Θέμα ο α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: 6 4 β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: i (Ιούλιος 00) Θέμα ο i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω f( ), α) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού f() 004 β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w [ f()] είναι πραγματικός γ) Να αποδείξετε ότι f( ) f( ) i δ) Αν και Μ είναι η εικόνα του f() στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση (ΟΕΦΕ 00) Θέμα ο = +i α) Να γράψετε τον μιγαδικό αριθμό στη μορφή = x + yi, όπου x, y R β) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Κ(,0) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και ακτίνα ρ = (Εσπερινά 00) Θέμα 4ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί συζυγής του = α + βi, όπου α,βir και w = i +4, όπου είναι ο α Να αποδείξετε ότι Re(w)=α β+4 Ιm(w)=β α β Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x γ Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y =x, έχει το ελάχιστο μέτρο Θέμα 5 ο α Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις:
= και Ιm () 0 β Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 4 w = + κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα x x (Επαναληπτικές 00) Θέμα 6 ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί = x + yi, όπου x, y πραγματικοί αριθμοί και i (i+) w= i- με i Να αποδείξετε ότι : x - x - y α w= + i x+(y-) x+(y-), β αν ο w είναι πραγματικός αριθμός, τότε η εικόνα του ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ = και γ αν ο είναι πραγματικός αριθμός, τότε η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ = (Εσπερινά 00) Θέμα 7 ο i Δίνεται η συνάρτηση f με f, όπου μιγαδικός αριθμός με 0 α) Αν f, f να αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός β) Αν, Ref f να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο γ) Αν, να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα (Ομογενείς 00) Θέμα 8 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = x + yi, όπου x, y πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους i α -α i i υπάρχει α R ώστε να ισχύει: Να αποδείξετε ότι: α αν Im() = 0, τότε α = β αν α = 0, τότε 0 γ για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει: 0 α δ οι εικόνες Μ των µμιγαδικών αυτών αριθμών στο µμιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα (Εσπερινά 004) Θέμα 9 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς x yi, όπου x,y πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους υπάρχει κ R ώστε να ισχύει: x κ και y κ Να αποδείξετε ότι: α) αν Re() + 4 Im() =, τότε k = - β) αν 5 τότε 0
γ) οι εικόνες M των μιγαδικών αυτών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση (Εσπερινά επαναληπτικές 004) Θέμα 0 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός, με i, και w α) Να αποδείξετε ότι εάν ο w είναι πραγματικός, τότε ο είναι πραγματικός ή β) Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση γ) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος β, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Θέμα ο ( ) i 4 ( ) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, με 9 α Δείξτε ότι: β Δείξτε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός γ Δείξτε ότι: Θέμα ο α Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει + =4+4i και - = 5+5i, να βρείτε τους, β Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύουν i και w i : (Ομογενείς 004) (Μάιος 005) i να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί, w έτσι, ώστε = w και ii να βρείτε τη μέγιστη τιμή του w Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i και i α) Να αποδείξετε ότι i και i β) Να αποδείξετε ότι 0 006 006 0 (Επαναληπτικές 005) k i γ) Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό w, kr Να αποδείξετε ότι για κάθε k kr ισχύει ότι Im( w) (Ομογενείς 005)
Θέμα 4 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 0,, α Να αποδείξετε ότι: i ii 4 και Re( ) με και,, β Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν (Μάιος 006) Θέμα 5 ο Δίνεται η εξίσωση x 4x + = 0 () α Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση (), β Αν οι ρίζες της εξίσωσης (), τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης 006 i Α γ Αν = +i, τότε να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Θέμα 6 ο των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους 5 Έστω ότι για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει α) Να δείξετε ότι 5 5 β) Να δείξετε ότι (5 ) ( 5) 5 5 ισχύει: (Εσπερινά 006) γ) Αν w5, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων M(w) στο μιγαδικό επίπεδο (Ομογενείς 006) Θέμα 7 ο i Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α ε IR i α Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = i β Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο i για α = 0 και α = αντίστοιχα i Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και ii Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ( ) ( ) για κάθε φυσικό αριθμό ν (Μάιος 007)
Θέμα 8 ο Δίνονται οι μιγαδικοί α βi και R όπου α,β R, β 0 Δίνεται επίσης ότι Α) Να αποδείξετε ότι Β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του, στο μιγαδικό επίπεδο Γ) Αν ο αριθμός είναι φανταστικός και αβ 0, να υπολογιστεί ο και να αποδειχθεί 0 0 ότι i i 0 (Επαναληπτικές 007) Θέμα 9 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =(λ-)+λi, όπου λr α Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών β Αν ισχύει γ Αν να βρείτε το Re και Im() 0, να βρείτε το λ (Εσπερινά 007) Θέμα 0 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i,, και i α Να αποδείξετε ότι : β Αν για το μιγαδικό ισχύει ότι:, τότε να αποδείξετε ι) Re( ) Im( ) ιι) για ΘΕΜΑ ο 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A (Ομογενείς 007) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν ( i ) 6 και w ( i) w ( i) τότε να βρείτε: α το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών β το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w γ την ελάχιστη τιμή του w δ την ελάχιστη τιμή του w (Μάιος 008)
Θέμα ο Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός i είναι ρίζα της εξίσωσης +β+γ=0, όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί α Να αποδείξετε ότι β= και γ= β Να αποδείξετε ότι γ Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, για τον οποίο ισχύει: Θέμα ο w (Ιούνιος 008) Δίνεται η εξίσωση + λ + μ = 0, όπου λ, μ είναι πραγματικοί αριθμοί Α Αν ο αριθμός = + i είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι λ = 6, μ = 6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης Β Να αποδείξετε ότι: α 0 008 008 005 β (Εσπερινά 008) Θέμα 4 ο Α Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί kk i, kr α Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία y=x+ β Ποιοι από αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς έχουν ; B Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει ότι α= και β= Θέμα 5 ο 4 4 a 8 ( i) ( i), να δείξετε Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =(λ+)+(λ )i, λ R (Ομογενείς 008) Αα Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λ R β Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός 0 =-i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο Β Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w w 0 όπου 0 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα (Μάιος 009)
Θέμα 6 ο -i + +i -8=0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: α Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών = x + yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση β Nα βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση γ Για τους αριθμούς που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι 4 =0 (Επαναληπτικές 009) Θέμα 7 ο Δίνεται η εξίσωση, C και, οι ρίζες της Να αποδείξετε ότι: A και 009 009 B C 8 0 0 και f τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 0, ώστε f x0x0 E Αν Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού w και Α, Β οι εικόνες των και αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΟΕΦΕ 009) D Αν f x συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0, με f 0 Θέμα 8 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = + i και = (-i) +i 009 + α Να αποδείξετε ότι =+ i β Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού γ Να εκφράσετε το πηλίκο Θέμα 9 ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός στη μορφή κ+λi, όπου κ, λr i(i ) = +i (Εσπερινά 009) α Να αποδείξετε ότι: = +i, =i, = +i β Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές γ Να αποδείξετε ότι: + (Ομογενείς 009)
Θέμα 0 ο Δίνεται η εξίσωση + = όπου C με 0 B Να βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης B Να αποδείξετε ότι 00 00 + =0 B Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w -4+i = - τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο B4 Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β, να αποδείξετε ότι w 7 Θέμα ο (Μάιος 00) Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν + = και = 5 B Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, B Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση w + w = να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+) + y = 4 B Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει Re(w) + Im(w) = 0 B4 Αν w, w είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Β με την ιδιότητα w w =4, να αποδείξετε ότι w + w = (Επαναληπτικές 00) Θέμα Ο Οι μιγαδικοί αριθμοί, w συνδέονται με τη σχέση κύκλο με κέντρο Κ(-,0) και ακτίνα ρ= w w και η εικόνα του w ανήκει στον α) Να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ= β) Αν () και,, οι εικόνες τριών μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει η σχέση () να δείξετε ότι: i) Ο αριθμός είναι πραγματικός ii) Αν επιπλέον 0 τότε να αποδείξετε ότι: Re γ) Δίνεται η ευθεία (ε): x 4 y 0 Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του μιγαδικού w από την ευθεία (ε) (ΟΕΦΕ 00)
Θέμα ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός x i με x, R Β Αν ισχύει ότι i, τότε να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό Β Αν i τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w για τους οποίους ισχύει ότι: w i Β Αν i και u τότε να αποδείξετε ότι 00 u Θέμα 4 ο (Εσπερινά 00) Θεωρούμε την εξίσωση 6+γ=0 με γ, η οποία έχει ρίζες τους μιγαδικούς αριθμούς, με Im( ) > 0 και = 5 Γ Να αποδείξετε ότι γ=5 Γ Αν γ=5, να βρείτε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης Γ Αν για τον μιγαδικό αριθμό w ισχύει w = w, να αποδείξετε ότι w Γ4 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ( i) 8 + ( 4+5i) 8 (Επαναληπτικές εσπερινών 00) Θέμα 5 ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει = i Β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση ψ = Β Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο ίσο με Β Έστω = + i και = + i οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β Θέμα 6 ο Να αποδείξετε ότι + =-8 4 4 (Ομογενείς 00) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και w με i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: i i και w=i i Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών Να αποδείξετε ότι i= i Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι - w Να αποδείξετε ότι: w (Μάιος 0) Θέμα 7 ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: w wi i wi () -i =+Ιm() () και Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η παραβολή με εξίσωση y= x 4
Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0, ) και ακτίνα Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, w με =w Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και, στη συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ, Α, Λ, Β να είναι τετράγωνο (Επαναληπτικές 0) Θέμα 8 ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και w με i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: i i και w=i i A Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών B Να αποδείξετε ότι i= i B Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w B4 Να αποδείξετε ότι: w Θέμα 9 ο (Εσπερινά 0) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: w wi i wi () -i =+Ιm() () και Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η παραβολή με εξίσωση y= x 4 Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0, ) και ακτίνα ρ= Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, w με =w 4 Αν Λ είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού u=-i στο μιγαδικό επίπεδο, τότε να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ, Α, Λ, Β είναι τετράγωνο (Επαναληπτικές εσπερινών 0) Θέμα 40 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: 4 () και w 5 w = () B Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =, B Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με, τότε να βρείτε το Μονάδες 7
B Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο x y επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και 9 4 την ελάχιστη τιμή του w B4 Για τους μιγαδικούς αριθμούς,w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: w 4 (Μάιος 0) Θέμα 4 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, με για τους οποίους ο αριθμός φανταστικός Να αποδείξετε ότι: w= είναι C = Μονάδες 7 C O αριθμός 4 είναι πραγματικός C 4 όπου, δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς i C4 Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύει u ui= w, w 0 ανήκουν w στην υπερβολή x y (Επαναληπτικές 0) Θέμα 4 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: 6 () και w w () D Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = Μονάδες 8 D Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με =, τότε να βρείτε το + Μονάδες 9 D Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = Μονάδες 8 (Εσπερινά 0)