ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IV. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Ειαγωγή Η θωρία πλαικόηας αχολίαι µ ην υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν οι παραµορφώις ίναι πλέον αρκά µγάλς και ο νόµος ου Hooke παύι να ιχύι. Ουιαικά, δηλαδή, η θωρία πλαικόηας πριγράφι η υµπριφορά ων µαλλικών υλικών, όαν αυά πράουν ην πλαική πριοχή και οι παραµορφώις που υφίαναι ίναι πλέον µόνιµς (πλαικές παραµορφώις). Υπάρχουν διάφορα θέµαα που µπλέκοναι ην πλαική παραµόρφωη ων µάλλων, α οποία καθιούν ην µαθηµαική διαύπωη ης θωρίας πλαικόηας πιο δύκολη χέη µ ην θωρία λαικόηας, που ξάαµ ην προηγούµνη νόηα. Για παράδιγµα, η πλαική παραµόρφωη ίναι µία µη ανιρπή (irreversible) διργαία, ανίθη µ ην λαική παραµόρφωη που ίναι ανιρπή. Η λαική υµπριφορά ξαράαι µόνο από ην αρχική και ην λική καάαη ης άης και ης παραµόρφωης, νώ ανίθα η πλαική υµπριφορά ξαράαι και από ον ρόπο µ ον οποίο η άη και η παραµόρφωη έφααν ην λική ους καάαη. Επιπρόθα, ην πλαική πριοχή δν υπάρχι µία ύκολα µρήιµη ποόηα (ιδιόηα ου υλικού) που να υχίζι ην άη µ ην παραµόρφωη, ανίθη µ ην λαική πριοχή, όπου αυή η ποόηα ήαν ο µέρο λαικόηας (ή ο µέρο διάµηης, κ..λ.). Επίης, ο φαινόµνο ης ργοκλήρυνης (work-harening), που µφανίζαι καά ην πλαική παραµόρφωη ων µαλλικών υλικών, πριπλέκι ιδιαίρα η µαθηµαική πξργαία ης θωρίας πλαικόηας. Ωόο, παρά ις δυκολίς αυές, η θωρία πλαικόηας έχι αναπυχθί ηµανικά και απολί πολύιµο ργαλίο ανάλυης για ην πίλυη προβληµάων χδιαµού και καργαιών η µηχανολογία. Σκοπός ης θωρίας πλαικόηας ίναι η πίλυη προβληµάων και πριπώων ις οποίς α µέαλλα υποβάλλοναι πλαική παραµόρφωη. Από ην οπική γωνία ου χδιαµού (esign), όχος ης φαρµογής ης θωρίας πλαικόηας ίναι η πρόβλψη 6

ου µέγιου µηχανικού φορίου που µπορί να ανέξι µία καακυή, χωρίς να υποί πλαική παραµόρφωη. Η πρόβλψη αυή βαίζαι, υνήθως, κάποιο κριήριο διαρροής (iel criterion). Το κριήριο διαρροής πρέπι να ίναι διαυπωµένο µ έοιο ρόπο, ώ να ιχύι και να ίναι φαρµόιµο για όλα α ίδη ναικών κααάων: από ον απλό µονοαξονικό φλκυµό, µέχρι και ην γνικυµένη ριδιάαη ναική καάαη. Υπάρχι, όµως, και µία άλλη οπική γωνία ης πλαικόηας: αυή ων καργαιών διαµόρφωης ή µορφοποίηης (forming processes) ων µαλλικών υλικών. Σις καργαίς αυές η πλαική παραµόρφωη ων µάλλων ίναι ο πιθυµηός κοπός, καθώς µέω αυής ο µέαλλο παίρνι ο πιθυµηό χήµα. Καργαίς αυού ου ίδους ίναι η έλαη (rolling), η διέλαη (etrusion), η βαθία κοίλανη (eep-rawing), κ.λ.π.. Η Καµπύλη ιαρροής Η καµπύλη άης παραµόρφωης που παίρνουµ αν αποέλµα ης δοκιµής φλκυµού, δηλαδή ης υποβολής νός καάλληλα διαµορφωµένου δοκιµίου νός µάλλου απλό µονοαξονικό φλκυµό, παρουιάζι ιδιαίρο νδιαφέρον για ην µλέη ης πλαικόηας ου µάλλου όαν κφράζαι ιµές πραγµαικής άης πραγµαικής παραµόρφωης ( ). Οι έννοις ης πραγµαικής άης και ης πραγµαικής παραµόρφωης ον µονοαξονικό φλκυµό (ή θλίψη) υζηήθηκαν προηγούµνη νόηα. Η καµπύλη άης παραµόρφωης που παίρνουµ από η δοκιµή φλκυµού, όαν κφράζαι πραγµαικές ιµές ( ), ονοµάζαι καµπύλη διαρροής (flow curve) ου υλικού. Η καµπύλη διαρροής ( ) νός υπικού όλκιµου µάλλου, όπως για παράδιγµα ο χαλκός ή ο αλουµίνιο, φαίναι ο Σχ.. Ο νόµος γραµµικής λαικόηας (νόµος Hooke) ιχύι µέχρι ο όριο διαρροής ο. Όαν η άη γίνι ίη µ ο ο, ο µέαλλο ξκινά να υφίααι πλαική παραµόρφωη. Από ο ηµίο αυό και µά α πριόρα µαλλικά υλικά µφανίζουν ργοκλήρυνη. Έι, για να υνχιί η διαρροή ου µάλλου, δηλαδή για να υνχιί η πλαική ου παραµόρφωη µγαλύρς ιµές, πρέπι και η άη να αυξηθί πάνω από ην ο. Ωόο, ανίθη µ ην λαική πριοχή ης καµπύλης, ην πλαική πριοχή δν υπάρχι µία απλή αθρά που να υχίζι ην άη και ην παραµόρφωη. 6

Σχ. Όπως γνωρίζουµ, άν ο δοκίµιο παραµορφωθί µέχρι ο ηµίο Α ου Σχ. και η υνέχια ο φορίο αφαιρθί, ό η υνολική παραµόρφωη ου δοκιµίου θα µιωθί αµέως από ο ο καά µία ποόηα /Ε. Η διαφορά ίναι η λαική ανάκηη (elastic recover) ου δοκιµίου, δηλαδή ο ποό κίνο ης υνολικής παραµόρφωης ( ) που ήαν λαικής φύως και που µ ην διακοπή ης φόριης µηδνίηκ. Εάν µά ην διακοπή ης φόριης ο ηµίο Α ου Σχ. ο ίδιο δοκίµιο παναφοριί, ό η καµπύλη διαρροής ου δοκιµίου θα έχι η µορφή που φαίναι ο Σχ.. Βλέπουµ όι καά ην παναφόριη ου δοκιµίου, η καµπύλη διαρροής αρχίζι να κυρώναι όο η ιµή ης άης πληιάζι ην άη ην οποία ίχ διακοπί η προηγούµνη φόριη. Όο αυξάναι η παραµόρφωη, η καµπύλη καά ην παναφόριη πέφι πάνω ην προέκαη ης καµπύλης ης αρχικής φόριης. Σο Σχ. αξίζι κανίς να παραηρήι όι η λαική πριοχή ων δύο καµπυλών έχι ην ίδια κλίη. Αυό ηµαίνι όι η πλαική παραµόρφωη που δηµιουργήθηκ καά ην αρχική φόριη δν πηρέα ο µέρο λαικόηας ου υλικού. Αυό ίναι λογικό, αφού όπως ίδαµ οι λαικές αθρές νός υλικού (E, G, K) καθορίζοναι από ο ίδος ων χηµικών δµών ων αόµων ου υλικού και όχι από ην πλαική παραµόρφωη που έχι ήδη υποί ο υλικό. 64

παναφόριη ο αρχική φόριη ο Σχ. Πρέπι πίης να προέξουµ ο ξής: καά ην παναφόριη ο υλικό διαρρέι µία νέα άη ο. Αν µάλια κοιάξουµ προκικά, θα δούµ όι ο νέο όριο διαρροής ο ίναι ην ουία η ιµή ης άης που ανιοιχί ην παραµόρφωη, δηλαδή ην µόνιµη πλαική παραµόρφωη που ίχ παραχθί καά ην αρχική φόριη ου δοκιµίου (βλ. Σχ. ). Αυό υµβαίνι πιδή καά ην αρχική φόριη ο υλικό ου δοκιµίου ργοκληρύνθηκ. Εποµένως, για να προκαλέουµ πραιέρω πλαική παραµόρφωη καά ην παναφόριη, θα πρέπι να υπρβούµ ο αρχικό όριο διαρροής ο, αλλά και ην αύξηη ης ανοχής που προκάλ η ργοκλήρυνη ου υλικού. Το άθροιµα ων δύο αυών παραγόνων απολί ουιαικά ο νέο όριο διαρροής ου υλικού. Σην πράξη, ο µηχανιµός αυός χρηιµοποιίαι πολλές φορές κµµένα για να αυξηθί η ανοχή οριµένων µαλλικών υλικών. Τα µέαλλα αυά υποβάλλοναι δηλαδή πλαική παραµόρφωη µ κάποια καργαία διαµόρφωης (π.χ. ψυχρή έλαη), µ αποέλµα να πιυγχάναι αυόχρονα η µορφοποίηη, άλλα και η ιχυροποίηη ου λικού προϊόνος. Ένα άλλο φαινόµνο που παραηρίαι καά ην πλαική παραµόρφωη όλκιµων µάλλων ίναι ο λγόµνο φαινόµνο Bauschinger (Bauschinger effect). Για να 65

κααλάβουµ ο φαινόµνο αυό ας ξάουµ ο Σχ.. Εάν φορίουµ δοκίµιο από ένα µέαλλο προς µία καύθυνη (π.χ. φλκυµό) και ξπράουµ ο όριο διαρροής ου, καόπιν αποφορίουµ και η υνέχια παναφορίουµ ο ίδιο δοκίµιο προς ην ανίθη καύθυνη (π.χ. θλίψη), θα διαπιώουµ όι ο όριο διαρροής καά ην παναφόριη ίναι µικρόρο από ο όριο διαρροής καά ην αρχική φόριη (δηλαδή ο Σχ. b < a ). Ωόο, η πίδραη ου φαινοµένου Bauschinger υνήθως αγνοίαι η θωρία πλαικόηας και έι γίναι η παραδοχή όι ο όριο ροής ίναι ο ίδιο φλκυµό και θλίψη. Σχ. Η καµπύλη πραγµαικής άης πραγµαικής παραµόρφωης ( ) ονοµάζαι καµπύλη διαρροής, πιδή δίνι ην άη που απαιίαι για να διαρρύι πλαικά ένα µέαλλο µέχρι κάποια δδοµένη παραµόρφωη. Έχουν γίνι πάρα πολλές προπάθις να βρθούν καάλληλς µαθηµαικές ξιώις που να πριγράφουν µ ακρίβια ην καµπύλη διαρροής. Η πιο γνωή και υρέως χρηιµοποιούµνη ξίωη από αυές ίναι η ξής: 66

n K () Το Κ ίναι αθρά και ιούαι µ ην ιµή ης άης όαν. Το n ίναι ο υνλής ή κθέης ργοκλήρυνης (strain-harening coefficient ή eponent) και ίναι η κλίη ης γραµµής log log. Η Εξ.() ιχύι από ην έναρξη ης πλαικής πριοχής µέχρι και ο ηµίο µφάνιης πλαικής αάθιας, δηλαδή µέχρι ο ηµίο χηµαιµού λαιµού ο δοκίµιο καά η δοκιµή φλκυµού.. Προγγίις ης Καµπύλης ιαρροής Ακόµη και µία απλή µαθηµαική πριγραφή ης καµπύλης διαρροής, όπως αυή ης Εξ.(), µπορί να οδηγήι ιδιαίρα πρίπλοκα µαθηµαικά όαν χρηιµοποιίαι ην ανάπυξη ης θωρίας πλαικόηας. Καά υνέπια, ίναι ύνηθς ην πράξη να χρηιµοποιούναι απλούρς, ξιδανικυµένς µορφές ης καµπύλης διαρροής, µ ις οποίς απλοποιούναι αρκά α µπλκόµνα µαθηµαικά, χωρίς ωόο α λικά απολέµαα ης θωρίας να αποκλίνουν πολύ από ην πραγµαικόηα. Μία από ις ξιδανικυµένς µορφές µ ις οποίς µπορί να προγγιί η καµπύλη διαρροής φαίναι ο Σχ. 4. Η καµπύλη αυή ανιοιχί ένα ανλαικό - έλια πλαικό υλικό. Το ιδαό αυό υλικό δν δέχαι καθόλου λαική παραµόρφωη ( Ε ). Γι αυό ο Σχ. 4 δν µφανίζαι καθόλου η λαική πριοχή ης καµπύλης. Μόλις η άη φάι ο όριο διαρροής ο, ό ο υλικό αρχίζι παραµορφώναι πλαικά χωρίς να ργοκληρύναι καθόλου. Αυό ηµαίνι όι η πλαική παραµόρφωη ου δοκιµίου αυξάνι υνχώς αθρή άη ο. Γι αυό και η πλαική πριοχή ης καµπύλης ου Σχ. 4 ίναι µία οριζόνια υθία γραµµή ο ο. Όπως µπορί ύκολα να φαναί κανίς, έοιο µαλλικό υλικό δν υπάρχι ην πραγµαικόηα. Πρόκιαι απλά για µία προπάθια προέγγιης ης καµπύλης διαρροής ων πραγµαικών µάλλων. 67

Σχ. 4 Μία άλλη προέγγιη ης καµπύλης διαρροής φαίναι ο Σχ. 5. Ένα ιδαό υλικό που θα µφάνιζ έοια καµπύλη διαρροής ονοµάζαι γραµµικά λαικό έλια πλαικό. Η διαφορά µ ην προηγούµνη προέγγιη ίναι όι δώ θωρίαι όι ο υλικό πιδέχαι λαική παραµόρφωη (έχι δηλαδή ππραµένο µέρο λαικόηας). Η οµοιόηα µ ην προηγούµνη πρίπωη ίναι όι και δώ γίναι η υπόθη όι ο υλικό δν ργοκληρύναι καθόλου όαν παραµορφώναι πλαικά (η πλαική διαρροή υµβαίνι µ αθρή άη ο ). Σχ. 5 68

Μία ρίη ξιδανικυµένη προέγγιη ης καµπύλης διαρροής ίναι αυή που φαίναι ο Σχ. 6. Η καµπύλη αυή αναφέραι ένα ιδαό γραµµικά λαικό πλαικό υλικό. Εδώ θωρίαι όι υλικό δέχαι λαικές παραµορφώις και πίης όι ργοκληρύναι γραµµικά καά ην πλαική ου παραµόρφωη. Όπως φαίναι ο Σχ. 6, υποίθαι όι ην πλαική πριοχή η άη και η παραµόρφωη υχίζοναι µ γραµµικό ρόπο. Η προέγγιη ης καµπύλης διαρροής µ αυό ον ρόπο οδηγί πιο πρίπλοκς µαθηµαικές χέις ύγκριη µ ις δύο προηγούµνς προγγίις, ωόο βρίκαι πιο κονά ην πραγµαική καµπύλη διαρροής ων όλκιµων µάλλων. Σχ. 6 4. Πραγµαική Τάη και Πραγµαική Παραµόρφωη Η καµπύλη άης παραµόρφωης που προκύπι από ον µονοαξονικό φλκυµό νός υλικού κφραµένη ονοµαικές ιµές, δηλαδή αυό που απλά ονοµάζουµ καµπύλη ονοµαικής άης ονοµαικής παραµόρφωης ( n e), δν πριγράφι µ απόλυη ακρίβια ην πριοχή πλαικής παραµόρφωης ου υλικού, πιδή βαίζαι ις αρχικές διαάις ου δοκιµίου φλκυµού. Όµως, οι διαάις ου δοκιµίου µαβάλλοναι διαρκώς καά η δοκιµή φλκυµού. Το ίδιο ιχύι και ις καργαίς διαµόρφωης ων µαλλικών υλικών, όπου οι διαάις ου υπό καργαία υλικού µαβάλλοναι πολύ µγάλο βαθµό χέη µ ις αρχικές. Καά υνέπια, όαν οι παραµορφώις ο υλικό παίρνουν µγάλς ιµές (όπως υµβαίνι µ ις πλαικές παραµορφώις), ό ίναι 69

απαραίηη η έκφραη ης άης και ης παραµόρφωης ιµές που να βαίζοναι ις ιγµιαίς διαάις ου δοκιµίου. Σ προηγούµνη νόηα ίδαµ όι για ον κοπό αυό ορίαµ ην πραγµαική άη (true stress) και ην πραγµαική παραµόρφωη (true strain). Καά η υζήηη ης θωρίας λαικόηας διαπιώαµ όι η έκφραη άων και παραµορφώων ονοµαικές ή πραγµαικές ιµές δν ίχ ηµαία, καθώς λόγω ων γνικά µικρών παραµορφώων ην λαική πριοχή ων µαλλικών υλικών οι πραγµαικές και οι ονοµαικές ιµές χδόν υνέπιπαν. Ωόο, αυό δν ιχύι ην πλαική πριοχή ων µαλλικών υλικών. Πραγµαική άη ίναι η ορθή άη που αναπύαι η διαοµή ου δοκιµίου φλκυµού και ιούαι µ F/A, όπου F ο ιγµιαίο φλκυικό φορίο που ακίαι ο δοκίµιο και Α ο µβαδόν ης ιγµιαίας πιφάνιας διαοµής ου δοκιµίου. Η πραγµαική παραµόρφωη ίναι η ορθή παραµόρφωη ου δοκιµίου φλκυµού και ορίζαι από η χέη: L ln () L o Σον οριµό ης πραγµαικής παραµόρφωης ης Εξ.() η µαβολή ου µήκους ου δοκιµίου φλκυµού αναφέραι κάθ φορά ο ιγµιαίο µήκος ου δοκιµίου και όχι ο αρχικό. Έι, αν για παράδιγµα υποθέουµ όι καά η διάρκια ης δοκιµής φλκυµού µπορούµ να φωογραφίουµ ο δοκίµιο Ν χρονικές ιγµές (Ν,,,.), ό η πραγµαική παραµόρφωη ου δοκιµίου µά από κάποια χρονική ιγµή θα ίναι: L L Lo L L L L L L... ln () Lo L L L L Lo o Η χέη µαξύ ονοµαικής και πραγµαικής παραµόρφωης έχουµ δι όι ίναι: ln ( e) (4) Ο παρακάω πίνακας κάνι µία ύγκριη ης ορθής παραµόρφωης, κφραµένης ονοµαικές και πραγµαικές ιµές, µ βάη ην Εξ.(4): 7

Ονοµαική άη e,,5,,65,7 Πραγµαική άη ln(e),,,,5,, Όπως φαίναι ον πίνακα, για παραµορφώις µέχρι και, (ή %) οι ονοµαικές και πραγµαικές ιµές παραµόρφωης υµπίπουν. (Υπνθύµιη: η λαική πριοχή ων µαλλικών υλικών κίναι παραµορφώις πολύ µικρόρς ου,.) Όο όµως προχωράµ µγαλύρς παραµορφώις η απόκλιη αυξάναι. Σ µγάλς παραµορφώις, δηλαδή νός ης πλαικής πριοχής, η χρήη πραγµαικών ιµών δίνι πολύ πιο ακριβή ικόνα ης παραµόρφωης. Το πλονέκηµα ης χρήης πραγµαικών άων καά ην πλαική παραµόρφωη ων υλικών µπορί να φανί καλύρα µ ο ξής παράδιγµα: ας υποθέουµ όι έχουµ έναν κύλινδρο ου οποίου διπλαιάζουµ ο µήκος. Η παραµόρφωη αυή κφραµένη ονοµαική ιµή ίναι e (L o L o )/L o (ή %). Για να πιυγχάναµ ην ίδια ποόηα αρνηικής παραµόρφωης θα έπρπ να υνθλίβαµ ον κύλινδρο µέχρι να µηδνίουµ ο µήκος ου, πιδή e ( L o )/L o ή ( %). Ωόο, όπως κααλαβαίνι κανίς, ο κύλινδρος ποέ δν θα µπορού πραγµαικά να υνθλιβί µηδνικό µήκος. Ακόµη όµως και αν µπορού να γίνι αυό, η πλαική παραµόρφωη που θα ίχ υποί ο κύλινδρος θα ήαν καά πολύ µγαλύρη από αυήν που θα ίχ υποί για να διπλαιαί ο µήκος ου. Ανίθα, ίναι ύκολο να φαναί κανίς όι αν ο κύλινδρος υνθλιβόαν ο µιό ου αρχικού ου µήκους, αυή η πρίπωη θα ήαν όµοια (αν και ανίθη πρόηµο) µ ην πρίπωη ης πιµήκυνης ου κυλίνδρου διπλάιο µήκος από ο αρχικό ου. Αν ο µήκος ου κυλίνδρου µιωνόαν ο µιό ου αρχικού καά η θλίψη, αυό θα έδιν ονοµαική παραµόρφωη e (,5L o L o )/L o,5 (ή 5%). Ωόο, αν η παραµόρφωη κφραί πραγµαικές ιµές για ις δύο πριπώις (φλκυµός διπλαιαµός µήκους και θλίψη µίωη µήκους ο µιό), ό θα ήαν: L Lo o o ln ln( ) και ln ln ln( ) φλκ θλιψη (/ ) L Lo ιαπιώνουµ, δηλαδή, όι η χρήη πραγµαικής παραµόρφωης µας δίνι ο ίδιο ποό παραµόρφωης φλκυµό και θλίψη, µ ανίθο φυικά πρόηµο, γγονός που αναποκρίναι ην πραγµαικόηα. 7

Ένα άλλο πλονέκηµα ης χρήης πραγµαικών παραµορφώων ην ανάλυη ης πλαικής υµπριφοράς ων υλικών, αφορά ο γγονός όι η υνολική πραγµαική παραµόρφωη ιούαι µ ο άθροιµα όλων ων βηµάων αύξηης (increments) ης πραγµαικής παραµόρφωης. Η παραπάνω ιδιόηα ης πραγµαικής παραµόρφωης θα γίνι πιο αφής µ ο παρακάω παράδιγµα. Φαναί µία ράβδο αρχικού µήκους cm η οποία πιµηκύναι ρία βήµαα, καθένα από α οποία η ονοµαική παραµόρφωη ης ράβδου ίναι ίη µ e,: Βήµα Μήκος ράβδου cm Ονοµα. παραµόρφ. ανά βήµα,, e - (,,)/,,,4 e - (,4,)/,,,66 e - (,66,4)/,4, Παραηρί όι η υνολική ονοµαική παραµόρφωη e - (,66,)/,, δν ιούαι µ ο άθροιµα e - e - e -,. Ανίθα, αν ο ίδιο παράδιγµα χρηιµοποιήουµ πραγµαικές άις, θα έχουµ:,,4,66 ln,95 ln, 95 ln, 95,,,4 Η υνολική πραγµαική παραµόρφωη θα ίναι:,66 ln,,859 Παραηρί όι ώρα - - - -. Η ιδιόηα αυή ης έκφραης ων παραµορφώων πραγµαικές ιµές ίναι πολύ ηµανική, ακριβώς γιαί και ην πραγµαικόηα η πλαική παραµόρφωη ίναι µη ανιρπή και καά υνέπια υωρύαι α µέαλλα. Εποµένως, η υνολική πλαική παραµόρφωη που υφίααι ένα µέαλλο, αν υποθέουµ όι πρνάι από διάφορα άδια φλκυµού, θλίψης, κ..λ., θα πρέπι να ιούαι µ ο άθροιµα ης πλαικής παραµόρφωης που παράγαι κάθ 7

άδιο ξχωριά. Όπως ίδαµ ο προηγούµνο παράδιγµα, η πραγµαική παραµόρφωη έχι ην ικανόηα να λάβι υπόψη ο γγονός αυό, νώ η ονοµαική όχι. 5. Κριήρια ιαρροής για Όλκιµα Μέαλλα Η ανάπυξη µαθηµαικών χέων για ην πρόβλψη ων υνθηκών υπό ις οποίς ένα µαλλικό υλικό θα υποί πλαική διαρροή, όαν κααπονίαι οποιαδήπο ναική καάαη, ίναι ένα από ους βαικόρους όχους ης θωρίας πλαικόηας. Όαν η ναική καάαη ίναι µονοαξονικός φλκυµός, όπως για παράδιγµα η δοκιµή φλκυµού, η µακροκοπική πλαική διαρροή ξκινά όαν η άη φάι ο όριο διαρροής ο. Σ πιο ύνθς ναικές κααάις, η υνθήκη έναρξης πλαικής διαρροής χίζαι µ κάποιο ρόπο µ ις κύρις άις. Τα κριήρια διαρροής (ieling criteria) ίναι µπιρικές µαθηµαικές χέις, οι οποίς υπολογίζουν µία ιοδύναµη άη (equivalent stress), που ίναι υνάρηη ων κυρίων άων που µφανίζοναι ην ναική καάαη. Ο καθοριµός ου άν θα υπάρξι ή όχι πλαική διαρροή γίναι υγκρίνονας ην ιοδύναµη άη µ ο όριο διαρροής ου υλικού, που καθορίζαι όπως γνωρίζουµ µέω ης δοκιµής φλκυµού. Ακριβώς αυή ίναι και η µγάλη χρηιµόηα ων κριηρίων διαρροής: δίνουν η δυναόηα να καθορίουµ άν θα υπάρξι πλαική διαρροή οποιαδήπο ύνθη ναική καάαη, χρηιµοποιώνας αν µέρο ύγκριης µία ιδιόηα ου υλικού (όριο διαρροής) που καθορίζαι µ µία χικά απλή µέρηη (δοκιµή φλκυµού). Παρόι α κριήρια διαρροής ίναι µπιρικές µαθηµαικές χέις, έχουν λγχθί µ πληθώρα πιραµαικών απολµάων και βρίκοναι καλή υµφωνία. Τα γνωόρα κριήρια πλαικής διαρροής ίναι ο κριήριο µέγιης διαµηικής άης ή κριήριο Tresca (maimum shear-stress criterion) και ο κριήριο ροφικής νέργιας ή κριήριο Von Misses (istortion-energ criterion). Έχι παραηρηθί και έχι λγχθί πιραµαικά όι α δύο αυά κριήρια προβλέπουν καλά η πλαική διαρροή όλκιµων µαλλικών υλικών ύνθς ναικές κααάις. Ση υνέχια θα πριγράψουµ α δύο κριήρια και θα δούµ οριµένα παραδίγµαα ου ρόπου φαρµογής ους. 7

5. Κριήριο Μέγιης ιαµηικής Τάης (Tresca) Το κριήριο µέγιης διαµηικής άης θωρί όι η πλαική διαρροή (παραµόρφωη) ξκινά όαν η µέγιη διαµηική άη, ma, φάνι ην ιµή ης διαµηικής άης που παραηρίαι καά ην έναρξη πλαικής διαρροής ον µονοαξονικό φλκυµό. Ση υζήηη για ις κύρις άις ίχαµ δι όι η µέγιη διαµηική άη, ην γνικυµένη ριδιάαη ναική καάαη, ιούαι µ: ma (5) όπου ίναι η αλγβρικά µέγιη και η αλγβρικά λάχιη κύρια άη. Σον µονοαξονικό φλκυµό καά ην έναρξη ης πλαικής διαρροής έχουµ ο,, όπου ο ο όριο διαρροής µονοαξονικό φλκυµό (δηλαδή ο γνωό όριο διαρροής ου υλικού). Σύµφωνα µ ην Εξ.(5) η µέγιη διαµηική άη η ιγµή που ξκινά η πλαική διαρροή ίναι: ο ο ma o (6) Καά υνέπια, ο κριήριο µέγιης διαµηικής άης λέι όι, µία ύνθη ναική καάαη, η πλαική διαρροή θα ξκινήι όαν ικανοποιηθί η υνθήκη: ο (7) Εποµένως, πρέπι να υπολογίουµ ις κύρις άις ην ναική καάαη που ξάζουµ και η υνέχια να υγκρίνουµ ην διαφορά µ ο όριο διαρροής ου υλικού. Εάν προκύψι όι ο, ό ο υλικό θα υποί πλαική διαρροή. Εάν < ο, ό ο υλικό θα βρίκαι νός ης λαικής πριοχής. Όπως βλέπουµ, ο κριήριο Tresca ίναι ξαιρικά απλό ην φαρµογή ου και δν πριέχι πολύπλοκα µαθηµαικά. Ωόο, ο βαικό µιονέκηµα που παρουιάζι ίναι όι 74

δν λαµβάνι υπόψη ην µαία κύρια άη, δηλαδή ην, η οποία διαιθανόµα όι θα πρέπι λογικά να παίζι ρόλο και αυή ο αν ο υλικό θα παραµορφωθί πλαικά ή όχι. Από αυή ην άποψη υπρέχι ο κριήριο ροφικής νέργιας ή κριήριο Von Misses, ο οποίο θα πριγράψουµ η υνέχια. Παράδιγµα Για ην πίπδη ναική καάαη ου παρακάω χήµαος θέλουµ να καθορίουµ άν ο υλικό θα υποί πλαική διαρροή, χρηιµοποιώνας ο κριήριο Tresca. Το υλικό ίναι ένα όλκιµο κράµα αλουµινίου µ όριο διαρροής µονοαξονικό φλκυµό ο MPa. Πρώα πρέπι να υπολογίουµ ις κύρις άις και. Όπως γνωρίζουµ: ( ) MPa 77, 96 7 96 7 ) ( και ( ) MPa, 96 7 96 7 ) ( Η µέγιη διαµηική άη για ην ξαζόµνη ναική καάαη ίναι: 75

77, (,) ma 89,MPa Σύµφωνα µ ο κριήριο Tresca, για να υµβί πλαική διαρροή θα πρέπι ma ο /, δηλαδή ma 5 MPa για ο υγκκριµένο κράµα αλουµινίου. Βλέπουµ όι αυό δν ιχύι και ποµένως ο υλικό δν θα υποί πλαική διαρροή για ην δδοµένη ναική καάαη ύµφωνα µ ο κριήριο Tresca. 5. Κριήριο Μέγιης Σροφικής Ενέργιας (Von Misses) Το κριήριο µέγιης ροφικής νέργιας, που διαυπώθηκ από ον Von Misses ο 9, θωρί όι ένα όλκιµο µαλλικό υλικό θα υποί πλαική διαρροή άν ικανοποιίαι η παρακάω υνθήκη: [( ) ( ) ( ) ] o (8) όπου, και οι κύρις άις (ριδιάαη ναική καάαη) και ο ο όριο διαρροής ου υλικού µονοαξονικό φλκυµό. Η Εξ.(8) ίναι η υνήθης µορφή ου κριηρίου Von Misses. Πολλές φορές, ωόο, ίναι πιο ύχρηη η παρακάω µορφή: [( ) ( z ) ( z ) 6 ( z z )] o (9) πιδή έι δν απαιίαι υπολογιµός ων κυρίων άων. Αξίζι να προέξι κανίς όι ο κριήριο Von Misses δίχνι όι η πλαική διαρροή δν ξαράαι από οποιαδήπο µµονωµένη ορθή ή διαµηική άη, αλλά ανίθα ίναι υνάρηη ων διαφορών ων κυρίων άων, δηλαδή ων µέγιων διαµηικών άων (ας θυµηθούµ όι οι διαφορές ων κυρίων άων,, κ..λ. κφράζουν ο µέγθος ων µέγιων διαµηικών άων). 76

Παράδιγµα Για ην ναική καάαη ου προηγούµνου παραδίγµαος, λέγξ αν ο κριήριο Von Misses προβλέπι πλαική διαρροή ου υλικού ή όχι. Πρώα πρέπι να υπολογίουµ ην ποόηα: [( 77, (,) ) (, ) ( 77,) ] 54,96MPa Για να υπάρξι πλαική διαρροή θα πρέπι 54,96 MPa ο. Όµως, για ο υγκκριµένο κράµα αλουµινίου ο MPa και καά υνέπια ο κριήριο Von Misses προβλέπι όι για ην δδοµένη ναική καάαη ο υλικό δν θα υποί πλαική διαρροή. 6. Μηχανικές οκιµές για Σύνθς Εναικές Κααάις Μέχρι ώρα έχουµ δι όι η βαικόρη µηχανική δοκιµή ίναι η δοκιµή φλκυµού. Καά ην δοκιµή φλκυµού η ναική καάαη που αναπύαι ο δοκίµιο ίναι αυή ου απλού µονοαξονικού φλκυµού. Αυό ηµαίνι όι η διαοµή ου δοκιµίου αναπύαι µόνο ορθή άη παράλληλη προς ον άξονα φλκυµού ( ). Επίης, ίδαµ και η δοκιµή ρέψης (torsion test), καά ην οποία ένα κυλινδρικό δοκίµιο ου υλικού υποβάλλαι καθαρή ρέψη µέω µίας γνωής ρπικής ροπής. Ση διαοµή ου δοκιµίου ρέψης αναπύοναι µόνον διαµηικές άις. Ωόο, υπάρχουν µηχανικές δοκιµές που µας πιρέπουν να ξάουµ η µηχανική υµπριφορά νός υλικού και πιο ύνθς ναικές κααάις. Για ον κοπό αυό χρηιµοποιούναι υνήθως δοκίµια ου υλικού µορφή λπόοιχων ωλήνων. Οι ωλήνς αυοί µπορούν αυόχρονα να υποβληθούν φλκυµό και ρέψη, µ αποέλµα ο υλικό να υφίααι ύνθη ναική καάαη και να κααπονίαι αυόχρονα από ορθή ( ) και διαµηικές άις. Πολλές φορές ους ωλήνς αυούς πιβάλλαι αυόχρονα και ωρική πίη, µέω κάποιου ρυού, µ αποέλµα να αναπύοναι ορθές άις προς δύο διυθύνις ( και ) και διαµηικές άις. 77

Το Σχ. 7 δίχνι ένα παράδιγµα µηχανικής δοκιµής ύνθη ναική καάαη. Το δοκίµιο, που ίναι ένας λπόοιχος ωλήνας, υποβάλλαι αυόχρονα φλκυµό µ ην αξονική δύναµη P και ρέψη µ η ρπική ροπή Μ Τ. Η ναική καάαη που πικραί οποιοδήπο ηµίο ου οιχώµαος ου ωλήνα απολίαι από ην ορθή άη και ις διαµηικές άις, όπως φαίναι ο χήµα. Σχ. 7 Για ην ναική καάαη ου Σχ. 7, οι κύρις άις ίναι οι ξής: 4 4 Καά υνέπια, ο κριήριο Tresca µπορί να γραφί ως ξής: 4 o o () Ανίοιχα, ο κριήριο Von Misses παίρνι η µορφή: o o () 78

Το διάγραµµα ου Σχ. 8 δίχνι πιραµαικά απολέµαα από µηχανικές δοκιµές αν αυή ου Σχ. 7. Τα ηµία που υπάρχουν ο διάγραµµα δίχνουν ους υνδυαµούς άων ( και ) για ους οποίους ξκίνη η πλαική διαρροή ου υλικού. Σο ίδιο διάγραµµα έχουν οποθηθί για ύγκριη και οι ανίοιχς καµπύλς υπολογιµένς από α κριήρια Tresca και Von Misses, Εξ.() και (). Όπως φαίναι, ο κριήριο Von Misses υµφωνί πριόρο µ α πιραµαικά απολέµαα και, ποµένως, προβλέπι µ µγαλύρη ακρίβια ην έναρξη πλαικής διαρροής ου υλικού. Von Misses Tresca Σχ. 8 7. Ιοδύναµη Τάη και Παραµόρφωη Για να απλοποιούναι οι υπολογιµοί και να µπορί να προβλφθί η υµπριφορά ου υλικού ύνθς ναικές κααάις, υχνά ίναι πολύ χρήιµο να κααφύγουµ ις έννοις ης ιοδύναµης άης (equivalent ή effective stress) και ης ιοδύναµης παραµόρφωης (equivalent ή effective strain). Η χρηιµόηα ης ιοδύναµης άης και παραµόρφωης έγκιαι ο όι, ουιαικά, ξαλίφουν ις ιδιαιρόης ων διαφορικών µηχανικών δοκιµών ις οποίς µπορούµ να υποβάλλουµ ένα υλικό και δίνουν ην καθαρή πλαική υµπριφορά ου υλικού. Για παράδιγµα, ας υποθέουµ όι έχουµ ην καµπύλη (ορθής) άης (ορθής) παραµόρφωης από η δοκιµή φλκυµού νός υλικού και ανίοιχα ην καµπύλη (διαµηικής) άης (διαµηικής) παραµόρφωης από η δοκιµή ρέψης ου ίδιου υλικού. Εάν κφράουµ ις καµπύλς αυές όρους ιοδύναµης άης ιοδύναµης παραµόρφωης ό οι δύο καµπύλς θα υµπέουν. 79

Μ ποιο ρόπο, όµως, υπολογίζοναι η ιοδύναµη άη και η ιοδύναµη παραµόρφωη; Για ον υπολογιµό ης ιοδύναµης άης χρηιµοποιίαι η χέη: [( ) ( ) ( ) ] () όπου, και οι κύρις άις οποιαδήπο ύνθης ναικής καάαης. Όπως φαίναι, η ιοδύναµη άη ίναι η ποόηα που χρηιµοποιίαι ο κριήριο Von Misses για να υγκριθί µ ο όριο διαρροής ου υλικού µονοαξονικό φλκυµό, ο. Ανίοιχα, η ιοδύναµη παραµόρφωη δίδαι από η χέη: [( ) ( ) ( ) ] () Προέξ όι ην Εξ.() χρηιµοποιούναι οι διαφορικές µαβολές (increments) ων κυρίων παραµορφώων, και. Οι κύρις παραµορφώις ίναι οι ορθές παραµορφώις που προκαλούναι από ις κύρις άις, και, ανίοιχα. Επίης, θα πρέπι να ονιθί όι οι παραµορφώις που υπιέρχοναι ην Εξ.() αφορούν µόνο ο πλαικό µέρος ης υνολικής παραµόρφωης (η υνολική παραµόρφωη ίναι ο άθροιµα λαικής και πλαικής παραµόρφωης). Βέβαια, πιδή οι λαικές παραµορφώις ίναι αρκά µικρές χέη µ ις πλαικές, υνήθως αγνοούναι. (Αυό δν ιχύι πριπώις αικών πδίων κονά γκοπές, ρήγµαα, κ..λ.) Η Εξ.() απλοποιίαι ην παρακάω µορφή: ( ) (4) Σ όρους υνολικής ιοδύναµης παραµόρφωης ιχύι η χέη: ( ) (5) 8

Μ ην ιαγωγή ων ννοιών ης ιοδύναµης άης και ης ιοδύναµης παραµόρφωης µας δίναι η δυναόηα να πριγράψουµ ην καµπύλη διαρροής νός όλκιµου µάλλου οποιαδήπο ναική καάαη, µέω ης χέης: ( n K ) (6) 8. Κύρις Παραµορφώις Σην προηγούµνη παράγραφο ίδαµ όι ο υπολογιµός ης ιοδύναµης παραµόρφωης προϋποθέι γνώη ων κυρίων παραµορφώων, και. Ωόο, µέχρι ιγµής δν έχουµ αναφέρι µ ποιον ρόπο καθορίζοναι οι παραµορφώις αυές. Μία ύνοµη πριγραφή ου θέµαος αυού θα πιχιρήουµ ώρα, χωρίς να µπλακούµ ην απόδιξη ων µαθηµαικών χέων. Όπως ίδαµ προηγούµνη νόηα, υπάρχουν µαθηµαικές χέις που µας πιρέπουν να υπολογίζουµ ις άις γύρω από ένα ηµίο ου υλικού ως προς οποιοδήπο ύηµα υναγµένων, αρκί να γνωρίζουµ ις ιµές ων άων χέη µ ένα αρχικό ύηµα υναγµένων. Τις µαθηµαικές χέις αυές ις ονοµάαµ ξιώις µαχηµαιµού άων. Οι ξιώις µαχηµαιµού άων ήαν η βάη πάνω ην οποία ηρίχθηκ και ο υπολογιµός ων κυρίων άων που ίδαµ η υνέχια. Μ ην ίδια λογική υπάρχουν χέις που µας πιρέπουν να υπολογίζουµ ις παραµορφώις ένα ηµίο ου υλικού ως προς οποιοδήπο ύηµα υναγµένων, όαν γνωρίζουµ ις ιµές ους ως προς ένα αρχικό ύηµα υναγµένων. Υπάρχουν δηλαδή και ξιώις µαχηµαιµού παραµορφώων. Μ ις ξιώις αυές µπορούµ η υνέχια να υπολογίουµ και ις κύρις παραµορφώις, οι οποίς ίναι οι ορθές παραµορφώις που προκαλούναι από ις ανίοιχς κύρις άις. Για παράδιγµα, ην ναική καάαη πίπδης παραµόρφωης (plain strain), όπου ιχύι όι,, γ και z γ z γ z, άν γνωρίζουµ ις ιµές ων παραµορφώων, και γ ως προς ένα ύηµα υναγµένων, ό µπορούµ να 8

υπολογίουµ και ις παραµορφώις, και γ ως προς ένα νέο ύηµα υναγµένων - που χηµαίζι γωνία θ ως προς ο αρχικό, µέω ων χέων: γ ' cos θ sin θ (7) γ ' cos θ sin θ (8) ( ) sin θ γ cos θ γ (9) ' ' Σα ιόροπα υλικά, οι διυθύνις ων κυρίων άων υµπίπουν µ ις διυθύνις ων κυρίων παραµορφώων. Σα πίπδα όπου πνργούν οι κύρις άις (κύρια πίπδα) δν υπάρχουν διαµηικές παραµορφώις. Αυό ηµαίνι όι ις κύρις διυθύνις όπου θ θ p ιχύι όι: γ ' ' sin θ p ( ) sin θ p γ cos θ p γ ( ) () cos θ p Ανικαθιώνας ις Εξ.(7) και (8), προκύπι: ( ) sin θ p cos θ p () cos θ p και ( ) sin θ p cos θ p () cos θ p Οι ορθές παραµορφώις και µπορούν ύκολα να µρηθούν µ πιµηκυνιόµρα (strain-gages). Το µόνο που χριάζαι ίναι να ίναι γνωές οι κύρις διυθύνις, δηλαδή η γωνία θ p. Μ ις Εξ.() και () µπορούν να υπολογιούν οι κύρις παραµορφώις για ην 8

ναική καάαη πίπδης παραµόρφωης. Παρόµοις ξιώις υπάρχουν και για ην γνικυµένη ριδιάαη ναική καάαη, αλλά η αναλυική παρουίαή ους ξφύγι από ους κοπούς ης νόηας αυής. 9. ιαφορικές Μαβολές Πλαικής Παραµόρφωης (plastic-strain increments) Όπως ίδαµ καά η υζήηη ης θωρίας λαικόηας, ην λαική πριοχή οι παραµορφώις ορίζοναι µονοήµανα από ις άις (και ο ανίροφο) µέω ου νόµου ου Hooke, ί ην απλή ί η γνικυµένη ου µορφή, χωρίς να παίζι ρόλο ο ρόπος µ ον οποίο ο υλικό έφα ις υγκκριµένς παραµορφώις και άις. Ωόο, κάι έοιο δν ιχύι ην πλαική πριοχή. Σην πλαική πριοχή οι παραµορφώις γνικά δν ορίζοναι µονοήµανα από ις άις, αλλά ξαρώναι από ο υνολικό ιορικό φόριης ου υλικού και από ον ρόπο µ ον οποίο ο υλικό έφα ο πίπδο παραµόρφωης που έχι υποί. Εποµένως, ην πλαικόηα ίναι απαραίηο να καθορίζοναι οι διαφορικές µαβολές παραµόρφωης (strain increments),, όλη ην πορία πλαικής παραµόρφωης ου υλικού και η υνέχια να καθορίζαι η υνολική πλαική παραµόρφωη µ ολοκλήρωη. Σαν ένα απλό παράδιγµα, ας θωρήουµ µία ράβδο αρχικού µήκους cm η οποία πιµηκύναι µ φλκυµό µήκος,5 cm και η υνέχια µ θλίψη πανέρχαι µήκος cm. Εάν υπολογίουµ η υνολική πραγµαική παραµόρφωη ης ράβδου, λαµβάνονας υπόψη µόνο ο αρχικό και ο λικό µήκος ης ράβδου (δηλαδή ην αρχική και ην λική καάαη) και αγνοώνας ον ρόπο µ ον οποίο η ράβδος έφα από ην αρχική ην λική ης καάαη, θα έχουµ: L f ln ln() Lo L L L L 8

Φαίναι, δηλαδή, όι η ράβδος µας λικά δν υπέη πλαική παραµόρφωη. Είναι όµως όνως έι α πράγµαα; Εάν για να υπολογίουµ ην υνολική παραµόρφωη ης ράβδου χρηιµοποιήουµ ις διαφορικές µαβολές (increments) παραµόρφωης, αν λάβουµ δηλαδή υπόψη ποιον δρόµο ακολούθη ο υλικό για να φάι από ην αρχική ην λική ου καάαη, διαπιώνουµ όι:,5,5,5 ln ln,446 L L,5 L L 44,6% Το αποέλµα αυό ίναι πολύ πιο λογικό και µας δίχνι όι η ράβδος µας υπέη ένα αρκά µγάλο ποοό πλαικής παραµόρφωης, παρόι ο λικό ης µήκος ίναι ίδιο µ ο αρχικό. Ας µην ξχνάµ όι η πλαική παραµόρφωη ίναι µη ανιρπή διργαία. Αυό ηµαίνι όι η πλαική παραµόρφωη που παρήχθη καά ον φλκυµό δν ξαφανίζαι από ο υλικό άν απλώς µίς ο παραµορφώουµ προς ην ανίθη καύθυνη µ θλίψη. Ανίθα, η πλαική παραµόρφωη που παρήχθη καά ον φλκυµό υωρύαι ο υλικό και αυήν προίθαι πιπλέον και η πλαική παραµόρφωη που παρήχθη καά η θλίψη. Ο λόγος για ον οποίο υµβαίνι αυό έχι να κάνι µ ον µηχανιµό που προκαλί ην πλαική παραµόρφωη α µαλλικά υλικά που, ως γνωόν, ίναι η ολίθηη ων γραµµοααξιών. Καά ον φλκυµό ης ράβδου, γραµµοααξίς ολίθηαν υγκκριµένα υήµαα ολίθηης και υνολικά παρήγαγαν ένα οριµένο ποοό (µακροκοπικής) πλαικής παραµόρφωης. Η ολίθηή ους ίναι γγονός µη ανιρέψιµο. Το όι η υνέχια υποβάλλαµ η ράβδο θλίψη ηµαίνι και πάλι όι ολίθηαν γραµµοααξίς, έω και προς ην ανίθη καύθυνη, προκαλώνας νέα πλαική παραµόρφωη ο υλικό. Αυό όµως δν αναιρί ην πλαική παραµόρφωη που ίχ παραχθί ο πρώο άδιο (φλκυµός). Έι, αποδικνύαι όι ην πλαική πριοχή ίναι ωό να λαµβάνουµ υπόψη ις αυξήις πλαικής παραµόρφωης. 84

. Σχέις Τάης Παραµόρφωης ην Πλαική Πριοχή Πριν αναφρθούµ χέις µαξύ άων και παραµορφώων ην πλαική πριοχή, θα πρέπι να κάνουµ µια µικρή αναφορά ην υδροαική (hrostatic) ή µέη και ην αποκλίνουα (eviatoric) ή ροφική υνιώα ου ανυή ων άων. Οποιαδήπο ναική καάαη, που πριγράφαι από ις άις,, z,, z, z, µπορί να αναλυθί µία υνιώα που προκαλί µόνο µαβολή όγκου (ίναι δηλαδή υδροαικής φύης) και µία άλλη υνιώα που προκαλί µόνο µαβολές χήµαος (ίναι δηλαδή διαµηικής φύης). Η υδροαική υνιώα ων άων, καθώς όπως θα δούµ απολίαι µόνο από ορθές άις, προκαλί µόνο λαικές µαβολές όγκου και όχι πλαική παραµόρφωη. Ανίθα, η ροφική υνιώα, που απολίαι από διαµηικές άις, ίναι κίνη που προκαλί ην πλαική παραµόρφωη ων µάλλων. Η υδροαική ή µέη υνιώα ου ανυή άων δίδαι από η χέη: z m () Σ ανυική µορφή, η υδροαική υνιώα ιούαι µ: kk m (4) Ο ανυής ων άων ij ίναι ο άθροιµα ης υδροαικής και ης ροφικής υνιώας. Εάν υµβολίουµ ην ροφική υνιώα ου ανυή ων άων µ ij, ό ιχύι όι: 85

ij ij m ij ij kk ij ij kk ij ij ij δ δ δ (5) Σ µηρωική µορφή η Εξ.(5) έχι ως ξής: z z z z z z z z z z z z z z z Το δξί µέλος ης µηρωικής ξίωης ίναι η ροφική υνιώα ου ανυή άων. Εάν ο ύηµα αξόνων που χρηιµοποιούµ ίναι ο ύηµα κυρίων αξόνων (,,) (δηλαδή οι άξονς υναγµένων υµπίπουν µ ις κύρις διυθύνις), ό η παραπάνω µηρωική ξίωη παίρνι η µορφή: 86

Τώρα φαίναι πιο καθαρά όι η ροφική υνιώα ου ανυή ων άων, ij, πριλαµβάνι µόνο άις διαµηικής φύως. Κι αυό πιδή: ( ) ( ) ( ) (6) ( ) ( ) ( ) (7) ( ) ( ) ( ) (8) όπου, και οι µέγις διαµηικές άις που µφανίζοναι δδοµένη ναική καάαη. Τώρα µπορούµ να προχωρήουµ ην διαύπωη ων ξιώων Lev Mises, οι οποίς υχίζουν ις άις µ ις παραµορφώις για ένα έλια πλαικό υλικό (βλ. Σχ. 4 87

και Σχ. 5), για ένα υλικό δηλαδή ο οποίο οι λαικές παραµορφώις θωρούναι αµληές ύγκριη µ ις πλαικές παραµορφώις. Ας ξάουµ ην πρίπωη ης πλαικής διαρροής µονοαξονικό φλκυµό. Οι κύρις άις για ην υγκκριµένη ναική καάαη (µονοαξονικός φλκυµός) ίναι και. Η υδροαική υνιώα ου ανυή άων ην πρίπωη αυή ίναι m ( )/ m /. Είδαµ, όµως, όι µόνο η ροφική υνιώα ου ανυή άων προκαλί πλαική παραµόρφωη. Εποµένως, θα έχουµ: m (9) m () m () Από ις Εξ.(9)-() βλέπουµ όι οι άις ης ροφικής υνιώας ον µονοαξονικό φλκυµό χίζοναι µαξύ ους, ως ξής: () Καά ην πλαική παραµόρφωη ων µαλλικών υλικών, ο όγκος διαηρίαι αθρός (κάι που δν ιχύι για ην λαική ους παραµόρφωη). Η αθρόηα ου όγκου κφράζαι από η χέη: () 88