Capitoll NELINIARITĂŢI GEOMETRICE - I - O strctră ar n comportamnt gomtric nliniar dacă schimbăril gomtrii, ca rmar a dformării corpli, a n fct smnificativ aspra crbi caractristic sarcină - săgată (c alt cvint aspra rigidităţii strctrii). Fnomnl st întâlnit la strctri vlt, tiliat în constrcţii arospaţial, civil şi în inginria mcanică (strctri tnsibil, cablri, mmbran, procd d formar a mtallor şi matriallor plastic prcm şi toat tipril d problm d stabilitat). Trmnl d nliniaritat gomtrică mnaă difrit aspct fiic : - Dformaţii spcific mari, mai mari d 5% (strctri din cacic: garnitri, mmbran). Acst nliniarităţi snt frcvnt asociat c cl d matrial - Dformaţii spcific mici şi dplasări şi/sa rotaţii finit (cablri, arcri, bar vlt, plăci sbţiri) - Dformaţii spcific şi dplasări infinitimal până la pirdra stabilităţii (constrcţii civil, podri)... Ca al nliniarităţii gomtric Dacă n lmnt al ni corp îşi schimbă forma (aria, grosima tc.), rigiditata sa s va schimba (Fig...,a) Dacă s modifică orintara ni lmnt (Fig..,b) rigiditata sa locală, în coordonat global, s va schimba Dacă într-o placă s prodc tnsini d mmbrană (în plan - Fig..,c), rigiditata acstia în planl prpndiclar poat fi smnificativ afctată. P măsră c săgata Y crşt tnsinil d mmbrană σ tot mai mari a ca fct n răspns d tipl cli din figră (caractristică c întărir). c) Fig..
.. Particlarităţi al calclli strctrilor c nliniarităţi gomtric Nliniarităţil gomtric introdc o sri d aspct noi, car complică analia comparativ c cal comportamntli liniar gomtric. Toria dformaţiilor spcific mari poat vidnţia schimbăril d formă (grosimi, arii tc.) şi toat rotaţiil mari al lmntlor ni strctri. Dformaţiil spcific s considră mari dacă dpăşsc câtva procnt iar schimbara gomtrii strctrii n mai poat fi nglijată. În figra. snt prntat câtva mpl d comportamnt gomtric nliniar. Astfl, în Fig..,a st prntat n mpl d nliniaritat c dformaţii spcific mari în cal ni lmnt d tanşar din cacic. În Fig..,b st ilstrat modl cm o bară din oţl st înfăşrată în jrl ni dorn, opraţi crnt întâlnită în practică. În acst ca, dformaţiil spcific snt d apro. 5% iar rotaţia capătli st d apro.70 0. a) b) Fig.. ************ Obsrvaţii Dformaţiil spcific caractriaă stara d dformaţi a ni corp. Dfiniţia matmatică a acstora, arbitrară într-o anmită măsră, trbi să satisfacă câtva crinţ: Valoara dformaţii spcific trbi să fi nlă când corpl n s dformaă prcm şi în cal rotaţiilor d corp rigid Eistă o corspondnţă rciprocă într dformaţii spcific şi tnsini (intnsitata forţlor intrioar) ca c însamnă că ni valori a dformaţii spcific îi corspnd o valoar a tnsinii. În cal analii strctrilor c dformaţii spcific mari cl doă concpt trbi să fi conjgat ( adică prin înmlţira tnsinii c dformaţia spcifică să rlt o mărim scalară şi anm nrgia spcifică d dformaţi. Pntr analia strctrilor s tiliaă rmătoarl dfiniţii al dformaţii spcific: În activitata inginrască pntr strctri D (bar) s admit că dformaţia spcifică st mică (infinitimală), dată d rlaţia (Fig..3,a): l (.) l 0 Conform acsti dfiniţii, st o fncţi liniară car dpind d gomtria iniţială (l 0 cnosctă). Acastă dfiniţi st limitată la domnil micilor rotaţii în strctră, doarc o rotaţi modrată d corp rigid condc la dformaţii spcific nnl. Tnsina conjgată acsti dformaţii spcific st tnsina convnţională, dtrminată c rlaţia
F σ, (.) A 0 nd A 0 st aria iniţială a scţinii bari. În cal problmlor bi- şi tri-dimnsional, s modifică atât lngima lmntlor componnt cât şi grosima, aria sa volml acstora. (Fig..3,b). a) b) Fig..3 S poat dfini o dformaţi spcifică logaritmică car, pntr strctri D, st dată d rlaţia l dl l log ln (.3) l0 l l0 Dfinită astfl, dformaţia spcifică st o fncţi nliniară d valoara ncnosctă a lngimii final. Tnsina conjgată c dformaţia spcifică logaritmică log st tnsina rală tnsina Cach σ F r A, (.4) nd A st rală (instantan) a scţinii bari. Din (.3) s constată că într dformaţia spcifică rală (logaritmică) şi ca convnţională (rlaţia.) istă rlaţia: l l 0 l log ln ln ln( ). (.5) l0 l0 Rlaţia dintr tnsina rală şi ca convnţională s poat stabili accptând ipota că volml bari n s modifică ( V V0 A l A0 l0 ), d nd s obţin A A 0 / F ( ) ( ) σ r σ ( ) (.6) A 0 În cal strctrilor c nliniarităţi gomtric acastă dfiniţi a dformaţii spcific ar davantajl că n s adaptaă atomat la rotaţii mari. Dformaţia spcifică Grn-Lagrang prmit adaptara atomată la cal rotaţiilor mari în problm nliniar. Pntr cal D s dfinşt astfl: l l 0 G (.7) l0 S constată că st o fncţi nliniară fncţi d lngima finală l, ncnosctă.
Tnsina conjgată acsti dformaţii spcific st cnosctă sb nml d tnsina Piola-Kirchhoff, car s calclaă c rlaţia l F l S 0 0 σ, (.8) l A0 l în car intrvin aria iniţială a scţinii prvti A 0 şi lngima finală l, ncnosctă. În mlt program d calcl dformaţia spcifică Grn-Lagrang s asociaă tot c tnsina rală (tnsina Cach) doarc tnsina Piola-Kirchhoff n ar o intrprtar fiică smnificativă pntr aplicaţiil inginrşti. ************ Doarc dformaţiil spcific snt finit sa mari (n infinitimal, ca în cal calclli gomtric liniar), în cal calclli strctrilor c nliniaritat gomtrică matrica B, a opratorilor d difrnţir din caţiil gomtric (Cap., rlaţia.), st nliniară. Pntr jstificara acsti afirmaţii, s va analia stara d dformaţi a corpli din figra.4, considrat în chilibr static sb acţina forţlor aplicat. S notaă c (D) domnil ocpat d mdil contin în star ndformată şi c (D ) domnil ocpat în star dformată. A şi B snt doă pnct infinit apropiat, având coordonatl (,,) şi, rspctiv, (d, d,d), astfl încât lngima sgmntli AB st ( d) ( d) ( d ). (.9) În rma dformării corpli sgmntl AB va ocpa poiţia A B. Dplasara pnctli A st: AA i j k (.0),,,,, (,, ) snt componntl dplasării pnctli A. nd ( ), ( ) Fig..4 Stara d dformaţi a întrgli corp st dată d stăril d dformaţi al ttror pnctlor sal, dpă liminara dplasărilor d corp rigid (în pnctl sa p sprafţl d ram dplasăril snt nl sa a valori imps). Componntl dplasării pnctli B vor fi fncţii d coordonatl sal d ( d, d, d ) ( d, d, d ) d (.) d ( d, d, d ).
Pnctl B ar coordonatl d d d d d d, astfl încât lngima sgmntli A B st ( ) ( ) ( ) d d d d d d. (.) În (.) s dvoltă în sri Talor şi s considră doar trmnii d ordinl întâi în raport c d, d şi d, rltând: d d d d d d d d (.3) d d d d. Înlocind (.3) în (.) s obţin ( ) ( ) ( ) [ ] dd dd dd d d d. (.4) S-a tiliat notaţiil: d d (.5) d. d d d d (.6) d d. Mărimil snt componntl ni tnsor simtric d ordinl al doila, intro d G. Grn şi B. D Saint-Vénant, cnosct sb nml d tnsorl d dformaţi Grn G T. (.7)
Conform (.), dformaţia spcifică în pnctl A, p dircţia AB (ν) st ν. (.8) Ţinând cont d (.9) şi (.4), din (.8) rltă ν ν l m n lm mn nl, (.9) nd l,m şi n snt cosinsril dirctoar al sgmntli AB (c dircţia ν): l cos( ν,) d d d m cos( ν, ) n cos( ν, ) (.0) Atnci când dircţia sgmntli AB coincid c dircţia ai O (lmn0), rltă :. (.) Analog, (.), şi rprintă lngiril spcific p dircţiil alor d coordonat. Acsta snt lgat d componntl tnsorli li Grn prin rlaţiil (.) şi (.) şi d dplasări prin rlaţiil (.5). Dacă s considră doă lmnt liniar car iniţial snt parall c al O şi O (nghil dintr acsta fiind π/) şi s notaă c φ nghil format d cl doă sgmnt dpă dformar, atnci dformaţia spcifică nghilară lncara spcifică (prin dfiniţi variaţia ni nghi iniţial drpt) va fi π / ϕ. (.3) Lncăril spcific snt lgat d componntl tnsorli li Grn prin rmătoarl rlaţii: sin ( )( ) sin sin. (.4) ( )( ) ( )( ) Rlaţiil prntat mai ss snt pr gomtric şi rigroas. În toria micilor dformaţii s admit că dformaţiil spcific snt infinitimal, dci pot fi nglijat în comparaţi c nitata iar prol a doă asmna dformaţii spcific pot fi nglijat în comparaţi c o a tria componntă a acstora. Atnci, din (.9) rltă că. (.5) iar din (.4) rltă. (.6) Tnsorl li Grn s transformă în tnsorl dformaţiilor spcific, intro d Cach:
T (.7) Dacă în rlaţiil (.5-.6) s nglijaă tmnii pătratici, rltă d d d. (.8) d d d d d d În concli nmai dacă s accptă ipota micilor dformaţii rlaţiil (.8) s primă matrical sb forma (.) iar matrica B ar forma (.4). În cal gnral, al nor dformaţii finit sa mari, matrica B st nliniară. În conscinţă, caţiil d chilibr static (. ) capătă forma B σ f 0, (.9) nd B st matrica adjnctă a matrici B. T În toria clasică (liniară) a lasticităţii B B, rlaţi car n mai st în mod ncsar advărată în cal când s considră nliniarităţil gomtric..3. Calcll d ordinl II, gomtric nliniar Din pnct d vdr al modllor d calcl tiliat în cal strctrilor c nliniarităţi gomtric trbi sbliniat nl aspct spcific. Atnci când dformaţiil strctrii (dplasări şi rotiri) snt mari pot fi întâlnit rmătoarl sitaţii Sarcina îşi păstraă dircţia în timpl solicitării (în cl mai mlt cari) Sarcina îşi schimbă dircţia, rmărind lmntl car sfră rotaţii mari. Cl mai mlt program d calcl (ANSYS, COSMOS) pot modla ambl sitaţii, în fncţi d tipl sarcinii aplicat. Astfl, în cal acclraţiilor şi forţlor concntrat, s considră că acsta îşi păstraă dircţia iniţială. În cal sarcinilor distribit, acsta s rotsc în aclaşi timp c lmntl p car snt aplicat astfl încât să acţion, aşa cm s întâmplă şi în ralitat, normal la sprafaţa lmntli. În acord c ipota dformaţiilor spcific mari, sarcinil d tip prsin snt actaliat, astfl încât pntr o anmită prsin constantă sarcina totală să s schimb în timpl solicitării o dată c modificara arii sprafţi. În continar s va trata forma clasică a calclli d ordinl II. S accptă rmătoarl ipot simplificatoar: Matriall s considră liniar lastic (Fig..5,a), adică într tnsini şi dformaţii spcific istă o rlaţi liniară Rlaţia forţă-dplasar st o rlaţi nliniară (Fig..5,b) Dplasăril strctrii pot fi mici sa mari, dar rotira d corp rigid (Fig..6,a) a barlor j i Ψ (.30) l trbi să fi mică
Dformaţiil lmntlor (q, q, q 3 din Fig..6,b) snt mici În cal barlor s accptă ipota li Brnolli. Forţl s aplică static. Rlaţia dformaţi spcifică dplasar st o rlaţi nliniară (vi.) În cal barlor, acastă rlaţi ar forma: bar plan, solicitat aial: d (.3) bar plan, solicitat aial şi la încovoir: d (.3) bar solicitat la încovoir c forţă aială, la strctri spaţial: d (.33),, snt dplasăril scţinii crnt. a) b) Fig..5 a) b) Fig..6
Conscinţl acstor ipot snt: Strctril d ristnţă snt sistm consrvativ. Condiţiil d chilibr static s primă p forma dformată a strctrii, formă car iniţial n st cnosctă. Ca rmar, fortril n mai snt fncţii liniar d dformaţii. Principil sprapnrii fctlor n s mai poat aplica (mărima fctlor dpind d ordina aplicării sarcinilor). Eistă o singră cpţi când s poat aplica principil sprapnrii fctlor în cal forţlor transvrsal şi aial aplicat bari, şi anm atnci când forţa aială rămân constantă. Efortril şi dplasăril snt fncţii nliniar d forţl aial iar nrgia d dformaţi st o fncţi d gradl 3 sa 4 d dplasăril nodrilor. Rigiditata strctrii st fncţi d nivll forţlor trioar. În acastă sitaţi s introdc noţinil d rigiditat scantă K s şi rigiditat tangntă K t (Fig..5,b): P K i S i tan αs (.34) Ui dp K i T i tanα T (.35) dui Prin intrmdil acstora s primă rlaţia forţă-dplasar (.36) Pi Ks U i i, şi ca dintr variaţia forţi şi variaţia dplasării dp i KT idui. (.37) Solţia problmi s obţin prin ciclri d calcl, doarc forma dformată rală n st cnosctă d la încpt.