DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple di acest material petru lecţiile de la clasa a XI-a, petru lecţiile recapitulative de la clasa a XII-a, precum şi petru cercurile de matematică ale elevilor. Lucrarea de faţă prezită diverse tehici de determiare a puterilor matricelor. Metodele expuse sut descrise, pe scurt, la ivel teoretic şi sut completate cu exemple reprezetative, utile î pregătirea elevilor. Dacă A M m, C, atuci petru a putea vorbi de A A trebuie să aibă ses operaţia de îmulţire. Aceasta este defiită dacă m, adică petru A M C. Ţiâd seama de asociativitatea îmulţirii matricelor se pot defii puterile uei matrice pătratice astfel: A 0 I, A 1 A şi A k A k 1 A, petru k, k N. 1. Metoda iducţiei matematice: Î cotextul temei oastre, ea se aplică explicit 1 î două situaţii: atuci câd este dată forma matricei A si aceasta doar trebuie verificată pri iducţie matematică, sau câd această formă u este dată şi ea trebuie mai îtâi determiată. Prezetăm î cotiuare exemple petru fiecare ditre aceste situaţii: că A Exemplul 1. Se cosideră matricea A 1 0 petru orice N. 0 M C. Arătaţi Soluţie: Afirmaţia este adevărată petru 0; presupuâd-o adevărată petru 0, obţiem A +1 A A 1 0 0 +1 + 1 0 +1, ceea ce îcheie pasul de iducţie şi demostraţia. Exemplul. Fie A M C. Să se arate că există u şir x N de umere complexe astfel îcât A x 1 A x deta I petru orice şi, î plus, x 0 1, x 1 TrA şi x x 1 TrA x deta petru orice. 1 Ea itervie de fapt idiferet de tehica pe care o aplicăm, dar este ueori,,ascusă î demostraţiile rezultatelor pe care le ivocăm 1

Modele de lecţii Soluţie: Iterpretarea A x 1 A x 0 deta I a relaţiei lui Cayley A TrA A deta I arată că afirmaţia di euţ este adevărată petru. Fie acum k >. Presupuem afirmaţia adevărată petru orice j {,,..., k 1}. Petru k, di relaţia lui Cayley obţiem A TrA A deta A TrAx 1 A x 0 I deta A x 1 TrA x 0 deta A TrA I x A x 1 I. Petru k >, relaţia lui Cayley coduce la A k TrA A k 1 deta A k. Folosid ipoteza de iducţie, obţiem A k x k TrA x k deta A+ +x k TrA x k 4 deta deta I x k 1 A + x k I. Exemplul. Se cosideră matricea A a 0 0 0 b 0 c 0 d Determiaţi A, N. Soluţie: A a 0 0 0 b 0, iar A ca + d 0 d a 0 0 Acestea e sugerează că A 0 b 0 c d a d a 0 d M C, a d. a 0 0 0 b 0 ca + ad + d 0 d. petru orice N. Demostrăm pri iducţie această afirmaţie: petru 0, ea este evidetă; presupuâd-o adevărată petru N, obţiem A +1 A A a +1 0 0 a +1 0 0 0 b +1 0 0 b +1 0, deci a- ca + dc d a d a 0 d +1 c d+1 a +1 d a 0 d +1 firmaţia este adevărată petru + 1, ceea ce îcheie demostraţia. Câteodată, ître matrice se urmăreşte determiarea uei relaţii de tipul Ma Mb MRa, b, ude Ra, b desemează o expresie î a şi b: Exemplul 4. Cosiderăm mulţimea matricelor de forma 1 a 0 1 Ma a 1 0 1 a, a 1, 1. 0 0 1 a Arătaţi că petru orice N există u uic elemet a 1, 1 cu proprietatea Ma Ma. Soluţie: Arătăm că Ma Mb M a+b 1+a 1 a 1+ab. Îlocuid b cu a, obţiem Ma M a M. Probăm apoi pri iducţie matematică relaţiile Ma k M 1+a k 1 a k şi 1 < 1+ak 1 a k < 1. 1+a 1+a +1 a 1+a k +1 a k 1+a k +1 a k

I. M. Maşca, Determiarea puterilor uei matrice Exemplul 5. Să se arate că există polioame α, β, γ de grade,, 4 îcât 1 t αt βt petru matricea At 0 1 4t γt 0 0 1 6t să aibă loc At Au At + u 0 0 0 1 şi să se determie At petru orice N, > 1. Soluţie:Codiţia At + u At Au este echivaletă cu αt + u αt + αu+4tu, βt+u βt+βu+tγu+6uαt şi γt+u γt+γu+4tu, relaţii ce se verifică petru αx x + x, βx 4x + 17 x + x şi γx x 4 + 1x + 5x. Pe baza relaţiei At + u At Au obţiem iductiv At At.. Utilizarea proprietăţilor fucţiilor trigoometrice: U rezultat cos α si α ce se dovedeşte util î aplicaţii este următorul: Dacă A α, si α cos α α R, atuci A α A α petru orice N. Exemplul 6. Fie A Soluţie: Scriem matricea sub forma A A π. Deci, A A π 1 1. Determiaţi A, N. A π 1 1 cos π si π si π cos π cos π si π si π cos π.. Biomul lui Newto: Utilizăm această metodă atuci câd putem scrie matricea A ca sumă sau difereţă a două matrice ce comută şi ale căror puteri pot fi calculate uşor. U caz particular importat este cel î care ua ditre matrice este I, iar cealaltă matrice devie ulă după u umăr fiit de ridicări la putere. Acest lucru se îtâmplă de pildă î cazul î care cea de-a doua matrice este sub- sau supradiagoală. O astfel de matrice ridicată la orice putere de expoet cel puţi egal cu tipul său se va aula. Exemplul 7. Fie A 1 0 0 1 0. Determiaţi A, N. 0 1 O matrice cu această proprietate se umeşte ilpotetă

4 Modele de lecţii Soluţie: Scriem A I + B, ude B 0 0 0 0 0. Cum I B BI, putem 0 0 aplica formula biomului lui Newto. Avem B 0 0 0 0 0 0, iar B k este matricea ulă petru orice k. Obţiem aşadar A 1 0. 1 0 6 0 0 1 0 0 Exemplul 8. Fie A 1 1 0 1 0 1. Determiaţi A, N. 0 1 1 Soluţie: Scriem A C B, ude C 1 1 1 1 1 1 iar B 0 0 1 0 1 0. Avem 1 1 1 1 0 0 C B B C C şi C C. Se demostrează pri iducţie că petru orice k N avem: C B k B k C C, C 1 C, B k I şi B k+1 B. Pri urmare, A C B 1 1 C + 1 B. Exemplul 9. Fie A k k 1 k k 1 k. Să se arate că există 1 k k două matrice B, C M R astfel îcât A B + C. Soluţie: Alegem următoarele matrice: B k 1 1 0 1 0 1 0 1 1 k şi C 1 1 k 1 1 k k 1 k 1. Evidet, A B + C, iar BC este matricea 1 k 1 1 ulă. Cosiderâd N şi aplicâd formula biomului lui Newto relaţiei A B + C rezultă A B + C, toţi ceilalţi termei fiid uli. 4. Metoda şirurilor recurete poate fi aplicată fie direct, fie împreuă cu relaţia Hamilto-Cayley. Aplicarea ei directă costă î a ota A a b şi a utiliza relaţia A c d +1 A A petru a stabili formule de recureţă cu iterdepedeţe! petru şirurile a, b, c şi d. Di acestea obţiem formule de recureţă petru fiecare di şiruri ; pe baza acestora şi a valorilor iiţiale date de A 0 I, A 1, A,... se determiă formulele geerale ale respectivelor şiruri şi, cosecutiv, A. Metoda fucţioează şi petru matricele di MC cu, cosiderâd u umăr corespuzător de şiruri.

I. M. Maşca, Determiarea puterilor uei matrice 5 Exemplul 10. Se cosideră matricea A M C. Determiaţi A, N. Soluţie: Notăm A a +1 a + c c +1 4a c b +1 b + d 1 4 a b, N. Di A c d +1 A A deducem: Di primele două relaţii obţiem c a + 5a 1 şi d +1 4b d apoi a a 1 + 15a,. Ecuaţia caracteristică a şirului a este deci r + r 15 0; ea are rădăciile şi 5. Pri urmare, există α, β C astfel îcât a α + β 5. De aici şi di a 0 a 1 1 obţiem u sistem de ecuaţii cu soluţia α 4, β 1 4. Pri urmare, a +1 + 5 4 ; cum c a + 5a 1, obţiem c 5. Procedâd aalog, obţiem b +1 5 8 şi d + 5 4. Pri urmare, A +1 + 5 4 5 +1 5 8 + 5 4 cos Exemplul 11. Fie A x si x si x cos. Determiaţi A x, N. Soluţie: Puâd A a b şi aplicâd procedeul descris mai sus b a obţiem a +1 a+b+1 +a b +1 şi b +1 a+b+1 a b +1. Aşadar, a+b +a b a+b a b a+b +a b A a+b a b. Dar a + b 1 şi a b cos x, deci A 1 1 + cos x 1 cos x 1 cos x 1 + cos. x De obicei, aplicăm metoda şirurilor recurete dacă după calculul câtorva puteri ale lui A u putem observa regularităţi care să e permită scrierea directă a formei geerale a lui A. Meţioăm că există situaţii,,mixte, î care petru uele poziţii ale matricei se observă regularităţi, iar petru altele u. Î această situaţie, vom utiliza şiruri recurete umai petru poziţiile care mai prezită seme de îtrebare. Prezetăm î acest ses: Exemplul 1. Se cosideră matricea A M C. Determiaţi A, N. 1 0 0 4 0 0 5

6 Modele de lecţii Soluţie: A 1 8 8 0 9 0 0 5, A 1 6 7 0 7 196 0 0 15, A 4 1 80 464 0 81 1088 0 0 65 Poziţiile î care regularităţile u sut evidete sut 1, şi, ; băuim îsă că A 1 1 a 0 a + 5 1. Di A +1 A A deducem a 0 0 5 a 1 +5 1 1. Această relaţie e coduce la a 5 +1. Mai trebuie doar să verificăm pri iducţie că A 1 1 5 + 1 0 5. 0 0 5 Prezetăm acum u exemplu î care aplicăm metoda şirurilor recurete utilizâd şi relaţia Hamilto-Cayley: Exemplul 1. Se cosideră matricea A M 1 4 C. Determiaţi A, N. Soluţie: Avem TrA 7 şi deta 10. Relaţia Hamilto-Cayley petru matricea A este deci A 7A + 10I 0; ea e permite să scriem şi A 7A 1 10 A petru orice. De aici obţiem imediat pri iducţie existeţa a două şiruri a şi b astfel îcât A a A + b I petru orice N. Î plus, şirurile a şi b au aceeaşi ecuaţie caracteristică, şi aume r 7r + 10 0. Ţiâd cot de relaţiile a 0 b 1 0 şi a 1 b 0 1, obţiem a 5, b 5, iar A a A + b I 5 + +1 5 5 5 +.. 4. Folosid poliomul caracteristic [GG], [II] Fie A a ij i,j1, M C. Poliomul caracteristic al matricei A este pri defiiţie f A detxi A X a 11 + a +... + a X 1 +... + 1 deta CX. Rădăciile ecuaţiei caracteristice f A 0 se umesc valorile proprii ale matricei A. Petru matricele pătratice de ordiul doi şi trei, polioamele caracteristice sut f A X TrAX + detai, respectiv f A X TrAX + TrA X detai ude TrA este egal cu suma miorilor diagoali de ordiul doi ai matricei A. Teorema Cayley - Hamilto Orice matrice pătratică verifică propria sa ecuaţie caracteristică, respectiv f A A 0. Teoremă Dacă A M C, m N, şi r este restul împărţirii lui X m la f A atuci A m ra. Observaţie: Calculul uei puteri A m, A M C, m, revie la a determia u poliom matriceal de grad mai mic sau egal cu +1 ai cărui coeficieţi

I. M. Maşca, Determiarea puterilor uei matrice 7 se găsesc uşor dacă se cuosc rădăciile ecuaţiei caracteristice. Petru cazul matricelor de ordiul doi şi trei, se obţie A m a m A + b m I, petru A M C, respectiv A m a m A + b m A + c m I, A M C. Demostraţia existeţei şirurilor di cele două relaţii se realizează pri iducţie. Exemplul 14. Să se calculeze A petru matricea A 1 1, N. 1 Soluţie: Ecuaţia caracteristică asociată matricei A este x 4x + 4 0 cu soluţia dublă x 1 x. Aplicâd teorema împărţirii cu rest petru polioame, rezultă că X X gx + a X + b. Petru x deducem că a + b. Derivâd relaţia de mai sus, obţiem X 1 X... + a. Petru x, rezultă a 1 şi de aici b 1. Obţiem A 1 A + 1 I 1 1 1 1. + Exemplul 15. Să se calculeze A petru matricea A 1 0 0 0, 0 1 1 N. Soluţie: Ecuaţia caracteristică asociată matricei A este x x + x 1 0 cu valorile proprii x 1 1 şi x x 1±i. Aplicâd teorema împărţirii cu rest obţiem X X 1X X 1gX + a X + b X + c I, de ude se obţie A a X + b X + c I. Petru x 1 se obţie a + b + c 1 şi di faptul că ε este o rădăciă a ecuaţiei x x + 1 0 avem relaţia a ε + b ε + c ε, care este echivaletă cu a + b ε + c a ε, ude ε 1. Avem situaţiile: { a + b + c 1 1. Dacă 6k, k N se obţie sistemul a + b 1±i + c a 1, di care avem: a b 0 şi c 1, pri urmare A I. a + b + c 1. Dacă 6k + 1, k N se obţie sistemul c a 0 a + b 1, cu soluţia a c 0 şi b 1 şi atuci A A. Procedâd aalog, costatăm că:. Petru 6k +, k N se obţie A A. 4. Petru 6k +, k N avem A A A + I. 5. Dacă 6k + 4, k N avem A A A + I. 6. Petru 6k + 5, k N avem A A A + I.

8 Modele de lecţii 5. Folosid izomorfisme [BA] Se mai poate calcula A, N folosid izomorfisme ître iele de matrice şi iele î care calculele sut mai puţi laborioase 4. Exemplul 16. Fie d u îtreg liber de pătrate, a, b Z şi matricea a db M b a Z. Determiaţi A, N. { a } db Soluţie: Cosiderăm mulţimea M a, b Z şi fucţia f : b a Z[ d] M, fa + b a db d. Se costată că: b a 1. f este bijectivă;. z 1, z Z[ d] fz 1 + z fz 1 + fz ;. z 1, z Z[ d] fz 1 z fz 1 fz. Di relaţia de la puctul obţiem fz fz petru orice N ; această relaţie coduce la: A a + Ca d + Ca 4 4 d +... Ca 1 1 + Ca d +... Ca 1 1 + Ca d +... a + Ca d + Ca 4 4 d. +... Meţioăm că şi î spatele tehicii de la exemplul 6 se află u izomorfism de corpuri, şi aume { } a b x y f : C a, b R, fx + iy. b a y x Bibliografie [ACE] Gh. Adrei, C-ti. Caragea, V. Ee, Algebră. Culegere de probleme petru examee de admitere şi olimpiade şcolare, Editura Scorpio 7, Bucureşti, 1996. [BAAA] D. Brâzei, R. Brâzei, S. Aiţa, A. Aiţa, Şiruri recurete î liceu, Editura GIL, Zalău, 1996. [BR] Birat Ramaza, Asupra ecuaţiei matriciale aa + bb AB, Gazeta Matematică Aul CI, r./1996. [IB] I. Băetu, Puterile uei matrice, Gazeta Matematică Aul XCVIII, r.5-6/199. [ICD] I.C. Drăghicescu, O clasă particulară de matrice şi o proprietate remarcabilă a acestora, Gazeta Matematică Aul CXI, r.4/006. [II] Io D. Io, Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşi, 1981. [GG] Gh. Ghiţă, O metodă de ridicare la putere a matricelor, Gazeta Matematică Aul CIX, r.5-6/004. 4 Ideea de izomorfism, de această dată de grupuri, este prezetă, dar u meţioată explicit, şi î situaţiile di exemplele 4 şi 5.

I. M. Maşca, Determiarea puterilor uei matrice 9 [MG1] M. Gaga, Matematică. Maual petru clasa a XI-a, Editura MATHPRESS, Ploieşti, 006 [MG] M. Gaga, Matematică. Maual petru clasa a XII-a Algebră, Editura MATHPRESS, Ploieşti, 00 [PPL] L. Paaitopol, M.E. Paaitopol, M. Lascu, Iducţia matematică, Editura GIL, Zalău, 1997. [RG] Gh.N. Rizescu, Sumă şi produs. Probleme şi teme petru clasele a XI-a şi a XII-a, Editura SIGMA PRIMEX, Bucureşti, 1999. Ioaa Moica Maşca