MATEMATIKA 1 Prvi pismeni kolokvijum, 30.11.2013 Grupa 6 Rexea zadataka i rezultati Prof Dragan ori
Zadaci i rexea 1. Neka je A = {(a, b) : a, b Q, a 0} i neka je operacija definisana sa (a, b) (x, y) = ( ax, x bx + y) za sve (a, b), (x, y) A. Ispitati da li je (A, ) grupa. Da li je data operacija komutativna? Rexee: 1. Operacija je zatvorena u skupu A jer iz a, b, x, y Q sledi ax, x bx + y Q, a iz a 0 i x 0 sledi da je ax 0. 2. Operacija je asocijativna jer je i ((a, b) (x, y)) (u, v) = ( ax, x bx + y) (u, v) = (axu, u xu + bxu yu + v) (a, b) ((x, y) (u, v)) = (a, b) ( xu, u yu + v) = (axu, xu + bxu + u yu + v). 3. Iz jednakosti (a, b) (e 1, e 2 ) = (a, b), odnosno ( ae 1, e 1 be 1 + e 2 ) = (a, b), dobijamo da je e 1 = 1 i e 2 = 1. Kako je ( 1, 1) (a, b) = (a, a a + b) = (a, b) i ( 1, 1) A, to je ( 1, 1) neutralni element u odnosu na operaciju. 4. Obzirom da je a 0 za svako (a, b) A, iz jednakosti (a, b) (u, v) = ( 1, 1), odnosno ( au, u bu + v) = ( 1, 1) imamo da je u = 1 a i v = 1 1 a + b i (u, v) A. Kako je jox i a ( 1 a, 1 1 a + b ) (a, b) = ( 1, 1), a svaki element (a, b) skupa A ima svoj inverzni element. Na osnovu (1)-(4) sledi da je struktura (A, ) grupa. Meutim, iz jednakosti (1, 0) (1, 1) = ( 1, 2), (1, 1) (1, 0) = ( 1, 1) sledi da nije komutativna operacija, pa struktura (A, ) nije Abelova grupa. 2. Odrediti sopstvene vrednosti i ima odgovarajue sopstvene vektore matrice Kako je A = 3 2 4 2 0 2. 4 2 3 Rexee: 3 λ 2 4 A λe = 2 λ 2 4 2 3 λ = λ3 + 6λ 2 + 15λ + 8 = (λ 8)(λ + 1) 2, sopstvene vrednosti matrice A su λ 1 = 8 i λ 2 = λ 3 = 1. Za λ = λ 1 iz jednaqine Av = 8v, gde je v = sistemu x y z 5x + 2y + 4z = 0, x 4y + z = 0., dobijamo sistem koji je ekvivalentan
Ovaj sistem ima jednoparametarski skup rexea, a odgovarajui sopstveni vektori su oblika v(t) = 2t t = 2 1 2t 2 t, t R \ {0}. Za λ = 1 iz jednaqine Av = v dobijamo sistem koji je ekvivalentan jednaqini 2x + y + 2z = 0. Skup rexea ove jednaqine je dvoparametarski, a odgovarajui sopstveni vektori su oblika x v(x, z) = 2x 2z z 1 = 2 x + 0 2 z, (x, z) R 2 \ {(0, 0)}. 0 1 3. U zavisnosti od vrednosti realnog parametra m diskutovati i rexiti sistem x + 7y mz = 1 2x my + z = m 2x + 25y + (1 4m)z = 1. Rexee: Neka je D determinanta matrice datog sistema. Kako je D = (2m 1)(m 3), postoje tri sluqaja. (1) Za m {1/2, 3} sistem ima jedinstveno rexee gde je (x, y, z) = ( Dx D, D y D, D ) z, D 1 7 m D x = m m 1 1 25 1 4m = 6(m 3), D 1 1 m y = 2 m 1 = (2m 1)(m 3), 2 1 1 4m Dakle, u ovom sluqaju je (x, y, z) = 1 7 1 D z = 2 m m = 12(m 3). 2 25 1 ( ) 6 1 2m, 1, 12. 1 2m (2) Za a = 1/2 dati sistem nema rexea jer je D = 0 i D x = 15 0. (3) Za a = 3 dati sistem ekvivalentan je sistemu x + 7y 3z = 1 11y 5z = 1 koji ima jednoparametarski skup rexea. Ako je z slobodna promen iva, tada je x = (2z + 18/11 i y = (5z + 1)/11. Dakle, u ovom sluqaju, {( (x, y, z) 2 11 α 18 11, 5 11 α + 1 ) } 11, α, α R.
4. Dati su vektori e 1 = (4, 1, 2, 10), e 2 = (1, a 2, 0, 2), e 3 = ( 2, 2, 4, a 8), e 4 = (1, 1, 2, 3) u vektorskom prostoru V = (R 4, R, +, ), gde je a R. a) Odrediti vrednosti parametra a za koje su dati vektori linearno nezavisni. b) Za a = 1 ispitati da li dati vektori qine bazu vektorskog prostora V. Ukoliko qine bazu, odrediti koordinate vektora v = (1, 0, 1, 0) u toj bazi, a u suprotnom izraziti vektor e 1 kao linearnu kombinaciju vektora e 2, e 3 i e 4. Rexee: a) Dati vektori su linearno nezavisni ako iz jednakosti αe 1 + βe 2 + γe 3 + δe 4 = 0 sledi da je α = β = γ = δ = 0. Iz navedene jednakosti dobijamo homogen sistem 4α + β 2γ + δ = 0 α + (a 2)β 2γ + δ = 0 2α 4γ + 2δ = 0 10α + 2β + (a 8)γ + 3δ = 0 koji ima trivijalno rexee ako i samo ako je determinanta D ovog sistema razliqita od nule. Kako je 4 1 2 1 D = 1 a 2 2 1 2 0 4 2 = 10a 2 + 40a 40 = 10(a 2) 2, 10 2 a 8 3 dati vektori su linearno nezavisni za a 2. b) Za a = 1 iz a) sledi da su dati vektori linearno nezavisni. Kako je dim(v ) = 4, dati vektori qine bazu prostora V. Iz jednakosti (1, 0, 1, 0) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 imamo sistem AX = V, gde je A matrica homogenog sistema iz a), X = x 1 x 2 x 3 x 4 i V = vt. Rexavaem ovog sistema (na primer, Kramerovim pravilom) dobijamo x 1 = 1 3, x 2 = 1 6, x 3 = 5 6 i x 3 = 3. Prema tome, 2 v = 1 3 e 1 1 6 e 2 + 5 6 e 3 + 3 2 e 4.
Р Е З У Л Т А ТИ Презиме Име Бр. Инд. 1.zad 2.zad 3.zad 4.zad I kol Миловановић Јован 50/13 5 5 5 4 19 Тадић Давид 48/13 4 4 5 5 18 Чубрић Игор 190/13 4 5 5 3 17 Никчевић Марија 10/13 5 5 5 1 16 Петковић Милица 536/13 5 2 5 4 16 Стошић Нина 176/13 5 4 5 2 16 Тешић Катарина 858/11 4 5 3 4 16 Остојић Никола 571/13 5 5 3 2 15 Михаиловић Антоније 58/13 5 5 3 0 13 Павловић Драгана 119/13 5 5 0 3 13 Ракић Иван 183/13 5 2 5 1 13 Црномарковић Ема 75/13 4 0 5 4 13 Матовић Дејана 78/13 5 1 5 1 12 Мешић Теодора 511/13 4 2 5 1 12 Мијовић Настасија 662/13 5 1 3 3 12 Милосављевић Душан 816/12 4 5 3 0 12 Стаменић Тамара 180/13 3 5 0 4 12 Стефановић Алекса 131/13 4 2 3 3 12 Сукновић Милена 164/13 3 3 4 2 12 Никић Жељко 609/13 5 1 3 2 11 Стевановић Марина 171/13 3 2 4 2 11 Степић Душица 40/13 5 5 0 1 11 Тиодоровић Матија 661/13 1 3 3 4 11 Павловић Алекса 221/13 4 0 5 1 10 Пећанац Леона 233/13 4 0 5 1 10 Ракита Јована 353/13 4 1 4 1 10 Рамљак Стефан 592/13 0 4 5 1 10 Свичевић Јована 35/13 5 3 1 1 10 Милојковић Алекса 249/13 1 2 5 1 9 Петковић Јована 687/13 5 2 1 1 9 Петровић Ивана 534/13 0 5 1 3 9 Путниковић Марко 121/13 2 5 1 1 9 Томић Никола 747/13 3 1 3 2 9 Турковић Ирена 574/13 4 1 3 1 9 Џаковић Јована 627/13 5 1 0 3 9 Цвијановић Стефан 190/09 0 5 4 0 9 Матејић Нина 238/13 0 5 1 2 8 Моравчић Кристина 502/13 5 1 0 2 8 Нешковић Александра 391/13 4 0 2 2 8 Перовић Тијана 67/13 4 1 0 3 8 Протулипац Тијана 588/13 5 1 2 0 8 Рајевац Наташа 157/13 1 3 3 1 8 Рајић Тања 615/13 2 1 3 2 8 Савов Урош 251/13 0 4 3 1 8 Спасић Невена 692/11 5 0 3 0 8 Стакић Јелица 151/13 3 1 3 1 8 You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Станојковић Мина 228/09 4 1 0 3 8 Стојковић Александар 831/13 0 0 5 3 8 Ченић Јована 293/12 4 0 4 0 8 Чучковић Марија 504/13 5 1 1 1 8 Шљукић Исидора 743/13 5 1 2 0 8 Миленковић Ана 672/13 4 1 0 2 7 Петровић Немања 628/13 4 0 2 1 7 Петровић Урош 609/11 0 2 3 2 7 Радивојевић Ана 275/13 2 0 5 0 7 Расулић Тамара 630/13 0 5 1 1 7 Ћаловић Марко 623/13 4 0 0 3 7 Митић Анђела 450/13 0 0 4 2 6 Мићић Александар 428/11 4 0 0 2 6 Моровић Петар 763/13 4 0 0 2 6 Нинић Марко 815/13 2 1 1 2 6 Обрадовић Мина 518/13 5 0 0 1 6 Павловић Јелена 210/12 0 5 1 0 6 Стајић Ивана 784/13 1 4 0 1 6 Стојковић Никола 145/12 0 5 0 1 6 Чпајак Матија 546/13 4 0 2 0 6 Михајловић Марина 738/13 3 2 0 0 5 Радуловић Андреј 597/13 4 0 1 0 5 Рајковић Мирјана 389/13 1 2 2 0 5 Секуловић Тијана 864/13 2 1 0 2 5 Стакић Милица 144/13 4 0 0 1 5 Танасковић Немања 669/13 4 0 0 1 5 Тодоровић Теодора 823/12 0 0 4 1 5 Топаловић Стефан 747/08 4 0 1 0 5 Трифуновић Вељко 220/13 5 0 0 0 5 Филиповић Никола 740/13 4 1 0 0 5 Хаџи-Тонић Страхиња 73/13 4 0 1 0 5 Милићевић Алекса 357/13 4 0 0 0 4 Милошевић Јована 735/13 2 0 2 0 4 Митровић Маргарета 821/13 3 1 0 0 4 Петровић Милица 680/13 0 0 3 1 4 Ристивојевић Петар 173/12 4 0 0 0 4 Ристић Алекса 804/13 0 1 3 0 4 Скочић Александар 699/13 2 0 0 2 4 Станојевић Драгана 748/13 3 0 0 1 4 Трајковић Никола 134/13 4 0 0 0 4 Чанковић Татјана 668/13 0 0 1 3 4 Ђурић Драгиша 227/10 0 3 0 0 3 Новчић Ивана 269/11 0 0 1 2 3 Радивојевић Круна 752/13 0 1 2 0 3 Раковић Марија 656/13 0 1 0 2 3 Самарџић Теодора 854/13 3 0 0 0 3 Славински Стефан 782/13 3 0 0 0 3 Трбовић Милица 875/11 0 1 2 0 3 Ћурчић Филип 379/13 3 0 0 0 3 Урошевић Стефан 271/12 1 0 1 1 3 You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Секулић Милан 301/11 0 0 3 0 3 Матић Ивана 702/12 2 0 0 0 2 Миковић Дарко 137/13 0 0 2 0 2 Николић Павле 753/13 1 0 1 0 2 Оравец Кристина 530/13 0 1 0 1 2 Пејовић Магдалена 837/13 1 0 0 1 2 Петровић Гаврило 634/11 0 0 2 0 2 Рафајловић Иван 570/13 1 0 0 1 2 Цвјетан Новак 296/11 0 1 0 1 2 Младеновић Лазар 366/12 0 0 0 1 1 Радаковић Катарина 371/09 0 0 0 1 1 Миливојевић Стефан 809/12 0 1 0 0 1 Нешовић Душан 386/12 0 0 0 0 0 Пешић Предраг 961/13 0 0 0 0 0 Плескоњић Оливера 386/13 0 0 0 0 0 Презиме Име Бр. Инд. 1.zad 2.zad 3.zad 4.zad I kol Радове прегледао: Проф Драган Ђорић Увид у радове: 9.12.2013 од 12:20 до 13:30, каб.317 You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)