Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže kroz koji prolazi struja iste jakosti. Čvor električne mreže (č) točka ili mjesto na mreži gdje se sastaju tri ili više grana. Kontura električne mreže bilo koji zatvoreni strujni krug (zamka) koji dobivamo pri obilasku po granama mreže. Pretpostavka: zadane su elektromotorne sile i otpori tražimo nepoznate struje u granama.
a Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij 6 d 4 5 5 b 6 snove elektrotehnike Direktna primjena Kirchhoffovih zakona lektrična mreža a sa četiri čvora i šest grana Potreban broj jednadžbi (č4, g6): č strujne jednadžbe Kirchhoffovog zakona, ngč naponske jednadžbe Kirchhoffovog zakona. 4 c
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Smjerove struja u čvorovima moramo pretpostaviti. Preporuka: struje koje ulaze u čvor imaju pozitivan predznak, struje koje izlaze iz čvora imaju negativan predznak. Smjerove kontura moramo pretpostaviti: napon ima pozitivan predznak, ako pri obilasku konture prolazimo kroz izvor u smjeru njegovog napona u suprotnom ima negativan predznak, umnožak otpora i jakosti struje je pozitivan ako obilazimo promatrani otpornik u pretpostavljenom smjeru struje u suprotnom ima negativan predznak.
4 lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku a... 0 6 b... 0 5 c... 0 6 4 Jednadžbe čvorova strujne jednadžbe: Jednadžbe kontura naponske jednadžbe: 0 5 5... 0 4 4 5 5... 0 6 6... U ovom primjeru potrebno je riješiti sustav od 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica.
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metoda napona čvorova Direktna primjena Kirchhoffovih jednadžbi je nespretna potrebno je rješavati sustav jednadžbi s toliko nepoznanica koliko ima grana, dok metoda napona čvorova i druge metode koriste manje jednadžbi. Metoda napona čvorova sastoji se u sljedećem: jedan čvor se proglasi referentnim, s potencijalom 0V, postave se jednadžbe za struje u ostalim čvorovima, postave se jednadžbe potencijala za sve grane i iz njih se izraze struje, dobiveni izrazi za struje se uvrste u jednadžbe za struje u čvorovima. 5
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike 4 5 5 4 6 6 Potreban broj jednadžbi ukupno č: lektrična mreža a sa četiri čvora i šest grana č strujne jednadžbe Kirchhoffovog zakona, g 6 jednadžbi potencijala za grane iz kojih se izraze struje. 0 6
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Jednadžbe čvorova strujne jednadžbe:......... Jednadžbe potencijala: ϕ 6 5 4 5 0 66 6 ϕ ϕ 6 0 ( ϕ ) ϕ 0 44 4 ϕ4 ϕ ϕ ϕ ϕ ) ϕ ϕ ϕ ϕ ) ϕ ϕ 55 5 ( ϕ ϕ) 5 0 0 0 Struje: ( ( 7
8 lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Umjesto otpora vodljivosti: L Dobiju se jednadžbe s nepoznanicama ϕ, ϕ i ϕ : 6 ) ( ϕ ϕ ϕ 5 5 ) ( ϕ ϕ ϕ 5 4 5 ) ( ϕ ϕ ϕ Dobiveni potencijali se uvrste u izraze za struje. 6 6
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Uvodimo oznake: 6 suma vodljivosti svih grana priključenih na čvor suma vodljivosti izmeñu čvorova i suma vodljivosti izmeñu čvorova i Jednako definiramo,,,, slijedi sustav jednadžbi: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 9
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike pćenito vrijedi za kti čvor: ϕ k kk č j j k ϕ j jk č j j k kj kj kk kj kj suma vodljivosti svih grana priključenih na čvor k suma vodljivosti izmeñu čvorova k i j suma napona izmeñu čvorova k i j lektromotorna sila kj je pozitivna ako je njezin napon usmjeren k čvoru, u protivnom je negativna. 0
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metoda konturnih struja Metoda konturnih struja sastoji se u sljedećem: odaberemo nezavisne konture (ukupno n), odredimo smjer struja svake konture preporuka: u smjeru kazaljke na satu, pretpostavimo struju nezavisne grane (grana koja pripada samo toj konturi) u smjeru struje konture, za svaku konturu napišemo naponsku jednadžbu, rješavamo sustav od n jednadžbi s n nepoznanica.
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike pćenito vrijedi za ktu konturu: struja promatrane konture k suma svih otpora unutar promatrane konture k k kk n j j k j kj kk struja bilo koje konture j suma svih elektromotornih sila konture k suma meñašnjih otpora izmeñu kontura k i j lektromotorna sila kk je pozitivna ako je njezin napon u smjeru konture, u protivnom je negativna.
a a Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Struje kontura: b f d e 5 d 4 b 6 c Struje grana: a a d d f f c snove elektrotehnike lektrična mreža a sa četiri čvora i šest grana (tri konture) e b c
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Jednadžbe konturnih struja: snove elektrotehnike ( Sreñeno: 5 ) 5 5 4 5 ) 6 ) ( ( meñašnji otpor izmeñu konture i suma svih otpora unutar konture suma svih elektromotornih sila unutar konture meñašnji otpor izmeñu konture i 4
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Metoda superpozicije snove elektrotehnike Metoda superpozicije struja jedne grane jednaka je sumi svih pojedinačnih struja što bi ih u toj grani prouzročili pojedini naponi, svaki sam za sebe. Metoda superpozicije sastoji se u sljedećem: struju u jednoj grani izračunamo tako da kratko spojimo sve naponske izvore osim jednog, izračunamo struju u toj grani samo uz taj napon, izračunamo redom struje kroz tu granu i uz svaki od ostalih napona, suma pojedinih struja je tražena struja promatrane grane, postupak treba ponoviti za svaku granu. Metoda vrijedi samo za linearne odnose u mreži. 5
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Zadatak: reba odrediti struju kroz otpornik!. korak: Djeluje samo napon! ' ' ' Zadana električna mreža 0 ' ' ' 6
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike. korak: Djeluje samo napon! '' '' '' 0 '' '' ' '. korak: Ukupna struja je jednaka zbroju pojedinačnih struja! ( ) ' '' ' ' ' 7
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Naponski i strujni izvori dealni naponski izvor je izvor konstantnog napona. dealni strujni izvor je izvor koji uvijek daje struju konstantne jakosti. k ealni naponski izvor možemo prikazati pomoću: idealnog naponskog izvora i unutarnjeg otpora, idealnog strujnog izvora i unutarnjeg otpora. 8
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Pretvorba naponskog u strujni izvor 0 ealan naponski izvor U k 0 0 kvivalentan strujni izvor U U 0 0 podijelimo s 0 U 0 k 0 unutarnji otpor 0 je uvijek paralelan sa strujnim izvorom k 0 9
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Pretvorba strujnog u naponski izvor k 0 0 U 0 U ealan strujni izvor kvivalentan naponski izvor k 0 unutarnji otpor 0 je uvijek u seriji s naponskim izvorom 0
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Nadomjesni izvor više naponskih izvora Serijski spoj više naponskih izvora rješava se postepeno: naponski izvori se pretvore u ekvivalentni naponski izvor, unutarnji otpori se nadomjeste jednim otporom. kvivalentna elektromotorna sila za n izvora: kvivalentni unutarnji otpor za n izvora: 0 n i n i i 0 i
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike 0 0 0 U Serijski spoj naponska izvora 0 0 0 0 0 Nadomjesni naponski izvor U
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Paralelni spoj više naponskih izvora rješava se postepeno: naponski izvori se pretvore u strujne izvore, unutarnji otpori se pretvore u vodljivosti, strujni izvori se pretvore u ekvivalentni strujni izvor, ekvivalentni strujni izvor se pretvori naponski izvor, u ekvivalentni ekvivalentna unutarnja vodljivost se pretvori u unutarnji ekvivalentni otpor.
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike 0 0 0 U Paralelni spoj naponska izvora k k 0 k 0 0 U Paralelni spoj ekvivalentna strujna izvora 4
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike k 0 Nadomjesni strujni izvor U k k k k 0 0 0 0 0 U Nadomjesni naponski izvor pćenito: n k ki ekvivalentni strujni izvor n strujnih izvora n i 0 0 i i ekvivalentna unutarnja vodljivost ekvivalentni naponski izvor k 0 ekvivalentni unutarnji otpor 0 0 5
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Nadomjesni izvor više strujnih izvora Serijski spoj više strujnih izvora rješava se postepeno: strujni izvori se pretvore u ekvivalentni naponski izvor, ekvivalentni naponski izvor se nadomjesti jednim strujnim izvorom. Pritom treba uzeti u obzir smjerove struja: struje u jednom smjeru treba uzeti s jednim predznakom, suprotno usmjerene struje imaju protivan predznak. 6
k k k Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij 0 0 0 Serijski spoj strujna izvora U k 0 snove elektrotehnike 0 Nadomjesni strujni izvor U Nadomjesni naponski izvor U 7
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike kvivalentna elektromotorna sila: kvivalentni unutarnji otpor: pćenito: i kvivalentni strujni izvor: n k0 k 0 k0 ki i 0 0 0 0 n 0 0 0 i i k 0 8
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Paralelni spoj više strujnih izvora rješava se postepeno: svi strujni izvori se premjeste na jednu stranu mreže, a unutarnje vodljivosti na drugu stranu, struja ekvivalentnog strujnog izvora je jednaka zbroju struja svih izvora, ekvivalentna unutarnja vodljivost jednaka je zbroju unutarnjeg vodljivosti svih izvora. 9
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike k k 0 k 0 0 U Paralelni spoj strujna izvora k k k 0 0 0 U Preureñena shema paralelnog spoja strujna izvora 0
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike k k k k k 0 U 0 0 0 0 Nadomjesni strujni izvor kvivalentni strujni izvor za n strujnih izvora: kvivalentna unutarnja vodljivost: n k ki 0 n i i 0 i
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike heveninov teorem Struja kroz otpor neke linearne mreže može se odrediti tako da se preostali dio mreže nadomjesti gledan sa stezaljki tog otpora jednim naponskim izvorom i unutarnjim otporom. Postupak: iz zadane sheme treba odstraniti otpor tako da stezaljke na koje je bio priključen ostanu otvorene, napon je napon praznog hoda na otvorenim stezaljkama, otpor je otpor cijele preostale mreže, gledan sa stezaljki, kad je odstranjen, a sve elektromotorne sile mreže premoštene (unutarnji otpori moraju ostati), a strujni izvori odspojeni.
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike a b Zadana električna mreža a b Nadomjesni heveninov izvor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike U ab heveninov napon na otvorenim stezaljkama (bez otpora ) a b heveninov napon: 4
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike a heveninov otpor na otvorenim stezaljkama (bez otpora ) b heveninov otpor: 5
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike a Nadomjesni b Nadomjesni heveninov izvor Struja kroz otpor: 6
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Nortonov teorem Struja kroz otpor neke linearne mreže može se odrediti tako da se preostali dio mreže nadomjesti gledan sa stezaljki tog otpora jednim strujnim izvorom N i unutarnjim paralelnim otporom. Postupak: iz zadane sheme treba odstraniti otpor i kratko spojiti stezaljke na koje je bio priključen, struja N je struja koja teče kroz kratko spojene stezaljke, otpor je heveninov otpor otpor cijele preostale mreže, gledan sa stezaljki, kad je odstranjen, a sve elektromotorne sile mreže premoštene (unutarnji otpori moraju ostati), a strujni izvori odspojeni. 7
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike a Zadana električna mreža b N a b U Nadomjesni Nortonov strujni izvor 8
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Nortonova struja kroz kratko spojene stezaljke (bez otpora ) a N b Nortonova struja: N 9
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Nortonov (heveninov)) otpor na otvorenim stezaljkama (bez otpora ) Nortonov otpor: N a b 40
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike N U Nortonov strujni izvor Struja kroz otpor: N 4
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Millmanov teorem snove elektrotehnike Kod više paralelno spojenih grana, sa samo dva čvora a i b, možemo odrediti napon izmeñu ta dva čvora i pomoću tog napona odredimo struje u pojedinim granama. Napon izmeñu čvorova: U ab n j j j j n j j Struja jte grane: j j suma elektromotornih sila j te grane vodljivost j te grane ( j U ab ) j 4
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij a 4 b Napon izmeñu čvorova: 4 U ab snove elektrotehnike Paralelni spoj 4 grane U ab ( U ) ab Struja prve grane: ab 4 ( U ) Struja četvrte grane: 4 Struja četvrte grane ima negativan predznak teče u suprotnom smjeru od pretpostavljenog! 4 4
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike ransfiguracija zvijezde i trokuta U električnim shemama mogu otpori biti tako spojeni da se njihov rezultantni otpor ne može jednostavno odrediti. akve kombinacije otpora treba transfigurirati. ransformacijom se ne smiju promijeniti niti strujne, niti naponske prilike u ostatku mreže. Najčešće su transfiguracije trokuta otpora u zvijezdu i zvijezde u trokut. 44
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike ransfiguracija trokuta u zvijezdu 0 45
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike ransfiguracija zvijezde u trokut 0 46