Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008.

Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje na skup X ako postoji preslikavanje f : G X X takvo da vrijedi 1. f (g 1, f (g 2, x)) = f (g 1 g 2, x), x X, g 1, g 2 G, 2. f (1, x) = x, x X. Slika djelovanja elementa g G na element x X označava se g.x. Skup G x = {g G g.x = x} G naziva se stabilizator elementa x za djelovanje grupe G.

Na skupu X na kojega djeluje grupa G može se definirati relacija x y ( g G)g.x = y. Relacija je relacija ekvivalencije na skupu X. Klasa ekvivalencije elementa x s obzirom na relaciju, G.x = {g.x g G}, naziva se orbita elementa x za djelovanje grupe G. Propozicija Ako konačna grupa G djeluje na skup X, onda za svaki x X vrijedi G.x = [G : G x ].

Grupa G djeluje tranzitivno na skup X ako postoji element x X takav da je G.x = X. Propozicija Neka grupa G djeluje na skup X i neka je G x stabilizator elementa x X za djelovanje grupe G. Tada je G g.x = gg x g 1, g G. Posebno, ako G djeluje tranzitivno na skup X, onda su svi stabilizatori medusobno konjugirani.

Teorem Neka grupa G djeluje na skup X. Tada je F : G S(X ), preslikavanje koje svakom elementu g grupe G pridružuje bijekciju f g : X X, f g (x) = g.x, homomorfizam grupa (homomorfizam induciran djelovanjem grupe G na skup X ). Obrnuto, ako postoji homomorfizam F : G S(X ), onda grupa G djeluje na skup X. Homomorfizam F : G S(X ) naziva se permutacijska reprezentacija grupe G. Korolar (Caylejev teorem) Svaka konačna grupa je izomorfna nekoj permutacijskoj grupi.

Primjer Promotrimo djelovanje konačne grupe G množenjem slijeva na lijevi kvocijentni skup G/H = {gh g G}, H G. Preslikavanje je bijekcija te je preslikavanje f x : G/H G/H, f x (gh) = (xg)h, F : G S(G/H), g f g, monomorfizam. Definirano djelovanje je vjerno. Za svaka dva elementa g 1 H G/H i g 2 H G/H vrijedi g 1 H = g 1 g 1 2 g 2H = (g 1 g 1 2 ).g 2H pa je definirano djelovanje tranzitivno i vrijedi G.(gH) = G/H G H = H G H = {g G gh = H} = {g G g H} H.

Primitivne grupe Neka grupa G djeluje na skup X. Proširimo to djelovanje na skup podskupova skupa X na sljedeći način: x.s = {x.s s S}, S X. Definicija Neka grupa G djeluje tranzitivno na skup X i neka je X. Ako za svaki x G vrijedi x. = ili x. =, onda se skup naziva blok. Trivijalni blokovi: X, {x}, za svaki x X.

Definicija Ako grupa G djeluje tranzitivno na skup X tako da ne postoje netrivijalni blokovi, onda kažemo da je djelovanje primitivno i da je G primitivna grupa. Teorem Neka grupa G djeluje tranzitivno na skup X. To djelovanje je primitivno ako i samo ako je G x maksimalna podgrupa grupe G za svaki x X.

Primjer Grupa S 3 djeluje na skup X = {1, 2, 3}: g.x = g(x), g S 3, x X. S 3.1 = X tranzitivnost Stabilizator svakog elementa je grupa reda dva. Podgrupe reda dva grupe S 3 su maksimalne pa je opisano djelovanje primitivno. Primjer Neka je H maksimalna podgrupa konačne grupe G. Grupa G djeluje tranzitivno množenjem slijeva na lijevi kvocijentni skup G/H i G H = H, odnosno stabilizator od H je maksimalna podgrupa grupe G. Zbog tranzitivnosti, svi stabilizatori G gh, g G, su medusobno konjugirani pa je definirano djelovanje primitivno.

Incidencijske strukture Definicija Incidencijska struktura D je ured ena trojka (P, B, I), gdje su P i B neprazni disjunktni skupovi i I P B. Za incidencijsku strukturu u kojoj je svaka od v točaka stupnja r i svaki od b blokova stupnja k vrijedi vr = bk. Struktura D = (P, B, I ), gdje je P = B, B = P, I = {(x, P) (P, x) I} naziva se dualna struktura strukture D.

Definicija Neka su D = (P, B, I) i D = (P, B, I ) incidencijske strukture. Bijektivno preslikavanje f : P B P B je izomorfizam iz D na D ako vrijedi: 1. f preslikava P na P i B na B 2. (P, x) I (f (P), f (x)) I, P P i x B Ako je D = D, onda se preslikavanje f naziva automorfizam. Skup svih automorfizama je grupa s obzirom na kompoziciju funkcija i naziva se puna grupa automorfizama strukture D. Struktura D se naziva samodualna struktura ako je izomorfna svojoj dualnoj strukturi.

Neka je D = (P, B, I) konačna incidencijska struktura takva da je P = v i B = b. Označimo elemente skupa P sa P 1,..., P v i elemente skupa B sa x 1,..., x b. Matrica incidencije incidencijske strukture D je v b matrica M = (m ij ) m ij = { 1, (Pi, x j ) I, 0, (P i, x j ) / I.

Dizajni Definicija Konačna incidencijska struktura D = (P, B, I) je t (v, k, λ) dizajn ako vrijedi sljedeće: 1. P = v, 2. svaki element skupa B incidentan je s točno k elemenata skupa P, 3. svakih t elemenata skupa P incidentno je s točno λ elemenata skupa B. 2 (v, k, λ) dizajn naziva se blok dizajn.

Primjer peterokut 2 (6, 3, 2) dizajn

t (v, k, λ) dizajn takav da je v = b naziva se simetričan dizajn. Stupanj svake točke simetričnog dizajna jednak je stupnju svakog bloka tog dizajna, odnosno vrijedi k = r. Propozicija Ako je t (v, k, λ) simetričan dizajn, onda je t 2.

Primjer pg 2 (7, 3, 1) dizajn

Grafovi Definicija Neka je G = (V, E, I) konačna incidencijska struktura. G je graf ako je svaki element skupa E incidentan s dva (ne nužno različita) elementa iz skupa V. Graf bez petlji u kojemu su svaka dva vrha incidentna najviše s jednim bridom naziva se jednostavan graf. Matrica susjedstva grafa G s n vrhova (v 1,..., v n ) je n n matrica A. Element a ij matrice A je broj bridova incidentnih s vrhovima v i i v j.

Put u grafu G je netrivijalan niz v 0 e 1 v 1 e 2...e k v k u kojemu su svi vrhovi i svi bridovi medusobno različiti, pri čemu su v 0,..., v k, vrhovi grafa G i e i, i = 1,..., k, bridovi koji su incidentni s vrhovima v i 1 i v i. Graf G je povezan graf ako za svaka dva vrha tog grafa postoji put koji ih povezuje.

Graf u kojem su svi vrhovi jednakog stupnja k naziva se k regularan graf. Definicija Neka je G = (V, E, I) graf sa n vrhova. Graf G je jako regularan graf s parametrima (n, k, λ, µ) ako vrijedi: 1. G je jednostavan k regularan graf, 2. svaka dva susjedna vrha imaju točno λ zajedničkih susjednih vrhova, 3. svaka dva nesusjedna vrha imaju točno µ zajedničkih susjednih vrhova.

Primjer graf

Primjer Neka grupa G djeluje tranzitivno na skup X. Tada grupa G djeluje na skup X X na sljedeći način: g.(x 1, x 2 ) = (g.x 1, g.x 2 ). Skup {(x, x) x X } naziva se dijagonala skupa X. Broj orbita skupa X X za djelovanje grupe G naziva se rang grupe G. Za orbitu O skupa X X za djelovanje grupe G kažemo da je simetrična orbita ako vrijedi (x, y) O (y, x) O. Neka je G grupa parnog reda. Tada postoji barem jedna simetrična orbita D (različita od dijagonale) na skupu X X. G je grupa automorfizama grafa G(D) kojemu je X skup vrhova i D skup bridova. Ako je G grupa ranga tri, onda je G(D) jako regularan graf.

J. D. Key, J. Moori: Codes, Designs and Graphs from the Janko Groups J 1 and J 2 J. Combin. Math. Combin. Comput. 40 (2002), 143-159.

Teorem (KM) Neka je Ω n člani skup, α element skupa Ω i neka je G konačna grupa koja djeluje primitivno na skup Ω. Neka je {α}, orbita za djelovanje stabilizatora G α na neki element β Ω, = {g.β g G α }. Tada je (1) B = {g. g G} n člani skup blokova simetričnog samodualnog 1 (n,, ) dizajna na kojega grupa G primitivno djeluje kao grupa automorfizama, (2) za δ Ω, skup E = {g.{α, δ} g G} je skup bridova povezanog regularnog grafa sa n vrhova na kojega grupa G primitivno djeluje kao grupa automorfizama.

Neka su β 1,..., β s elementi skupa Ω i neka je uz uvjet da je Ω. Tada je = G α.β 1... G α.β s, B = {g. g G} skup blokova samodualnog simetričnog 1 dizajna na kojega grupa G djeluje primitivno kao grupa automorfizama.

Lema Ako grupa G djeluje primitivno na simetričan dizajn D, onda se dizajn D može konstruirati na način opisan teoremom KM. Dokaz iz članka: Neka je D simetričan 1 (v, k, k) dizajn i neka je B skup blokova dizajna D. Tada je B = G.B za neki blok B B. Slijedi da je G = B G B. G djeluje primitivno na dizajn D pa je G B maksimalna podgrupa i G B = G α za neku točku α dizajna D. Zaključujemo da G α fiksira blok B te je B unija nekih G α orbita.

Dodatne napomene Alternativna definicija ranga grupe: rang tranzitivne permutacijske grupe G je broj orbita za djelovanje stabilizatora G x, x G. Slijedi da je graf iz grupe ranga tri konstruiran na način opisan teoremom KM jako regularan graf. Neka je G jednostavna primitivna permutacijska grupa. Tada postoji samo jedna trivijalna orbita za djelovanje stabilizatora G x, x G.

Grupe J 1 i J 2 Jankova grupa J 1 je jednostavna grupa reda 175560 te je AutJ 1 = J1. Grupa J 1 ima sedam maksimalnih podgrupa, do na konjugaciju, i odgovarajuće primitivne permutacijske reprezentacije na 266, 1045, 1463, 1540, 1596, 2926 i 4180 točaka. Jankova grupa J 2 je jednostavna grupa reda 604800. Puna grupa automorfizama grupe J 2 je izomorfna grupi J 2 : Z 2. Grupa J 2 ima devet maksimalnih podgrupa, do na konjugaciju, i devet primitivnih permutacijskih reprezentacija na 100, 280, 315, 525, 840 1008, 1800, 2016 i 10080 točaka. Primjer u programskom paketu Magma

1 dizajni i grafovi konstruirani iz grupe J 1 Postoji točno 245 neizomorfnih samodualnih dizajna konstruiranih iz grupe J 1 (na način opisan teoremom KM). Grupa J 1 djeluje primitivno kao puna grupa automorfizama na konstruirane dizajne. Autori ističu da su testirali jaku regularnost konstruiranih grafova za neke od primitivnih reprezentacija grupe J 1, ali nisu dobili niti jedan jako regularan graf.

1 dizajni i grafovi konstruirani iz grupe J 2 Postoji točno 51 neizomorfnih samodualnih dizajna konstruiranih iz grupe J 2 (na način opisan teoremom KM). Grupa J 2 djeluje primitivno na sve konstruirane dizajne. Konstruirani dizajni imaju punu grupu automorfizama izomorfnu grupi J 2 ili grupi AutJ 2. Za svaki dizajn kojemu je puna grupa automorfizama izomorfna grupi AutJ 2 konstruiran je njemu izomorfan dizajn iz orbite iste duljine. Konstruirana su i tri jako regularna grafa s parametrima: (100,36,14,12), (280,135,70,60), (280,36,8,4). Graf na 100 vrhova konstruiran je iz permutacijske reprezentacije ranga tri, a grafovi na 280 vrhova iz permutacijske reprezentacije ranga četiri.

Hipoteza Autori pretpostavljaju da svaki dizajn D konstruiran na opisani način iz grupe G ima grupu AutG kao punu grupu automorfizama, osim u slučaju da je iz iste grupe konstruiran dizajn izomorfan dizajnu D. U tom slučaju je, prema njihovoj pretpostavci, grupa automorfizama izomorfna podgrupi grupe AutG.

Kodovi iz incidencijskih struktura Neka je D = (P, B, I) incidencijska struktura i M matrica incidencije strukture D. Stupci matrice M su vektori incidencije. Linearni kod C iz dizajna D je potprostor vektorskog prostora dimenzije P nad konačni poljem F razapet vektorima incidencije dizajna. Oznaka: [n, k, d] F n je dimenzija vektorskog prostora k je dimenzija potprostora razapetog vektorima incidencije d je najmanja težina (udaljenost od nul vektora) Automorfizam koda je permutacija komponetni vektora koda koja čuva potprostor.

Kodovi konstruirani iz grupe J 2 dizajn kod grupa automorfizama 1 (100, 36, 36) [100, 36, 16] 2 J 2 : Z 2 1 (280, 108, 108) [280, 14, 108] 2 J 2 : Z 2 1 (315, 64, 64) [315, 28, 64] 2 J 2 : Z 2 1 (315, 80, 80) [315, 36, 80] 2 J 2 : Z 2