III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. a n este De eemplu, seria ( ) n n este semiconvergentă deoarece este convergentă şi seria modulelor n= n este divergentă, iar seria ( ) n n este absolut 2 n= n 2 n= convergentă deoarece seria modulelor n= este convergentă. Teoremă. Orice serie absolut convergentă este convergentă. Reciproca nu este adevărată. SERII DE PUTERI. Seriile de puteri sunt o etindere naturală a conceptului de funcţie polinomială. Definiţie. Se numeşte serie de puteri, o serie de forma a + a 2 2 +... + a n n +..., unde (a n ) n este un şir numeric, iar R. a n, n N se numesc coeficienţii seriei de puteri. a n n = a 0 + Teoremă. Pentru orice serie de puteri,!r [0, ] (numită raza de convergenţă a seriei de puteri) astfel încât pentru orice, cu < r, seria este absolut convergentă şi pentru orice, cu > r, seria este divergentă. Dacă eistă n an, respectiv, n n an+ n a n, atunci r = n, re- an spectiv, r = a n+. n an Dacă r (0, ), atunci seria este absolut convergentă pentru ( r, r) şi divergentă pentru (, r) (r, + ). Se studiază separat natura seriei pentru = r, respectiv, = r. Dacă r = 0, atunci seria este convergentă doar pentru = 0; Dacă r = +, atunci seria este absolut convergentă pentru orice R.
Eemple. i) Seria n = + + 2 +... + n +... are raza de convergenţă R =, deci este absolut convergentă pentru (, ) şi divergentă pentru (, ) (, + ). Pentru {, }, seria este divergentă. ii) Seria n= n n 2 = + 2 +...+ n n +... are raza de convergenţă R =, deci este absolut convergentă pentru (, ) şi divergentă pentru (, ) (, + ). Pentru =, seria este semiconvergentă, iar pentru =, seria este divergentă. LIMITE DE FUNCŢII Puncte de acumulare pentru o mulţime. Definiţie. Fie A R o mulţime oarecare, nevidă. Un punct a R se numeşte punct de acumulare pentru mulţimea A dacă [V \{a}] A, V V(a) ( ε > 0, (a ε, a + ε) A ). Totalitatea punctelor de acumulare pentru mulţimea A se numeşte mulţimea derivată lui A şi se notează prin A. Teoremă (de caracterizare a punctelor de acumulare cu şiruri) a A dacă şi numai dacă ( n ) n A, n a, n N, n a. Eemple. i) [a, b] = (a, b] = (a, b) = [a, b) = [a, b], a, b R, a < b; ii) { n } n = {0}. iii) Orice mulţime finită nu are puncte de acumulare. iv) N = +, Z = {, + ), R = R. Limita unei funcţii într-un punct. Definiţie. Fie A R o mulţime oarecare, nevidă şi a R un punct de acumulare pentru A. Spunem că o funcţie f : A R are ită l( R) în punctul a dacă V V(l), U V(a) astfel încât U A\{a}, f() V (sau, echivalent, f(u A\{a}) V ) (cu alte cuvinte, o funcţie f are ită l într-un punct a A dacă de îndată ce se consideră puncte A suficient de apropiate de a, f() se apropie oricât de mult de l). Notăm aceasta prin a f() = l. Teoremă (unicitatea itei). Dacă eistă, ita unei funcţii într-un punct este unică. Teoremă (de caracterizare a noţiunii de ită a unei funcţii într-un punct). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 2
i) a f() = l (definiţia cu vecinătăţi); ii) (caracterizarea analitică cu ε δ) ε > 0, δ(ε) > 0 astfel încât A\{a}, cu a < δ, avem f() l < ε (de îndată ce este suficient de aproape de a fără să-l atingă, f() este oricât de aproape de l); iii) (caracterizarea cu şiruri) ( n ) n A\{a}, n a f( n ) l. Consecinţă. În general, pentru a arăta că o funcţie nu are ită într-un punct, se construiesc două şiruri care tind la punctul respectiv, pentru care şirurile imaginilor au ite diferite: Funcţia f : R R, f() = sin nu are ită la + : sin deoarece sin 2nπ = sin 0 = 0 0, iar sin(2nπ + π 4 ) = sin π 4 = 2 2 2 2 0. Limite laterale. Definiţie. Fie A R o mulţime oarecare, nevidă şi a R un punct de acumulare pentru mulţimea A (, a) (numit punct de acumulare din stânga pentru A). Spunem că numărul l s ( R) este ita la stânga a funcţiei f : A R în punctul a dacă ( n ) n A\{a}, n < a, n N, n a f( n ) l s. Se notează prin f() sau f(). a,<a a În mod asemănător se pune problema duală a itei la dreapta a unei funcţii într-un punct. Notaţie f() sau f(). a,>a a Limitele la stânga şi la dreapta se numesc ite laterale. Teoremă. Fie A R o mulţime oarecare, nevidă şi a R un punct de acumulare atât din stânga, cât şi din dreapta pentru A. Atunci funcţia f : A R are ită în a dacă şi numai dacă f are ită la stânga şi la dreapta în a şi acestea sunt egale. Mai mult, în această situaţie, ita funcţiei în punct este egală cu valoarea comună a celor două ite laterale. { 3 2, < 0 Eemplu. i) Pentru f : R R, f() =, 2, 0 f() = (3 2) = 2 = f(), deci f() = 2. 0,<0 0,<0 0,>0 0 ii) + întrucât l s( ) =, iar l d ( ) = +. Operaţii cu ite de funcţii. Fie f, g : A R, a A. Presupunem că f() = l, g() = l 2, l, l 2 a a R, iar c R. Atunci: i) f + g are ită în a şi (f + g)() = l + l 2 = f() + g() a a a (ita sumei este egală cu suma itelor) Cazuri eceptate: +, + ; 3
ii) cf are ită în a şi (cf)() = cl = c f() a a (constanta iese în afara itei); iii) f g are ită în a şi (f g)() = l l 2 = ( f()) ( g()) a a a (ita produsului este egal cu produsul itelor) Cazuri eceptate: 0 (± ); iv) f g are ită în a şi ( f l a g )() = l = f() a 2 g(), dacă l 2 0 a (ita câtului este egal cu câtul itelor) 0 Cazuri eceptate: 0, ± ± ; v) f are ită în a şi f () = l = f() a a (ita modulului este egală cu modulul itei). Alte nedeterminări: 0 0, (± ) 0, ±. Observaţie. i) Limita produsului dintre o funcţie mărginită şi o funcţie cu ita 0 este 0. ii) La fel ca pentru ite de şiruri, au loc rezultate similare privind trecerea la ită în inegalităţi, criteriul majorării şi criteriul cleştelui. Eemple. i) (2 + + ) = ; ( 2 + + ) = 7; 2 4 + 5) = 4 3 +5 5 3 +4+3 = 4 5 ; 2 5+6 ( 2)( 3) 2 2 4 = 2 ( 2)(+2) = 3 2, 6 3 +5 9 8 4 5 = 0. 2 3 +5+ ii) sin = 0. Limite remarcabile. 0 0 sin ln(+) 0 ( + ) =, arcsin 0 tg =, 0 =, 0 =, 0 a = ln a, a > 0, a, = e, ( + ) = e. Eerciţii rezolvate şi eerciţii propuse. arctg =, ( 33 + +2 = 4, 3 +2+6 3 2 5 = e; sin I) i) 2 +sin 2 2 0 2 tg( ii) 3 ) 0 arcsin(2 2 ) = 0 = [( sin 0 )2 sin 2 + ( 2 2)2 ] = 5; tg( 3 ) 3 3 2 2 arcsin(2 2 ) 2 2 iii) ( 2 2+3 2 3+2 )+ + = [(+ 2 3+2 ) = 0 2 = 0; 2 3+2 + + ] 2 (+) 3+2 = e + 2 (+) 3+2 = ln(+arctg2) ln(+arctg2) iv) 0 ln(+tg3) = 0 arctg2 arctg2 tg3 2 2 ln(+tg3) 3 tg3 3 = 2 3 ; 4
. v) 3 tg2( ) + + 2 + vi) 0 vii) = 3 tg2( ) tg2( ) tg2( ) ++ = 2 0 ++ + 2 [ln(2 + ) ln( + 2)] = viii) 2 (e e + ) = 2 e 2( ) 2( ) II) sin 0, cos 0, cos. = ; ln 2+ +2 + e + + = ln 2; = 2 ln 3. ( + ) = 2 (+) = III) Determinaţi constanta α R pentru care funcţiile următoare au ită în punctul a indicat: { α +, i) f : R R, f() =, a = ; + 3, > { 2 + α ii) f : R R, f() = 2, 2, a = 2. 2 +, > 2 IV) Calculaţi: i) (2 + sin ) ln ; ii) ( + sin ); iii) +sin ; iv) 2 +cos. 2 5