2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των συστηµάτων, όπως γραµµικό, αιτιάτο, αντιστρέψιµο, ευστάθες, στατικό - δυναµικό και χρονικά αναλλοίωτο. 1 Μεγέθη τα οποία περιγράφουν τη συµπεριφορά των συστηµάτων, όπως η κρουστική απόκριση, η συνάρτηση µεταφοράς και η απόκριση συχνότητας. Φυσική σηµασία των παραπάνω µεγεθών. Προσδιοσµός της εξόδου ενός συστήµατος, όταν είναι γνωστή η είσοδο και η κρουστική απόκρισή του. Μελέτη απλών ηλεκτρονικών και µηχανικών συστήµατων. 2 1
Είσοδος ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ως ορίζουµε την οντότητα εκείνη η οποία επενεργώντας σε ένα σήµα x(t) έχει σαν αποτέλεσµα ένα άλλο σήµα y(t). Η δράση ενός συστήµατος περιγράφεται σχηµατικά S Έξοδος Σχηµατική περιγραφή του συστήµατος S. x(t) είναι το σήµα εισόδου ή απλά η είσοδος του συστήµατος και y(t) η έξοδος του συστήµατος. Ένα µπορεί να θεωρηθεί ως ένας µετασχηµατισµός µεταξύ σηµάτων 3 Ο παραπάνω ορισµός είναι γενικός και µπορεί να περιγράψει πολλά φυσικά συστήµατα όπως Ηλεκτρικά κυκλώµατα. Μηχανικά συστήµατα (η κίνηση ενός κινητού, ενός ροµποτικού βραχίονα). Ένα επικοινωνιακό κανάλι. Υπολογιστές. Ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος και τη φύση των επιτρεποµένων εισόδων-εξόδων τα συστήµατα διακρίνονται: Συστήµατα µιας εισόδου µιας εξόδου (single-input single-output SISO). Πολυκαναλικά συστήµατα (single-input multi-output SIMO, MISO και MIMO). Συστήµατα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά συστήµατα - Συστήµατα διακριτού χρόνου. 4 2
Παραδείγµατα απλών συστηµάτων είναι Η ηλεκτρική αντίσταση R Ο πυκνωτής C Το πηνίο L 5 Παρατηρούµε ότι το σήµα εισόδου υ in (t) και το σήµα εξόδου υ ο (t) ενός κυκλώµατος RC συνδέονται µε την εξίσωση Γενικά το σήµα εισόδου x(t) και το σήµα εξόδου y(t) ενός συστήµατος συνδέονται µε µία διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές οι οποίοι εξαρτώνται από τα επιµέρους στοιχεία του συστήµατος. Η διαφορική αυτή εξίσωση έχει τη γενική µορφή Η τάξη του συστήµατος προσδιορίζεται από τη µεγαλύτερη παράγωγο της εξόδου, η οποία εµφανίζεται στη διαφορική εξίσωση. 6 3
ΣΥΝΔΕΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η ανάλυση ενός πολύπλοκου συστήµατος διευκολύνεται σηµαντικά αν δούµε το σήστηµα ως αποτέλεσµα διασύνδεσης λιγότερων πολυπλόκων συστηµάτων. Είσοδος Έξοδος Η σχηµατική αναπαράσταση δύο συστηµάτων τα οποία έχουν συνδεθεί σειριακά. Μία σηµαντική διαδικασία η οποία σχετίζεται µε τη σειριακή σύνδεση είναι η αντιστροφή συστήµατος. Είσοδος Έξοδος Η σχηµατική αναπαράσταση δύο συστηµάτων τα οποία έχουν συνδεθεί παράλληλα. 7 Είσοδος Έξοδος Μεικτή σύνδεση συστηµάτων Είσοδος Έξοδος Σύνδεση µε ανατροφοδότηση 8 4
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Κατάσταση ηρεµίας τη χρονική στιγµή t 0. Θα λέµε ότι ένα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας τη χρονική στιγµή t 0, εάν αυτό δεν έχει υποστεί διέγερση από άλλο σήµα για κάθε χρονική στιγµή t < t 0. Από φυσική άποψη, ένα που είναι σε κατάσταση ηρεµίας σε δεδοµένη χρονική στιγµή t 0, σηµαίνει ότι δεν είχε αποθηκευµένη ενέργεια τη χρονική στιγµή t = t 0. 9 Γραµµικότητα Γραµµικό Γραµµικό Γραµµικό δηλαδή, η απόκριση του συστήµατος σε µία είσοδο, που είναι ο γραµµικός συνδυασµός δύο σηµάτων, ισούται µε τον αντίστοιχο γραµµικό συνδυασµό των αποκρίσεων του συστήµατος στο καθένα από τα σήµατα αυτά. 10 5
Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήµατα Ένα λέγεται χρονικά αναλλοίωτο (ΧΑ) (αµετάβλητο) αν και µόνο αν χρονικές ολισθήσεις του σήµατος εισόδου µεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο. Χρονικά αναλλοίωτο Χρονικά αναλλοίωτο Η είσοδος και η έξοδος ενός συστήµατος χρονικά αναλλοιώτου. 11 Εφαρµογή Με τη βοήθεια της ιδιότητας της γραµµικότητας βρίσκουµε πολλές φορές εύκολα την έξοδο ενός γραµµικού χρονικά αναλοίωτου συστήµατος Γ.Χ.Α. Γ. Χ. Α. Γ. Χ. Α. 12 6
Γ.Χ.Α. Γ.Χ.Α. Γ.Χ.Α. Γ.Χ.Α. 13 Γ.Χ.Α. Γ.Χ.Α. Γ.Χ.Α. Γ.Χ.Α. 14 7
Αιτιότητα Ένα είναι αιτιατό, όταν για κάθε σήµα το οποίο εφαρµόζεται στην είσοδό του η αντίστοιχη έξοδός του εξαρτάται µόνο από την παρούσα ή και τις προηγούµενες τιµές της εισόδου. Με άλλα λόγια, ένα είναι αιτιατό, αν οι µεταβολές στην έξοδο (αποτέλεσµα) του συστήµατος, ποτέ δεν προηγούνται των µεταβολών που επιτελούνται στην είσοδο του συστήµατος (αιτία). Αιτιατά : Μη Αιτιατό : 15 Αντιστρέψιµα και µη αντιστρέψιµα συστήµατα Ένα λέγεται αντιστρέψιµο, όταν η γνώση του σήµατος εξόδου καθιστά εφικτό τον υπολογισµό του σήµατος εισόδου. Αντίστροφο ( ) = x (k) y n n k = y (t) = x 2 (t) y (n) = x (n) x (n 1) Δεν αντιστρέφεται 16 8
Η διαδικασία αντιστροφής ενός συστήµατος S συνίσταται στον προσδιορισµό ενός συστήµατος το οποίο συνδεόµενο σε σειρά µε το S παρέχει στην έξοδό του το σήµα εισόδου του S. Μεταδιδόµενο σήµα Κανάλι Λαµβανόµενο σήµα Δέκτης Ο δέκτης αποτελεί τον αντιστροφέα του καναλιού. Ο σκοπός του δέκτη είναι η ανάκτηση του µεταδιδόµενου σήµατος 17 Στατικά Συστήµατα Ένα χαρακτηρίζεται ως στατικό ή χωρίς µνήµη όταν για κάθε σήµα εισόδου η αντίστοιχη έξοδος για κάθε χρονική στιγµή, εξαρτάται µόνο από την τιµή της εισόδου την ίδια χρονική στιγµή. χωρίς µνήµη Η είσοδος και η έξοδος συστήµατος χωρίς µνήµη. Δυναµικά Συστήµατα µε µνήµη Η είσοδος και η έξοδος συστήµατος µε µνήµη. 18 9
Ευστάθεια Ένα λέγετε ότι είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγµένης Εισόδου Φραγµένης Εξόδου) (Bounded Input Bounded Output (BIBO) stable) αν και µόνον αν για κάθε φραγµένη είσοδο η έξοδός του παραµένει φραγµένη. Φραγµένη Εισόδος Ευσταθές Φραγµένη Εξόδος ευσταθές. Φραγµένη Εισόδος Μη ευσταθές Μη φραγµένη Εξόδος µη ευσταθές 19 Σχέση µεταξύ Εισόδου-Εξόδου συστήµατος Στην ενότητα αυτή θα διατυπώσουµε τη σχέση µε τη βοήθεια της οποίας θα µπορούµε να προσδιορίζουµε την έξοδο ενός γραµµικού συστήµατος, αν γνωρίζουµε α) την είσοδο του συστήµατος και S β) την απόκριση του συστήµατος, όταν αυτό διεγείρεται από τη δ(t). S 20 10
Γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα διακριτού χρόνου - Το άθροισµα της συνέλιξης (συγκερασµού). Γραµµικό 21 Οι αποκρίσεις του γραµµικού συστήµατος για εισόδους δ(n+1), δ (n) και δ(n-1) Γραµµικό Γραµµικό Γραµµικό 22 11
Η γραφική ερµηνεία της απόκρισης ενός γραµµικού διακριτού συστήµατος. Γραµµικό Γραµµικό Γραµµικό 23 Γραφική ερµηνεία της απόκρισης ενός γραµµικού συστήµατος διακριτού χρόνου, όπως αυτή εκφράζεται από τη σχέση Γραµµικό Γραµµικό 24 12
Κάθε σήµα διακριτού χρόνου αναπτύσσεται σε ολισθήσεις µοναδιαίου δείγµατος µε τη βοήθεια της σχέσης Επίσης γνωρίζουµε ότι η έξοδος ενός συστήµατος δίνεται από τη 25 Αν για κάθε ακέραιο k, h k (n) είναι η έξοδος του συστήµατος που παράγεται από την είσοδο δ(n k) δηλαδή, S τότε η οικογένεια των σηµάτων απόκρισης µεταφέρει όλη την πληροφορία που χρειαζόµαστε για να καθορίσουµε κάθε έξοδο, y(n), που παράγεται από ένα σήµα, x(n), µε τη βοήθεια της 26 13
Όταν το είναι χρονικά αναλλοίωτο τότε Γ. Χ. Α. Γ. Χ. Α. Γενικά ισχύει και η σχέση εισόδου - εξόδου γίνεται του συστήµατος 27 Η σχέση µπορεί να γραφεί και ως ή Το σήµα h(n) καλείται απόκριση µοναδιαίου δείγµατος ή κρουστική απόκριση του συστήµατος. Η πράξη η οποία συνδυάζει δύο σήµατα x(n) και h(n) για το σχηµατισµό του σήµατος y(n), καλείται συνέλιξη και συµβολίζεται ως Το άθροισµα ονοµάζεται άθροισµα της συνέλιξης. 28 14
Η σχέση εισόδου-εξόδου όταν το είναι αιτιατό είναι αφού h(n) = 0 για n < 0. Αν η είσοδος είναι αιτιατό σήµα x(n) = 0 για n < 0, τότε η σχέση εισόδου εξόδου είναι 29 Παράδειγµα Δίνεται γραµµικό χρονικά αναλλοίωτο διακριτού χρόνου που έχει κρουστική απόκριση Γ. Χ. Α. 30 15
να υπολογιστεί η έξοδος του συστήµατος όταν το σήµα εισόδου είναι Γ. Χ. Α. 31 Υπολογισµός της εξόδου y(0) 32 16
Υπολογισµός της εξόδου y( 1) 33 Υπολογισµός της εξόδου y(1) 34 17
Υπολογισµός της εξόδου y(2) 35 Γ. Χ. Α. 36 18
Υπολογισµός της εξόδου y( 3), γενικά του y(n) για n < 0. 37 Υπολογισµός της εξόδου y(2) γενικά του y(n) για 0 n 4. 0 4 0 4 38 19
Υπολογισµός της εξόδου y(n) για n < 0. 39 y (n) = 0 +1 1 an y (n) = 1 a y (n) = an 4 a n +1 1 a y (n) = an 4 a 7 1 a y (n) = 0 40 20
Γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα συνεχούς χρόνου Το ολοκλήρωµα της συνέλιξης (συγκερασµού). Γραµµικό Αποδεικνύεται ότι η έξοδος του συστήµατος δίνεται από τη σχέση y(t) = x(τ) h τ (t) dτ όπου h τ (t) η έξοδος του συστήµατος που παράγεται από την είσοδο δ(t τ), δηλαδή, h τ (t) = S{ δ (t τ) } Γραµµικό 41 Όταν το είναι χρονικά αναλλοίωτο τότε h τ ( t) = h 0 t τ ( ) = h( t τ) και η έξοδος του συστήµατος δίνεται από τη σχέση y(t) = x(τ) h(t τ) dτ Αν το είναι αιτιατό τότε t y(t) = x(τ) h(t τ) dτ Αν η είσοδος είναι αιτιατό σήµα τότε η έξοδος δίνεται από y(t) = t 0 x(τ) h(t τ) dτ 42 21
Γ. Χ. Α. 43 44 22
45 46 23
Κρουστική Απόκριση και ΦΕΦΕ Ευστάθεια ΦΕΦΕ Ευστάθεια ισοδυναµεί µε h(t) απόλυτα ολοκληρώσιµη: + Αντίστοιχα για διακριτό χρόνο. h(t) dt < + 47 Αντιµεταθετική ιδιότητα: Ιδιότητες της Συνέλιξης Η φυσική σηµασία της αντιµεταθετικής ιδιότητας της συνέλιξης 48 24
Προσεταιριστική ιδιότητα Η φυσική σηµασία της προσεταιριστικής ιδιότητας της συνέλιξης 49 Επιµεριστική ιδιότητα Η φυσική σηµασία της επιµεριστικής ιδιότητας της συνέλιξης 50 25
Ταυτοτική ιδιότητα: 51 Απόκριση Γραµµικών Συστηµάτων σε Εκθετικές Εισόδους Η συνάρτηση Η(s) είναι ο Μετασχηµατισµός Laplace της h(t) και ονοµάζεται Συνάρτηση Μεταφοράς του Συστήµατος. 52 26
Η συνάρτηση H(ω) είναι ο Μετασχηµατισµός Fourier της h(t) και αποτελεί την Απόκριση Συχνότητας του Συστήµατος. Η απόκρισης συχνότητας είναι µιγαδική συνάρτηση της συχνότητας ω και γενικά έχει τη µορφή Εποµένως Απόκριση πλάτους Απόκριση φάσης Η διατήρηση της συχνότητας αποτελεί βασική ιδιότητα των γραµµικών συστηµάτων 53 Αν εκµεταλλευτούµε την γραµµικότητα του συστήµατος έχουµε Γενικά έχουµε Στο επόµενο κεφάλαιο θα αναπτύξουµε και θα µελετήσουµε τρόπους ανάλυσης ενός σήµατος σε σήµατα απλής συχνότητας. Μια τέτοια προσέγγιση µας διευκολύνει ώστε να υπολογίσουµε την έξοδο ενός συστήµατος, το οποίο διεγείρεται από ένα σύνθετο σήµα. Όταν το σήµα αυτό διεγείρει ένα θα προσδιορίζουµε την έξοδο του συστήµατος ως άθροισµα σηµάτων που έχουν τις ίδιες συχνότητες µε αυτές που περιέχει το σήµα εισόδου, των οποίων το πλάτος και η φάση έχει υποστεί αλλαγή που προκαλεί το. 54 27
Η έξοδος του συστήµατος όταν f 0 = 500 Hz. H ( f ) Το σήµα εισόδου x(t). Η έξοδος του συστήµατος όταν f 0 = 1000 Hz. Η έξοδος του συστήµατος όταν f 0 = 1500 55 Hz. Απόκριση Γραµµικών Συστηµάτων σε Εκθετικές Εισόδους όπου Η συνάρτηση Η(z) είναι ο Μετασχηµατισµός z της h(n) και ονοµάζεται Συνάρτηση Μεταφοράς του Συστήµατος 56 28
όπου Η συνάρτηση Η(Ω) είναι ο Διακριτός Μετασχηµατισµός Fourier της h(n) και ονοµάζεται Απόκριση Συχνότητας του Συστήµατος Η απόκρισης συχνότητας είναι µιγαδική συνάρτηση της διακριτής συχνότητας Ω και γενικά έχει τη µορφή Απόκριση πλάτους Απόκριση φάσης 57 Παράδειγµα Γ.Χ.Α. Απάντηση: 58 29
Γραµµικό 59 30