 0) x R} euklidskog prostora ( R 2,d 2 ). Napomena Za svaki m n, (R m, d 2 ) se može smatrati metričkim potprostorom od (R n, d 2 ), R m R n. (Obično pri tom točku y = (y 1,, y m ) R m identificiramo s točkom ỹ = (y 1,, y m, 0,, 0) R n.) Uz takvu identifikaciju za svaki y R m vrijedi B (y, r) = B (ỹ, r) R m pri čemu je B (y, r) kugla u prostoru (R m, d 2 ) a B (ỹ, r) kugla u prostoru (R n, d 2 ). Isto vrijedi i za metrike d 1 i d. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 18 /

Definicija Reći ćemo da je skup A (X, d) omeđen, ako postoji x 0 X i r > 0 takvi da je A B (x 0, r) tj. {d(a, a ) a, a A} [0, r] R. Za funkciju f : T (X, d) kažemo da je omeđena, ako je slika f [T ] omeđeni skup u (X, d). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 19 /

Definicija Reći ćemo da je skup A (X, d) omeđen, ako postoji x 0 X i r > 0 takvi da je A B (x 0, r) tj. {d(a, a ) a, a A} [0, r] R. Za funkciju f : T (X, d) kažemo da je omeđena, ako je slika f [T ] omeđeni skup u (X, d). Definicija Ako je skup A (X, d) omeđen, onda je posve određen broj diam A = sup{d(a, a ) a, a A} 0 kojeg nazivamo dijametar skupa A. Ako A nije omeđen onda stavljamo diam A =. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 19 /

Definicija Reći ćemo da je skup A (X, d) omeđen, ako postoji x 0 X i r > 0 takvi da je A B (x 0, r) tj. {d(a, a ) a, a A} [0, r] R. Za funkciju f : T (X, d) kažemo da je omeđena, ako je slika f [T ] omeđeni skup u (X, d). Definicija Ako je skup A (X, d) omeđen, onda je posve određen broj diam A = sup{d(a, a ) a, a A} 0 kojeg nazivamo dijametar skupa A. Ako A nije omeđen onda stavljamo diam A =. Zadatak Pokažite da je svaki diskretni metrički prostor omeđen a euklidski neomeđen prostor. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 19 /

Definicija Reći ćemo da je skup U X otvoren u metričkom prostoru (X, d) ako je U unija neke množine kugala u prostoru (X, d). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 20 /

Definicija Reći ćemo da je skup U X otvoren u metričkom prostoru (X, d) ako je U unija neke množine kugala u prostoru (X, d). Teorem Skup U (X, d) je otvoren točno onda kad za svaku točku x 0 U postoji neka kugla B(x 0, r) U. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 20 /

Zadatak Ispitaj da li su otvoreni sljedeći podskupovi euklidkog ravnine: A = {(x, 0) x R}, B = R 2 \ {(x, 0) x N}, C = R 2 \ { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } n, D = {(x, y) y < x}. 2 n N FPMOZ Sveučilište u Mostaru 21 /

Zadatak Ispitaj da li su otvoreni sljedeći podskupovi euklidkog ravnine: A = {(x, 0) x R}, B = R 2 \ {(x, 0) x N}, C = R 2 \ { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } n, D = {(x, y) y < x}. 2 n N Zadatak Ispitaj da li su otvoreni sljedeći podskupovi euklidskog pravca: Z, a,, [a, b]. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 21 /

Teorem Neka je T 2 X množina svih otvorenih skupova U X u metričkom prostoru (X, d). Tada T udovoljava ovim uvjetima: (T1) T je zatvorena na uniranje, tj. ( U = {U j j J} T ) U j T ; (T2) T je zatvorena na konačno presijecanje, tj. ( U = {U j j J T }) J < ℵ 0 U j T ; j J (T3), X T. Množinu T svih otvorenih skupova u metričkom prostoru (X, d) nazivamo topologijom na prostoru (X, d). j J FPMOZ Sveučilište u Mostaru 22 /

Topološki prostori Definicija Topološkim prostorom nazivamo svaki uređeni par (X, T ) što se sastoji od skupa X i množine T 2 X nekih njegovih podskupova sa svojstvima (T1), (T2) i (T3). Množinu T nazivamo topološkom strukturom (ili topologijom) a podskupove U X koji su članovi od T, otvorenim skupovima u prostoru (X, T ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 23 /

Topološki prostori Definicija Topološkim prostorom nazivamo svaki uređeni par (X, T ) što se sastoji od skupa X i množine T 2 X nekih njegovih podskupova sa svojstvima (T1), (T2) i (T3). Množinu T nazivamo topološkom strukturom (ili topologijom) a podskupove U X koji su članovi od T, otvorenim skupovima u prostoru (X, T ). Primjer Svaki skup X dopušta dvije trivijalne topološke strukture: najmanju (najgrublju, indiskretnu) T = {, X } i najveću (najsitniju, diskretnu) T = 2 X. U prvoj su, dakle, otvoreni skupovi samo i X, dok je u drugoj svaki skup A X otvoren. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 23 /

Svaki metrički prostor (X, d) je ujedno topološki prostor (X, T ), pri čemu je toplogija T dobivena uniranjem kugala u metrici d. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 24 /

Svaki metrički prostor (X, d) je ujedno topološki prostor (X, T ), pri čemu je toplogija T dobivena uniranjem kugala u metrici d. Kad god se topološka struktura T na prostoru (X, T ) može dobiti pomoću kugala u nekoj metrici d na X, govorimo o metrizabilnom (topološkom) prostoru (X, T ) (skraćeno X ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 24 /

Svaki metrički prostor (X, d) je ujedno topološki prostor (X, T ), pri čemu je toplogija T dobivena uniranjem kugala u metrici d. Kad god se topološka struktura T na prostoru (X, T ) može dobiti pomoću kugala u nekoj metrici d na X, govorimo o metrizabilnom (topološkom) prostoru (X, T ) (skraćeno X ). Primjerice diskretna toplogija je metrizabilna bilo kojom diskretnom metrikom FPMOZ Sveučilište u Mostaru 24 /

Svaki metrički prostor (X, d) je ujedno topološki prostor (X, T ), pri čemu je toplogija T dobivena uniranjem kugala u metrici d. Kad god se topološka struktura T na prostoru (X, T ) može dobiti pomoću kugala u nekoj metrici d na X, govorimo o metrizabilnom (topološkom) prostoru (X, T ) (skraćeno X ). Primjerice diskretna toplogija je metrizabilna bilo kojom diskretnom metrikom Propozicija Euklidski prostor R n, n N, s topologijom što je inducira metrika d 2, ima istu topologiju kao i prostor R n s topologijom induciranom metrikom d 1, odnosno d. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 24 /

Definicija Neka je (X, T ) topološki prostor, a Y X bilo koji njegov podskup. Tada je množina T Y {U Y U T } 2 Y topološka struktura na Y. To je tzv. nasljeđena (ili relativna) topologija na podskupu. Topološki prostor (Y, T Y ) nazivamo potprostorom topološkoga prostora (X, T ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 25 /

Definicija Neka je (X, T ) topološki prostor, a Y X bilo koji njegov podskup. Tada je množina T Y {U Y U T } 2 Y topološka struktura na Y. To je tzv. nasljeđena (ili relativna) topologija na podskupu. Topološki prostor (Y, T Y ) nazivamo potprostorom topološkoga prostora (X, T ). Zadatak Odredite relativnu toplogiju na skupu: N i [2, 5 {7} kao potprostoru euklidskog prostora R, { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } i {(x, 0) x R} kao potprostoru euklidkog prostora R 2, skupu kao potprostoru euklidkog prostora R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 25 /

Definicija Neka je (X, T ) topološki prostor, a Y X bilo koji njegov podskup. Tada je množina T Y {U Y U T } 2 Y topološka struktura na Y. To je tzv. nasljeđena (ili relativna) topologija na podskupu. Topološki prostor (Y, T Y ) nazivamo potprostorom topološkoga prostora (X, T ). Zadatak Odredite relativnu toplogiju na skupu: N i [2, 5 {7} kao potprostoru euklidskog prostora R, { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } i {(x, 0) x R} kao potprostoru euklidkog prostora R 2, skupu kao potprostoru euklidkog prostora R 2. Primjer Za svaki m n, R m se može smatrati topološkim potprostorom od R n, R m R n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 25 /

Definicija Nutrina ili interior Int A skupa A X iz topološkog prostora X je unija svih otvorenih skupova O A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 26 /

Definicija Nutrina ili interior Int A skupa A X iz topološkog prostora X je unija svih otvorenih skupova O A. Zadatak Odredite nutrinu sljedećih skupova u euklidskom prostoru: A = 1, { 2 {3} u R, B } = I\ {π} u R, C = R\ {π} u R, D = (x, y) x 2 4 + y 2 1 u R 2, E = {(x, 0) x [1, 2]}, E [0, 1] u R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 26 /

Definicija Pod okolinom točke x X u topološkom prostoru (X, T ) podrazumijevamo svaki skup O X (O (x)) takav da je x Int O. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 27 /

Definicija Pod okolinom točke x X u topološkom prostoru (X, T ) podrazumijevamo svaki skup O X (O (x)) takav da je x Int O. Primjer Interval [a, b], a = b, nije okolina točke a, ali je točke a+b 2 u euklidskom prostoru R. Točki a+b 2 skup [a, b nije okolina ali skup [a, b [ c, c] je okolina u euklidskom prostoru R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 27 /

Definicija Pod okolinom točke x X u topološkom prostoru (X, T ) podrazumijevamo svaki skup O X (O (x)) takav da je x Int O. Primjer Interval [a, b], a = b, nije okolina točke a, ali je točke a+b 2 u euklidskom prostoru R. Točki a+b 2 skup [a, b nije okolina ali skup [a, b [ c, c] je okolina u euklidskom prostoru R 2. Propozicija Skup U (X, T ) je otvoren točno onda kad za svaku točku x 0 U postoji neka okolina O (x 0 ) takav da je O U. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 27 /

Definicija Reći ćemo da je skup F X zatvoren u topološkom prostoru X ako je njegov komplement X F X otvoren. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 28 /

Definicija Reći ćemo da je skup F X zatvoren u topološkom prostoru X ako je njegov komplement X F X otvoren. Teorem Množina C 2 X svih zatvorenih skupova F X u topološkom prostoru X udovoljava ovim uvjetima: (T1) C je zatvorena na presijecanje; (T2) C je zatvorena na konačno uniranje; (T3) X, C. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 28 /

Lako je provjeriti da su sljedeći važni podskupovi euklidskih prostora zatvoreni: jednotočkovni skup; n-kvadar K [ξ 1, η 1 ] [ξ n, η n ] R n (za n = 1 radi se o segmentu I [ξ, η] R, a za n = 2 o pravokutniku P [ξ 1, η 1 ] [ξ 2, η 2 ] R 2 u ravnini); n-sfera (središnja, jedinična) S n {x R n+1 x 2 = 1} R n+1 (za n = 0 radi se o dvotočju S 0 = { 1, 1} R, a za n = 1 o jediničnoj središnjoj kružnici S 1 R 2 u ravnini); n-disk (središnji, jedinični) D n {x R n x 2 1} R n (za n = 1 dobivamo segment [ 1, 1] R, a za n = 2 središnji jedinični krug D 2 R 2 u ravnini). D n se često naziva i zatvorenom kuglom i označuje sa B n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 29 /

Definicija Neka je X topološki prostor i A X. Reći ćemo da je x X izolirana točka skupa A u prostoru X ako postoji okolina U od x u X takva da je U A = {x} tj. ako je x A i skup {x} je otvoren u relativnoj topologiji na A. Ako za svaku okolinu U od x u X vrijedi (U {x}) A = govorimo da je x gomilište skupa A u prostoru X. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 30 /

Definicija Neka je X topološki prostor i A X. Reći ćemo da je x X izolirana točka skupa A u prostoru X ako postoji okolina U od x u X takva da je U A = {x} tj. ako je x A i skup {x} je otvoren u relativnoj topologiji na A. Ako za svaku okolinu U od x u X vrijedi (U {x}) A = govorimo da je x gomilište skupa A u prostoru X. Skup svih gomilišta promatranoga skupa A u prostoru X označujemo sa A. Reći ćemo da je točka x X blizu skupa A X ako je x A A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 30 /

Definicija Neka je X topološki prostor i A X. Reći ćemo da je x X izolirana točka skupa A u prostoru X ako postoji okolina U od x u X takva da je U A = {x} tj. ako je x A i skup {x} je otvoren u relativnoj topologiji na A. Ako za svaku okolinu U od x u X vrijedi (U {x}) A = govorimo da je x gomilište skupa A u prostoru X. Primjer Skup svih gomilišta promatranoga skupa A u prostoru X označujemo sa A. Reći ćemo da je točka x X blizu skupa A X ako je x A A. Svaka točka iz diskretnog topološkog prostora je izolirana točka. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 30 /

Zadatak Odredite sva gomilišta i izolirane točke sljedećih podskupova euklidskih prostora: N, { Q i 2, 5 {6}u R, (x, y) x 2 + y 2 = n+1 n, n N}, {( 1 n, 1 ) } { m n, m N i (x, y) 0 < x < 1 π, y = sin 1 } x u R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 31 /

Zadatak Odredite sva gomilišta i izolirane točke sljedećih podskupova euklidskih prostora: N, { Q i 2, 5 {6}u R, (x, y) x 2 + y 2 = n+1 n, n N}, {( 1 n, 1 ) } { m n, m N i (x, y) 0 < x < 1 π, y = sin 1 } x u R 2. Zadatak Neka je A R omeđen skup. Tada su inf A i sup A gomilišta skupa A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 31 /

Teorem Skup A X je zatvoren u prostoru X ako i samo ako sadrži sva svoja gomilišta, tj. A A (sve točke blizu A su u A). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 32 /

Teorem Skup A X je zatvoren u prostoru X ako i samo ako sadrži sva svoja gomilišta, tj. A A (sve točke blizu A su u A). Definicija Zatvarač Cl A skupa A X iz topološkog prostora X je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 32 /

Teorem Skup A X je zatvoren u prostoru X ako i samo ako sadrži sva svoja gomilišta, tj. A A (sve točke blizu A su u A). Definicija Zatvarač Cl A skupa A X iz topološkog prostora X je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže A. Očigledno je zatvarač skupa A najmanji zatvoreni skup koji sadrži A i vrijedi Cl A = A A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 32 /

Teorem Skup A X je zatvoren u prostoru X ako i samo ako sadrži sva svoja gomilišta, tj. A A (sve točke blizu A su u A). Definicija Zatvarač Cl A skupa A X iz topološkog prostora X je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže A. Očigledno je zatvarač skupa A najmanji zatvoreni skup koji sadrži A i vrijedi Cl A = A A. Definicija Granica skupa A X iz topološkog prostora X je skup Fr A = Cl A Cl (X \A) FPMOZ Sveučilište u Mostaru 32 /

Zadatak Odredite zatvarače i granice sljedećih podskupova euklidskih prostora: a, b, N i Q u R i u R 2 ; {( x, sin 1 x ) x > 0 } R 2 ; { (x, y) y = 1 n x, n N, x R} u R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 33 /

Zadatak Odredite nutrinu, zatvarač i granicu sljedećih podskupova u potprostorima euklidskih prostora: 0, 1] u potprostoru, 1] prostora R; 0, 1 0, 1 u potprostoru 1, 1 1, 1 prostora R 2. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 34 /

Definicija Reći ćemo da topološki prostor X nije povezan (ili da je nepovezan), ako dopušta rastav X = U V pri čemu su podskupovi U, V X neprazni, otvoreni i disjunktni. U protivnom, za prostor X kažemo da je povezan. Reći ćemo da je skup A X povezan ( nepovezan) ako je povezan (nepovezan) kao potprostor od X, tj. skup A je nepovezan ako postoje otvoreni skupovi U i V u X takvi da je U A =, V A =, (U A) (V A) = i A U V. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 35 /

Definicija Reći ćemo da topološki prostor X nije povezan (ili da je nepovezan), ako dopušta rastav X = U V pri čemu su podskupovi U, V X neprazni, otvoreni i disjunktni. U protivnom, za prostor X kažemo da je povezan. Reći ćemo da je skup A X povezan ( nepovezan) ako je povezan (nepovezan) kao potprostor od X, tj. skup A je nepovezan ako postoje otvoreni skupovi U i V u X takvi da je U A =, V A =, (U A) (V A) = i A U V. Primjer Skupovi N i Q su nepovezani podskupovi od R. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 35 /

Definicija Reći ćemo da topološki prostor X nije povezan (ili da je nepovezan), ako dopušta rastav X = U V pri čemu su podskupovi U, V X neprazni, otvoreni i disjunktni. U protivnom, za prostor X kažemo da je povezan. Reći ćemo da je skup A X povezan ( nepovezan) ako je povezan (nepovezan) kao potprostor od X, tj. skup A je nepovezan ako postoje otvoreni skupovi U i V u X takvi da je U A =, V A =, (U A) (V A) = i A U V. Primjer Skupovi N i Q su nepovezani podskupovi od R. Teorem Euklidski prostor R je povezan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 35 /

Neka je X topološki prostor. Familiju A = (A λ λ Λ) podskupova od X nazivamo pokrivačem prostora (skupa) X ako je A = X. Ako su λ Λ svi skupovi iz A otvoreni tada za A kažemo da je otvoreni pokrivač za X. Svaku podfamiliju A = (A λ λ Λ ), Λ Λ, od A nazivamo potpokrivačem od A ako je i sam pokrivač prostora X. Definicija Reći ćemo da je topološki prostor X kompaktan ako svaki otvoreni pokrivač U za prostor X dopušta konačni potpokrivač U za X. Za skup A X kažemo da je kompaktan, ako je kompaktan kao potprostor od X. Definicija Za metrički prostor koji je povezan i kompaktan kažemo da je kontinuum. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 36 /

Primjer Niti jedan euklidski prostor R n, n N, nije kompaktan. Uočimo li, naime, otvoreni pokrivač U = {B(0, n) n N} za R n što ga tvore sve kugle oko ishodišta 0 = (0,, 0) R n s polumjerima n N, razvidno je da ga nije moguće reducirati na konačni potpokrivač. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 37 /

Primjer Niti jedan euklidski prostor R n, n N, nije kompaktan. Uočimo li, naime, otvoreni pokrivač U = {B(0, n) n N} za R n što ga tvore sve kugle oko ishodišta 0 = (0,, 0) R n s polumjerima n N, razvidno je da ga nije moguće reducirati na konačni potpokrivač. Zadatak Dokažite da interval a, b nije kompaktan podskup od R. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 37 /

Primjer Niti jedan euklidski prostor R n, n N, nije kompaktan. Uočimo li, naime, otvoreni pokrivač U = {B(0, n) n N} za R n što ga tvore sve kugle oko ishodišta 0 = (0,, 0) R n s polumjerima n N, razvidno je da ga nije moguće reducirati na konačni potpokrivač. Zadatak Dokažite da interval a, b nije kompaktan podskup od R. Teorem Svaki kompaktni metrički prostor je omeđen. Svaki kompaktni podskup K metričkog prostora X je zatvoren. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 37 /

Primjer Niti jedan euklidski prostor R n, n N, nije kompaktan. Uočimo li, naime, otvoreni pokrivač U = {B(0, n) n N} za R n što ga tvore sve kugle oko ishodišta 0 = (0,, 0) R n s polumjerima n N, razvidno je da ga nije moguće reducirati na konačni potpokrivač. Zadatak Dokažite da interval a, b nije kompaktan podskup od R. Teorem Svaki kompaktni metrički prostor je omeđen. Svaki kompaktni podskup K metričkog prostora X je zatvoren. Teorem Podskup euklidskog prostora je kompaktan akko je zatvoren i omeđen. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 37 /

Neprekidnost Definicija Neka su X i Y topološki prostori. Kažemo da je f : X Y neprekidno preslikavanje (funkcija) u točki x 0 X ako za svaku okolinu V točke f (x 0 ) postoji okolina U točke x 0 takva da je f (U) V. U protivnome kažemo da je f prekidno u točki x 0. Ako je f neprekidno u svakoj točki x X kažemo da je f neprekidno. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 38 /

Neprekidnost Definicija Neka su X i Y topološki prostori. Kažemo da je f : X Y neprekidno preslikavanje (funkcija) u točki x 0 X ako za svaku okolinu V točke f (x 0 ) postoji okolina U točke x 0 takva da je f (U) V. U protivnome kažemo da je f prekidno u točki x 0. Ako je f neprekidno u svakoj točki x X kažemo da je f neprekidno. Primjer Identiteta id = 1 X : X X definirana sa id (x) = x, x X je neprekidna. Konstantno preslikavanje c : X Y definirano sa c (x) = y 0, x X, y 0 Y, je neprekidno. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 38 /

Neprekidnost Definicija Neka su X i Y topološki prostori. Kažemo da je f : X Y neprekidno preslikavanje (funkcija) u točki x 0 X ako za svaku okolinu V točke f (x 0 ) postoji okolina U točke x 0 takva da je f (U) V. U protivnome kažemo da je f prekidno u točki x 0. Ako je f neprekidno u svakoj točki x X kažemo da je f neprekidno. Primjer Identiteta id = 1 X : X X definirana sa id (x) = x, x X je neprekidna. Konstantno preslikavanje c : X Y definirano sa c (x) = y 0, x X, y 0 Y, je neprekidno. Primjer Neka je X topološki prostor, a A X bilo koji njegov potprostor. Tada je ulaganje (inkluzija) i A : A X, i A (x) = x za svaki x A, neprekidna funkcija. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 38 /

Zadatak Neka je f : X Y preslikavanje topoloških prostora i neka je x 0 X izolirana točka. Dokažite da je f neprekidno u x 0. Primjer Neka je X diskretan topološki prostor. Dokažite da je za svaki topološki prostor Y svaka funkcija f : X Y neprekidna. Primjer Dokažite da je funkcija f : [ 1, 4] {5} R zadana sa f (x) = { 1, x Q 0, x I prekidna u svakoj točki domene osim u 5. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 39 /

Teorem Neka su X i Y topološki prostori, a f : X Y funkcija. Tada su ove tvrdnje međusobno ekvivalentne: (i) f je neprekidna; (ii) ( V Y otvoren) f 1 [V ] X je otvoren; (iii) ( F Y zatvoren) f 1 [F ] X je zatvoren. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 40 /

Zadatak Ako je f : X Y neprekidno preslikavanje onda je, za svaki potprostor A X, i suženje (restrikcija) f A : A Y neprekidno preslikavanje. Nadalje, ako je f : X Y neprekidno preslikavanje onda je, za svaki potprostor Y Y, i funkcija g : X Y g (x) = f (x), x X, neprekidno preslikavanje. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 41 /

Zadatak Ako je f : X Y neprekidno preslikavanje onda je, za svaki potprostor A X, i suženje (restrikcija) f A : A Y neprekidno preslikavanje. Nadalje, ako je f : X Y neprekidno preslikavanje onda je, za svaki potprostor Y Y, i funkcija g : X Y g (x) = f (x), x X, neprekidno preslikavanje. Teorem Neka su X, Y i Z topološki prostori, a f : X Y i g : Y Z funkcije. Ako je f neprekidna u točki x 0 X i g neprekidna u točki f (x 0 ) Y, onda je kompozicija gf : X Z neprekidna u točki x 0. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 41 /

Teorem ( Ljepljenje preslikavanja) Neka je X = A 1 A 2 pri čemu su oba A 1,2 X otvoreni ili zatvoreni podskupovi topološkog prostora X. Ako su f j : A j Y, j = 1, 2, neprekidna preslikavanja što se podudaraju na presjeku, tj. f 1 A1 A{ 2 = f 2 A1 A 2, onda je i funkcija f1 (x), x A f : X Y, f (x) = 1, neprekidno preslikavanje. f 2 (x), x A 2 FPMOZ Sveučilište u Mostaru 42 /

Teorem ( Ljepljenje preslikavanja) Neka je X = A 1 A 2 pri čemu su oba A 1,2 X otvoreni ili zatvoreni podskupovi topološkog prostora X. Ako su f j : A j Y, j = 1, 2, neprekidna preslikavanja što se podudaraju na presjeku, tj. f 1 A1 A{ 2 = f 2 A1 A 2, onda je i funkcija f1 (x), x A f : X Y, f (x) = 1, neprekidno preslikavanje. f 2 (x), x A 2 Primjer { 0, x < 0 Funkcija f : R R f (x) = nije neprekidna iako su suženja 1, x 0 f 1 f (,0) i f 2 f [0, ) neprekidna (konstante). S druge strane, primjenom prethodnog teorema, izlazi da je funkcija h f (0, ) (,0) neprekidna. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 42 /

Neprekidnost u metričkim prostorima Korolar Neka su (X, d X ) i (Y, d Y )metrički prostori. Funkcija f : X Y je neprekidna u točki x 0 X onda i samo onda, ako udovoljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X ) d X (x 0, x) < δ d Y (f (x 0 ), f (x)) < ɛ. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 43 /

Neprekidnost u metričkim prostorima Korolar Neka su (X, d X ) i (Y, d Y )metrički prostori. Funkcija f : X Y je neprekidna u točki x 0 X onda i samo onda, ako udovoljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X ) d X (x 0, x) < δ d Y (f (x 0 ), f (x)) < ɛ. Primjer Svaka koordinatna projekcija p i : R n R, p i (x) = x i, x = (x 1,, x n ), i = 1,, n, je neprekidna funkcija. (Primijetimo da je skup [ ξ, η ] = R R ξ, η R R R n otvoren) p 1 i FPMOZ Sveučilište u Mostaru 43 /

Neprekidnost u metričkim prostorima Korolar Neka su (X, d X ) i (Y, d Y )metrički prostori. Funkcija f : X Y je neprekidna u točki x 0 X onda i samo onda, ako udovoljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X ) d X (x 0, x) < δ d Y (f (x 0 ), f (x)) < ɛ. Primjer Svaka koordinatna projekcija p i : R n R, p i (x) = x i, x = (x 1,, x n ), i = 1,, n, je neprekidna funkcija. (Primijetimo da je skup [ ξ, η ] = R R ξ, η R R R n otvoren) p 1 i Primjer Norma : X R na vektorskom prostoru X je neprekidno preslikavanje, pri čemu X uzimamo kao metrički prostor s metrikom induciranom normom, a R kao standardni euklidski prostor. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 43 /

Svako preslikavanje f : X R n, je određeno svojim koordinatnim preslikavanjima f i := p i f : X R, i = 1,..., n, gdje je f (x) = (f 1 (x),..., f n (x)). Stoga ćemo pisati f = (f 1,..., f n ) : X R n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 44 /

Svako preslikavanje f : X R n, je određeno svojim koordinatnim preslikavanjima f i := p i f : X R, i = 1,..., n, gdje je f (x) = (f 1 (x),..., f n (x)). Stoga ćemo pisati f = (f 1,..., f n ) : X R n. Teorem Neka je X metrički prostor. Funkcija f : X R n je neprekidna u točki x 0 X ako i samo ako su sve njezine koordinatne funkcije f j : X R, j = 1,, n, neprekidne u točki x 0. Posljedično, funkcija f je neprekidna točno onda kad su joj sve koordinatne funkcije f 1,, f n neprekidne. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 44 /

Svako preslikavanje f : X R n, je određeno svojim koordinatnim preslikavanjima f i := p i f : X R, i = 1,..., n, gdje je f (x) = (f 1 (x),..., f n (x)). Stoga ćemo pisati f = (f 1,..., f n ) : X R n. Teorem Neka je X metrički prostor. Funkcija f : X R n je neprekidna u točki x 0 X ako i samo ako su sve njezine koordinatne funkcije f j : X R, j = 1,, n, neprekidne u točki x 0. Posljedično, funkcija f je neprekidna točno onda kad su joj sve koordinatne funkcije f 1,, f n neprekidne. Analogno se pokaže da je funkcija f : X R m 1 R m 2 R m n neprekidna akko je neprekidna svaka njezina koordinatna funkcija f i : X R m i, f i = p mi 1 +1,m i f gdje je p i : R m 1+m 2 + +m n R m i projekcija od m i 1 + 1.-ve koordinate do m i -te koordinate (m i 1 = 0) vektora iz R m 1+m 2 + +m n. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 44 /

Teorem Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja. Tada je skup {x X f (x) = g (x)} zatvoren podskup od X. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 45 /

Teorem Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja. Tada je skup {x X f (x) = g (x)} zatvoren podskup od X. Korolar Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja, te neka je f A = g A za neki podskup A X. Tada je f Cl A = g Cl A. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 45 /

Teorem Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja. Tada je skup {x X f (x) = g (x)} zatvoren podskup od X. Korolar Neka su X i Y metrički prostori, a f, g : X Y dva neprekidna preslikavanja, te neka je f A = g A za neki podskup A X. Tada je f Cl A = g Cl A. Korolar Neka su X i Y metrički prostori i neka je A X gust podskup (Cl A = X ). Ako neprekidna funkcija f : A Y dopušta neprekidno proširenje f : X Y na X onda je ono jedinstveno. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 45 /

Teorem U (realnom) normiranom vektorskom prostoru X su zbrajanje i množenje sa skalarom neprekidne funkcije. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 46 /

Teorem U (realnom) normiranom vektorskom prostoru X su zbrajanje i množenje sa skalarom neprekidne funkcije. Korolar Ako su f, g : X R neprekidna preslikavanja, onda su i f + g : X R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), i f g : X R, (f g)(x) = f (x)g(x), neprekidna preslikavanja. Posebice, zbrajanje i množenje funkcije s danom konstantom λ R (tj. konstantnom funkcijom c λ : X R) jesu neprekidna preslikavanja. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 46 /

Teorem U (realnom) normiranom vektorskom prostoru X su zbrajanje i množenje sa skalarom neprekidne funkcije. Korolar Ako su f, g : X R neprekidna preslikavanja, onda su i f + g : X R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), i f g : X R, (f g)(x) = f (x)g(x), neprekidna preslikavanja. Posebice, zbrajanje i množenje funkcije s danom konstantom λ R (tj. konstantnom funkcijom c λ : X R) jesu neprekidna preslikavanja. Korolar Za svaki topološki prostor T i svaki n N, skup svih neprekidnih preslikavanja x : T R n tvori (realni) vektorski prostor C(T, R n ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 46 /

Dokaz Teorema Označimo vektorsko zbrajanje funkcijom f, tj. f : X X X, f (x, y) = x + y. Neka je (x 0, y 0 ) X X bilo koja točka i neka je ɛ > 0 bilo koji realni broj. Odaberimo δ = ɛ 2 (ne ovisi o (x 0, y 0 )!), pa neka (x, y) X X d ((x 0, y 0 ), (x, y)) = x x 0 2 + y y 0 2 < δ. Tada je x x 0 < δ i y y 0 < δ pa je f (x, y) f (x 0, y 0 ) = (x + y) (x 0 + y 0 ) x x 0 + y y 0 < 2δ = ɛ, što pokazuje da je zbrajanje f neprekidno u (x 0, y 0 ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 47 /

Neka f sada označuje množenje skalara i vektora, tj. f : R X X, f (λ, x) = λx. Neka je (λ 0, x 0 ) R X bilo koja točka i neka je ɛ > 0 bilo koji realni broj. Primijetimo da je f (λ, x) f (λ 0, x 0 ) = λx λ 0 x 0 = (λ λ 0 )(x x 0 ) + λ 0 (x x 0 ) + (λ λ 0 )x 0 λ λ 0 x x 0 + λ 0 x x 0 + λ λ 0 x 0. ɛ Odaberimo δ = min{1, 1+ λ 0 + x 0 } > 0 (ovisi i o (λ 0, x 0 )!), pa neka (λ, x) R X bilo koja točka do na δ-blizu točki (λ 0, x 0 ). Tada je λ λ 0 < δ i x x 0 < δ pa je, po prethodnom računu, f (λ, x) f (λ 0, x 0 ) = λx λ 0 x 0 < δ + λ 0 δ + x 0 δ < ɛ, što pokazuje da je množenje vektora i skalara f neprekidno u (x 0, y 0 ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 48 /

Teorem Neka su funkcije f, g : X R, X R m, neprekidne u točki x 0 X. (i) Ako je g(x 0 ) = 0 onda postoji okolina U R m od x 0 za koju je dobro definirana funkcija h : X U R, h(x) = f (x ), i h je neprekidna u g (x ) točki x 0. (ii) Funkcija f : X R je neprekidna u x 0. (iii) Funkcije min {f, g}, max {f, g} : X R su neprekidne u x 0. Korolar Polinomi jedne ili više varijabli su neprekidne funkcije. Racionalne funkcije su neprekidne u svim točkama u kojima je funkcija definirana (sve točke iz R osim nul točaka nazivnika). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 49 /

Uniformna neprekidnost Definicija Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori i f : X Y funkcija. Reći ćemo da je f jednoliko preslikavanje ili da je jednoliko ( uniformno) neprekidna funkcija, ako udovaljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X )( x X ) d X (x, x ) < δ d Y (f (x), f (x )) < ɛ FPMOZ Sveučilište u Mostaru 50 /

Uniformna neprekidnost Definicija Neka su (X, d X ) i (Y, d Y ) metrički prostori i f : X Y funkcija. Reći ćemo da je f jednoliko preslikavanje ili da je jednoliko ( uniformno) neprekidna funkcija, ako udovaljava ovomu uvjetu: ( ɛ > 0)( δ > 0)( x X )( x X ) d X (x, x ) < δ d Y (f (x), f (x )) < ɛ Primjer Identička i konstantna preslikavanja metričkih prostora su uniformno neprekidna. Zbrajanje vektora na normiranom vektorskom prostoru je uniformno neprekidno. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 50 /

Svaka uniformno neprekidna funkcija je neprekidna, no obrat općenito ne vrijedi kao što pokazuju sljedeći primjeri. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 51 /

Primjer Svaka uniformno neprekidna funkcija je neprekidna, no obrat općenito ne vrijedi kao što pokazuju sljedeći primjeri. Množenje vektora normiranog vektorskog prostora sa skalarom, R X X, nije uniformno neprekidna funkcija. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 51 /

Primjer Svaka uniformno neprekidna funkcija je neprekidna, no obrat općenito ne vrijedi kao što pokazuju sljedeći primjeri. Množenje vektora normiranog vektorskog prostora sa skalarom, R X X, nije uniformno neprekidna funkcija. Zadatak Preslikavanje f : R R f (x) = x 2 nije uniformno neprekidno, a preslikavanje g : R R g (x) = ax + b jest. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 51 /

Definicija Neka su X i Y metrički prostori i f : X Y funkcija. Reći ćemo da f ima Lipschitzovo svojstvo ako ( λ 0)( x, x X ) d(f (x), f (x )) λd(x, x ). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 52 /

Definicija Neka su X i Y metrički prostori i f : X Y funkcija. Reći ćemo da f ima Lipschitzovo svojstvo ako ( λ 0)( x, x X ) d(f (x), f (x )) λd(x, x ). Teorem Ako funkcija f : X Y ima Lipschitzovo svojstvo onda je f jednoliko neprekidna. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 52 /

Teorem Svaki linearni operator A : R m R n je linearno ograđen, tj. ( µ 0)( x R m ) A(x) µ x. (Norma je euklidska norma 2 ili 1 ili ) FPMOZ Sveučilište u Mostaru 53 /

Teorem Svaki linearni operator A : R m R n je linearno ograđen, tj. ( µ 0)( x R m ) A(x) µ x. (Norma je euklidska norma 2 ili 1 ili ) Korolar Svaki linearni operator A : R m R n ima Lipschitzovo svojstvo pa je jednoliko neprekidan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 53 /

Teorem Svaki linearni operator A : R m R n je linearno ograđen, tj. ( µ 0)( x R m ) A(x) µ x. (Norma je euklidska norma 2 ili 1 ili ) Korolar Svaki linearni operator A : R m R n ima Lipschitzovo svojstvo pa je jednoliko neprekidan. Množenje vektora normiranog vektorskog prostora X sa fiksnim skalarom λ 0, ϕ : X X ϕ (x) = λ 0 x, je linearni operator pa je uniformno neprekidan. Ta funkcija je zapravo restrikcija funkcije množenja vektora sa skalarom R X X na {λ 0 } X X koja nije uniformno neprekidna. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 53 /

Teorem Svaki linearni operator A : R m R n je linearno ograđen, tj. ( µ 0)( x R m ) A(x) µ x. (Norma je euklidska norma 2 ili 1 ili ) Korolar Svaki linearni operator A : R m R n ima Lipschitzovo svojstvo pa je jednoliko neprekidan. Množenje vektora normiranog vektorskog prostora X sa fiksnim skalarom λ 0, ϕ : X X ϕ (x) = λ 0 x, je linearni operator pa je uniformno neprekidan. Ta funkcija je zapravo restrikcija funkcije množenja vektora sa skalarom R X X na {λ 0 } X X koja nije uniformno neprekidna. Ako je funkcija f : Ω R m Ω R n uniformno neprekidna uz bilo koju od metrika d 1, d 2, d na R m i R n onda je uniformno neprekidna i uz svaku drugu od tih metrika. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 53 /

Homeomorfizam Definicija Neka su X i Y topološki prostori, a f : X Y funkcija. Reći ćemo da je f homeomorfizam, ako udovoljuje ovim uvjetima: (i) f je bijekcija; (ii) f je neprekidno; (iii) f 1 je neprekidno. Reći ćemo da je prostor X homeomorfan prostoru Y i pisati X Y čim postoji neki homeomorfizam f : X Y. Homeomorfnost topoloških prostora je razredbena relacija na klasi svih topoloških prostora. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 54 /

Primjer Za svaki a, b R, potprostor a, b R i cijeli prostor R su homeomorfni. Svaka dva segmenta [a, b] i [c, d] su homeomorfna. Svake dvije n 1 sfere S n 1 u R n su homeomorfne. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 55 /

Primjer Za svaki a, b R, potprostor a, b R i cijeli prostor R su homeomorfni. Svaka dva segmenta [a, b] i [c, d] su homeomorfna. Svake dvije n 1 sfere S n 1 u R n su homeomorfne. Primjer Funkcija exp : [0, 2π S 1 exp (t) = (cos t, sin t) eksponencijalnog namatanja pravca na kružnicu je neprekidna bijekcija, ali nije homeomorfizam. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 55 /

Invarijante neprekidnih preslikavanja Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je prostor X povezan, onda je i slika f (X ) Y povezan skup. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 56 /

Invarijante neprekidnih preslikavanja Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je prostor X povezan, onda je i slika f (X ) Y povezan skup. Primjer Kružnica S 1 je povezana. Segment [a, b] R je povezan. Interval (a, b) R je povezan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 56 /

Invarijante neprekidnih preslikavanja Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je prostor X povezan, onda je i slika f (X ) Y povezan skup. Primjer Kružnica S 1 je povezana. Segment [a, b] R je povezan. Interval (a, b) R je povezan. Napomena Graf funkcije f : X R n, X R m, je skup Γ f = {(x, f (x) x X )} R m+n. Povezanost grafa nije niti nužan niti dovoljan uvjet za neprekidnost funkcije f. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 56 /

Teorem Neka je (X j j J) množina nepraznih podskupova X j X topološkog prostora X takvih da je X j = X i X j =. Ako je svaki X j povezan onda je i X povezan. j J j J FPMOZ Sveučilište u Mostaru 57 /

Definicija Pod putom u topološkom prostoru X podrazumijevamo svako neprekidno preslikavanje ω : [a, b] X. Točku x 0 = ω(a) nazivamo početkom, a točku x 1 = ω(b) svršetkom puta ω u X. Pri tom govorimo da put ω povezuje točku x 0 s točkom x 1, a skup ω ([a, b]) nazivamo slikom ili trajektorijom puta ω. Ako x 0 = x 1 put nazivamo zatvorenim. Ako je put ω injektivno preslikavanje onda ga nazivamo lukom. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 58 /

Definicija Pod putom u topološkom prostoru X podrazumijevamo svako neprekidno preslikavanje ω : [a, b] X. Točku x 0 = ω(a) nazivamo početkom, a točku x 1 = ω(b) svršetkom puta ω u X. Pri tom govorimo da put ω povezuje točku x 0 s točkom x 1, a skup ω ([a, b]) nazivamo slikom ili trajektorijom puta ω. Ako x 0 = x 1 put nazivamo zatvorenim. Ako je put ω injektivno preslikavanje onda ga nazivamo lukom. Primjer U normiranom vektorskom prostoru X svaki par točaka x 0 i x 1 određuje pravocrtni put koji povezuje x 0 sa x 1. To je put definiran sa ω : [0, 1] X, ω (t) = x 0 + t (x 1 x 0 ). U jediničnom kvadratu u R 2 postoji put čija trajektorija prolazi svim točkama kvadrata (Peanova krivulja). FPMOZ Sveučilište u Mostaru 58 /

Definicija Reći ćemo da je topološki prostor X putovima povezan, ako za svake dvije točke x 0, x 1 X postoji put ω u X koji ih povezuje. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 59 /

Definicija Reći ćemo da je topološki prostor X putovima povezan, ako za svake dvije točke x 0, x 1 X postoji put ω u X koji ih povezuje. Teorem Ako je prostor X putovima povezan onda je i povezan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 59 /

Definicija Reći ćemo da je topološki prostor X putovima povezan, ako za svake dvije točke x 0, x 1 X postoji put ω u X koji ih povezuje. Teorem Ako je prostor X putovima povezan onda je i povezan. Primjer Skup W = {( x, sin 1 x ) x (0, 1) } {(0, 0)} je povezan, ali nije putovima povezan jer ne postoji put koji povezuje točku (0, 0) i bilo koju drugu točku iz W. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 59 /

Definicija Za skup K iz normiranog prostora X kažemo da je konveksan ako za svaki par točaka x 0, x 1 K postoji pravocrtni put u K koji povezuje x 0 s x 1. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 60 /

Definicija Za skup K iz normiranog prostora X kažemo da je konveksan ako za svaki par točaka x 0, x 1 K postoji pravocrtni put u K koji povezuje x 0 s x 1. Teorem Svaki konveksni skup K u normiranom vektorskom prostoru je povezan i putovima povezan. Posebno je svaki normirani vektorski prostor (putovima) povezan. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 60 /

Definicija Za skup K iz normiranog prostora X kažemo da je konveksan ako za svaki par točaka x 0, x 1 K postoji pravocrtni put u K koji povezuje x 0 s x 1. Teorem Svaki konveksni skup K u normiranom vektorskom prostoru je povezan i putovima povezan. Posebno je svaki normirani vektorski prostor (putovima) povezan. Primjer Kugla B(x 0, r) R n je putovima povezana. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 60 /

Definicija Za skup K iz normiranog prostora X kažemo da je konveksan ako za svaki par točaka x 0, x 1 K postoji pravocrtni put u K koji povezuje x 0 s x 1. Teorem Svaki konveksni skup K u normiranom vektorskom prostoru je povezan i putovima povezan. Posebno je svaki normirani vektorski prostor (putovima) povezan. Primjer Kugla B(x 0, r) R n je putovima povezana. Teorem Neprazni podskup K R je povezan akko je konveksan tj. ako je ili jednotočkovan skup ili (polu)otvoreni i (polu) zatvoreni interval ili zraka. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 60 /

Definicija Otvoren i povezan skup Ω u R n zovemo područjem. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 61 /

Definicija Otvoren i povezan skup Ω u R n zovemo područjem. Teorem Otvoreni skup U R n je područje onda i samo onda, ako za svake dvije točke x, x U postoji poligonalni put u U koji ih povezuje, tj. ako postoji konačno mnogo točaka x 0 = x, x 1,, x k 1, x k = x, k N, takvih da sve dužine x l 1 x l := {(1 t) x l 1 + x l }, l = 1,, k, leže u skupu U. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 61 /

Teorem (Teorem o međuvrijednostima) Neka je X povezan, f : X R omeđena neprekidna funkcija, i neka je m := inf f [X ], M := sup f [X ]. Tada za svaki t (m, M) postoji točka x X takva da je f (x) = t. Ako je c, d f [X ] onda je [c, d] f [X ]. Korolar Neka je ϕ : [a, b] R neprekidna funkcija takva da je ϕ (a) ϕ (b) < 0. Tada postoji t (a, b), ϕ (t) = 0. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 62 /

Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je i slika f [X ] Y kompaktna. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 63 /

Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je i slika f [X ] Y kompaktna. Teorem Neka je X R m i Y R n i neka je f : X Y bijektivno neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je f 1 : Y X neprekidno, tj. f je homeomorfizam. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 63 /

Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je i slika f [X ] Y kompaktna. Teorem Neka je X R m i Y R n i neka je f : X Y bijektivno neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je f 1 : Y X neprekidno, tj. f je homeomorfizam. Zadatak Dokažite da je f : (0, 1) {2, 3} [0, 1] f (x) = x, x (0, 1), f (2) = 0, f (3) = 1, neprekidna bijekcija koja nije homeomorfizam. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 63 /

Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je i slika f [X ] Y kompaktna. Teorem Neka je X R m i Y R n i neka je f : X Y bijektivno neprekidno preslikavanje. Ako je X kompaktan onda je f 1 : Y X neprekidno, tj. f je homeomorfizam. Zadatak Dokažite da je f : (0, 1) {2, 3} [0, 1] f (x) = x, x (0, 1), f (2) = 0, f (3) = 1, neprekidna bijekcija koja nije homeomorfizam. Zadatak Ispitajte je li f : [0, π] { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1 } f (t) = (cos t, sin t) homeomorfizam. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 63 /

Teorem Neka je f : X Y neprekidno preslikavanje metričkih prostora. Ako je X kompaktan onda je f jednoliko neprekidno. Teorem (Weierstrassov teorem) Neka je X neprazni kompaktni prostor i f : X R neprekidno preslikavanje. Tada (i) f poprima svoju najmanju i svoju najveću vrijednost; (ii) ako je prostor X i povezan onda je slika f [X ] segment [min f [X ], max f [X ]]. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 64 /

Limes funkcije Definicija Neka su X i Y topološki prostori, A X podskup, x 0 X gomilište od A i f : A Y funkcija. Reći ćemo da funkcija f ima graničnu vrijednost (ili da ima limes) u točki x 0, ako postoji točka y 0 Y takva da, za svaku okolinu V Y od y 0, postoji okolina U X od x 0 za koju je f [A (U {x 0 })] V. Pri tom govorimo da je točka y 0 granična vrijednost ili limes funkcije f u točki x 0 i pišemo: f (x) y 0 čim x x 0. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 65 /

Limes funkcije Definicija Neka su X i Y topološki prostori, A X podskup, x 0 X gomilište od A i f : A Y funkcija. Reći ćemo da funkcija f ima graničnu vrijednost (ili da ima limes) u točki x 0, ako postoji točka y 0 Y takva da, za svaku okolinu V Y od y 0, postoji okolina U X od x 0 za koju je f [A (U {x 0 })] V. Pri tom govorimo da je točka y 0 granična vrijednost ili limes funkcije f u točki x 0 i pišemo: f (x) y 0 čim x x 0. U slučaju metričkih prostora X i Y smijemo birati kugle V = B(y 0, ɛ) i U = B(x 0, δ), pa se funkcijska granična vrijednost može opisati ovako: Fukcija f : A Y ima u točki x 0 A graničnu vrijednost y 0 Y ako i samo ako ( ɛ > 0)( δ > 0) ( x A {x 0 }) d(x 0, x) < δ d(y 0, f (x)) < ɛ. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 65 /

Teorem Ako je Y metrički prostor, onda funkcija f : A Y, A X, može u točki x 0 A imati najviše jednu graničnu vrijednost. Prethodni teorem nam dopušta rabiti oznaku lim x x 0 f (x) = y 0 za limes funkcije f : X Y kadgod je Y metrički prostor. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 66 /

Primjer Realna funkcija realne varijable zadana analitičkim izrazom f (x) = x 3 8 x 2 ima limes u točki x 0 = 2 i on iznosi lim f (x) = 12, iako u točki x 0 = 2 x 2 funkcija f nije definirana. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 67 /

Primjer Realna funkcija realne varijable zadana analitičkim izrazom f (x) = x 3 8 x 2 ima limes u točki x 0 = 2 i on iznosi lim f (x) = 12, iako u točki x 0 = 2 x 2 funkcija f nije definirana. Primjer Za realnu funkcija realne varijable zadanu analitičkim izrazom x 2 2x +1 x 2 g (x) = nema smisla promatrati limes u točki x 0 = 1 iako je g (1) = 0. Naime x 0 = 1 nije gomilište područja definicije funkcije g. FPMOZ Sveučilište u Mostaru 67 /