Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου ορισμού της; 4. Διατύπωση θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών. 5. Πότε μία συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο o του πεδίου ορισμού της; 6. Διατύπωση του θεωρήματος Roll και γεωμετρική ερμηνεία. 7. Διατύπωση θεωρήματος μέση τιμής του διαφορικού λογισμού και γεωμετρικής ερμηνείας. 8. Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ; 9. Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος : β d () για μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο [α,β].. Έστω συνεχής στο [α,β], (α) β και n ένας αριθμός ανάμεσα στα (α) και β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει α,β θεώρημα. o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ τέτοιο ώστε : o ( ) α n. Να αποδειχθεί το παραπάνω ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο 3 Δίνεται η συνάρτηση () 3. Να βρείτε τις εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της, οι οποίες : α) είναι κάθετες στην ευθεία : (η) y 7 β) είναι παράλληλες στην ευθεία : (ζ) y 6 γ) διέρχονται από το σημείο Α(3,7) ΘΕΜΑ ο Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll για την συνάρτηση στο [,] όταν α) β) 3 συν,, αν
ΘΕΜΑ 3 ο :R Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ R, η C διέρχεται από το O, (,) και στο σημείο επίσης ισχύει α) Να δειχθεί ότι για κάθε. 4 β) Να συγκριθούν οι, (4).. A(, )έχετε εφαπτομένη οριζόντια, γ) Αν συνεχής συνάρτηση και γνησίως φθίνουσα στο R να δειχθεί ότι : g g(())d g
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις g() ln και h() α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης g h () β) Αν () ln τότε να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την δ) Να υπολογίσετε τα όρια l lim () και l lim () ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. στ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ζ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την την ευθεία () ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ C α) g() ln Dg,, h() Dh Dgh D D h/h() Dg,, / D /,, με τύπο () gh() ln () () () β) () ln, () () ()() Άρα () ()() δεν έχει ακρότατα ως γνησίως μονότονη συνάρτηση στο ανοικτό διάστημα (-,). τους άξονες χ χ, ψ ψ και για κάθε, για κάθε (,) Επομένως για κάθε (,) Επίσης η γ) Επειδή η γνησίως αύξουσα είναι και -.Άρα η αντιστρέφεται. ψ ψ ψ () ln τότε ψ ln ψ ψ ψ ψ ( ) οπου για κάθε ψ ψ Άρα () για κάθε δ) l lim() limln διότι αν θέσουμε u τότε lim lim u και lim ln u u l lim () lim lim διότι lim 3
() ln για κάθε, με lim () από το (δ). ε) Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Άρα (A) lim (), lim () Επίσης lim () lim ln διότι αν θέσουμε u τότε lim lim u αρα lim ln u u όπου Επομένως (A), στ) Επειδή D (A) η συνάρτηση () δεν θα έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Θα αναζητήσουμε ασύμπτωτες στο και στο lim () από το (δ).επίσης lim () lim lim DLH Άρα στο η έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ψ ενώ στο η έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ψ ζ) για κάθε, Τότε και για κάθε () () () αρα () () άρα ισχύει: Επομένως () d ()d ()d d d ( )d d d ( ) ln ln( ) ln( ) ln ln( ) ln ln( ) ln ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει : αν () και () () αν i. Να βρείτε τον τύπο της για κάθε ii. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο σημείο iii. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία,τα ακρότατα και τα κοίλα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. iv. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του a v. Να δείξετε ότι () () () για κάθε vi. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I(λ) () d για λ, λ και να εξηγήσετε τι παριστάνει γεωμετρικά. vii. Να δείξετε ότι αβ α β α β αβ για κάθε α,β με αβ a 4
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ () () i) Για () () () () () () ln ln c για () lncc Άρα () ln για (, ) ln ii) lim () lim ln lim lim lim ( ) Άρα ισχύει lim () () DLH οπότε η είναι συνεχείς στο iii) () ln ln για κάθε χ () lnln Για η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το ln + () για κάθε. Άρα η κυρτή. Επίσης η δεν παρουσιάζει σημείο καμπής O.E. Αν Α, (Α ),(), Αν Α, (Α ),lim(), όπου lim () lim ln Άρα σύνολο τιμών (Α), a a a iv) ln ln ln ln a () a ) Αν a τότε a(α ) και α (Α ) Άρα η εξίσωση () a είναι αδύνατη ) Αν a τότε a (Α ) και η εξίσωση () a έχει ακριβώς μια λύση 3) Αν a τότε a (Α ) και a (Α ) Άρα () a έχει ακριβώς δυο λύσεις a 4) Αν a τότε a(α ) Αρα η () a έχει ακριβώς μία λύση v) Για την συνάρτηση στο διάστημα, πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ, ώστε Άρα Τότε για () () (ξ) () () Επίσης η ξ () (ξ) () ( ) () για κάθε χ> 5
vi) Ισχύει: Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ λ () () Αρα () () 6 Επομένως λ λ λ λ λ I(λ) ()d ()d ln d ln d ln d λ λ λ λ λ λ ln λ ln λ lnλ 4 4 4 4 4 Το Ι(λ) παριστάνει γεωμετρικά το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της, τον χ χ και τις ευθείες και λ vii) Η κυρτή στο, Αρα η στο, Για τη συνάρτηση στα διαστήματα αβ αβ α, και,β εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ Άρα αβ αβ υπάρχουν ξ, ξ με ξα, και ξ,β ώστε αβ αβ (α) (α) (ξ ) αβ βα α και αβ αβ (β) (β) (ξ ) αβ βα β Τότε αβ αβ (α) (β) βα ξ ξ (ξ ) (ξ ) βα βα αβ αβ αβ (α) (β) (α) (β) αβ αβ αβ αβ α β ln α ln α βln β ln ln α ln β αβ αβ α β ln α β αβ α β ln ln αβ αβ ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει : () και () () () για κάθε χ i) Να βρείτε τον τύπο της. ii) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C. iv) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. v) Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. vi) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ, τέτοια ώστε (ξ ) (ξ ) 3
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ vii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C τον άξονα χ χ και τις ευθείες χ= και χ= viii) Να υπολογίσετε το όριο lim (t)dt i) Να δείξετε ότι 3 () για κάθε 3 ln () ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ i) () () () () () () () () () () c για () c c Για χ= () c c Αρα () για κάθε ii) () ( ) Ισχύει: () Για η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το ( ) + O.E. iii) Επειδή η είναι συνεχής και ορισμένη σε όλο το δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες.θα αναζητήσουμε ασύμπτωτες στο και στο () lim lim lim Επομένως η δεν έχει ασύμπτωτη στο () lim lim lim λ και lim () λ lim () lim lim lim Αρα ψ οριζόντια ασύμπτωτη στο DLH iv) Για Α, (Α ) ( ), lim (), Για Α, (Α ) ( ), lim (), Επομένως σύνολο τιμών της είναι το (Α), v) () και () ( ) 7
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ () Άρα η συνάρτηση είναι κοίλη για κάθε και κυρτή για κάθε Ισχύει : ( ) και το σημείο Σ, είναι το μοναδικό σημείο καμπής. + Σ.K. vi) Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Άρα για την στα διαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ Τότε () () ξ, ώστε (ξ ) () () () () ξ, ώστε (ξ ) () () (ξ ) (ξ ) () () 3 vii) () () () Αρα () d ()d d d d, και, viii) Επειδή το αρα και Έστω t < Τότε ισχύει: t () (t) () () (t) () ( )dt (t)dt ()dt όπου Άρα ()dt () dt() () u u u lim ( )dt lim ( ) lim (u) lim ()dt lim () lim () Άρα από κριτήριο παρεμβολής : lim (t)dt i) Για την στα διαστήματα,,, 3 3 εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ Τότε () ( ) () ( ) η 3 3, ώστε (η ) 3 3 3 8
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ( ) () () ( ) Επειδή η 3 3 η (η η ) (η ) 3 3 ( ) () ( ) 3 3 ( ) () ( ) 3( ) () 3 3 3 3 3 ) ln() ln() ln() () για Α, το (Α ),) όπου το (Α ) Άρα η εξίσωση () δεν έχει λύση. για Α, το (Α ), όπου το (Α ) Άρα η εξίσωση () έχει μοναδική λύση στο διάστημα Α 9
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ Α Α : Εστω η συνάρτηση ορισμένη σε ενα διάστημα Δ και χ ενα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο χ και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό να αποδείξετε οτι ( ) Α : Εστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ενα διάστημα Δ.Ποιά σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της ; Α 3 : Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο. Πότε η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο ; Α 4 : Να χαρακτηρίσετε με Σωστό Λάθος τις προτάσεις που ακολουθούν : (Μονάδες 7) (Μονάδες 4) (Μονάδες 4) α) Αν c σταθερός αριθμός τότε ισχύει cd c( ) β) Αν lim ( ) ό lim ( ) γ) Ισχύει lim δ) Ισχύει. a a ( ) a ε) Αν υπάρχει το οριο lim ( ) l τότε η συνάρτηση ειναι συνεχής στο σημείο χ (Μονάδες 5=) ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 4 3 g( ) Β : Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες 4) Β : Να βρείτε το σύνολο τιμών της καθώς και το πλήθος των ριζών της. (Μονάδες 6) Β 3 : Να δείξετε οτι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την Β 4 : Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση g δεν είναι αντιστρέψιμη. (Μονάδες 4) Β 5 : Να ορίσετε τη συνάρτηση g. (Μονάδες 6)
ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ : Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και να βρείτε την παράγωγό της. Γ : Να βρείτε : της C με την ευθεία, ι) Τα κοινά σημεία, ( ), ( ιι) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων (ε Α ) και (ε Β ) στα σημεία της a a, a, a αντιστοίχως και να (Μονάδες 7) (Μονάδες 4) αποδείξετε οτι είναι κάθετες μεταξύ τους για κάθε α> (Μονάδες 7) Γ 3 : Εστω Μ και Ν τα σημεία τομής της ευθείας (ε Β ) με τους άξονες χ χ και ψ ψ αντιστοίχως. Να αποδείξετε οτι, όταν το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ γίνεται μέγιστο,η ευθεία (ε Α ) διέρχεται απο την αρχή των αξόνων O (,) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : με (), η οποία ικανοποιεί τη σχέση ( ) 4 ( ) 3 6 ά Δ : Να αποδείξετε ότι ( ) 8 4 Δ : Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. Δ 3 : Να αποδείξετε ότι 4 ( ) 3 ( ) (5 ) ά, 4 Δ 4 : Να αποδείξεται ότι η dt () t ln 8 ln t Δ 5 : Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () t 4 dt 3 ( ) (5 ) 4 ( ) ln4 t ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ Α Α : Εστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ενα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ τότε να αποδείξετε ότι : όλες οι συναρτήσεις της μορφής G ( ) F ( ) cc είναι παράγουσες της στο Δ. κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G ( ) F ( ) cc (Μονάδες 7) Α : Πότε η ευθεία l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο ; (Μονάδες 4) Α 3 : Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ενα κλειστό διάστημα, ; (Μονάδες 4) Α 4 : Να χαρακτηρίσετε με Σωστό Λάθος τις προτάσεις που ακολουθούν. α) Αν η συνάρτηση συνεχή στο διάστημα, και για κάθε ( ) d, ύ ( ) τότε β) Αν η παραγωγίσημη συνάρτηση στο κλειστό, παρουσιάζει μέγιστο στο τότε ισχύει () γ) Ισχύει lim δ) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο χ και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο χ τότε και η σύνθεσή τους g είναι συνεχής στο χ. ε) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο, τότε το σύνολο τιμών της είναι το ( a), ( ) ή ( ), ( a) ΘΕΜΑ Β (Μονάδες ) Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία ικανοποιεί τη σχέση :, ά Β : Να αποδείξετε ότι ( ) ln με, Β : Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β 3 : Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C C έχουν ενα κοινό σημείο,το οποίο και να προσδιορίσετε. Β 4 : Να υπολογίσετε το Β 5 : Να λύσετε την ανίσωση και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 3) ( )
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑ Γ Γ : Έστω η συνάρτηση ln ( ), α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία,τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης, για τις διάφορες τιμές του κ> (Μονάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι ln ( ) d (Μονάδες 6) τέτοια ώστε να ισχύει : δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, ΘΕΜΑ Δ ( ) ln ( ) ln (Μονάδες 6) δύο φορές παραγωγίσιμη στο με () () Δίνεται η συνάρτηση : η οποία ικανοποιεί τη σχέση : ( ) ( ) ( ) ( ) για κάθε Δ : Να αποδείξετε ότι : ( ) ln Δ : Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Δ 3 : Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της εχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Δ 4 : Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln Δ 5 : Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα, ( ) d (Μονάδες 6) (Μονάδες 4) 3