ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS

Meede 1.1 projekt nr 1.0101-0386/IN660 Elektrotehnilise personali täiendkoolitussüsteemi väljaarendamine ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS Täiendkoolituse õppematerjal Koostanud Raivo Teemets Tallinn 2007 1

Mõõda seda, mis on mõõdetav ja tee mõõdetavaks see, mis ei ole veel mõõdetav! Galileo Galilei 2

SISUKORD 1. SUURUSED JA ÜHIKUD 5 1.1 Mõõdetavad suurused 5 1.2 Põhi- ja tuletatud suurused 6 1.3. Suuruse dimensioon 7 1.4 Suurustevahelised seosed 8 1.5 Suuruse väärtus 8 1.6 Ühikud 9 1.7 Rahvusvaheline ühikutesüsteem SI 9 1.8 Ühikute, nende nimetuste ja tähiste kirjaviis 12 2. MÕÕTETEOORIA PÕHIALUSED 13 2.1. Mõõtmise üldmõisted 13 2.2 Mõõtmise põhiväide 14 2.3 Mõõtetulemus kui juhuslik suurus 15 2.4 Mõõtetulemuste histogramm 17 2.5 Dispersioon ja standardhälve 20 2.6 Ekse 21 2.7 Juhuslike suuruste jaotusseadused ja nende karakteristikud 22 2.8 Usaldusnivoo leidmine jaotusfunktsioonides 25 2.9 Oletatava jaotusfunktsiooni õigsuse kontrollimine 26 2.10 Mõõtemääramatus 29 3. SUURUSED MÕÕTMISE MUDELIS 32 3.1 Mõõtmise mudel 32 3.2 Sisendsuuruste väärtuste hinnangud 33 3.3 Väljundsuuruse väärtuse hinnang 34 3.4. Hinnangud sisendsuurustele ja nende määramatusele 35 3.5. Muul viisil hinnatud sisendsuuruste väärtused ja nende määramatused.40 4. MÕÕTEMÄÄRAMATUSE EDASTAMINE 49 4.1 Mõõtemääramatuse edastamisele esitatavad nõuded 49 4.2 Mõõtetulemuse liitmääramatus 49 4.3 Mõõtetulemuse laiendmääramatus 54 5. MÕÕTEVAHENDITE ÜLDISELOOMUSTUS 60 5.1 Mõõtevahend 60 5.2. Mõõtemuundur 5.3 Mõõt 63 5.4. Mõõteriist 64 5.5 Mõõteseade 64 3

5.6 Mõõtekompleks 64 5.7 Mõõtesüsteem 69 5.8 Etalon 69 6. MÕÕTMISED ELEKTRIPAIGALDISTES 72 6.1. Tööohutuse üldnõuded 73 6.2 Nõuded mõõtjate kvalifikatsioonile 73 6.3 Mõõtetööde üldnõuded 74 6.4 Tööde ettevalmistamine 77 6.5 Mõõtetööde teostamine 78 6.6 Mõõtemääramatus 89 6.7. Mõõtetulemuste vormistamine 91 7. KIRJANDUS 92 Elektriajamite ja LISA. MÕÕTEPROTOKOLLIDE VORMID 1. Mõõtevahendite register 2. Isolatsioonitakistuse mõõteprotokoll PE 3. Isolatsioonitakistuse mõõteprotokoll PEN 4. Pingeteimi mõõteprotokoll 5. Kaitse- ja PEN-juhi katkematuse mõõteprotokoll 6. Potentsiaaliühtlustusjuhtide katkematuse mõõteprotokoll 7. Kaitse rakenudustagatise mõõteprotokoll 8. Rikkevoolukaitseseadmete mõõteprotokoll 9. Maanduspaigaldise mõõteprotokoll 10. Kontrollmõõtmiste aruanne 4

1. SUURUSED JA ÜHIKUD 1.1 Mõõdetavad suurused Meid ümbritsevas maailmas leidub palju esemeid ja nähtusi, millel on väga erinevad omadused ja mille iseloomustamiseks vajame väga erinevaid suurusi. Näiteks ruumi iseloomustab tema ulatus, mida omakorda võib hinnata mitme suuruse järgi. Üheks selliseks on pikkus. See aga ei iseloomusta ruumi piisavalt. Seepärast kasutatakse ruumi iseloomustamiseks veel teisi suurusi, mida mõõdetakse erinevates suundades, nt nurk, pindala, maht jms. Ruumala Pikkus Pindala Nurk Joonis 1.1. Ruumi iseloomustavaid suurusi Peale ruumi iseloomustab meid ümbritsevat maailma aeg. Kehade inertsi iseloomustab mass. Ainete ja kehade olekut iseloomustab temperatuur. Õppurite teadmiste hindamiseks kasutatakse selliseid suurusi nagu pallid, punktid, hinded. Suurus on nähtuse, keha või aine omadus, mida saab kvalitatiivselt eristada ja kvantitatiivselt määrata. Suurus võib olla kui üldine e. füüsikaline suurus (nt. pinge) või mingi objektiga seotud konkreetne suurus (nt. liinipinge). Füüsikaline suurus on füüsikalise objekti, süsteemi, nähtuse või protsessioluline omadus, mis kvalitatiivselt (omaduslikult) on ühine paljudele objektidele, süsteemidele jne, kuid kvantitatiivselt (koguseliselt) on individuaalne igaühele neist. Füüsikalist suurust kasutatakse objektide kirjeldamiseks kõigis teadusharudes. Peale füüsikaliste suuruste kasutatakse mitmesuguseid muid suurusi, nt majanduslikke suurusi (maksumus, hind). Veel kasutatakse nt. mõistet kvaliteet, mida iseloomustavad omad suurused. Suurused, mida saab üksteise suhtes järjestada kvantitiivse kasvu alusel, on sama liiki suurused (nt. töö, soojus, energia). 5

Mõõtesuurus (mõõdetav suurus) on füüsikaline suurus, mis on mõõtmise objektiks. Mõõtesuurus tuleb alati defineerida vajaliku täpsusega. Defineerimine võib sisaldada ka nõudeid teiste suuruste kohta. Mõõtetulemuse täpsust mõjutavad mitmesugused mõjurid. Mõjur on suurus, mis ei ole mõõteobjektiks, kuid mis siiski mõjutab mõõtetulemust. 1.2 Põhi- ja tuletatud suurused Suurused moodustavad süsteemi, mis koosneb põhi- ja tuletatud suurustest. Põhisuuruste vahel ei valitse otsest omavahelist seost ja neid käsitletakse mingis suuruste süsteemis baassuurustena. Tuletatud suurus on suurus, mis mingis suuruste süsteemis on defineeritud sama süsteemi põhisuuruste funktsioonina. Näide. Olgu suuruste süsteemi põhisuurusteks pikkus l, mass m ja aeg t. Sellisel juhul on keha kiirus v väljendatav põhisuuruste pikkuse l ja ajavahemiku t funktsioonina l v= t v keha liikumise kiirus, l teepikkus, t teepikkuse l läbimiseks kulunud aeg. Mistahes tuletatud suuruse saame avaldada põhisuuruste kaudu üldistatud valemi abil Q= ξ n i= 1, α, A i i kus Q tuletatud suurus, ξ tegur, A i - põhisuurus, α i positiivne või negatiivne murd- või täisarv. Praktikas kasutatakse valemi (1.2) asemel suuruste ühikute väärtustevahelisi seoseid. Suurused on kokkuleppeliselt grupeeritud vastavate suuruste süsteemidesse. Suuruste süsteemide tähistamiseks kasutatakse põhisuuruste ladinakeelsete (1.1) (1.2) 6

nimetuste esitähti. Suuruste tähised on alati ühetähelised ja nad kirjutatakse üldjuhul kaldkirjas. Näide: rahvusvaheline mehaanika valdkonna süsteem L M T I Θ N J, mille põhiühikud on L pikkus, M mass, T aeg, I elektrivoolu tugevus, Θ - termodünaamiline temperatuur, N aine hulk, J valgustugevus. 1.3. Suuruse dimensioon Suuruse dimensioon (mõõtühik) on avaldis, mis väljendab suuruste süsteemi kuuluvat suurust selle süsteemi põhisuurusi tähistavate tegurite astmete korrutisena. Rahvusvahelise standardi ISO 31-0 kohaselt tähistatakse suuruse Q dimensiooni tähisega dimq. Valemi (1.2) alusel võime tuletatud suuruse dimensiooni avaldada valemiga dimq = A α B β C γ, (1.3) kus A, B, C,. põhisuuruste A,B,C, dimensioonid, α, β, γ,. - dimensioonide astmenäitajad. LTM süsteemi tuletatud dimensiooni valem oleks sel juhul dimq = L α M β T γ. Näide 1. Jõu dimensioon: dimf = MLT -2 [kg m s -2 ] Näide 2. Pinge dimensioon: dimu = L 2 MT -3 I -1 [m 2 kg s -3 A -1 ] Suurus võib olla ka dimensioonita või erinevas süsteemis erineva dimensiooniga. Suuruse dimensioon on üldisem mõiste kui nähtub teda iseloomustavast üldistatud valemist (1.3). Ühte ja sama dimensiooni võivad omada erinevad suurused, millel on erinev omaduslik külg. Näide. Jõu F poolt tehtud töö W teepikkuse l läbimisel W = Fl ja massiga m ning kiirusega v liikuva keha kineetiline energia E (1.4) E= mv 2 2 (1.5) omavad ühesugust dimensiooni dim W = dim E = M L 2 T -2. 7

1.4 Suurustevahelised seosed Valem, mis iseloomustab loodusseadusi ja milles täheliste sümbolite ehk tähiste all mõistetakse suurusi, ongi suurustevahelise seose valem. Nt iseloomustab valem (1.1) kiiruse sõltuvust teepikkusest ja ajast. Samas tuleb märkida, et see valem kehtib füüsikaliste suuruste kohta üldiselt kui ka konkreetsete suuruste ning nende kvantitatiivmäärangute kohta. Kuigi suuruste väärtusi võib väljendada erinevates ühikutes, ei sõltu valem valitud ühikutest. Nt võime teepikkust l väljendada meremiilides, kilomeetrites või meetrites, aega t aga minutites, tundides või sekundites: l 5miili 9,620km 9620m v= = = =. t 15 min 0,25t 900s Seega on kiiruse võrdväärseks väljenduseks antud juhul 0,33 miili/min, 37 km/h ja 10,3 m/s. NB! Suurustevahelises valemis ei tohi ühegi dimensiooniga suuruse kvantitatiivmäärangut asendada selle arvväärtusega! 1.5 Suuruse väärtus Suuruse väärtus on konkreetse suuruse kvantitatiivmäärang, mida tavaliselt väljendatakse arvu ja ühiku korrutisena. Nt. Keha mass 0,155 kg või 155 g, pinge 0,4 kv või 400 V. Üldiselt määratakse suuruse X väärtus tema arvväärtuse ja suuruse X mingi väärtuse (mis on võetud ühikuks) abil järgimise seose järgi X = {X} [X], (1.6) kus {X} suuruse X arvväärtus valitud ühikus, [X] valitud ühik. Valitud ühiku suurendamine või vähendamine toob koheselt endaga kaasa arvväärtuse propotsionaalse muutuse. Seega suuruse väärtus ei sõltu valitud ühikust. Suuruse tõeline väärtus on selle niisugune väärtus, mis kajastab ideaalselt vastavat suurust nii omaduse kui ka koguse poolest ja mis on kooskõlas konkreetse suuruse definitsiooniga. Tõelise väärtuse võiks saada vaid ideaalselt täiuslikul mõõtmisel. Kuna suuruse tõeline väärtus pole määratav, loetakse suuruse väärtus ja suuruse tõeline väärtus identseks. Suuruse leppeväärtus on konkreetsele suurusele omistatud väärtus, mis on tunnustatud kui väärtus, millel on teatud otstarbeks sobiv määramatus. Leppeväärtus saadakse katseliselt ja ta läheneb selle suuruse tõelisele 8

väärtusele niivõrd, kuivõrd ta sobib antud mõõtmisülesande puhul tõelist väärtust asendama. Leppeväärtuse tähenduses kasutatakse ka mõisteid omistatud väärtus ja väärtuse parim hinnang. Leppeväärtusena võib mõõtepraktikas kasutada ka mõõtetulemuste aritmeetilist keskmist, kaalutud keskmist või mediaani.varem kasutusel olnud terminit tegelik väärtus tänapäeval leppeväärtuse tähenduses enam ei soovitata kasutada. 1.6 Ühikud Ühik on kasutusel samaliigiliste suuruste väärtuste väljendamiseks. Ühikute süsteemi põhisuuruste ühikuid nimetatakse põhiühikuteks, ülejäänuid tuletatud ühikuteks. Nende kogum moodustab ühikute süsteemi. Ühikute süsteemi kasutamise kolm põhiomadust: 1) mingisse süsteemi kuuluvate ühikutega füüsikavõrrandite kohaselt algebralisi tehteid sooritades saame tulemuseks alati sama süsteemi ühiku, 2) ühes süsteemis on igal suurusel ainult üks kindel ühik, 3) vaadeldava suuruste süsteemi iga põhisuuruse ühik on vabalt valitav. Igas ühikutesüsteemis on ühikutel leppeliselt omistatud nimetused ja tähised. Näiteks on CGS-süstemis jõu ühik düün tähistusega dyn, SI-süsteemis aga njuuton tähisega N. Üleminek ühest ühikutesüsteemist teise toimub vastavate võrdetegurite abil. Näiteks 1 dyn = 10-5 N. 1.7 Rahvusvaheline ühikutesüsteem SI Rahvusvahelise mõõtühikute süsteemi SI (Systeme International d Unites) võttis vastu 11. Vihtide ja Mõõtude Peakonverents (Conférence générale des poids et mesures), edaspidi CGPM. SI sisaldab seitsmet põhiühikut ja nende alusel moodustatud tuletatud ühikuid. 9

Tabel 1.1 SI Põhiühikute nimetused ja tähised Elektriajamite ja Suurus Ühiku nimetus Tähis Pikkus meeter m Mass kilogramm kg Aeg sekund s Elektrivoolu tugevus amper A Termodünaamiline temperatuur kelvin K Ainehulk mool mol Valgustugevus kandela cd CGPMi poolt kehtestatud SI põhiühikute määratlused on järgmised (sulgudes on nimetatud määratluse kehtestanud CGPMi järjekorranumber ja toimumise aasta): 1) meeter on tee pikkus, mille valgus läbib vaakumis 1 / 299 792 458 sekundi jooksul (17. CGPM, 1983); 2) kilogramm on massiühik, mis on võrdne rahvusvahelise kilogrammi prototüübi massiga (3. CGPM, 1901); 3) sekund on võrdne 133 Cs aatomi põhiseisundi kahe ülipeen(struktuuri)nivoo vahelisele üleminekule vastava kiirguse 9 192 631 770 perioodi kestusega (13. CGPM, 1967); 4) amper on selline konstantne elektrivoolu tugevus, mis kulgedes kahes sirges, paralleelses, lõpmatu pikas, kaduvväikese ringikujulise ristlõikega, vaakumis teineteisest ühe meetri kaugusele paigutatud juhtmes tekitab nende juhtmete vahel jõu 2 10 7 njuutonit juhtme meetri kohta (9. CGPM, 1948); 5) kelvin, termodünaamilise temperatuuri ühik, on 1/273,16 vee kolmikpunkti termodünaamilisest temperatuurist (13. CGPM, 1967);6) mool on süsteemi ainehulk, mis sisaldab sama palju elementaarseid koostisosakesi, nagu on aatomeid 0,012 kilogrammis 12 C (14. CGPM, 1971). Mooli kasutamisel peab täpsustama koostisosakeste tüüpi, milleks võivad olla aatomid, molekulid, ioonid, elektronid, mingid teised osakesed või eespool nimetatud osakeste kindlalt määratletud grupid; 7) kandela on kiirgusallikast etteantud suunas kiiratud monokromaatse 540 10 12 hertsise kiirgussagedusega ja samas suunas 1/683 vatti steradiaani kohta kiirgustugevust omava kiirguse valgustugevus (16. CGPM, 1979). Lisaks termodünaamilisele temperatuurile (tähis T), mida väljendatakse kelvinites, võib kasutada ka Celsiuse temperatuuri (tähis t), mis määratletakse kui erinevus kahe termodünaamilise temperatuuri T ja T 0 vahel võrrandiga t = T T 0, kus T 0 = 273,15 K. Celsiuse temperatuuri väljendamiseks kasutatakse ühikut «kraadi Celsiust» ( C), mis võrdub ühikuga «kelvin» (K). Sel juhul on «kraadi Celsiust» erinimetus, mida kasutatakse kelvini asemel. Temperatuurivahemikke või -erinevusi võib esitada nii kelvinites kui ka Celsiuse kraadides 13. CGPMi otsuse kohaselt. 10

11 Elektriajamite ja SI tuletatud ühikud moodustatakse SI põhiühikutest vastava füüsikalise suuruse dimensioonivalemi alusel põhiühikute astmete korrutistena arvkordajaga üks. Tabelis 1.2 on toodud mõned näited tuletatud ühikutest. Mõned näited tuletatud ühikutest. Pindala: ruutmeeter, m 2, kiirendus: meetrit sekundruudu kohta, ms -2, voolutihedus: amprit ruutmeetri kohta, Am -2. SI tuletatud ühikutele antud erinimetused ja eritähised on toodud tabelis 1.2. Lisaks SI põhiühikutele võib ka neid ühikuid kasutada tuletatud ühikute moodustamiseks. Tuletatud ühikuid võib väljendada nii SI põhiühikute kui ka erinimetustega SI ühikute kaudu mitmel viisil (näiteks dünaamilise viskoossuse ühikut võib avaldada kas m 1 kg s 1 või N m 2 s või Pa s). Tabel 1.2. ERINIMETUSTE JA -TÄHISTEGA SI TULETATUD ÜHIKUD Füüsikaline suurus Ühiku nimetus Ühiku tähis Avaldis SI põhi- ja tuletatud ühikutes Avaldis SI põhiühikutes Tasanurk 1 radiaan rad 1 rad = 1 m m 1 Ruuminurk 1 steradiaan sr 2 1 sr = 1 m 2 m Sagedus herts Hz 1 Hz = 1 s 1 Jõud njuuton N 1 N = 1 m kg s 2 Rõhk, mehaaniline pinge paskal Pa N m 2 2 1 Pa = 1 m 1 kg s Energia, töö, soojushulk 2 džaul J N m või W s 2 1 J = 1 m 2 kg s Võimsus, soojusvoog 3 vatt W J s 1 3 1 W = 1 m 2 kg s Elektrilaeng kulon C 1 C = 1 s A Potentsiaal, pinge, elektromotoorjõud (emj) volt V W A 1 1 V = 1 m 2 kg s 3 A 1 Elektriline takistus oom Ω V A 1 1 Ω = 1 m 2 kg s 3 A Elektrijuhtivus siimens S A V 1 1 S = 1 m 2 kg 2 1 s 3 A Elektriline mahtuvus farad F C V 1 1 F = 1 m 2 kg 2 1 s 4 A Magnetvoog veeber Wb V s 1 Wb = 1 m 2 kg s 1 2 A Magnetvootihedus tesla T Wb m 2 1 1 T = 1 kg s 2 A (induktsioon) Induktiivsus henri H Wb A 1 1 H = 1 m 2 kg s 2 A 2 Valgusvoog luumen lm cd sr 1 lm = 1 m 2 m 2 cd Valgustatus luks lx lm m 2 1 lx = 1 m 2 cd Radioaktiivse aine bekerell Bq 1 Bq = 1 s 1 aktiivsus Neeldumisdoos grei Gy J kg 1 2 1 Gy = 1 m 2 s Ekvivalentne kiirgusdoos siivert Sv J kg 1 2 1 Sv = 1 m 2 s Märkused 1 20. CGPM, 1995 otsuse kohaselt on radiaan ja steradiaan erinimetusega dimensioonita SI tuletatud ühikud. 2

2 Elektriajamite ja Elektri- ja soojusenergeetikas kasutatakse energiaühikuna W s ja selle kordühikuid. 3 Elektrienergeetikas kasutatakse võimsuse ühikuna erinimetusega ühikuid voltamper (V A) vahelduvvoolu näivvõimsuse ja varr (var) vahelduvvoolu reaktiivvõimsuse tähistamiseks. Tabelis 1.3 on toodud ühikute detsimaalkordsete ja -osade eesliited ja tähised. Aste Nimetus Tähis Aste Nimetus Tähis 10 24 jotta- Y 10-24 jokto- y 10 21 zetta- Z 10-21 zepto- z 10 18 eksa- E 10-18 atto- a 10 15 peta- P 10-15 femto- f 10 12 tera- T 10-12 piko- p 10 9 giga- G 10-9 nano- n 10 6 mega- M 10-6 mikro- µ 10 3 kilo- k 10-3 milli- m 10 2 hekto- h 10-2 senti- c 10 1 deka- da 10-1 detsi- d 1.8 Ühikute, nende nimetuste ja tähiste kirjaviis Ühiku- ja eesliitetähised kirjutatakse reeglina ladina tähestiku tähtedega. Erandid on oomi tähis Ω ja eesliite mikro tähis µ, milleks kasutatakse kreeka tähestiku tähti suur oomega ja väike müü. Tähised kirjutatakse püstkirjas vaatamata muu teksti kirjaviisile. Isikunimedest lähtuvad ühikutähised kirjutatakse suure algustähega, kõik teised väikese algustähega. Soovitav on vältida lauseehitust, mis algaks ühikutähisega. Ühikutähiste järele punkti ei panda, va lause lõpus. Suuruse arvväärtuse ja ühiku vahele tuleb jätta tühik (ka 0 C kirjutades): 9 A, 18 0 C. Eesliitetähis kirjutatakse ühikutähise ette ilma tühikuta: 1 mv. Tuletatud ühikuid on soovitav esitada astmes olevate ühikutähiste korrutisena ms 2 või m. s 2. Juhul, kui tuletatud ühikutähises esineb eesliitetähis, mis on identne samas tähises esineva ühikutähisega, tuleb alati kasutada korrutusmärki: mω m Tuletatud ühiku tähise esitamisel ühikute jagatisena kasutatakse tavaliselt kaldmurrujoont. Nimetajas olev korrutis tuleb sel juhul panna sulgudesse: kg/(ms 2 ). Horisontaalmurru korral pole sulgud vajalikud: kg. Suuruse väärtuse esitamisel vahemikuna või koos määramatusega peab ühikutähis kuuluma kõigi arvväärtuste juurde: (100,02±0,01) kg või 100,02 kg ±10 g, mitte 100,02±0,01 kg. m s 2 12

2. MÕÕTETEOORIA PÕHIALUSED 2.1. Mõõtmise üldmõisted Mõõtmine on menetluste kogum, mille tulemusena saadakse mõõdetava suuruse väärtus. Mõõtmine kujutab endast mõõdetava suuruse võrdlemist selle suuruse võimalike väärtuste skaalaga, mis on ühel või teisel viisil eelnevalt konstrueeritud. Mõõtmine algab suuruse defineerimisest ning mõõteprintsiibi, -meetodi ja toimingu valikust. Mõõteprintsiip (põhimõte) on mõõtmise teaduslik alus, st. füüsikaliste nähtuste kogum, millel põhineb mõõtmine. Mõõtemeetod on mõõtmiste süsteem, nt otsene või kaudne mõõtmine. Otsene mõõtmine on mõõtmine, mille korral mõõdetava suuruse otsitav väärtus saadakse katseliselt samaliigilise suuruse väärtusega võrdlemise tulemusena, nt pikkuse mõõtmime joonlauaga. Kaudne mõõtmine on mõõtmine, mille korral saadakse mõõdetava suuruse otsitav väärtus teiseliigiliste suuruste väärtuste mõõtmisest, kasutades nende teadaolevat seost mõõdetava suurusega. Nt. takistuse r mõõtmine pinge U ja voolu I otsemõõtmise tulemuste alusel U r=. I (2.1) Dünaamiline mõõtmine on suuruse hetkväärtuste ja nende ajas muutumiste määramiseks tehtav mõõtmine, nt vahelduvvoolu hetkväärtuse mõõtmine. Staatiline mõõtmine on ajas püsivate või vähemuutuvate suuruste väärtuste mõõtmine, nt alalisvoolu mõõtmine. Mõõtetoiming on detailselt kirjeldatud teoreetiliste ja praktiliste operatsioonide kogum, mis on vajalik teatud kindla mõõtmise sooritamiseks nimetatud meetodil. Mõõdis (mõõteväärtus) on teatud ajal mõõtmise teel saadud suuruse koguseline hinnang. Saadud üksikmõõdised moodustavad tavaliselt mõõdiste kogumi, mille põhjal saab määrata mõõtetulemuse. Mõõtetulemus (mõõtmistulemus) on mõõtmise teel saadud mõõtesuuruse väärtus. Mõõtetulemus on lõplik vastus (hinnang) mõõtesuuruse väärtuse kohta. 13

Mõõtetulemus on täielik, kui see sisaldab infot selle tulemuse määramatuse kohta. Mõõtetäpsus on mõõtetulemuse ja mõõtesuuruse tõelise väärtuse lähedusaste. Mõõtetulemuse viga (mõõteviga, absoluutne viga) on mõõtetulemuse X ja mõõtesuuruse X T tõelise väärtuse vahe. X = X X T. (2.2) Viga on ideaalsuurus, reaalses elus ei saa me enamasti teada tema tegelikku väärtust. Saame anda ainult tõenäosusliku hinnangu väärtuste vahemiku kohta, milles asub mõõdetava suuruse tõeline väärtus soovitud (nõutud) tõenäosusega. Selle väärtuste vahemiku ulatust iseloomustab mõõtemääramatus. Juhuslik mõõtehälve (juhuslik viga) on mõõtetulemuse ja mõõtesuuruse väärtuse vahe, mille võiksime saada mõõtesuuruse lõpmatukordsel mõõtmisel kordustingimustel. Süstemaatiline mõõtehälve võrdub mõõtehälbe ja juhusliku mõõtehälbe vahega. Süstemaatilist mõõtehälvet saab kompenseerida parandiga. Parand on võrdne süstemaatilise mõõtehälbe hinnanguga, kuid vastasmärgiline. Nii süstemaatiline viga kui ka parand ei ole täpselt teada. Seega on parandi väärtus arvestatav ainult koos selle väärtuse määramatusega. Mõõtemääramatus on mõõtetulemusega seotud parameeter, mis iseloomustab mõõtesuurusele omistamiseks mõeldavate väärtuste jaotust. Mõõtemääramatus peegeldab seda, et meil puuduvad täpsed teadmised mõõtesuuruse väärtuse kohta. Ka pärast teadaolevate süstemaatiliste mõõtehälvete kõrvaldamist on mõõtetulemus ikkagi vaid mõõtesuuruse väärtuse hinnang, ja seda määramatuse tõttu, mis on tingitud juhuslikest mõõtehälvetest ja süstemaatiliste mõõtehälvete mittetäielikust kõrvaldamist. 2.2 Mõõtmise põhiväide Igasugune mõõtmine suhteskaalat kasutades tähendab tundmatu suuruse võrdlemist sama liiki määratletud suurusega, mille tulemusena avaldatakse tundmatu suuruse väärtus tuntud suuruse kaudu kas tema osana või kordsena. Määratletud suuruseks on selle suuruse ühik. Mõõteprotsessi peamiseks eripäraks on see, et mõõtmise kordamisel tuleb suuruse arvväärtus, tingituna mõõtesuuruse iseloomust, igal mõõtmisel erinev. Mistahes suuruse mõõtmisel saadud arvväärtusel ja seega ka mõõtetulemusel 14

on juhuslik iseloom selles mõttes, et saadud väärtused ei ühti. Samas ei ole nad ka täiesti juhuslikku laadi, sest nende erinevus järgib teatud seaduspärasust, mida saame kirjeldada vastava tõenäosusega. Seega: kuigi mõõtmise eesmärgiks on määrata mõõtesuuruse väärtus, saame mõõtesuuruse juhusliku iseloomu tõttu anda vaid mingisuguse hinnangu mõõtesuuruse väärtuse kohta. Mõõtmise põhiväide: mõõtetulemus, st mõõtmise teel saadud mõõtesuuruse väärtus on juhuslik suurus ehk muutuja. See on väide, millele toetub kogu mõõtmise teooria. 2.3 Mõõtetulemus kui juhuslik suurus Juhuslik suurus on suurus, mis sõltub juhuslikust sündmusest ja mille väärtust pole enne juhusliku sündmuse toimumist võimalik kindlaks määrata. Näiteks täringu viske puhul ei tea me kunagi täpselt ette, mitu silma saame. Nii on täringuviske tulemus juhuslik suurus. Tingituna juhuvigadest on ka üksikmõõtmise tulemus juhuslik suurus. Näide 1. Oletame, et mõõtsime multimeetriga 8 minuti jooksul n = 100 korda vahelduvpinget. Katsetulemustejaotus on kujutatud joonisel 2.1. Joonis 2.1. Võrgupinge mõõtetulemused Näeme, et vahelduvpinge väärtus ei ole ajas konstantne vaid fluktueerub mingi väärtuse ümber, s.t on juhuslik suurus. Antud näites on selle põhjuseks nii juhuvead kui ka vahelduvpinge väärtuse sõltuvus kogu võrgus tarbitavast võimsusest. Üksik mõõtetulemus on ühe konkreetse katse tulemus. Mõõtetulemuste kogum aga annab infot kõigi mõõdetud suuruse arvväärtuste tõenäosusliku jaotumise 15

kohta. Millist väärtust võtta kui mõõtetulemust? Lihtsamatel juhtudel võib selleks kasutada aritmeetilist keskväärtust, mis on määratav valemiga (2.3) kus x i - üksikmõõtmise tulemus, N üksikmõõtmiste arv. Üksikmõõteväärtuste erinevust keskväärtusest x= x i x i nimetatakse mõõtehälbeks. (2.4) Näide 2. Mõõtesuuruse mingil n-kordsel (n=100) sõltumatul mõõtmise numbernäidikuga massimõõtevahendi abil fikseeriti näiduseadisel järgmised arvväärtused x i, mis on toodud tabelis 2.1 Iga i-ndas arvväärtus esines mõõtmisel m i korda. Milline nendest arvväärtustest tuleks antud juhul võtta mõõtetulemuse aluseks? Mitte ükski arvväärtus üksikuna võttes ei iseloomusta mõõtetulemust tervikuna, vaid seda iseloomustab kogu arvväärtuste kogum koos arvväärtuste esinemise sagedusega. Võttes aluseks iga i-nda arvväärtuse suhtelise esinemissageduse m i /n selle lugemi esinemise tõenäosuseks, saame esitada iga diskreetse arvväärtuse esinemise tõenäosusjaotuse esitada nii tabeli kui ka graafiku kujul, antud juhul jaotusspektrina. 16

Joonis 2.2 2.4 Mõõtetulemuste histogramm Histogramm on tulpdiagramm, mis näitab, kui sageli esinevad ühed või teised tulemused. Histogrammi ehitamiseks peame kogu mõõtetulemuste esinemise vahemiku jagama võrdseteks lõikudeks x. Vahemike arv valitakse tavaliselt ligikaudu võrdseks ruutjuurega mõõtmiste arvust. Seejärel loendame, mitu korda mõõdetav suurus satub igasse lõiku ja joonistame iga lõigu kohale tabamuste arvuga võrdelise tulba. Histogrammi ehitamine. Tuleme tagasi vahelduvpinge mõõtmise näite juurde (joonis 2.1). Oma katses saime 100 lugemit, millest vähim oli E min = 228,10 V ja suurim E max = 228,77 V. Jagame mõõtetulemuste vahemiku E min E max 100 = 10 lõiguks, seejärel loendame, mitu korda mõõtetulemus igasse lõiku sattus. Tulemused on esitatud tabelis 2.2. Tabel 2.2 Loendustabel histogrammi joonistamiseks 17

Tabeli alusel joonistame histogrammi (joonis 2.3). Histogrammi rõhtteljele kantakse mõõtetulemuste vahemike E i otspunktidele (või keskpunktidele) vastavad väärtused. Püstteljele kantakse suurused n i /(n E), kus n i on mõõtmiste arv, mis satub lõiku E i. Selliselt valitud ühikute kasutamisel on histogrammi alune pindala võrdne ühega (joonis 2.4). Joonis 2.3 Histogrammi ehitamine 18

Joonis 2.4. Histogrammi näide Mõõtmiste arvu suurendades ja samal ajal vahemiku laiust vähendades sulavad piirjuhul tulpade tipud siledaks kõveraks (2.5) Saadud kõverat f (x) nimetatakse tõenäosuse tihedusfunktsiooniks (joonis 2.5 sinine joon). 19

Joonis 2.5. Mõõtetulemuste tõenäosuse jaotusfunktsioon e. jaotustihedus 2.5 Dispersioon ja standardhälve Mõõtetulemuste hajumist iseloomustab parameeter, mida kutsutakse dispersiooniks: (2.6) kus x t on mõõdetava suuruse tõeline väärtus. Selle parameetri puuduseks on tema dimensioon - suuruse dispersiooni dimensiooniks on suuruse enda dimensioon ruudus. Näeme, et suurust ja tema dispersiooni on väga ebamugav võrrelda. Seetõttu kasutatakse mõõtmisteoorias mõõdiste hajumise iseloomustajana positiivset ruutjuurt dispersioonist - standardhälvet. Mõõtmiste suure arvu korral saab suuruse σ x ehk standardhälbe (ruutkeskmine hälve vanemas kirjanduses) leida valemist 20

(2.7) Praktikas pole mõõtmiste arv tavaliselt väga suur, samuti pole teada mõõdetava suuruse tõelist väärtust. Seetõttu kasutatakse standardhälbe ligikaudse hinnanguna eksperimentaalset standardhälvet: (2.8) Oluline on märkida, et üksikmõõtmiste eksperimentaalne standardhälve iseloomustab eelkõige mõõtmismeetodi täpsust. Üksikmõõtmiste standardhälbe ulatus võrrelduna jaotusfunktsiooni laiusega on näha joonisel 2.6. Matemaatiline standardhälve on piirjuht eksperimentaalsest standardhälbest: (2.9) 2.6 Ekse Ekse ehk ilmselgelt vale mõõdis võib sattuda mõõtetulemuste hulka mitmesugustel põhjustel. Kuidas ekset ära tunda? Vaatame järgmist näidet. Oletame, et saime võrgupinge mõõtmisel sellise tulemuse nagu on näidatud joonisel 2.6. Lisame sellele joonisele kaks visiirjoont, kohtadel E -3s E ja E + 3s E. Kõik mõõtetulemused, mis jäävad nende kahe visiirjoonega piiratud alast väljapoole, võib lugeda ekseteks. Joonis 2.6. Ekse määramise selgitamiseks 21

Antud näites on kaks ekset: E 1 = 227,96 V (sest E < E -3s E ) ja E 2 = 229,18 V (sest E > E + 3s E ). 2.7 Juhuslike suuruste jaotusseadused ja nende karakteristikud Normaaljaotus Paljudes rakendustes loetakse juhuslike suuruste jaotus ligilähedaseks Gaussi ehk normaaljaotusele. Analüütilisel kujul avaldub normaaljaotus valemiga (2.10) kus σ x on parameeter, mis iseloomustab kõvera laiust ja mis arvuliselt on võrdne standardhälbega. Tõenäosuse tihedusfunktsiooni graafik, mis on saadud eksperimendist leitud mõõtesuuruse keskväärtuse ja standardhälbe asendamisel valemisse on kujutatud joonisel 2.7. Kõveral vastavad punktidele a - σ x _ ja a + σ x käänupunktid, s.t. punktid, kus kumerus läheb üle nõgususeks. Graafiku alust pindala mõõtes saab näidata, et vahemikku a ± σ x jääb 68,27 % sündmustest. Vahemikku a ± 2σ x jääb 95,45 % ja vahemikku a ± 3σ x juba 99,73 % sündmustest. Mida suurem on σ x, seda laiem ja madalam on f(x) graafik. Mida väiksem on σ x seda kitsam ja kõrgem on f(x) graafik. Joonis 2.7. Üksikmõõtmiste jaotusfunktsioon normaaljaotuse korral 22

Ristkülikjaotus ehk ühtlane jaotus Juhusliku suuruse x riskülikukujuliseks (ühtlaseks) jaotuseks teatud lõigul nimetatakse jaotust, mille jaotustihedus sellel lõigul on nullist erinev konstant. See tähendab, et selles vahemikus on kõik sündmused võrdtõesed. Matemaatiliselt avaldub see kujul kus a x b. f ( x) = 1, b a (2.11) Joonis 2.8 Juhusliku suuruse ristkülikjaotus lõigul a-b Sellise jaotuse keskväärtus EX a+ b 2 =. (2.12) Standardhälve σ = b a. 2 3 (2.13) Sümmeetriline kolmnurkjaotus Jaotus on kolmnurkjaotus, kui jaotustihedus avaldub kujul 2 2 a+ b f ( x) = 1 x, b a b aa 2 kus a x b. (2.14) Jaotuse keskväärtus on sama, mis eelmisel juhul, standardhälve aga 23

σ = b a. 2 6 Elektriajamite ja (2.15) Joonis 2.9. Juhusliku suuruse sümmeetriline kolmnurkjaotus lõigul a-b Sümmeetriline trapetsjaotus Paljudel juhtudel on mõistlik eeldada, et juhusliku suuruse esinemise tõenäosus on oluliselt suurem keskväärtuse lähedal ja väiksem piiride lähedal ning see võimaldab asendada ristkülikjaotuse või kolmnurkjaotuse trapetsjaotusega. Sellist jaotust kirjeldav valem on keeruline ja seda me siin ei esita. Joonis 2.10. Juhusliku suuruse sümmeetriline trapetsjaotus lõigul a-b Trapetsjaotuse standardhälve b a 2 σ = 1+β, 2 6 (2.16) 24

kus 0 β 1. Kui β 1, siis trapetsjaotus muutub ristkülikjaotuseks, kui β = 0, siis on tegu kolmnurkjaotusega. 2.8 Usaldusnivoo leidmine jaotusfunktsioonides Usaldusnivoo näitab tulemuse sattumise tõenäosust mingisse vahemikku. Tavaliselt võetakse selleks vahemikuks keskväärtusest mõlemale poole ühe standardhälbe σ kaugusele ulatuv vahemik. Normaaljaotuse puhul on usaldusnivooks 68,3 %. Joonis 2.11. Usaldusnivoo juhusliku suuruse normaaljaotuse korral Ristkülikjaotuse puhul annab arvutus usaldusnivooks 58 %. Joonis 2.12. Usaldusnivoo juhusliku suuruse ristkülikjaotuse korral 25

Kolmnurkjaotuse korral saame usaldusnivooks 65 %. Joonis 2.13. Usaldusnivoo juhusliku suuruse kolmnurkjaotuse korral 2.9 Oletatava jaotusfunktsiooni õigsuse kontrollimine Metroloogia esimene ülesanne on jaotusfunktsiooni hüpoteesi kontroll. Joonis 2.14 kujutab normaaljaotusefunktsiooni alusel jaotunud suurust. Nähtub, et väikese mõõtmiste arvu korral on kokkulangevus normaaljaotuse analüütilise kõveraga väga ligikaudne, mõõtmiste arvu suurenemisel kokkulangevus paraneb. Joonis 2.14. Kas suurus on jaotunud normaaljaotuse kohaselt? 26

Joonisel 2.15 kujutatud jaotusfunktioon ei ole ilmselt normaaljaotusfunktsioon. Joonis 2.15. Kas see on normaaljaotusfunktsioon? Analüüsime seda funktsiooni edasi. Joonis 2.16. Ühtlase jaotusfunktsiooni tuvastamine 27

Joonisel 2.17 on kujutatud ilmselt kolmnurkjaotuse järgi paiknev juhusliku suuruse paiknemine. Joonis 2.17. Milline jaotusfunktsioon on joonisel? Joonisel 2.18 on kujutatud ilmselt normaaljaotusele kõige lähem jaotusfunktsioon. Joonis 2.18. Kas joonisel on kolmnurk- või normaaljaotusfunktsioon? 28

2.10 Mõõtemääramatus 2.10.1 Mõõtemääramatuse üldiseloomustus Nagu eespool nägime, kuuluvad mõõtehälbed juhuslike suuruste hulka, mida pole võimalik täpselt määratleda, vaid anda omapoolne hinnang. Mõõtemääramatuse puhul lähtume teadmisest, et mõõtetulemus on mõõtesuuruse väärtuse parim hinnang, kusjuures mõõtemääramatusega väljendatakse mõõtesuuruse juhuslikust iseloomust tingitud kahtlusi mõõtetulemuse kehtivuse suhtes. Mõõtemääramatus peegeldab seda, et meil puuduvad täpsed teadmised mõõtesuuruse väärtuse kohta. Ka pärast teadaolevate süstemaatiliste mõõtehälvete kõrvaldamist on mõõtetulemus ikkagi vaid mõõtesuuruse väärtuse hinnang, ja seda määramatuse tõttu, mis on tingitud juhuslikest mõõtehälvetest ja süstemaatiliste mõõtehälvete mittetäielikust kõrvaldamist. Määramatuse abil väljendatakse seega tõsiasja, et teatud kindla mõõtesuuruse ja selle mõõtetulemuse korral pole tegemist mingi ühese väärtusega, vaid lõpmatult paljude selle suuruse väärtuse ümber jaotunud väärtustega. Mõõtemääramatuse, mõõtevea ja mõõtehälbe erinevust selgitab joonis 2.19. Joonis 2.19. Mõõtemääramatuse, mõõtevea ja mõõtehälbe erinevus 29

Mõõtemääramatust ei tohi tõlgendada mõõtehälbena. Kuna sõna määramatus tähendab kahtlust, siis väljendub mõiste mõõtemääramatus oma laiemas tähenduses kahtluses mõõtetulemuse kehtivusse. Mõõtemäärmatus on oma määratluse kohaselt mõõtetulemusega seotud parameeter, mis iseloomustab mõõtesuurusele põhjendatult omistatavate väärtuste tõenäosust, mis on enamasti lähedane normaaljaotusele. Seega ei ole mõõtemääramatus mitte suuruste vahemik, vaid kvantitatiivselt väljendatav parameeter. Selleks võib olla nt standardhälve või eksperimentaalne standardhälve. Mõõtemääramatus on oma olemuselt mõõtetulemuse omadus, mida ei tohi omistada mõõteriistale või mõõtemeetodile. Mõõtemääramatus iseloomustab hinnangute tõenäosust, mis on põhjendatult omistatavad sellele suurusele, kusjuures põhjenduse aluseks on kogu mõõteprotsessi kohta käiv info. 2.10.2 Mõõtemääramatuse allikad Mõõtemääramatus peegeldab tõsiasja, et meil puuduvad täpsed teadmised mõõtesuuruse väärtuse kohta. Ka pärast tuntud süstemaatiliste efektide (mõjude) kõrvaldamist on mõõtetulemus ikkagi mõõtesuuruse väärtuse subjektiivne hinnang, ja seda määramatuse tõttu, mis on tingitud juhuslikest mõõtehälvetest ja süstemaatiliste mõõtehälvete mittetäielikust kõrvaldamisest. Olulisemad mõõtemääramatust mõjutavad faktorid on: - mõõtesuuruse puudulik defineerimine, - mõõtesuuruse defineerimise puudulik realiseerimine, - mõõteobjekti mittevastavus mõõtesuuruse definitsioonile, - puudulikud teadmised keskkonnatingimuste mõjust mõõtetouimingule või keskkonda iseloomustavate suuruste mittetäielik mõõtmine, - mõõtevead skaalanäiduga mõõtevahendi lugemi võtmisel, - mõõtevahendi piiratud lahutusvõime või puudulik tundlikkus, - etalonidele ja etalonainetele omistatud ebatäpsed väärtused, - kirjandusest või muudest välistest allikatest saadud konstantide ja teiste parameetrite ebatäpsed väärtused, - mõõtemeetodis või -protseduuris kasutatavad lühendid ja eeldused. Faktorid võivad olla omavahel sõltuvad ning üksteist oluliselt mõjutavad. 30

2.10.3 Mõõtemääramatuse hindamise meetodid Nagu eelnevast nägime, võib määramatus sisalda küllalt palju kompenente, mis jagatakse kahte tüüpkategooriasse: A - tüüpi määramatus, mida hinnatakse statistiliste meetodite abil, hinnates mõõtmisel saadud mõõdiste statistilist jaotust ja eksperimentaalset standardhälvet. B - tüüpi määramatus, mida hinnatakse muul viisil (varasemad mõõtetulemused, kogemused, käsiraamatud, tootjate ja kalibreerijate andmed), so kogemuslikult, lähtudes eeldatavatest tõenäosusjaotustest. Standardmääramatus on standardhälbe kujul väljendatud mõõtetulemuse määramatus. Liitstandardmääramatus on mõõtetulemuse standardmääramatus, mis määratakse kõigi mõõteülesandes osalevate suuruste hinnangute standardmääramatuste põhjal. Selle arvulise väärtuse võime leida valemiga (2.17) Kasutades jälle usaldusnivoo mõistet, saame hinnata, millise tõenäosusega asub leppeline tõeline mõõteväärtus x l vahemikus x m u kuni x m + u. Siin tähistab x m mõõtetulemust. Näiteks joonisel 2.20 toodud juhtumil on usaldusnivoo 68 %, mis tähendab, et leppeline tõeline väärtus asub 68-l juhul 100-st eelmainitud vahemikus ja 32 juhul väljaspool seda vahemikku. Joonis 2.20. Leppelise tõelise väärtuse paiknemine 68 % usaldusnivoo puhul Laiendmääramatus on parameeter, mis annab mõõtetulemuse ümber niisuguse vahemiku, et see sisaldab eeldavasti suuremat osa mõõtesuurusele mõeldavalt omistavate väärtuse jaotusest. See saadakse liitstandardmääramatuse u c korrutamisel katteteguriga k. U = k u c. (2.18) Kattetegur k väärtus sõltub mõõtetulemuste jaotusest ja soovitavast usaldusnivoost p. Tavaliselt jääb katteteguri arvväärtus vahemikku 2 3. 31

Normaaljaotuse eeldusel on usaldusnivoo p = 90 % korral kattetegur k = 1,65, p = 95 % korral on kattetegur k = 1,96 ja usaldusnivoo p = 99 % korral k = 2,58. 3. SUURUSED MÕÕTMISE MUDELIS 3.1 Mõõtmise mudel Iga reaalne mõõtmine toimub alati suure hulga mõjurite toimel ja iga mõõteülesande korral arvutatakse meid huvitava mõõtesuuruse väärtus matemaatilise seosega teiste, antud mõõteülesande jaoks vajalike suuruste abil. Teatud osale nendest suurustest saame anda hinnanguid vahetu mõõtmise käigus, ülejäänud osale suurustestaga teadaoleva info abil (nt käsiraamatutes või normdokumentides esitatu põhjal). Mõõtesuuruse väärtuse hindamisel tuleb seega mõõteülesandest lähtuvalt koostada mõõtesuuruse sõltuvust teistest vaadeldavatest suurustest kirjeldav mõõtmiste mudel. Mõõtmise üldistatud mudelid on toodud joonisel 3.1. X f Y X 1 X 2 X i f Y a) X n b) Joonis 3.1. Mõõtmise mudelid Joonisel 3.1a on esitatud primitiivne mõõtmise mudel, mis arvestab ainult mõõdetavat suuruse X ja väljundsuuruse Y omavahelist sõltuvust. Mingeid mõõtmist mõjutavaid tegureid siin ei arvestata. Selline mudel sobib vaid väga ligikaudsete mõõtmiste puhul. Täpsete mõõtmiste korral (nt elektripaigaldiste kontrollmõõtmised) tuleb toimida kindlasti joonisel 3.1b toodud mudeli järgi. Väljundsuurus Y on mõõteülesandega ette nähtud mõõtesuurus, mis sõltub paljudest sisendsuurustest X i, mis võivad 32

olla nii konstandid, parandid ja mitmesugused mõjurid, aga ka suurused, mida tuleb mõõta. Seda sõltuvust saab esitada kujul Y = f(x 1, X 2,..., X i,..., X n ). (3.1) Sisendsuurusi tuleb vaadelda kui mõõtesuurusi, mis võivad omakorda sõltuda teistest suurustest. Seega võib sõltuvus f tegelikult kujuneda üsna komplitseerituks, mistõttu selle kirjeldamine on komplitseeritud. Piirjuhul võib sõltuvus f olla määratav kas katseliselt või tedaoleva algoritmi järgi. Seega on funktsioon f tunduvalt laiema mõistega kui puht matemaatiline sõltuvus. Mõõtmise mudeli näiteid 1. Olgu ülesandeks pikkusotsmõõdu mõõtmine. Mõõtevahendiks on pikkuskomparaator mõõtmisel kasutatakse mõõdetava otsmõõdu pikkuse l võrdlemist etalonotsmõõdu pikkusega l E. Mõõdiseks on seega kahe otsmõõdu pikkuste vahe δl. Peale nimetatud suuruste mõjutavad mõõtetulemust mõlema otsmõõdu joonpaisumistegurid α ja α E ning temperatuurid mõõtmishetkel θ ja θ E. Seega võiks sellise mõõtmise mudeli esitada kujul l = f(l E, δl, α, α E, θ, θ E ). Normaaltemperatuuril saab selle sõltuvuse arvutada valemiga l (1+ = l E α EΘ 1+ αθ E + δl. 2. Kui seos (3.1) on avaldatav kujul Y = X 1 X 2, siis modelleerib see kahe samanimelise suuruse erinevust ja väljundsuurus iseloomustab seega nende suuruste väärtuste erinevust. 3. Mudel kujul Y = X 1 + X 2 võib iseloomustada väljundsuuruse Y sõltuvust sisendsuurusest X 1 ja näiteks süstemaatilisi efekte kõrvaldavast parandist X 2. 4. Mudel Y = X iseloomustab vigadest vaba mõõtmist vastavalt joonisele 3.1a, mida mõõtepraktikas esineb aga väga harva. 3.2 Sisendsuuruste väärtuste hinnangud Kuna sisendsuuruste X i väärtused pole täpselt teda, siis kasutatakse mõõtepraktikas mõõtmise mudelis nende suuruste väärtuste hinnanguid x i. Osa nendest saadakse otseselt mõõtetoimingu käigus, osa aga muudest mõõteprotseduuri välistest allikatest (mõõtevahendite kalibreerimistunnistused, etalonide serufikaadid, käsiraamatud jms). 33

Mõõtmise teel võib suurusele hinnangu anda nii üksikmõõtmiste, kordusmõõtmiste kui ka mõõteseeria andmete põhjal. Sisendsuuruse mitmekordsel mõõtmisel esitatakse tema väärtuse hinnang tavaliselt mõõdiste aritmeetilise keskmise abil. Infobaasist saadud väärtuste hinnanguid kasutatakse enamasti muutmata kujul. Kui sisendsuurusteks on mõjuritest tingitud parandid, siis üldjuhul on nende hinnanguteks väärtused, mis on omistatud paranditele mõõtetoimingute käigus. Kõiki sisendsuuruste hinnanguid kasutatakse mõõtmise mudelis väljundsuuruse hinnangu arvutamisel. 3.3 Väljundsuuruse väärtuse hinnang Väljundsuuruse (mõõtesuuruse) Y hinnanguks on y, mis saadakse, asendades seoses (3.1) sisendsuurused X 1, X 2,..., X i,..., X n nende hinnangutega (mõõtetulemustega) x 1, x 2,..., x i,..., x n. Seega on mõõtesuuruse Y mõõtetulemus y avaldatav seosest y = f(x 1, x 2,..., x i,..., x n ). (3.2) Suuruse y arvutamisel on võimalikud erinevad lähenemisviisid. Kõigepealt on vaja kindlaks määrata funktsionaalse väärtuse sisu. Kui on tegemist mittelineaarse sõltuvusega ja oleme korduvtingimustel läbi viinud n sõltumatut mõõtmist väljundsuuruse Y väärtuse leidmiseks, siis on tihti kõige õigem seose (3.2) abil arvutada kõigi väljundsuuruste hinnangud y i ja võtta aluseks nende arimeetiline keskmine y = 1 n n j= 1 y j = 1 n n j= 1 f ( x 1 j, x 2 j..., x, nj ) (3.3) Selline lähenemine eeldab, et kõik n hinnangut on sama määramatusega. Korduvtingimustel mõõtmisel on see tingimus üldjuhul täidetud. Lineaarse funktsiooni f korral võib kasutada lihtsamat seost y = f ( x, 1 x,..., 2 x i,... x ), n (3.4) kus hajuvate sisendsuuruste keskmine 1 = x i n x n j= 1 ij. (3.5) 34

Kokkuvõtteks: mõõtetulemus y on mõõtesuuruse Y väärtuse hinnang, mille saame korrektselt esitada ainult siis, kui me omame infot hinnangu määramatuse kohta. 3.4. Hinnangud sisendsuurustele ja nende määramatusele 3.4.1 Suuruse ühe- ja mitmekordne mõõtmine Üldistatud kujul esitatud mõõtmiste mudelist lähtudes saame üksiku mõõtesuuruse X i väljundi Y avaldada kujul kus Y = X 1 + X 2, X 1 - mõõtesuurus, X 2 mõjuritest tingitud summaarne parand K 1. (3.6) Mõõtepraktikas kasutatakse mõõtetulemusena tavaliselt parandatud tulemust, kus mõõtesuuruse X i väärtuse hindamiseks on kolm erinevat võimalust. 1. Mõõtetulemuseks on lihtsalt mõõdis x ij koos vastava parandiga K ij, mis matemaatiliselt väljendub kujul y x pij = x ij + K ij. (3.7) 2. Mõõtetulemus on mõõdiste x ij (j = 1, 2,..., n i ) kogumi aritmeetiline keskmine x i, millele on liidetud summaarne parand K i y x p,j = x i + K i. (3.8) 3. Mõõtetulemuseks on parandatud tulemuste x p,ij aritmeetiline keskmine x pi, mille saame esitada võrdusega y x p, j = 1 n i n j= 1 + K j n j ( k ij ij 1 ) = n j= 1 x p, ji. (3.9) Positiivset ruutjuurt dispersioonihinnangust s 2 (x ij ) nimetatakse eksperimentaalseks standardhälbeks s(x ij ), mis arvutatakse valemiga 35

s 1 ni ( xij ) = ( xij xi ni 1 j= 1 ) 2. (3.10) Parima hinnangu andmiseks kasutatakse aritmeetilisele keskmise x i eksperimentaalset standardhälvet s( x i ), mis väljendatakse valemiga Sisendsuuruse X i hinnangu s( x ) = i s( x ij n i ) (3.11) x i eksperimentaalne standardhälve s( x i ) on tavaliselt hinnatud mõõdiste x ij kogumi statistilise analüüsi põhjal ning saadud standardhälve võrdsustatakse A-tüüpi hindamismeetoditega leitud mõõtemääramatusega, mida nimetatakse standardmääramatuseks u(x i ), st u ni ( xi ) = s( xi ) = ( xij xi ni ( ni 1) j= 1 1 ) 2 (3.12) Järgnevalt lähtume vaikimisi standardhälbe ja standardmääramatuse võrdsustamisest. Kui sisendsuurus X i on mõõdetud vähem kui 10 katsel ja meil on kogutud standardhälve s p, siis saame standardmääramatuse määrata valemist u( x ) = i s p n i (3.13) Näide 3.1 Mõõtmise objektiks on silindriline korkkaliiber kirjega Ø20 H8 ning ülesandeks on tema läbimõõdu d mõõtmine. Kuna objektile esitatakse väga ranged täpsusnõuded, siis kasutati mõõtmiseks Abbe pikkusmõõturit skaalajaotuse väärtusega 0,001 mm. Mõõteriista kalibreerimistunnistuses on antud vastavad parandid ning skaalamärgi 20 mm kohta kehtib parand K i = -0,0020 mm, mille laiendmääramatus U = 0,0006 mm (k = 2). Läbimõõtu mõõdeti kaliibri kogu tööpinna alatuses erinevates ristlõigetes ja kordusmõõtmiste arv n = 20. Mõõtmise ajal oli ümbritseva keskkonna temperatuur 19,9 0 C ± 0,5 0 C. Mõõtetulemused on toodud tabelis 3.1 36

Tabel 3.1 Korkkaliibri läbimõõdu mõõdised Elektriajamite ja Korkkaliibri mõõtmise mudel on d = x i + K i. Tabelis 3.1 esitatud mõõdiste x ij abil arvutati mõõdiste kogumi aritmeetiline keskmine x i ja eksperimentaalne standardhälve s(x ij ) järgmiselt. Aritmeetiline keskmine x i : n 1 1 x = mm mm i n x = 400,100 = 20, 0050 ij j= 1 20 Eksperimentaalne standardhälve s(x ij ) s( x ) = ij 1 n 1 i n i j= 1 ( x ij x ) i 2 = 1 19 36 10 6 mm 2 = 0,0014mm Saadud aritmeetilise keskmise x i standardmääramatuse hinnang u( x i ) on s( xij ) 0,0014 u( xi ) = = = 0, 0003mm n 20 i Mõõtetulemuse mõõtemääramatus u(x i ) = 0,0003 mm on antud juhul hinnatud mõõdiste keskmise tulemuse mõõtemääramatusega. 37

Näide 3.2 10 kω takistuspooli kalibreeriti tööetaloniga numbernäidikuga multimeetri abil. Kalibreerimine teostati kalibreerimisprotseduuris kirjeldatud reeglite järgi. Mõõtmisel teostati kolm mõõdiste paari, st n i = 3 ja moodustati näitude suhte etaloni suhtes 1,0000104, 1,0000105 ja 1,0000103. Suhete aritmmetiline keskmine on x i = 1,0000104. Sellise väikese arvu mõõtmiste korral on valemi (3.12) järgi arvutatud aritmeetilise keskmise standardhälve ni 1 u( xi ) = s( xi ) = ( xij xi ) n ( n 1) i i j= 1 2 = 1 2 10 3(3 1) 14 0,6 10 Kuna kordusmõõtmiste arv on väike, siis kasutati arvutatud standardhälbe asemel eksperimentaalsetel andmetel kogutud standardhälvet s p = 1,9 10-7, mis on saadud kõnesoleva kalibreerimisprotseduuri pikemaajalisel jälgimisel. Seega kujuneks standardmääramatuseks valemit (3.12) kasutades 7 s p 1,9 10 7 u( x ) = = 1,1 10 i n 3 i See tulemus ületab peaaegu kaks suurem eksperimentaas, kuid on oluliselt usaldusväärsem tänu aluseks võetud standardhälbe määramisel aluseks võetud suurele hulgale mõõtmistele. 7. 3.4.2 Eksete kindlakstegemine mõõteseerias Mõõtesuuruse X i kordusmõõtmisel võib selguda, et mõni mõõdis kogumis erineb oma väärtuselt tunduvalt ülejäänutest. Tavaliselt on selliseid väärtusi mitte rohkem kui üks või kaks. Samal ajal tundub, et mõõtmisesed on teostatud korrektselt. Tekib küsimus, kas need tulemused on usaldusväärsed ja kas neid ei peaks kui eksesid enne mõõtetulemuste edasist töötlemist mõõteseeria andmete hulgast kõrvaldama. Selle küsimuse saame lahendada statistiliste meetoditega, mis põhinevad eeldusel, et vaadeldava mõõteseeria mõõdiste jaotus on teada. Meetodeid on mitmeid. Vaatleme siin nn Grubbsi testi, mis eeldab, et mõõdised on normaaljaotusega ja mõõteseerias esineb üks või kaks ekset. Enne andmetöötluse alustamist tuleb kõik mõõdised reastada nende väärtuste kasvavas järjekorras. Selliselt reastatud suurima mõõdise x i,ni kohta kehtib Grubbsi testi statistik G ni, mille saame arvutada valemiga ja väikseima mõõdise x i,1 kohta statistik G i G nj ij x xi, ni = i s( x ) (3.14) 38

G 1 = x x Grubbsi testi statistiku G kriitilised väärtused on esitatud tabelis 3.2. i s( x ij i,1 ) (3.15) Tabel 3.2 Grubbsi testi statistiku G kriitilised väärtused Näide 3.3. Voolutugevuse X i mõõtmisel juhtmes milliampermeetriga oli kavas teha kümme mõõtmist. Kuna mõõtmise käigus saime ühe mõõdise 9,30 ma, mis äratas kahtlust kui ekse ja seepärast teostati veel üks mõõtmine. Seega tehti kokku n i = 11 mõõtmist. Saadud mõõdised reastati väärtuse kasvu järgijärgmisse seeriasse. 9,07 ma, 9,08 ma, 9,10 ma, 9,12 ma, 9,13 ma, 9,15 ma, 9,16 ma, 9,17 ma, 9,18 ma, 9,20 ma, ja 9,30 ma. Kõigepealt arvutame keskmise mõõdise x i _ n 1 1 x = ma ma i n x = 100,66 = 9, 15 ij j= 1 11 Eksperimentaalne standardhälve = ni 1 s( xij ) ( xij n ( n 1) i i j= 1 x ) i 2 = 1 0,0415mA 11 1 2 = 0,064mA 39

Grubbsi testi valemi (3.14) põhjal arvutame suurima mõõte statistiku G nj xi, ni = i s( x ) ij x 9,30mA 9,15mA = = 2,344 0,064mA Võrreldes saadud testi tulemust tabelis 3.2 real n i =11 toodud väärtusega G 5% = 2,355 näeme, et meie poolt saadud tulemus G nj = 2,344 on sellest väiksem. Seega võib öelda, et mõõdis x i,11 = 9,30 ma on igati korrektne. 3.4.3 Mõõtmine korduvus- ja korratavustingimustel Korduvustingimustel mõõtmistel mõõtmine tähendab seda, et kõik tingimused kindla objekti (mõõtesuuruse) mõõtmisel on rangelt samad. Konkreetsemalt: üks ja sama mõõtja ühe kindla mõõtemeetodi abil samal mõõteobjektil (mõõtesuuruse X i kandjal) mõõdab samade katsetingimuste korral (sama mõõtevahend, sama mõõteprotseduur, sama labor jne) mõõtesuurust X i n ij korda lühikeste ajavahemike järel ja saab j = 1, 2, 3,...J i mõõdiste seeriat. Nende mõõdiste korral saadakse n ij arvu mõõdisest koosnev mõõdiste kogum üldmahuga M i mõõdist. Mõõdise all on siin mõeldus parandatud tulemust. Mõõtetulemuse X i hinnanguks on tulemus x= 1 M i Ji nij j= 1 k= 1 x ijk 1 = M i Ji j= 1 n ij x ij (3.16) Mõõtesuuruse korduvustingimustel sooritatud mõõtmise korral saadud mõõdiste x ijk standardhälvet nimetatakse korduvusstandardhälveks. Korratavustingimustel mõõtmine tähendab seda, et mingi mõõtetingimus on muutunud või muudetud. Muudetavate mõõtetingimuste hulka kuuluvad nt. mõõteprintsiip, mõõtemeetod, mõõtevahend, kasutatav etalon, mõõtmise teostamise koht või mõõtmise teostamise aeg. Selline mõõtmine nõuab alati muutunud või muudetud tingimuste täpsustust. Ka siin saab mõõtetetulemust arvutada valemiga (3.16), milles on arvesse võetud muutunud tingimusi. Kõige enam kasutatakse korratavustingimusi laboritevahelise ringkatse tarvis valitud spetsiaalse objekti mõõtmisel, kus põhiliseks muutuvaks tingimuseks on katsest osavõttev labor ise. 3.5. Muul viisil hinnatud sisendsuuruste väärtused ja nende määramatused. Kui sisendsuuruse X hinnang x ja standardmääramatus u(x) ei ole saadud korduvtingimustele mõõdetud suuruse X mõõdiste x põhjal, siis selle suuruse 40

satndardmääramatust u(x) hinnatakse teoreetilise analüüsi alusel (määramatuse B-tüüpi hindamismeetod). Sellise hindamise infobaas võib üldiselt sisaldada: - varasemaid mõõdiseid ja mõõtetulemusi, - kogemusi ja teavet asjassepuutuvate materjalide ja mõõtevahendite kohta, - tootja spetsifikatsioone, - mõõtevahendite kalibreerimistunnistustes toodud andmeid, - käsiraamatutes leiduvaid lähteandmeid. Standardmääramatuse B-tüüpi hindamismeetodi tarvis kättesaadava infobaasi õige kasutamine nõuab lisaks kogemustele veel üldteadmistele tuginevat arusaama, mis on praktikaga omandatav kogemus. On oluline teada, et B-tüüpi hindamismeetodiga leitud standardmääramatus võib olla sama usaldusväärne kui A-tüüpi hindamismeetodi abil saadu, seda eriti suhteliselt väikese arvu mõõdiste puhul. 3.5.1 Mõõtevahendi näidiku lahutusvõimest tingitud määramatus Numbernäidikuga mõõtevahendi abil saadud näidu (mõõdise) määramatuse üheks allikaks on näidiku lahutusvõime. Isegi kui korduvnäidud on identsed, ei ole kordustäpsust iseloomustav määramatus võrdne nulliga, sest sisendsignaalil on piirkond, milles see mõõtevahendi näidik esitab ühe ja sama näidu. x i = [(x i - δx i /2).. (x i + δx i /2)] f y i = const Joonis 3.2. Mõõtevahendi näidiku lahutusvõimest tingitud määramatuse selgitamiseks Kui näidiku lahutusvõime on δx i, milleks on näidu muutus (numbersamm), kus kõige madalama järgu number muutub ühe sammu võrra, siis sisendsignaal, mis annab näidu x i, võib võrdse tõenäosusega jääda vahemikku [x i - δx i /2; x i + δx i /2]. 41

f(x) δx i x i - δx i /2 x i x i + δx i /2 Joonis 3.3. Sisendsignaali ristkülikukujuline tõenäosusjaotus Sisendsignaal on kirjeldatav ristkülikjaotusega, mille laius on δx i ja dispersioon σ 2 (x i ) = (δx i ) 2 /12. See tähendab seda, et iga näidu standardmääramatus on u(x i ) = σ (x i ) 0,29 δx i. Näide 3.4. Numbernäidikuga voltmeetril, mille näidiku väikseim tähendusega näit on 1 mv, on näidiku lahutusvõime δx i = 1 mv tõttu näidu x i standardmääramatus u(x i ) = 0,29 mv. x Joonis 3.2 Multimeetri M-830B kasutamine voltmeetrina 42

3.5.2 Mõõtevahendi suikeulatusest tingitud määramatus Näidiku lahutusvõimega analoogset määramatust võib põhjustada ka mõõtevahendi suikeulatus, mis sisuliselt on mõõtesuuruse väärtuse kasvamise või kahanemise maksimaalne piirkond δx i ilma et muutuks mõõtevahendi näit. Ettenägelik mõõtja paneb tähele mõõtesuuruste järgnevate kasvamiste ja kahanemiste suuna ning teeb vastavad parandused. Tihti pole aga suikeulatuse suund määratav ja selle arvestamine keeruline. Mõnikord suurendatakse sihilikult mõõteriista suikeulatust, vältimaks näidu muutumist sisendsuuruse pisimuutuste korral. Kui suikeulatusest tingituna on võimalikud mõõtevahendi näidud vahemikus [x i - δx i /2; x i + δx i /2], siis meelevaldse näidu x i standardmääramatus u(x i ) 0,29 δx i. 3.5.3 Tulemuste ümardamisest tingitud määramatus Igasugune mõõtetulemuste ümardamine või nende murdosa ärajätmine on määramatuse allikaks, sest ümardatud arv esitab mõõtesuuruse arvväärtust ligikaudselt. Mida rohkem on mõõtesuurusel tähenduslikke kohti, seda suurem on suhteline täpsus. Näiline täpsuse tagaajamine ei ole aga õigustatud ja seepärast on mõnikord põhjendatud tähenduslike kohtade arvu vähendamine ümardamise teel. Ümardamisel kasutatakse tavaliselt reeglit, mille kohaselt ümardatakse 5ga lõppevad arvud nii, et viimane koht jääks paarisarvuks. Näiteks: 69,5 70; 13,5 14; 28,5 28. Sel teel väldime arvväärtuste süstemaatilist tõusu, mille põhjustaks lihtne matemaatiline ümardamine, mille kohaselt ümardatakse 0,5 alati ülespoole. Seega võib numbriga kuni 5 lõppevate arvude ümardamisel ümardatud arvväärtus {x i } võrdse tõenäosusega jääda vahemikku [{x i } - {δx i } /2; {x i } + {δx i }/2], kusjuures {δx i } = 0,5. Etteantud ümardamissammu {δx i } korral on meelevaldse ümardatud arvväärtuse standardmääramatus u(x i ) 0,29 δx i. 3.5.4 Mudelisse sissetoodud sisendväärtused ja nende määramatused Mudelisse sissetoodud sisendsuuruse hinnang x i ei pruugi alati olla määratud antud mõõtmisega, vaid olla saadud mujalt. Seejuures on sellel väärtusel mingil viisil hinnatud määramatus, mis võib olla antud standard- või laiendmääramatusena. 43

Kui määramatus on antud vahemiku poollaiusena, st laiendmääramatusena U, millel on ettenähtud usaldatavustase, siis on sellega määratud ka katteteguri k väärtus. Sel juhul on hinnangu x i standardmääramatus u(x i ) avaldatav seosest u(x i ) = U/k. Alternatiivselt võib olla antud sisendsuuruse hinnangu x i ülemine a ü,i ja alumine a a,i rajaväärtus, puudub aga info määramatuse kohta. Sel juhul peaks nende rajaväärtuste kasutajad rakendama oma teadmisi, ja kogemusi, hindamaks sellist määramatust, lähtudes sisendsuuruse iseloomust, allika usaldusväärsusest, mõõtepraktikas selliste suuruste kohta kasutatavatest määrustest jms. Täpsema info puudumisel eeldatakse tavaliselt, et sisestatud suuruse X i hinnang x i on rajaväärtuste vahe keskpunkt x i = (a ü,i + a a,i )/2 ja suuruste väärtused neis rajades on võrdtõenäosed (ristkülikjaotus), siis (a ü,i - a a,i ) = 2a i korral on standardmääramatus u(x i ) = a i / 3. Kui aga on alus arvata, et rajade lähedased väärtused on keskosaga võrreldes oluliselt vähemtõenäosed, siis on lihtsuse mõttes põhjendatud aluseks võtta kolmnurkjaotus standardmääramatusega u(x i ) = a i / 6. Valides vahemiku poollaiusega a i, mis hõlmab 99,73 % normaallaiusest, leiame, et jaotuse standardhälve σ (x i ) = a i /3. 3.5.5 Dokumendist võetud suuruse määramatus Kui sisendsuuruse X i hinnangu x i määramatus on antud eksperimentaalse standardhälbe ja teatud arvu korrutisena, st laiendmääramatusena U, siis võib standardmääramatuse u(x i ) väärtuseks võtta laiendmääramatuse U ja katteteguri k jagatise U/k. See olukord on tavaline, kui andmed on saadud tootja spetsifikatsioonist, kalibreerimistunnistusest, käsiraamatust või mõnes muust allikast. Näide 3.5. Kalibreerimistunnistuses on kirjas, et 220 g kirjeväärtusega etalonvihi mass m 200 = 199,99993 g on esitatud laiendmääramatusega U = 0,66 mg kolme standardhälbe tasemel. Selle etalonvihi massi standardmääramatus on u(m 200 ) = U/k = (0,66 mg) /3 = 0,22 mg, mis vastab suhtelisele standardmääramatusele u(m 200 )/ m 200 = 1,1 10-6. Hinnangu x i määramatus ei pruugi olla esitatud standardhälbe mingi kordse kujul, vaid selle asemel võib olla see olla antud nt 90, 95 või 99 protsendilise usaldatavustasemega vahemiku poollaiusena. Kui pole teisiti täpsutatud, siis võib oletada, et tegu on normaaljaotusega ja x i standardmääramatuse võib taastada, jagades esitatud määramatuse normaaljaotuse jaoks kehtiva teguriga. Eeltoodud kolmele vahemikule vahemikud teguri k p väärtused on 1,645, 1,960 ja 2,576. 44

Näide 3.6. Kalibreerimistunnistusel on kirjas, et 10 kω kirjega etalontakisti takistus temperatuuri 23 0 C juures on R E = 10,000584 Ω ± 152 µω usaldatavustasemega 99 %. Sel juhul on takisti kalibreerimisel saadud tulemuse standardmääramatuseks (152 µ Ω)/2,58 = 59 µ Ω. 3.5.6 Sisendsuuruste võimalike väärtuste asümmeetriline jaotus Sisendsuurusele X i antud alumine ja ülemine rajaväärtus a ü,i ja a a,i ei tarvitsepaikneda sümmettriliseltselle parima hinnangu x i suhtes. On juhtuimeid, kus suuruse kõik väärtuse jäävad ühele poole üht mingit kindlat piirväärtust. Sel juhul ei saa X i jaotustihedus olla vahemiku suhtes ühtlane. Vaatleme juhtumit, kus sisendsuuruse X i alumine rajaväärtus avaldub kujul a a,i = x i - b a,i, ülemine rajaväärtus aga kujul a ü,i = x i + b ü,i, kusjuures b a,i b ü,i. Sobiva jaotuse valimiseks pole piisavalt infot. Mida teha? Antud juhul on lihtsam avaldada sisendsuuruse määramatuse hinnang kujul u ( i ü, i a, i ü, i ü, i x ) = b + b /(2 3) = a a /(2 3), (3.17) mis vastab täislaiusega b a,i + b ü,i ristkülikjaotuse standardhälbele. Paljude praktiliste mõõteolukordade korral, kus sisendsuuruse X i piirid on asümmeetrilised, on otstarbekas kasutada parandi (b ü,i - b a,i )/2 rakendamist hinnangule x i nii, et X i uus hinnang x i asuks nende rajaväärtuste keskel, st et x i = (a ü,i + a a,i )/2. Nimetatu taandub olukorra sümmetrilisele ristkülikjaotuseleuute rajaväärtustega b a,i = b ü,i = (b ü,i + b a,i )/2 =(a ü,i - a a,i )/2 = a. 3.5.7 Kalibreeritud mõõtevahendi näidu määramatus Kui mingi sisendsuuruse Xi hinnang on saadud üksikmõõtmise või mõõtevahendi spetsifikatsioonis märgitud kordusmõõtmiste arvu tulemusena mõõtevahendi abil, mis on kjalibreeritudsuhteliselt väikese määramatusega tööetaloni abil, siis tuleb hinnangu xi määramatus põhiliselt selle mõõtevahendiga eelnevalt kordustingimustel saadud mõõdiste statistilisest töötlusest. Selle mõõtevahendiga saadud kordustulemuste määramatus võib olla juba varem määratud ning see ei pea tingimata olema täpselt sama mõõtesuurusega teostatud, küll aga piisavalt lähedane saadavatele mõõdistele. Kui selline info ei ole kättesaadav, siis peab määramatuse hindamisel tuginema mõõtevahendi iseloomulikele omadustele, sarnase konstruktsiooniga teiste mõõtevahenditega saadavate mõõtetulemuste teatavatele määramatuste hinnangutele. 45

3.5.8 Taadeldud mõõtevahendi näidu määramatus Enamik mõõtevahenditest on valmistatud mingi kehtiva standardi nõuete alusel.. Teatud osa nendest omab tüübikinnitust ning on taadeldud kas tootja või mõne sõltumatu organisatsiooni poolt, tagamaks vastavust standardi nõuetele. Standardis sisalduvad metroloogilised nõude kajatuvad sageli lubatud näiduhälvete kujul, millele see mõõtevahend peab vastama. Kuna taadeldud mõõtevahendi mõõtehälbe kõvera kohta pole midagi teada, siis tuleb eeldada, et mõõtehälvete väärtused jäävad võrdse tõenäosusega (ristkülikjaotus) mõõtevahendi taatlushälbe piiridesse. Seega on taadeldus mõõtevahendiga mõõtmisel saadud suuruse hinnangu (näidu) xi satandardmääramatuse hindamise aluseks mõõtevahendi näiduhälbe piirid (veapiirid või piirviga). 3.5.9 Kontrollitava suuruse määramatus Sageli mõõdetakse suurusi kontrollitavatel töötingimustel, eeldades, et need tingimused mõõteprotsessi sooritamise jooksul ei muutu. Selleks töötingimuseks võib olla näiteks temperatuur. Kui temperatuur ei ole püsiv, vaid nt perioodiliselt muutuv (temperatuuri hoidmisel teatud vahemikus), siis ei tarvitse objekti temperatuur ühtida mõõdetava temperatuuriga. Niisugusel juhul võiks mõõtesuuruse mõõtmise mudelisse sisestatava temperatuuri X i hinnangu x i standardmääramatuse u(x i ) hindamine toimuda, arvestades temperatuurikontrolli süsteemi toimimise tulemusena tekkivat temperatuuri tsüklilisest muutumisest tulenevat arkussiinustemperatuurijaotust Kus x < a. f ( x) = π a 1 2 x 2, (3.18) 46

Joonis 3.3. Arkussiinusjaotuse jaotustiheduse graafik (jaotuskõver) Arkusiinusjaotusele alluva juhusliku suuruse X keskväärtus EX = 0 ja dispersioon DX = a 2 /2, seega standardhälve σ = a/ 2. Arkusiinusjaotusepoolvahemiku laius on 2 σ. Näide 3.7 On teda, et ruumi temperatuurikontrollisüsteem hoiab ruumi temperatuuri vahemikus 19,5 0 C kuni 20,5 0 C. Antud juhul on temperatuuri tsüklilise muutumise tulemuseks arkussiinusjaotus, mille poolvahmik a = ± 0,5 0 C. Seega saame ruumi temperatuuri hinnata aritmeetilise keskmise Θ = 20 0 C ja määramatuse abil, kusjuures viimane on hinnatav standardhälbe σ = a/ 2 = (0,5 0 C)/ 2 = 0,35 0 C kaudu. Huvitav on, et tsüklilise temperatuurimuutumise korral püsib temperatuur kõige kauem vahemiku ekstreempunktide läheduses ja kõige lühemat aega ettenähtud temperatuuril. 3.5.10 Mõõtemeetodist tulenev määramatus See on kõige raskemini hinnatav määramatuse komponent, eriti kui meetod annab teistest teadaolevatest analoogsetest meetoditest väiksema väärtusega määramatusega tulemusi. Isegi siis, kui meetodist tulenev määramatus osutub valdavaks komponendiks, piirdub kogu meie info selle määramatuse hindamiseks siiski vaid teadmistega füüsikalise maailma kohta. Sama mõõtesuuruse väärtuse hindamine erinevatel meetoditel, kas samas või eri laborites või ka samal meetodil eri laborites, võib anda väärtuslikku infot mõõtemeetodi kohta. Tehtud hinnangute usaldusväärsuse kontrollimiseks ja süstemaatiliste efektide (mõõtehälvete) väljaselgitamiseks on üldiselt kasulik teostada tööetalonide ja etalonainete laboritevahelist vahetust. 47

3.5.11 Mõõteobjektist tulenev määramatus Väga paljude mõõteprotseduuride korral (nt mõõtevahendite kalibreerimine) leiab aset tundmatu objekti võrdlus tuntud, lähedaste karakteristikuga etaloniga, et mõõta või kalibreerida tundmatut objekti. Sellisteks objektideks võivad näiteks olla kaaluvihtide ja takistite komplektid, pikkusotsmõõdud, termomeetrid ja suure puhtusega ained. Antud juhul ei ole kasutatavad mõõtemeetodid enamasti ebasoodsalt mõjutanud mõjuritest tekitatud efektidest, kuna tundmatu objekt ja etalon reageerivad ühesugusel viisil efektidest esilekutsutud muutustele. Mõnedes teistes praktilistes mõõteolukordases on aga objekti valikul ja selle käsitlemisel palju suurem osa. Eriti kehtib see looduslike ainete keemilise analüüsi kohta. Erinevalt kontrollitava homogeensusega tehismaterjalist koosnevast objektist (mõõteetalon, etalonaine, sertifitseeritudetalonaine) on looduslikud materjalid mittehomogeensed. See kutsub esile tavaliselt kaks täiendavat määramatuse komponenti. Esimese hindamiseks on vaja määrata, kui adekvaatselt esindab valitud objekt keemiliselt analüüsitavat lähtematerjali. Teise komponendi hindamiseks on aga tarvis määrata ulatus, mil määral võrreldava tundmatu objekti mitteanalüüsitavad koostisosad mõjutavad mõõtmise tulemust. Siit järeldub eksperimendi hoolika ettevalmistamise ja objekti valiku vajadus. Üldiselt oleneb objekti valikust tuleneva mõõtemääramatuse hindamise kvaliteet mõõtja kogemustes ja teadmistest ning tema käsutuses olevast infost tundmatu mõõteobjekti kohta. 48

4. MÕÕTEMÄÄRAMATUSE EDASTAMINE 4.1 Mõõtemääramatuse edastamisele esitatavad nõuded Väljundsuuruse Y hinnangu (mõõtetulemuse) y usaldatavuse seisukohalt on väga oluline, et sisendsuuruse hinnangutega seotud mõõtemääramatust käsitletakse mõõtmisel alati ühel ja samal viisil. Alljärgnevalt vaatame, kuidas käsitletakse ja edastatakse mõõtemääramatust mõõteinfo töötlemisel ja millised on edastusmeetoditele esitatavad nõuded. Mõõtemääramatuse edastamismeetod peab olema laiendatav kogu mõõtmisega seotud info kohta, olema kasutatav mõõte-, kalibreerimis- ja taatluslaborite praktikas, olemaülekantav teistele mõõtemääramatuste hinnangutele, võimaldama kõiki andmeid kompleksselt töödelda ning mõõtemääramatusi esilekutsuvaid efekte välja selgitada, olema lihtne, arusaadav ja võimalikult väikese töömahuga, toetuma ainult mõningatele eeldustele ja oletustele, olema tuntud ja laialt kasutatav. Eelmainitud nõuetele vastab määramatuse väljendamise juhendile tuginev meetod, mis käsitelb mõõtetulematuse määramatuse hindamisel nii juhuslikest efektidest tingitud kui ka süstemaatilisi efekte kõrvaldavatest paranditest esile kutsutud komponente täpselt ühtemoodi ning rõhutab kõigi määramatuse komponentide ühesugust iseloomu. Määramatuse väljendamise juhend annab juhiseid info kasutamiseks väljundsuuruse (mõõtetulemuse) määramatuse hinnangu leidmisel, mida nimetatakse liitmääramatuseks. 4.2 Mõõtetulemuse liitmääramatus Liitmääramatus u(y) on väljundsuuruse (mõõtesuuruse) Y mõõtetulemuse y standardmääramatus, mis on saadud mitme teise sisendsuuruse X i (mõõtesuuruse, mõjuri, ainfoallikate andmete jms) hinnangutest ja võrdne positiivse ruutjuurega summast, mille liikmed on nende suuruste dispersioonid ja kovariatsioonid. Liitmisel kaalutakse neid lähtuvat sellest, kuidas mõõtetulemus sõltub teda mõjutavaye suuruste väärtuste muutumisest. Tavaliselt arvutatakse liitmääramatus u(y) kõigi mõõteülesandes osalevate suuruste X i hinnangute x i standardmääramatuste u(x i ) põhjal. Mõõtmise mudelisse sisestatakse iga suuruse X i hinnang x i ja selle standardmääramatus u(x i ) saadakse selle suuruse võimalike väärtuste tõenäosusjaotusest. Seejuures hinnangu x i standardmääramatuse u(x i ) A-tüüpi hindamismeetod toetub x ij mõõdiste kogumi põhjal leitud tõenäosusjaotusele ja B-tüüpi hindamismeetod xi väärtuste kogemuslikult oletatavale jaotusele. 49

4.2.1 Liitmääramatus sõltumatute sisendsuuruste korral Kui kõik sisendsuurused X i on sõltumatud, siis saadakse mõõtetulemuse y liitmääramatus sisendsuuruste hinnangute x 1, x 2,..., x i,..., x n kaalutud standardmääramatuste põhjal. Sel juhul on liitmääramatus u(y) positiivne ruutjuur liitdispersioonist u 2 (y), mis on avaldatav valemiga u 2 n 2 ( y) = u i ( y), i= 1 (4.1) kus u i (y) on i-nda sisendsuuruse standardmääramatuset tingitud määramatuse komponendi panus mõõtetulemuse liitmääramatusse, mis on saadud võrdsusest u i (y) = c i u(x i ), (4.2) kus c i on i-nda sisendsuuruse X i tundlikkustegur. Valemi (4.1) järgi leitud liitmääramatus u(y) on satandardhälbe hinnang, mis iseloomustab mõõtesuurusele Y põhjendatuklt omistatavate väärtuste hajuvust. Tundlikkustegur c i võrduses (4.2) iseloomustab väljundsuuruse hinnangu y muutumist sõltuvalt sisendhinnangu X I muutumisest. Tundlikkustegur on avaldatav seosega c i = f x i = f X i x = x1... i x n (4.3) Matemaatilise statistika seadustest lähtudes peaksid osatuletised seoses (4.3) olema arvutatud X i keskväärtuste kaudu. Mõõtepraktikas hinnatakse neid osatuletisi siiski vastavalt valemile (4.3). Kui mõõtmise mudel ei ole komplitseeritud, siis arvutatakse osatuletised f x i matemaatiliselt. Kui aga mudel on komplitseeritud või esitatud algoritmina, siis arvutame osatuletised numbriliselt. Selle asemel, et arvutada tundlikkustegurid c i funktsiooni f abil matemaatiliselt või numbriliselt, määratakse need mõnikord ka katseliselt. Sel juhul mõõdetakse Y väärtuste muutumist, mis on tingitud mingi suuruse X i muutumisest, hoides teised sisendsuurused konstantsetena. Juhul kui funktsionaalne sõltuvus f on sisendsuuruste X i summa või vahe 50

f(x 1, X 2,..., X i,..., X n ) = n p i X i=1 i, (4.4) siis saadakse väljundsuuruse Y hinnang sisendsuuruste x i vastavast summast või vahest y = n i= 1 p i x i, (4.5) Kus tundlikkustegur võrdub hinnangu x i esinemissagedusega p i. Joonis 4.1. Sisendsuuruse X i hinnangute x i summa või vahe abil mõõtesuuruse Y hinnangu y moodustumise skeem Kui hindame mõõtetulemust valemiga (4.5), teiseneb liitdispersiooni hinnangu arvutamise võrrand kujule u 2 ( y) = n i= 1 p u ( 2 2 i x i ) (4.6) Kui funktsionaalne sõltuvus f on sisendsuuruste X i korrutus või jagatis astmes p i, st 51 (4.8)

f(x 1, X 2,..., X i,..., X n ) = c n i= 1 p X i i, (4.7) siis on väljundsuuruse Y mõõtetulemus y sisendhinnangute x i vastav korrutis või jagatis kujul y = c n i01 p x i i. Joonis 4.2. Sisendsuuruse X i hinnangute x i korrutise või jagatise abil mõõtesuuruse Y hinnangu y moodustumise skeem 4.2.2 Liitmääramatus sõltuvate sisendsuuruste korral Suuruste sõltuvust kirjeldatakse statistikas nende korrelatsiooni ekh kovariatsiooniga. Sõltumatute juhuslike suuruste kovariatsioonon võrdne nulliga, st sõltumatud suurused on alati mittekorelleeruvad. Vastupidi: korelleeruvad juhuslikud suurused on alati sõltuvad. 52

Kui sisendsuurused Xi ja Xk omavahel korreleeruvad, siis on mõõtetulemusega y seotud liitdispersiooni u 2 (y) avaldis järgmine u 2 n n n n 1 n f f f 2 ( y) = u( xi, xk ) = u ( xi ) 2 i 1 k 1 xi x + k i 1 x = = = i i= k= i+ 2 1 1 f x i f x k u( x i, x k ), (4.9) kus x i ja x k on X i ja X k hinnangud ning u(x i, x k ) = u(x k, x i ) on nende hinnangutega seotud kovariatsiooni hinnang. Korrelatsioonimäära x i ja x k vahel iseloomustatakse korrelatsiooniteguri hinnanguga, mis on avaldatav seosest u( xi, xk ) r ( xi, xk ) =, (4.10) u( xi ) u( xk ) kus r(x i, x k ) = r(x k, x i ) -1 r(x i, x k ) +1 Kui hinnangud x i ja x k on sõltumatud, siis kehtib r(x i, x k ) = 0, st ühe hinnangu muutus ei põhjusta muutust teises. Kui korrelatsioonitegur on +1 või -1, siis on hinnangutevaheline sõltuvus lineaarne. Korrelatsioonitegurite abil saab võrrand (4.9) kuju u 2 n n 1 2 2 ( y) = ci u + 2 cicku( xi ) u( xk ) r( xi, xk ). i= 1 i= 1 (4.11) Sisendsuuruste korrelatsiooni ei või ignoreerida, kui see on olemas ja oluline. Võimaluse korral tuleb kovariatsioone hinnata eksperimentaalselt, muutes korreleeruvaid sisendsuurusi või kasutades nende suuruste korreleeruva muutumise kohta käivat kogu olemasolevat infot (hindamise B-tüüpi meetod). Selline lähenemine on eriti oluline siis, kui on vaja hinnata korrelatioonitaset, mille on esile kutsunud ühised mõjurid, näiteks keskkonna temperatuur, õhurõhk, niiskus jne. Mõjurite efektid sisendsuurustele võivad olla siiski piisavalt sõltumatud, mille tõttu saab mõjureid pidada mittekorreleeruvateks. Juhul kui korrelatsiooni puudumist ei saa eeldada, võib korrelatsiooni vältida, võttes ühised kindlaksmääratud mõjurid täiendavateks sisendsuurusteks. 53

4.3 Mõõtetulemuse laiendmääramatus 4.3.1 Laiendmääramatuse arvutamise vajadus Kuigi liitmääramatus u(y) on mõõtesuuruse Y mõõtetulemuse y määramise esmane väljend, on mõnede tööstuslike ja ärialaste rakenduslike vajaduste rahuldamiseks, aga ka tervishoiu- ja ohutusalaste nõuete tagamiseks, vajalik liitmääramatuse asemel esitada vahemik, mis teatud usaldatavausega hõlmab mõõtesuuruse väärtuse. Sellise vahemiku moodustamiseks kasutatakse liitmääramatust tähisega U. Laiendmääramatuse saame standardhälbena esitatud liitmääramatuse korrutamisel mingi teguriga k. Laiendmääramautse kasutamisel võrreldes liitmääramatusega võrreldes on see eelis, et see võimaldab võrrelda mõõtetulemusi, millel on erinev vabadusastmete arv. 4.3.2 Laiendmääramatuse abil esitatav vahemik Laiendmääramatus U on parameeter, mis annab mõõtetulemuse y ümber vahemiku, mis eeldatavasti sisaldab suuremat osa mõõtesuurusele Y mõeldavalt omistatavate suuruste jaotusest. Laiendmääramatus U saadakse liitmääramatuse u(y) korrutamisel katteteguriga k U = k u(y) Kattetegur k on arv, mida kasutatakse liitmääramatuse u(y) korrutustegurina, et saada laiendmääramatust U. Katteteguri väärtus valitakse sõltuvalt vahemikule [y U; y + U] etteantud usaldatavustasemest p. Tavaliselt jääb k väärtus vahemikku 2... 3. Seega saame laiendmääramatust, mis on küll mingi parameeter, siiski kasutada vastava vahemiku [y U; y + U] moodustamisel. Laiendmääramatuse korral on mõõtetulemus esitatav kujul Y = y ± U, millest tuleb aru saada nii, et mõõdetava suuruse parim hinnang on y ja et (y U) ja (y + U) on vahemik, milles etteantud tõenäosusega asb suuruse Y väärtus. Vahemiku võib esitada kujul y U Y y+u. 54

Näide 4.1 Tabelis 3.1 toodud mõõdistest lähtudes leiame mõõdiste keskmise y i = 20,0050 mm. Pikkusmõõturi kalibreerimistunnistuses on antud parand K i = - 0,0020 mm skaalamärgile 20 mm laiendmääramatusega U = 0,0006 mm usaldatavustasemel 95 %, st k = 2. Valemi (4.11) põhjal parandi K i standardmääramatuse hinnang u(k i ) = U/k = 0,0006 mm / 2 = 0,0003 mm Korkkaliibri läbimõõdu mõõtetulemus d valemi (3.8) järgi y x p,j = x i + K i = 20,0050 mm 0,0020 mm = 20,0030 mm Kasutades seoseid (4.1) ja (4.2), milles tundlikkustegurid võrduvad ühega, saame läbimõõdu mõõtetulemuse D liitmääramatuse u(d) avaldada kujul u(d) = u 2 2 2 2 2 2 ( ui ) + u ( Ki ) = 0,0003 mm + 0,0003 mm = 0, 0004mm Oletades normaaljaotust, saame arvutada usaldatavustasemele 95 % (k = 2) vastava mõõtetulemuse laiendmääramatuse U = k u(d) = 2 0,0004 mm = 0,0008 mm 0,001 mm Korkkaliibri läbimõõdu lõpliku mõõtetulemuse d võime seega esitada kkujul d = 20,003 mm ± 0,001 mm Selle mõõtetulemuse esitus suhtelise laiendmääramatuse abil on järgmine: D = 20,003(1 ± 5 10-5 ) mm 4.3.3 Katteteguri väärtus Nagu eespool mainitud, jääb katteteguri k väärtus harilikult vahemikku 2... 3. Laieldased praktilised kogemused mõõtetulemuste kasutamisel ja nende võimaliku rakendusviisi täpne teadmine võib hõlbustada usaldatavustaseme p valikut ning seega ka katteteguri k väärtust. Ideaaljuhul soovitatakse üheselt määrata katteteguri k väärtus nii, et see annaks vahemiku Y = y ± U = y ± k u(y), mis vastaks mingile kindlale usaldatavustasemele p, näiteks 95 % või 99 %. Vastupidiselt, mingi etteantud k väärtuse korral soovitakse teada selle vahemikuga üheselt seotud 55

usaldatavustaset p. Praktiliselt pole see aga lihtsalt teostatav, sest siis peaks olema Y tõenäosusjaotus täpselt teada. Mõõteolukordades, kus y ja u(y) abil iseloomustatav tõenäosususjaotus on ligikaudu normaalne ning u(y) vabadusastmete arv küllaltki suur (vt tabel 4. 2), võib eeldada, et k = 2, mis annab väärtuse vahemiku usaldatavustasemega 95 % ja k = 3 korral vahemiku, mille usaldatavustase ületab 99 %. Mõõtesuuruse Y väärtustele laiendmääramatuse U abil vahemiku arvutamine, millel on kindel usaldatavustase, annab mõõtepraktikas parimal juhul vaid ligikaudseid tulemusi. Näiteks isegi 30-kordsel mõõtmisel saadud mõõdiste aritmeetilise keskmise eksprimentaalne standardhälve normaaljaotusega kirjeldataval mõõtesuurusel on ebakindel 13 % ulatuses. Et saada väärtust kattetegurile k p, mis annaks vahemiku teatud kindla usaldatavustasemega p, vajame detailseid teadmisimõõtetulemuse ja tema tõenäosusjaotuse kohta. Praktika näitab, et mõistlik esimene lähend katteteguri k p saamiseks on normaaljaotuse kasutamine. Kõikidel juhtudel on katteteguri väärtused arvutatavad vastava tõenäosusjaotuse tihedusfunktsiooni abil. Mõningad ristkülik-, kolmnurk- ja normaaljaotusele kehtivad k p väärtused on toodud tabelis 4.1. Ristkülikujaotuse väärtused on saadud seosest k p = p 3, kolmnurkjaotuse omad seosest = 6(1 1 p ). k p Tabel 4.1 Valik ristkülik-, kolmnurk- ja normaaljaotustele kehtivaid katteteguri väärtusi 56

4.3.4 Studenti jaotus ja vabadusastmete arv Mõõteprktikas on tavaliselt võimalik saada vaid mõõtesuuruse Y hinnang. Selle tõttu peame katteteguri k p leidmiseks kasutama muutuja (y Y)/u(y) jaotust muutuja [Y E(Y)]/σ(Y) asemel, kus E(Y) on mõõtesuuruse keskväärtus. Sellest tulenevalt vaatame järgmist situatsiooni. Kui z on normaaljaotusega muutuja, millel on keskväärtus µ z ja standardhälve σ, ning z on n sõltumatu mõõdise z j aritmeetiline kesmine eksperimetaalse standardhälbega s( z ), siis muutuja t = ( z - µ z )/ s( z ) omab nn Studenti jaotust (inglise matemaatiku Gosseti varjunime Student järgi) vabadusastmete arvuga υ = n -1. Sel juhul on t-faktor t p (υ) on vabadusastmete arvule υ vastav t väärtus, mille korral Studenti jaotusest osa p sisaldub vahemikus t p (υ) kuni + t p (υ). Siis annab laiendmääramatus U p = k p u(y) = t p (υ) u(y) vahemiku (y U p ) kuni (y + U p ) kujul Y = y ± U p, mis eelduse kohaselt sisaldab p osa mõõtesuurusele mõistlikust omistatavast väärtusest, näiteks 95 % või 99 %. Kui vabadusastnete arv υ, läheneb t-jaotus normaaljaotusele ja t p (υ) (1 + 2/ υ) 0,5 k p on kattetegur, millega on vaja liitmääramatust u(y) korrutada, et saada usaldatavustasemega p vahemiku rajad normaaljaotusega muutuja puhul. Valik t p (υ) väärtusi erinevate υ ja mitmete p väärtuste jaoks on esitatud tabelis 4.2. Tabel 4.2 Valik teguri t p väärtusi sõltuvalt vabadusastmete arvust υ ja usaldatavustasenest p 57

4.3.5 Efektiivne vabadusastmete arv Üksikmõõtesuuruse Y korral, mida on hinnatud n sõltumatu mõõdise aritmeetilise keskmisega, on vabadusastmete arv υ = n -1. kui aga n sõltumatut mõõdist on vähimruutude meetodi abil kasutatud nii sirge tõusu kui ka algordinaadi määramiseks, siis on Vastavate standardmääramatuste vabadusastmete arv υ = n -2. Analoogselt, kui vähimruutude meetodil hinnatakse m parameetritn andmepunkti alusel, siis on iga parameetri vabadusastmete arv υ = n m. 4.3.6 Mõõtetulemuse esitamine koos määramatuse hinnanguga Määramatuse hinnang mõõtmiste väikese arvu korral on üsna ebatäpne, seetõttu pole vahemikhinnangu väljakirjutamisel mõtet suurel arvul kehtivatel kümnendkohtadel. Tulemused esitatakse ümardatult. Arvude ümardamisel kasutatakse reeglit: arvud 1; 2; 3 ja 4 ümardatakse alla. 5-ga ümardamise reegel oli eespool toodud. Täisarvude ümardamisel kirjutatakse ärajäetud numbrite asemele kordaja 10m, kus m näitab ärajäetud numbrite hulka. Näide: 32 548 33 10 3. Tähendusega numbriteks loetakse alati kõiki numbreid peale nulli. Nulli loetakse tähendusega numbriks, kui ta asub teiste arvude vahel, täisarvu või kümnendmurru lõpus. Arvu alguses olevaid ja ümardamise teel saadud nulle arvu lõpus ei loeta tähendusega numbriks. Näide 4.2: 10 400 5 tähendusega numbrit. 104 10 2 3 tähendusega numbrit. 58

10 400,00 7 tähendusega numbrit. 0,01040 4 tähendusega numbrit. Elektriajamite ja ISO standardi alusel esitatakse määramatus alati ühe või kahe tähendusega numbri täpsusega: tavalise mõõtmise korral jäetakse alles üks tähendusega number; täppismõõtmiste korral jäetakse alles kaks tähendusega numbrit. Kehtib ka info säilimise reegel: ümardamise käigus ei tohi tulemus (ega mõõtemääramatus) muutuda rohkem kui 10%. Kui muutus oleks suurem, siis esitatakse ka tavalise mõõtmise korral määramatus täpsusega kaks tähendusega numbrit. Mõõtetulemus esitatakse alati määramatuse viimase komakoha täpsusega. Näide 4. 3: x = 73,3582768 u C = 0,0382765 Seega mõõtetulemuse võime kirjutada kujul x = 73,358(38). Näide 4.4: x = 100,3476 u C = 0,5246 Selle mõõtetulemuse võime kirjutada kujul x = 100,35(52). Näide 4.5: Vahelduvpinge mõõtmiseks kasutatud multimeetri TX3 täpsusklass on esitatud kujul ±(0,4% + 2 ct.). Multimeetri absoluutpõhiveaks saame 0,4 228,485 E = + 2 0,01= 0, 934V, 100 kus 228,485 on keskmine näit. Kokkuleppeliselt eeldame, et kõik multimeetriga loetud lugemid on jaotunud ühtlase jaotuse järgi (ristkülikjaotus). Saame B-tüüpi standardmääramatuseks 0,934V u B = = 0,539V. 3 Oletame, et eksperimendist saime standardhälbeks s E = 0,148 V, n = 100, E = 228, 485V. Siis aritmeetilise keskmise standardhälve se 0,148 s = = = 0, 015V E n 100 See on saadud statistiliste meetoditega, seega A-tüüpi määramatus u A. Liitmääramatus 59

u c = 2 2 2 2 u A ub = 0,015 + 0,539 = 0, 54V +. Tulemuse esitame kujul E = 228, 49V n = 100 p = 68% u c = 0,54 V u A = 0,02 V u B = 0,54 V Teeme vahelduvpinge mõõtmise näites eelduse, et tulemused on jaotunud ühtlase jaotuse alusel, sest normaaljaotuse eeldusel on arvutatud A-tüüpi määramatus mitukümmend korda väiksem kui ühtlase jaotuse eeldusel määratud B-tüüpi määramatus. Sellisel eeldusel laiendmääramatus U = 1,65 2 2 2 2 ua+ ub = 1,65 0,015 + 0,539 = 1,65 0,54V = 0, 89V. Tulemuse esitamisel näitame ära laiendmääramatuse, usaldusnivoo ja katteteguri kujul E = ( 228,49± 0,89)V p = 95 %, k = 1,65 5. MÕÕTEVAHENDITE ÜLDISELOOMUSTUS 5.1 Mõõtevahend Mõõtevahend on mõõtmistel kasutatav teatud kindlate metroloogiliste omadustega tehniline vahend mõõtmiste sooritamiseks kas üksi või koos lisaseadmetega. See on üldmõiste, mis haarab kõiki tehnilisi vahendeid, mis hoiavad ja reprodutseerivad mõõtesuuruse ühikut: andurit, mõõtemuundurit, mõõturit ja arvestit kui ka mõõtu, etaloni, etalonainet ning keerukat mõõteseadet,- komplekti ja -süsteemi. Igal mõõtevahendil on element, millele mõõtmise käigus otseselt rakendub sisendsuuruse (mõõtesuuruse, mõõtesignaaali) mõju. Seda elementi nimetatakse mõõtevahendi sisendseadiseks e. anduriks. Samuti on igal mõõteseadmel väljundseadis, mis annab väljundi ehk mõõdise kas mõõtesignaalina või mõõtjale vahetult tajutaval kujul. 60

Vähemkompleksed mõõtevahendid, nagu andur, mõõtemuundur, mõõtur, mõõdik, arvesti jms, on tihti suuremate mõõtekoosluste, nagu näiteks mõõteseadmete või -komplekside funktsionaalsed koostisosad. Joonis 5.1. Mõõtevahendite võimalik tähistus struktuuriskeemidel MV mõõtevahend, X mõõtesuurus, x mõõdis, ξ - mõõtesignaal 5.2. Mõõtemuundur Mõõtemuundur on mõõtevahend, mis väljastab sisendsuurusest kindlal viisil sõltuva väljundsuuruse, enamasti mõõtesignaali kujul. Ta kuulub enamasti mõõteriistade, -seadmete, -masinate, -komplekside ja -süsteemide koosseisu ja on väga harva iseseisev mõõtevahend. Mõõtemuunduri väljundsignaal on tavaliselt sobiv edastamiseks, muundamiseks ja säilitamiseks, kuid reeglina ei ole ta mõõtjale vahetult tajutav. Oma funktsionaalse toime järgi jagunevad muundurid vahe-, edastus- ja mastaabimuunduriteks Mõõteahel on mõõtevahendi või -süsteemi elementide jada, millest moodustub mõõtesignaali kulgemistee sisendist väljundisse. Mõõteahela esimest muundurit, millele vahetult toimib mõõdetav suurus ning mille ülesandeks on mõõteväärtuse registreerimine, nimetatakse anduriks. Edastusmuundur on mõõtevahend, mille ülesandeks on mõõtesignaali edastamine ja vajaduse korral ka võimendamine, kodeerimine, analoogsignaali muundamine numbriliseks ja vastupidi ning muu sarnane tegevus. Sellesse mõõtevahendite gruppi võivad kuuluda ka mõõtevõimendid, mikroprotsessorid, mastaabimuundurid jne ning nad on mõõteriista, -seadme või -süsteemi koosseisus mõõteahela edastusliini tähtsamateks lülideks. 61

Joonis 5.2. Mõõtevahendite funktsionaalsed elemendid A - andur, E - edastusmuundur, V- väljundseadis, T - toiteallikas 62

5.3 Mõõt Mõõt ehk materiaalmõõt on mõõtevahend, mis reprodutseerib mõõtesuuruse üht või mitut teadaolevat väärtust. Mõõtude näiteks on joonlaud, kaaluviht, skaalaga või skaalata mahumõõt, takistuspool, pikkusotsmõõt, etalonaine jms. Joonis 5.3 Nihik, endise nimetusega nihkkaliiber Mõõdud kehastavad leppeväärtusi vastavate suuruste ühikutes, aga ka kord- või osaühikutes. Kaaluviht kui massimõõt võib kehastada massi väärtust kilogrammides või grammides, mõõtekolb aga mahtu liitrites või milliliitrites. Mõõdu all võib mõista ühe- või mitmeväärtuselist mõõtu kui ka mõõtude kompleksi. Pikkusotsmõõt on nt üheväärtuseline, mõõtejoonlaud aga mitmeväärtuseline. Mingi suuruse teatud kogumi hoidmiseks ja reprodutseerimiseks moodustatakse üksikmõõtude komplekti või kogumid. Näiteks kaaaluvihtide, pikkusotsmõõtude ja mõõtekolbide komplektid ning elektritakistuste salved (magasinid). Väärtust või väärtusi, mille jaoks mõõt on valmistatud, nimetatakse kirjeväärtuseks. Eesti standard 758 kasutab selle mõistes termineid nimiväärtus või nominaalväärtus. Struktuuriskeemidel võib mõõtu tähistada joonisel 5.4 toodud kujul. 63

MÕÕT X, ξ Joonis 5.4 Mõõdu tähistus struktuuriskeemides X mõõdis, milleks on mõõdu kirjeväärtus, ζ - mõõtesignaal Mõõt ei oma sisendit, vaid ainult väljastab suuruse väärtuse kas mõõdise x või mõõtesignaali ξ kujul. Kui mõõt on eelnevalt kalibreeritud ja mõõtetulemust võib kasutada kalibreerimiseks või taatlemiseks, siis võib teda nimetada tööetaloniks. 5.4. Mõõteriist Mõõteriist on mõõtevahend mõõteinfo saamiseks vahetult tajutaval kujul. Mõõteriista põhiülesandeks on mõõtesuuruse otsitavat väärtust kehastava mõõdise või mõõtesignaali registreerimine, selle signaali edastamine ja muundamine ning mõõdise väljastamine, st mõõdise esitamine kas näidu või meeriku kujul. Mõõteriista näitena võib tuua skaalanäidikuga voltmeetrit, numbernäidikuga multimeetrit jne. 64

Joonis 5.5. Multimeeter 65