Bazele teoriei riscului

Bazele teoriei riscului Mircea Crâşmăreanu

ii

Contents Mulţimi şi funcţii 3 2 Probabilităţi: abordare clasică 5 3 Probabilităţi: abordare modernă 4 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare 9 5 Valori medii. Momente, dispersie, corelaţie 25 6 Teoria deciziilor 3 7 Invarianţă în teoria deciziilor 4 8 Utilitate şi pierdere 45 9 Teoria credibilităţii 47 0 Variabile fuzzy pe spaţii de credibilitate 5 Entropia, energia şi corelaţia surselor de informaţie 53 Index 57 iii

iv CONTENTS

CONTENTS MOTTO Fie acţiunea a având consecinţele c i cu i =,..., n pentru care considerăm: ) p i probabilitatea de producere a lui c i 2) P ierd(c i ) pierderea cauzată de c i. Atunci riscul acţiunii a este: R(a) = n i= p i P ierd(c i ). Cursul conţine 30 de desene repartizate astfel: Curs Desene I 0 II 5 III 8 IV 5 V 0 VI 2 VII 0 VIII 0 IX 0 X 0 XI 0 XII 0 Examen mai multe

2 CONTENTS

Chapter Mulţimi şi funcţii Noţiunea de mulţime este una din noţiunile fundamentale al matematicii. Încercarea de a o defini într-un sens precis este sortită eşecului deoarece încadrarea acestei noţiuni ca un acaz particular al unei alte noţiuni mai generale este imposibilă, noţiunea de mulţime fiind, în fapt, cea mai generală noţiune matematică. Fondatorul teoriei (moderne a) mulţimilor, matematicianul german Georg Cantor (845-98), spunea că prin mulţime se înţelege, la modul intuitiv, totalitatea unor obiecte distincte, bine determinate individual. Vom utiliza o serie de simboluri grafice pentru uşurinţa exprimării: -semnul va desemna expresia pentru orice sau oricare ar fi, -semnul va desemna cuvântul există, -semnul va desemna o implicaţie, adică va fi echivalentul cuvintelor rezultă că sau deci sau atunci. Obiectele ce compun o mulţime le vom numi elemente iar acestea, de regulă, le vom nota cu litere mici iar mulţimile cu litere mari. Astfel, a A va desemna apartenenţa elementului a la mulţimea A; avem negaţia a / A. Există două metode de a indica (sau da) o mulţime A: I) prin înşiruirea completă a elementelor sale, metodă preferabilă atunci când A are un număr finit de elemente; spunem că A este mulţime finită. Deci notăm A = {a, b, c,...}. II) prin indicarea unei proprietăţi cracteristice P ; scriem A = {x; x satisface P }. Mulţimile numerice utilizate în acest Curs sunt cele clasice: i) mulţimea numerelor naturale: N = {0,, 2,..., n,...}; avem submulţimea N = {,..., n,...}. ii) mulţimea numerelor întregi: Z = N N = {..., n,..., 2,, 0,, 2,..., n,...}. iii) mulţimea numerelor raţionale: Q = { m n ; m, n Z, n 0}. iv) mulţimea numerelor iraţionale este mulţimea I a numerelor ce nu se pot exprima ca fracţii; spre exemplu 2, 3 2, π,... v) mulţimea numerelor reale: R = Q I = (, + ). Submulţimi remarcabile sunt: R + = [0, + )=numerele reale nenegative, R + = (0, + )=numerele reale pozitive, R = (, 0]=numerele reale nepozitive, R = (, 0)=numerele reale negative. Semnul reprezintă reuniunea a două mulţimi; astfel date mulţimile A şi B avem că A B cuprinde toate elementele din A şi B (evident, luate o singură dată): A B = {x; x A sau x B}. (.) 3

4 M. Crâşmăreanu Simbolul reprezintă intersecţia; astfel A B conţine elementele comune lui A şi B: A B = {x; x A şi x B}. (.2) Dacă B este submulţime în A notăm B A şi definim complementara lui B în A prin: C A B = cb = B = {x A; x / B}. (.3) Submulţimii B A îi asociem funcţia caracteristică B : A {0, }: B (x) = {, x B 0, x / B. (.4) Reciproc, orice funcţie caracteristică defineşte în mod unic submulţimea B şi deci există o corespondenţă biunivocă între mulţimea {Γ : A {0, }} şi mulţimea P(A) a tuturor submulţimilor lui A. Definiţia. Fixăm două mulţimi. Numim relaţie de la X la Y un triplet r = (X, Y, G) cu G submulţime în produsul cartezian X Y. Domeniul de definiţie al lui r este E r = {x X; y Y (x, y) G} iar mulţimea valorilor lui r este F r = {y Y ; x X(x, y) G}. Dacă (x, y) G mai notăm xry. Dacă X = Y spunem că avem o relaţie pe X. Definiţia.2 O relaţie f = (X, Y, G) se numeşte funcţie dacă îndeplineşte următoarele două condiţii: Fc) X este domeniul de definiţie al lui f i.e. X = E f ; Fc2) dacă (x, y ) G şi (x, y 2 ) G atunci y = y 2. Notăm f : X Y. Definiţia.3 Relaţia r pe X se numeşte de ordine dacă este: O) reflexivă: avem xrx pentru orice x X. O2) antisimetrică: dacă avem xry şi yrx atunci x = y. O3) tranzitivă: dacă avem xry şi yrz atunci xrz. Dacă păstrăm O şi O3 şi înlocuim antisimetria cu: E) simetrică: dacă xry atunci yrx obţinem noţiunea de relaţie de echivalenţă. Dacă r este o relaţie de echivalenţă atunci pentru x X fixat, mulţimea [x] = {y X; xry} se numeşte clasa de echivalenţă a lui X Mulţimea tuturor claselor de echivalenţă se numeşte mulţimea factor sau mulţimea cât a lui X în raport cu r. Deoarece două clase de echiavlenţă sau coincid sau sunt disjuncte, obţinem prin factorizare o partiţie a lui X în clase de echivalenţă.

Chapter 2 Probabilităţi: abordare clasică Fixăm în acest Curs mulţimea nevidă şi finită Ω = {ω,..., ω n }; deci Ω are cardinalul n N = {, 2,...} şi notăm acest fapt prin cardω = n sau Ω = n. Definiţia 2. i) Ω se numeţe spaţiul evenimentelor (probelor) iar ω i Ω îl numim eveniment elementar. ii) Mulţimea P(Ω) o numim câmpul evenimentelor iar A P(Ω) o numim eveniment. Exemplul 2.2 Aruncăm o monedă: avem două evenimente elementare 0=a căzut stema, =a căzut moneda (banul). Deci n = 2 şi Ω = {0, }. Exemplul 2.3 Aruncăm un zar. Avem şase evenimente elementare i=a căzut faţa i, i =,..., 6. Deci Ω = {,..., 6} şi un eveniment compus este, spre exemplu, a căzut o faţă pară/impară, eveniment modelat de A = {2, 4, 6} respectiv B = {, 3, 5}. Definiţia 2.4 i) Ω P(Ω) îl numim evenimentul sigur iar mulţimea vidă P(Ω) se numeşte evenimentul imposibil. ii) Fie A şi B din P(Ω). Dacă A B = atunci spunem că evenimentele A şi B sunt incompatibile iar dacă B A atunci spunem că evenimentul B implică evenimentul A. Exemplul 2.5 La aruncarea zarului evenimentul B=a căzut faţa 4 implică evenimentul A=a căzut o faţă pară, care este independent de evenimentul C=a căzut o faţă impară. Noţiunea principală a acestui Curs este dată de: Definiţia 2.6 Se numeşte probabilitate pe Ω o funcţie p : P(Ω) R satisfăcând axiomele: p) p(a) 0 pentru orice A P(Ω) p2) p(ω) = p3) dacă A şi B sunt evenimente incompatibile atunci: Perechea (Ω, p) o numim câmp de probabilitate. p(a B) = p(a) + p(b). (2.) Propoziţia 2.7 (Regula de adunare a probabilităţilor) Fie A,..., A r evenimente incompatibile două câte două i.e. A i A j = pentru i j în mulţimea {,..., r}. Atunci: p(a... A r ) = p(a ) +... + p(a r )(= r p(a i )). (2.2) i= 5

6 M. Crâşmăreanu Demonstraţie Vom arăta prin inducţie după r 2. Pentru r = 2 avem formula (.5). Presupunem adevărată relaţia (.6) pentru (r ) şi s-o demonstrăm pentru r. Evenimentele A = A... A r şi B = A r sunt evident incompatibile şi aplicăm (.5): p((a... A r ) A r ) = p(a... A r ) + p(a r ) ceea ce dă concluzia în baza ipotezei inductive. Fie A = {ω i,..., ω ir } oarecare din P(Ω). Evident evenimentele elementare ω ij, j =,..., r sunt incompatibile şi deci p(a) = r j= p({ω i j }). În concluzie a da/şti probabilitatea p pe P(Ω) este echivalent cu a da/şti p = (p i ) cu i {,..., n}. Rezultă că funcţia p apare ca un vector n-dimensional p = (p,..., p n ) R n iar proprietăţile din Definiţia.6 se traduc în: p) p R n + i.e. p i 0 pentru i n p2) n i= p i =. Rezultă că p i [0, ] pentru toţi i {,..., n}. Exemplul 2.8 i) Evenimentele echiprobabile sunt caracterizate de vectorul p n = ( n,..., n ) ceea ce corespunde la funcţia probabilitate clasică: p(a) = carda cardω (2.3) care dă definiţia clasică (sau tradiţională) a probabilităţii unui eveniment E: p(e) = numărul cazurilor favorabile producerii luie. (2.4) numărul total de cazuri posibile ii) În particular, moneda este dată de p 2 iar zarul de p 6. Propoziţia 2.9 Date evenimentele A, B P(Ω) avem: p(b Ā) = p(b) p(a B). (2.5) Demonstraţie Evenimentele X = B Ā şi Y = B A sunt evident incompatibile datorită prezenţei lui A şi Ā. Aplicăm (.5) pentru X şi Y şi folosim faptul că: care se dovedeşte imediat. Corolarul 2.0 Pentru orice A, B P(Ω) avem: Din (.0) avem în particular că p( ) = 0. (B A) (B A) = B (2.6) p(ā) = p(a) (2.7) p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) (2.8) A B p(a) p(b). (2.9) Demonstraţie Pentru (2.7) punem B = Ω în (2.5). Pentru (2.8) să observăm că: - evenimentele A şi B Ā sunt incompatibile, -avem A (B Ā) = (A B) (A Ā) = (A B) Ω = A B,

Cursul 2 7 şi utilizăm (2.6) Pentru ultima relaţie, din A B avem A B = A şi din (2.5) rezultă 0 p(b Ā) = p(b) p(a) ceea ce dă concluzia. Seminar 2 Cardinalul lui P(Ω) este 2 n. Acest cardinal creşte foarte repede odată cu n mai precis exponenţial. S2. Să se calculeze cu MATLAB puterea 2 n pentru n = 0,..., 0. Soluţie >> for n=:0; x(n)=2^n; end; >> x (+ Enter) Ans: x=2 4 8 6 32 64 28 256 52 024 Observaţie: MATLAB nu ştie de convenţia x 0 = într-un şir. O altă funcţie ce creşte foarte rapid este factorialul: n! =... n cu convenţia 0! =. S2.2 Se cere n! pentru n {,..., 8}. Soluţie! =, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 20, 6! = 720, 8! =???. În MATLAB folosim următoarele simboluri pentru operaţii numerice: ) + pentru adunare; pentru scădere 2) pentru înmulţire 3) / pentru împărţire 4) ˆ pentru ridicarea la putere. Deci pentru 8! tastăm: >> 2*3*4*5*6*7*8 (+Enter) Ans: 40320 Avem în Matlab funcţia factorial cu sintaxa: >> factorial(n) pentru n 2! O altă variantă este prod( : n). Pe Wikipedia (engleză) avem un tabel foarte amplu: http://en.wikipedia.org/wiki/factorial Atenţie: în MATLAB avem funcţia factor care factorizează un număr natural în produs de numere prime. Exemplu: >> factor(2009) are ca rezultat 7 7 4 deoarece 2009 = 7 2 4. Analog: >> factor(200) dă rezultatul 2 3 5 67. Cele două funcţii nu trebuie confundate! O funcţie importantă în calculul unor scheme probabilistice este combinări de n obiecte luate câte k, 0 k n: Cn k n! = k!(n k)!. (2.0)

8 M. Crâşmăreanu De altfel, numărul submulţimilor cu k elemente ale lui Ω este C k n şi deci: n Cn k = 2 n. (2.) O altă proprietate importantă combinărilor este complementaritatea: k=0 A se vedea http://en.wikipedia.org/wiki/binomial coefficient. C k n = C n k n. (2.2) În Matlab avem comanda: C = nchoosek(n, k) eficientă pentru n 5. S2.3 Să se figureze în MATLAB vectorii de probabilitate doi dimensionali. Cu programul: >> x=linspace(0,, 000); >> plot(x, -x) (+Enter) avem graficul următor: Mul\c timea vectorilor de probabilitate \^{\i}n dimensiune 2 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 2.: Distribuţia în plan a vectorilor de probabilitate Cu programul: >> x=linspace(0,, 000); >> plot(x, -x, /2, /2, o ) (+Enter) avem graficul următor ce poziţionează vectorul p 2 al monedei: Moneda printre vectorii de probababilitate 2D 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 2.2: Distribuţia monedei printre vectorii de probabilitate 2D

Cursul 2 9 Cu programul: >> x=linspace(0,, 000); >> plot(x, -x); grid on (+Enter) avem graficul următor: Vectorii de probabilitate 2D cu grid 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 2.3: Distribuţia în plan a vectorilor de probabilitate cu grid Cu: >> x=linspace(0,, 000); >> plot(x, -x); axis equal (+Enter) obţinem: 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 2.4: Distribuţia în plan a vectorilor de probabilitate cu axis equal S2.4 Să se figureze în MATLAB vectorii de probabilitate trei dimensionali. Următorul program a fost sugerat de colegul Marian Ioan Munteanu şi îi mulţumim pe această cale: >>u=0:pi/25:pi/2; >>v=0:pi/25:pi/2; >>for i=:length(u); for j=:length(v); x(i, j)=(cos(u(i)))^2*(cos(v(j)))^2; y(i, j)=(cos(u(i)))^2*(sin(v(j)))^2; z(i, j)=(sin(u(i)))^2; end; end; %un singur rand! >>mesh(x, y, z)

0 M. Crâşmăreanu Vectorii de probabilitate 3D 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 2.5: Distribuţia în spaţiu a vectorilor de probabilitate Această parametrizare a fost aleasă pentru p = (x, y, z) R 3 cu: { x [0, ], y [0, ], z [0, ] x + y + z =.

Chapter 3 Probabilităţi: abordare modernă În cursul precedent am introdus probabilitatea pe o mulţime finită Ω. Evident, există situaţii, foarte importante pentru practică, când suntem nevoiţi să lucrăm cu o mulţime infinită. Din acest motiv introducem în acest Curs o altă abordare a noţiunii de probabilitate. Fixăm o mulţime nevidă Ω de cardinal finit sau infinit; dacă Ω este în bijecţie cu N atunci spunem că este (infinit) numărabilă. Un element ω Ω va fi numit, ca şi anterior, eveniment elementar. Nu toate evenimentele din Ω, considerate ca submulţimi, sunt interesante pentru experimentul avut în vedere şi de aceea vom selecta o clasă specială de astfel de evenimente: Definiţia 3. Familia F de elemente din P(Ω) o numim σ-algebră dacă: a) F a2) dacă A F atunci şi Ā = Ω \ A F a3) dacă A i F cu i N atunci i N F. Perechea (Ω, F ) o numim spaţiu măsurabil iar A F o numim F -măsurabilă sau pe scurt măsurabilă atunci când F este specificată. Observaţii 3.2 i) Dacă C este o familie oarecare de submulţimi în Ω atunci există o cea mai mică (în sensul incluziunii) σ-algebră ce conţine pe C. Aceasta se notează σ(c ) şi se numeşte σ-algebra generată de C. ii) Din a) şi a2) rezultă că Ω F pentru orice σ-algebră F. Definiţia 3.3 Fie n N şi spaţiul R n al vectorilor n-dimensionali notaţi x = (x,..., x n ). Pe acest spaţiu introducem: PS) produsul scalar Euclidian <, >: R n R n R dat de: < x, ȳ >= x y +... + x n y n = n x i y i. (3.) i= N) norma Euclidiană, : R n R + dată de: x = < x, x >. (3.2) D) distanţa Euclidiană d : R n R n R + : d( x, ȳ) = x ȳ. (3.3) Perechea (R n, <, >) o numim spaţiul Euclidian n-dimensional.

2 M. Crâşmăreanu Definiţia 3.4 Fie A R n. Spunem că A este deschisă dacă pentru orice x A există r > 0 aşa încât orice ȳ R n cu d( x, ȳ) < r este element din A. Deoarece mulţimea B( x, r) = {ȳ R n ; d( x, ȳ) < r} se numeşte bila deschisă de centru x şi rază r avem că A este deschisă dacă orice punct din A este centrul unei bile deschise conţinute în A. Definiţia 3.5 Fie D(n) familia mulţimilor deschise din R n. Atunci σ-algebra generată de D(n) se notează B(n) iar un element din această σ-algebră se numeşte mulţime borelienă. Definiţia 3.6 Se numeşte măsură probabilistică sau măsură de probabilitate pe spaţiul măsurabil (Ω, F ) o funcţie P r : F R satisfăcând axiomele: P) P r(a) 0 pentru orice A F P2) P r(ω) = P3) dacă {A i } i N F este un şir disjunct i.e. A i A j = pentru i j atunci: P r( i N A i ) = i N P r(a i ). (3.4) Tripletul (Ω, F, P r) se numeşte spaţiu de probabilitate. Exemplul 3.7 Avem că P(Ω) este o σ-algebră pe Ω; chiar cea mai mare în sensul incluziunii. Astfel, definiţia 2.6 din Cursul 2 este un caz particular al precedentei definiţii şi deci pentru Ω finită avem un exemplu de măsură de probabilitate dat de relaţia (2.3). Definiţia 3.8 Fixăm din nou spaţiul măsurabil (Ω, F ). Aplicaţia X : Ω R se numeşte variabilă aleatoare dacă pentru orice r R avem: {X < r} := {ω Ω; X(ω) < x} F. (3.5) Dacă mulţimea valorilor lui X este finită sau numărabilă spunem că X este o variabilă aleatoare discretă iar în caz contrar o numim variabilă aleatoare continuă; în particular dacă X ia un număr finit de valori spunem că este o variabilă aleatoare simplă. Observaţia 3.9 Se poate arăta că următoarele afirmaţii sunt echivalente pentru X : (Ω, F ) R: ) {X < r} F pentru orice r R 2) {a X b} F pentru orice a şi b din R. În particular, luând a = b = x R avem că pentru o variabilă aleatoare {X = x} F ceea ce permite introducerea următoarei noţiuni: Definiţia 3.0 Fie X o variabilă aleatoare discretă pe spaţiul de probabilitate (Ω, F, P r). Se numeşte distribuţia lui X tabloul: ( ) x x X : 2 x 3... (3.6) p p 2 p 3... unde x i sunt valorile lui X iar p i = P r({ω Ω; X(ω) = x i }). În particular, distribuţia unei variabile aleatoare simple este: ( ) x x X : 2 x 3... x n p p 2 p 3... p n (3.7) unde n este numărul valorilor lui X.

Cursul 3 3 Exemplul 3. (Urna cu bile de două culori) O urnă conţine a bile albe şi b bile negre. Fie A evenimentul extragerii unei bile albe şi B evenimentul extragerii unei bile negre. Fie probabilităţile asociate: p := p(a) = a a + b q = p(b) = b a + b. (3.8) Avem deci Ω = {,..., a + b} şi fie X : Ω R ce ia valoarea când apare o bilă albă şi 0 pentru o bilă neagră. Avem că X este o variabilă aleatoare în raport cu σ-algebra generată de C = {A, B}. Distribuţia lui X este: ( ) 0 X :. (3.9) p q O astfel de variabilă aleatoare se cheamă de tip Bernoulli. Seminar 3 S3. Să se studieze urna cu număr egal de bile. Soluţie Avem aceeaşi variabilă aleatoare ca în cazul monedei: ( 0 X : Putem desena în Matlab această distribuţie: 2 2 ). (3.0) >> x=[0 ]; >> y=[0.5 0.5]; >> plot (x, y, ok, markerfacecolor, k, markersize, 0) (+Enter).5 Urna cu num\u ar egal de bile 0.5 0 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 3.: Schema bilei întoarse Dacă realocăm valorile variabilei aleatoare aşa încât să înceapă de la şi nu de la zero: ( ) 2 X :. (3.) putem reprezenta in Matlab astfel: >> y=[0.5 0.5]; >> plot(y, ok, markerfacecolor, k ) (+Enter) 2 2

4 M. Crâşmăreanu.5 Urna cu num\u ar egal de bile; varianta cu redefinirea valorilor 0.5 0 0.5.2.4.6.8 2 Figura 3.2: Varianta distribuţiei Bernoulli S3.2 Să se reprezinte în MATLAB zarul. Soluţie Avem: şi programul MATLAB: ( 2 3 4 5 6 X : 6 6 6 6 6 6 ). (3.2) >> x=[ 2 3 4 5 6]; sau x=[:6]; >> y=[/6 /6 /6 /6 /6 /6]; >> plot(x, y, o ) (+Enter).5 Zarul 0.5 0 0.5 2 3 4 5 6 Figura 3.3: Zarul Am utilizat comanda plot(x, y, string) unde string poate combina cel mult trei elemente: culoare, marker pentru punctul y şi stilul liniei. Culorile sunt: r Red g Green b Blue c Cyan m Magenta y Yellow k Black w White

Cursul 3 5 Markerele în MATLAB o Circle * Asterisk. Point + Plus x Cross s Square d Diamond ˆ Upward triangle v Downward triangle > Right triangle < Left triangle p Five-point star h Six-point star Am ales o pentru că altfel punctele de pe linia orizontală nu s-ar fi distins. Astfel, programul simplu: >>x=[:6]; >>y=[/6 /6 /6 /6 /6 /6]; plot(x, y) (+Enter) dă figura următoare:.5 0.5 0 0.5 2 3 4 5 6 Figura 3.4: Zarul cu plot(x, y) Stiluri de linie MATLAB - Solid line (default) Dashed line : Dotted line -. Dash-dot line Exemple: ) plot(x, y, r ) pune un asterix roşu în punctul M(x, y) şi uneşte punctele cu o red dashed line.

6 M. Crâşmăreanu.5 Zarul: alta varianta 0.5 0 0.5 2 3 4 5 6 Figura 3.5 2) plot(x, y, y+ ) pune o cruciuliţă galbenă în puncte şi nu le uneşte..5 Zarul: alt\u a variant\u a 0.5 0 0.5 2 3 4 5 6 Figura 3.6 3) plot(x, y, kd : ) uneşte cu o linie punctată punctele marcate cu diamante..5 Zarul: variant\u a 0.5 0 0.5 2 3 4 5 6 Figura 3.7 Cele trei elemente din string pot apare în orice ordine; astfel: plot(x, y, ms ) şi plot(x, y, s m ) sunt echivalente. S3.3 Să se reprezinte în MATLAB variabila aleatoare: Soluţie Programul: ( 2 3 4 X : 8 4 8 2 ).

Cursul 3 7 >>x=[:4]; >>y=[/8 /4 /8 /2]; >>plot(x, y) (+Enter) dă: 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.5 0..5 2 2.5 3 3.5 4 Figura 3.8 3.4 Să se calculeze cu MATLAB produsul scalar dintre vectorii x = (, 3, 5, 7) şi ȳ = (2, 4, 6, 8) şi normele lor. Soluţie Avem: < x, ȳ >= x ȳ t = (x,..., x n ) y. y n (3.3) unde indicele superior t semnifică transpusa matricii respective. În MATLAB transpusa se notează cu iar produsul matricilor cu. Pentru normă avem comanda norm(x). Deci programul cerut este: >>x=[ 3 5 7]; >>y=[2 4 6 8]; >>x*y (+Enter) >>norm(x) (+Enter) >>norm(y) (+Enter) Avem < x, ȳ >= 2 + 2 + 30 + 56 = 00, x = + 9 + 25 + 49 = 84 = 2 2 şi ȳ = 4 + 6 + 36 + 64 = 20 = 2 30. Cu programul anterior obţinem: >>ans = >>ans = >>ans = 00 9.652 0.9545 0. Definiţia 3. Vectorii x, ȳ R n se numesc ortogonali sau perpendiculari dacă < x, ȳ >=

8 M. Crâşmăreanu Mai general avem noţiunea de unghi: Definiţia 3.2 Daţi vectorii nenuli x, ȳ R n unghiul dintre ei este dat de: Deci unghiul dintre vectorii ortogonali este ϕ = π 2. cos ϕ = < x, ȳ > x ȳ. (3.4) S3.5 Să se verifice că următorii vectori sunt ortogonali: x = (, 2, 3), ȳ = (4, 4, 4). Definiţia 3.3 Un set de n vectori ortogonali doi câte doi şi de normă spunem că formează o bază ortonormată în R n. Un vector de normă se numeşte versor sau vector unitar. S3.6 Să se verifice că următorul set de vectori este o bază ortonormată în spaţiu: e = (, 0, 0) e 2 = (0,, 0) e 3 = (0, 0, ). Această bază se numeşte baza canonică din R 3 şi se extinde natural la orice R n. S3.7 Să se arate că următorii vectori constituie o bază ortonormată în spaţiu: x = 3 (, 2, 2) y = 3 (2,, 2) z = 3 (2, 2, ). (3.5) Soluţie O metodă de arăta că n vectori constituie o bază ortonormată este următoarea: formăm o matrice pătratică de ordin n cu aceşti vectori scrişi pe coloană. Atunci avem concluzia dorită doar dacă: A A t = I n (2.5) unde I n este matricea unitate de ordin n: I n =... 0 0... 0 0... (2.6) adică matricea ce are pe diagonala pricipală şi în rest 0. O matrice ce satisface (2.5) se numeşte matrice ortogonală de ordin n. Observaţia 3.8 Produsul a două matrici pătratice se efectuează cu. nu cu simplu! Liniile unei matrici se separă cu ;. Exemplu: Matricea corespunzătoare exerciţiului dat este: >>A=[-/3 2/3 2/3; 2/3 -/3 2/3; 2/3 2/3 -/3]

Chapter 4 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare Fie (Ω, F, P r) un spaţiu de probabilitate şi X : Ω R o variabilă aleatoare pe spaţiul suport Ω. Definiţia 4. Funcţia F : R [0, ]: se numeşte funcţia de repartiţie a lui X. F (x) = P r({x < x}) (4.) Avem o exprimare concretă a acestei funcţii pentru cazul discret prin: Propoziţia 4.2 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete este un funcţie în scară. Demonstraţie Presupunem: X : ( x x 2 x 3... p p 2 p 3... ). Atunci: F (x) = { 0, x (, x ] n i= p i, x (x n, x n+ ), n (4.2) ceea ce dă concluzia. Proprietăţile de bază ale funcţiei de repartiţie sunt date de: Propoziţia 4.3 Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare oarecare satisface următoarele proprietăţi: FR) este monoton crescătoare. FR2) lim x F (x) = 0, lim x + F (x) =. FR3) F este continuă la stânga în orice punct x R. Reciproc, o funcţie F : R R ce satisface aceste trei proprietăţi este funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare Avem de asemenea o utilizare a funcţiei de repartiţie în determinarea de probabilităţi (în continuare, pentru simplificarea scrierii vom nota P în loc de P r): 9

20 M. Crâşmăreanu Propoziţia 4.4 Funcţia de repartiţie are următoarele proprietăţi: FR4) F (x + 0) = F (x) + P (X = x) pentru orice x R; deci F este continuă în punctul x dacă şi numai dacă P (X = x) = 0. FR5) pentru intervale mărginite arbitrare avem: P (a X < b) = F (b) F (a) P (a < X < b) = F (b) F (a + 0) P (a X b) = F (b + 0) F (a) P (a < X b) = F (b + 0) F (a + 0). O altă noţiune foarte importantă în teoria variabilelor aleatoare este: (4.3) Definiţia 4.5 Fie X o variabilă aleatoare (continuă) şi F funcţia sa de repartiţie. Dacă există o funcţie ρ : R [0, + ) aşa încât pentru orice x R avem: F (x) = x ρ(t)dt (4.4) atunci ρ se numeşte densitatea de repartiţie sau densitatea de probabilitate a lui X. Proprietăţile acestei noi funcţii sunt date de: Propoziţia 4.6 Fie X o variabilă aleatoare ce admite densitatea ρ. Atunci: D) P (a X b) = b a ρ(x)dx. D2) + ρ(x) = +. D3) F este derivabilă în orice punct x R în care ρ este continuă şi atunci: F (x) = ρ(x). (4.5) Exemple de variabile aleatoare remarcabile I) Discrete ) variabilă aleatoare binomială ( X : k C k np k q n k ) (4.6) cu k {0,,..., n} iar p, q [0, ] satisfac p + q =. Se mai numeşte şi schema bilei revenite deoarece modelează următorul experiment: avem o urnă cu a bile albe şi b bile negre şi efectuăm n extrageri, de fiecare dată punând bila extrasă înapoi în urnă. Vrem probabilitatea ca să apară de k ori o bilă albă. Acelaşi experiment se poate modela şi altfel: avem n urne cu un conţinut identic de bile, ca mai sus. Din fiecare urnă extragem o singură bilă. Denumirea de binomială se datorează faptului că probabilităţile respective sunt exact coeficienţii din dezvoltarea binomului lui Newton: n (q + p) n = Cnp k k q n k. (4.7) k=0 Există şi o generalizare numită variabilă aleatoare multinomială pentru care trimitem la pagina 32 din: I. Gh. Şabac şi alţii, Matematici speciale, vol. II, EDP, Bucureşti, 983.

Cursul 4 2 2) Variabila aleatoare X este de tip Poisson cu parametrul λ (0, + ) dacă are o distribuţie de forma: ( ) k N X :. (4.8) λ k k! e λ O lege de tip Poisson se mai numeşte lege a evenimentelor rare şi se poate obţine ca un caz limită al legii binomiale pentru p foarte mic şi n foarte mare dar astfel încât produsul np = λ este constant. II) Continue 3) Fie numerele reale µ, σ cu σ > 0. Variabila aleatoare X se numeşte de tip Gauss sau spunem că X satisface legea normală N(µ, σ) dacă X admite o densitate de repartiţie: ρ(x) = σ µ)2 exp[ (x 2π 2σ 2 ]. (4.9) 0.4 Clopotul lui Gauss: µ =0, σ = 0.35 0.3 0.25 0.2 0.5 0. 0.05 0 4 3 2 0 2 3 4 Figura 4.: Curba clopot 4) Variabila aleatoare X are repartiţie uniformă pe [a, b] R cu a, b finite dacă admite: ρ(x) = { b a, x [a, b] 0, x R \ [a, b]. (4.0) Seminar 4 S4. Să se studieze variabila aleatoare: ( X : 0 2 3 6 ). Soluţie X determină pe mulţimea Ω a evenimentelor elementare partiţia {A, A 2, A 3 } cu P r(a ) = 2, P r(a 2) = 3, P r(a 3) = 6 şi avem:, x (, ] A {X < x} =, x (, 0] A A 2, x (0, ] Ω, x (, + ).

22 M. Crâşmăreanu Funcţia de repartiţie a lui X este: 0, x (, ] F (x) = 2, x (, 0] 5 6, x (0, ], x (, + ). Putem desena în Matlab această distribuţie: >>x=[- 0 ]; >>y=[/2 /3 /6]; >>plot (x, y) (+Enter) sau: >>plot (x, y, ok, markerfacecolor, k, markersize, 0) (+Enter) De asemeni, putem reprezenta grafic funcţia de repartiţie obţnută: >>x=-3:.0:-; y=0; >>x2=-0.99:.0:0; y2=/2; >>x3=0.0:.0:; y3=5/6; >>x4=.0:.0:3; y4=; >>plot(x, y, x2, y2, x3, y3, x4, y4); axis equal 2.5 2.5 0.5 0 0.5.5 3 2 0 2 3 Figura 4.2 De asemeni, pentru o mai bună vizualizare putem folosi culori; ultima linie: >>plot(x, y, r, x2, y2, g, x3, y3, b, x4, y4, m ); axis equal dă: 2.5 2.5 0.5 0 0.5.5 3 2 0 2 3 Figura 4.3

Cursul 4 23 S4.2 Se cer repartiţiile variabilelor aleatoare: X i =numărul de apariţii ale banului la i aruncări ale monezii pentru i =, 2. Soluţie Avem: respectiv: ( ) 0 X : 4 2 2 2 ( ) 0 2 X 2 : Reprezentarea cu bare a acestor variabile aleatoare este dată de: >>x=[0 ]; >>y=[/2 /2]; >>bar(x, y); axis equal (+Enter) 4 (4.) (4.2) Aruncarea monedei 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0 respectiv: >>x=[0 2]; >>y=[/4 /2 /4]; >>bar(x, y); axis equal (+Enter) Figura 4.4 Aruncarea de dou\u a ori a monedei.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 2 Figura 4.5 S4.3 Se dă variabila aleatoare: ( 0 X : 2 3 p 2 7p 4 3 6 ).

24 M. Crâşmăreanu Se cere probabilitatea ca X să ia o valoare cel mult egală cu 2. Soluţie Mai întâi aflăm valoarea lui p punând condiţia ca suma elementelor inferioare să fie. Avem: p 2 + 7 4 p 2 = 0 Discriminantul acestei ecuaţii de gradul doi este: Avem atunci soluţiile: = 49 6 + 4 2 = 49 6 + 32 6 = 8 6 = (9 4 )2. p = 7 4 9 4 = 4 2 2 = 2 o soluţie imposibilă deoarece termenii inferiori trebuie să fie pozitivi respectiv soluţia: Deci X are distribuţia: Evenimentul X 2 se poate scrie: şi deci: p 2 = 7 4 + 9 4 2 = 4. ( 0 2 3 X : 6 7 6 3 6 ). {X 2} = {X = 0} {X = } {X = 2} P ({X 2}) = P ({X = 0}) + P ({X = }) + P ({X = 2}) = 6 + 7 6 + 3 = 2 + 3 = 5 6. Evident, pentru problema pusă puteam raţiona şi astfel: {X 2} = C{X = 3} ceea ce dă: P ({X 2}) = P ({X = 3}) = 6 = 5 6. În termeni de funcţia de repartiţie avem că probabilitatea cerută este exact F (2) + P ({X = 2}). Rezultă că: F (2) = 5 6 3 = 2.

Chapter 5 Valori medii. Momente, dispersie, corelaţie Definiţia 5. Fie X o variabilă aleatoare. i) Dacă X este discretă cu expresia: X : ( xi p i ) i I N atunci numărul real: x = M(X) := i I p i x i (5.) se numeşte media lui X. ii) Dacă X este continuă şi admite densitatea de repartiţie ρ atunci definim media lui X prin: x = M(X) := + iii) Fie n N. Valoarea medie a variabilei aleatoare X n : se numeşte momentul de ordin n al lui X. Exemplul 5.2 Dacă X este discretă atunci: xρ(x)dx. (5.2) M n (X) := M(X n ) (5.3) M n (X) = i I p i x n i (5.4) iar dacă X este continuă şi admite densitatea de repartiţie ρ atunci: M n (X) = + x n ρ(x)dx. (5.5) Propoziţia 5.3 Fie variabilele aleatoare X, Y şi numărul real a. Avem: M) M(a + X) = a + M(X) M2) M(aX) = am(x). 25

26 M. Crâşmăreanu M3) inf X M(X) sup X. M4) M(X + Y ) = M(X) + M(Y ). Demonstraţie Vom face demonstraţia pentru v. a. simple. M) Avem: ( ) a + x0 a + x a + X :... a + x n p 0 p... p n şi: Rezultă: M2) M3) Înmulţim cu p i relaţia: şi însumăm după i. M3) X + Y are distribuţia: ( ax0 ax ax :... ax n p 0 p... p n (5.6) ). (5.7) M(a + X) = p i (a + x i ) = a p i + M(X) = a + M(X) M(aX) = p i (ax i ) = a p i x i. inf X x i sup X ( ) xi + y X + Y : j r ij (5.8) cu r ij = P r(a i B j ); a se vedea şi Exemplul 5.7 de mai jos. Avem imediat: { j J r ij = p i i I r ij = q j (5.9) Prin urmare: M(X + Y ) = ( i I j J r ij )x i + ( j J i I r ij )y j = i I p i x i + j J q j y j ceea ce dă concluzia. Definiţia 5.4 Momentul centrat de ordinul doi: se numeşte dispersia sau varianţa lui X. D(X) = M 2 (X x) (5.0) Observaţia 5.5 Dispersia, aşa cum îi arată numele, este un indicator al împrăştierii valorilor lui X faţă de valoarea sa medie x şi o formulă utilă de calcul este: D(X) = M 2 (X) x 2. (5.) Motivaţia pentru introducere acestui indicator de împrăştiere este aceea că valoarea medie este, în general, insufucientă pentru determinarea unei variabile aleatoare. Astfel, două v. a. simple pot lua acelaşi număr de valori şi pot avea aceeaşi medie, dar, în timp ce una ia valori apropiate mediei, cealaltă ia valori foarte îndepărtate. Avem exemplul următor: ( ) X : 2 2

Cursul 5 27 ambele cu media nulă. Demonstraţia formulei (4.9) este imediată: ( 000 000 X 2 : 2 2 ) D(X) = M((X x) 2 ) = M(X 2 2 xx + x 2 ) = M(X 2 ) 2 xm(x) + x 2 = M(X 2 ) 2 x 2 + x 2 ceea ce dă concluzia. Definiţia 5.6 Fie X şi Y două variabile aleatoare. Definim produsul lor prin XY : F R: (XY )(ω) = X(ω) Y (ω) (5.2) unde, în membrul drept considerăm produsul numerelor reale X(ω) şi Y (ω). Exemplul 5.7 Presupunem că X şi Y sunt discrete cu: ( ) ( ) xi yj X :, Y : p i q i I N j. j J N Deci p i = P r(a i ) cu A i = {X = x i } şi q j = P r(b j ) cu B j = {Y = y j }. Atunci: ( ) xi y XY : j r ij (i I,j J) (5.3) cu r ij = P r(a i B j ). Definiţia 5.8 i) Variabilele aleatoare X, Y se numesc independente dacă pentru orice x, y R avem: P ({X < x} {Y < y}) = P ({X < x}) P ({Y < y}). (5.4) ii) Date variabilele aleatoare X, Y numerele reale: C XY = M(XY ) M(X)M(Y ) (5.5) ρ XY = C XY D(X)D(Y ) (5.6) se numesc covarianţa (sau corelaţia) respectiv coeficientul de corelaţie al lor. Dacă C XY = 0 spunem că X şi Y sunt necorelate iar dacă C XY 0 atunci spunem că X şi Y sunt corelate. Propoziţia 5.9 Dacă X şi Y sunt v. a. independente atunci: Seminarul 5 M(XY ) = M(X) M(Y ). (5.7) S5. Se cere media şi dispersia variabilei aleatoare binomiale. Soluţie Să derivăm în raport cu x formula binomului lui Newton: (q + px) n = n Cnq k n k p k x k. (5.8) k=0

28 M. Crâşmăreanu Obţinem: np(q + px) n = Facem x = în ultima relaţie şi obţinem: n Cnq k n k p k kx k. (5.9) k=0 np = k=0 k C k nq n k p k (5.20) care este exact media variabilei aleatoare binomiale. Deci: Înmulţim (5.9) cu x: şi derivăm ultima relaţie: np(q + px) n x = M(X) = np. (5.2) n Cnq k n k kx k (5.22) k=0 n(n )p 2 (q + px) n 2 x + np(q + px) n = Înlocuim din nou x = şi avem: n(n )p 2 + np = care este exact M 2 (X). Pentru dispersie folosim formula (5.0): n Cnq k n k k 2 p k x k. (5.23) k=0 n k 2 Cnq k n k p k (5.24) k=0 D(X) = n(n )p 2 + np n 2 p 2 = np 2 + np = np( p) = npq. (5.25) S5.2 Se aruncă 4 zaruri şi se cere valoarea medie a numărului de puncte obţinute. Soluţie Deoarece: rezultă că pentru n zaruri avem: În cazul n = 4 obţinem: M = 4. M(zar) = 6 ( + 2 +... + 6) = 6 6 7 2 = 7 2 (5.26) M(n zaruri) = 7n 2. (5.27) S5.3 Se aruncă 4 zaruri şi se cere valoarea medie a produsului numărului de puncte ce apar. Soluţie Fie X i numărul de puncte de la zarul i {, 2, 3, 4}. Aceste v. a. sunt independente şi deci: ( ) 7 4 M(X X 2 X 3 X 4 ) = M(X )M(X 2 )M(X 3 )M(X 4 ) = = 240 2 6.

Cursul 5 29 S5.4 Se cere media şi dispersia variabilei aleatoare de tip Poisson cu parametrul λ (0, + ). Soluţie Avem: M(X) = k 0 k λk k! e λ = λe λ λ k (k )! = λe λ e λ = λ. (5.28) k M 2 (X) = k 2 λk k! e λ = λe λ k λk (k )! = λe λ (p + ) λp p!. k 0 k p 0 Deci: Rezultă: λ p M 2 (X) = λe λ ( (p )! + p p 0 λ p p! ) = λe λ (λe λ + e λ ) = λ(λ + ). (5.29) D(X) = λ 2 + λ λ 2 = λ. (5.30) S5.5 Se cere media şi dispersia variabilei aleatoare de tip normal N(µ, σ). Soluţie Valoare medie este: = σ 2π M(X) = + + (x m) exp[ xρ(x)dx = σ 2π + (x µ)2 2σ 2 ]dx + m σ 2π (x µ)2 x exp[ 2σ 2 ]dx = + exp[ În prima integrală facem schimbarea de variabilă x m = t şi obţinem: I = σ 2π + t exp[ t2 2σ 2 ]dt = 0 (x µ)2 2σ 2 ]dx. deoarece funcţia de sub integrală este impară: F ( t) = F (t). Pentru a doua integrală facem schimbarea de variabilă: x m = σ 2π t şi avem: I 2 = µ σ 2π + σ 2e t2 dt = µ deoarece: + e t2 dt = π. (5.3) În concluzie: Să observăm că: σ 2π + ceea ce confirmă buna definire a variabilei aleatoare normale. M(X) = µ. (5.32) ρ(x)dx = σ 2π σ 2π = (5.32)

30 M. Crâşmăreanu Pentru calculul dispersiei: vom integra prin părţi: D(X) = + (x µ) 2 ρ(x)dx D(X) = σ (x + 2π [ σ2 µ)2 (x µ) exp( 2σ 2 ) + + σ2 exp( (x m)2 2σ 2 )dx]. Primul termen este nul din nou din motive de (im)paritate iar integrala a fost calculată deja. În concluzie: D(X) = σ 2. (5.32) Vedem astfel motivaţia pentru notaţia N(µ, σ). Dacă X şi Y sunt independente atunci ele sunt necorelate. Reciproca nu este adevărată după cum o arată exerciţiul următor: S5.6 Se cere covarianţa următoarelor v. a.: ( ) ( ) 2 2 X : Y :. 4 4 4 Soluţie Avem M(X) = M(Y ) = 0. Produsul XY ia valorile z ij = x y j cu: 4 { z = 2, z 2 =, z 3 =, z 4 = 2 z 2 = 2, z 22 =, z 32 =, z 42 = 2. 2 2 Avem probabilităţile: { r = 0, r 2 = 4, r 3 = 4, r 4 = 0 r 2 = 4, r 22 = 0, r 32 = 0, r 42 = 4. Deci: ( 2 2 XY : 4 Rezultă că M(XY ) = 0 = M(X)M(Y ) şi deci C XY = 0. Avem şi p i q j = 8 r ij pentru unele valori ale indicilor i, j. Deci cele două variabile aleatoare sunt necorelate dar nu sunt independente. 4 4 4 ).

Chapter 6 Teoria deciziilor Fixăm A o mulţime nevidă ale cărei elemente a le numim acţiuni şi Ω o altă mulţime nevidă numită spaţiul parametrilor. Fie F Ω o σ-algebră pe Ω. Definiţia 6. Aplicaţia X : Ω R o numim F -măsurabilă dacă pentru orice r R avem: {X < r} : {ω Ω : X(ω) < r} F Ω. (6.) Observaţia 6.2 Comparând relaţia anterioara cu relaţia (3.5) din Cursul 3 observăm că sunt identice. Deci o variabilă aleatoare este exact o funcţie F Ω -măsurabilă. Definiţia 6.3 Numim funcţie pierdere o funcţie P ierd : Ω A R +. În exemplele care urmează Ω R m şi atunci F Ω = B(m) Ω. Exemple 6.4 ) pierdere eroare-pătratică: A = Ω R cu ρ R + fixat. 2) pierdere eroare-pătratică ponderată: A = Ω R cu ρ : Ω R +, F Ω -măsurabilă. 3) pierdere liniară A = Ω R P ierd(ω, a) = ρ(ω a) 2 (6.2) P ierd(ω, a) = ρ(ω)(ω a) 2 (6.3) { ρ (ω a), ω a P ierd(ω, a) = ρ 2 (a ω), ω < a (6.4) cu ρ, ρ 2 numere reale pozitive. 4) pierdere liniară ponderată ca mai sus dar cu ρ, ρ 2 : Ω (0, + ), F ω -măsurabilă. 5) pierdere eroare-absolută: A = Ω R P ierd(ω, a) = ρ ω a (6.5) 3

32 M. Crâşmăreanu cu ρ > 0. 6) pierderea c c 2 : A = {a, a 2 }, Ω = Ω Ω 2 cu Ω Ω 2 = { c, ω Ω P ierd(ω, a i ) = i (6.6) c 2, ω Ω j cu i j. Fie X R n o mulţime nevidă numită spaţiul de selecţie şi σ-algebra F X = B(n) X. Definiţia 6.5 Numim problemă de decizie un ansamblu (A, Ω, X, X) cu X : Ω X X aşa încât pentru orice ω Ω aplicaţia X(ω, ) : X X este F X -măsurabilă i.e. pentru orice F F X avem: {x X : X(x) F } F X. (6.7) Fie g : X R ce este F X -măsurabilă şi ω Ω fixat. Putem defini media g-ponderată a lui X(ω,.) la fel ca în Cursul precedent: { M(g(X(ω, ))) := x X g(x)x(ω, x) X(ω, ) este discretă X g(x)ρ(ω, x)dx X(ω, ) este continuă cu densitatea de repartiţie ρ(ω, ). (6.8) Definiţia 6.6 O funcţie d : X A ce este F X -măsurabilă o numim funcţie de decizie sau regulă de decizie. Fie D mulţimea regulilor de decizie pentru problema de decizie dată. Am ajuns astfel la noţiunea centrală întregului Curs şi anume riscul unei decizii: Definiţia 6.7 Funcţia risc a problemei de decizie (A, Ω, X, X) este R : Ω D R: R(ω, d) = M(P ierd(ω, d X(ω, ))) (6.9) Deci riscul este o medie a pierderilor asociatei unei perechi (parametru ω, decizie a), parametrul ω fiind luat în cosiderare pentru adoptarea deciziei a din mulţimea A a tuturor deciziilor. Exemplul 6.8 (Acceptarea unui lot de produse) O firmă produce un tip de produse şi vrem să decidem dacă acceptăm sau nu un lot de astfel de n produse. Fie ω probabilitatea de a găsi un produs defect. Există ω 0 (0, ], numit prag de acceptare-respingere, astfel încât: -dacă ω ω 0 facem acţiunea a =acceptăm, -dacă ω > ω 0 facem acţiunea a 2 =respingem. În practică ω 0 = 0, 05 adică acceptăm cel mult 5 produse defecte. Avem A = {a, a 2 }, X = {0,..., n} şi X = X(ω, x) va da numărul de produse defecte din lotul de x X cu probabilitatea ω. Avem că X(ω, ) este continuă cu densitatea de tip binomial: ρ(ω, x) = C x nω x ( ω) n x. (6.0) Fixăm ρ > 0 un coeficient de calibrare iar funcţia pierdere va fi: { 0 ω ω0 P ierd(ω, a ) = (6.) ρ(ω ω 0 ) ω > ω 0

Cursul 6 33 { ρ(ω0 ω) ω ω P ierd(ω, a 2 ) = 0 0ω > ω 0. Funcţia decizie este d : X = {0,..., n} A = {a, a 2 }: (6.2) Atunci funcţia risc devine: d(x) = { a x a 2 n ω 0 x n > ω 0. (6.3) n R(ω, d) = P ierd(ω, d(x))ρ(ω, x) (6.4) x=0 şi are expresia finală: R(ω, d) = { x X,nω 0 x n ρ(ω 0 ω)c x nω x ( ω) n x ω ω 0 x X, x nω 0 ρ(ω 0 ω)c x nω x ( ω) n x ω > ω 0. (6.5) Exemplul 6.9 O firmă doreşte să-şi modernizeze fluxul tehnologic şi epntru aceasta este necesară achiziţionarea a 0 dispozitive automate de prelucrare a unor piese. Dintre acestea, un număr de ω vor avea o durată de funcţionare de 0.000 de ore fără reparaţii majore, durată ce aduce un beneficiu de k lei. Pentru celelalte 0 ω dispozitive ce au suferit defecţiuni importante pe durata funcţionării de 0.000, firma va suporta cheltuieli de k 2 lei. Pentru achiziţionarea acestor 0 dispozitive firma are la dispoziţie un timp pentru a testa unul singur. Dacă acest dispozitiv funcţionează la anumiţi parametri atunci testul este considerat satisfăcător şi dispozitivele sunt achiziţionate. În caz contrar, nu se acceptă aceste dispozitive. Cheltuielile pentru acest test sunt de k 3 lei. Avem din nou A = {a, a 2 } cu a = acceptare iar a 2 = respingere; avem Ω = {0,..., 0}. Fie X = {x, x 2 } cu: -x corespunde unui rezultat satisfăcător la test, -x 2 corespunde unui rezultat nesatisfăcător la test. X are densitatea: { ρ(ω, x ) = ω 0 ρ(ω, x 2 ) = ω 0. (6.6) Funcţia pierdere are expresia: { P ierd(ω, a ) = k 3 ωk + (0 ω)k 2 P ierd(ω, a 2 ) = k 3. Funcţiile de decizie d : X = {x, x 2 } {a, a 2 } sunt în număr de patru: d (x) = a, x X { a x = x d 2 (x) = a 2 x = x 2 { a2 x = x d 3 (x) = a x = x 2 (6.7) d 4 (x) = a 2, x X. (6.8)

34 M. Crâşmăreanu Observăm că d şi d 4 ignoră rezultatul testului; astfel d acceptă lotul în orice condiţii iar d 4 îl respinge indiferent de rezultatul testului. O astfel de situaţie este posibilă; spre exemplu firmei i se oferă un contract mai avantajos, prin care se acoperă şi cheltuielile efectuării testului. Pentru un parametru ω dat, riscul asociat funcţiilor de decizie considerate este: R(ω, d) = P ierd(ω, d(x ))ρ(ω, x ) + P ierd(ω, d(x 2 ))ρ(ω, x 2 ) (6.9) care devine, în fiecare din cele patru cazuri particulare: R(ω, d ) = k 3 ωk + (0 ω)k 2 R(ω, d 2 ) = ω ( 0 [k 3 ωk + (0 ω)k 2 ] + ω ) k 3 0 R(ω, d 3 ) = ω ( 0 k 3 + + ω ) [k 3 ωk + (0 ω)k 3 ] 0 R(ω, d 4 ) = k 3. (6.9) Seminar 6 Diagrama pie afişează procentul cu care fiecare element al unui vector (sau matrice) contribuie la suma elementelor structurii. S6. Să se figureze fenomenele echiprobabile p n = ( n,..., n ) (vezi Cursul ) pentru n {2, 3, 4, 5, 6}. Soluţie Programul MATLAB: >>x=[ ]; >>pie(x) (+Enter) dă: Moneda 50% 50% Figura 6. Analog avem: >>x=[ ]; >>pie(x) (+Enter)

Cursul 6 35 33% 33% 33% Figura 6.2 >>x=[ ]; >>pie(x) (+Enter) 25% 25% 25% 25% Figura 6.3 >>x=[ ]; >>pie(x) (+Enter) 20% 20% 20% 20% 20% Figura 6.4 >>x=[ ]; >>pie(x) (+Enter)

36 M. Crâşmăreanu Zarul 7% 7% 7% 7% 7% 7% Figura 6.5 Putem utiliza şi pie3(.) pentru o reprezentare spaţială: >>x=[ ]; >>pie3(x) (+Enter) Zarul 50% 50% Figura 6.6 >>x=[ ]; >>pie3(x) (+Enter) 33% 33% 33% Figura 6.7 >>x=[ ]; >>pie3(x) (+Enter)

Cursul 6 37 25% 25% 25% 25% Figura 6.8 >>x=[ ]; >>pie3(x) (+Enter) 20% 20% 20% 20% 20% Figura 6.9 >>x=[ ]; >>pie3(x) (+Enter) Zarul 7% 7% 7% 7% 7% 7% Figura 6.0 S6.2 Să se figureze cu pie variabila aleatoare dată de Exerciţiul 3.3 Soluţie Înmulţim cu 8 ultima linie pentru a norma această variabilă aleatoare şi avem: x = (, 2,, 4). >>x=[ 2 4]; >>pie(x) (+Enter)

38 M. Crâşmăreanu 3% 25% 50% 3% Figura 6. >>x=[ 2 4]; >>pie3(x) (+Enter) 3% 50% 25% 3% Figura 6.2 S6.3 Se dau variabilele aleatoare independente: ( ) 0 X : p + 6 q + 3 3 ( ) 0 Y : 3 2p q 2p 2. Se cere distribuţia lui XY. Soluţie Să determinăm mai întâi p şi q punând condiţia ca suma elemetelor din linia inferioară să fie : { p + 6 + q + 3 + 3 = 3 + 2p q + 2p2 =. Avem deci sistemul: { p + q = 6 2p q + 2p 2 = 2 3 şi prin adunarea celor două ecuaţii avem: 3p + 2p 2 = 5 6. Putem scrie: p 2 + 4 p 5 72 = 0

Cursul 6 39 care are discriminantul: = 6 + 5 8 + 80 = 8 6 8 = 98 6 8 = 49 6 9 = Rezultă soluţiile: p = 2 ( 4 7 2 ) impsibilă respectiv: p 2 = p = 2 ( 4 + 7 2 ) = 4 2 2 = 6 la care corespunde q = 0. Deci: ( ) 0 X : 3 3 3 ( 0 Y : 3 3 3 ). ( ) 7 2. 2 V. a. XY ia valorile, 0 şi. Avem: {XY = } = {X = ; Y = } {X = ; Y = } şi deci: P (XY = ) = P (X = ; Y = ) + P (X = ; Y = ) = Analog: = P (X = ) P (Y = ) + P (X = ) P (Y = ) = 3 3 + 3 3 = 2 9. P (XY = ) = 2 9 şi deci: P (XY = 0) = 4 9 = 5 9. În concluzie: ( 0 XY : S6.4 Se dau v. a. independente de la exerciţiul anterior. Se cere X 2 + Y 2. Soluţie Avem: 2 9 5 9 3 2 9 2 3 ). ( ) X 2 = Y 2 0 : şi deci v. a. ia valorile 0, şi 2. Deoarece X 2 şi Y 2 sunt independente avem: ( ) X 2 + Y 2 0 2 :. S6.5 Se cer numerele reale a, b, c aşa încât următoarea funcţie să fie o funcţie de repartiţie continuă: a x (, 0]) F (x) = bx 2 x (0, ] c x (, + ). Soluţie Din FR2), Cursul 4, avem: 0 = lim x F (x) = a şi = lim x + F (x) = c. Din continuitatea în x = avem: F () = b = lim x F (x) = c =. 9 4 9 4 9

40 M. Crâşmăreanu

Chapter 7 Invarianţă în teoria deciziilor Fie problema de decizie (A, Ω, X, X) şi S(X ) mulţimea funcţiilor bijective pe X i.e. elementele lui S(X ) sunt funcţii g : X X bijective. Propoziţia 7. S(X ) este grup relativ la compunerea funcţiilor. Definiţia 7.2 S(X ) se numeşte grupul bijecţiilor lui X sau încă grupul simetric al lui X. O funcţie g S(X ) o numim transformare a lui X sau pe X. Fixăm G S(X ) un subgrup; deci G este submulţime nevidă (conţine măcar funcţia identică X ) cu proprietăţile: sg) dacă g G şi g 2 G atunci g 2 g G. sg2) dacă g G atunci şi inversa g aparţine lui G. Vom mai presupune că orice g G este transformare bimăsurabilă în sensul că pentru orice B F X avem g(b) F X şi g (B) F X. Cum compunerea de aplicaţii măsurabile este măsurabilă rezultă căpentru orice ω Ω aplicaţia g(x(ω,.)) : X X este F X -măsurabilă. Definiţia 7.3 Aplicaţia X : Ω X X o numim G-invariantă dacă pentru orice g G şi orice ω Ω există şi este unic omega Ω astfel încât dacă X(ω,.) are distribuţia de probabilitate P (ω) atunci g(x(ω,.)) are distribuţia P ( ω). În limbajul densităţilor de probabilitate avem că dacă X(ω, x) are distribuţia ρ(ω, x) atunci g(x(ω, x)) are distribuţia ρ( ω, y = gx). Notăm ω = ḡ(ω). Rezultă invarianţa mediei: M(h g(x(ω,.))) = M(h X(ḡ(ω),.)) şi faptul că pentru g G fixam avem că ḡ(ω) este o funcţie de ω. Putem deci considere Ḡ = {ḡ; g G} ca submulţime în F (Ω) = {f : Ω Ω}=mulţimea tuturor funcţiilor de la Ω la Ω. Propoziţia 7.4 Ḡ este subgrup în S(Ω). Elementul neutru din Ḡ este ē = Ω : ωω ω corespunzător elementului neutru e = X : x X x. Presupunem că funcţia pierdere satisface proprietatea: P ierd(ω, a ) = P ierd(ω, a 2 ) pentru orice ω Ω implică a = a 2. Această presupunere este naturală în sensul că având aceleaşi pierderi pentru orice parametru ω e clar că cele două acţiuni a, a 2 sunt echivalente. 4

42 M. Crâşmăreanu Definiţia 7.5 i) Functia pierdere este G-invariantă dacă pentru orice g G şi orice a A există şi este unic ã A astfel ca: P ierd(ω, a) = P ierd(ω, ḡ(ω), ã) pentru orice ω Ω. ii) Problema de decizie dată este G-invariantă dacă X şi P ierd sunt G-invariante. Mai notăm ã = g(a) şi obţinem G = { g; g G} ca submulţiem în F (A). Avem ca mai sus: Propoziţia 7.5 G este subgrup în S(A). O observaţie importantă este că pentru o problemă de decizie G-invariantă avem: P ierd(ω, a) = P ierd(ḡ(ω), g(ω)) (7.) pentru orice ω Ω. Relativ la funcţii de decizie avem următoarea noţiune de invarianţă: Definiţia 7.6 Considerăm că problema de decizie dată este G-invariantă şi fie d D o regulă de decizie. Spunem atunci că d este G-invariantă dacă pentru orice x X şi orice g G avem: d(g(x)) = g(d(x)). (7.2) Vom nota cu D(G) mulţimea funcţiilor de decizie G-invariante. Definiţia 7.7 Considerăm că problema de decizie dată este G-invariantă şi fie parametrii ω, ω 2 Ω. Spunem că ω şi ω 2 sunt echivalenţi dacă există g G aşa încât ω 2 = ḡ(ω ). Obţinem astfel o relaţie de echivalenţă pe spaţiul Ω al parametrilor. O clasă de echivalenţă se va numi orbită. Următorul rezultat este central în acest Curs şi spune în esenţă că pentru funcţiile de decizie G-invariante funcţia rsic este invariantă pe orbită: Teorema 7.8 Considerăm că problema de decizie dată este G-invariantă şi fie d D(G). Atunci pentru orice ω Ω avem: R(ω, d) = R(ḡ(ω), d). (7.3) Cazul particular de constanţă totală a riscului merită menţionat. Definiţia 7.9 Grupul Ḡ se numeşte tranzitiv dacă există ω 0 Ω astfel încât întreg Ω este orbita lui ω 0. Prin urmare, în cazul Ḡ tranzitiv, avem o singură orbită iar din Teorema avem că riscul asociat la orice funcţie de decizie este acelaşi indiferent de parametrii din Ω. O funcţie de decizie invariantă care minimizează acest risc constant se numeşte cea mai bună funcţie de decizie invariantă. Exemplul 7.0 Fie A = Ω = (0, + ) şi {P (ω); ω Ω} familia distribuţiilor exponentiale de parametru ω. Fie funcţia pierdere P ierd(ω, a) = (a aω) 2. (7.4) Fie G = g c ; c (0, + ) grupul transformărilor de scală ale dreptei reale i.e. g c : (0, + ) (0, + ), g c (x) = cx. Se observă că Ḡ este tranzitiv. Avem că această problemă de decizie este invariantă iar o funcţie de decizie va fi invariantă dacă d(cx) = cd(x) pentru orice x (0, + ). Ultima egalitate este o ecuaţie funcţională adică o ecuaţie având ca necunoscută o funcţie.

Cursul 7 43 Soluţia acestei ecuaţii funcţionale este: d(x) = λx cu λ > 0. Funcţia risc pentru această decizie este: R(ω, d) = M( ωd(x(ω,.)) 2 ) = M( λωx(ω)) 2 = 2λ + 2λ 2. (7.5) Derivăm această funcţie risc şi egalăm cu zero derivata pentru a-i afla minimul. dr dλ = 4λ 2 = 0 şi prin urmare cea mai bună decizie invariantă este d 0 (x) = x 2 iar riscul corespunzator este: R(ω, d 0 ) = + 2 4 = 2. Seminar 7 S7. (Exemplu de v. a. numărabilă) Se aruncă un zar şi fie X numărul de aruncări efectuate până apare cifra. Se cere distribuţia lui X. Soluţie X poate lua orice valoare, 2, 3,... Să calculăm probabilitatea p k = P (X = k). Avem p = P (X = ) = 6. p 2 = P (X = 2) este probabilitatea ca la prima aruncare să nu iasă faţa combinată cu probabilitatea ca la aruncarea a doua să iasă faţa. Avem deci p 2 = 5 6 6. Analog p 3 = 5 6 5 6 6. Rezultă că pentru cazul general avem: ( ) 5 k p k = 6 6 iar distribuţia este: X : ( k N ( 5 ) k 6 6 Cazul general: v. a. a primei realizări Fie o experienţă şi un eveniment A legat de această experienţă şi care se realizează cu probabilitatea p. Fie X numărul de efectuări ale experienţei până la prima realizare a lui A. Avem: ( ) k N X : q k (7.5) p cu q = p. Avem că: ) + q +... + q n = qn+ q. (7.6) şi deci suma elementelor din linia inferioară a lui (6.5) este: p q = deoarece lim n + q n = 0, q fiind un număr subunitar. S7.2 Se cer numerele reale a, b, c aşa încât următoarea funcţie să fie o funcţie de repartiţie continuă: (a 2b)x 3 x 0 x 3 + F (x) = c sin x 0 < x π 2 (a+b 2)x 2 x > π x 2 2. Soluţie Din FR2), Cursul 4, avem: 0 = lim x F (x) = a b şi = lim x + F (x) = a + b 2. Avem un sistem în necunoscutele a şi b cu soluţia: a =, b =, obţinută înlocuind

44 M. Crâşmăreanu a = 2b în a doua ecuaţie. Din continuitatea în x = π 2 avem: F ( π 2 ) = c = lim x F (x) =. S7.3 Se cere a R astfel ca funcţia următoare să fie o densitate de repartiţie: { 0 x / [0, ] ρ(x) = 2ax x [0, ]. Soluţie Folosim D2) din Cursul 4: = + S7.4 Se dă v. a. X cu densitatea: Se cere P (X > 3). ρ(x)dx = ρ(x) = 0 ρ(x)dx = ax 2 0 = a. { 0 x 0 λe 2x x > 0. Soluţie Determinăm λ din aceeaşi condiţie D2): = + de unde rezultă λ = 2. Avem atunci: ρ(x)dx = + P (X > 3) = P (3 < X < + ) = 0 λe 2x dx = λ 2 e 2x + 0 = λ 2 (e infty e 0 ) = λ 2 + 3 2e 2x dx = e 2x + 3 = e 6 0 = e 6.

Chapter 8 Utilitate şi pierdere Reamintim că am notat cu D mulţimea deciziilor asociate unei probleme de decizie. Definiţia 8. Fie deciziile d, d 2 D. Spunem că: ) d domină d 2 sau că d este mai bună decât d 2 şi notăm d > d 2 dacă: R(ω, d ) R(ω, d 2 ) pentru orice ω Ω cu inegalitate strictă pentru cel puţin un parametru ω. 2) d este cel puţin tot aşa de bună ca şi d 2 şi notăm d d 2 dacă: R(ω, d ) R(ω, d 2 ) pentru orice ω Ω. 3) d şi d 2 sunt echivalente şi notăm d d 2 dacă: R(ω, d ) = R(ω, d 2 ) pentru orice ω Ω. Relaţiile ) şi 2) sunt de ordine iar 3) este o relaţie de echivalenţă. Fie C mulţimea consecinţelor unei decizii luate. Fie u : C R o funcţie de cuantificare a acestor consecinţe. Dacă avem o probabilitate P pe C atunci valoarea unei consecinţe este media M(u(c)), care pentru orice P defineşte o funcţie utilitate. Fie deci P(C) mulţimea tuturor distribuţiilor de probabilitate simple pe C. Pentru o consecinţă fixată c C notăm cu < c > distribuţia de probabilitate care asociază valoarea mulţimii {c} şi 0 în rest. Definiţia 8.2 Fie p, p 2 P(C). Spunem că: u) p 2 este preferat faţă de p şi notăm p < p 2 dacă: M p (u(c)) < M p2 (u(c)) unde M p înseamnă media în raport cu probabilitatea p. u2) Notăm p p 2 dacă p nu este preferat facţă de p 2. u3) Notăm p p 2 dacă p şi p 2 sunt echivalente. Să observăm că P(C) este o mulţime convexă: dacă p, p 2 P(C) şi α [0, ] atunci avem următorul element p = αp + ( α)p 2 în P(C) definit de: p(c ) = αp (C ) + ( α)p 2 (C ) pentru orice C C. În particular, dacă c, c 2 C atunci α < c > +( α) < c 2 > este o distribuţie de probabilitate. Fixăm o mulţime nevidă M. Definiţia 8.3 Numim mixtură o pereche (M, m) cu m : [0, ] M M M satisfăcând: M) m(, P, Q) = P, M2) m(α, P, Q) = m( α, Q, P ), M3) m(α, m(β, P, Q), Q) = m(αβ, P, Q). Vom mai nota m(α, P, Q) prin αp + ( α)q. Avem atunci: m) P + 0Q = P, 45