ΘΕΜΑ Α Α.. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. Α.. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. Α.3. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ.3 Α.4. )Σ )Λ 3)Σ 4)Λ 5)Λ ΘΕΜΑ Β Β.. Ω={(,), (,), (,3), (,4), (,5), (,), (,), (,3), (,4), (,5), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5)} Β.. P((,)) και όμοια υπολογίζουμε ότι 3 P((,)), P((,)), P((,)), 4 5 6 P((,)) P((, ))... P((5,5)) 3 4 5 6 4 0 5 0 60 60 60 60 4 57 60 57 60 30 57 0 9 Επομένως 0 5 5 P((,)), P((,)), P((,)), P((,)) 57 38 9 57 Ενώ για τις πιθανότητες όλων των υπόλοιπων ενδεχομένων του δειγματικού χώρου ισχύει ότι είναι ίσες με /4
Β.3. Είναι A {(,),(3,),(3,),(4,),(4,),(4,3),(5,),(5,),(5,3),(5,4)} Άρα 3 8 57 85 P( A) P((,)) P((3,))... P((5,4)) 9 9 4 9 4 66 66 Β.4. Είναι B {(,),(,),(3,3),(4,4),(5,5)}. Άρα είναι 0 5 3 5 5 70 9 89 PB ( ) 57 57 4 57 4 9 4 66 66 Β.5. Έστω ε η ζητούμενη εφαπτομένη και x o το σημείο επαφής της με την γραφική x0 παράσταση της συνάρτησης g. Τότε πρέπει g '( x ) x 0. 0 0 Άρα το σημείο επαφής είναι το Α(0,). Άρα ( ) : yx και A( ) άρα =0+β, άρα β= Άρα yx. Άρα για να είναι ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου σημείο της ε πρέπει ν=μ+, άρα {(,),(,3),(3,4),(4,5)},άρα 5 3 08 7 P( ) P((,)) P((,3)) P((3,4)) P((4,5)) 38 4 53 33 Β.6. Άρα x ( x )( x ) lim lim lim( x ) x x x x x 5 6, ά Δ={(,),(,4)}, άρα P(Δ)= 38 4 399 3 Β.7. {(,3),(3,4),(4,5)}, άρα P(Γ-Δ)= 4 4 ΘΕΜΑ Γ Γ.. Είναι A A x x x x x, συνεχής στο με '( ) 3 8 5 3( )( 5) άρα '( x) 0 για x (-,) (5,+ ) και '( x) 0 για x (,5) Επομένως (,] [,5] [5, ) και η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x,το () 80 και τοπικό ελάχιστο στο x 5,το (5) 48
Γ.. Αφού το πολύγωνο συχνοτήτων έχει συνολικά 6 κορυφές και αφού είναι γνωστό πως πάντα στο πολύγωνο συχνοτήτων οι δύο ακραίες (δηλαδή η πρώτη και η τελευταία κορυφή) αναφέρονται σε υποθετικές κλάσεις, τότε προκύπτει πως το δείγμα χωρίζεται σε 4 κλάσεις. Μάλιστα η τετμημένη της τρίτης κορυφής αντιστοιχεί στην κεντρική τιμή της δεύτερης κατά σειρά κλάσης και η τετμημένη της πέμπτης κορυφής αντιστοιχεί στην κεντρική τιμή της τέταρτης κατά σειρά κλάσης, ενώ οι τεταγμένες των δύο αυτών σημείων ισούνται με τις συχνότητες της δεύτερης και της τέταρτης κλάσης αντίστοιχα. Το κέντρο της δεύτερης από το κέντρο της τέταρτης κλάσης απέχουν λοιπόν κατά 5-=4 μονάδες. Τα κέντρα όμως αυτά απέχουν απόσταση ίση με c (αν θεωρήσουμε ότι το πλάτος κάθε κλάσης είναι ίσο με c). Άρα c=4, άρα c=. Επομένως ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων διαμορφώνεται μέχρι τώρα ως εξής (χρησιμοποιώντας και το γεγονός ότι το κέντρο κάθε κλάσης απέχει από τα άκρα της κλάσης κατά c/): ΚΛΑΣΕΙΣ x i i [-,0) - [0,) 80 [,4) 3 [4,6) 5 48 ΣΥΝΟΛΟ Επιπλέον γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του πολυγώνου συχνοτήτων είναι ίσο με 00,άρα το μέγεθος του δείγματος ισούται με 00. Τέλος αφού η διάμεσος ισούται με,5 ο C και αφού γνωρίζουμε πως η διάμεσος αντιστοιχεί στο 50% των παρατηρήσεων, θα πρέπει ακριβώς οι μισές παρατηρήσεις να είναι βρίσκονται στο διάστημα μέχρι την θερμοκρασία των,5 ο C. Άρα συνολικά πρέπει να υπάρχουν συνολικά 00 τέτοιες παρατηρήσεις. Στο διάστημα όμως από 0 ως ο C δηλαδή σε εύρος μονάδων έχουμε 80 παρατηρήσεις άρα στο διάστημα από 0 ως,5 ο C δηλαδή σε εύρος,5 μονάδων θα έχουμε x παρατηρήσεις (αν θεωρήσουμε ότι οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες,5 80 μέσα στο διάστημα [0,)) με x,5 80 x x 50 Άρα στο διάστημα [-,0) έχουμε άλλες 50 παρατηρήσεις για να συμπληρωθούν 00 παρατηρήσεις. Επομένως, 50 και 00 άρα ν 00 50 80 48 3 4 3 Άρα ο πίνακας διαμορφώνεται ως εξής: ΚΛΑΣΕΙΣ x i i x i i X i i [-,0) - 50-50 50 [0,) 80 80 80 [,4) 3 66 98 [4,6) 5 48 40 00 ΣΥΝΟΛΟ 00 336 58
xi i i 336 Γ3) x,68 00 και s ( x i i) 336 ( ) (58 ) 4,8 άρα s, 00 00 i xii i Γ4)Πριν την βλάβη είχαμε συνολικά 30 τούρτες με θερμοκρασία μικρότερη από ο C. Μετά την βλάβη από τις τούρτες που είχαν θερμοκρασία από 0 ως ο C, αυτές που είχαν θερμοκρασία από ο C και πάνω θα βρεθούν να έχουν θερμοκρασία από ο C και πάνω. Αν θεωρήσουμε πως οι παρατηρήσεις στο διάστημα [0,) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες και αφού το διάστημα [,) είναι ακριβώς το μισό σε μήκος από το διάστημα [0,), οι τούρτες που θα «αλλάξουν» κλάση από [0,) σε [,4) θα είναι οι μισές από τις 80 που βρίσκονταν αρχικά σε αυτήν την θερμοκρασία δηλαδή 40 τούρτες. Επομένως πλέον έχουμε 90 τούρτες με θερμοκρασία μικρότερη από ο C. Αφού όμως N( A) ( A) P( A) 0,5 N( A) 00,άρα θέλουμε τελικά άλλες 0 τούρτες να N( ) 00 έρθουν σε θερμοκρασία μικρότερη των ο C, άρα τόσες θα είναι οι τούρτες που θα μεταφερθούν. Γ5)Στο ενδεχόμενο A Bανήκουν οι τούρτες που ήταν και παρέμειναν σε θερμοκρασία μικρότερη των ο C, άρα είναι από τις 30 τούρτες που είχαν αρχικά θερμοκρασία μικρότερη των ο C, οι 90 που παρέμειναν σε αυτήν την θερμοκρασία. Στο ενδεχόμενο A Bανήκουν οι τούρτες που ήταν αρχικά ή βρέθηκαν μετά τις αλλαγές σε θερμοκρασία μικρότερη των ο C, άρα είναι οι 30 τούρτες που είχαν αρχικά θερμοκρασία μικρότερη των ο C, συν τις 0 τούρτες που βρέθηκαν τελικά σε αυτήν την θερμοκρασία άρα συνολικά 40 τούρτες. Άρα 90 40 P( A B) 0,45, και P( A B) 0,7 00 00
ΘΕΜΑ Δ Δ)Είναι x 6x8 '( x) (x 6) και g'(x) ln x x 3 5 '( x ) - 0 + ( x ) Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο [,3], γνησίως αύξουσα στο [3,5] και παρουσιάζει 9 3 8 ελάχιστο στο x=3 το (3) και τοπικά μέγιστα στο x= το () και στο x=5 το (5) 3 8 x g'( x ) + 0 - gx ( ) Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [,], γνησίως φθίνουσα στο [,] και παρουσιάζει μέγιστο στο x= το () και τοπικά ελάχιστα στο x= το g( ) ln και στο x= το g() ln. Δ)Όλες οι τιμές του ερωτήματος είναι τιμές της συνάρτησης ή της συνάρτησης g.από την στιγμή που η μέγιστη τιμή της g είναι το και είναι μικρότερη από την ελάχιστη τιμή της που είναι το 9, αυτό σημαίνει πως η μεγαλύτερη από όλες τις
παρατηρήσεις θα είναι κάποια από τις τιμές της,και για την ακρίβεια από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται πως η μεγαλύτερη τιμή της είναι το,ενώ η μικρότερη από όλες τις παραπάνω παρατηρήσεις είναι το g( ) ln και αυτό διότι 3 5 3 5 ln ln ln 0 (3 5ln ) 0 (ln ln ) 0.. Όμως 3 3 5 3 7 3 3 8 Επομένως το εύρος αυτών των παρατηρήσεων είναι 3 8 R ( ln ). Δ3)Καταρχήν οι παρατηρήσεις x, x,..., x00 ανήκουν στα πεδία ορισμού των συναρτήσεων, g επομένως x, x,..., x00 ( A Ag) [,].Αρχικά κάθε παρατήρηση είναι μεγαλύτερη ή ίση του και αφού δ=,5 οι μισές τουλάχιστον παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερες ή ίσες του,5. Άρα οι μισές είναι μεγαλύτερες ή ίσες του,5 και οι άλλες μισές μεγαλύτερες ή ίσες του. Άρα xi 5050,5 5, άρα x,5. i Παρομοίως οι μισές είναι μικρότερες ή ίσες του,5 και οι άλλες μισές μικρότερες ή ίσες του άρα x,75. Δ4) 8 x 6x8 8 8 h( x) ln( ( x) ) x ln( ) x x 6x 8 x x 6x 8 Για την μέση τιμή των τεταγμένων αυτών των σημείων ισχύει ότι y y y... y00 x 6x 8 x 6x 8... x00 6x00 8 00 00 00 00 00 00 xi 6 xi 8 xi xi i i i i 6 8 s x 6x 8 00 00 00 (0,5 x) x 6x 8, 5x 6x 8 s Στις παραπάνω πράξεις πήραμε s 0,5x, αφού CV 50% 0,5 s 0,5x διότι x
x 0 όπως δείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα και 00 xi s x 00 ( ) ( ) xi xi i i ( i ) i i i i i s x x x x i Και αφού από το προηγούμενο ερώτημα,5 x,75 3 άρα, 5 5,5 y, 5,75 8,5 6,5 6x 6,75 7,5 6x 0,5 αφού,5 x,75,5,5,5 x,5,75 διότι Δ5)Έχουμε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [,]. Οι τιμές x, x,..., x 00,είναι όλες μεγαλύτερες του και μάλιστα 50 από αυτές είναι μεγαλύτερες ή ίσες του αριθμού 3 (από 3 3 3 3 3 3 3 προηγούμενο ερώτημα). g( ) ln ln (ln ). Αφού g είναι 3 3 3 3 γνησίως φθίνουσα στο [,],για να είναι g( xi) g( ) xi. Από προηγούμενο ερώτημα έχουμε πως τουλάχιστον 50 παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 3 και αφού καμία δεν είναι ίση με αυτό ακριβώς 50 από αυτές είναι μεγαλύτερες από αυτό. 50 Άρα PA ( ) 00