8. SEMNLE EŞNIONE U smal s compl drmia pri rprzara sa fi î domiul imp (formă d udă), fi î domiul frcvţă (spcru). P baza acsui cocp s poa raliza rasmira simulaă a mai mulor smal p u sigur caal d lcomuicaţii. P aclaşi caal d comuicaţi s po rasmi simula mai mul smal dacă acsa po fi spara fi î domiul frcvţă, fi î domiul imp. Coform acsor prcizări, small ocupă fi bzi difri d frcvţă, fi irval difri d imp. rasmira simulaă a mai mulor smal p u aclaşi caal fizic, pri sparara lor î domiul frcvţă s umş muliplxar î frcvţă iar rasmira simulaă a mai mulor smal pri sparara lor î domiul imp s umş muliplxar î imp. S-a arăa că u smal fii î imp s ifii î frcvţă şi ivrs (u smal priodic, c s oric d duraă ifiiă, ar u spcru fii, iar u impuls - smal cu duraă fiiă - ar u spcru oric ifii). Î ciţă: la muliplxara î frcvţă, small c s rasmi simula, au spcr d frcvţă difri şi fii, dar duraa lor fiid ifiiă, apar irfrţ îr l î domiul imp. la muliplxara î imp, s rasmi impulsuri la mom difri, dar avâd spcr oric ifii, apar irfrţ îr l î domiul frcvţă. Sparara smallor la rcpţi s fac p baza idiăţii păsra î domiul frcvţă, rspciv î domiul imp. Muliplxara î frcvţă s poa raliza p baza modulaţii smallor, hică c prmi pri raslaara spcrlor sparara lor î domiul frcvţă. Muliplxara î imp s bazază p şaioara smallor şi rasmira acsora la mom difri d imp, asfl îcâ şaioal să u s suprapuă. Eşaioara s o modă d rprzar a smallor aalogic prir-o succsiu d valori (şaioa), idra la mom discr d imp. Pru a ilusra şaioara s uilizază rprzăril grafic di figura 8.. a) b) c) Fig. 8.: Ilusrara şaioării Smalul aalogic x() - figura 8.a s aplică uui comuaor k - figura 8.b. Comuaorul s îchid la ficar mom, N, rvid î poziţia dschis după u irval d imp ifii d mic. La işira di comuaor s obţi smalul şaioa x ( ) { x( ) }, rprza î figura 8.c. Valoril {x()} rprziă şaioal smalului x(). Obsrvaţi: Duraa î car comuaorul k s îchis s fiiă şi foar mică. Idalizara comporării comuaorului ( Δ ) implică idalizara smalului şaioa (duraa şaioalor id spr zro). casă idalizar prmi laborara uor modl d sudiu simpl şi 8.
gral, car po fi adapa ulrior la raliaa fizică. Eşaioara przaă î figura 8. s priodică, doarc comuaorul k s acţioa priodic. S dfisc: Prioada d şaioar: ; Pulsaţia d şaioar: Ω. Pri şaioar s obţi u smal discr î imp, car poa fi rprza î două moduri: ca o fucţi d variabilă, x ( ) f{ x( ) }; ca o fucţi d variabilă umrică (dacă s raporază variabila la prioada ) x ( ) f{ x( ) }. Î acs caz s mai folosş şi scrira x ( ) : x[ ], oaţi c va fi folosiă î coiuar. Smalul şaioa s poa rprza mamaic cu auorul fucţii (c provi di impulsul Dirac) dla priodic : δ ( ). Smalul dla priodic s o succsiu d impulsuri uia (impulsuri Dirac) fiid rprzaă grafic î figura 8. δ ) δ( ) ( (8.) Î cocluzi u smal şaioa ar urmăoara xprsi mamaică: [ ] x() δ () x( ) δ( ) Fig. 8. Fucţia dla priodic x (8.) Modaliaa d rasmir a şaioalor uor smal la mom difri d imp, asfl îcâ acsa să u s suprapuă (pricipiului muliplxării î imp) s ilusraă î figura 8.3. Fig. 8.3: Ilusrara pricipiului muliplxării î imp Idiaa ficărui smal s daă d dural i faţă d aumi mom d rfriţă marca î figura 8.3 pri impulsuri d sicroizar. La rcpţi, şaioal difrilor smal s spară pri dcţi sicroă. Di cl prza î figura 8.3, rzulă că muliplxara î imp s ralizabilă î pricipiu. Dmosraţia fapului că muliplxara î imp s poa raliza pracic, ă î a arăa că smalul c s şaioază poa fi riui umai di cuoaşra acsor şaioa, alfl spus că smalul s uic drmia d şaioal sal. 8.
8. EOREM EŞNIONĂRII (Shao) Oric smal x(), c ar o badă d frcvţă limiaă (bada u s ifiiă), s compl dfii (uivoc drmia) pri şaioal sal {x()}, dacă prioada d şaioar,, îdpliş codiţia (Nyquis): (8.3) f M ud f M s frcvţa maximă a spcrului smalului (şaioa). Dmosrara ormi lui Shao s bazază p posibiliaa d a riui spcrul X ( ) al smalului şaioa x(), di spcrul X ( ) al smalului şaioa x[]. Primul pas al dmosraţii s d a calcula rasformaa Fourir a smalului şaioa. Coform (8.) x[ ] x() δ () şi î ciţă F{ x[ ] } F{ x( ) δ ()} Di orma igrali d covoluţi î frcvţă s obţi că: F { X( ) X ( ) } x( ) x ( ) F{ F { X( ) X ( ) } F{ x() x ( ) } şi î ciţă F{ x () x () } [ X( ) X ( ) ] (8.4) plicâd (8.4) la (8.) rzulă că: F x X F x F δ X F δ (8.5) { [ ]} ( ) [ { ()} { ( )}] [ ( ) { ( )}] Pru a calcula rasformaa Fourir a fucţii dla priodic s va scri acasă fucţi sub forma ui srii Fourir ( S.F.E.). Coform (6.3) δ Ω. () Calculul coficiţilor s fac aplicâd (6.5): c c δ () () d δ () d δ() (6.3) d Rzulă că: Ω δ (8.6) şi dci Ω Ω { δ () } F F{ } F O modă d a calcula rasformaa Fourir a impulsului Ω s d a uiliza rzulal obţiu a calculul rasformalor Fourir pru impulsuril siusoidal/iusoidal. (6.) Ω { } F{ Ω si Ω} F{ Ω} F{ si Ω} F (6.55);(6.59) Î fial s obţi că: Ω F δ Ω şi î ciţă [ δ( Ω) δ( Ω) ] [ δ( Ω) δ( Ω) ] { } ( ) 8.3 (8.7)
F { δ () } δ( Ω) Ω δ( Ω) (8.8) plicâd (8.8) la (8.5) s obţi că: Ω X ( ) X( ) Ω δ( ( Ω) ) [ X( ) δ( ( Ω) )] d ud rzulă că: X ( ) [ X( ( Ω) )] (8.9) Rlaţia (8.9) pu î vidţă u lucru dosbi d impora: spcrul X ( ) al smalului şaioa x[], s o rpar priodică a spcrului X ( ) al smalului x() la muliplii frcvţi d şaioar Ω. O ilusrar grafică a ormi d şaioar s przaă î figura 8.4. Î urma aalizi acsor rprzări grafic s po fac urmăoarl obsrvaţii: Forma d udă a smalului x() s przaă î figura 8.4a. Spcrul X ( ) al smalului x() s rprza î figura 8.4b. S obsrvă că spcrul acsui smal s limia d o valoar maximă a frcvţi oaă f M ( M ); Forma d udă a fucţii dla priodic δ ( ) s przaă î figura 8.4c. P grafic s pusă î vidţă prioada d şaioar ; Spcrul F{ δ () } al fucţii dla priodic δ ( ) s przaă î figura 8.4d. S obsrvă că acs spcru s o sumă d compo cu ampliudia gală cu frcvţa d şaioar Ω. cs compo su plasa la frcvţ gal cu muliplii frcvţi d şaioar; Forma d udă a smalului şaioa x[] s przaă î figura 8.4. Spcrul X ( ) al smalului şaioa, obţiu coform (8.9), s prza î urmăoarl ri grafic. cs ri rprzări al spcrului smalului şaioa su raliza pru valori difri al frcvţi maxim f M ( M ) al smalului x(). Î oa acs ri cazuri s idră frcvţa d şaioar Ω ca fiid aă. Î figura 8.4f s rprza spcrul X ( ) al smalului şaioa î cazul î car s rspcaă codiţia lui Nyquis; X al smalului şaioa î cazul î Î figura 8.4g s rprza spcrul ( ) car codiţia lui Nyquis s la limiă ; f M Î figura 8.4h s rprza spcrul X ( ) al smalului şaioa î cazul î car u s rspcaă codiţia lui Nyquis. Î acs caz spcrul X ( ) u s poa riui di spcrul X ( ) al smalului şaioa, doarc fucţiil raslaa s suprapu rzulâd o fucţi dformaă î rapor cu X ( ). 8.4
a) b) c) d) ) f) g) h) Fig. 8.4: Eşaioara idală a uui smal cu badă limiaă; a) forma d udă a smalului x(); b) spcrul limia X ( ) al smalului x(); c) forma d udă a fucţii dla priodic δ () ; d) spcrul F{ δ ( ) } al fucţii dla priodic δ () ; ) forma d udă a smalului şaioa x[]; f) spcrul X ( ) al smalului şaioa î cazul î car s rspcă codiţia lui Nyquis; g) spcrul X ( ) al smalului şaioa î cazul î car codiţia lui Nyquis s la limiă; h) spcrul X ( ) al smalului şaioa î cazul î car u s rspcă codiţia lui Nyquis; 8.5
8. RECONSIUIRE SEMNLULUI DIN EŞNIONELE SLE Riuira smalului x() s ralizază pri filrara smalului şaioa. Pru acasă opraţi s folosş u FJ, c ar frcvţa d ăir gală cu frcvţa maximă f M ( M ) a smalului x(); Caracrisica d frcvţă, c s mai umş î liraură şi fucţi d filrar, oaă H, a uui FJ idal ar urmăoara xprsi mamaică: ( ) < M H ( ) f M M (8.) > M rasformaa Fourir ivrsă a fucţii d filrar, valoar c va fi folosiă î dmosraţiil urmăoar, ar xprsia: F M { H( ) } h( ) H() d d ( ) M M (6.) M M ( ) M M M si M si c( M) M M Dci h() F { H( ) } si c( M) (8.) Rprzăril grafic al fucţii d filrar H ( ) şi a rasformai sal Fourir ivrs su prza î figura 8.5. Dacă di puc d vdr fizic riuira smalului x() s ralizază pri filrara X s posibilă smalului şaioa, mamaic, rcuprara fucţii X ( ) di ( ) pri îmulţira fucţii X ( ) cu H ( ), adică: ( ) X ( ) H( ) X (8.) Coform ormi igrali d covoluţi î imp (7.9), rzulă că: F { X( ) } F { X ( ) } F { H( ) } x( ) x[ ] h() Ţiâd co d modaliaa d scrir a uui smal şaioa, (8.) şi ivrsâd ordia igrar-sumar rzulă că: () x( ) δ( ) h() 8.6 (8.) x (8.3) Cosidrâd xprsia (8.) a rasformai Fourir ivrsă a fucţii d filrar, rzulă că: () x( ) δ( ) si c( ) a) b) Fig. 8.5: a) Fucţia d filrar H ( ) b) rasformaa Fourir ivrsă ( ) h F { H( ) } fucţii d filrar x M (8.4) a
iar di propriaa (7.3), covoluţia ui fucţii cu δ ( ), s obţi î fial: () x( ) si c[ ( ] x (8.5) M ) Exprsia (8.5) s poa scri compac asfl: () x( ) h () x (8.6) ud s-a oa: h () si c[ M ( ) ] h( ) (8.7) Ilusrara grafică a procsului d riuir a smalului x() pri xrapolar î imp s przaă î figura 8.6. Fig. 8.6: Riuira smalului x() pri xrapolar î imp di fucţii şaio Cocluzi: Rlaţia (8.5) xprimă modul d riuir î domiul imp a smalului x() di şaioal sal. Pru acasa s procdază î modul urmăor: Ficar fucţi d ipul (8.7) h ( ) si c[ M ( ) ], c s craă la, s podrază cu valoara fucţii x(). S ralizază sumara uuror fucţiilor h () asfl podra. Podra ar fc doar asupra fucţii h ( ) si c[ M ( ) ] cra la momul, cllal fucţii (c s sumază) rcâd pri zro la momul rspciv. 8.7
8.3 PLICŢII 8.3.. S idră u smal liiar variabil, d duraă şi cu ampliudia. Să s drmi bada acsuia, valoara miimă a frcvţi d şaioar şi să s rprzi şaioal obţiu idrâd o valoar covabilă a prioadi d şaioar. Rzolvar x() a) a) forma d udă; b) prima drivaă; c) drivaa a doua. x () y() Smalul, împruă cu drival sal s rprza î figura 8.7 x () alfl Drivaa smalului s: x ' () δ( ) y( ) δ( ), ud y () Drivaa smalului y() s: y ' () δ() δ( ) rasformal Fourir s calculază î ordi ivrsă, îcpâd cu y (), pâă la drmiara rasformai smalului x(), adică X ( ). Pru acasa, s vor uiliza propriăţil d îârzir î imp şi d drivar a origialului, (6.3) şi (6.5), prcum şi rasformaa Fourir a impulsului Dirac, (6.3): ' F ( y () ) ( ) Y( ) ( ) ' F ( x () ) Y( ) F( δ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) X ( ) ( ) si( ) ( ) si( ) X ( ) si( ) ( ) si( ) [ ( ) si( ) ( ( ) si( ) )] y () δ () δ( ) δ b) c) Fig. 8.7: Smalul liiar variabil ( ) 8.8
X ( ) ( ( ) si( ) ) ( ( ) si( ) ) ( ) ( ) si ( ) ( ) si( ) si( ) ( ) ( ) ( ) si ( ) si( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si( ) X S poa obsrva cu uşuriţă că spcrul d ampliudii prziă o drmiar î. Pru limiara acsia s folosş rgula lui l Hospial: ( ) ( ) si( ) Fi L lim. Rzulă că: L lim lim ( ) ( ) si( ) si 4 ( ) si( ) ( ) 4 ( ) si( ) ( ) lim lim 4 Î ciţă s obţi: X( ) L Spcrul d ampliudii s rprza î figura 8.8 X( ) 3 Fig. 8.8: Spcrul d ampliudii al smalului liiar variabil S obsrvă că u xisă rcri pri zro al caracrisicii spcral di figura 8.8, asfl că X dvi gliabil, d pru a drmia bada rbui calculaă pulsaţia la car ( ) xmplu mai puţi d % faţă d valoara maximă, X ( ). Calcull implică rzolvara ui cuaţii rascd, dci u po fi fcua dcâ umric. D xmplu, pru cazul paricular şi s, s obţi: X ; X ( 9,8). 985. Rzulă că s poa aproxima bada la valoara ( ) 9.8 B ; [ ;,56]Hz. Rzulă că pru şaioara smalului rbui folosiă o frcvţă d şaioar f,56hz ; oric valoar mai mar a acsi frcvţ îsamă pracic idrara ui valori mai mari a bzii smalului, adică o prcizi mai buă. 8.9
8. Pru Hz f, rzulă că s şaioază smalul d ori îr-o scudă, obţiâdu-s valoril prza î figura 8.9. 8.3.. S idră smalul di figura 8.. Să s drmi bada acsuia, valoara miimă a frcvţi d şaioar şi să s rprzi şaioal obţiu idrâd o valoar covabilă a prioadi d şaioar. Rzolvar () alfl x Rprzara î imp a smalului s przaă î figura 8.. Doarc ( ) ( ) x x, rzulă că fucţia x() s pară. ( ) ( ) d x() X Î urma fcuării calcullor, s obţi: ( ) ( ) ( ) si si si si d d d d X Fucţia d dsia spcrală dvi: ( ) X, şi s rprzaă grafic î figura 8., iar bada s Hz 3, B (doarc la pulsaţia, prima la car s aulază.5.5 5 x[] Fig. 8.9: Eşaioal smalului x() Fig. 8.: Impulsul iusoidal simric x() ( ) X 3 Fig. 8.: Spcrul d ampliudii
, apar drmiara c s limiă cu auorul rgulii lui l Hospial). Dacă şi s, rzulă că valoara miimă a frcvţi d şaioar s 3 3 3 f Hz. Î figura 8. s rprza smalul şaioa cu frcvţa f Hz..5 x[] [s] - Fig. 8.: Smalul şaioa 8.3.3. S idră smalul di figura 8.3a. Să s drmi bada acsuia, valoara miimă a frcvţi d şaioar şi să s rprzi şaioal obţiu idrâd o valoar covabilă a prioadi d şaioar. Rzolvar pru x Δ () pru alfl Rprzara î imp a smalului s przaă î figura 8.3a, iar drival sal î figuril 8.3b, c. x Δ () x ' Δ ( ) x " Δ ( ) δ( ) δ( ) δ() a) b) c) Fig. 8.3: Smalul riughiular simric a) forma d udă; b) drivaa I; c) drivaa a doua. Noâd fucţia d dsia spcrală ( x ( ) ): X( ) F Δ şi ţiâd co d propriăţil d îârzir î imp şi d drivar a origialului, (6.3) şi (6.5), prcum şi rasformaa Fourir a impulsului Dirac, (6.3), s obţi: " 4 F( x Δ () ) ( ) ( ( ) ) si ( ) X( ). Rzulă fucţia d dsia spcrală: 4 X( ) si si c X( ) Fucţia d dsia spcrală s przaă î graficul di figura 8.4. S obsrvă (fi di xprsia dsiăţii spcral, fi di figura 8.4) că bada smalului s B ;, dci frcvţa d şaioar rbui să îdpliască criţa Nyqui: f. 8.
8. Dacă şi s, rzulă că valoara miimă a frcvţi d şaioar s Hz f. Î figura 8.5 s rprza smalul şaioa cu frcvţa 4Hz f. Obsrvaţi: Drmiara rasformai Fourir (a smalului priodic) prmi calculul SFE a smalului priodic: Vrificar: () d x c, ud şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si c si d d d d c 3 Fig. 8.4: Fucţia d dsia spcrală a impulsului riughiular simric f ( ) X Δ - -.5.5..4.6.8 [s] x[] Fig. 8.5: Smalul şaioa