ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Θερινά ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/06 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Κατσαρός Δημήτρης - Συμεώνογλου Βασίλης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 9, Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 96-97, Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 9, Α ) ΣΩΣΤΟ, ) ΛΑΘΟΣ, ) ΛΑΘΟΣ, v) ΛΑΘΟΣ, v) ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Β Είναι 8 και 0 Ακόμα είναι 8 % 0 % 00% 00% 0% και F 0, 0 00 00 F F 0, 0, 0,, % 00% 0%, 0 0, και ακόμα 8 0 0 0 0 6 60 6 0, και % 00% 0% 0 0, και F 8 0 0 6 6 8 6 6 και 0, και 0 % 00 % 0 % Τέλος έχουμε F F 0, 0, 0, 9 ΤΙΜΕΣ v % 8 0 8 0, 0 0 0, 6 0 6 0,9 6 0 0 ΣΥΝΟΛΟ ν=0 00 N F Σελίδα από 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 Β Η μέση τιμή Η διακύμανση δίνεται από τον τύπο δίνεται από τον τύπο 8 6 0 0 0 Οπότε έχουμε 8 6 6 6 6 0 0 96 0 Β ) 000 0, 000 δηλαδή το 0% των παρατηρήσεων του δείγματος Β είναι μεγαλύτερες 9 ή ίσες του 9 Οπότε είναι η διάμεσος του δείγματος Β διότι από θεωρία το 0% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ίσες από την διάμεσο Όμως οι παρατηρήσεις του δείγματος Β ακολουθούν την κανονική κατανομή Άρα θα έχουμε 9 0 000 0 0 δηλαδή το,% των παρατηρήσεων του δείγματος Β είναι μικρότερες του Όμως γνωρίζουμε ότι σε κανονική κατανομή συχνοτήτων το,% των παρατηρήσεων του δείγματος είναι μικρότερες από Συνεπώς προκύπτει Τελικά έχουμε 8 και Σελίδα από 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 ) Για το πρώτο δείγμα έχουμε 0 παρατηρήσεις συνεπώς η διάμεσος θα είναι το ημιάθροισμα της 0 ης και της ης παρατήρησης Από την στήλη των Η η έως και την 8 η παρατήρηση έχουν τιμή Η 9 η έως και την 0 η παρατήρηση έχουν τιμή Η η έως και την 6 η παρατήρηση έχουν τιμή N έχουμε ότι: Συνεπώς η διάμεσος είναι: Στο δεύτερο δείγμα 9 Συνεπώς μικρότερες από την διάμεσο του πρώτου δείγματος βρίσκεται το 0,% των παρατηρήσεων, δηλαδή: 0, 000 παρατηρήσεις 00 ΘΕΜΑ Γ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ [, ) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΠΟΣΟΣΤΟ ΦΟΙΤΗΤΩΝ % 0-0 0, 0, 8 6 0 0,,8 8 0 0 0, 6 0 0,,6 6-0 8 0 0,,8 Γ % 0 % % 0, 0,, 0, 00 00 00 00, δηλαδή το 0% των μαθητών είχαν βαθμολογία στο μάθημα, Γνωρίζουμε ότι της Γεωμετρίας μικρότερη η ίση του Οπότε έχουμε F 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Ακόμα είναι 0, 0 0, 0, 0, 6 0, % 00% 0 Ομοίως έχουμε % 00% 0 0 Επίσης έχουμε Ομοίως είναι 6, 0, και 8 Η μέση βαθμολογία των μαθητών είναι 0,, 8, 6, 8 0, Σελίδα από 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 Γ Το 0% των μαθητών είχαν βαθμολογία έως 6 Επειδή οι βαθμολογίες θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, τότε προκύπτει ότι το 0% των μαθητών έγραψαν έως και το 0% των μαθητών έγραψαν έως 6 Άρα Γ προκύπτει τελικά 0, 0, 0, 0, 0, δηλαδή το 0% των μαθητών είχαν βαθμολογία έως 0 Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι μαθητές τελικά είχαν βαθμολογία έως 0 έ ί 0% 00 0 έ ί 00% 0 μαθητές συνολικά 0 0, 6 0 0, 0 0 0, 0 0, 8 0 0, 6 0, 6 0, 0 6 0, 6 0, 6,, 8 6, 6, είναι η διακύμανση του δείγματος Είναι 6 η τυπική απόκλιση της βαθμολογίας των μαθητών Ο συντελεστής μεταβλητότητας CV είναι CV 6 6 διότι 0 6 0 0 Οπότε το δείγμα δεν είναι ομοιογενές Γ ) Επειδή έχουμε κατά προσέγγιση κανονική κατανομή συχνοτήτων προκύπτει 0 Είναι και R 6 6 δηλαδή 0 Το 6% των παρατηρήσεων ενός δείγματος σε κανονική κατανομή είναι μεγαλύτερες από Οπότε το 6% των βαθμών είναι μεγαλύτεροι από ) Στο πρώτο δείγμα το 0% των μαθητών είχαν βαθμολογία 8 έως Επειδή οι βαθμολογίες θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, τότε προκύπτει ότι το % των μαθητών έγραψαν 8 έως 0 και το % των μαθητών έγραψαν 0 έως Συνεπώς έχουμε 0, 0, 0, 0, δηλαδή το % των μαθητών του πρώτου δείγματος έγραψαν κάτω από την βάση Στο δεύτερο δείγμα μαθητών επειδή 0 προκύπτει ότι το 0% των μαθητών έγραψαν κάτω από τη βάση διότι το 0% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από την διάμεσο Άρα στο δεύτερο δείγμα έχουμε το μεγαλύτερο ποσοστό βαθμών κάτω από την βάση Σελίδα από 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 ΘΕΜΑ Δ Δ Είναι (), όπου 0, Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο σύνολο ως πολυωνυμική με () Γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη της καμπύλης της, στο σημείο της Μ με τετμημένη είναι παράλληλη στον άξονα ' Οπότε ισχύει και 0 ( ) 0 0 Δ Αν, τότε () () 0 0 Κάνουμε τον πίνακα μονοτονίας της συνάρτησης και έχουμε - - + + + Η συνάρτηση Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα, είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και, Η συνάρτηση Η συνάρτηση Αν, τότε παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο (), ( ) είναι το τοπικό μέγιστο της συνάρτησης και ( ) είναι το τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης Από υπόθεση έχουμε ( ) 6 8 Δ ) Είναι ( ) 6 το τοπικό μέγιστο της συνάρτησης ( ) είναι το τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης Από υπόθεση έχουμε ( ) 6 είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων,,,, και,,,, ( ) είναι η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων και Σελίδα από 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 ) Γνωρίζουμε ότι 600 δηλαδή 600 Είναι v 6 600 0 600 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 60 6 6 8 6 6 Δ Απο βασική εφαρμογή του σχολικού βιβλίου οι μέση τιμή και η τυπική απόκλιση που θα προκύψουν θα είναι: y, 6, 9, 6,, y Σελίδα 6 από 6