ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός

Σχετικά έγγραφα
lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )

ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

12 Το αόριστο ολοκλήρωµα

f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

4 Συνέχεια συνάρτησης

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής


ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι ( )

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

Eisagwg sthn Anˆlush II

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

8 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μαθηματική Ανάλυση Ι

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4.

Βιοµαθηµατικά BIO-156

ÏÑÏÓÇÌÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ( )( ) ( )( ) Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. w w + 1= + 1. α= α.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΕΥΤΕΡΑ ΑΙΘ.ΖΑ

19 ΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

Ακολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.

είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, αποτελούν βάση του υποχώρου των πινάκων Β άρα η διάστασή του είναι 2. και 2

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Σηµειώσεις στις σειρές

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2

Transcript:

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ f() τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f() είναι ολοκληρώσιµη. πχ f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) f() = είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, ) ( ) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα για µια τοπικά ολκληρώσι- µη συνάρτηση f() υπάρχει αν µπορούµε να ϐρούµε τα όρια για κάθε (,, b) ορ lim c c + lim d b πχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Α ΕΙ ΟΥΣ = ή (και) b = f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) e = lim d e = lim ( e d ) = πχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙ ΟΥΣ στο ένα ή και στα δύο όρια της ολοκλήρωσης η συνάρτηση δεν ορίζεται. f() = ( ) είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, ) = ( ) ( 4 ) = sin t {}}{ = = π/ π/ cos t = π cos tdt ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Α ΕΙ ΟΥΣ Θεωρούµε ολοκληρώµατα το είδους f() τοπικά ολοκληρώριµη, F () = και lim F () ΚΡΙΤΗΡΙΟ Cchy Υπάρχει το γενικευµένο ολοκλήρωµα η συνάρτηση F () ικανοποιεί µια συνθήκη Cchy για ɛ >: > > F ( ) F ( ) = <ɛ Παράδειγµα: Ολοκλήρωµα sin sin = + + d cos sin = cos cos + cos cos + + ɛ = ɛ : > > sin <ɛ Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση f()

Αποδ.: f() ɛ >: > > f() <ɛ f() ɛ >: > > <ɛ ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση sin sin πχ. το υπάρχει αλλά δεν υπάρχει το sin sin = cos = Κριτήριο σύγκρισης f() g() για > g() g() }{{} 3 cos } {{ } Αποδ.: Η απόδειξη στηρίζεται στην σύγκλιση Cchy και στο γεγονός ότι g() 4 πχτο ολοκλήρωµα δεν υπάρχει γιατί και (+ 3 ) /3 + (+ 3 ) /3 το δεν υπάρχει. + ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέµε ότι η συνάρτηση f() είναι ολοκληρώσιµη στο αν f() για κάποιο > f() <C p e για µεγάλα Αποδ.: Ανp τότε για >> p e < } p {{ e } ολοκληρώσιµη στο [, ) οπότε f() C p e Αν p>τότε η συνάρτηση g() = p e / έχει µέγιστο για =p οπότε f() < (p) p e p e / }{{} ολοκληρώσιµη στο [, ) πχη sin e είναι ολοκληρώσιµη στο f() < C q, q > για µεγάλα Αποδ.: Η συνάρτηση C είναι ολοκληρώσιµη στο [, ) q = q q sin 5 πχη είναι ολοκληρώσιµη στο 3/ Οριακό κριτήριο σύγκλισης Αποδ.: f() και <g() για > f() lim g() = l () <l< g() () l = (3) l = g() g() = =

() Για µεγάλα >έχουµε l < f() g() < 3l εποµένως l g() <f() f() < 3l g() g() () Για µεγάλα >έχουµε f() < g() εποµένως f() < g() g() g() (3) Για µεγάλα >έχουµε < f() g() εποµένως g() <f() g() = ; = α πχαν <α<β τότε ( + ) β Ολοκληρωτικό κριτήριο Cchy Αν f() > συνεχής και ϕθίνουσα στο [m, ) τότε f(k) < m k m Αποδ.: f() > συνεχής και ϕθίνουσα k<<k+ f(k }{{ + } ) f() f(k) =l l=p+ l=q+ s υπάρ- Οπότε αν S n = k=n f(k) Cchy τότε F () = k=m m αντίστροφα. πχ. Η συγκλίνει για s> γιατί το ολοκλήρωµα k s k= χει. p f(l) q 5 f(t) dt Cchy και k=p f(k) k=q

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙ ΟΥΣ f() τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, b) αν για κάθε κλειστό [c, d] (, b) η f() είναι ολοκληρώσιµη. πχ f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) f() = είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, ) ( ) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα για µια τοπικά ολκληρώσι- µη συνάρτηση f() υπάρχει αν µπορούµε να ϐρούµε τα όρια για κάθε (,, b) ορ lim c c + lim d b πχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Α ΕΙ ΟΥΣ = ή (και) b = f() =e είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο [, ) e = lim d e = lim ( e d ) = πχ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Β ΕΙ ΟΥΣ στο ένα ή και στα δύο όρια της ολοκλήρωσης η συνάρτηση δεν ορίζεται. f() = ( ) είναι τοπικά ολοκληρώσιµη στο (, ) ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Β ΕΙ ΟΥΣ Θεωρούµε ολοκληρώµατα το είδους f() τοπικά ολοκληρώσιµη, F () = και lim F () (ή F () = και b lim F () ) Παράδειγµα: Ολοκλήρωµα F () = = ( ) και lim F () = = ( ) ( 4 ) = sin t {}}{ = = π/ π/ cos t = π cos tdt ΚΡΙΤΗΡΙΟ Cchy Υπάρχει το γενικευµένο ολοκλήρωµα η συνάρτηση F () ικανοποιεί µια συνθήκη Cchy για b ɛ δ>: b <δ και b <δ F ( ) F ( ) = <ɛ Απόλυτη σύγκλιση σύγκλιση f()

Αποδ.: f() ɛ δ>: b <δ και b <δ; f() ɛ δ>: b <δ και b <δ; f() <ɛ <ɛ ΠΡΟΣΟΧΗ Μπορεί να υπάρχει σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση Κριτήριο σύγκρισης f() g() για > g() g() Αποδ.: Η απόδειξη στηρίζεται στην σύγκλιση Cchy και στο γεγονός ότι πχ το ολοκλήρωµα και < sin και το g() δεν υπάρχει γιατί sin <για << sin δεν υπάρχει. 3 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ Θα λέµε ότι η συνάρτηση f() είναι ολοκληρώσιµη για >> αν f() < f() για κάποιο b> C και p< για b f() ολοκληρώσιµη ( ) p Αποδ.: Αν >p τότε για > b ( ) p F () = = ( ) p p = (b ) p ( ) p p C γιατί p > οπότε η είναι ολοκληρώσιµη στο οπότε ( ) p C (b ) p p sin είναι ολοκληρώσιµη στο πχ η Οριακό κριτήριο σύγκλισης f() και <g() για > f() lim g() = l () <l< g() () l = g() Αποδ.: () Για µεγάλα κοντά στο έχουµε l < f() < 3l g() εποµένως l b g() <f() g() f() < 3l g() g() () Για κοντά στο έχουµε f() < g() εποµένως f() < b g() πχ Αν <β α +τότε g() α sin β (b ) p p f()

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση : 4 Ασκηση : 4 3 = π = π +rccosh