Binarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.

Transcript

1 Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]). Kada se kaže ρ A B je binarna relacija podrazumeva se da je ρ binarna relacija tipa (A, B). aρb znači (a, b) ρ; (aρb) znači (a, b) / ρ Predstavljanje binarnih relacija Neka je A = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 }, B = {b 1, b 2, b 3 } i ρ = {(a 1, b 1 ), (a 2, b 1 ), (a 2, b 2 ), (a 3, b 2 ), (a 4, b 2 )}. 1. način. Graf i ρ-strelice. A a 5 B b 3 a 4 a 3 b 2 a 2 a 1 b 1 1

2 2. način. Tablica. b 1 b 2 b 3 a a a a a način. Grafik. b 3 b 2 B b 1 A a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 U slučaju kada je A = B = R (skup realnih brojeva) imamo uobičajeno grafičko predstavljanje i A predstavljamo na x-osi, a B na y-osi. Na primer: y 3 ρ = {(x, y) 1 x 5 i 1 y 3} 1 O 1 5 x 2

3 Operacije sa binarnim relacijama Ako su ρ i σ binarne relacije istog tipa, tada su njihov presek, unija, razlika i simetrična razlika takodje binarne relacije tog tipa. Definicija. Inverzna relacija relaciji ρ A B (njen inverz ili konverz) je relacija ρ 1 B A definisana sa: (x, y) ρ 1 akko (y, x) ρ. Definicija. Neka su ρ A B i σ B C binarne relacije. Definišemo njihovu kompoziciju σ ρ A C: (a, c) σ ρ akko postoji b B takav da (a, b) ρ i (b, c) σ. σ ρ-strelicu predstavljamo kao ρ-strelicu nastavljenu σ-strelicom σ ρ A a 4 a 3 a 2 ρ ρ B b 2 σ c 3 c 2 C a 1 b 1 c 1 Stav [MP] Neka su ρ A B, σ B C i τ C D binarne relacije. Tada je: τ (σ ρ) = (τ σ) ρ. Stav [MP] Ako su ρ 1 ρ 2 relacije tipa (A, B) a σ je tipa (B, C), tada je σ ρ 1 σ ρ 2. Zadatak Naći primer skupova A, B, C i relacija ρ 1 ρ 2 A B i σ B C tako da je σ ρ 1 = σ ρ 2 3

4 Binarne relacije na skupu Definicija. Binarna relacija na skupu A je ma koji podskup ρ A 2. Relacija {(a, b), (b, c), (c, b), (d, b), (d, d)} na skupu A = {a, b, c, d}: a d b c Digraf je uredjeni par (A, ρ) gde je ρ A 2. Elementi skupa A su temena (ili čvorovi) digrafa, a parovi (a, b) ρ su ivice digrafa (ili usmerene (orijentisane) grane). Ako (a, b) ρ, tada kažemo i da je teme a povezano (ili spojeno) ivicom sa temenom b Ivice (x, x) ρ su petlje digrafa. Put u digrafu je niz (a 1, a 2,..., a n ) njegovih temena takav da za sve 1 i n 1 važi (a i, a i+1 ) ρ. n je dužina puta (a 1, a 2,..., a n ). Put (a 1, a 2,..., a n ) je zatvoren ako je a 1 = a n. Zatvoren put naziva se i cikl. U prethodnom digrafu (d, d, b, c, b) je put. Primeri: (prazna relacija), A 2 (puna relacija) su binarne relacije na skupu A. Dijagonala skupa A je relacija A = {(a, a) a A}. 4

5 Svojstva binarne relacije ρ A 2. (R) Refleksivnost: za sve a A važi aρa. Grafički, (R) znači prisustvo petlje oko svakog elementa, t.j A ρ. (AR) Antirefleksivnost: za sve a A važi (aρa). Grafički, (AR) znači odsustvo petlji, odnosno A ρ =. Napomena. Ukoliko relacija ρ A 2 nije refleksivna (nerefleksivna je), to znači da (aρa) važi za neki a A, ali možda ne i za sve a A. Na primer relacija {(b, a), (b, b)} nije ni refleksivna ni antirefleksivna. a b Nerefleksivnost nije isto što i antirefleksivnost. (S) Simetričnost: ako aρb, onda bρa (za sve a, b A). Simetričnost znači da imedju dva različita temena postoje ili dve ili nijedna strelica. Grafički to predstavljamo crtanjem duži (ili krivih) umesto strelica. a d b c Graf je uredjeni par (A, ρ) gde je ρ A 2 simetrična binarna relacija. Parovi (a, b) ρ su ivice (ili grane) grafa. 5

6 Ne slici je ρ = {(b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (a, b), (b, a), (d, d)}. Ova relacija se kraće označava i sa {{b, c}, {b, d}, {b, a}, {d, d}}. (AS) Antisimetričnost: ako aρb i bρa, onda a = b (za sve a, b A). (AS) znači odsustvo dvosmernih strelica izmedju različitih temena grafa; prisustvo ili odsustvo petlji nije povezano sa (AS). Napomena. Ukoliko relacija ρ A 2 nije simetrična, to znači da izmedju nekog para (različitih) elemenata postoji strelica u jednom smeru, ali ne i u drugom. Na primer, relacija {(a, b)} na skupu {a, b} nije simetrična, ali je antisimetrična (nema duplih strelica). Nesimetričnost nije isto što i antisimetričnost. (T) Tranzitivnost: ako aρb i bρc, tada i aρc (za sve a, b, c A). (T) je najznačajnija osobina. Grafički, ona znači da kad god je (a, b, c) put digrafa (A, ρ), tada (a, c) ρ. Tranzitivnost tumačimo i kao zatvorenost za puteve dužina 2, u smislu da su uvek početna i krajnja tačka puta povezane strelicom. Fakt. Binarna relacija ρ A 2 je tranzitivna ako i samo ako važi: ako je n 2 i (a 1, a 2,..., a n ) je put digrafa (A, ρ), tada (a 1, a n ) ρ. Dokaz. Indukcijom. Ovu činjenicu koristimo da pojednostavimo graf tranzitivne relacije, izostavljanjem nekih strelica koje spajaju početne i krajnje tačke puteva. Na primer, grafom: 6

7 d e a b c predstavljamo tranzitivnu relaciju u kojoj su strelice (a, c) i (a, d) izostavljene, jer su (a, b, c) i (a, b, d) putevi. U sledećem primeru svake dve tačke su spojene putem, pa je tranzitivna relacija ρ puna relacija. c ρ = {a, b, c} 2 a b Relacije strogog poretka (AR,T) Definicija. 1. Binarna relacija ρ A 2 je relacija strogog poretka (uredjenja), ili striktnog poretka (uredjenja), ako ima osobine (AR) i (T). 2. Striktno (strogo) uredjenje (poredak) je uredjeni par (A, <) gde je < relacija strogog uredjenja na skupu A. Graf relacije strogog poretka ne sadrži petlje ni zatvorene puteve. Time strelica aρb podseća na a je manji od b, jer ne postoji strelica u suprotnom smeru. Relacije strogog poretka obično obeležavamo sa <, <,, ili slično. 7

8 Grafički, svim strelicama dajemo isti smer (obično na desno i na gore). f e d a b c h Elementi x, y su neuporedivi, oznaka x y ako ne važi ni jedno od x = y, x < y i y < x. Neuporedivost različitih elemenata (tranzitivnog) grafa znači odsustvo orijentisanog puta od jednog ka drugom. Na prethodnoj slici je e neuporediv sa svakim od b, c, d, f, h, dok je f neuporediv sa c i h, a važi i d c. Lema Neka je ρ A 2 relacija strogog poretka. Tada za svaka dva elementa a, b A važi najviše jedan od uslova aρb i bρa. Dokaz Neka je ρ A 2 relacija strogog poretka. Ako za neki par elemenata a, b A važi aρb i bρa, tada, zbog tranzitivnosti, važi i aρa; to je u suprotnosti sa AR. Prema tome, takav par elemenata ne postoji. Posledica Svaka relacija strogog poretka zadovoljava uslov (AS). Drugim rečima (AR)+(T) povlači AS. Zadatak Ispitati da li postoji binarna relacija koja zadovoljava uslove. (R)+(AS)+ (R)+ (AR) Relacije poretka (R,AS,T) Definicija. 1. Binarna relacija ρ A 2 je relacija poretka (uredjenja) ako ima osobine (R), (AS) i (T). 8

9 2. Parcijalno uredjenje, ili poset, je uredjeni par (A, ρ) gde je ρ relacija poretka na skupu A. U prethodnom delu smo dokazali da relacije strogog poretka zadovoljavaju uslove (AR), (AS) i (T), dok relacije poretka zadovoljavaju uslove (R), (AS) i (T). Uslov (R) opisuje prisustvo svih petlji ( A ρ), dok (AR) opisuje odsustvo petlji ( A ρ = ). U sledećem tvrdjenju dokazujemo da relacije poretka i strogog poretka razlikuje samo dijagonala skupa A A = {(a, a) a A}. Zato relacije poretka označavamo sa,,... Teorema (1) Ako je < relacija strogog poretka na skupu A i = < A, t.j je na skupu A definisana sa tada je relacija poretka na A. x y akko x < y ili x = y, (2) Ako je relacija poretka na skupu A i relacija < = A na skupu A definisana sa x < y akko x y i x y, tada je < relacija strogog poretka na A. Dokaz. (1) Pretpostavimo da je < relacija strogog poretka na skupu A i = < A. Drugim rečima, -strelica je ili <-strelica, ili petlja. Refleksivnost. Sledi iz prisustva svih petlji ( A ). Antisimetrija. Pretpostavimo da važi a b i b a, t.j da postoje obe -strelice izmedju a i b. Ukoliko je a b, iz definicije sledi da su obe strelice ujedno i <-strelice. To nije moguće zbog antisimetričnosti relacije <. Prema tome, važi a = b. Tranzitivnost. Pretpostavimo da je (a, b, c) -put. Ukoliko su a, b i c medjusobno različiti, tada je (a, b, c) <-put pa je, zbog tranzitivnosti relacije 9

10 <, a < c. Samim time je i a c. Preostaje da ispitamo slučaj kada su neka dva elementa niza a, b, c jednaka. Imamo tri podslučaja: a = b. U ovom podslučaju, zbog a = b i b c važi a c. b = c. U ovom podslučaju, zbog b = c i a b važi a c. a = c. U ovom podslučaju, zbog refleksivnosti relacije važi a c. U sva tri podslučaja zaključili smo da važi a c, što je i trebalo dokazati. (2) Pretpostavimo da je relacija poretka na skupu A i neka je < = A. Dokažimo da je < relacija strogog poretka. Iz definicije relacije < sledi odsustvo petlji, pa je ona antirefleksivna. Preostaje da proverimo tranzitivnost, pa zato pretpostavimo da je (a, b, c) <-put. Primetimo prvo da su, zbog antirefleksivnosti, a, b i c medjusobno različiti. Zbog < niz (a, b, c) je i -put pa, zbog tranzitivnosti relacije, važi a c. Odavde, zbog a c, zaključujemo a < c. Grafički, prethodni fakt znači da ukoliko sa grafa relacije poretka obrišemo sve petlje, dobijamo relaciju strogog poretka i obrnuto: dodavanjem svih petlji relaciji strogog poretka dobijamo relaciju poretka. Ako je relacija poretka na skupu A, tada uvek podrazumevamo da < označava odgovarujuću relaciju strogog poretka na skupu A; I obrnuto. Notacija. Neka je (A, ) parcijalno uredjenje. a A je minimalan element ako ne postoji b A takav da je b < a. a A je najmanji element, ili minimum, ako za svaki b A važi a b. a A je maksimalan element ako ne postoji b A takav da je a < b. a A je najveći element, ili maksimum, ako za svaki b A važi b a. 10

11 Vežbanje. 1) Najmanji element je minimalan; najveći element je maksimalan. 2) Svako konačno parcijalno uredjenje ima bar jedan minimalan element i bar jedan maksimalan element. 3) Naći primer konačnog parcijalnog uredjenje u kome ne postoji ni najveći ni najmanji element. 4) Minimalan element ne mora biti najmanji; maksimalan element ne mora biti najveći. 5) Naći primer parcijalnog uredjenja u kome ne postoji ni minimalan, ni maksimalan element. 6) Naći primer parcijalnog uredjenja (A, ) u kome postoji minimalan element a i maksimalan element b takvi da je a b. 7) Dokazati da su svaka dva medjusobno različita minimalna (maksimalna) elementa parcijalnog uredjenja medjusobno neuporediva. Notacija Element a A je gornje ograničenje, ili majoranta, skupa X ako x a važi za sve x X. a A je supremum skupa X, u oznaci a = sup X, ako je njegovo najmanje gornje ograničenje: a je gornje ograničenje skupa X i za svako drugo gornje ograničenje b A važi a b. Element a A je donje ograničenje, ili minoranta, skupa X ako a x važi za sve x X. a A je infinum skupa X, u oznaci a = inf X, ako je njegovo najveće donje ograničenje: a je donje ograničenje skupa X i za svako drugo donje ograničenje b A važi b a. 11

12 Skup X A je odozgo ograničen ako ima gornje ograničenje, a odozdo ograničen ako ima donje ograničenje. Teorema Neka je (A, ) parcijalno uredjenje. Sledeći uslovi su ekvivalentni: a) Svaki neprazan odozgo ograničen skup X A ima supremum; a) Svaki neprazan odozdo ograničen skup X A ima infimum. Relacije ekvivalencije Definicija. Binarna relacija ρ A 2 je relacija ekvivalencije ako ima osobine (R), (S) i (T). Neka je E relacija ekvivalencije na skupu A. E-klasa ekvivalencije elementa a A je: [a] E = {x A a E x}. Klasa [a] E se označava i sa C a, kao i sa a/e. Lema Dve klase koje imaju zajednički element su jednake. Dokaz. Pretpostavimo da c [a] E [b] E. Tada važi a E c i b E c. Zbog simetrije važi i c E b pa, iz a E c i c E b, zbog tranzitivnosti, sledi a E b. Dokažimo da je [b] E [a] E. Pretpostavimo da d [b] E. Tada je b E d pa, zbog a E b i tranzitivnosti, zaključujemo a E d, odnosno d [a] E. Time smo dokazali [b] E [a] E. Obrnuta inkluzija se slično dokazuje, pa imamo [a] E = [b] E. Definicija Neka je E relacija ekvivalencije na skupu A. Količnički skup ili faktor skup skupa A po relaciji E je skup A/E = {[a] E a A}. Neposredna posledica prethodne leme je da su dve klase ili jednake, ili disjunktne. Primetimo takodje da je unija klasa ceo skup A. Prema tome, 12

13 relacija ekvivalencije E na skupu A indukuje podelu skupa A na disjunktne delove. Particija skupa je njegovo rastavljanje na delove. Formalno: Kažemo da je skup P particija skupa A ako važi: P P(A) i P = A; Za sve x, y P : ili je x y =, ili je x = y. Posledica Količnički skup {[a] E a A} je particija skupa A. Pokazali smo da svakoj relaciji ekvivalencije na skupu A odgovara particija skupa A. Važi i obrnuto tvrdjenje, iskazano u sledećoj lemi. Lema Ako je P particija skupa A, tada je uslovom a E b ako i samo ako postoji X P takav da je a X i b X; definisana relacija ekvivalencije čiji je količnički skup P. Iz prethodne dve leme zaključujemo da postoji prirodna, obostrano jednoznačna korespondencija izmedju particija skupa A i relacija ekvivalencije na A. Linearna uredjenja Definicija. 1. Relacija poretka na skupu A je relacija totalnog poretka, ili linearnog uredjenja, ako za svaka dva elementa a, b A važi: ili a b ili b a. 2. Linearno (totalno) uredjenje je uredjeni par (A, ) gde je relacija linearnog uredjenja na skupu A. Preduredjenja (R,T) ρ je relacija preduredjenja (predporetka ili kvaziuredjenja) ako ima osobine (R) i (T). 13

14 Relacije preduredjenja označavamo sa. Teorema. Neka je (A, ) preduredjenje. 1. Relacija E A 2 definisana sa: je relacija ekvivalencije. 2. Relacija < definisana sa a E b ako i samo ako a b i b a a < b ako i samo ako a b i (b a) je relacija strogog poretka. 3. Relacija < je saglasna sa relacijom E u sledećem smislu: ako a E a, b E b i a < b, tada a < b. 4. Relacija E definisana na skupu A/E [a] E E [b] E ako i samo ako a b je relacija poretka. Fakt Ako je E relacija ekvivalencije na skupu A i E relacija poretka na skupu A/E, tada je relacija relacija preduredjenja na skupu A. a b ako i samo ako [a] E [b] E 14