Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Ένα κρίσιμο ερώτημα Είναι δυνατόν ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων C ενός διανύσματος τυχαίων μεταβλητών να είναι ανώμαλος (μη-αντιστρέψιμος) πίνακας ; Ναι!... στην περίπτωση όπου ορισμένες από τις τυχαίες μεταβλητές μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων τυχαίων μεταβλητών που απαρτίζουν το συγκεκριμένο διάνυσμα.
Παράδειγμα 1 1 2 2 3 1 2 Ανεξάρτητα από τη στοχαστική συμπεριφορά των τυχαίων μεταβλητών 1 και 2, ο 3 3 πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων του παραπάνω διανύσματος θα είναι πάντα ανώμαλος!
Παράδειγμα Δίνεται το παρακάτω διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών: 1 2 3 1 2 Συνεπώς θα έχουμε: E { } 0 3 όπου 2 2 2 2 3 E { } + 3 1 2 E{ } E{ } 0 1 2 E 1 2, { } 0 2 2 1 E { } 1 1 2 2 2 2 E { } E { 1 3}, 2 1 3 1 E { 2 3}, 2 2 3 2 2
Παράδειγμα Ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων του διανύσματος: 1 2 3 1 2 det{ C } 0 θα έχει τη γενική μορφή: C 0 2 2 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2
Ένα (ακόμα) κρίσιμο ερώτημα Η ύπαρξη ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων έχει κάποια πρακτική σημασία σε εφαρμογές ανάλυσης και συνόρθωσης παρατηρήσεων ; Ναι!... γιατί αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν περιπτώσεις που κάποιο διάνυσμα παρατηρήσεων δεν θα μπορεί να συνοδευθεί από πίνακα βάρους που προκύπτει ως ο αντίστροφος του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων του.
Σχόλια Ένας διαγώνιος πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων είναι πάντα αντιστρέψιμος. Άρα, η ενδεχόμενη ύπαρξη ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων αφορά μόνο περιπτώσεις συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών. Αυτό δεν σημαίνει αναγκαστικά ότι κάθε διάνυσμα συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών θα έχει ανώμαλο πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων!
Σχόλια (συνεχ.) Η συνόρθωση παρατηρήσεων και η εκτίμηση παραμέτρων σε ανώμαλα γραμμικά μοντέλα: b Aδx ( 0, C ) det{ } 0 C αποτελεί έναν ιδιαίτερο και σημαντικό κλάδο στη θεωρία βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων!
Σχόλια (συνεχ.) Παρότι υπάρχει το μαθηματικό πλαίσιο για την αυστηρή στατιστική συνόρθωση παρατηρήσεων σε «ανώμαλα» γραμμικά μοντέλα της μορφής: b Aδx ( 0, C ) det{ } 0 C στις περισσότερες εφαρμογές φροντίζουμε να αποφεύγουμε τέτοιες περιπτώσεις.
Πότε πρέπει να προσέχω ; Αν το διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών εξαρτάται από κάποιες άλλες (λιγότερες) τυχαίες μεταβλητές z f z n1 k1 όπου n k τότε ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων του διανύσματος θα είναι πάντα ανώμαλος. C f f Cz z z T det{ C } 0 rank{ C } n
Πότε πρέπει να προσέχω ; Αν το διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών εξαρτάται από κάποιες άλλες (λιγότερες) τυχαίες μεταβλητές z Q z n1 nk k1 όπου n k τότε ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων του διανύσματος θα είναι πάντα ανώμαλος. C QC Q z T det{ C } 0 rank{ C } n
Παράδειγμα 1 1 0 z1 z 1 2 0 1 z 2 z 2 1 1 3 z1 z z 2 Q Συνεπώς θα έχουμε: C 2 2 1 0 2 z1 z1 z 0 1 0 1 1 2 2 0 1 0 2 z 2 z 2 0 z 0 1 1 2 2 2 2 2 1 1 z z z z 1 2 1 2 0 det{ C } 0
Πότε πρέπει να προσέχω ; Επίσης, αν το διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο σύμφωνα με την παρακάτω γενική παραγοντική μορφή: Q όπου Q είναι ανώμαλος πίνακας n1 nn n1 τότε ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων του διανύσματος θα είναι πάντα ανώμαλος. C QC Q T det{ C } 0 rank{ C } n
Τι γίνεται στην επεξεργασία τοπογραφικών/γεωδαιτικών δικτύων ; Αντί για τις πρωτογενείς παρατηρήσεις, γίνεται συχνά χρήση συνθετικών παρατηρήσεων που προκύπτουν μετά από προ-επεξεργασία των αρχικών μετρήσεων. Πρωτογενείς παρατηρήσεις: y C y Συνθετικές παρατηρήσεις: y f( y) C y f f Cy y y T Π.χ. σχηματισμός απλών/διπλών/τριπλών διαφορών από ψευδο-αποστάσεις μέσω GPS, δημιουργία βάσεων για συνόρθωση δικτύου GPS, υπολογισμός οριζόντιων γωνιών από διευθύνσεις, κ.ά.
Τι γίνεται στην επεξεργασία τοπογραφικών/γεωδαιτικών δικτύων ; Σε τέτοιες περιπτώσεις χρειάζεται προσοχή στο σχηματισμό των συνθετικών παρατηρήσεων ώστε αυτές να συνοδεύονται από έναν αντιστρέψιμο πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων. y f( y ) C y f f Cy y y T (*) αν ο πίνακας C y είναι ανώμαλος αυτό σημαίνει ότι οι συνθετικές παρατηρήσεις περιέχουν πλεονάζουσα άχρηστη πληροφορία σε σχέση με την πληροφορία που περιέχουν οι αρχικές μετρήσεις y.
Παράδειγμα υπολογισμός οριζόντιων γωνιών από μετρημένες (και ασυσχέτιστες μεταξύ τους) οριζόντιες διευθύνσεις
Παράδειγμα 1 5 ij 2 3 4 125 1 0 1 15 12 12 0 1 1 154 14 15 14 1 1 0 124 14 12 15 ω Q δ T 2 T C QC Q QQ μη-αντιστρέψιμος πίνακας! ω δ
Παράδειγμα 1 5 ij 2 3 4 12 125 15 12 1 0 1 14 154 14 15 0 1 1 15 ω T 2 T Q C QC Q QQ αντιστρέψιμος πίνακας! ω δ δ
Τι γίνεται στη συνόρθωση γραμμικών μοντέλων ; Θα υπάρχουν πάντα οι εξής ανώμαλοι πίνακες συμ-μεταβλητοτήτων: b Aδx ( 0, C ) δxˆ ( A C A) A C b T 1 1 T 1 C δxˆ ( A C A) T 1 1 ˆ b Aδx ˆ yˆ y ˆ Ανώμαλοι πίνακες C C AC A ˆ C yˆ AC A δxˆ T δxˆ T
Τι γίνεται στη συνόρθωση γραμμικών μοντέλων ; Θα υπάρχουν πάντα οι εξής ανώμαλοι πίνακες συμ-μεταβλητοτήτων: b Aδx ( 0, C ) ˆ b Aδxˆ C T C AC A T ˆ 1 1 T 1 δxˆ ˆ ( IA( A C A) A C ) yˆ y ˆ T C AC A true T 1 1 T 1 yˆ δxˆ yˆ y A( A C A) A C
Συμπερασματικά Ανώμαλοι πίνακες συμ-μεταβλητοτήτων: υποδηλώνουν πλεόνασμα περιττής πληροφορίας στo αντίστοιχο διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών δημιουργούν πρόβλημα στο σχηματισμό του πίνακα βάρους για το αντίστοιχο διάνυσμα παρατηρήσεων προκύπτουν σε κάθε πρόβλημα συνόρθωσης μέσω της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων (βλέπε C, C ) εμφανίζονται επίσης σε προβλήματα συνόρθωσης δικτύων αφού ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων είναι συχνά ανώμαλος (βλέπε επόμενα μαθήματα). ˆ yˆ