Matematika 2 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 1 / 121
Integriranje racionalnih funkcija; primjena integrala Integriranje racionalnih funkcija Problem: integrirati funkciju oblika f (x) = P(x) Q(x), gdje su P(x)i Q(x) polinomi; uvijek možemo pretpostaviti da je degp < degq (inače možemo prvo podijeliti P s Q, i onda za ostatak vrijedi pretpostavka) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 2 / 121
Integriranje racionalnih funkcija; primjena integrala Integriranje racionalnih funkcija Problem: integrirati funkciju oblika f (x) = P(x) Q(x), gdje su P(x)i Q(x) polinomi; uvijek možemo pretpostaviti da je degp < degq (inače možemo prvo podijeliti P s Q, i onda za ostatak vrijedi pretpostavka) Ideja: zapisati P(x) Q(x) kao sumu jednostavnijih racionalnih funkcija; tzv. parcijalnih razlomaka, i onda integrirati svaki takav parcijalni razlomak zasebno Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 2 / 121
Kako izgledaju parcijalni razlomci? 1 1 (x a) k, gdje je a R, k N Kako rastaviti P(x) Q(x) na parcijalne razlomke? Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 3 / 121
Kako izgledaju parcijalni razlomci? 1 1 (x a) k, gdje je a R, k N 2 1 (x 2 +px+q) l, gdje su p, R, l N, a kvadratna funkcija x x 2 + px + q nema realnih nultočaka (dakle p 2 4q < 0). Kako rastaviti P(x) Q(x) na parcijalne razlomke? Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 3 / 121
Kako izgledaju parcijalni razlomci? 1 1 (x a) k, gdje je a R, k N 2 1 (x 2 +px+q) l, gdje su p, R, l N, a kvadratna funkcija x x 2 + px + q nema realnih nultočaka (dakle p 2 4q < 0). Kako rastaviti P(x) Q(x) na parcijalne razlomke? Faktorizirati Q(x) na ireducibilne faktore (polinome) (Ireducibilni polinomi (s realnim koeficijentima) su ili polinomi prvog stupnja ili polinomi drugog stupnja bez realnih nultočaka; nakon izlučivanja vodećeg člana: x a, odnosno x 2 + px + q, gdje p 2 4q < 0). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 3 / 121
Kako izgledaju parcijalni razlomci? 1 1 (x a) k, gdje je a R, k N 2 1 (x 2 +px+q) l, gdje su p, R, l N, a kvadratna funkcija x x 2 + px + q nema realnih nultočaka (dakle p 2 4q < 0). Kako rastaviti P(x) Q(x) na parcijalne razlomke? Faktorizirati Q(x) na ireducibilne faktore (polinome) (Ireducibilni polinomi (s realnim koeficijentima) su ili polinomi prvog stupnja ili polinomi drugog stupnja bez realnih nultočaka; nakon izlučivanja vodećeg člana: x a, odnosno x 2 + px + q, gdje p 2 4q < 0). Ti ireducibilni faktori se mogu ponavljati, tako da općenito imamo Q(x) = (x a 1 ) n 1... (x a k ) n k (x + p 1 x + q 1 ) m 1... (x + p l x + q l ) m l. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 3 / 121
tada postoje realni brojevi A 1,1, A 1,2,..., A k,nk, B 1,1, C 1,1,..., B l,ml, C l,ml takvi da je P(x) Q(x) = A 1,1 + A 1,2 x a 1 (x a 1 ) 2 + A 1,n1 (x a 1 ) n + + A k,n k 1 (x a k ) n + k B 1,1 x + C 1,1 (x + p 1 x + q 1 ) + B 1,2x + C 1,2 (x + p 1 x + q 1 ) 2 + + B 1,m 1 x + C 1,m1 (x + p 1 x + q 1 ) m + 1 B l,1 x + C l,1 (x + p l x + q l ) + B l,2x + C l,2 (x + p l x + q l ) 2 + B l,m l x + C l,ml (x + p l x + q l ) m. l Te brojeve ćemo pronaći rješavanjem sistema linearnih jednadžbi dobivenih množenjem prethodnog izraza s Q(x). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 4 / 121
Primjer Rastavite x 2 x + 3 f (x) = x 6 6x 5 + 14x 4 18x 3 + 17x 2 12x + 4 na parcijalne razlomke. Rješenje Prvo rastavimo Q(x) = x 6 6x 5 + 14x 4 18x 3 + 17x 2 12x + 4 na ireducibilne faktore. To općenito može biti vrlo teško, no u ovom slučaju, budući da su koeficijenti cjelobrojni pokušajmo pronaći cjelobrojna rješenja testiranjem slobodnog člana. Dakle, kandidati za eventualne cjelobrojne nultočke su:±1, ±2, ±4. Ako pogdimo rješenje, neka je to neki α, koristimo Bezoutov teorem, te podijelimo dani polinom s x α i s kvocijentom ponovimo cijeli postupak. Dobivamo da su cjelobroje nultočke 1 i 2, i to s kratnosti 2; nakon dijeljenja s (x 1) 2 i (x 2) 2 dobivamo Q(x) = x 6 6x 5 +14x 4 18x 3 +17x 2 12x +4 = (x 1) 2 (x 2) 2 (x 2 +1). Ovime smo završili s rastavljenjem na faktore, budući da je x 2 + 1 ireducibilan polinom. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 5 / 121
Sada tražimo rastav racionalne funkcije x f (x) = 2 x+3 u parcijalne razlomke sljedećeg x 6 6x 5 +14x 4 18x 3 +17x 2 12x+4 oblika: f (x) = A 1,1 x 1 + A 1,2 (x 1) 2 + A 2,1 x 2 + A 2,2 (x 2) 2 + Cx + D x 2 + 1. Sada pomnožimo gornji izraz s Q(x) i dobivamo x 2 x + 3 = A 1,1 (x 1)(x 2) 2 (x 2 + 1) + A 1,2 (x 2) 2 (x 2 + 1)+ A 2,1 (x 1) 2 (x 2)(x 2 + 1) + A 2,2 (x 1) 2 (x 2 + 1)+ (Cx + D)(x 1) 2 (x 2) 2. Desnu stranu gornjeg izraza sredimo po potencijama od x, i dobivamo sustav linearnih jednadžbi u nepoznanicama A 1,1, A 1,2, A 2,1 A 2,2, C, D čije je rješenje [ A 1,1 = 2, A 1,2 = ( ) ( 3, A 2,1 = 11 ), A 2,2 = 1, C = 2 5 ( ) ( 1, D = 1 ) 5 10 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 6 / 121
Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? dx = ln x + C 1 x a Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? 1 x adx = ln x + C 1 dx = k + C (x a) k (x a) k+1 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? 1 x adx = ln x + C 1 dx = k + C (x a) k (x a) k+1 1 x 2 +px+q dx = 1 arctg( (x+ p 2 )2 +q p2 4 dx = 1 q p2 4 x q p2 4 ) + C Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? 1 x adx = ln x + C 1 dx = k + C (x a) k (x a) k+1 1 x 2 +px+q dx = 1 dx = 1 arctg( x ) + C (x+ p 2 )2 +q p2 4 q p2 q p2 4 4 I = Ax+B dx svodimo na prethodni slučaj na sljedeći način: x 2 +px+q I = A x+b/a x 2 +px+q dx = A 2 ( 2x+p x 2 +px+q dx) + (B pa 2 ) 1 x 2 +px+q dx. Prvi integral riješimo supstitucijom t = x 2 + px + q, dt = (2x + p)dx i prvi integral postaje A 2 ln(x 2 + px + q). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
Sada smo originalni problem sveli na sljedeće Kako integrirati parcijalne razlomke? 1 x adx = ln x + C 1 dx = k + C (x a) k (x a) k+1 1 x 2 +px+q dx = 1 dx = 1 arctg( (x+ p 2 )2 +q p2 4 q p2 4 I = Ax+B x 2 +px+q x+b/a x q p2 4 ) + C dx svodimo na prethodni slučaj na sljedeći način: I = A x 2 +px+q dx = A 2 ( 2x+p x 2 +px+q dx) + (B pa 2 ) 1 x 2 +px+q dx. Prvi integral riješimo supstitucijom t = x 2 + px + q, dt = (2x + p)dx i prvi integral postaje A 2 ln(x 2 + px + q). I = Ax+B dx, k 2. Kao i u prethodnom slučaju, (x 2 +px+q) k rastavljamo ga na dva integrala: I = A 2 ( 2x+p dx) + (B pa (x 2 +px+q) k 2 ) 1 dx. Prvi integeral, (x 2 +px+q) k opet uz supstituciju t = x 2 + px + q, postaje A 2 ( k + C. (x 2 +px+q) k+1 Ostaje nam riješiti slučaj Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 7 / 121
1 dx, k 2. Prvo uočimo da je (x 2 +px+q) k x 2 + px + q = (x + p 2 )2 + (q p2 p2 4 ), gdje je q 4 > 0, tako da je q p2 4 = a2 ; substitucijom t = x + p 2 reduciramo na slučaj Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 8 / 121
1 dx, k 2. Prvo uočimo da je (x 2 +px+q) k x 2 + px + q = (x + p 2 )2 + (q p2 p2 4 ), gdje je q 4 > 0, tako da je q p2 4 = a2 ; substitucijom t = x + p 2 reduciramo na slučaj 1 dx, k 2. Ove integrale izračunavamo induktivno; (x 2 +a 2 ) k označimo I k = 1 dx. Znamo da je I (x 2 +a 2 ) k 1 = 1 a arctg x a. Sada primjenimo parcijalnu integraciju na I 1 = Dobivamo I 2 = 1 { 1 x 2 + a 2 dx = dv = dx; u = 1 2 x 2 dx 2a2 + a2 { } x + I 2a 2 x 2 +a 2 1 } 1 x 2 + a 2 = 1 (x 2 + a 2 ) 2 dx. x x 2 + a 2 + Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 8 / 121
Sada analogno postupamo za općeniti k; dakle parcijalno integriramo I k = { } 1 dx = dv = dx; u = 1 = (x 2 +a 2 ) k x 2 +a 2 x + 2k x 2 dx. Nakon rastavljanja brojnika u drugom (x 2 +a 2 ) k (x 2 +a 2 ) k+1 integralu x 2 = x 2 + a 2 a 2 i nakon sre divanja, dobivamo I k+1 = 1 { } x 2ka 2 (x 2 + a 2 ) k + (2k 1)I k. Primjer Riješite neodre deni integral sin 2 x cos x d x sin 3 x + 2 sin 2 x 1. Uz suptituciju t = sin x naš integral prelazi u t 2 d t t 3 +2t 2 1. Pronalazimo da je jedna nultočka nazivnika t = 1. Faktorizirani nazivnik jednak je (t + 1)(t 1+ 5 2 )(t 1 5 2 ). Nakon rastava u parcijalne razlomke i vraćanja u varijablu x, dobivamo da je integral jednak Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 9 / 121
ln(sin x+1)+ 5 2 5 5 ln(sin x 1 + 5 )+ 5 + 2 5 ln(sin x 1 5 2 5 2 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 10 / 121
Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD biti ekvivalentan u ovom smislu jest relacija ekvivalencije( refleksivnost, antisimetričnost, tranzitivnost) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD biti ekvivalentan u ovom smislu jest relacija ekvivalencije( refleksivnost, antisimetričnost, tranzitivnost) znamo da tada ta relacije ekvivalencije dijeli skup svih usmjerenih dužina u E 3 na klase ekvivalencije, koje nazivamo vektori (oznake a, b, c,...) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD biti ekvivalentan u ovom smislu jest relacija ekvivalencije( refleksivnost, antisimetričnost, tranzitivnost) znamo da tada ta relacije ekvivalencije dijeli skup svih usmjerenih dužina u E 3 na klase ekvivalencije, koje nazivamo vektori (oznake a, b, c,...) Skup svih takvih vektora označavamo s V 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
Vektori u trodimenzionalnom prostoru Motivacija: u fizici, kemiji, tehnici (sila, brzina, akceleracija) 3-dimenzionalni euklidski prostor E 3 ; točke A, B, C... Precizna matematička definicija: usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentne ako dužine AD i BC imaju zajedničko polovište; to pišemo kao AB CD biti ekvivalentan u ovom smislu jest relacija ekvivalencije( refleksivnost, antisimetričnost, tranzitivnost) znamo da tada ta relacije ekvivalencije dijeli skup svih usmjerenih dužina u E 3 na klase ekvivalencije, koje nazivamo vektori (oznake a, b, c,...) Skup svih takvih vektora označavamo s V 3 svaki vektor je reprezentiran usmjerenom dužinom (to označavamo ovako AB = a ) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 11 / 121
a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Dvije usmjerene dužine odre duju isti vektor ako su istog smjera, duljine i orijentacije (ova tri svojstva odre duju svaki vektor) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Dvije usmjerene dužine odre duju isti vektor ako su istog smjera, duljine i orijentacije (ova tri svojstva odre duju svaki vektor) "iz svake točke možemo povući vektor": neka je O E 3 prozvoljna, i neka je dan vektor a. Tada postoji jedinstvena točka A u E 3 takva da je OA = a (dakle OA je reprezentant vekotra a ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Dvije usmjerene dužine odre duju isti vektor ako su istog smjera, duljine i orijentacije (ova tri svojstva odre duju svaki vektor) "iz svake točke možemo povući vektor": neka je O E 3 prozvoljna, i neka je dan vektor a. Tada postoji jedinstvena točka A u E 3 takva da je OA = a (dakle OA je reprezentant vekotra a ). a 0, a = 0 a = 0 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
a =norma ili duljina vektora a (jednak duljini bilo kojeg reprezentanta vektora a -zašto je to dobro definirano?) smjer vektora je klasa paralelenih pravaca na kojima leže predstavnici tog vektora orijentacija (za dani smjer, dvije mogućnosti ) Dvije usmjerene dužine odre duju isti vektor ako su istog smjera, duljine i orijentacije (ova tri svojstva odre duju svaki vektor) "iz svake točke možemo povući vektor": neka je O E 3 prozvoljna, i neka je dan vektor a. Tada postoji jedinstvena točka A u E 3 takva da je OA = a (dakle OA je reprezentant vekotra a ). a 0, a = 0 a = 0 bitne operacije na vektorima: zbrajanje vektora i množenje vektora skalarom Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 12 / 121
Zbrajanje vektora u E 3 metodom trokuta i metodom paralelograma b a + b b a + b a a Zašto dobivamo iste rezultate različitim metodama?( svojstva paralelograma... ) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 13 / 121
Svojstva zbrajanja vektora 1 ( a, b V 3 ) a + b = b + b (komutativnost) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 14 / 121
Svojstva zbrajanja vektora 1 ( a, b V 3 ) a + b = b + b (komutativnost) 2 ( a, b, c V 3 ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (asocijativnost) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 14 / 121
Svojstva zbrajanja vektora 1 ( a, b V 3 ) a + b = b + b (komutativnost) 2 ( a, b, c V 3 ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (asocijativnost) 3 postoji nul-vektor-neutralni vektor za zbrajanje: ( a V 3 ) a + 0 = a Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 14 / 121
Svojstva zbrajanja vektora 1 ( a, b V 3 ) a + b = b + b (komutativnost) 2 ( a, b, c V 3 ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (asocijativnost) 3 postoji nul-vektor-neutralni vektor za zbrajanje: ( a V 3 ) a + 0 = a 4 Za svaki vektor a V 3 postoji jedinstveni vektor, u oznaci a t.d. je a + ( a ) = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 14 / 121
Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom 1 1 a = a, a V 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom 1 1 a = a, a V 3 2 µ(ν a ) = (µν) a (kvaziasocijativnost) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom 1 1 a = a, a V 3 2 µ(ν a ) = (µν) a (kvaziasocijativnost) 3 λ( a + b ) = λ a + λ b (distributivnost množenja skalarom obzirom na zbrajanje vektora) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
Množenje vektora skalarom Za a V 3 i λ R definiramo novi vektor λ a propisujući mu duljinu, smjer i orijentaciju. λ a = λ a smjer od λ a jednak je smjeru a orijentacija λ a jednaka je orijentaciji a ako je λ > 0 i suprotna ako je λ < 0. Primjetimo da je 0 a = 0, a V 3. Svojstva množenja vektora skalarom 1 1 a = a, a V 3 2 µ(ν a ) = (µν) a (kvaziasocijativnost) 3 λ( a + b ) = λ a + λ b (distributivnost množenja skalarom obzirom na zbrajanje vektora) 4 (λ + µ) a = λ a + µ a (distributivnost množenja skalarom obzirom na zbrajanje skalara) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 15 / 121
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Motivacija Često upotrebljavamo izraze koji nam opisuju likove, plohe ili tijela oko nas govoreći da su jednosimenzionalni, dvodimenzionalni ili trodimenzionalni. Za preciznu matematičku definiciju tih pojmova (čime se nećemo baviti) je prvi korak definirati linearnu zavisnost (odnosno nezavisnost) vektora. Definicija Za skup vektora { a 1, a 2,..., a n } kažemo da je linearno zavisan ako postoje brojevi λ 1, λ 2,..., λ n od kojih je barem jedan različit od nule, takvi da je λ 1 a1 + λ 2 a2 + + λ n an = 0. Primjedba Izraz oblika λ 1 a1 + λ 2 a2 + + λ n an nazivamo linearna kombinacija vektora a 1, a 2,..., a n s koeficijentima λ 1, λ 2,..., λ n Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 16 / 121
što znači da su dva vektora linearno zavisna? Neka su a i b ne-nul vektori. Neka je λ 1 a + λ2 b = 0 i neka je npr. λ1 0. a = λ 2 λ 1 b, dakle oni su proporcionalni, istog smjera te ne razapinju ravninu već pravac. Kažemo još i da su kolinearni. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 17 / 121
što znači da su dva vektora linearno zavisna? Neka su a i b ne-nul vektori. Neka je λ 1 a + λ2 b = 0 i neka je npr. λ1 0. a = λ 2 λ 1 b, dakle oni su proporcionalni, istog smjera te ne razapinju ravninu već pravac. Kažemo još i da su kolinearni. pogledajmo sve linearne kombinacije dva fiksirana, linearno nezavisna vektora a i b. Primjenjujući, recimo, pravilo paralelograma za računanje linearnih kombinacija λ 1 a + λ2 b vidimo da su te linearne kombinacije vektori koji formiraju jednu ravninu, ravninu razapetu vektorima a i b. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 17 / 121
što znači da su dva vektora linearno zavisna? Neka su a i b ne-nul vektori. Neka je λ 1 a + λ2 b = 0 i neka je npr. λ1 0. a = λ 2 λ 1 b, dakle oni su proporcionalni, istog smjera te ne razapinju ravninu već pravac. Kažemo još i da su kolinearni. pogledajmo sve linearne kombinacije dva fiksirana, linearno nezavisna vektora a i b. Primjenjujući, recimo, pravilo paralelograma za računanje linearnih kombinacija λ 1 a + λ2 b vidimo da su te linearne kombinacije vektori koji formiraju jednu ravninu, ravninu razapetu vektorima a i b. Što znači da su tri vektora iz V 3 linearno zavisna? Analogno kao prije, dobivamo da je onda a 1 = λ 2 λ 1 a2 λ 3 λ 1 a2, dakle jedan vektor je onda linearna kombinacija druga dva te se nalazi u ravnini razapetoj tim vektorima. Dakle, 3 linearno zavisna vektora su komplanarna. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 17 / 121
Koordinatizacija z T 0 (x 0, y 0, z 0 ) z 0 k j y 0 y O i x 0 x Vidimo da je, nakon uvo denja koordinatnog sustava, OT 0 = r T0 = x 0 i + y0 j + z0 k. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 18 / 121
Tako možemo točki T 0 pridružiti koordinate vektora OT koordinatizacija T 0 (x 0, y 0, z 0 ) E 3 R 3. Nakon uvo denja koordinata, jednostavno je zapisati rezultat zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom Neka je a = a 1 i + a2 j + a3 k (a1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ). Tada je a + b = (a1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 19 / 121
Tako možemo točki T 0 pridružiti koordinate vektora OT koordinatizacija T 0 (x 0, y 0, z 0 ) E 3 R 3. Nakon uvo denja koordinata, jednostavno je zapisati rezultat zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom Neka je a = a 1 i + a2 j + a3 k (a1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ). Tada je a + b = (a1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). Neka je λ R i a = (a 1, a 2, a 3 ). Tada je λ a = (λa 1, λa 2, λa 3 ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 19 / 121
Tako možemo točki T 0 pridružiti koordinate vektora OT koordinatizacija T 0 (x 0, y 0, z 0 ) E 3 R 3. Nakon uvo denja koordinata, jednostavno je zapisati rezultat zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom Neka je a = a 1 i + a2 j + a3 k (a1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ). Tada je a + b = (a1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). Neka je λ R i a = (a 1, a 2, a 3 ). Tada je λ a = (λa 1, λa 2, λa 3 ). jednostavan kriterij za kolinearnost dva vektora (Kako glasi?) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 19 / 121
Skalarni produkt Motivacija U fizici se često susrećemo s pojmom rada. Znamo da je sila vrši rad djeovanjem na nekom putu. Me dutim, što ako sila i put s nisu paralelni? F Iz iskustva nam je jasno da će učinkovitost u gornjoj situaciji biti to veća što je kut izme du sile F i puta s manji. Pri računanju rada u ovoj situaciji poslužit ćemo se skalarnim produktom. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 20 / 121
Definicija Skalarni produkt je binarna operacija : V 3 V 3 R koja paru vektora pridružuje skalar (broj) na sljedeći način: a b = a b cos( ( a, b )), gdje ( a, b ) označava kut izme du vektora a i b za koji uzimamo da je uvijek u [0, π]. Primjetimo da, za zadane duljine a i b, skalarni produkt je najveći kada su vektori me dusobno paralelni i jednake orijentacije; a jednak je nuli kada su vektori me dusobno okomiti. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 21 / 121
Svojstva skalarnog produkta 1 a a = a a = a 2 0, a a = 0 a = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 22 / 121
Svojstva skalarnog produkta 1 a a = a a = a 2 0, a a = 0 a = 0. 2 λ R (λ a ) b = λ( a b ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 22 / 121
Svojstva skalarnog produkta 1 a a = a a = a 2 0, a a = 0 a = 0. 2 λ R (λ a ) b = λ( a b ). 3 a, b V 3 a b = a b komutativnost Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 22 / 121
Svojstva skalarnog produkta 1 a a = a a = a 2 0, a a = 0 a = 0. 2 λ R (λ a ) b = λ( a b ). 3 a, b V 3 a b = a b komutativnost 4 a, b, c V 3 a ( b + c ) = a b + a c distributivnost Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 22 / 121
Promotrimo skalarne produkte me du elementima koordinatne baze { i, j, k }. Vrijedi: i i = 1, i j = 0, i k = 0, j k = 0, k k = j j = 1. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 23 / 121
Promotrimo skalarne produkte me du elementima koordinatne baze { i, j, k }. Vrijedi: i i = 1, i j = 0, i k = 0, j k = 0, k k = j j = 1. Koristeći svojstva skalarnog produkta dobivamo a b = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ) = a 1 b 1 i i + a1 b 2 i j + a1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a2 b 2 j j + a2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a3 b 2 k j + a3 b 3 k k. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 23 / 121
Promotrimo skalarne produkte me du elementima koordinatne baze { i, j, k }. Vrijedi: i i = 1, i j = 0, i k = 0, j k = 0, k k = j j = 1. Koristeći svojstva skalarnog produkta dobivamo a b = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ) = a 1 b 1 i i + a1 b 2 i j + a1 b 3 i k + a 2 b 1 j i + a2 b 2 j j + a2 b 3 j k + a 3 b 1 k i + a3 b 2 k j + a3 b 3 k k. Dobivamo izraz za skalarni produkt ako su vektori a i b zadani u bazi: za a = (a 1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ) vrijedi a b = a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 23 / 121
Korolar Neka je vektor a zadan u bazi { i, j, k } kao a = (a 1, a 2, a 3 ). Tada je a = a1 2 + a2 2 + a2 3. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 24 / 121
Korolar Neka je vektor a zadan u bazi { i, j, k } kao a = (a 1, a 2, a 3 ). Tada je a = a1 2 + a2 2 + a2 3. Korolar Neka su dva ne-nul vektora zadani u bazi { i, j, k } s a = (a1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ). Tada je kosinus kuta izme du ta dva vektora dan s cos( ( a, b )) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. a1 2 + a2 2 + a2 3 b1 2 + b2 2 + b2 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 24 / 121
Korolar Za dva ne-nul vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ) vrijedi da su okomiti ako i samo ako je a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. Prema prethodnim korolarima, a budući da su koordinatne osi razapete vektorima baze { i, j, k }, slijedi da su kosinusi smjera vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) jednaki Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 25 / 121
Korolar Za dva ne-nul vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) i b = (b 1, b 2, b 3 ) vrijedi da su okomiti ako i samo ako je Definicija a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. Kosinusi smjera su kosinusi kuteva koje vektor zatvara s kooordinatnim osima. Prema prethodnim korolarima, a budući da su koordinatne osi razapete vektorima baze { i, j, k }, slijedi da su kosinusi smjera vektora a = (a 1, a 2, a 3 ) jednaki Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 25 / 121
cos( ( a, i )) = a 1, a1 2 + a2 2 + a2 3 cos( ( a, j )) = cos( ( a, k )) = a 2, a1 2 + a2 2 + a2 3 a 3. a1 2 + a2 2 + a2 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 26 / 121
Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način a b = a b sin( ( a, b )), Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način a b = a b sin( ( a, b )), smjer vektora a b je zadan tako da je on okomit i na a i na b, Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način a b = a b sin( ( a, b )), smjer vektora a b je zadan tako da je on okomit i na a i na b, orijentacija vektora a b je takva da { a, b, a b } čine desnu bazu. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
Vektorski produkt Motivacija Upotreba vektorskog produkta je vrlo česta u fizici-pomoću njega se npr. opisuju elektromagnetska djelovanja Definicija Vektorski produkt je binarna operacija : V 3 V 3 V 3 opisana na sljedeći način: paru ne-nul vektora a i b pridružuje se novi vektor, u oznaci a b, a zadan na sljedeći način a b = a b sin( ( a, b )), smjer vektora a b je zadan tako da je on okomit i na a i na b, orijentacija vektora a b je takva da { a, b, a b } čine desnu bazu. ako je neki od vektora a ili b jednak 0, definiramo da je a b = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 27 / 121
Svojstva vektorskog produkta 1 a a = 0, a V 3, Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 28 / 121
Svojstva vektorskog produkta 1 a a = 0, a V 3, 2 a, b V 3 i λ R vrijedi λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ) (kvaziasocijativnost), Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 28 / 121
Svojstva vektorskog produkta 1 a a = 0, a V 3, 2 a, b V 3 i λ R vrijedi λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ) (kvaziasocijativnost), 3 a ( b + c ) = a b + a c ) (distributivnost), Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 28 / 121
Svojstva vektorskog produkta 1 a a = 0, a V 3, 2 a, b V 3 i λ R vrijedi λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ) (kvaziasocijativnost), 3 a ( b + c ) = a b + a c ) (distributivnost), 4 a b = b a (antikomutativnost). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 28 / 121
Geometrijsko značenje vektorskog produkta Osim česte upotrebe u fizici (sjetimo se samo Maxwellova zakona!) vektorski produkt ima i vrlo izravnu geometrijsku interpretaciju a b b a Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 29 / 121
Znamo da je površina paralelograma jednaka produktu duljina susjednih stranica pomnoženog sinusom kuta izme du njih. U našem slučaju, nekolinearni vektori a i b razapinju paralelogram (kao na slici). Prema tome, njegova površina je upravo a b sin( ( a, b )). Zaključujemo da je vektorski produkt a b vektora a i b jednak vektoru koji je okomit na ravninu koju razapinju ta dva vektora, po iznosu je jednak površini paralelograma kojeg razapinju ta dva vekotora a orijentacija mu je takva da { a, b, a b } čine desnu bazu. Posljedica Vektorski produkt dva ne-nul vektora je nul vektor ako i samo ako su ta dva vektora paralelna (kolinearna, linearno zavisna). Problem Vektorski produkt smo definirali opisno. Ako su nam vektori zadani koordinatno, kako njihov vektorski produkt izračunati pomoću tih koordinata? To napravimo slično računu za analogno situaciju u slučaju skalarnog produkta: koristeći distributivnost i kvazisocijativnost, možemo stvar svesti na računanje vektorskih produkata vektora baze { i, j, k }. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 30 / 121
Koristimo: i i = j j = k k = 0, i j = j i = k, i k = k i = j, j k = k j = i ; te izraze uvrštavmo u kada raspišemo (a 1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ). Dobivamo a b = (a2 b 3 a 3 b 2 ) i (a 1 b 3 a 3 b 1 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k. Sada ćemo napraviti malu digresiju koja će nam omogućiti jednostavniji zapis prethodne formule. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 31 / 121
Determinante drugog i trećeg reda Matrica je pravokutna shema u koju upisujemo neke podatke; za nas će to biti brojevi. Da bi točno označili kamo koji broj pripada, matrične elemente najčešće označavamo s dva indeksa; dakle općeniti oblik m n realne matrice je a 1,1 a 1,2 a 1,3... a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,3... a 2,n............... a m,1 a m,2 a m,3... a m,n. Dakle, na presjeku i tog retka i j tog stupca matrice nalazi se element a i,j. Npr. u matrici [ ] 2 1 3 2 je a 1,1 = 2, a 1,2 = 1, a 2,1 = 3, a 2,2 = 2. Matricu zovemo kvadratna ako je m = n tj. ima jednako mnogo redaka koliko i stupaca. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 32 / 121
Inače kažemo da je matrica tipa m n a ako je kvadratna kažemo da je reda n. Matrice se koriste u raznim granama prirodnih, tehničkih i društvenih znanosti, a mi ćemo ih koristiti kod rješavanja sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Definicija Prvu operaciju nazivamo zbrajanje matrica a drugu množenje matrica skalarom. Primjetimo da zbrajati možemo samo matrice istog tipa. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 33 / 121
Inače kažemo da je matrica tipa m n a ako je kvadratna kažemo da je reda n. Matrice se koriste u raznim granama prirodnih, tehničkih i društvenih znanosti, a mi ćemo ih koristiti kod rješavanja sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Definicija Neka su dane matrice A i B tipa m n. Definiramo A + B kao matricu tipa m n koja na mjestu (i, j) ima A i,j + B i,j (A i,j označavam matrični element matrice A na mjestu (i, j), analogno za B). Prvu operaciju nazivamo zbrajanje matrica a drugu množenje matrica skalarom. Primjetimo da zbrajati možemo samo matrice istog tipa. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 33 / 121
Inače kažemo da je matrica tipa m n a ako je kvadratna kažemo da je reda n. Matrice se koriste u raznim granama prirodnih, tehničkih i društvenih znanosti, a mi ćemo ih koristiti kod rješavanja sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Definicija Neka su dane matrice A i B tipa m n. Definiramo A + B kao matricu tipa m n koja na mjestu (i, j) ima A i,j + B i,j (A i,j označavam matrični element matrice A na mjestu (i, j), analogno za B). Za matricu A tipa m n i λ R, s λa označavamo matricu tipa m n t.d. (λa) i,j = λa i,j. Prvu operaciju nazivamo zbrajanje matrica a drugu množenje matrica skalarom. Primjetimo da zbrajati možemo samo matrice istog tipa. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 33 / 121
Determinanta je broj kojeg se može pridružiti svakoj kvadratnoj matrici, ali mi ćemo se zadržati samo na determinantama 2. i 3. reda (tj. determinantama matrica 2 2 i 3 3). Determinantu matrice A označavamo s deta. Definicija ([ ]) a1,1 a Definiramo det 1,2 = a 2,1 a 2,2 a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 = a 1,1a 2,2 a 1,2 a 2,1. Npr. 3 1 3 2 = 3 3 2 ( 1) 2 = 13 2. 2 π 1 π 1 = π 1 ( 1) ( π) = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 34 / 121
Determinantu trećeg reda defnirati ćemo pomoću tzv.razvoja po prvom retku (ovo je jedna od nekoliko ekvivalentnih definicija): a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 = a 1,1 a 2,2 a 2,3 a 3,2 a 3,3 a 1,2 a 2,1 a 2,3 a 3,1 a 3,3 + a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 3,1 a 3,2. Primjetimo da množimo elemente prvog retka s determinatama drugog reda i to upravo onima koje preostaju kada prekrižimo u originalnoj matrici onaj redak i onaj stupac u kojem se nalazi dani element: dakle a 1,1 množimo s determinatom koju dobijemo kad iz originalne matrice izbacimo 1. redak i 1.stupac, a 1,2 množimo s determinatom koju dobijemo kad iz originalne matrice izbacimo 1. redak i i 2. stupac itd. Primjetimo da se izraz a 2 b 3 a 3 b 2 koji se javlja u izrazu za vektorski produkt može zapisati kao a 2 a 3 b 2 b 3 analogno i za ostale izraze u toj formuli. Dakle, vrijedi a a b = 2 a 3 a b 2 b 3 i 1 a 3 a b 1 b 3 j + 1 a 2 b 1 b 2 k. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 35 / 121
Primjetimo da izraz s desne strane možemo interpretirati, čisto formalno, kao determinatu trećeg reda koju smo razvili po prvom retku (jasno ovo je samo formalna analogija jer su za nas elementi i j k determinate brojevi a ne vektori!) a 1 a 2 a 3. Zbog toga zapisujemo b 1 b 2 b 3 i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b. 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 36 / 121
Primjer Izračunajte a b ako je a = (1, 2, 3) i b = (3, 4, 5). Kolika je površina paralelograma kojeg razapinju ova dva vektora? Vrijedi i j k a b = 1 2 3 3 4 5 = 2 i + 4 j 2 k. Prema geometrijskoj interpretaciji vektorskog produkta, vrijedi da je tražena površina jednaka 2 i + 4 j 2 k = 4 + 16 + 4 = 2 6. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 37 / 121
Mješoviti produkt Definicija Za tri vektora a, b, c definiramo njihov mješoviti produkt, u oznaci ( a, b, c ), kao ( a b ) c. Iz definicije nam je očit i naziv. Odredimo sada formulu za mješoviti produkt ukoliko su vektori a, b, c dani svojim prikazima u bazi. Vrijedi Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 38 / 121
Mješoviti produkt Definicija Za tri vektora a, b, c definiramo njihov mješoviti produkt, u oznaci ( a, b, c ), kao ( a b ) c. Iz definicije nam je očit i naziv. Odredimo sada formulu za mješoviti produkt ukoliko su vektori a, b, c dani svojim prikazima u bazi. Vrijedi Teorem Za vektore a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ) vrijedi ( a, b, a 1 a 2 a 3 c ) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 38 / 121
Dokaz. Znamo da vrijedi i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 te ako to opet raspišemo po komponentama, te skalarno pomnožimo s vektorom c = (c 1, c 2, c 3 ) te dobivamo (a 2 b 3 a 3 b 2 )c 1 (a 1 b 3 a 3 b 1 )c 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 )c 3, što je upravo c 1 c 2 c 3 raspis determinante a 1 a 2 a 3 po prvom retku. b 1 b 2 b 3 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 39 / 121
Da bi dovršili dokaz, trebamo još pokazati da zamjenom redaka u ovoj determinanti dobivamo traženu determinantu a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3. Za to će nam trebati općenita svojstva determinanti Teorem Determinata trećeg reda zamjenom dva retka mijenja predznak, tj. a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3, analogno i kad zamijenimo 1. i 3. ili 2. i 3. redak. Množenjem jednog retka determinante sa skalarom, čitava determinata se množi tim skalarom, tj. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 40 / 121
λa 1 λa 2 λa 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = λ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3, analogno i za 2. i 3. redak. Determinanta je tako der aditivna po retcima, naime vrijedi: a 1 + a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 + a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3, analogno bi vrijedilo i za aditivnost po drugom, odnosno trećem retku. To nam daje sljedeću posljedicu za mješoviti produkt. Korolar Za proizvoljne vektore a, b, c V 3 vrijedi ( a, b, c ) = ( b, c, a ) = ( c, a, b ) = ( a, c, b ) = ( b, a, c ) = ( c, b, a ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 41 / 121
Geometrijsko značenje mješovitog produkta Promotrimo paralelepiped razapet vektorima a, b, c : to znači da na tim vektorima leže bridovi koji izlaze iz jednog vrha parelelepipeda a b c b v a Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 42 / 121
Problem: izračunati volmen gornjeg paralelepipeda. Znamo da je, općenito, volumen prizme jednak produktu (površine) neke baze i visine na tu bazu. Recimo da nam je baza paralelogram razapet vektorima a i b. Visina na tu bazu je okomica v koju spuštamo na nju iz kraja vektora c. Primjetimo da je v paralelna s a b. Duljina v, je prema slici jednaka umnošku c i kosinusa kuta izme du v i c, dakle izme du c i a b. Dakle, sve zajedno imamo da je površina baze jednaka a b a v jednak c cos ( c, a b ). Dakle, volumen je jednak a b c cos ( c, a b ). U ovom izrazu prepoznajemo ( a b ) c = ( a, b, c ). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 43 / 121
Korolar Volumen paralelepipeda razapetog vektorima a, b, c jednak je ( a, b, c ). Primjetimo da gornja situacija degenerira ako u stvari ta tri vektora ne razapinju paralelepiped, tj. ako su komplanarni ( -volumen tog paralelepipeda je 0). To nam daje sljedeći Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 44 / 121
Korolar Volumen paralelepipeda razapetog vektorima a, b, c jednak je ( a, b, c ). Primjetimo da gornja situacija degenerira ako u stvari ta tri vektora ne razapinju paralelepiped, tj. ako su komplanarni ( -volumen tog paralelepipeda je 0). To nam daje sljedeći Korolar Neka su dani vektori a = (a1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), c = (c 1, c 2, c 3 ). Tada su oni komplanarni ako i samo ako je ( a, b, c ) = 0. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 44 / 121
Primjer Na dite volumen paralelepipeda kojemu je jedan vrh u točki (0, 1, 0) a bridovi koji izlaze iz tog vrha završavaju u vrhovima (1, 2, 1), (3, 2, 2) i (2, 1, 4). Iz ovih podataka nalazimo da su vektori koji izlaze iz toga vrha dani s (1, 1, 1), (3, 1, 2) i (2, 0, 4). Računamo 1 1 1 3 1 2 = 1 4 1 (12 4) + 1 ( 2) = 4 8 2 = 6, 2 0 4 te je volmen paralelpipeda jednak 6. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 45 / 121
Sustavi linearnih jednadžbi Jednadžba u jednoj nepoznanici x je linearna ako je oblika ax + b = c, za neke realne brojeve a, b, c. Analogno, jednadžba u n nepoznanica x 1, x 2,..., x n je linearna ako je oblika a 1 x 1 + a n x n = b, za neke realne brojeve a 1, a 2,..., a n, b. Često se u praksi (u primjenama znanosti i tehnici) javljaju sustavi takvih jednadžbi. Konstante koje se javljaju u sustavu opećenito indeksiramo dvama indeksima, tako da je opći oblik sustava od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica sljedeći a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,n x n = b 1 (1) a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,n x n = b 2. a m,1 x 1 + a m,2 x 2 + + a m,n x n = b m. Konstante a i,j se nazivaju koeficijenti sistema, a konstante b 1,..., b m slobodni koeficijenti. Primjetimo da koeficijent a i,j stoji u i-toj jednadžbi uz nepoznanicu x j. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 46 / 121
Definicija Rješenje gornjeg sustava jednadžbi je svaka ure dena n torka brojeva (x1 0, x 2 0,..., x n 0 ) uz koju, nakon uvrštavanja, x i = xi 0 gornje jednadžbe postaju jednakosti. Primjer Uočimo da je (1, 2) rješenje sustava 2x 1 + x 2 = 4 6x 1 + 3x 2 = 12. Uočimo da je i (0, 4) tako der rješenje tog sustava. Pogledajmo sada nekoliko jednostavnih primjera u kojima se javljaju sustavi (sistemi) linearnih jednadžbi. Primjer 1 Stočna hrana sadrži 3 komponente: kukuruz, soju i zob.u njima se bjelančevine, masti i vlakna javljaju u sljedećim omjerima: Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 47 / 121
žitarica bjelanč. masti vlakna kukuruz 25% 40% 30% soja 40% 20% 20% zob 30% 30% 10% Želimo sastaviti stočnu hranu sastavljenu od kukuruza, soje i zobi koja treba sadržavati 2200 g proteina, 2800 g masti i 1800 g vlakana. Koliko treba uzeti svake žitarice? Neka kukuruza uzimamo x 1 (grama), soje x 2 a zobi x 3. Tada uvjeti na bjelančevine, masti i vlakna daju 3 jednadžbe: 25 100 x 1 + 40 100 x 2 + 30 100 x 3 = 2200 40 100 x 1 + 20 100 x 2 + 30 100 x 3 = 2800 30 100 x 1 + 20 100 x 2 + 10 100 x 3 = 1800 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 48 / 121
Kada sredimo gornje izraze i riješimo se nazivnika, dobivamo sustav 5x 1 + 8x 2 + 4x 3 = 44000 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2800 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 18000. Zatim prvu jednadžbu pomnožimo s 4 i od toga oduzmemo drugu pomnoženu s 5; zatim prvu pomnožimo s 3 i od nje oduzmemo treću pomnoženu s 5, dobivamo 5x 1 + 8x 2 + 4x 3 = 44000 2x 2 + x 3 = 6000 20x 2 = 3000. Sada iz zadnje jednadžbe izračunamo x 2 = 1500, to uvrstimo u predzadnju i dobivamo x 3 = 3000 te onda iz prve dobivamo x 1 = 4000. Kasnije ćemo sustavno uopćiti ovaj način rješavanja jednadžbi. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 49 / 121
Primjer 2 Na dite sjecište sljedećih pravaca (u ravnini) zadanih implicitno: 3x 4y = 1 3x 4y = 4. Primjetimo, točka (x, y) je na pravcu ako njezine kooordinate zadovoljavaju jednadžbu tog pravca. Stoga je točka (x, y) na presjeku tih pravaca ako je (x, y) rješenje ovog sistema jednadžbi. Me dutim, oduzimajući te dvije jednadžbe (znamo da se oduzimenjem dvije jednadžbe skup rješenja ne mijenja) dobivamo 0 = 3, što je nemoguće. Dakle, ova dva pravca nemaju presjek (odmah je bilo jasno da su paralelni). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 50 / 121
Primjer 3 Promotrimo raskrižje na kojemu postoje mjerači prometa. Treba odrediti koliko automobila pro de cestama izme du pojedininh čvorova, ako imamo podatke za svaki pojedini čvor (koliko automobila ulazi odnosno izlazi iz njega). Sve su ceste jednosmjerne. 300 900 x 1 700 200 x 4 x 2 200 400 x 3 400 300 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 51 / 121
Prema gornjoj slici možemo postaviti sustav x 1 + +x 4 = 1000 x 1 +x 2 = 1100 x 2 +x 3 = 700 x 3 +x 4 = 600 Sada oduzmemo prvu od druge jednadžbe, i rezultat napišemo umjesto druge jednadžbe (ostavimo prvu kakva jest). Onda oduzmemo drugu od treće jednadžbe, i upišemo rezultat umjesto treće jednadžbe, a drugu ostavimo kakva jest. Dobivamo x 1 + x 4 = 1000 x 2 x 4 = 100 x 3 +x 4 = 600 x 3 +x 4 = 600 Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 52 / 121
Budući da su zadnje dvije jednadžbe jednake, jednu možemo izbrisati i onda početi rješavati od treće prema prvoj. Vidimo da je, ako uzmemo da je x 4 = t proizvoljan, x 3 je moguće izraziti kao x 3 = 600 t, x 2 = 100 + t, x 1 = 1000 t. Uobičajeno je, ako sustav nije vezan uz neki konkretna problem, gledati sva realna rješenja sustava, tj. sve moguće četvorke (1000 t, 100 + t, 600 t, t) gdje t R. Me dutim, budući da je riječ nužno nenegativnim cijelim brojevima (broj automobila), moramo uzeti t Z 0, 0 t 600. Primjetimo da smo u svim primjerima dovodili sustav u jednostavniji oblik pokraćivanjem nekih nepoznanica iz nekih jednadžbi pomoću množenja neke jednadžbe skalarom (brojem) i dodavanja drugoj jednadžbi. Tu metodu ćemo detaljno proučiti. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 53 / 121
Gaussova metoda eliminacije Primjetimo da se skup svih rješenja sustava (1) ne mijenja ako u primjenimo na njega jednu od sljedećih tzv elementarnih transformacija 1 Množenje retka sustava (tj. neke jednadžbe sustava) nekim realnim brojem različitim od nule Ideja Gausoove metode eliminacije je, korištenjem elementarnih transformacija, svesti sustav (1) na tzv. gornjetrokutasti sustav, koji je oblika (navedimo za sada točnu definiciju u situaciji tzv. kvadratnog sustava, tj. kada je m = n; općeniti slučaj je vrlo sličan) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 54 / 121
Gaussova metoda eliminacije Primjetimo da se skup svih rješenja sustava (1) ne mijenja ako u primjenimo na njega jednu od sljedećih tzv elementarnih transformacija 1 Množenje retka sustava (tj. neke jednadžbe sustava) nekim realnim brojem različitim od nule 2 Zamijena redaka matrice (tj. jednadžbi u sustavu) Ideja Gausoove metode eliminacije je, korištenjem elementarnih transformacija, svesti sustav (1) na tzv. gornjetrokutasti sustav, koji je oblika (navedimo za sada točnu definiciju u situaciji tzv. kvadratnog sustava, tj. kada je m = n; općeniti slučaj je vrlo sličan) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 54 / 121
Gaussova metoda eliminacije Primjetimo da se skup svih rješenja sustava (1) ne mijenja ako u primjenimo na njega jednu od sljedećih tzv elementarnih transformacija 1 Množenje retka sustava (tj. neke jednadžbe sustava) nekim realnim brojem različitim od nule 2 Zamijena redaka matrice (tj. jednadžbi u sustavu) 3 Zbrajanje (oduzimanje) redaka sustava Ideja Gausoove metode eliminacije je, korištenjem elementarnih transformacija, svesti sustav (1) na tzv. gornjetrokutasti sustav, koji je oblika (navedimo za sada točnu definiciju u situaciji tzv. kvadratnog sustava, tj. kada je m = n; općeniti slučaj je vrlo sličan) Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 54 / 121
a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2+ + a 1,m x m = b 1 a 2,2 x 2+ + a 2,n x m = b 2 (2). a m,mx n = b m. Dakle, u i tom retku vrijedi a i,1 = a i,2 =... = a i,i 1 = 0. Općenito, sustavu (1) pridružujemo tzv. matricu sustava a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n... a m,1 a m,2 a m,n Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 55 / 121
i tzv. proširenu matricu sustava a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n b 2..... (3) a m,1 a m,2 a m,n b m Očigledno su sve releventne informacije o sustavu sadržane u proširenoj matrici sustava te elementarne transformacije na jednadžbama sustava odgovaraju elementarnim transformacijama nad retcima proširene matrice sustava. Stoga, radi kratkoće, u Gaussovoj metodi eliminacije radimo s matricama, a ne s čitavim jednadžbama. Vidimo da svo denjem na gornjetrokutasti oblik eliminiramo nepoznanice iz jednadžbi, tako da u zadnjoj jednažbi ostane najmanje nepoznanica. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 56 / 121
Postupak Pretpostavimo da imamo proširenu matricu sustava (3). 1 Prona dimo redak i t.d je a i,1 0 (npr. mozda imamo a 1,1 0). Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 57 / 121
Postupak Pretpostavimo da imamo proširenu matricu sustava (3). 1 Prona dimo redak i t.d je a i,1 0 (npr. mozda imamo a 1,1 0). 2 Eventualno zamijenimo prvi i i ti redak Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 2 57 / 121