Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:

askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak, ovde emo se zadrжati u euklidskoj geometriji. oqe emo sa jednim poznatim tvrđenjem. T.1. (askalova teorema) Neka su,,,,, taqke na krugu. rave i seku se u L, prave i u M, a i u N. Tada su taqke L,M,N kolinearne. okaz. Sve duжi u ovom dokazu su orijentisane. Neka se i seku u X, i u Y, a i u Z. Taqke L,M,N leжe na stranicama trougla XY Z, pa moжemo da primenimo Menelajevu teoremu: treba pokazati da je ZL LX XN NY Y M MZ = 1. L Z Radimo sa XYZ kao baznim trouglom. M Znamo da su taqke L,, na pravoj, pa Menelajeva teorema daje X Y Y Z ZL LX = 1. Y I taqke,m, su kolinearne, pa imamo i X Y YM MZ Z X N X = 1. Najzad, taqke N,, su kolinearne, pa je XN NY Y Z Z X = 1. Mnoжenjem ove tri jednakosti, koriste i jednakosti potencije X X = X X, Y Y = Y Y i Z Z = Z Z, dobijamo ono xto nam treba. askalova teorema oqigledno ne zahteva da bude konveksan xestougao, tako da su svi rasporedi taqaka dozvoljeni. Moжemo da posmatramo i degenerisane sluqajeve, kada su neke dve prave paralelne ili se neke dve taqke poklapaju. Na primer, ako je =, za pravu uzimamo tangentu na krug u. T.2. U tetivnom qetvorouglu, prave i seku u, i u. Tangente na opisani krug u taqkama i se seku u, a tangente u i se seku u Q. Tada taqke,, i Q leжe na istoj pravoj. okaz. rimenimo askalovu teoremu na degenerisani xestougao. Taqke =, = i = su kolinearne. nalogno, i Q pripada toj pravoj. Takođe, budu i da je askalova teorema tvrđenje iz projektivne geometrije, treba da budemo spremni i na beskonaqne taqke. Sve beskonaqne taqke leжe na tzv. beskonaqnoj pravoj. rimer. ate su taqke,,,,, na krugu. ko je i, dokazati da je onda i. okaz. Na osnovu askalove teoreme, taqke, i leжe na istoj pravoj. Međutim, kako su prve dve preseqne taqke beskonaqne, to mora biti beskonaqna prava. akle, i tre a preseqna taqka ( ) je beskonaqna, tj.. 1

Sada emo uvesti vaжne pojmove pola i polare. Neka je dat krug k(o,r). Za taqku O u ravni, oznaqimo sa inverznu sliku taqke u odnosu na krug k (tj. taqku na polupravoj O sa O O = r 2 ). efinicija. olara taqke u odnosu na krug k je prava p kroz normalna na O. Obrnuto, taqka je pol prave p. Specijalno, ako je taqka van kruga k, njena polara je prava MN, gde su M i N dodirne taqke tangenti iz na k. efinicija. reslikavanje koje svaku taqku slika u njenu polaru, a svaku pravu u njen pol, zove se polarno preslikavanje. olarno preslikavanje je bijekcija između skupa taqaka i skupa pravih u projektivnoj ravni. olara taqke O je beskonaqna prava, a polovi pravih kroz O su beskonaqne taqke. Slede e tvrđenje nam pokazuje da polarno preslikavanje quva incidenciju. Ubrzo e se ispostaviti da je to svojstvo od kljuqne vaжnosti. T.3. ko taqka leжi na polari taqke Q u odnosu na dati krug k, onda i taqka Q leжi na polari taqke. okaz. Trouglovi OQ i O Q su sliqni. ko je na polari taqke Q, po definiciji je OQ = 90, a tada je i O Q = 90, tj. Q je na polari taqke. Znaqaj ovih pojmova se najzad ogleda u slede oj teoremi. T.4. Neka su,, i taqke na krugu k. ko se prave i seku u, i u, i i u G, onda je polara taqke G (u odnosu na k). okaz. Oznaqimo sa M presek tangenti na k u taqkama i, i sa N presek tangenti u i. olare taqaka M i N su prave i redom, i te prave sadrжe G, pa na osnovu T.3 taqke M i N leжe na polari taqke G. Sledi da je MN polara taqke G. Međutim, po posledici T.1, taqke i leжe na pravoj MN. Q O Q e M N G p =polara ; q =polara Q q Q p p q e =polara ;,G,M,N e T.5. (rokarova teorema) Neka je qetvorougao upisan u krug k sa centrom O. Neka se prave i seku u taqki, prave i u, a i u G. Tada je O ortocentar trougla G. okaz. Na osnovu T.4, prava je polara taqke G, dakle OG ; analogno O G i O G. T.6. (rijanxonova teorema) U tangentnom xestouglu, dijagonale, i se seku u jednoj taqki. okaz. rave, i su konkurentne ako i samo ako su njihovi polovi kolinearni. Oznaqimo sa,q,r,s,t,u dodirne taqke upisanog kruga sa,,,,,, redom. olare taqaka i su redom prave U i RS, xto znaqi da je pol prave presek U RS. nalogno, polovi pravih i su taqke Q ST i QR TU. Ova tri pola leжe na istoj pravoj po askalovoj teoremi, qime je dokaz zavrxen. 2

rijanxonova i askalova teorema su dualne, jer se jedna iz druge dobija polarnim preslikavanjem. I ovde moжemo da posmatramo degenerisani sluqaj kada su neka od temena xestougla na krugu. rimer. Neka su,, dodirne taqke upisanog kruga sa stranicama,, redom. rijanxonova teorema na degenerisanom xestouglu nam daje da se, i seku u jednoj taqki (tzv. Жergonovoj taqki). osledica. ko upisani krug tangentnog qetvorougla dodiruje stranice,,, redom u taqkama M,N,,Q, onda se prave,,m i NQ seku u jednoj taqki. okaz. rimenom rijanxonove teoreme na degenerisani xestougao M dobijamo da M prolazi kroz presek dijagonala i. nalogno, i NQ prolazi kroz tu taqku. osmatrajmo sada tangentni qetvorougao i njegov upisani krug k, i oznaqimo sa,,g preseke pravih sa, sa, i sa, redom. Neka k dodiruje stranice,, i redom u taqkama M, N, i Q. o rijanxonovoj teoremi, G N taqka G je na pravoj M. Kako je M polara taqke (u odnosu na k), to taqka O Q leжi na polari taqke G. nalogno i leжi na toj polari. rema tome: M T.7. Neka je qetvorougao opisan oko kruga k sa centrom O. ko se prave i seku u, i u, a i u G, onda je polara taqke G. Odavde je OG. Ovde ne moжemo po analogiji da zakljuqimo da je i O G (niti je to taqno), jer je redosled taqaka,,, bitan: je tangentan qetvorougao, ali to nije. osledica. U tangentnom trapezu ( ) koji nije romb, prava OG je normalna na, gde je O centar upisanog kruga i G presek dijagonala. okaz. Sledi iz T.7 u degenerisanom sluqaju. Ovde je taqka = beskonaqna, pa je. Zadaci 1. Neka je taqka u unutraxnjosti trougla. Oznaqimo sa 1 i 2 redom podnoжja normala iz na i, i sa Q 1 i Q 2 redom podnoжja normala iz na i. okazati da se prave Q 1 2, Q 2 1 i seku u jednoj taqki. 2. U oxtrouglom trouglu, tangente iz na krug k nad preqnikom dodiruju taj krug u i Q. okazati da su taqke i Q i ortocentar H kolinearne. 3. Neka su i visine trougla i H njegov ortocentar. Oznaqimo sa M sredixte duжi H i sa N presek pravih i H. okazati da je N ortocentar trougla M. 4. ate su taqke i Q na polukrugu nad preqnikom UV, pri qemu je U < UQ. Tangente na polukrug u i Q seku se u R, a prave U i VQ seku se u S. okazati da je RS UV. 3

5. Trougao je upisan u krug Γ. Odabrana je taqka M na simetrali ugla, unutar trougla. rave M,M i M ponovo seku Γ u 1, 1 i 1 redom. Neka prava 1 1 seqe u, a 1 1 seqe u Q. okazati da je Q. 6. Neka je tetivan i tangentan qetvorougao, a Γ(O,R) i γ(i,r) njegov opisan i upisan krug, redom. ijagonale i seku se u. okazati da su taqke,i,o kolinearne. 7. Upisani krug trougla dodiruje stranice,, redom u taqkama,,. rava kroz paralelna pravoj seqe u K. ko je sredixte duжi, dokazati da je IK. 8. Taqka je odabrana na preqniku kruga k sa centrom O, uz raspored. rava kroz seqe k u taqkama i. Neka je O preqnik kruga O. ko ponovo seqe krug k u taqki G, dokazati da su taqke O,,,G koncikliqne. 9. Upisani krug trougla dodiruje stranice,, redom u taqkama,,. Neka je =, Q = i R =. ko je I centar upisanog kruga i G = Жergonova taqka, dokazati da taqke,q,r leжe na pravoj normalnoj na IG. 10. U trouglu, I je centar upisanog kruga ω, a H ortocentar trougla I. okazati da je polara taqke H u odnosu na krug ω srednja linija trougla. 11. Krug k upisan u trougao dodiruje stranicu u taqki. Neka je I centar kruga k, M sredixte stranice, i H ortocentar trougla I. okazati da je prava H normalna na IM. 12. ate su razliqite taqke i na krugu k. Tetiva prolazi kroz sredixte M tetive. Neka se i seku u K. rava KM seqe k u I i H, uz raspored K I M H. ko se I i H seku u L, dokazati da su K,I, i L na jednom krugu. 13. Konveksan qetvorougao je upisan u krug sa centrom O. ijagonale i se seku u. ko je taqka unutar takva da je + = + = 90, dokazati da su taqke O, i kolinearne. 14. U trouglu, taqke i na pravoj su takve da je i =, =. Oznaqimo sa M i N redom sredixta lukova i opisanog kruga koji ne sadrжe tre e teme. rave M i se seku u, a prave N i se seku u Q. okazati da centar upisanog kruga I trougla leжi na pravoj Q. Rexenja 1. Taqke 1, 2,Q 1,Q 2 leжe na krugu nad preqnikom. o askalovoj teoremi u xestouglu 1 2 Q 1 Q 2, taqke preseka parova pravih 1,Q 1 (presek ), 1 Q 2, 2 Q 1 (presek X) i Q 2, 2 (presek ) su kolinearne. 2. odnoжja, visina iz i redom leжe na k. rava Q je polara taqke =, i po T.5 za qetvorougao ona sadrжi taqku = H. 3. Qetvorougao H je upisan u krug qiji je centar M. Zato tvrđenje sledi iz T.5 za ovaj qetvorougao. 4. Oznaqimo sa K presek Q i UV. o T.4, polara taqke K sadrжi S. Takođe, K je na pravoj Q, a to je polara taqke R, odakle je, po T.3, R na polari taqke K. Sledi da je RS polara taqke K, pa je RS UV. 4

5. Na osnovu askalove teoreme na xestouglu 1 1 1, taqke,q i M = 1 1 su kolinearne. 1 alje, po uslovu zadatka, 1 je sredixte 1 luka, pa je tangenta t u 1 paralelna. Sada primenimo askalovu teoremu na 1 1 1 : taqke = 1 1, M M = 1 1 i beskonaqna taqka t su na pravoj, tj. prave t, i M pripadaju istom pramenu, xto znaqi da je M, dakle Q. 6. Oznaqimo = i G =. Na osnvu T.4 i T.7, polara taqke u odnosu na ma koji od krugova Γ i γ je prava G, pa su prave I i O normalne na G, i tvrđenje odmah sledi. 7. rimenimo polarno preslikavanje. ol prave je taqka. olara taqke prolazi kroz i normalna je na I, dakle K to je prava K jer je K ; drugim reqima, je pol prave K. ol prave je taqka, odakle dobijamo da je I pol taqke K = K prava, pa je IK. 8. rave i su tangente na krug k, pa je polara taqke i ona sadrжi taqku. Sledi da polara p taqke sadrжi taqku, a znamo da p, pa je p prava G. ritom je p O, pa zbog OG = 90 G sledi da su taqke O,G i kolinearne. Sada je = = O G, oda- O kle sledi da su,,g i O na istom krugu. 9. rave i su polare taqaka i redom u odnosu na upisani krug, pa je njihov presek pol prave. olara taqke G sadrжi taqku, i analogno sadrжi taqke Q i R, dakle QR je polara taqke G i normalna je na IG. 10. Oznaqimo sa, i redom dodirne taqke kruga ω sa stranicama,,. Odredimo pol K prave H. Kako je H I, taqka K je na pravoj I. Takođe, poxto H je polara taqke prava, taqka K je na pravoj, tj. K = I. Tada je K IK = K K = 90 β 2 γ 2 = α 2 = I, xto znaqi da su taqke,i,k, koncikliqne, i odatle IK = I = 90. Taqka simetriqna taqki u odnosu na K (tj. u odnosu na pravu I) leжi na I pravoj, odakle sledi da je K na srednjoj liniji trougla paralelnoj sa. Sliqno, pol L prave H leжi na istoj srednjoj liniji, a polara taqke H je prava KL, tj. pomenuta srednja linija. 11. o prethodnom zadatku, M je na polari taqke H, pa polara taqke M sadrжi taqku H i podnoжje tangente, dakle to je prava H, i tvrđenje odmah sledi. 12. Na osnovu T.4, polara taqke M sadrжi taqke K i L, tj. to je prava KL. To znaqi da je OM KL, gde je O centar kruga, pa kako je jox OM, sledi KL. Sada je KLI = I = I = KI, odakle sledi tvrđenje. 13. Neka poluprave,, i redom seku opisani krug qetvorougla u 5 1 Q Γ

taqkama,, i. o uslovu zadatka je 90 = + = +, xto znaqi da je preqnik kruga; analogno je i preqnik. Na osnovu askalove teoreme u xestouglu, taqke =, = O i = X su kolinearne. S druge strane, askalova teorema u xestouglu daje kolinearnost taqaka, O i X, xto zavrxava dokaz. O X 14. Neka M i N seku naspramne stranice trougla redom u K i L. Iz sliqnosti trouglova M i K ( M = K, M = K) imamo K M = ; osim toga, zbog L vaжi / = Q L/. Sledi K M = L, xto zajedno sa M = KL daje M R KL. nalogno, N LK. N Neka se prave M i N seku u R. obijene sliqnosti daju R = M = K M L I LK i R = N = LK, tako da je NRM = 180 R R = 180 LK LK = KIL = I = 180 I I = 180 N M = NM (uglovi su orijentisani). rema tome, R je na opisanom krugu. Sada kolinearnost taqaka I,,Q sledi iz askalove teoreme za taqke,,r;m,n,. eograd, 2012-2015 6