SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO- MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK TRAPEZ Seminarski rad METODIKA NASTAVE MATEMATIKE 1 Nikolina Vukašinović Mihaela Šimić Zagreb, listopad 2016.
Sadržaj 1. UVOD... 2 2. TRAPEZ... 3 2. 1. Definicije trapeza pronađene na raznim internetskim stranicama i u časopisima... 3 2. 2. Definicije trapeza u udžbenicima za osnovnu i srednju školu... 3 2. 3. Problematika oko definiranja trapeza... 4 3. SVOJSTVA TRAPEZA... 6 3. 1. Unutarnji kutovi trapeza uz isti krak su suplementarni... 6 3. 2. Srednjica trapeza... 6 3. 3. Visina trapeza... 7 3. 4. Površina trapeza... 9 4. JEDNAKOKRAČAN TRAPEZ... 10 4. 1. Definicije jednakokračnog trapeza... 10 4. 2. Svojstva jednakokračnog trapeza... 11 5. ZAKLJUČAK... 14 6. LITERATURA... 15 1
1. Uvod Pojam trapez prvi put susrećemo u osnovnoj školi, točnije u šestom razredu, a zatim se ponovno javlja u osmom razredu, te u srednjoj školi. Na pitanja što je to zapravo trapez i koji problemi se javljaju vezano za njega, pokušat ćemo otkriti u ovom seminaru. Prije definiranja trapeza i prije nego što se dotaknemo nekih terminoloških problema, proći ćemo kroz etimologiju riječi trapez. Riječ trapez dolazi od grčke riječi τραπέζα, u značenju stol. U korijenu riječi ima tetra (grč. četiri) i ped (noga), kad se to poveže dobivamo četiri noge. Stari Grci su smatrali da taj četverokut nalikuje četveronožnom stolu, te su ga stoga nazvali trapez. Riječ trapez ne javlja se samo u matematici, nego ga možemo naći u nekim drugim granama kao što su sport ili cirkus. U sportu je trapez sprava koja se sastoji od prečke obješene o dva konopca ili predmet napravljen od čeličnog užeta učvršćenog o okov jarbola jedrilice. U cirkusu se trapez naziva viseće vratilo. U našem jeziku se javljaju još neke srodne riječi trapezu, kao što su, na primjer, trpezarija, odnosno blagovaonica ili trpeza, odnosno stol za kojim se blaguje, te trapez hlače. U ovom seminaru ćemo pokušati razjasniti što trapez znači u matematici te kako ga pravilno definirati. Zatim ćemo se osvrnuti na neka njegova svojstva koja su karakteristična za njega, ali i za neke terminološke probleme koji se javljaju, a za koje mi niti nismo znale dok se nismo susrele s ovom temom. Pretpostavile smo da većina ljudi koji završe osnovnu i srednju školu, znaju reći što je to trapez, kako on izgleda i barem jednu definiciju njega. Naime, problem se javlja kad se uđe u srž te definicije, jer kada se malo bolje pogledaju definicije u udžbenicima za osnovnu i srednju školu te u drugoj službenoj literaturi, dolazimo do toga da svaki autor ima svoju definiciju iza koje stoji. Kako je moguće da u različitoj literaturi, piše različita definicija te zašto dolazi do toga da se autori ne mogu odlučiti za jednu definiciju, upravo je to ono čime smo se mi bavile i što ćemo probati objasniti u ovom seminaru. Koristili smo veći broj članaka, knjiga i drugih izvora koji su navedeni u literaturi. 2
2. Trapez U šestom razredu osnovne škole, učenici se prvi puta susreću s definicijom trapeza. Kako se u različitim školama korsite različiti udžbenici, tako se u njima mogu naći slične definicije istog pojma koje nisu najpreciznije jer mogu opisivati različite objekte. Nadalje, učenici se susreću s trapezom i u osmom razredu osnovne škole u poglavlju pod nazivom Pitagorin poučak. Proučavajući razne udžbenike za osmi razred, uočava se pojava jednakih definicija, kao i u šestom razredu osnovne škole. Dolaskom u srednju školu, točnije u treći razred, od učenika se očekuje da su već dobro upoznati s pojmom i definicijom trapeza te da već naučeno o trapezu mogu primijeniti u trigonometriji. Mnogi autori, ne samo udžbenika, nego i druge literature, pokušavaju pojednostaviti i prilagoditi djeci već postojeće definicije ili ih pak učiniti svojima, a pritom ne razmišljaju previše o tome da, ukoliko već izmjenjuju korektne definicije tako što im dodaju nove riječi ili izostavljaju neke njene dijelove, zapravo mogu promijeniti i značenje same definicije koja na kraju nije u potpunosti točna. Dakle, važno je razjasniti ispravnost definicija trapeza kako bi učenici shvatili što sve podrazumijeva pojam trapeza te ispravno koristili pojam i svojstva trapeza u daljnjem školovanju. Ovo poglavlje seminara se bavi definicijama trapeza i njihovom problematikom kako bi se razjasnilo zašto su neke definicije točne, odnosno neprecizne, te koje su posljedice nepreciznih definicija. Prvo su navedene različite definicije trapeza iz različitih internetskih izvora te udžbenika i literatura, a potom će se pojasniti njihova problematika. 2. 1. Definicije trapeza pronađene na raznim internetskim stranicama i u časopisima Trapez je četverokut čije su dvije stranice paralelne (osnovke, baze), a ostale dvije (krakovi) nisu nužno paralelne. [19] Trapez je četverokut s jednim parom paralelnih suprotnih stranica. [20] Trapez je u geometriji konveksni četverokut kome su dvije nasuprotne stranice paralelne. [21] Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne. Paralelne stranice se nazivaju bazama trapeza, a preostale dvije kracima. [1] 2. 2. Definicije trapeza u udžbenicima za osnovnu i srednju školu U udžbenicima za šesti razred osnovne škole pojavljuju se sljedeće definicije trapeza: (a) Trapez je četverokut kojemu su dvije nasuprotne stranice usporedne. Usporedne stranice zovu se osnovice, a preostale dvije kraci. [3] (b) Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne. [8] (c) Četverokut koji ima jedan par paralelnih stranica zove se trapez. [15] 3
U udžbenicima za osmi razred osnovne škole nailazimo na sljedeće definicije: I. Trapez je četverokut kojemu su dvije nasuprotne stranice paralelne. [7] II. Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice međusobno usporedne. [6] Prouče li se sve gore navedene definicije, može se uočiti kako su sve one vrlo slične, no razlikuju se po pojedinim riječima (podebljanim riječima). No, to nisu bilo kakve riječi, nego one koje toj definiciji daju smisao, odnosno, te riječi govore što se sve obuhvaća ili izostavlja s izrečenom definicijom. Ponekad je teško nešto dobro definirati da bude razumljivo i primjereno za osobu koja treba to naučiti, stoga mnogi autori koriste donekle neprecizne definicije kako bi se dobila šira slika o onome što se uči, te imaju na umu da se te definicije, bez obzira na to koliko precizne ili neprecizne bile, mogu primijeniti u gradivu u kojem se obrađuju. No, uvijek ostaje pitanje: Zašto je neka definicija, u ovom slučaju trapeza, više ili manje precizna te koji se problem pojavljuje pri definiranju trapeza? 2. 3. Problematika oko definiranja trapeza Četverokut koji ima jedan par paralelnih stranica naziva se trapez. Gore navedena definicija se u udžbenicima pojavljuje češće od drugih definicija. Međutim, bilo koja osoba, koja malo razmisli o ovoj definiciji, može shvatiti kako je ona dvosmislena. Ukoliko se, primijenjujući tu definiciju, želi odrediti koji od geometrijskih likova na slici jesu trapezi, može doći do problema. Slika 1. Definicijom se ne saznaje mora li taj četverokut imati točno ili barem jedan par paralelnih stranica. Stoga, svi koji smatraju da se definicija odnosi na one četverokute koji imaju točno jedan par paralelnih stranica, će smatrati da su trapezi na slici oni pod brojevima dva, tri, pet i sedam, dok će za one koji smatraju da se definicija odnosi na četverokute s barem jednim parom paralelnih stranica, rješenja biti svi četverokuti na slici. 4
Definicijom: Četverokut koji ima točno jedan par paralelnih stranica naziva se trapez. (1) utvrđujemo da su klasa trapeza i klasa paralelograma dvije međusobno disjunktne klase što nije istina jer paralelogram jest vrsta trapeza. Zaključuje se da ova definicija nije precizna. Nadalje, definicijom: Četverokut koji ima barem jedan par paralelnih stranica naziva se trapez. (2) se vidi da je klasa paralelograma sadržana u klasi trapeza, odnosno, da je trapez nadskup paralelograma. Promatrajući svojstva trapeza i znajući svojstva paralelograma, uočava se da je ova definicija točna. Tada bismo paralelogram još mogli definirati kao: Paralelogram je trapez s usporednim kracima. Slika 2. [13] Autori nekih udžbenika klase paralelograma žele ubrojiti u klasu trapeza, dok neki još uvijek radije koriste definicije u kojima su te klase međusobno disjunktne. Na kraju sljedećeg, trećeg, poglavlja objašnjen je razlog zašto i paralelograme svrstavamo u trapeze. Zbog općenite klasifikacije četverokuta sasvim je shvatljivo što se paralelogrami žele uključiti u trapez, međutim, tom klasifikacijom dolazi do problema kada se prouči jedan poseban slučaj trapeza koji se naziva jednakokračni trapez. 5
3. Svojstva trapeza 3. 1. Unutarnji kutovi trapeza uz isti krak su suplementarni Teorem: Unutarnji kutovi trapeza uz isti krak su suplementarni. Dokaz: Slika 3. 1 Stranica AD produlji se preko vrhova A i D. Neka je točka D 1 označena na pravcu AD, kao na slici. Ako je pravac AD transverzala paralelnih pravaca AB i CD, onda je CDD 1 = α. Dakle, CDD 1 + δ = 180 pa je α + δ = 180. Analogno slijedi da je β + γ = 180. Zaključuje se da ako su u trapezu poznata dva suprotna kuta ili dva unutarnja kuta uz jednu od osnovica, onda su njima određena i preostala dva kuta trapeza. Opseg trapeza je zbroj duljina svih stranica trapeza. Slijedi da je o = a + b + c + d. 3. 2. Srednjica trapeza Srednjica trapeza je dužina koja spaja polovišta krakova trapeza. Teorem: Srednjica trapeza usporedna je s osnovicama trapeza i duljina joj je jednaka polovini zbroja duljina osnovica, tj. s = a+c 2. Dokaz: Srednjica trapeza ABCD je dužina EF koja spaja polovišta krakova. Osnovica AB produži se preko vrha B i dužina DF preko točke F. Njihovo sjecište označeno je sa slovom G. 1 Slika je rađena u GeoGebri. 6
Slika 4. [11] Slijedi da je FBG FCD jer se poklapaju u jednoj stranici FB = FC (F je polovište dužine BC ) i kutovima uz tu stranicu te su odgovarajuće stranice jednake duljine, odnosno, DF = FG. To znači da je F polovište dužine DG i DC = BG = c. Dužina EF je srednjica trokuta AGD pa je EF AG. Slijedi da je EF = 1 AG = 1 ( AB + BG ) = 1 a+c (a + c) ili s =. 2 2 2 2 Svi matematičari se slažu u tome da je trapez četverokut u kojem se javlja par nasuprotnih paralelnih stranica. Sadržaj u definiciji oko kojega postoji diskusija jest: je li u trapezu samo jedan par paralelnih stranica ili mogu biti dva para paralelnih stranica. U takvim se situacijama promatraju i druga bitna obilježja objekta. Dva bitna obilježja za trapez (bez obzira na broj parova paralelnih stranica) su svojstva 3.1. i 3.2. Vidimo da ta svojstva vrijede i za paralelogram. Stoga je razumno i paralelogram smatrati vrstom trapeza. A činjenica da se u paralelogramu javljaju čak dva para paralelnih stranica je svojstvo bitno samo za paralelogram i to postaje razlika vrste. Dakle, definicija (2) je prirodnija jer i četverokuti definirani definicijom (1) i paralelogrami imaju još dodatnih zajedničkih svojstava (3.1. i 3.2.) koji nam daju razlog da i četverokute iz definicije (1) i paralelograme smatramo vrstama jednog roda kojeg nazivamo trapez. 3. 3. Visina trapeza Visina trapeza je dužina koja spaja pravce na kojima leže osnovice trapeza i koja je okomita na njih. Postoje različiti načini označavanja visine u trapezu. U šestom razredu osnovne škole učenici mogu označavati visinu trapeza kao na slici (Slika 5.), odnosno, kao dužinu koja spaja bilo koje dvije točke na pravcima na kojima leže osnovice trapeza i koja je okomita na osnovice. 7
Slika 5. U osmom razredu osnovne škole, kada se učenici susretnu s Pitagorinim poučkom i primjenom Pitagorinog poučka na trapez, visina će se označavati iz jednog ili drugog vrha trapeza kraće osnovice, kao na slici (Slika 6.). Slika 6. Posebni slučaj trapeza je pravokutan trapez. Pravokutan trapez je trapez kojemu je jedan krak okomit na osnovicu. Dakle, duljina visine pravokutnog trapeza jednaka je duljini kraka koji je okomit na osnovicu. Pri primjeni Pitagorinog poučka na pravokutan trapez, tada se visina označava iz vrha kraće osnovice u kojem nije povučen krak koji je okomit na osnovice. Slika 7. 2 2 Slike su rađene u GeoGebri. 8
3. 4. Površina trapeza Neka su trapezi ABCD i FCBE dva sukladna trapeza sa osnovicama duljina a i c te visinom duljine v, kao na slici. Slika 8. Rotirajmo trapez FCBE tako da ga možemo po dužini kraka BC spojiti s trapezom ABCD. Tako spojeni trapezi čine paralelogram AEFD s osnovicom duljine a + c i visinom duljine v. Slika 9. 3 Kako je površina paralelograma jednaka umnošku duljine osnovice i duljine visine, slijedi da je površina paralelograma AEFD jednaka P AEFD = (a + c) v. Paralelogram AEFD je sastavljen od dva sukladna trapeza pa slijedi da je površina trapeza jednaka polovini površine paralelograma. Dakle, površina trapeza jednaka je P = a+c 2 v. 3 Slike su rađene u GeoGebri. 9
4. Jednakokračan trapez 4. 1. Definicije jednakokračnog trapeza U osnovnoj i srednjoj školi se susrećemo s pojmom jednakokračnog trapeza, a u ovom seminaru pokušava se riješiti problematika vezana za taj pojam. Najčešća definicija jednakokračnog trapeza koja se javlja u udžbenicima šestog razreda osnovne škole, a definirana je prema najbližem rodu, glasi: Trapez koji ima oba kraka jednake duljine zove se jednakokračan trapez. [11] Ovom definicijom su u klasu jednakokračnih trapeza stavljeni i paralelogrami i trapezi s neparalelnim sukladnim kracima. Neki autori žele izbjeći definiciju jednakokračnog trapeza koja obuhvaća i paralelograme. Osnosimetrični jednakokračni trapezi imaju nekoliko lijepih svojstava koje opći paralelogrami nemaju, kao na primjer, osnosimetričnom se trapezu može opisati kružnica, kutovi uz osnovicu su im sukladni, a dijagonale jednakih duljina. Zato se u nekim udžbenicima (starijim) javlja definicija koja iz vrste jednakokračnih trapeza isključuje vrstu paralelograma sa zahtjevom da krakovi nisu paralelni. Definicija glasi: Ako su krakovi trapeza jednakih duljina i neparalelni, on se zove jednakokračan trapez. [18] U ovoj se definiciji pokušava sa dodatnim zahtjevom neparalelnosti krakova iz klase jednakokračnog trapeza izbaciti paralelogrami, no javlja se drugi problem. Iz jednakokračnih trapeza izbačeni su pravokutnici. Treća definicija koja se javlja, a također se zasniva na najbližem rodu, glasi: Jednakokračan trapez je trapez kojemu su unutarnji kutovi uz osnovicu jednake mjere. [17] Ova definicija izbacuje vrstu paralelograma iz vrste jednakokračnog trapeza, a ubraja vrstu pravokutnika. Koje od ovih triju definicija uzeti za definiciju jednakokračnog trapeza? Odgovor ćemo saznati kad proučimo druga bitna obilježja lika kojeg želimo zvati jednakokračnim trapezom. 10
4. 2. Svojstva jednakokračnog trapeza Većina ljudi jednakokračan trapez zamišlja ovako: Slika 10. 4 Nazovimo ga za potrebe ovog seminara pravi jednakokračni trapez i dokažimo njegova svojstva. 1) Kutovi uz osnovicu pravog jednakokračnog trapeza jednake su veličine. Dokaz: Slika 11. [11] Vrhom D povuče se paralela s BC (DE BC ). Četverokut EBCD je paralelogram pa je DE = CB. Zaključak je da je AED jednakokračan, jer je AD = BC = DE. Dakle, kutovi uz osnovicu su sukladni: α = φ, a kutovi β i φ su šiljasti kutovi s paralelnim kracima, pa su sukladni, tj. β = φ = α. Kutovi γ i δ su jednaki jer δ = 180 α i γ = 180 β, a kako je α = β, to je γ = δ. 4 Slika je rađena u GeoGebri. 11
2) Dijagonale pravog jednakokračnog trapeza jednake su duljine. Dokaz: Slika 12. [12] U jednakokračnom trapezu povučemo dijagonale AC i BD. Slijedi da je ABC BAD jer se poklapaju u dvjema stranicama i kutu između njih pa su im odgovarajuće stranice jednakih duljina, tj. AC = BD. 3) Pravom jednakokračnom trapezu može se opisati kružnica. Dokaz: Slika 13. 5 Simetrala s 1 osnovica je zajednička. Sa s 2 označena je simetrala kraka BC. Sjecište simetrala s 1 i s 2 je točka S, a iz svojstva simetrale dužine zaključujemo: SA = SB = SC = SD = r 5 Slika je rađena u GeoGebri. 12
Dakle, kružnica sa središtem u S i polumjerom duljine r je trapezu opisana kružnica. Zbog toga svojstva jednakokračni trapez zovemo još i tetivni trapez. Zanimljiva karakteristika jednakokračnog trapeza je da je on osnosimetričan s obzirom na pravac koji prolazi polovištima dviju suprotnih stranica (osnovica), te ga zbog toga još i nazivamo preklopivi ili osnosimetričan trapez. Jednakokračnom trapezu može se upisati kružnica ako i samo ako je duljina njegove srednjice jednaka duljini kraka. Svojstva 1), 2) i 3) su bitna obilježja pravog jednakokračnog trapeza. Uočava se da paralelogram koji nije pravokutnik nema niti jedno od ovih svojstava pa zato većina matematičara ne smatra pravi paralelogram jednakokračnim trapezom. Međutim, pravokutnik ima sva ta svojstva i on bi se mogao smatrati vrstom jednakokračnog trapeza. Zato smatramo da treća definicija [17] najbolje opisuje jednakokračni trapez, a ona glasi: Jednakokračan trapez je trapez kojemu su unutarnji kutovi uz istu osnovicu jednake mjere. Prikažimo pomoću Vennovog dijagrama skup trapeza. Skup svih trapeza označen je slovom C, skup paralelograma slovom A, a skup jednakokračnih trapeza slovom B. Slika 14. 13
5. Zaključak Nakon što smo odradile seminar na temu Trapez možemo zaključiti da ne treba slijepo vjerovati udžbenicima i ostaloj literaturi. Kao što smo napomenuli i u uvodu, u različitoj literaturi se navode različite definicije. Primjere koje smo navele pokazuju da autori žele svoju slobodu pisanja te upotrebljavaju definicije koje oni smatraju da su točne, ali to ne mora biti. Mi smo osobno u svojim osnovnim i srednjim školama radile različite definicije trapeza i svaka od nas je mislila da je njezina verzija točna, sve dok nismo obradile ovu temu i uvidjele da nismo bile u pravu. Naša preporuka za nastavnike je da kad počnu predavati matematiku svojoj djeci i obrađuju neki pojam ili cjelinu trebali bi sami sebi odgovoriti na određena pitanja, koja će im pomoći da shvate što je bitno i je li nešto točno. Također, treba istraživati pretpostavke o matematičkim objektima i pravilnostima, tu se naravno misli da se točno definiraju pojmovi koji se javljaju u određenoj definiciji jer ako nam oni nisu pravilno definirani, neće ni definicija u kojoj se oni nalaze. I za kraj, važno je kako se postaviti prema matematici, odnosno, da bi nju razumjeli moramo ući u njezinu srž da bismo mogli reći da ju zaista razumijemo. 14
6. Literatura [1] D. Glasnović Gracin, Porijeklo riječi i nastava, Matematika i škola, 35 (2006), str. 236. [2] Gusić, J. Gusić, I. Mrkonjić, Matematika 8, Zagreb, 2001. [3] I. Gusić, J. Gusić, I. Mrkonjić, Udžbenik za 6. razred osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb, 2000., str. 159 [4] D. Ilišević, M. Ojvan, O definiciji i nazivu jedne klase trapeza, Matematika i škola, 61 (2011), 23.-25. [5] D. Ilišević, M. Bombardelli, Elementarna geometrija, 1. verzija skripte, 2007., dostupno na http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/eg/dodatni/egskripta.pdf [6] B. Jagodić, Udžbenik za 8. razred osnovne škole, Neodidacta, Zagreb, 2001., str. 59 [7] B. Jagodić, N. Sarapa, B. Copić, Udžbenik za 8. razred osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb, 2006., str. 92 [8] B. Jagodić, N. Sarapa, R. Svedrec, Udžbenik za 6. razred osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb, 2001., str. 240 [9] B. Jagodić, N. Sarapa, R. Svedrec, Matematika 6, Školska knjiga, Zagreb, 2001. [10] B. Jagodić, R. Svedrec, Matematika 6 za izbornu i dodatnu nastavu, Školske novine, Zagreb, 2000. [11] B. Jagodić, R. Svedrec, Matematika 6 za izbornu i dodatnu nastavu, Školske novine, Zagreb, 2000., str.205. [12] B. Jagodić, R. Svedrec, Matematika 6 za izbornu i dodatnu nastavu, Školske novine, Zagreb, 2000., str.206. [13] N. Jozić, Muke po trapezu ili raskoš trapeza, Zbornik radova kongresa nastavnika matematike, 2010., str. 275 [14] N. Jozić, Muke po trapezu ili raskoš trapeza, Zbornik radova kongresa nastavnika matematike, (2010), 263.-280. [15] L. Krnić, Z. Šikić, Udžbenik za 6. razred osnovne škole, Profil, Zagreb, 1998., str. 159 [16] M. Ojvan, Definicije u nastavi matematike, diplomski rad, 2011. [17] D. Palman, Planimetrija, Element, Zagreb, 1999. [18] L. Rajčić, Đ.Kurepa i B. Pavlović, Geometrija za peti razred gimnazije, 1955. [19] Pribavljeno 12.10.2016. godine sa internetske stranice: hjp.novi-liber.hr [20] Pribavljeno 12.10.2016. godine sa internetske stranice: hr.wikipedia.org [21] Pribavljeno 13.10.2016. godine sa internetske stranice: sh.wikipedia.org 15