PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
|
|
- Θεόκλεια Σπυρόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu B(1 : 1) novog homogenog sistema koordinata. Naći vezu izmedju afine koordinate i novih homogenih koordinata. 2. Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date koordinatama (x 1 : x 2 ) odabrane su redom za bazne tačke i jedinicu novog sistema homogenih koordinata (x 1 : x 2). Odrediti vezu izmedju starog i novog sistema koordinata. 3. Date su tačke A(0 : 1), B(1 : 0), C(1 : 1) i D(3 : 2). Odrediti dvorazmeru (ABCD). 4. Na projektivnoj pravoj date du tačke A(1 : 0), B(2 : 1) i C(4 : 1). Odrediti koordinate tačke X za koju važi H(A, X; B, C). 5. Na dopunjenoj afinoj pravoj date su tačke A( ) = (1 : 0), B(b) = (b : 1) i C(c) = (c : 1). Dokazati da je tačka X za koju važi H(A, X; B, C) središte duži BC. 6. Na afinoj pravoj su uvedene projektivne koordinate. Odrediti afini smisao dvorazmere (ABCD) tačaka A(x 1 ) = (x 1 : 1), B(x 2 ) = (x 2 : 1), C(x 3 ) = (x 3 : 1) i D(x 4 ) = D(x 4 : 1). 7. (Aksioma razdvojenosti parova tačaka) Dokazati da za različite tačke A, B, C, D projektivne prave važi tačno jedna od relacija A, B C, D, A, C B, D, A, D B, C. Transformacije projektivne prave 1. Odrediti formule projektivne transformacije koja tačke A(0 : 1), B(1 : 0) i C(1 : 1) prevodi redom u tačke A (1 : 1), B (1 : 1) i C (1 : 3). 2. Data je transformacije λx 1 = 2x 1 x 2, λx 2 = x 1 + 4x 2. Naći: a) fiksne tačke transformacije b) afini zapis preslikavanja c) zapis preslikavanja u nekoj novoj bazi u kojoj je fiksna tačka beskonačno daleka. 3. Za preslikavanje λx 1 = 2x 1 + 3x 2, λx 2 = 3x 1 + 2x 2. Naći: a) fiksne tačke b) novi projektivni koordinatni sistem u čijim je afinim koordinatama preslikavanje homotetija. 4. Odrediti neophodne i dovoljne uslove da transformacija projektivne prave bude eliptička, parabolička, odnosno hiperbolička. 1
2 5. Dokazati da postoji jedinstveno paraboličko preslikavanje f kome je data tačka A fiksna, a pri tome je f(m) = M A. Neka je M = f(m ), dokazati da važi H(M, M; M, A). 6. Dokazati da je transformacija projektivne prave koja različite tačke A, B i C prevodi redom u tačke B, C i A eliptička. 7. Dokazati da eliptička i parabolička transformacija ne menjaju orijentaciju. 8. Dokazati da je trasformacija f projektivne prave za koju postoji par tačaka A i A takav da važi A = f(a) i A = f(a ) involucija. 9. Involucija projektivne prave zadata je parovima odgovarajućih tačaka A(1 : 2) i A (1 : 0), odnosno B(2 : 3) i B (8 : 1). Odrediti tu involuciju, njene invarijantne tačke i ispitati čuva li orijentaciju. Projektivna ravan. Transformacije projektivne ravni 1. Naći jednačinu prave koja sadrži tačke A(2 : 5 : 2) i B(8 : 1 : 1). Dokazati da tačka C( 4 : 9 : 5) pripada pravoj AB i odrediti tačku D takvu da važi H(A, B; C, D). 2. U projektivnoj ravni date su koordinate novih baznih tačaka i jedinice u odnosu na stari projektivni sistem A 1 (4 : 1 : 1), A 2 (4 : 4 : 1), A 3 (0 : 4 : 1) i B(2 : 1 : 1). Naći formule transformacije koordinata iz starih u nove. 3. Naći fiksne tačke i fiksne prave preslikavanja λx 1 = 4x 1 x 2, λx 2 = 6x 1 3x 2, λx 3 = x 1 x 2 x Preslikavanje je zadato formulama λx 1 = x 2 + x 3, λx 2 = x 1 + x 3, λx 3 = x 1 + x 2. Dokazati da je ono hiperbolička homologija i odrediti mu centar i osu. Izabrati koordinatni sistem u čijim je afinim koordinatama preslikavanje homotetija. 5. Naći projektivno preslikavanje proširene afine ravni koje prave a : x = 0, b : y = 0 i c : y = 1 x preslikava redom na prave b, c, a, a težište trougla kome stranice pripadaju tim pravama preslikava u presek pravih x y = 0 i x y = 2. Koja prava se preslikava u beskonačno daleku? Šta je slika kruga opisanog oko tog trougla? Krive II reda 1. Dokazati sledeća tvrdjenja: a) Definicija polariteta je geometrijska, tj. ne zavisi od izbora koordinata. b) Pri promeni koordinata ΛX = T X matrica G krive II reda menja se u G = T T GT. c) Polara je GMT konjugovanih sa polom u odnosu na krivu Γ. 2. Na pravoj p : 2x 1 x 2 9x 3 = 0 naći tačku X konjugovanu tački A( 1 : 2 : 1) u odnosu na krivu Γ : x 2 1 x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 6x 2 x 3 = Data je kriva Γ : 2x x 2 2 2x 2 3 6x 1 x 2 + 4x 2 x 3 = 0. a) Naći jednačinu polare tačke A(1 : 0 : 1). b) Naći, ako postoje, tangente iz tačke A na krivu Γ. c) Naći pol prave q : x 3 = 0. 2
3 4. Naći jednačine tangenti iz tačke B(3 : 2 : 2) na krivu Γ : 3x 2 1+x 2 2 5x 2 3+2x 1 x 2 +2x 1 x 3 4x 2 x 3 = U afinoj projektivnoj ravni dat je krug x 2 + y 2 = 1. Naći njegovu jednačinu u sistemu koordinata čije su bazne tačke i jedinica A 1 (1, 0), A 2 (0, 1), A 3 ( 1, 0), B(0, 1). Koju krivu predstavlja u ovom sistemu? 6. Naći jednačinu krive II reda koja dodiruje beskonačno daleku pravu i Ox osu u tački (3, 0), a Oy osu u tački (0, 2). 7. Ako temena četvorotemenika ABCD pripadaju krivoj II reda, tada polara njegove dijagonalne tačke sadrži preostale dve dijagonalne tačke. Razni zadaci 1. Ako su A, A i B, B odgovarajuće tačke hiperboličke (eliptičke) involucije, dokazati da A, A B, B (A, A B, B ). 2. (jun 2004.) Neka je f projektivno preslikavanje prave p na sebe samu i A 0 p. Ukoliko važi A n+1 := f(a n ) i A 6 = A 0, odrediti (ako postoji) dvorazmeru (A 1 A 2 A 4 A 5 ). 3. (januar 2000.) Dato je projektivno preslikavanje formulama λx 1 = x 1 + x 2 + 3x 3, λx 2 = x 1 + 5x 2 + x 3, λx 3 = 3x 1 + x 2 + x 3. Odrediti njegove fiksne tačke i fiksne prave, kao i sve krive II reda invarijantne pri tom preslikavanju. 4. (oktobar 2000.) Odrediti formule involucije na projektivnoj pravoj kojoj su odgovarajuće tačke A( 1 : 1), A (8 : 5), B(1 : 1), B (2 : 1). Da li je involucija eliptička ili hiperbolička? Čuva li orijentaciju? 5. (decembar 2003.) U projektivnoj ravni zadata je kriva Γ : x x 2 3 2x 1 x 2 4x 1 x 3 + 2x 2 x 3 = 0 i tačka A(1 : 2 : 1). a) Odrediti tangente iz tačke A na krivu Γ. b) Neka su T 1 i T 2 dodirne tačke tangenti iz A na krivu Γ. c) Odrediti još neku krivu II reda koja sadrži tačke T 1 i T 2 i ima za tangente prave AT 1 i AT (oktobar 2009.) A, B i C su tačke projektivne prave p. Neka su D, E i F tačke definisane sa (ABCD) = 2, (ABCE) = 3, (ADEF ) = 2. Projektivno preslikavanje f : p p definisano je sa f(a) = D, f(b) = E, f(c) = F. Ako je G = f(d), izračunati dvorazmeru (ABCG). 7. (septembar 2010.) U projektivnoj ravni preslikavanje f je zadato formulama: λx 1 = 2x 1 x 2 x 3, λx 2 = x 1 + x 3, λx 3 = 3x 1 + 3x 2 + 2x 3. Odrediti sve fiksne prave preslikavanja f, a zatim odrediti fiksnu pravu p koja sadrzhi tačku P (1 : 5 : 3). 3
4 SINTETIČKI PRISTUP Projektivna preslikavanja jednodimenzionih mnogostrukosti 1. Projektivno preslikavanje f : ω ω jednodimenzionih mnogostrukosti je perspektivno ako i samo ako je zajednički element tih mnogostrukosti fiksan. 2. Neka su A, B, C tri razne tačke prave p i A, B, C tri razne tačke prave p p. Odrediti sliku proizvoljne tačke D pri projektivnom preslikavanju f : p p koje slika tačke A, B, C redom na tačke A, B, C. Šta se dešava u slučaju p = p? 3. (Papasova teorema) Ako su tačke A, B, C kolinearne i tačke A, B, C kolinearne, tada su i tačke X = BC B C, Y = AC A C, Z = AB A B kolinearne. 4. Neka je f : p p projektivno preslikavanje i f(m) = M. Dokazati da je f paraboličko ako i samo ako za svaku tačku A p\ {M} važi H(M, f(a); A, f(f(a))). 5. Dokazati da parabolička projektivna preslikavanja na pravoj p koja fiksiraju tačku M medjusobno komutiraju. Projektivna preslikavanja dvodimenzionih mnogostrukosti Homologije 1. Dokazati da su osa, protivosa i protivosa inverznog preslikavanja medjusobno paralelne prave. 2. Dokazati da je perspektivno kolinearno preslikavanje odredjeno sa: a) centrom S, osom s i slikom A tačke A b) centrom S, osom s i protivosom u c) centrom S, osom s i protivosom u inverzne homologije. 3. Data je tačka S, prava s i četvorougao ABCD. Odrediti perspektivno preslikavanje čiji je centar tačka S, osa prava s i koji preslikava četvorougao ABCD u četvorougao čije su dijagonale normalne. 4. (novembar 2004.) U ravni je dat četvorougao ABCD koji nije trapez. Odrediti sva perspektivno kolinearna preslikavanja ravni koja imaju A i B za fiksne tačke, dok četvorougao ABCD prevode u paralelogram. 5. (februar 2005.) U ravni su date tačke A, B, C, D, E takve da nikoje tri nisu kolinearne i nikoje tri prave odredjene njima nisu paralelne. Perspektivno kolinearno preslikavanje sa fiksnim tačkama A, B i E preslikava četvorougao ABCD u trapez koji za osnovicu ima sliku duži BC. Konstruisati sliku četvorougla ABCD pri tom preslikavanju. Razmotriti sve moguće slučajeve. 4
5 Perspektivno afina preslikavanja 6. Date su prave p, s i duž AB. Odrediti perspektivno afino preslikavanje čija je osa s, zraci afinosti su paraleni sa p, a slika duži AB ima datu dužinu d. 7. (decembar 2004.) U ravni je data prava s i tačke A, B, C i D. Perspektivnim afinim preslikavanjem sa osom s trougao ABC se slika na jednakokraki trougao A B C sa osnovicom B C, tako da D leži na pravoj B C. Konstruisati A B C. (Rešavati samo opšti slučaj) 8. (septembar 2004.) Data je prava s i četvorougao ABCD. Odrediti perspektivno afino preslikavanje koje ima osu s i koje dati četvorougao preslikava u kvadrat. Dezagrova teorema 1. Date su nekolinearne tačke A, B, C i prava p, C p. Neka su P i Q proizvoljne tačke prave p i neka je AP BC = M, AQ BC = N, BP AC = U, BQ AC = V. Dokazati da su prave AB, MU, NV konkurentne. 2. U proizvoljan četvorougao upisan je trapez čije su osnove paralelne jednoj dijagonali četvorougla. Dokazati da se bočne strane trapeza seku na drugoj dijagonali četvorougla. 3. U ravni su date konkurentne prave a, b, c i tačke P, Q, R koje im ne pripadaju. Odrediti tačke A a, B b, C c takve da važi P BC, Q AC, R AB. 4. Tri trotemenika imaju isti centar perspektive. Dokazati da se njihove ose perspektive seku u jednoj tački. 5. Data je prava c i tačke A i B koje joj ne pripadaju. Konstruisati presečnu tačku pravih c i AB bez konstrukcije prave AB. Krive II reda 1. Kroz tačku D stranice BC trotemenika ABC prolazi prava p koja seče stranice AB i CA redom u tačkama B i C. Prave BC i CB se seku u tački M. Šta je geometrijsko mesto tačaka M kada prava p opisuje pramen sa središtem D? 2. Na nedegenerisanoj krivoj II rede Γ date su različite tačke A, B, C. Neka je a tangenta na Γ u tački A i D A proizvoljna tačka prave A. Ako je X Γ, Y = BX AC, M = AX DY, šta je geometrijsko mesto tačaka M kada se tačka X kreće po Γ? 3. Date su tačke A, B, C, D, E nedegenerisane krive II reda Γ i prava p A. Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive Γ. 4. Date su tačke A, B, C, D i tangenta a u tački A nedegenerisane krive II reda Γ. Konstruisati tangentu c u tački C na Γ. 5. Date su tangente a, b, c i dodirne tačke A a, B b krive II reda Γ. Za datu tačku R c odrediti AR Γ. 5
6 6. Date su tačke A, B, C i pravac o ose parabole, kao i prava p A. Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i parabole. 7. (oktobar 2004.) Date su tačke A i B i prave a, b, p. Konstruisati centar hiperbole ako je a tangenta u A, b tangenta u B i p asimptota hiperbole. 8. Date su asimptota q hiperbole, pravac asimptote p, tangenta t, njena dodirna tačka T i tačka X na asimptoti q. Odrediti drugu tangentu hiperbole kroz tačku X. 9. Dokazati da središta tetiva elipse i hiperbole koje su paralelne jednom dijametru te krive pripadaju njemu konjugovanom dijametru. Šta je u slučaju parabole? 10. Data je veća osa P Q i dijametar MN elipse. Konstruisati manju osu elipse. 11. Date su duži AB i CD koje se polove. Konstruisati glavne ose elipse čiji su konjugovani dijametri date duži. Razni zadaci 1. Date su tri konkurentne prave p, q, r i tačke R 1, R 2, R 3 na pravoj r. Ako su f 1, f 2, f 3 perspektivna preslikavanja prave p na pravu q sa centrima R 1, R 2, R 3, dokazati da važi f 1 f2 1 f 3 = f 3 f2 1 f Dokazati da je svaka involucija f projektivne ravni homologija. Dokazati da postoji kriva drugog reda invarijantna pri involuciji f. 3. Data je elipsa parom konjugovanih dijametara AB i CD. Odrediti bar jedno perspektivno afino preslikavanje koje elipsu preslikava u krug. 4. U ravni je data prava s i četvorougao ABCD. Odrediti elaciju sa osom s koja dati četvorougao preslikava na deltoid. 5. Date su prave a i a koje se seku u tački S van crteža i tačka P van pravih a i a. Konstruisati pravu P S. 6. (kolokvijum 2004.) U ravni su date tačke A i O, kao i prave a i p. Ako je A dodirna tačka tangente a na hiperbolu, O centar te hiperbole, a p jedna njena asimptota, odrediti drugu njenu asimptotu. 7. (januar 2005.) U euklidskoj ravni date su različite prave a i t, kao i tačke T, M t. Ako je T teme parabole i ako su a i t njene tangente, konstruisati drugu tangentu iz tačke M na tu parabolu. 8. (septembar 2010.) U euklidskoj ravni date su tačke M, N, T i prave p i m. Ako je Γ hiperbola sa asimptotom p i tangentom m takva da M, T m, M, N Γ, konstruisati drugu tangentu iz tačke T na hiperbolu Γ. 6
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραGeometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd
Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015. Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότερα10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 19. novembar 2014. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραSlika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE sa primenama u raqunarskoj grafici
SR AN VUKMIROVI ZORAN STANI ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE sa primenama u raqunarskoj grafici Matematiqki fakultet, Beograd, 2003 Autori: dr Srđan Vukmirovi, Zoran Stani ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραRacionalni algebarski izrazi
. Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραSadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραEuklidska geometrija II (1. dio)
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραGeometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/
Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak
Διαβάστε περισσότεραMilan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015
Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραKružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu MASTER RAD Kružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora Tomović Siniša Beograd, Januar 2013. Mentor: Dr Zoran Lučić Članovi komisije:
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότερα, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα