ISTORICUL NOŢIUNILOR MATEMATICE STUDIATE ÎN GIMNAZIU ŞI LICEU

ISTORICUL NOŢIUNILOR MATEMATICE STUDIATE ÎN GIMNAZIU ŞI LICEU ROXANA MIHAELA STANCIU aria triughiului, paralelogramului şi trapezului; volumul prismei, piramidei şi truchiului de piramidă; pătrate şi triughiuri echilaterale îscrise î cerc papirusurile egiptee şi cărămizile caldeee î e ; egalitatea şi asemăarea triughiurilor Tales sec VI î e ; teorema catetei şi îălţimii, suma ughiurilor uui triughi, umere prime, umere perecte, umere prietee, media aritmetică, geometrică şi armoică Pitagora sec VI î e ; teorema cosiusului, teorema lui Pitagora geeralizată, raţioametul deductiv, costrucţii cu compasul, luulele lui Ipocrat Ipocrat sec IV î e ; metoda ehaustivă petru demostrarea ormulei ariei cercului şi a volumului piramidei Eudoiu sec IV î e ; hiperbola şi parabola Meecmus sec IV î e ; teorema împărţirii cu rest şi algoritmul lui Euclid petru alarea c m m d c a două umere îtregi, orma umerelor perecte, eistă o iiitate de umere prime, este iraţioal primul tet care sa păstrat ( Elemetele ) Euclid sec III î e ; cocureţa îălţimilor şi mediaelor uui triughi, aioma de cotiuitate, determiarea umărului л cu două zecimale eacte, determiarea ariei elipsei (л a b) pri metode ehaustive, + + + ( -) = ; + = ( + ) ; + + + = ( + ) ( + ) / 6 Arhimede sec III î e ; cercul lui Apoloiu Apoloiu sec III î e ; probleme izoperimetrice Zeodor sec III î e ; ciurul lui Eratostee petru determiarea umerelor prime Eratostee sec III î e; simpliicarea racţiilor, rădăcia pătrată şi cubică, progresii aritmetice şi geometrice, metoda a ce petru rezolvarea sistemelor de ecuaţii liiare, rezolvarea ecuaţiei de gradul II Matematica î ouă cărţi de la chiezi sec II î e; teorema lui Meelau Meelau sec I; ormulele s = p (p-a) (p-b) (p-c), p = (a + b + c) / ; S = p r, a b c = 4 R S Hero sec II; (sec I) teoremele lui Ptolemeu şi ormulele: si (α / ) = cos (α / ), cos (α + β) = cos α cos β si α si β Ptolemeu sec II; teorema mediaei, teorema celor trei perpediculare, teorema bisectoarei eterioare, biraportul, proprietatea comuă a coicelor Papus sec III; itroducerea operaţiilor şi otaţiilor prescurtate petru ecuoscute Dioat precursorul algebrei sec III; Pro, Liceul cu Program Sportiv Iolada Balaş Sotter, Buzău e-mail: roaastc@yahoocom

umerele egative marchează diereţa ditre aritmetică şi algebra cosiderate petru prima data de idiei; teorema cogrueţelor şi determiarea lui π cu şase zecimale eacte de la chiezi sec III; algebra şi trigoometria create de arabi; regulile de calcul cu umere egative de la chiezi; regula de trecere a termeilor ditr-o parte î alta, procedeu umit al Djabr, de la care a veit si umele discipliei algebra AL Horezmi sec IX; + C C + +C = de la idiei; C m = C m + C m de la arabi; criteriile de divizibilitate cu,, 5, 9; aduarea racţiilor pri aducerea la c m m m c; legea creşterii orgaice sau şirul lui Fiboacci Leoardo da Pisa (Fiboacci 75-4) sec XIII; simbolurile +,,, =,, >, <,: sârşitul sec XV; orma actuală a cirelor sec XV, XVI; cira zero sec XVII; rezolvarea ecuaţiilor de gradul III pri radicali Cardao (5 576) 545; rezolvarea ecuaţiei de gradul IV pri radicali Ferrari (5 565) 545; ivetarea logaritmilor Neper (55 67) 64; teorema lui Desargues Desargues (59 66) 66; marea teoremă Fermat ( Cojectura lui Fermat):ecuaţia + y = z, >, є N, u are soluţie î Z Pierre Fermat (6 665) 67; crearea geometriei aalitice Reé Descartes (596 65) şi Pierre Fermat 67; triughiul lui Pascal şi teorema lui Pascal petru heago Blaise Pascal (6 66) 64; oţiuea de probabilitate Blaise Pascal şi Pierre Fermat; creatorul probabilităţi Jacob Beroulli (654 75); creatorii calculului diereţial şi itegral Isaac Newto (64 77) şi Gottried Wilhelm Leibiz (646 76) Newto a elaborat metodele sale di 665 dar u le-a publicat Leibiz a publicat descoperirile sale î aaliza î 675 demostrarea teoremei mici a lui Fermat (p >, prim, a Є Z, (a, p) = => a p- (mod p)); otaţiile d şi ; deumirile de derivat şi diereţială precum şi ormulele petru (u/v), (u v ), (v u) () b, a udv; deumirile de abscisă, ordoată şi coordoată Leibiz; teorema lui Ceva Ceva Giovai (648 74) 678; daca N = a α b β e λ, atuci umărul divizorilor este (α + ) (β +) (λ + ) şi suma lor ( + a + a + + a α ) ( + b + b + b β ) ( + e + e + e λ ) Joha Wallis (66 7); simbolul Joh Wallis; regula lim () / g () = lim () / g () (petru a) a ost dată de Joha Beroulli, dar publicată de L Hospital (66 74) î 696;

ormula lui Taylor Taylor (685 7) 7; itroducerea umărului e Daiel Beroulli (7 78); teorema lui Stewart 75; otaţiile π, e, i, (); calculul lui e cu de zecimale eacte şi calculul lui π cu de zecimale eacte; lim ( + / ) = e (petru ) (74); lista completă a derivatelor cu demostrarea acestora, şi etiderea regulilor lui L Hospital la ormele edetermiate /, şi (755); geeralizarea teoremei mici a lui Fermat (, є N, a є Z, (a, )= => a φ() mod )) 758; relaţia v + = m + petru poliedru cove (75) Leohard Euler (77 78); media aritmetică media geometrică media armoică Coli MacLauri (698 746) 748; regula lui Cramer Gabriel Cramer (7 78) 75; otaţia a + b i petru umere complee şi teorema udametală a algebrei Jea D Alembert (77 78) sec XVIII; π este iraţioal Heirich Lambert (78 777) 767; otaţiile (), () (), Joseph Louis Lagrage (76 8) 77; itroducerea simbolului [ ], petru partea îtreaga Arie Marie Legedre (75 8) 798; itroducerea umerelor trascedete Joseph Liouville (89 88); deumirea de determiat (8); deumirea de umăr comple şi reprezetarea î pla a umerelor complee (8); rezolvarea problemei costruirii poligoaelor regulate (8); + + + = ( + ) / ; otaţia φ () petru idicatorul lui Euler; ielul Z [ i ]; demostrarea teoremei udametale a algebrei Carl Friedrich Gauss (777 855); oţiuile de limită, covergeţă, covergeţa seriilor şi cotiuitate aşa cum sut prezetate astăzi; regula lui L Hospital petru o, o şi ; deumirile de liii, coloae, ordie, elemete, diagoala pricipală şi secudară petru determiaţi (85); creatorul teoriei grupurilor (85) Augusti Louis Cauchy (789 857); otaţia b a () d Joseph Fourier (768 8) 8; otaţia de ucţie de astăzi şi otaţiile (a + ), (a ) Peter Dirichlet (85 859) 88; deumirea de grup Evariste Galois (8 8) 8; oţiuile de margie ierioară şi superioară ale uei ucţii, covergeţă uiormă Weierstrass (85 897) 84; spaţiul cu dimesiui Arthur Cayley şi Herma Grasma 84; studiul algebrelor (84) şi grupurilor (854) oţiuea de matrice Arthur Cayley (8 895); itegrala Riema b a () d Berhard Riema (8 866) 854; spaţiu vectorial, calcul vectorial, clase, operaţiile de asociativitate, comutativitate, distributivitate, simetrie, trazitivitate William Hamilto (85 865) 85; otaţia a ij = det (a ij ) Kroecker (8 89) 85; oţiuile de iel şi corp algebric R Dedekid (8 86) 87; teoria mulţimilor G Cator (845 98) 87; itroducerea umerelor raţioale pri tăieturi Dedekid 87;

9; trascedeţa umărului e Charles Hermite (8 9) 87; deumirea de subgrup Sophus Lie (84 899) 874; teorema Rouche E Rouche 875; trascedeta umărului π Ferdiad Lidema (85 99) 88; itroducerea aiomatică a umerelor îtregi David Hilbert (86 94) rezolvarea problemei paralelismului: - geometria hiperbolică Nikolai Ivaovici Lobacevski (79 856) 89; - geometria hiperbolică Jáoş Bolyai (8 86) 8; - geometria eliptică Riema Behard (86 866) 854 ; - geometria eeuclidică este geometria proiectivă care lasă o cuadrică iă Cayley Arthur (8 895) 859; - orice grup de trasormări geerează o geometrie (aiomă) programul de la Erlage (87) Feli Klei (849 95); - sistemul aiomatic al lui Hilbert David Hilbert (86 94) Bazele geometriei 899; Pri prouzimea ideilor şi a modului de eprimare, Bazele geometriei lui Hilbert a deveit cartea de temelie a matematicilor modere şi metoda aiomatizării î sesul Hilbert a ost geeralizată petru toate ramurile oi ale matematicii Totuşi, petru uşurarea îţelegerii geometriei aie şi euclidiee, astăzi se adoptă o costrucţie a geometriei cu ajutorul uei aiomatizări bazate pe algebra liiară Acest apt este î cocordaţă cu schimbările determiate de oul curriculum, de oul sistem de evaluare şi de oile mauale Bibliograie: N Mihăileau Istoria matematicii, vol, Editura Eciclopedică Româă, Bucureşti, 974 N Mihăileau Istoria matematicii, vol, Editura Ştiiţiică şi Eciclopedică, Bucureşti, 98 NStaciu, Matematicǎ gimaziu & liceu, Editura Raet, Rm Sãrat, 7 4 NStaciu, de probleme rezolvate, Editura Raet, Rm Sãrat, 6 5 NStaciu, Istoricul oţiuilor matematice studiate î gimaziu şi liceu - Revista de culturã matematicã Sã îţelegem matematica, Bacãu, Nr-4 (8-9)- Serie ouã, 5

TEOREMELE FUNDAMENTALE ALE ALGEBREI LINIARE, GEOMETRIEI AFINE ŞI GEOMETRIEI EUCLIDIENE NECULAI STANCIU Itroducere Puctul de plecare al acestui articol îl costituie u pricipiu emis de Feli Klei î memoriul Cosideraţii comparative asupra oilor cercetări geometrice, la Erlage, î 87, cuoscut sub umele de Programul de la Erlage Cu ajutorul acestui pricipiu sut deiite: algebra liiară, geometria aiă şi geometria euclidiaă cu ajutorul ivariaţilor uui grup de trasormări Pri emiterea grupului, am idetiicat sistemul aiomatic ca o teorie a ivariaţilor udametali (pucte, drepte, relaţia de icideţă, de ordie, de egalitate, de paralelism, de cotiuitate) ai uui grup de trasormări Î acest ses, ca să studiem o discipliă matematică este eseţial să determiăm grupul î raport cu care oţiuile ei sut ivariate Î elaborarea acestui articol, am ţiut cot că acum la liceu, se adoptă o costrucţie a geometriei cu ajutorul uei aiomatizări bazată pe algebra liiară, care permite îmbiarea metodelor sitetică şi aalitică î studiul geometriei şi uşurează îţelegerea geometriei aie şi a geometriei euclidiee Pro, George Emil Palade Secodary School, Buzău, Romaia; e-mail:staciueculai@yahoocom

Algebra liiară Teorema udametală Noţiuile de spaţiu vectorial, aplicaţie liiară precum şi proprietăţile acestora sut tratate î [] şi [] Fie V şi W două spaţii vectoriale peste corpul K cu dim K V = şi dim K W = m Teoremă (udametală a algebrei liiare) : V W, este aplicatie liiara daca si umai daca ecuatia ei matriciala este de orma y a a a y a a a Y = AX ( y = ), ([], p) am am a m y m Teoremă Operaţia de compuere determiă pe mulţimea trasormărilor liiare bijective ale uui spaţiu vectorial V peste corpul K o structură de grup Demostratie :Fie : V V, o trasormare liiara bijectiva de ecuatie Y = AX si o alta trasormare liiara bijectiva de ecuatie Z deci (a) g coorm teoremei Daca : V atuci X g : V : V - = A Y V este o trasormare liiara V este o trasormare liiara, V este data de ecuatia Y si coorm teoremei, avem (b) = BYAvem Z = ( BA) X, - : V V = AX, Di (a) şi (b) rezultă cctd Deiiţie Grupul di teorema se umeşte grupul liiar (vectorial) geeral al spaţiului vectorial V şi se otează GL(V) 4 Deiiţie Vom umi algebra liiară a spaţiului vectorial V peste corpul K, studiul proprietăţile sistemelor di V care sut păstrate de trasormările grupului GL(V)

Geometria aiă Teorema udametală Fie V u spatiu vectorial peste corpul comutativ K, A o multime evida si : AA V o aplicatie care asociaza iecarei perechi de elemete A,B vectorul (A,B) otat AB, astel icat :) AB,C A, AB + BC = AC;) O A, astel icat aplicatia : A V A (A) = OA este bijectiva Deiiţie Aplicaţia cu proprietăţile de mai sus se umeşte structură aiă Deiiţie Mulţimea A dotată cu structura aiă se umeşte spaţiu ai asociat spaţiului vectorial V peste corpul K Pri coveţie elemetele lui A se umesc pucte Spaţiul ai A asociat spaţiului vectorial V peste corpul K cu structura aiă se desemează deseori pri tripletul (A, V / K, ) dim K A dim K V de Fie A şi A două spaţii aie asociate spaţiilor vectoriale V şi V peste acelaşi corp K Deiitie Se umeste trasormare aia a spatiului ai A i spatiul ai A τ : A de T(OA ) = τ ( O) τ (A ), A o aplicatie A cu proprietatea ca O A astel icat aplicatia T : V V data A sa ie liiara Trasormarea liiara T se umeste urma trasormarii aieτ 4 Teorema (udametală a geometriei aie) τ: A A este trasormare aiă dacă şi umai dacă este dată de ecuaţia Y = AX +B( dim K A =, dim K A = m) ([], p 45, [4], p 4) 5 Teoremă Operaţia de compuere determiă pe mulţimea trasormărilor aie bijective ale uui spaţiu ai A o structură de grup ([4], p6) 6 Deiiţie Grupul di teorema 5 se umesc grup ai şi se otează GA (A) 7 Deiiţie Se umeşte geometrie aiă studiul proprietăţilor ivariate ale spaţiului ai la acţiuea grupului ai

4 Geometrie euclidiaă Teorema udametală Pritre spaţiile aie distigem o clasă importată, spaţiile puctuale euclidiee 4 Deiiţie U spaţiu vectorial real V dotat cu u produs scalar (<, >) se umeşte spaţiu vectorial euclidia 4 Deiiţie U spaţiu ai E asociat uui spaţiu vectorial euclidia E se umeşte spaţiu puctual euclidia dim K E = dim K E Fie E şi E două spaţii vectoriale euclidiee 4 Deiitie Aplicatia T : E E se umeste ortogoala daca pastreaza produsul scalar, Fie E şi E doua spaţii puctuale euclidiee asociate spaţiilor vectoriale euclidiee E şi E (dim K E =, dim k E = m) 44 Deiiţie O trasormare aiă τ: E E se umeşte izometrie dacă urma sa T: E E este ortogoală 45 Teoremă T: E E este ortogoală dacă şi umai dacă matricea asociată A veriică relaţia T A A = I m, j = k (( ) aijaik = δ jk =, j,k, ) i=, j k ([4], p 9) 46 Teorema (udametală a geometriei euclidiee) Trasormarea τ: E E este izometrie dacă şi umai dacă este dată de ecuaţia y = AX +B şi matricea A veriică relaţia T A A = I Demostraţie: rezultã imediat di deiiţia 44 şi teoremele 4 şi 45 47 Observaţii a) Dacă dim K E = dim k E = se obţie teorema udametală a geometriei euclidiee î spaţiul puctual euclidia E b) Teorema udametală a geometriei euclidiee plae, respectiv teorema udametala a geometriei euclidiee î spaţiu se obţie di teorema 46 petru m = =, respectiv m = = c) O altă demostraţie petru teorema udametala a geometrie euclidiee î spaţiu se bazează pe proprietăţi elemetare ale izometriilor plaului ([4], p 98) d) O altă demostraţie petru teorema udametala a geometriei euclidiee î spaţiu se bazează pe proprietăţi elemetare ale izometriilor spaţiului ([4], p 98) 48 Teoremă Mulţimea izometriilor bijective ale uui spaţiu puctual euclidia dotat cu operaţia de compuere costituie u grup Demostraţie Fie τ: E E, izometrie cu urma sa T: E E Di teorema 5compuerea a două aplicaţii aie bijective este o aplicaţie aiă şi î plus compuerea a două aplicaţii ortogoale este o aplicaţie ortogoală Deci avem (a)

compuerea a doua izometrii bijective este o izometrie Tot di teorema 5 iversa uei aplicaţi aie bijective este o aplicaţie aiă şi î plus iversa uei trasormări ortogoale este o trasormare ortogoală Deci avem (b) iversa uei izometrii bijective este o izometrie Di (a) şi (b) rezultă că mulţimea izometriilor bijective ale uui spaţiu puctual euclidia dotată cu operaţia de compuere costituie u grup 49 Deiiţie Grupul di teorema 48 se umeşte grupul izometriilor spaţiului puctual euclidia E şi se otează GI(E) 4 Deiiţie Se umeşte geometrie euclidiaă studiul proprietăţilor ivariate ale spaţiului puctual euclidia la acţiuea grupului izometriilor (studiul acelor proprietăţi care sut păstrate de trasormările grupului GI(E), adică de izometrii) Bibliograie [] C Năstăsescu, C, Niţă, Gh Grigore, D Bulacu, Matematică, Maual petru clasa a XII a, proil M, EDP Bucureşti, [] M Ţea, Matematică, maual petru clasa a XII a, proil M, Ed Gil, Zalău, [] N Soare, Curs de geometrie (Partea I), Tipograia Uiversităţii Bucureşti, 996 [4] A Turtoi Geometrie, Tipograia Uiversităţii Bucureşti, 996 [5] NStaciu, Matematicǎ gimaziu & liceu- de probleme rezolvate, Editura Raet, Rm Sãrat, 7

Media itegrală a uei ucţii şi aplicaţii de Flori Atohe Scopul acestui studiu este de a itroduce oţiuea de medie itegrală îtr-u puct, de a ilustra câteva proprietăţi ale acesteia şi de a aplica apoi tehica de lucru dată de această oţiue la rezolvarea uei probleme, cu scopul declarat de a-i scoate î evideţă vituţile creatoare Vom obţie astel câteva rezultate mai geerale legate de o clasă de ecuaţii ucţioale Problema Fie :[ ; ) [ ; ) o ucţie crescătoare cu proprietatea că eistă a ( ;) astel îcât : a ( t) dt = ( t) dt [ ; ) () Să se arate că ()=, petru orice [ ; ) Soluţia Fiid mootoă, este itegrabilă pe orice iterval [,], > (adică este local t itegrabilă) Eectuâd schimbarea de variabilă u ( t) = î itegrala di membrul drept al a relaţiei () obţiem că: a ( t) dt = a ( at) dt şi deci () devie: [ ( t) a ( at)] dt =, t [ ; ) Deoarece a ( ;) rezultă că at t, t [ ;] şi olosid aptul că este crescătoare deducem că ( at) (t) ( at) ( t) şi deci: ( t) ( at) ( a) ( t), t [ ; ] Folosim acum mootoia itegralei î raport cu itegradul şi rezultă: = [ ( t) a ( at)] dt ( a) Fie t [ ) Atuci, cum (t), t [ ; ), avem:, ( t) dt = t ( t) dt + t ( t) dt t ( t) dt ( t) dt, dar este crescătoare şi deci (t) (t ), t [t,], de ude deducem că : t ( t) dt ( t ) ( t ) şi atuci di () şi () rezultă că ( a ) ( t ) ( t ) Cum -a>, t- > si (t ), rezultă (t )= şi cum, t au ost luate arbitrar rezultă că ()=, [ ; ) () ()

Soluţia Faptul că este itegrabilă, e asigură că F()= ( t) dt, [ ; ) este o ucţie cotiuă (4) Î plus, F()= Relaţia () se scrie acum : F()=F(a) di care obţiem că : F( ) = F( a) = F( a ) = = F( a ), N, [ ; ) şi deci : F( ) = lim F( a ) Dar a, cad, [ ; ), iar F este cotiuă î zero, ceea ce îseamă că : lim F( a ) = F() = şi deci F()=, [ ; ) Pri urmare : ( t) dt =, [ ; ) Luăm t [,) şi atuci, cum este crescătoare t = ( t) dt = ( t)dt + ( t)dt ( t) dt ( t ) ( t t t obţiem : ) Observaţie : Prima îtrebare pe care putem să e-o puem este dacă cocluzia acestei problemei rămâe valabilă şi î cazul î care este descrescătoare Cu soluţia u putem da răspus, dar soluţia se adaptează astel Itegrabilitatea lui şi deci cotiuitatea lui F se păstrează şi î situaţia î care este descrescătoare Pri urmare obţiem î mod aalog că : şi cum este descrescătoare avem : ( t) dt =, [ ; ) ( t) dt ( ), [ ; ) di care obţiem : ( ), [ ; ), relaţie adevărată petru > umai dacă ()= Aşadar am obţiut î acest el o ouă problemă Problema Fie :[ ; ) [ ; a ) o ucţie descrescătoare cu proprietatea că eistă a (,) astel îcât ( t) dt = ( t)dt [ ; ) Atuci ()=, [ ; ) Observaţie : Spre deosebire de cazul î care este crescătoare, aici u mai avem î geeral ()=, dar problema rămâe totuşi iteresată S-ar părea că soluţia care e-a permis obţierea acestei probleme este mai geerală decât soluţia Î cotiuare prezetăm adevărata problemă sursă : Problema Fie a,b ( ; ) cu a+b< şi :[ ; ) [ ; îcât : ) o ucţie crescătoare astel

a b ( t) dt = ( t) dt + ( t) dt, [ ; ) Să se arate că ()=, petru orice [ ; ) Rezolvare : Folosid argumetele de la rezolvarea problemei şi ideea di soluţia, di (4) rezultă : F ( ) = F( a) + F( b), [ ; ) (5) care este o ecuaţie ucţioală mai greu de prelucrat decât cea obţiută la problemele şi Vom îcerca să o abordăm pri cealaltă metodă Obţiem di (4) că : [ ( t) a ( at) b ( bt)] dt =, [ ; ) şi luâd t < arbitrar, va rezulta că : ( t) a ( at) b ( bt) ( a b) ( t) şi deci : ( t) a ( at) b ( bt)] dt ( a b) ( t) dt ( a b) ( t) dt ( a b)( t ) [ ( t ), adică ( t ) =, căci -a-b>, t > Media itegrală a uei ucţii Fie :[, ) R o ucţie local itegrabilă, adică o ucţie itegrabilă î ses Riema pe orice iterval de orma [,], cu << Media itegrală a ucţiei pe itervalul [a,b] [ ; ) este, pri deiiţie : b μ [ ] = ( d b a ) a î timp ce ucţia μ c[ ]( ) = ( t) dt, <<, se umeşte media itegrală Cesaro a ucţiei Media itegrală apare î teoremele de medie petru itegrala Riema : dacă este cotiuă atuci eistă c [a,b], astel îcât μ [ ] = ( c) Media itegrală Cesaro este o trasormare itegrală care coservă mootoia petru aumite clase de ucţii E: Dacă :[, ) R este cotiuă şi mootoă şi μc[ ] : (; ) R este media itegrală Cesaro a lui, atuci μc[ ] este mootoă şi are acelaşi tip de mootoie cu Proprietatea rămâe valabilă şi dacă u este cotiuă Vom cosidera î cotiuare valoarea limită a mediei itegrale, oţiue care e va i utilă la rezolvarea problemei Deiiţie: Fie :I R o ucţie local itegrabilă Fucţia M :I R M ( ) = lim ( t) dt, I, > t

î ipoteza că limita eistă, se umeşte media itegrală (la dreapta) a lui î Este clar că media itegrală a lui î este limita mediei itegrale a lui pe itervalul [,], limită calculată câd tide la, cu valori mai mari decât Observaţii : Noţiuea de medie itegrală îtr-u puct este uşor improprie Ea este de apt derivata primitivei ucţiei Deoarece uctia este local itegrabilă, rezultă că ucţia F :I R, F( ) = ( t) dt, I este cotiuă pe I şi deci : M > F( ) F( ) ( ) = lim = lim h h + h ( t) dt T eorema Fie I R u iterval, :I R o ucţie local itegrabilă şi :R R deiită pri : ( ), I ( ) =, I Atuci admite primitive pe I dacă si umai dacă : M ( ) = ( ), I Demostraţie : " " Fie o primitivă a lui pe I Atuci F = şi I cu [ η, + η] I avem, cu ormula + h Leibiz-Newto, ( ) dd = [ F( + h) F( )], < h < h η, deci : + h h ' lim ( ) d = lim [ F( + h) F( )] = F ( ) = ( ) h h h h < h < η Dacă I şi = i I (respectiv = sup I ) se procedează î mod asemăător " " Fie a I iat ş i F ( ) = ( t) dt, I Atuci : a + h + h F( + h) F( ) = ( t) dt ( t) dt = ( t) dt,, + h I h h a a h şi M ( ) = ( ) F( + h) F( ) îseamă că lim = M ( ) = ( ), I h h deci F este derivabilă î şi F ()=(), adică F() este o primitivă a lui pe I Demostraţia este completă Corolarul Dacă :I R este local itegrabilă şi admite primitive atuci ( ) = ( ), I M T eorema Fie :I R mootoă şi I Atuci : a) dacă este crescatoare : ( ) M ( ) ( + ); b) dacă este descrescatoare : ) M ( ) ( ); ( + 4

Demostraţie: Tratăm doar cazul a), petru b) procedâdu-se aalog Fiid crescătoare, este local itegrabilă Petru orice [, ] avem: deci : ( ) ( t) ( ) ( ) ( ) ( t) dt ( ) ( ), > adică ( ) ( t) dt ( ) ( ) de ude pri trecere la limită obţiem iegalitatea di euţ Corolarul Dacă este cotiuă (la dreapta) î atuci M ) = ( ) ( Demostraţie Puâd F( ) = ( t) dt,, atuci F este derivabilă la dreapta î şi : M ( F( ) = lim h h h> + h) F( ) = F' d ( ) = Observaţie Î demostraţia teoremei mai trebuia arătat că, î cazul î care este mootoă pe I, media itegrală eistă î orice puct I Coorm corolarului, trebuie să demostrăm că airmaţia este valabilă petru I cu proprietatea că u este cotiuă î Are loc : Propoziţie : Dacă :I R este mootoă, atuci I, eistă M ( ) Demostraţie : Fucţia iid mootoă, ea este local itegrabilă, adică este itegrabilă pe [, ], petru orice >, I coorm criteriului Lebesgue de itegrabilitate Riema, iid cotiuă apt pe [, ] Fie u puct de discotiuitate al lui Cum este mootoă, are umai discotiuităţi de prima speţă, adică are limite laterale (iite) î Cosiderăm :[, ] R, ( ) = ( ), (, ] ( + ), = Atuci : ( ( t) dt = ( t) dt şi deci M ) = M ( ), î ipoteza că aceasta di urmă eistă ( D ar este cotiuă la dreapta î ş i deci, pe baza corolarului, ) eistă şi este egală cu ( + ) Propoziţia a) Dacă, atuci M ; ) M ( 5

mootoie cu b) Dacă este pozitivă şi mootoă atuci şi M este mootoă şi are aceeaşi Demostraţie : a) Este evidet ; b) Fie crescătoare şi Alegem h> astel îcât + h Petru t [, + h], [, + h] avem : ( t) ( + h) ( ) ( u) ( + h) şi deci : + h + h ( + h + h t) dt h ( ) ( u) du, adică ( t) dt ( u) du, h h de ude rezultă M ( ) M ( ), cctd Putem acum să rezolvăm problema pri itermediul oţiuii de medie itegrală (îtr-u puct) Soluţie: Fie > Di () deducem că : care scazută di () e dă: a b t a b a b ( ) dt = ( t) dt + ( t) dt, >, adică: ( t) dt = ( t) dt + ( t) dt, a b ( t) dt = ( t) dt + ( t) dt, a a b b a b de ude rezultă ( este mootoă) că: M ( ) = am ( a ) + bm ( b ) (6) Deoarece M este crescătoare, căci este crescătoare şi a<, b>, avem a, b, deci : M ( a ) M ( ) şi M ( b ) M ( ) şi atuci di (6) rezultă : M ( ) ( a + b) M ( ) ( a b) M ( ) şi cum a+b<, adică -a-b>, rezultă cu ecesitate că M ( ) Dar este pozitivă şi deci M ( ) ceea ce impue M ( ) = Folosid teorema, puctul a) rezultă : ( ) M ( ) = ceea ce impue ( ) = Cum a ost luat arbitrar, deducem că ( ) =, [ ; ) Î acelaşi mod se poate rezolva problema şi următoarea problemă : a b 6

Dacă a, a,, (; ) cu a, a,, şi :[, ) [ ; ) este o ucţie crescătoare a ai a < astel îcât : ( t) dt = (t) dt, [; ) atuci i= Observaţii : ) Noţiuea de medie itegrală îtr-u p uct este im proprie şi petru aptul că, iid local itegrabilă, este itegrabilă Riema pe orice iterval [,a] şi deci, pe baza criteriului Lebesgue de ite grabilitate Riema, est e cotiuă apt Aceasta îseamă că, eceptâd o mulţime A eglijabilă, avem cotiuă pe [,a] şi deci () coicide î aceste pucte cu () M M De apt, petru [, a] \ A, () este chiar o derivată ( a ucţiei F()= ( t) dt, care este o primitivă a lui pe orice iterval pe care este cotiuă) ) Media itegrală a uei ucţii îtr-u puct, ( ) este legată de media itegrală Cesaro F() pri relaţia următoare: M ( M F( ) F( ) ) = lim > adică M este derivata ucţiei F(), ude F este media itegrală Cesaro ) Pe baza teoremei, dacă este local itegrabilă ( ) = ( ), I M Dacă privim pe M ca u operator deiit pe mulţimea ucţiilor local itegrabile, rezultatele aterioare arată că mulţimea puctelor ie ale lui coţi e clasa ucţiilor care admit primitive 4) Putem deii media itegrala îtr-u puct şi pritr-o limită simetrică : +h M ( ) = lim h ( t) dt, h h sau pritr-o limită la stâga, obţiâd astel oţiui uşor dierite M şi admite primitive pe I, atuci Idicăm î cotiuare şi alte probleme care pot i rezolvate î acelaşi el ca şi cele tratate aterior Problemă: Determiaţi ucţia crescătoa re :[; ) [ ; ) petru care ( t) dt = ( t) dt, [; ) P roblemă : Determiaţi ucţia descrescătoare :[; ) [ ; ) petru care ( t) dt = ( t) dt, [; ) Problemă: Determiaţi ucţiile crescătoare :[; ) R care satisac relaţia: k ( t) dt =, >, ude k N, k (iat) 7

Rezolvare: Puem F()= ( t) dt şi rezultă : F( k ) = F( ), (; ) di care obţiem, pe râd, F( ) = F( F( F( k ) = F( k ) = F( F( ) = F( care coduce la F()= lim k F = F(), > F( ) F( ) Atuci M ( ) = lim =, (; ) o > k ) k k ) ) k Cum este pozitivă şi crescătoare di ) ( ) M ( ) rezultă ) =, (; ) = ( Bibliograie : Arvite, V, Probleme elemetare de calcul itegral, Editura Uiversităţii Bucureşti, 995 Becheau, M şa (coord) Olimpiada Naţioală de Matematică, clasele VII-XII Editura Paralela 45 Mutea I, Asupra mediei itegrale Cesaro, Gazeta Matematică, Aul 85 (98) 4 Sireţchi, Gh Calcul diereţial şi itegral, vol - Editura Ştiiţiică şi Eciclopedică, Bucureşti, 985 proesor Şcoala Nichita Stăescu str Costache Coachi r, cod 864 Galaţi, Judeţul Galaţi 8

UN CAZ DE REZOLVARE AL ECUATIILOR DE GRAD 7 -DE MARCU STEFAN FLORIN PROFESOR CALARASI- Fie u poliom de grad 7 de orma: R[X],=X 7 +a X 5 +a X +a X+a 4 cu a, a, a, a 4 R () Ne propuem sa alam i ce coditii ecuatia algebrica ()= poate i rezolvabila pri radicali,si mai mult, sa rezolvam aceasta ecuatie Observatia Se stie ca orice poliom de grad impar cu coeicieti reali admite cel puti o radacia reala Observatia Vom presupue a 4,cautad solutii reale eule ale ecuatiei ()= Proprietatea Ecuatia ()= cu avad orma () poate i rezolvabila pri radicali,daca au loc relatiile: 7a =a si 49a =a () Solutia Cautam solutii reale de orma =u+v, u,v R Notam uv=b si olosim urmatoarele idetitati: (u+v) 7 =u 7 +v 7 +7uv(u 5 +v 5 )+u v (u +v )+5u v (u+v) (u+v) 5 =u 5 +v 5 +5uv(u +v )+u v (u+v) Deducem: u 5 +v 5 = 5 -[5b( -b)+b ] Respectiv: u 7 +v 7 = 7-7b( 5-5b +5b -b )-b ( -b)-5b = = 7-7b 5 +4b -7b Asadar : Numerele u 7 u 7 +v 7 = 7-7b 5 +4b -7b u 7 v 7 = b 7, v 7 pot i privite ca iid solutii ale ecuatiei: t -( 7-7b 5 +4b -7b )t+ b 7 =

Notam 7-7b 5 +4b -7b =-C si obtiem : C + u = 7 4 7 C b C, v 7 = 4 7 C b I cosecita, umarul de orma: C + C 4b 7 = 7 C C 4b 7 + 7 este solutie a ecuatiei: () 7-7b 5 +4b -7b +C= Notad ()= C=7a 4 ; -7b =a ; 4b =a ; ;-7b=a ecuatia () devie ecuatia Mai mult: 7a =7 4b = a si 49a = (-7b) = a Asadar, se coirma relatiile () Solutia Aceasta solutie vie i completarea solutiei,deoarece vom rezolva ecuatia alad eectiv orma solutiilor Vom cauta petru ecuatia ()= solutii reale eule de orma : =α + α k, cu k N,k si α R-Q k Urmarim ideea ca pritr-o substitutie de orma +, sa ajugem la u poliom de orma: M ( 4) g= + 7 + a 4, cu, a 4 k Calculam deci g()=(+ ) Obtiem succesiv:

k ( + ) 7 = 7 +7k 5 +k +5k k +5 4 5 6 k k k + +7 5 + ( ) 7 k ( + ) 5 k = 5 +5k +k + 4 k k +5 +( ) 5 k ( + ) k = +k+ k +( ) Asadar: g()= 7 +(7k+a ) 5 +(k +5ka +a ) +(5k +a k +a k+a )+ + 4 5 k + ak + ak + ak k + 5a k + a k 5 4 + 6 7k + a + 5 k 5 k +( ) 7 + a 4 Poliomul g va avea orma (4) daca au loc coditiile: 7k+a = k +5ka +a = 5k +a k +a k+a = 4 5k +a k +a k + a k= 5 k +5a 4 a k k + = 6 5 7k +a k = Rezolvad acest sistem obtiem: a =-7k; a =4 k ; a = -7k (5) O bservatia Poliomul are orma: = 7-7k 5 +4k -7k +a 4,cu k N, k, a 4 Elimiad k di relatiile (5),regasim coditiile: 7a =a,respectiv 49a =a I aceste coditii sa rezolvam eectiv ecuatia ()= Observatia 4 Deoarece g()= (+ k ) g()=, atuci, obtiem ca, daca este solutie a ecuatiei

k + este solutie a ecuatiei ()= 7 k 7 Avem g= + ( ) 7 +a 4 Notam =t si obtiem : 7 g()= t +a 4 t+k = ude Δ =a 4-4k 7 a) Daca Δ t = a4 + Δ a4 Δ si t = t 7 =t admit solutiile reale: Ecuatiile 7 = ; a = 7 4 7 4, = a + Δ Δ k k Asadar g( )= g( )= ( + ) = ( + ) = Observatia 5 + k k = + este adevarat deoarece =k Deci solutia reala a ecuatiei ()= este de orma: a = 7 4 + Δ + k a + 7 4 Δ R-Q sau a = 7 4 + Δ a + 7 4 Δ

b) Daca Δ< t = a 4 Δ + i ; t = a 4 Δ i Di relatiile lui Viete stim ca t + t =-a 4 si t t =k 7 Daca otam cu orice solutie (complea) a ecuatiei 7 = t respectiv cu orice solutie (complea) a ecuatiei 7 = t obtiem 7 7 =k 7 ( ) 7 =k 7 Daca privim aceasta relatie ca iid o ecuatie i ecuoscuta,obtiem o solutie reala si aume =k N Mai mult,deoarece t = t 7 = 7 =( ) 7, putem avea = k k Atuci solutia = + = + = + R, chiar daca, C I cotiuare vom lucra i cazul Δ Celelalte solutii ale ecuatiei g()=,vor i umere complee proveid di rezolvarea ecuatiilor 7 = t si 7 = t Folosid scrierea sub orma trigoometrica a umerelor t, t obtiem: π π ' = 7 t [cos( )+i si( )], =, 6 7 7 (6) π π = 7 t [cos( )+i si( )], =, 6 7 7 (7) Observatia 6 Evidet,e itereseaza doar solutiile complee ale ecuatiilor 7 = t si 7 = t π π Vom ota z = cos( )+i si( ), =, 6 7 7 Observatia 7 z = z = z, =,6 ' k k Obtiem deci g( = g( " = ( ' ) ) + ' ) = ( " + " ), =,6

Propozitia ' k k + = + ' " " Demostratie : ' + + " " k ' = 7, = t z + k = 7 t z 7 + 7 t t k z k z = 7 t z + 7 k k = 7 t z + 7 t t z z Deoarece t t =k 7 k= 7 t 7 t Atuci: ' " + + k ' k " = = 7 7 t t z z + + 7 7 t t z z Deci, propozitia este evidet adevarata Propozitia Demostratie : k { ' + ' k, =, 6 }={ " + ", =, 6 } Elemetele primei multimi sut umere complee si sut cojugate doua cate doua Aalog si elemetele celei de-a doua multimi Folosid si propozitia, se observa imediat egalitatea celor doua multimi Asadar, cele 6 solutii complee ale ecuatiei ()= au orma: a = 7 4 + Δ z + k a + 7 4 Δ z sau

a = 7 4 + Δ z + 7 a 4 Δ z Aplicatie Sa se arate ca umarul = 7 8 (+ 7 ) este solutie a ecuatiei : 7-4 5 +56-56-4= Sa se rezolve apoi ecuatia Demostratie Evidet u calcul direct este destul de complicat Aplicad cele de mai sus avem: k=,a =-4,a =56,a =-56,a 4 =-4 Δ=64 Atuci, solutiile sut de orma: = 7 4 + 8 + 7 4 8 = 7 6 + 7 8 ( solutie reala ) Solutiile complee sut de orma : 7 = 6 z + 7 8 z, =, 6, cu z = cos( π 7 )+i si( π 7 ) Observatia 8 Aplicatia de mai sus poate i privita i urmatorul cotet mai geeral: Sa se gaseasca o ecuatie algebrica de grad 7,()= ude are orma () care sa admita solutia reala = 7 k + 7 k 4, ude k N, k iat arbitrar Demostratie 7 7 4 Folosid otatiile di aceasta ota avem, = k, = k t =k, t =k 4 Dar t + t = -a 4 a 4 =- k - k 4

Ecuatia cautata va avea orma: 7 5-7k +4k -7k 4 4 - k - k =, k N, k Observatia 9 Aalog se pot costrui polioame care sa aiba orma () si sa admita radacii reale de tipul = 7 k + 7 k 6 sau = 7 k + 7 k 5, ude k N, k

Impartirea umerelor aturale si impartirea umerelor itregi I) Impartirea umerelor aturale Teorema impartirii cu rest: d=ic+r, r< Deimpartitul este egal cu impartitorul ori catul plus restul Daca i=, avem a:=a Daca d= si i avem =i Deci :a=, a Daca d si i= vom avea d=c+r, dar r<, isa i=, deci impartirea cu u este posibila Daca d= si i= vom avea =c+r,, ceea ce ar i adevarat daca r= Probleme Delia a avut o suma de lei di care si-a propus sa-si cumpere umai caiete Ea si-a putut cumpara doar caiete cu 575 lei bucata Ce suma a avut Delia? Rezolvare: Daca otam suma Deliei cu S, atuci avem S=575 +R, ude R<575 Daca R=, atuci S=575 Daca R=, atuci S=575 Daca R=5749, atuci S=649 Radu are doua clasoare i care are i total timbre Daca imparte umarul timbrelor ditr-u clasor la umarul timbrelor di celalalt clasor obtie catul si restul 5 Cate timbre are i iecare clasor? Rezolvare: Avem evoie de o igura Figure Si pri metoda igurativa deducem ca i clasorul al doilea va avea (-5):4=9 timbre, iar atuci i primul clasor vor i 9+5= timbre Itr-o impartire cu rest a doua umere aturale se stie ca suma ditre rest si impartitor este 5, suma ditre cat si impartitor este 7, suma ditre rest, cat si impartitor este 8 Alati umerele D=C I+R, r<i R+I=5

C+I=7 I+C+R=8 Di ultimele doua relatii obtiem 7+R=8, de ude R= Apoi di a doua si ultima relatie obtiem C+5=8, de ude C= Apo ilocuid i a doua relatie avem I=4, iar di prima relatie D=4 4 Suma a doua umere este 4 Daca impartim umarul mai mare la jumatatea umarului mai mic obtiem catul si restul 5 Alati umerele Notam si y N cele doua umere Presupu <y Atuci +y=4 si y=,5 +5, cu,5 >5 + +5=4 5 =4-5 5 =5 =6 y=4-6 y=4 5 Diereta a doua umere este 94, iar ea itrece cu sertul umarului mic Alati umerele Notam si y N cele doua umere Vom avea -y=94 si -y-= 4 yobtiem 94-= 4 y y=7 4 y=84 =y+94 =84+94 =78 6 Impartid umerele 4, 65, 87 la u acelasi umar, obtiem resturile, 7 si Alati impartitorul Fie eul, impartitorul comu Atuci coorm teoremei impartirii cu rest avem 4=a+ 65=b+7 87=c+

ude a, b, c sut caturile di impartirile eectuate Scadem di iecare egalitate restul corespuzator si vom obtie =a 655=b 85=c Cum este acelasi, iseama ca el este cmmdc al umerelor date si Atuci cum = 5 4 655= 5 9 85= 5 Iseama ca =cmmdc= 5=5 7 Sa se ale cel mai mic umar de doua cire, pe care impartidu-l la, 8, 5 sa obtiem acelasi rest Fie umarul cautat; avad doua cire este mai mare decat ( ar i ost cel mai mic umar cu proprietatile cerute) Deci - M, - M 8 si - M 5 ; de ude -=cmmdc[,8,5] Fiid cel mai mic umar cautat Avem atuci -=9 si =9 8Care sut umerele aturale cuprise itre si, cre impartite pe rad la 5, 4, sa dea resturile4,,? Daca este u umar ce ideplieste ceritele problemei, iseama ca -4 M 5 rezulta ca + M 5 - M 4 rezulta ca + M 4 - M rezulta ca + M Di ultimele trei relatii obtiem + M [5,4,] + M 6 ={6,, 8, 4,,} Cum isa <<, vom avea +=4 deci =9 += de ude =99 Numerele cautate sut 9 si 99 9 Care ete cel mai mare umar abc care impartit pe rad la 7,, 5 sa dea restul? Daca abc =, avem - M 7 - M - M 5 De aici rezulta ca - M [7,,5]

- M 5 abc - M 5 ={5,, 5, 4,, 945} abc -=5, de ude abc =6 abc -=, de ude abc = abc -=945, de ude abc =946 Cum abc este cel mai mare umar de trei cire cu aceste proprietati, vom avea abc =946 Sa se ale doua umere aturale stiid ca cmmdc=4 si cmmmc=44 Fie a si b umerele cautate Atuci (a,b)=4 si [a,b]=44 Cum (a,b) [a,b]=a b avem a b=4 44 a b=576 Cum (a,b)=4, rezulta a=4k si b=4 cu (k,)= Pri ilocuire obtiem 4k 4=576 rezulta k =6 Deci k, D 6={,,, 4, 6, 6,, 8, 6} Numerele a si b cautate vor i (4,44); (6,6); (6,6); (44,4) Sa se ale cmmdc si cmmmc al umerelor 79 si 576 Petru a ala cmmdc avem doua metode: Algoritmul lui Euclid si descompuerea umerelor Metoda I: Algoritmul lui Euclid Figure Cmmdc(79, 576)=9, ultimul rest eul Cum (79, 576) [ 79, 576]=79 576 [ 79, 576]=46656 Metoda a II-a: Descompuerea i actori primi 79= 6 576= 6 (79, 576)= =9 [ 79, 576]= 6 6 =46656

Ciurul lui Eratostee este o metoda cuoscuta ica di atichitate petru determiarea umerelor prime Eemplu Sa se ale umerele prime mai mici decat Se scriu toate umerele de la la, apoi se bareaza multiplii lui ( mai puti ), multiplii lui ( mai puti ), etc 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 4 4 4 4 44 45 46 47 48 49 5 5 5 5 54 55 56 57 58 59 6 6 6 6 64 65 66 67 68 69 7 7 7 7 74 75 76 77 78 79 8 8 8 8 84 85 86 87 88 89 9 9 9 9 94 95 96 97 98 99 Figure Deci umerele prime mai mici decat sut,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 5, 59, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 89, 97 Sa se determie restul impartirii lui + + +4 la ( N) + +4 = + (-) +(+) =+C - C - + C - -+(-) C + +C + C - + C - ++ C =M ++(-) Daca este umar par atuci (-) = si + + +4 =M irii lui + + +4 deci restul impart la este Daca este umar impar atuci (-) = - si + + +4 =M + deci restul impartirii lui + + +4 la este 4 Sa se arate ca daca N *, atuci divide (+) - (+) -= C +C - + C - ++C -= C +C - + C - - + C - ++ +C - = (C - +C 4 ++ +C - - + C + ) este divizibil cu, petru orice atural, mai mare sau egal cu Daca = atuci - ceea ce este adevarat Daca = atuci - ceea ce este adevarat

II) Teorema impartirii cu rest a umerelor itregi Fie a si b doua um ere itregi cu b eul Atuci eista doua umere itregi q si r uice cu proprietatile a=bq+r si r < b () Egalitatea () se umeste ormula impartirii cu rest petru umere itregi, iar umerele q si r se umesc catul si respectiv restul impartirii lui a la b Eercitii Sa se eectueze impartirea cu rest a lui -5 la 6 Vom eectua impartirea cu rest a lui 5 la 6 Vom avea 5=6 8+, apoi imultid cu - obtiem -5=6 (-8)- -5=6 (-8)-6+4-5=6 (-9)+4 De aici rezulta ca q=-9 si r=4 Sa se eectueze impartirea cu rest a lui -7 la -5 Avem 7=5 4+ -7=-5 4- -7=-5 4-5+9-7=-5 5+9 De aici q=5 si r=9 Fie a, b, c umere itregi cu c eul si r si r resturile impartirii lui a si b la c Atuci restul impartirii lui a+b la c este acelasi cu restul impartirii lui r +r la c, iar restul impartirii lui ab la c este egal cu restul impartirii lui r r la c Avem a= q c+r, r < c b= q c+r, r < c Atuci a+b= (q + q ) c+ r +r Daca r +r < c atuci restul impartirii lui a+b la c est e chiar r +r, iar daca r +r c atuci coorm teoremei impartirii cu rest avem r + =q c+r, cu r < c Deci a+b=(q +q +q ) c+r cu r < c r Deci restul impartirii lui a+b la c este acelasi cu restul impartirii lui r +r la c Avem a b= (q q c+ q r + q r ) c+r r

Daca r r < c atuci restul impartirii lui a b la c este chiar r r, iar daca r r c atuci coorm teoremei impartirii cu rest avem r r =q c+r, cu r < c Deci restul impartirii lui a b la c este acelasi cu restul impartirii lui r r la c a b= (q q c+ q r + q r +q) c+r ; r < c 4 Daca este u umar itreg, atuci este de orma 4k sau 8k+, k itreg Deoarece este u umar itreg avem doua cazuri: Cazul I Daca =p, p itreg atuci =4p =4k Cazul II Daca =p+, p itreg atuci =4p +4p+=4p(p+)+ Dar p(p+)=k deci =8k+, k itreg Qed 5 Daca a, b sut itregi si u divide ici pe a, ici pe b, atuci divide pe a-b sau divide pe a+b Cum u divide ici pe a, ici pe b avem a=k+ sau a=k+ cu k itreg si b=m+ sau b=m+ cu m itreg Cazul I Daca a=k+ si b=m+ atuci a-b=(k-m) divizibil cu Cazul II Daca a=k+ si b=m+ atuci a+b=(k+m+) divizibil cu Cazul III Daca a=k+ si b=m+ atuci a+b=(k+m+) divizibil cu Cazul IV Daca a=k+ si b=m+ atuci a-b=(k-m) divizibil cu 6 Sa se arate ca k - este divizibil cu 7, oricare ar i k atural Observam ca 999 este divizibil cu 7 Atuci k -=(999+) k -=C k 999 k +C k 999 k- + + C k- k 999 +C k- k 999+C k k -= =999( C k 999 k- +C k 999 k- + + C k- k 999+C k- k )=M 7 qed 7 Sa se gaseasca toate umerele itregi cu proprietatea + divide + Avem +=(+)(-)+ Cum + divide + avem + divide (+)(-)+, rezulta ca + divide D ={-,, -, } Daca += rezulta = Daca += rezulta = Daca +=- rezulta =-

Daca +=- rezulta =- Deci {-, -,, } 8 Sa se gaseasca pri algoritmul lui Euclid cel mai mare divizor comu al umerelor -8 si 5 ) 8=5 +8 ) 5=8 +5 ) 8=5 +45 4) 5=45 + I acest sir de impartiri succesive ultimul rest eul este 45, deci (-8, 5)=45 9 Sa se demostreze ca umerele 57 si 5 sut prime itre ele Aplicam algoritmul lui Euclid ) 57=5 +7 ) 5=7 +4 ) 7=4 + 4) 4= + 5) = + si deci (57, 5)= ceea ce iseama ca cele doua umere 57 si 5 sut prime itre ele Se dau doua umere itregi a si b eule care au cmmdc pe 5, iar caturile impartirilor succesive di algoritmul lui Euclid sut -,, Sa se ale a si b a=b (-)+ r ; r < b b= r +r ; r < r r =r + Dar (a, b)=5 rezulta ca r =5 r =r = b= r +r =5 a=b (-)+r =-5 Cele doua umere sut a=-5 si b=5 Sa se gaseasca doua umere itregi eule a si b care au cmmdc= si cmmmc=7 Este solutia uica? Cum (a, b)= rezulta ca a=k si b=m, cu k si m itregi si prime itre ele Avem (a, b) [a, b]=a b

7=k m k m=4 4= Cazul I k= si m=4 atuci a= si b=7 Cazul II k=8 si m= atuci a=4 si b=9 Cazul III k= si m=8 atuci a=9 si b=4 Cazul IV k=4 si m= atuci a=7 si b= etc Deci solutia u este uica Sa se arate ca umerele k+ si 9k+4 sut prime itre ele, petru orice k itreg Fie (k+, 9k+4)=d, cu d atural Cum (d divide k+ si d divide 9k+4) rezulta (d divide 8k+4 si d divide 9k+4) de ude ( d divide k si d divide k+) apoi d divide, deci (k+, 9k+4)= Sa se gaseasca cmmdc a umerelor k- si 9k+4 i uctie de umarul itreg k Fie d=(k-, 9k+4), d atural Cum (d divide k- si d divide 9k+4) rezulta (d divide 8k-9 si d divide -8k-8) de ude d divide 7 si apoi d= sau d=7 Daca d=7 atuci k-=7p, cu p itreg k=(7p+)/ si este itreg Deci p=m+ cu m itreg k=7m+9 Cazul I Daca k=7m+9, cu m itreg avem k-=4m+7=7(m+) 9k+4=7(9m+5) Cum (m+, 9k+4)= avem (k-, 9k+4)=7 Cazul II Daca k Z\{7m+9, m Z} atuci (k-, 9k+4)= 4 Sa se arate ca daca a si b sut umere itregi d=(a, b), iar k si l di Z au proprietatea ca daca ka+lb=d, atuci (k, l)= Presupu d =(k, l) d k si d l rezulta d ka+lb rezulta d d Cum d=(a,b) rezulta a=d c si b= de cu (c, e)=

ka+lb=d kdc+lde=d Impartim pri d eul si obtiem kc+le= d k si d l rezulta d kc+le rezulta d rezulta d =De aici rezulta ke= qed 5 Sa se arate ca (+4, 4+)= petru orice itreg Fie d=(+4, 4+), atuci d +4 si d 4+ rezulta d -(+4)+(4+) Deci d, rezulta d= 6 Sa se arate ca umerele de orma F k = k +,( k atural ) sut prime doua cate doua Fie F m = m + si F = +, ude m si sut r aturale dierite Presupuem ca m > si ie m=+k, k> Luam = si avem F m -= m -= + k += k Cum F = + =+ rezulta ca F Fm- k -=(-)(+)( +)( 4 +)( +) Fie d F m - si d F m rezulta d si cum d u divide rezulta d, adica (F m, F )= 7 Fie a si b doua umere itregi eegative ) Aratati ca ( a -, b -)= (a,b) - ) Deduceti ca ( a -, b -)= daca si umai daca (a, b)= ) Di teorema impartirii cu rest i multimea umerelor aturale avem ca eista q si r umere aturale cu a=bq+r, r< b Avem a -= bq+r -= bq r + r - r -=( bq -) r + r -=(( b ) q -) r + r -= =( b -)[( b ) q- +( b ) q- +( b ) q- ++ b +] r + r -=( b -)Q+ r -, ude Q=( b ) q- +( b ) q- +( b ) q- ++ b + si r - < b - Deci daca r este restul impartirii lui a pri b, atuci r - este restul impartirii lui a - pri b - I particular, daca d este ultimul rest eul di algoritmul lui Euclid petru a si b atuci d - este ultimul rest dierit de zero di algoritmul lui Euclid petru a - si b -, de ude

( a -, b -)= d - = (a,b) - qed ) Daca (a, b)= atuci coorm puctului () avem ( a -, b -)= (a,b) -= Daca ( a -, b -)= si cum ( a -, b -)= (a,b) -, rezulta ca (a,b) -=, deci (a,b) = (a, b)= PROFESOR GRAD I BECHIR GHIULNAR LICEUL TEORETIC CALLATIS MANGALIA, JUD CONSTANTA

NOTĂ MATEMATICĂ ASUPRA UNOR PROBLEME DE CONCURS Coreliu Măescu-Avram Revista electroică Mateioro a publicat î iecare săptămâă câte o problemă de cocurs, care a beeiciat de iteresul costat al cititorilor Nota de aţă prezită etideri ale uora ditre aceste probleme Fie ABC u triughi echilateral şi P u puct ales arbitrar pe cercul îscris î triughi Să se demostreze că suma u depide de poziţia puctului P Proprietatea se păstrează îtr-u cadru mai geeral : (9 59) Fie u poligo regulat, O cetrul său de simetrie şi P u puct arbitrar pe u cerc cu cetr ul î O Să se demostreze că suma u depide de poziţia puctului P Folosim coordoatele complee, alegem origiea î puctul O şi aa reală trecâd pri puctul A Putem lua ca uitate raza cercului circumscris poligoului şi atuci aiele vârurilor poligoului sut z k =, k, ude este o rădăciă primitivă de ordial a uităţii, de eemplu = cos + i si Dacă r este raza cercului cosiderat, atuci ecuaţia cercului este =, iar = = = Avem, deci = u depide de poziţia puctului P Să se demostreze că îtr-u triughi ABC cel mult ua ditre relaţiile : este adevărată ( 89, Maria Teler) Airmaţia rămîe adevărată dacă egalităţile se îlocuiesc cu iegalităţi, mai precis : Îtr-u triughi ABC cel mult ua ditre relaţiile : este adevărată

Se demostrează că prima iegalitate este adevărată dacă şi umai dacă m() Îtr-adevăr, ie I cetrul cercului îscris şi A, B, C puctele de cotact ale acestui cerc respectiv cu laturile BC, CA, AB Tagetele duse ditr-u puct eterior la u cerc sut cogruete, deci dacă se otează AB = AC =, atuci CB = CA = b, BC = BA = c Di BA + CA = a, rezultă = b + c a Î triughiul dreptughic AIB este adevărată iegalitatea r dacă şi umai dacă, aşadar m() U triughi are cel mult u ughi drept sau obtuz, deci airmaţia di euţ este adevărată Fie S aria totală şi V volumul uui co circular drept Să se demostreze iegalitatea 7 (7 9, Coreliu Măescu-Avram) Problema este u caz particular de iegalitate izoperimetrică Cazul geeral este etrem de complicat, de aceea vom studia umai corpurile rotu de Petru u corp cove C cu dimesiui variabile, otăm q (C) valoarea maimă a raportului, ude V este volumul şi S este aria corpului Se ştie că mulţimea valorilor ucţiei q este itervalul (, ] Evidet, q (seră) =, iar problema cere să se demostreze că q (co) = Este adevărată următoarea Propoziţie a) q (cilidru) = b) q (truchi de co) =, ude R, r sut razele bazelor şi k este o costată di itervalul (, ) astel îcât r = kr Demostraţie : a) Aria totală şi volumul uui cilidru circular drept sut S = R(G + R), V =, ude R este raza bazei şi G este geeratoarea cilidrului Da că G = R, cu (, + ), atuci = = Cosiderăm ucţia : (, + ) R, () = Derivata () = este strict pozitivă pe itervalul (, ), se auleaz ă î puctul = şi este strict egativă pe itervalul (, + ) Rezultă că = este puct de maim petru ucţia şi deci

q (cilidru) = () = = b) Aria totală şi volumul uui truchi de co circular drept sut S = G(R + r) +, V =, ude R, r sut razele bazelor şi G este geeratoarea truchiului de co Dacă G = R, cu (, + ) şi r = kr, cu k (, ) costat, atuci = = Cosiderăm ucţia : (, + ) R, () = Derivata () = are o sigură rădăciă pozitivă =, este strict pozitivă pe itervalul (, ) şi strict egativă pe itervalul (, +, deci ucţia are u maim î puctul, de ude deducem q (truchi de co) = 4 ( ) = 4 Îtr-u cub se îscrie o seră Să se arate că suma pătratelor distaţelor de la u puct oarecare situat pe seră la eţele cubului este costată Airmaţia rămâe adevărată î spaţiul euclidia -dimesioal R : (4 9, Aghel Valeti) Îtr-u cub dimesioal se îscrie o seră Să se arate că suma pătratelor distaţelor de la u puct oarecare situat pe seră la eţele de dimesiue ale cubului este costată Demostraţia î cazul geeral este aceeaşi ca î cazul = : Cosiderăm u reper cartezia O cu origiea î cetrul de simetrie al cubului şi aele de coordoate perpediculare pe eţele de dimesiue ale cubului Dacă lugimea razei serei îscrise î cub este r, atuci vârurile cubului dimesioal sut puctele (,,, ) ( compoete), eţele de dimesiue ale cubului sut coţiute î hiperplaele cu ecuaţiile,,,, ecuaţia serei îscrise î cub este r,

iar distaţele de la u puct P(a, a,, a ) de pe seră la eţele de dimesiue ale cubului sut,,, Avem şi suma pătratelor acestor distaţe = = ( + ) r u depide de poziţia puctului P, deci este costată 5 Fie a, b, c lugimile laturilor şi R lugimea razei cercului circums cris triughiului ABC Să se arate că dacă a + b + c = şi a 4 + b 4 + c 4 = 4, atuci R < Pri schimbarea costatelor se obţie o airmaţie mai geerală : ( 7, Biro Istva) Fie a, b, c lugimile laturilor şi R lugimea razei cercului circumscris triughiului ABC Să se arate că dacă a + b + c = u şi a 4 + b 4 + c 4 = v, ude u, v sut umere reale strict pozitive astel îcât u < v, atuci R < Avem 6R S = (u v)r = a b c < =, de ude se obţie iegalitatea propusă Se poate obţie o evaluare mai buă î cazul geeral, dar petru a u complica iutil calculele, alegem v astel îcât v = u + u, î cocorda ţă cu opţiuea autorului problemei Cosiderăm poliomul = X ux + X m R[X] şi determiăm valorile parametrului m (, + ) petru care poliomul are trei rădăcii reale strict pozitive Derivata ciate lui este () = ucţiei poliomiale aso u + şi are rădăciile = =, = Dacă u >, atuci rădăciile derivatei sut strict pozitive, ceea ce vom presupue î cotiuare Derivata este strict pozitivă pe (, ) (, + ) şi strict egativă pe (, ) Rezultă că ucţia este strict crescătoare pe (, ) (, + ) şi strict descrescătoare pe (, ) Avem şi lim, lim Deducem că poliomul are 4

trei rădăcii reale strict pozitive dacă şi umai dacă ( ) şi ( ) () Di idetitatea = X ux + X m = ( X )(X ux + ) X + m obţiem valorile ( ) şi ( ), care îlocuite î () e dau + m + () Dacă a, b, c sut rădăciile lui, atuci relaţiile lui Vi ète se scriu =, de ude a 4 + b 4 + c 4 = = u u(u ) = v, astel că sut îdepliite codiţiile di euţ Avem şi 6 = = R = = = m şi () devie şi î ial R 6 Două laturi ale uui triughi şi raza cercului îscris au lugim ile respectiv egale cu a, b, r, ude r = şi a < b < a Să se determie lugimea celei de-a treia laturi (5, Coreliu Măescu-Avram) Origiea acestei probleme se ală î căutarea perechilor de triughiuri heroice cu laturile de lu gimi a, b,, respectiv a, b, y, petru care lugimea r a razei cercului îscris este aceeaşi Variata parametrizată este următoarea : Două laturi ale uui triughi au lugimile egale respectiv cu şi, m, (, ), m > Să se determie lugimea celei de-a treia laturi, ştiid că raza cercului îscris î triughi are lugimea r = 5

Se obţi soluţiile =, y =, pri aceeaşi metodă ca la problema aterioară Alegem m, *, m >, (m, ) = şi deducem că eistă o iiitate de perechi de triughiuri cu laturile de lugimi (a, b, ), (a, b, y), care au raza cercului îscris de aceeaşi lugime, toate lugimile iid eprimate pri umere aturale Iată câteva ditre ele : m a b y r 7 5 6 8 6 8 46 78 4 97 69 8 4 57 89 48 68 6 4 7 65 86 888 84 5 66 676 Soluţia problemei iiţiale este = a b, y = b a + Numerele, y, r sut aturale, dacă b, a b şi (b a) sut pătrate perecte Aceste codiţii sut îdepliite, dacă b = u, a b = v, (b a) =, u, v, t * Rezultă că o parametrizare petru a, b,, y, r este dată de u triplet pitagoric ( t, v, u), deci v =, u =, m, *, m >, de ude a = m 4 + 4, b =, =, y = m, r = m(m ) Bibliograie Problema săptămâii, mateioro Sádor, J, Geometric theorems, diophatie equatios ad arithmetic uctios, America Research Press, Rehobo th, Mihăileau, N N, Utilizarea umerelor complee î geometrie, Editura Tehică, Bucureşti, 968 4 Dică, M, Chiriţă, M, Nume re complee î matematica de liceu, All Educatioal, Bucureşti, 996 5 Bradley, Ch J, Challeges i Geometry or Mathematical Olympias Past ad Preset, Oord Uiversity Press, 5 CATEDRA DE MATEMATICĂ, GRUPUL ŞCOLAR DE TRANSPORTURI PLOIEŞTI E-mail : avram565@yahoocom 6